矩阵论答案习题解答习题 1.2

习题 1.2 1. 解：因为对R 的任一向量( )，按对应规则 都有R 中 惟一确定的向量与之对应，所以 是R 的一个变换. (1) 关于 轴的对称变换； (2) 关于 轴的对称变换； (3) 关于原点的对称变换； (4) 到 轴的投影变换； (5) 到 轴的投影变换. 2. 解： (1) 不是.因为 ( )＝ + ≠k ( )+k = + (2) 不是.因为 ( )＝ ≠k ( )+k (3) 不是.因为取 x=(1 , 0 , 0 ) , 时, (k x)=(k ,0, 0)≠k ( x)= k(1, 0, 0)=(k, 0, 0) (4) 是.因为 设x=( ) , y=( ) (k x+k y)= EMBED Equation.3 =k (x)+k ( y) (5) 是.因为 ( )= =k (f (x))+k EMBED PBrush (6) 是.因为 ( )= = k (f (x))+k EMBED PBrush (7) 不是.因为 设x=( ) , y=( ) (k x+k y)= ( ≠k (x)+k EMBED PBrush ( y) = =( . 3. 解： EMBED Equation.3 ( +β)= EMBED Equation.3 [ EMBED Equation.3 ( )+ EMBED Equation.3 (β) EMBED Equation.3 (k )= EMBED Equation.3 (k(x , x )) EMBED Equation.3 ( ) 所以 EMBED Equation.3 是线性变换.同理可证 EMBED Equation.3 也是线性变换. ( EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 )( )= ( EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 )[(x , x )] = EMBED Equation.3 [(x , x )]+ EMBED Equation.3 [(x , x )] EMBED Equation.3 EMBED PBrush EMBED Equation.3 ( )= EMBED Equation.3 ［ EMBED Equation.3 ( )］= EMBED Equation.3 [( x , -x )]=(- x , -x ) EMBED Equation.3 EMBED PBrush EMBED Equation.3 ( )= EMBED Equation.3 ［ EMBED Equation.3 ( )］= EMBED Equation.3 [( x , -x )]=( x , x ) . 4. 证：（1）因 (A)+ (B) k (A) 故 是线性变换. （2） (A)B+A (B) (AB) 5. 解：令 即可. 6. 证：设 ，则 ( EMBED Equation.3 EMBED PBrush EMBED Equation.3 - EMBED Equation.3 EMBED PBrush EMBED Equation.3 )(f(x)) = EMBED Equation.3 ［ EMBED Equation.3 (f(x))］－ EMBED Equation.3 ［ EMBED Equation.3 (f(x))］ = EMBED Equation.3 ［xf(x)］－ EMBED Equation.3 ［f(x)］ 故 EMBED Equation.3 EMBED PBrush EMBED Equation.3 － EMBED Equation.3 EMBED PBrush EMBED Equation.3 是恒等变换. 7. 证：设 ，则 ，由于 EMBED Equation.3 (e )+ EMBED Equation.3 (e )= EMBED Equation.3 (e +e )=e +e EMBED Equation.3 (e )－ EMBED Equation.3 (e )= EMBED Equation.3 (e －e )=e －e 所以， EMBED Equation.3 (e )=e , EMBED Equation.3 (e )= e 于是 EMBED Equation.3 (α)=k EMBED Equation.3 (e )+k EMBED Equation.3 (e ) = k EMBED Equation.3 (e )+k EMBED Equation.3 (e )= EMBED Equation.3 (α) 故 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 . 8. 解：(1) 因为 在 平面上，其投影不变，故有 (i)=i , (j)=j , 又 垂直 平面，则 , 得 ( (i), (j), (k))=( ， ， ) 所求矩阵为A= . (2) 因为 , 所以, 所求矩阵为 A= . (3) 由 的定义知, (i)= ((1 ,0 ,0 ))= ( 2 ,0 ,1) (j)= ((0 ,1, 0 ))= ( -1, 1 , 0) (k)= ((0 ,0 ,1))= ( 0 ,1 , 0) 有 ( (i), (j), (k))=( 所求矩阵为 A= . (4) 据题设： 则 =( ) = = =( ) = =( ) = =( ) = =( ) = = ( ) = 于是 ( , , , , , ) , 所求矩阵为 D= 9. 解：(1) ( )=( ) =( )C 所求矩阵为 B=C AC= (2) ( )=( ) =( )C 所求矩阵为 B=C AC = (3) ( )=( ) =( )C 所求矩阵为 B=C AC = 10. 解：由定义知 所以，所求矩阵为 . 11. 解 ： 因为 所以，所求矩阵为 . 12. 解： ( , , )=( ) ( )=( , , ) = ( , , ) C B=C AC= = . 13. 解：(1) ( , , ) = ( ) C , 过渡矩阵为 C=( ) ( , , ) = = (2) ( , , )=( , , ) = ( ) C 故 在基 下的矩阵就是 C. (3) ( ( , ( ), ( ) ) = ( , , ) = ( ) C =( , , ) C= ( , , ) C 故 在基 下的矩阵仍为C. 14. 解： （1） 由于 故 EMBED Equation.3 在该基下的矩阵为 类似地，可得 EMBED Equation.3 在该基下的矩阵为 . 由于 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 EMBED PBrush EMBED Equation.3 ，所以 EMBED Equation.3 在该基下的矩阵为 同理，可得 EMBED Equation.3 在该基下的矩阵为 （2）由于由简单基E11，E12，E21，E22改变为给定基E1，E2，E3，E4的过渡矩阵为 于是， EMBED Equation.3 在给定基下的矩阵为 15. 解： （1）将题给关系式写成矩阵形式为 ( ( , ( ), ( ) ) 即 由于 ，所以有 ( EMBED PBrush 故 在基（II）下的矩阵 （2）因为 ( EMBED PBrush 所以 在基（I）下的坐标为（3，5，9）. 16. 解：（1）取 的简单基1，x，x2，则有 从简单基改变到基f1，f2，f3和g1，g2，g3的过渡阵分别为 ， 故有 (g , g , g )= (1, x, x )C= 即 在基（II）下的矩阵 （2）因为 所以 (f(x))= . 17. 证：设 在给定基下的矩阵为 ，并设C为从旧基到新基的过渡矩阵，由于 在任一组基下的矩阵相同，则有 ，即AC=CA，根据“A与一切满秩矩阵可变换”性质，即可定出A必为数量矩阵 . 18. 解：由基 到基 的过渡矩阵为 故 下的矩阵为 .那么， + ， ， ， ( + )在基 下的矩阵分别为 ， , ， . 19. 证：设有可逆方阵P与Q，使 B=P AP , D=Q CQ 则 = = = 即 与 相似. 20. 证：设 ， ，则A，B的行向量的极大无关组中分别含有 个行向量，设分别为 和 ，则A的每个行向量均可由 线性 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示，B的每个行向量均可由 线性表示.又可A+B的每个行向量是A与B的相应行向量的和，故A+B的每个行向量均可由 ， 线性表示.因此A+B的行向量组的极大无关组中所含向量的个数不超过 ，即 . 21. 证：设 ，则 ， 所以 ， ，…， .这就说明B的列向量 都是以A为系数矩阵的齐次方程组的解.由于 ，所以解空间的维数为 ，从而知 的极大无关组所含向量的个数 ，即 ，因此有 . 22. 证：设A，B为同一数域上的 与 阶矩阵，显然，方程组BX= 的解向量X也满足方程组 ，记 ， 则 ，于是 即 . 又由于 因此 . 23. 证：由上题知， ，现在只需证明 即可. 考虑线性方程组 ，设 是方程组的一组解，将 两边左乘XT，得 ，即 ，所以 ，即 .于是 即有 ，故有 ，并且有 即有 . 注：对复矩阵A，上式不一定成立.例如 , .由于 故 .此时，相应的关系式应为 . 24. 证：必要性.由上题已证得，充分性只要在AX= 两边左乘AT即可. 25. 证：（1）因为 ，故 ，不妨设A的前n行线性无关，且构成的n阶满秩方阵为A1，后 行构成的矩阵为A2，则 所以 ，但 ，故 . （2） 同理可证. 26. 解：（1） ， ； （2） ， ； （3） ， . 27. 证：因为 ，但 ，故m阶方阵C的秩 ，所以C是降秩的. 28. 解：先求矩阵A的特征值和特征向量为 ， , 故 的特征值和特征向量为 ， ， ， ， . 29. 解：（1） ， ， ， ， . (2) , ， ， （3） ， ， ， ； （4） ， ， ， ， ， . 以上分别求出了 在不同基下所对应矩阵A的特征值和特征向量，则类似于上题的方法，可求出 不同基下所对应的特征值和特征向量. 30. 解：（1），（2），（4）为非亏损矩阵（单纯矩阵），其变换矩阵P分别为 （1） ； （2） ; （4） . 31. 证 ： 设 在给定基下的矩阵为A，则 32. 证：设 ，则存在满秩矩阵P与Q，使得 ，故有 其中 ， 这说明AB与diag（ ）相似. 另一方面，有 ，说明BA与 相似.不难验证有 故AB与BA有相同的特征多项式，因此有相同的特征值和迹. 33. 证：设A的任一特征值为 ， 的对应于 的特征子空间记为 .对 中任意向量Z有 故 ，因此 为线性变换 的不变子空间，即 为 中的线性变换，此线性变换的特征向量即为B的特征向量，但它又属于 ，由 的定义知它又是A的特征向量，即A与B有公共的特征向量. 34. 证：设A的特征值为 ，则A2的特征值为 ，由 有 ，若所有 ，则A+I为满秩矩阵，故由（A+I）（A-I）=A2-I2=0，有A=I. 35. 证：不失一般性，设B非奇异，有AB=B-1（BA）B即AB与BA相似，所以它们有相同的特征多项式. 36. 证：设A为n阶方阵，具其秩为 ，由于A2=A，知A的列向量都是A的对应于特征值1的特征向量.因 ，故特征值1的几何重复度为r，其代数重复度至少为r.又 的基础解系中的向量个数为 ，即A的特征值0的几何重复度为 ，其代数重复度不小于 .由于一个n阶矩阵的特征值的代数重复度之和恰为n，故特征值1和0的代数重复度分别为r和 .可见A除了1和0外无其它特征值，而1和0的几何重复度之和为n，故A为非亏损矩阵，所以A相似 . 37. 证：用反证法.若A可相似于对角矩阵，对角元素即为A的特征值，且至少有一个不为0.但是，由于 ，于是 ，因为 ，所以 ，故 ，即A的特征值都等于0，矛盾. 38. 证：由 ，有 ， ，从而有 ，即X也是 的特征向量.显然 的特征值为 ，即为 的多项式. 39. 解：取R3中的自然基 ，计算得 ( )=(0 , -2 ,-2 ) , ( )=(-2 , 3 ,-1 ) , ( )=(-2 , -1 ,3 ) 则 在基 下的矩阵为 而A的特征值为 ，与之对应的特征向量为 ， ， ，则有 ， 其中 .由 =（ ）C求得 的另一组基为 ， ， ，显然 在该基下的矩阵为对角阵 . 40. 解：（1）因为 ， ， ，所以 在基1，x，x2下的矩阵 . （2）由于A原特征值为 ， ，相应的特征向量为 ， ， ，存在可逆阵 ，使 ，故所求的基 为 . 41. 解：（1）对任意的 及 ，有 =k( ( ))+l( (β)) 故 是线性变换. （2）取V的简单基 由于 EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , 所以 在基 下的矩阵为 R的特征值为 ，对应的线性无关的特征向量为（1，1，0）T，（0，1，1）T，（0，1，-1）T，令 ， 则有 ，由（B​1，B2，B3）=（A1，A2，A3）C求得V的另一组基为 ， ， ， 在该基下的矩阵为 . 42. 证：（1）取Vn的一组基 ，设 EMBED Equation.3 （ ）=（ ）A EMBED Equation.3 （ ）=（ ）B 则有 ( EMBED Equation.3 EMBED PBrush EMBED Equation.3 )（ ）=（ ）（AB） ( EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 )（ ）=（ ）（A+B） 由 EMBED Equation.3 EMBED PBrush EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 ，可得AB=A+B，从而有BTAT=AT+BT. 若1是 EMBED Equation.3 的特征值，则 1也是A的特征值，从而1也是AT的特征值，设AT对应于特征值1的特征向量为 ，即 ，由（BTAT） =（AT+BT） ，可得BT = +BT ，即 =0，这与 是AT的特征向量矛盾，故1不是 EMBED Equation.3 的特征值. （2）因 EMBED Equation.3 有几个不同的特征值，所以 EMBED Equation.3 有n个线性无关的特征向量.记 EMBED Equation.3 的对应于特征值 的线性无关的特征向量为X​1，X2，…，Xn，即 EMBED Equation.3 （i=1，2，…，n），则X​1，X2，…，Xn作为Vn的基时， EMBED Equation.3 的矩阵A=diag（ ）.再由AB=A+B及 知 即 EMBED Equation.3 与 EMBED Equation.3 在该基X1，X2，…，Xn下的矩阵都为对角阵. 43. 证：对任意 ，有 EMBED Equation.3 ( .由于 EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 ( ))= EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 ( ))= EMBED Equation.3 (λ EMBED Equation.3 ) 所以 EMBED Equation.3 , 故 是 EMBED Equation.3 的不变子空间. 44. 解：(1) ( )=( )C =( ) B=C AC = (2) 先求核 ) . 设η= 在基 下的坐标为 ( )， ( 在此基下的坐标为(0,0,0,0)，于是 A = 此时A的秩为２，解之，得基础解系 , 作 . 显然， 为核 )的 一组基，故核由 所张成，即 )=Span( ) . 再求值域 (V ) . 由于 ( (e ), (e ), (e ), (e )) = ( ) A 而A的秩为２，所以 (e ), (e ), (e ), (e )的秩也为２，且 (e ), (e )线性无关，故组成 ( V )的基，从而 ( V )=Span( (e ), (e )) . (3) 由(2)知 是核 )的一组基，易知 为V 的一组基，由于有 ( )=( ) = ( ) D 所以 在此基下的矩阵为 B=D AD= (4) (2)知 (e ), (e )是值域 (V )的一组基，又知 (e ), (e ), 为V 的一组基，有 ( (e ), (e ), )=( ) =( ) T 所以 在此基下的矩阵为 B=T A T = . 45. 证：取R3中的自然基 ，因为 ( + )( )= ( )+ ( )=（1，0，0）+（0，0，1） =（1，0，1） 同理有 ( + )( )=（2，0，0）， ( + )( ) =（1，1，0） 这表明 + 将基 变换成R3中的另一组基 =（1，0，1）， =（2，0，0）， =（1，1，0）（易证它们线性无关）. 又因（ + ）（R3）是R3的子空间，而 是（ + ）（R3）的最大无关组，故这个子空间的维数为3，再由习题1.1中第22题的结果知（ + ）（R3）=R3（此时取V2=R3）. 46. 解：因为 EMBED Equation.3 ［( )］= ( ［( )］) = =（0，0， ） 所以 EMBED Equation.3 的像子空间为 R( EMBED Equation.3 ) 核子空间为 N( EMBED Equation.3 ) 因此，dimR( EMBED Equation.3 )=1，其一组基为（0，0，1）；dim N( EMBED Equation.3 )=2，其一组基为（0，1，0），（0，0，1）. 47. 证 ：（1）由 的定义容易验证满足可加性和齐次性，所以它为线性变换.又因 EMBED Equation.3 [( )]= [ ， … 推知 EMBED Equation.3 [ ，即 EMBED Equation.3 （零变换）. （2）若 [ ， 则 = =…= =0即 为由一切形如（0，0，…， ）的向量构成的子空间，它是一维子空间，则（0，…，0，1）是它的基. 又由维数关系 dim (V)+dim EMBED Equation.3 (θ)=n 便得 (V) 的维数等于 n-1 . 48. 证 ：（1）必要性.若 (V)= (V)，对任 ，则 （V）= (V) ，故存在 ，使 EMBED Equation.3 ， EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = ，由 的任意性有 = . 同理可证 = . 充分性.若 = , = , 对任 EMBED Equation.3 (V) ， EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = ( EMBED Equation.3 ) (V) , 故 (V) (V) ； 同理可证 (V) (V). (2)必要性.若 ，对任 ,作 EMBED Equation.3 ，因 （ EMBED Equation.3 ）= EMBED Equation.3 - EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 - EMBED Equation.3 = ，所以， EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED PBrush = ，则 （ EMBED Equation.3 ）= ，故 EMBED Equation.3 ，由 的任意性有 = . 同理，通过作 - ， 可得 = . 充分性.若 = , = , 对任 ，由 EMBED Equation.3 （ EMBED Equation.3 ）= （ ）= ，故 ；同理，由任 ，可得 . PAGE 24 _1126124471.unknown _1149171165.unknown _1149246972.unknown _1149357972.unknown _1150893710.unknown _1150899486.unknown _1151695634.unknown _1151763204.unknown _1152131004.unknown _1152176353.unknown _1154243895.unknown _1152176421.unknown _1152176162.unknown _1152112534.unknown _1152130913.unknown _1152130958.unknown _1152128624.unknown _1151764097.unknown _1151695877.unknown _1151763180.unknown _1151695841.unknown _1150900023.unknown _1150900660.unknown _1150900787.unknown _1150900343.unknown _1150900579.unknown _1150899560.unknown _1150897820.unknown _1150898205.unknown _1150898524.unknown _1150897854.unknown _1150896324.unknown _1150896454.unknown _1150894756.unknown _1150895640.unknown _1150895988.unknown _1150895081.unknown _1150894488.unknown _1150838292.unknown _1150869673.unknown _1150869816.unknown _1150869984.unknown _1150869712.unknown _1150838620.unknown _1150838848.unknown _1150838369.unknown _1149362519.unknown _1150834784.unknown _1150837935.unknown _1149362845.unknown _1149363038.unknown _1149365876.unknown _1149362911.unknown _1149362795.unknown _1149359991.unknown _1149361453.unknown _1149361585.unknown _1149361119.unknown _1149360850.unknown _1149360948.unknown _1149358402.unknown _1149358968.unknown _1149358353.unknown _1149358202.unknown _1149358332.unknown _1149358036.unknown _1149341516.unknown _1149344527.unknown _1149348865.unknown _1149357536.unknown _1149357939.unknown _1149357512.unknown _1149346306.unknown _1149346500.unknown _1149346608.unknown _1149348545.unknown _1149346396.unknown _1149345163.unknown _1149345911.unknown _1149344888.unknown _1149341730.unknown _1149342353.unknown _1149344433.unknown _1149344364.unknown _1149344413.unknown _1149342445.unknown _1149342236.unknown _1149341602.unknown _1149341619.unknown _1149341574.unknown _1149339380.unknown _1149341097.unknown _1149341302.unknown _1149341355.unknown _1149341196.unknown _1149340342.unknown _1149340363.unknown _1149339633.unknown _1149247960.unknown _1149248061.unknown _1149248219.unknown _1149247989.unknown _1149247108.unknown _1149247918.unknown _1149247648.unknown _1149247014.unknown _1149230193.unknown _1149234990.unknown _1149245099.unknown _1149245799.unknown _1149245874.unknown _1149246117.unknown _1149245835.unknown _1149245456.unknown _1149245518.unknown _1149245541.unknown _1149245309.unknown _1149235271.unknown _1149235327.unknown _1149235408.unknown _1149235446.unknown _1149235619.unknown _1149235351.unknown _1149235306.unknown _1149235116.unknown _1149235132.unknown _1149235078.unknown _1149232774.unknown _1149234072.unknown _1149234086.unknown _1149234974.unknown _1149234081.unknown _1149233919.unknown _1149233930.unknown _1149232783.unknown _1149233904.unknown _1149232269.unknown _1149232554.unknown _1149232765.unknown _1149232439.unknown _1149230263.unknown _1149230476.unknown _1149230200.unknown _1149183098.unknown _1149229464.unknown _1149230077.unknown _1149230186.unknown _1149230003.unknown _1149229574.unknown 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