考研数学历年真题赛尔水木0505数2

2005年全国硕士研究生入学统一考试理工 数学二试题详解及评析 1、 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） （1） 设 ，则 = ______ 【答】 . 【详解】 = = （2） 曲线 的斜渐近线方程为______. 【答】 【详解】 因为a= ， 于是所求斜渐近线方程为 （3） ______ 【答】 . 【详解】 令 ，则 EMBED Equation.3 = （4）微分方程 满足 的解为______. 【答】 【详解】 原方程等价为 ， 于是通解为 = ， 由 得C=0，故所求解为 （5）当 时， 与 是等价无穷小，则k= ______ 【答】 . 【详解】 = = EMBED Equation.3 ， 得 （6）设 均为3维列向量，记矩阵 ， ， 如果 ，那么 . 【答】 2 【详解】 由题设，有 = ， 于是有 二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （7）设函数 ，则f(x)在 内 (A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点. (C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. 【 】 【答】 应选（C） 【详解】 先求出f(x)的表达式. 因此， 由 的表达式及它的函数图形可知， 在 处不可导（图形是尖点），其余点 均可导，因此选（C）. （8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数， 表示“M的充分必要条件是N”，则必有 (A) F(x)是偶函数 f(x)是奇函数. （B） F(x)是奇函数 f(x)是偶函数. (C) F(x)是周期函数 f(x)是周期函数. (D) F(x)是单调函数 f(x)是单调函数. 【 】 【答】 应选（A） 【详解】 已知， 若 为奇函数 EMBED Equation.DSMT4 为偶函数 EMBED Equation.DSMT4 的全体原函数为偶函数. 又若 为偶函数，则 为奇函数，因此选（A）. （9）设函数y=y(x)由参数方程 确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x轴交点的横坐标是 (A) . (B) . (C) . (D) . 【 】 【答】 应选（B） 【详解】 当x=3时，有 ，得 （舍去，此时y无意义），于是 ， 可见过点x=3(此时y=ln2)的法线方程为： ， 令y=0, 得其与x轴交点的横坐标为： , 故应(A). （10）设区域 ，f(x)为D上的正值连续函数，a,b为常数，则 (A) . (B) . (C) . (D) . 【 】 【答】 应选（D） 【详解】 由轮换对称性，有 EMBED Equation.3 = = 应选(D). （11）设函数 , 其中函数 具有二阶导数， 具有一阶导数，则必有 (A) . （B） . (C) . (D) . 【 】 【答】 应选（B） 【详解】 ， ， ， ， ， 可见有 ，应选(B). （12）设函数 则 (A) x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点. (C) x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. (D) x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. 【 】 【答】 应选（D） 【详解】 由于函数f(x)在x=0,x=1点处无定义，因此是间断点. 且 ，所以x=0为第二类间断点； ， ， 所以x=1为第一类间断点，故应选(D). （13）设 是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 ，则 ， 线性无关的充分必要条件是 (A) . (B) . (C) . (D) . 【 】 【答】 应选（B） 【详解】 按特征值特征向量定义，有 ， 线性无关 EMBED Equation.3 ， 恒为0 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 恒为0 由于不同特征值的特征向量线性无关，所以 线性无关. 于是 恒为0 而齐次方程组 只有零解 所以应选（B）. （14）设A为n（ ）阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B, 分别为A,B的伴随矩阵，则 (A) 交换 的第1列与第2列得 . (B) 交换 的第1行与第2行得 . (C) 交换 的第1列与第2列得 . (D) 交换 的第1行与第2行得 . 【 】 【答】 应选（C） 【详解】 为书写方便，不妨考查A为3阶矩阵，因为A做初等行变换得到B，所以用初等矩阵左乘A得到B，按已知有 于是 从而 . 又因 所以选（C） 三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） （15）（本题满分11分） 设函数f(x)连续，且 ，求极限 【详解】 由于 , 于是 = = = = （16）（本题满分11分） 如图， 和 分别是 和 的图象，过点(0,1)的曲线 是一单调增函数的图象. 过 上任一点M(x,y)分别作垂直于x轴和y轴的直线 和 . 记 与 所围图形的面积为 ； 与 所围图形的面积为 如果总有 ，求曲线 的方程 【详解】 （1）先求 与 的表达式. 由定积分的几何意义知 ， ， （2）由题设， ＝ 即 ， 其中 ，于是 （3）解方程①: 在①中令y = 1，等式自然成立. 两边对①求导得 ， 故所求的函数关系为： （17）（本题满分11分） 如图，曲线C的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线 与 分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4). 设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分 【详解】 按题意，直接可知 EMBED Equation.3 （拐点必要条件）.从图中可求出 在点(0,0)与(3,2)处的切线分别为 于是 ， 现在分部积分法计算积分值： 原式 （18）（本题满分12分） 用变量代换 化简微分方程 ，并求其满足 的特解. 【详解】 建立y对t 的导数与y对x 的导数之间的关系. ， ， 代入原方程，得 . 解此微分方程，得 回到x为自变量得 将初始条件 代入，有 . 故满足条件的特解为 （19）（本题满分12分） 已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1. 证明： （I）存在 使得 ； （II）存在两个不同的点 ，使得 【详解】 （I） 即证 ，则F(x)在[0，1]上连续， 且F(0)=-1<0, F(1)=1>0,于是由介值定理知，存在存在 使得 ， 即 . （II） 在 和 上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理， 知存在两个不同的点 ， 使得 ， 于是 （20）（本题满分10分） 已知函数z=f(x,y) 的全微分 ，并且f(1,1,)=2. 求f(x,y)在椭圆域 上的最大值和最小值. .【详解】 （1）先求f (x , y). 由 由 （2）求f (x , y)在D内的驻点及相应函数值. 解 得 (x , y) = (0 , 0). 唯一驻点(0 , 0) , f (0 , 0) = 2. (3) 求 f (x , y) 在D的边界 上的最大值和最小值. 将 EMBED Equation.DSMT4 得 （4）比较函数值. Z = f (x , y) 在D上的最大值是 最小值是 . 解 （21）（本题满分9分） 计算二重积分 ，其中 . 【详解】 在D中， 用圆弧 将D分成两部分， ， 记 ， ， 用分块积分法得 ＝ EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = + = （22）（本题满分9分） 确定常数a,使向量组 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 可由向量组 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 线性表示，但向量组 不能由向量组 线性表示. 【详解】 因为 可由向量组 线性表示，故三个方程组 均有解.对增广矩阵作初等行变换，有 EMBED Equation.3 ， 当a=-2时， EMBED Equation.3 , 显然 不能由 线性表示，因此 ； 当a=4时， EMBED Equation.3 ， 显然然 均不能由 线性表示，因此 . 而当 且 时，秩 ，此时向量组 可由向量组 线性表示. 又 ， 由题设向量组 不能由向量组 线性表示，必有 或 ，即a=1或 . 综上所述，满足题设条件的a只能是：a=1. （23）（本题满分9分） 已知3阶矩阵 的第一行是 不全为零，矩阵 （ 为常数），且 求线性方程组 的通解. 【详解1】 由 知 又 ， （1） 若 必有 此时 方程组 的通解是 ，其中 为任意实数. （2）若 则 的通解方程是 且满足 如果 ，方程组的通解是 其中 ， 为任意实数; 如果 ，方程组的通解是 其中 ， 为任意实数; 【详解2】 （1）如果 则秩 由 知 因此， 秩 所以 的通解是 其中 ， 为任意实数; （2）如果 则秩 那么，秩 或2. 若 则 的通解是 ，其中 为任意实数. 若 对 ，设 ， 则方程组的通解是 _1170655032.unknown _1170742294.unknown _1192019394.unknown _1192044556.unknown _1192044898.unknown _1192045119.unknown _1192298317.unknown _1192303712.unknown _1192304027.unknown _1192304266.unknown _1192304689.unknown _1192304775.unknown _1192305165.unknown _1192304774.unknown _1192304529.unknown _1192304675.unknown _1192304379.unknown _1192304133.unknown _1192304265.unknown _1192304075.unknown _1192303927.unknown _1192303928.unknown _1192303850.unknown _1192302185.unknown _1192303462.unknown _1192303534.unknown _1192302863.unknown _1192301458.unknown _1192302041.unknown _1192301387.unknown _1192045222.unknown _1192294774.unknown _1192298214.unknown _1192298242.unknown _1192298113.unknown _1192294973.unknown _1192295050.unknown _1192294846.unknown _1192045390.unknown _1192045517.unknown _1192045729.unknown _1192045516.unknown _1192045252.unknown _1192045151.unknown _1192045160.unknown _1192045145.unknown _1192045146.unknown _1192045127.unknown _1192044986.unknown _1192045064.unknown _1192045045.unknown _1192044899.unknown _1192044945.unknown _1192044657.unknown _1192044779.unknown _1192044897.unknown _1192044764.unknown _1192044697.unknown _1192044742.unknown _1192044611.unknown _1192044644.unknown _1192044580.unknown _1192021137.unknown _1192041754.unknown _1192041908.unknown _1192044540.unknown _1192041861.unknown _1192041599.unknown _1192041667.unknown _1192041566.unknown _1192019779.unknown _1192020895.unknown _1192020908.unknown _1192019852.unknown _1192020877.unknown _1192020894.unknown _1192020695.unknown _1192019830.unknown _1192019716.unknown _1192019739.unknown _1192019705.unknown _1171624653.unknown _1171624880.unknown _1192019201.unknown _1192019371.unknown _1192019393.unknown _1192019296.unknown _1192018994.unknown _1171624878.unknown _1171624879.unknown _1171624667.unknown _1170744621.unknown _1170744995.unknown _1170745146.unknown _1170745727.unknown _1170745768.unknown _1170745854.unknown _1170745749.unknown _1170745585.unknown _1170745074.unknown _1170745123.unknown _1170745059.unknown _1170744813.unknown _1170744972.unknown _1170744725.unknown _1170744774.unknown _1170744416.unknown _1170744609.unknown _1170742403.unknown _1170744255.unknown _1170742345.unknown _1170665147.unknown _1170740524.unknown _1170742179.unknown _1170742263.unknown _1170742272.unknown _1170742212.unknown _1170740740.unknown _1170742140.unknown _1170740559.unknown _1170740103.unknown _1170740394.unknown _1170740422.unknown _1170740142.unknown _1170740023.unknown _1170740053.unknown _1170739944.unknown _1170661502.unknown _1170662003.unknown _1170665115.unknown _1170661755.unknown _1170661947.unknown _1170661707.unknown _1170655853.unknown _1170661234.unknown _1170661285.unknown _1170655755.unknown _1170655649.unknown _1170403728.unknown _1170652714.unknown _1170652946.unknown _1170653084.unknown _1170653086.unknown _1170653872.unknown _1170653085.unknown _1170652977.unknown _1170653000.unknown _1170652959.unknown _1170652864.unknown _1170652896.unknown _1170652919.unknown _1170652875.unknown _1170652762.unknown _1170652799.unknown _1170652733.unknown _1170650794.unknown _1170652306.unknown _1170652690.unknown _1170652700.unknown _1170652334.unknown _1170652007.unknown _1170652298.unknown _1170652225.unknown _1170651911.unknown _1170405489.unknown _1170405639.unknown _1170650764.unknown _1170405545.unknown _1170403824.unknown _1170404708.unknown _1170403808.unknown _1170400222.unknown _1170402431.unknown _1170403189.unknown _1170403224.unknown _1170403281.unknown _1170403205.unknown _1170403029.unknown _1170403122.unknown _1170402560.unknown _1170402059.unknown _1170402326.unknown _1170402351.unknown _1170402074.unknown _1170402047.unknown _1170401880.unknown _1170401991.unknown _1170399153.unknown _1170399819.unknown _1170400042.unknown _1170400146.unknown _1170400200.unknown _1170399901.unknown _1170399225.unknown _1170399241.unknown _1170399213.unknown _1170307382.unknown _1170398628.unknown _1170398761.unknown _1170398773.unknown _1170398864.unknown _1170398641.unknown _1170397883.unknown _1170398084.unknown _1170398454.unknown _1170397286.unknown _1170397237.unknown _1170005584.unknown _1170097397.unknown _1170133280.unknown _1170144540.unknown _1170186339.unknown _1170186575.unknown _1170307354.unknown _1170186663.unknown _1170222161.unknown _1170223341.unknown _1170222115.unknown _1170186615.unknown _1170186523.unknown _1170186531.unknown _1170186451.unknown _1170184202.unknown _1170186056.unknown _1170186085.unknown _1170186000.unknown _1170186010.unknown _1170184545.unknown _1170184063.unknown _1170184075.unknown _1170144581.unknown _1170144154.unknown _1170144447.unknown _1170144496.unknown _1170144497.unknown _1170144478.unknown _1170144381.unknown _1170141815.unknown _1170142006.unknown _1170133357.unknown _1170133028.unknown _1170133195.unknown _1170133250.unknown _1170133119.unknown _1170133133.unknown _1170133093.unknown _1170097487.unknown _1170097523.unknown _1170097442.unknown _1170096659.unknown _1170097022.unknown _1170097051.unknown _1170097331.unknown _1170096899.unknown _1170096946.unknown _1170097010.unknown _1170096733.unknown _1170047642.unknown _1170047757.unknown _1170048161.unknown _1170047725.unknown _1170008691.unknown _1170008763.unknown _1170005647.unknown _1169996551.unknown _1170005164.unknown _1170005358.unknown _1170005376.unknown _1170005219.unknown _1170005249.unknown _1169996573.unknown _1169996907.unknown _1169996144.unknown _1169996178.unknown _1169995623.unknown _1169995652.unknown