天文算法第32章 椭圆运动

第32章 椭圆运动 [许剑伟 翻译于家里 2008-04-03]   本章将描术椭圆轨道的地心坐标计算方法。第一种方法，从地球或其它主行星的日心黄道坐标取得它们的地心黄经及地心黄纬；第二种方法，比较适合小行星及周期慧星，直接获得赤经赤纬；本章使用了太阳的地心直角坐标(见第25章)。   第一种方法：   我们描述给定某一时刻的主行星的视赤经及赤纬的计算方法。   对于给定的时刻，通过附表II中的相应的序列，使用31章描述的方法得到行星的日心坐标L、B、R以及地球的日心坐标Lo、Bo、Ro。此时不要把Date黄道分点坐标转到FK5黄道坐标。   然后有：     x = R cos(B) cos(L) - Ro cos(Bo) cos(Lo)  ……32.1式     y = R cos(B) sin(L) - Ro cos(Bo) sin(Lo)     z = R sin(B) - Ro sin(Bo)   行星的地心黄经λ及黄纬β就是：     tan(λ)=y/x           ……32.2式     tan(β)=z/sqrt(x2+y2)   要处理好λ的象限。使用两参数函数ATN2，即C语言中的atan2()，λ=ATN2(y,x)计算λ，或者使用第1章的关于"正确象限"中的方法。   然而，用这种方法得到的λ和β是地心Date黄道分点坐标的。如果是高精度计算，必需计算因光速有限引起的视位置偏移，这个偏移包括：   (a)光行时间引起的偏移：当我们看到行星的光线时，该光线已经离开行星一段时间了。   (b)地球运动引起的偏移：地球运动速度与光速矢量合成引起的视位置偏移，就象恒星的周年光行差。   以上两项合并，常称为行星光行差。然而，我们宁可保留"光行差"一词给(b)，因为(b)的效果与恒星光行差是一样的。此外，有些应用中我们无须考虑(b)。假设我们要计算行星引起的恒星星蚀，光行时就需要考虑，而此时如果忽略了恒星的周年光行差，那么行星的(b)的偏移效果也应忽略。类似的，在这种特殊情况下，章动对恒星及行星的影响也可同时忽略。理由是明显的：周年光行差及章动对二者的影响是相同的，并不改变他们的相对位置。   关于(a)及(b)的具体计算：   (a)光行时引起的位置偏移效果：在某时刻t，我们看到的星体是它在t-τ时的位置，因此我们获得的方向是t时刻地球位置到t-τ时刻行星位置连线方向，式中τ是光线从行星到达地球所需的时间。这个时间可由下式计算：     τ = 0.0057755183*Δ日   式中Δ是行星到地球的距离，单位是天文单位。     Δ = sqrt(x*x + y*y + z*z)   (b)是恒星光行差引起的偏移效果。也就是式22.2式，式中θ等于Lo±180°.   然而，以上两种效果可以同时计算。对于一阶精度，我们站在地心看到星体运动，地球则是静止的，这样t时刻我们总是看么t-τ时刻的星体位置，换句话说，t-τ时行星的真位置方向就是t时刻的视位置，t-τ时的行星位置与地心连线就是视位置方向，注意,由于地球静止，t时与t-τ时刻地心位置不变,都是0。利用伽利略变换再扩展：不管变换到那个坐标系，t-τ时的地心位置与t-τ时刻的行星位置的连线方向就是t时刻的地心视位置方向。   当然，光行时τ的值无法马上取得，因为地球到行星的距离Δ未知。但是，这个距离可以通过迭代法取得。即先令Δ=0(即τ=0)，然后使用前几章的方法算出距离。   要把行星的地心黄经λ及黄纬β从把动力学地心Date黄道分点坐标转到FK5黄道分点坐标中，如果需要高精度的计算，应使用31.3式进行转换，注意把L换为λ，B换为β。   为了完成行星视位置计算，还应进行章动计算。使用第21章的方法计算得到黄经章动ΔΨ及交角章动Δε，在地心黄经中加入ΔΨ，在黄赤交角中加入Δε。接下来就可以使用12.3及12.4式推导出地心视赤经及视赤纬。   Ψ是行星的距角，即地心看行星与太阳的角距离，用下式计算：     cos(Ψ)=cos(β)*cos(λ-λo)   式中λ、β是行星的视黄经及黄纬，λo是太阳的视黄经。太阳的黄纬总时小于1.2角秒，要以忽略。 ------------------------- 例32.a ——计算金星的视位置。时间1992年12月20日12日0日（TD = DE 2448976.5）   解：   因为行星到地球距离未知，所以光行时未知。不过我们可先计算此时行星的真几何位置。我们得到如下日心坐标（详见例31.a）：     L = 26°.11428  B = -2°.62070  R = 0.724603   用同样的方法计算地球的坐标：     Lo = 88°.35704  Bo = +0°.00014  Ro = 0.983824    (A)   因此，由32.1式、32.4式及32.3式得：     x = +0.621746  Δ = 0.910845     y = -0.664810  τ = 0.0052606日     z = -0.033134   Δ是1992年12月20.0日金星到地球的真距离。我们现在重新计算t-τ时刻金星的日心坐标，即 JDE = 2448976.5 - 0.0052606。   我们得到：     L = 26°.10588，  B = -2°.62102，  R = 0.724604    (B)   联合(A)的Lo、Bo、Ro值，再次计算x、y、z等的值：     x = +0.621794     y = -0.664905  (C)     z = -0.033138   译者注：这组x、y、z就是t-τ时的行星位置，并且是相对于地球t时刻位置描述行体位置的，而不是相对于地球t-τ而言的，所以不含周年光行差，具体可自行作图理解。   得到t-τ时刻的位置后，可重新计算一下距离用光行时τ：      Δ = 0.910947      τ = 0.0052612日   如果再次重复上述过程，在以上的计算控制的有效位数精度下，计算结果已不再变化。   因此，最后得到1992年12月20日0时金星的光行时是τ = 0.0052612日，视距离是Δ = 0.910947。这个距离是星体发出的光被我们看到时，光线传播的距离。   让我们计算金星的地心黄经及黄纬。把(C)中的x、y、z代入32.2式，得到：     λ = 313°.08102     β = -2°.08474   式中已修正了光行时，但未修正周年光行差。   由第22章，我们得到：     e = 0.016711573    π = 102°.88675   再由22.2式，θ=180°+Lo，算得：     Δλ = -14".868 = -0°.00413     Δβ =  -0".531 = -0°.00015   这样，视黄经及黄纬（未进行章动修正）是：     λ = 313°.08102 - 0°.00413 = 313°.07689     β =  -2°.08474 - 0°.00015 =  -2°.08489 *********   此外，我们也可以一次性修正光行时及光行差。当然，这时我们就需要计算t-τ时刻的地球坐标：     Lo = 88°.35168， Bo = +0°.00014，  Ro = 0.983825   现在联合(B)中的行星坐标，通过32.1及32.2式得到：     x = +0.621702     λ = 313°.07687     y = -0.664903     β =  -2°.08489     z = -0.033138   最后得到的经纬度非常接近前面的计算结果了。 *********   转到FK5坐标系统，可利用31.3式：     Δλ = -0".09027 = -0°.00003     Δβ = +0".05535 = +0°.00001   所以改正后的值是：     λ = 313°.07689 - 0°.00003 = 313°.07686     β =  -2°.08489 + 0°.00001 =  -2°.08488   用第21章的公式计算章动：     ΔΨ = +16".749， Δε =  -1".933，ε = 23°.439669   λ加入黄经章动后：     λ = 313°.07686 + 16".749 = 313°.08151   最后，利用12.3式用12.4式，得视赤经及视赤纬：     α = 316°.17291 = 21h.078194 = 21h 04m 41s.50     δ = -18°.88802 = -18°53'16".9   使用VSOP87准确计算的结果是：     α = 21h 04 m 41s.454     δ = 18°53'16".84，      R = 0.91084596。 ------------------------------------- 第二种方法：   这里，我们使用轨道要素，涉及J2000.0黄道分点球面坐标、太阳的J2000.0黄道分点地心直角坐标X、Y、Z。这些直角坐标可取自天文年历，或者使用第25章的方法计算。   在这个方法中，不计算星体（小行星或周期慧星）的日心经度及纬度。相反，我们计算它们的日心直角分点坐标x、y、z，之后使用简单的公式推导出赤经、赤纬及其它量。   已下的轨道要素假设是已知的。比如，它们可以从IAU组织取得。     a = 半长轴     e = 离心率     i = 轨道倾角    ω = 近点参数    Ω = 升交点经度     n = 平运动，度/日   式中i、ω、Ω是标准分点起算的。   如果n未知，可以使用下式计算：a = q/(1-e)，    n = 0.9856076686/sqrt(a^3)  ……32.6式   式中q是近点的距离，单位是AU。第二式中的数值是高斯引力常数0.01720209895由弧度转为度的值。   严格的说，对于给定的时刻（即历元），以上所有的要素是有效的。在行星摄动的影响下，这些要素随时间变化（详见本章后面的部分，关于密切椭圆要素）。除非高精度要求，在几个星期甚至几个月内，这些要素可以认为是不变的。例如，在整个慧星的可见时期。   除了上面提到的轨道要素，还有该时刻(历元)的平近点角Mo（或者通过近点的时间T）。这样就可以计算任意时刻的平近点角M；平近点角每日增加n度，在T时刻n=0。   当给出了小行星或周期慧的轨道要素，可用以下方法计算给定日期的地心坐标。首先，我们须计算三个量a、b、c及角度A、B、C，这是给定轨道相关的常数。   设ε是黄赤交角。如果轨道要素涉及J2000.0标准分点坐标，则ε2000=23°26'21".448，由此算得：     sin(ε) = 0.39777716     cos(ε) = 0.91748206   接下来计算：     F = cos(Ω)     G = sin(Ω)*cos(ε)     H = sin(Ω)*cos(ε)     P = -sin(Ω)*cos(i)     Q =  cos(Ω)*cos(i)*cos(ε) - sin(i)*sin(ε)   ……32.7式     R =  cos(Ω)*cos(i)*sin(ε) + sin(i)*cos(ε)   作为验证，我们可以作个关联计算：F2 + G2 + H2 = 1,  P2 + Q2 + R2 =1。当然，这个计算不是程序所必须的。   接下来，a、b、c、A、B、C的值就可得到：     tan(A) = F/P，       a = sqrt(F2+P2)     tan(B) = G/Q ，      b = sqrt(G2+Q2)    ……32.8式     tan(C) = H/R，       c = sqrt(H2+R2)   a、b、c值是正数值，角A、B、C则应置于正确的象限，按如下规则计算：     sin(A)与cos(Ω)同号     sin(B)、sin(C)与sin(Ω)同号   不过我们可以使用二参数的反正切函数，在程序设计语言中有这个函数：A = ATN2(F,P)   注意：上面的这个a不是指轨道半长径。   对每个需要计算的位置，先算出星体的平近点角M，偏近点角E(见第29章)，真近点角v（见29.1式）及距离r（见29.2式）。那么，该星体的日心直角赤道坐标是：     x = r*a*sin( A + ω + v )    ……32.9     y = r*b*sin( B + ω + v )     z = r*c*sin( C + ω + v )   当我们需要星体的多个位置时，这组公式是完备的。辅助量a、b、c、A、B、C仅集合了i、Ω、ε，是整个星历的常数。对于每个位置，仅v、r需要计算。然而，应注意，仅在无摄动时i、Ω、ε才是常数。   对同一时刻，计算其日心直角坐标X、Y、Z（见第25章），或从天文年历中取得。那么，行星或慧星的地心赤经及赤纬按如下计算出：     tan(α) = (Y+y)/(X+x)     Δ2 = (X+x)2 + (Y+y)2 + (Z+z)2    ……32.10式(组)     sin(δ) = (Z+z)/Δ   式中Δ是地球到这个位置的距离。α的正确象限根据sin(α)，它与(Y+y)同号，不过，和前面的一样，可使用二参数的反正切函数计算：α=ATN2(Y+y,X+x)。   如果α是负数，请加上360度。然后把α除以15，把角度转为时角。   星体的赤道坐标α、δ涉及的坐标，它与太阳的直角坐标X、Y、Z及轨道要素使用同样的标准分点，只不过使用上述方法得到的星体位置坐标α、δ是地心系统坐标。和本章的“第一种方法”一样，光行时效果是必须计算的，可按如下方法执行计算。   对于给定的时间t，按以上描述的方法计算星体到地球之间的距离Δ，用32.3式计算光行时τ。重新计算t-τ时刻的M、E、v、x、y、z，但保持太阳的坐标X、Y、Z不变。x、y、z代入32.10式，即得α、δ。   当只计算光行时修正时，也就是说不修正光行差及章动，那么得到的α、δ称作“天文测量赤经、赤纬”。行星或慧星的“天文测量位置”是相对于星库中的恒星平位置的而言的方向（已修正了自行及周年视差）。当然α、δ是地心坐标。   星体距角Ψ(星体-地-日)，及相位角β(日-星体-地)，由下式计算：     cos(Ψ) = ((X+x)X+(Y+y)Y+(Z+z)Z)/(RΔ) = (R2 + Δ2 - r2)/(2RΔ) ……32.11式                 cos(β)=((X+x)x+(Y+y)y+(Z+z)z)/(rΔ)   = (r2 + Δ2 - R2)/(2rΔ) ……32.12式   式中 R = sqrt(X2+Y2+Z2) = 日地距离。角度Ψ、β都在0到180度之间。当然，不要混淆上式的R与32.1式中的R及32.7式中的R ---------------------   星体的星等计算如下。对于慧星，总星等一般由下式计算：     m = g + 5*log(Δ) + k*log(r)   ……32.13式   式中g是视星等，k是常数（不同慧星k的值不一样），通常k的值在5到15之间。   对于小行星，IAU的Comission20给出了新的星等系统（New Delhi,November 1985）。小星行的星等的估计公式是：   星等 = H + 5*log(r*Δ) - 2.5*log[(1-G)*Φ1 + G*Φ2]……32.14式   式中：     Φ1 = exp[-3.33*tan(β/2)^0.63]     Φ2 = exp[-1.87*tan(β/2)^1.22]   其中β是相位角，'exp'是指数函数。当0°≤β≤120°时(32.14)式才是有效的。H和G是星等参数（每个小行星的H和G是不相同的）。H是绝对可视星等，G是“斜率参数”。以下是较亮的小行星及一些不常用星体的H、G值： H G H G 1 Ceres 3.34 0.12 15 Eunomia 5.28 0.23 2 Pallas 4.13 0.11 18 Melpomene 6.51 0.25 3 Juno 5.33 0.32 20 Massalia 6.50 0.25 4 Vesta 3.20 0.32 433 Eros 11.16 0.46 5 Astraea 6.85 0.15 1566 Icarus 16.4 0.15 6 Hebe 5.71 0.24 1620 Geographos 15.60 0.15 7 Iris 5.51 0.15 1862 Apollo 16.25 0.09 8 Flora 6.49 0.28 2060 Chiron 6.0 0.15 9 Metis 6.28 0.17 2062 Aten 16.80 0.15   公式(32.13)和(32.14)中，到太阳的距离r及到地球距离Δ用天文单位，并且式中所有的对数计算均以10为底。 -----------------------   例32.b： ——计算周期慧星Encke的地心坐标，时间：1990年10月6.0 TD，使用以下轨道要素（见例23.b）：     T = 1990年10月28.54502 TD     a = 2.2091404 AU     e = 0.8502196   J2000.0黄道分点坐标下的：     i = 11°.94524     Ω=334°.75006     ω=186°.23352 解：   首先计算轨道的辅助常数：     F = +0.90445559      P = +0.41733084     G = -0.39136830      Q = +0.72952209     H = -0.16967893      R = +0.54187867   因此，利用32.8式得：     A =  65°.230615       a = 0.99609485     B = 331°.787680       b = 0,82787174     C = 342°.613052       c = 0.56782342   轨道半长轴a=2.2091404已知，则由32.6式的第2式算出 n =0.300171252度/日。   对于给定的时间(1990年10月6.0)，从近日点起算，时间是-22.54502日。因此，平近点角是：     M = -22.54502*0.300171252 = -6°.767367   那么，我们得到：     E = -34°.026714      x = +0.2508066     v = -94°.163310      y = +0.4849175     r =   0.6524867      z = +0.3573373   同时刻，太阳的J2000.0标准分点地心直角赤道坐标使用VSOP87行星理论计算结果是：     X = -0.9756732，  Y = -0.2003254，  Z = -0.0868566   从而得：Δ = 0.8243689，光行时 τ = 0.00476日。   重新计算t-τ时刻慧星的位置，即1990年10月5.99524时刻。我们得到：     M =  -6°.768796     E = -34°.031552      x = +0.2509310     v = -94°.171933      y = +0.4849477     r =   0.6525755      z = +0.3573712     及：     X+x = -0.7247422     Y+y = +0.2846223     Z+z = +0.2705146      Δ =  0.8242811   由此，我们计算出天文赤经、天文赤纬及距角： α2000 = 158°.558965 = 10h 34m 14s.2 δ2000 = +19°.158496 = +19°.09'31"     Ψ=  40°.51 ------------------------------------- 密切轨道要素注意点   “平”轨道要素（如第30章给出的主行星的轨道要素），指“平”参考轨道的要素。它们是缓慢变化的轨道。   然而，对于周期慧星及数以千计的小行星，没有平轨道要素可以计算。相反，轨道要素的计算是用给定的历元时刻的“瞬时”轨道进行计算，这种“瞬时”轨道也叫作“密切轨道要素”（或叫“勿切轨道要素”）。并且，有效的“瞬间”就是密切历元。   ［某一历元时刻的密切要素是指无摄动的椭圆轨道要素，这个椭圆轨道是密切轨道，是突然不受摄动的轨道，此刻不受摄动的瞬时位置和速度等于此刻它受到摄动情况下的瞬时位置和速度。因此，密切要素包含了其它行星摄动影响（中国话：受其它星体摄动,密切要素不断改变），所以，密切要素与平要素不同，它是周期变化的。］   平要素变化缓慢（例如：火星平轨道离心率在1900年是0.09331，在2000年是0.09340），密切要素变化则比较快，不过不会造成平要素改变。   作为一个例子，让我们给出下列Ceres小行星的两个历元的密切要素(仅200天)。这些要素取自Leningrad小行年历。i、ω、Ω涉及1950.0标准分点坐标。 历元(TD)： 1980-12-27.0 1981-7-15.0 半长轴(AU)： a = 2.7663951 a = 2.7671238 离心率： e = 0.0772343 e = 0.0774937 倾角(度)： i = 10.59878 i = 10.59815 近点参数(度)： ω=73.89555 ω= 73.90189 升交点黄经(度)： Ω=80.10259 Ω= 80.09660 平近点角(度)： M = 319.23914 M = 2.08133 平运动(度/天)： n = 0.21420655 n = 0.21412194   从1980年12月27日到1987年7月15日，“瞬时轨道”的半长轴增加了0.00073AU；然而，我们不能由此推断说在这200天里，Ceres小行星到太阳的平距离增加了109000千米。   在1980年12月27日，Ceres的瞬时周期是1680.62日（用360度除以n得到）；200天后，周期增加为1681.28日。   海王星供了一个很好的例证。目前，它的平轨道离心率是0.0090，而密切轨道的离心率：在1964年11月达到了最大值0.0124，在1970年10月达到一个最小值0.0039，另一个最大值0.0122则在1976年12月，等等。这些快速的变化并不令人吃惊的：海王星的密切轨道涉及了太阳的位置和速度，太阳本身围绕太阳系中心振动（主要是大行星木星、土星的运动引起的），因此如果以太阳系中心（不是太阳）计算海王星的轨道要素，那么轨道要素的变化就会小很多。   周期慧星及小行星的精确星历可以使用数值积分方法计算取得，这时，密切轨道要素则可为这种计算供初始值。   密切要素可以用于计算密切历元的实际位置及运动，也可以作为该历元前后短时期内的良好近似轨道要素。然而，我们不能在无摄轨道中做远期计算。   计算星历时，使用无摄动的密切轨道，将产生误差，为了使我们对这种误差积累有个认识，我们使用以上提到的Ceres的1981年7月15日的密切要素。对于Ceres的日心黄经，使用这里的“无摄”方法计算，再与Duncombe的精确结果比较，我们发现，在该历元的280天后，误差小于9"，在最初的40天，误差小于40"，180天后达到最大值8"，但再往后几个月，误差达到一个很大的负值： 1981.7.15 以后的天数 0 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 Δλ(角秒) 0 +1 +3 +5 +7 +7 +3 -8 -26 -52 -86   Δλ更远期的变化在下图中显示。图中的波动曲线描述了误差随时间变化的关系。所以，在这一特殊情况下，误差不是持增长的（而波动增长）。我们得到如下更远期的Ceres的黄经误差值：     1982年1月      +8"     1984年3月中旬  -708"     1986年5月中旬  -864"     1988年7月      -825"     1990年8月      +1754"   此图是：用密切密要素，并且忽略摄动，计算出的黄经的误差Δλ随时间变化的曲线。   Δλ的单位是：角秒   横坐标：1981年7月15.0起算的日数   数据点的间隔40天。 ------------------------------------- 关于中心方程   如果离心率比较小，解第29章的开普勒方程可以使用29.1式，那么，关于C（即v-M）的中心方程，可以使用以下关于e和M的多项式直接计算： C = (2e - e3/4+ 5/96*e5) sinM + (5/4*e2 - 11/24*e4) sin 2M      + (13/12*e3 - 43/64*e5) sin 3M + (e4*103/96) sin 4M + (1097/960*e5) sin 5M   结果表达为弧度单位，乘上180/π或57.29577951后可转为度单位。此公式推导自一个级数展开式，在e的5次方之后截断。因此该式适合于小离心率。如果离心率很小，那么e的4次方及5次方项可以忽略。   最大误差为： e的值 算到e4（"） 忽略e4和e5(") 0.03 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.0003 0.007 0.45 5 29 111 331 0.24 1.8 30 152 483 1183 2456   还有一个距离的展开式，保留到离心率e的5次方项： r/a = 1 + e2/2        - (e - 3/8*e3 + 5/192*e5) cos M       - (e2/2 -e4/3) cos 2M       - (3/8*e3 - 45/128*e5) cos 3M       - (e4/3) cos 4M       - (125/384*e5)cos 5M ----------------------------------------- 椭圆轨道上星体的速度   星体在一个无摄动的椭圆轨道上，瞬时移动的速度（千米/秒）是：V = 42.1219 * sqrt ( 1/r - 1/(2a) )   式中r是星体到太阳的距，a是轨道的半长轴，二者的单位是天文单位。   如果e是轨道的离心率，那么在近日点及远日点的速度（千米/秒）分别是：   Vp = (29.7847/√a) √(1+e)/(1-e)   Va = (29.7847/√a) √(1-e)/(1+e) 例32.c    周期慧星Halley，1986回来的。我们有：a = 17.9400782，e = 0.96727426，以上密切要素在历元1986年2月19.0TD时刻严格有效。   解：   对于这个轨道，近日点速度和远日点速度分别：   Vp = 54.52千米/秒，  Va = 0.91千米/秒   在与太阳距离r=1AU时，该慧星的速度是V = 41.53千米/秒。 ----------------------------------------- 椭圆轨道的长度(周长)   有个精确的椭圆面积公式（面积=πab），却没有一个有限项的普通函数精确表达椭圆的周长L。在下面式中，e是椭圆的离心率，a是半长轴，b是半短轴，b=a*sqrt(1-e*e)。   1、Ramanujan在1914年给出了一个近似公式：L = π( 3(a+b) - sqrt( (a+3b)*(3a+b) ) )   当a=b时（正圆时），误差为零。e=1时（无限偏的椭圆），误差为0.4155%.   2、另一个有趣的计算椭圆周长的方法：设A、G和H分别是半长轴a和半短轴b的算术平均、几何平均、调和平均，即：     A = (a+b)/2     G = sqrt(a*b)     H = 2*a*b/(a+b)   那么有：L = π( 21A - 2G - 3H ) / 8   当e<0.88时误差<0.001%，当e<0.95时误差<0.01%。但是，当e=0.997时误差1%，当e=1时误差3%.   3、一个级数展开公式：下式中 Pn = [1·3·5…(n-1)/(2·4·6…n)]2   L = 2πa(1 - P2e2/1 - P4e4/3 - P6e6/5 - …)   括号内的表达式的值是：     e = 0.05时，0.99937     e = 0.10时，0.99750     e = 1.00时，0.63662 = 2/π   4、收敛更快的公式，下式中 m = (a-b)/(a+b)   L = 2πa/(1+m)(1 + P2e2/12 + P4e4/32 + P6e6/52 + P8e8/72 + …)   例32.d：周期慧Halley。使用1986年回归的要素（见例32.c），我们得到轨道周长是77.07AU = 11530百万千米。