第十二章 微分方程 259页
第一节微分方程的基本概念 259页
例1 一曲线过点（1，2），曲线上任一点
处切线的斜率为
，求曲线方程。
解：设曲线
，有题意有：
为所求。
例2 列车在平直线路上以
）的速度行驶，制动时，获得加速度－0.4
问制动后多少时间才能停住，及列车在这段时间行驶了多少路程？
解：设列车在开始制动后
秒行驶了s米，由题意有：
，（1）
且：
；由（1）有：
，
由
列车开始制动到完全停住所需时间为：
，列车在制动阶段行驶的路程：
定义：凡表示未知函数，未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程. 未知函数是一元函数的，叫做常微分方程；未知函数是多元的，叫做偏微分方程.
微分方程中未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶.如，
是一阶方程；方程
是三阶方程.
阶常微分方程的一般形式是:
…
，或
，…
若
阶方程的解中含有
个相互独立的常数，称为方程的通解.若解中不含任意常数，称为方程的特解.
如，
（
是任意常数）是
的解，但既非通解也非特解.因
，
满足方程，故是解. 但解中只含有一个任意常数，所以既不是通解也不是特解.
是解，但不是通解。函数
（
是任意常数）才是方程
的通解，而当
时函数
才是方程
的特解.
初值问题（柯西问题）求方程满足已给初始条件的特解叫初值问题.
一阶微分方程的初值问题，
其几何意义是求微分方程的通过点
的那条积分曲线。
二阶微分方程的初值问题，记作：
几何意义是求通过点
且在该点处的切线斜率为
的那条积分曲线。
例3验证：
是微分方程
的解。……
补例 求下列曲线族所应满足的微分方程
(1)
； (2)
.
分析：要求的微分方程其阶数应和曲线族中参数的个数一致.
解：(1)
，对
求导，有：
；
，
；故所求的微分方程是：
(2)
；对
求一阶，二阶导数有：
；
(已不含参数)； 所求微分方程是：
习题12-1- 微分方程的基本概念 263页
2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：
（1）
（2）
，是。
3在下列各题中，验证所给二元方程所确定的函数为所给微分方程的解.
(1)
，
(2)
，
解：（1）
对
求导:
,即:
,.
（2）对
求导:
即
,再求导整理得:
,
4. 在下列各题中确定函数关系式中所含的参数，使函数满足所给的初始条件
（3）
，
.
,由
,
得
EMBED Equation.3
5. 写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程：
(1)在点
处的切线的斜率等于该点横坐标的平方；解:
(2) 曲线上点
处的法线与
轴的交点为
，
且线段
被
轴平分.
解 :由条件得:
即:
第二节 可分离变量方程 263页
一阶微分方程有时也可写成如下形式：
中当
即（1）既可看作
为未知函数的方程，也可看作
为未知函数的方程。
例 求解：
其中
是任意常数。
若一阶微分方程能写成：
或：
的形式，则称为变量可分离变量方程.
若
分离变量积分：
（2）就得通解.
265页例1求解：
得
266页例2放射性元素铀由于不断的有原子放射出微粒子而变成其它元素，铀的含量就不断减少，这种现象叫衰变，由原子物理学知，铀的衰变速度与当时未衰变的原子含量
成正比，已知
时铀的含量为
求在衰变过程中铀的含量
变化的规律。
解：铀的衰变速度即
，由题意有：
补例：
是可分离变量方程，得：
；两边积分得：
，
记作
，得
；故通解：
归纳：积分过程中，原函数出现对数函数时，真数可以不加绝对值，任意常数也写为lnc。
补例 求
，
；方程的解
解：分离变量得：
；积分：
，
，得
，所求特解为
习题12-2可分离变量的微分方程 269页
1. 求下列微分方程的通解
.
(5)
，
解：
，积分之得：
通解：
(9)
解：
积分之得：
通解为：
2. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解.
EMBED Equation.3
(或：
（4）
，
解：
积分得：
由初始条件得：
特解为：
3 一盛满水的圆锥形漏斗，高10㎝，顶角为
，漏斗下面有
面积为
的孔，求水面高度变化的规律及流完所需时间。
解：由水力学知，水从孔口流出的流量：
，设在
内，水面由
则：
EMBED Equation.3
水流完的时间
4质量为1g（克）的质点受外力作用作直线运动，这个外力和时间成正比，和质点运动的速度成反比，在
时，速度等于
，问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少？
解：1）
又
所以有：
2）一分钟后速度：
。
5 镭的衰变速度有以下规律：镭的衰变速度与它的现存量
成正比，由经验材料得知，镭经过1600年后，只余原始量的一半，试求镭的量
的函数关系。
解：
。
6. 一曲线通过点(2,3)，它在两坐标轴间的任一切线段均被切点所平分，求这曲线方程.
解：设切点为
则切线的截距分别为
即：
通解为：
由
得：
故曲线方程为
7. 小船从河边点O处出发驶向对岸（两岸为平行直线），设船速为a，船行方向始终与河岸垂直，又设河宽为
，河中任一点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比（比例系数为
），求小船的航行路线.
解：如图：设小船位置
由题意水速
又
代入得：
积分得：
，
将
代入得：
第三节. 齐次方程：270页
方程
称齐次方程.
解法：令
（
为未知函数），
，原方程化为：
这是可分离变量方程，解此方程，求出通解后，换回原变量得原方程通解.
注：方程形如
，可令
即
，原方程化为：
271页 例1 解方程：
解：变形：
，
于是有：
，积分得：
，以
代替
得：
例2 有旋转曲面的凹镜，假设由旋转轴上一点
发出的一切光线经此凹镜反射后都与旋转轴平（探照灯内的凹镜就是这样的），求这旋
转曲面的方程。
解：取旋转轴为
轴，光源所在之处取作原点
取通过旋转轴的任一平面为
坐标面，这平面截此
旋转面得曲线
，设点
上的任一点，
……，于是得微分方程：
把
看作函数，把
看作自变量，则：
这是齐次方程，令
代入上式得：
积分得：
由：
，这是以
轴为轴，焦点在原点的抛物线，它绕
轴旋转所得旋转抛物面为：
，这就是所要求的旋转曲面方程。
补例
，两边同除以
，得
EMBED Equation.3
令
，
，
，于是方程化为：
，分离变量积分得：
，通解：
，原方程通解：
习题12-3－齐次方程、
1. 求下列齐次方程的通解：
(1)
解：
,令
， 则
，
即：
积分得：
即：
解：
令：令
， 则……回代得
，代回原变量得：
解：
解：
，
，代回原变量得：
。
解：变形：
，回代有：
通解：
(6)
解：
令
，则
,
EMBED Equation.3
即:
通解为
.
2. 求下列齐次方程满足所给初始条件的特解.
（1）
EMBED Equation.3
解：法1：
，
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 特解：
法2（繁）
令
得：
通解为：
由初始条件
得：
特解为：
解：令
， 则
回代得
，又：
所以，特解：
解：变形：
，回代：
，分离变量得：
代回原变量得：
3. 设有连结点
和
的一段向上凸的曲线段
，
对于
上任一点
，曲线弧
与直线段
所
围图形的面积为
，求曲线弧
的方程.
解：设
，由条件得：
对
求导得：
又
故：
，回代：
；
通解为：
由
得：
故：
.
第四节 一阶线性微分方程 276页
称为一阶线性方程. 当
时称为齐次线性方程，否则为非齐次线性方程. 求解方法：常数变易法.
对应齐次方程，
——是可分离变量方程，分离变量积分得：
. 齐次方程通解：
令原方程的解为
，
代回得：
所以
的通解为：
这就是一阶线性方程通解的公式，解题时可直接用此公式，也可用推导公式的方法——常数变易法求解.
另法：
，两边同乘
即得：
278页例1求：
的通解。
解：先求解：
，
常数变易法，令
，代入所给非齐次方程，得：
法2，用公式：
得：
有时方程关于
不是线性的，但视
为自变量，
是函数时，方程关于
是线性的，此时有：方程：
的通解为：
.
补例：
不是一阶线性方程，但可改写为：
。
EMBED Equation.3
即
是方程的通解.
二. 贝努利方程：
方程
EMBED Equation.3 称为贝努力方程.解法：引入代换化为线性方程.
，代回有：
这就是一阶线性方程，求出通解后换回原变量，就得原方程通解.
280页例3：求方程
的通解。
解：以
除方程两端，得：
，令
，代回
通解：
补例设
，且
与路径无关，求
，并求
时的积分.
解：积分与路径无关，故
，所以有
即
一阶线性方程
EMBED Equation.3
又
得
，
下面求
的积分
能用变量替换化为可积型的方程：
281页例4：解方程：
解：变形：
这是一阶线性微分方程。
；
也可用变量代换法来解所给方程：令
，代入原方程得：
，以
代回即得：
补例：
，令
，
代入方程得，
，
分离变量：
，积分：
方程
的通解是：
习题12-4一阶线性微分方程 282页
1. 求下列微分方程的通解
解：变形：
，
解：
(4)
EMBED Equation.3
解：变形：
EMBED Equation.3 ；
解：变形：
即：
。
解：
(10)
注
不易解。
解：
2. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解.
解：
解：
（5）
，
； 由初始条件
得：
特解为：
3 求一曲线的方程，这曲线过原点，并且它在点
处的切线斜率等于
。
解：
4. 设一质量为m的质点作直线运动，从速度等于零的时刻起，有一个与运动方向一致，大小与时间成正比（比例系数为
）的力作用于它，此外还受一与速度成正比（比例系数为
）的阻力作用，求质点运动的速度与时间的函数关系.
解：
EMBED Equation.3
由
得：
EMBED Equation.3 .
5 设有一个由电阻
（伏）串联组成的电路，开关
和上后，电路中有电流通过，求电流
的函数关系。
解：
，故：
又
6. 设曲线积分
在右半平面
内与路径无关，其中
可导，且
.求
.
条件
，
,
,由
得
,
.
7. 求下列伯努利方程的通解
。
解：
代回有：
…
。
解：
代回有：
EMBED Equation.3
。
解：
代回有：
。
解：
代回有：
…
解：
代回：
…
8. 验证形如
的微分方程，可经变量代换
化为可分离变量的方程，并求其通解.
证：变形为：
，令
，则
得：
，积分之得：
积分后将
代回即得通解.
9. 用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的方程，然后求出通解.
(4)
解：变形：
，令
，则
得:
，积分之得：
，通解：
(5)
解：变形：
令
,
得：
,
通解：
.
第五节. 全微分方程 282页
若方程
的左端，恰是某二元函数
的全微分，即
，则称此方程为全微分方程或恰当微分方程.
是全微分方程
的充分必要条件是
. 取路径
通解
；
或取路径
：
是通解
此公式不必死记，掌握方法即可.
283页例解：
解：这里：
，是全微分方程，
取
，取路径
，由公式有：
通解：
补例：求解：
解：
，
，
是全微分方程，取路径
：
EMBED Equation.3 ； 通解：
含积分因子的方程：若对方程
，存在函数
，使得
是全微分方程，则称
是原方程的积分因子.
通常用下面的全微分式子来找积分因子：
①
； ②
；③
；
④
；⑤
；⑥
；
284页例如：方程
不是全微分方程，但是
，可知
是一个积分因子，（不难验证：
也都是积分因子，事实上：
）；乘上其中任何一个积分，便得通解:
284页又如,
也不是全微分方程，但将其各项重新合并得：
，
容易看出
为积分因子，方程就变为：
补例：. 判别方程
是否全微分方程，并求通解.
解:
是全微分方程.
EMBED Equation.3 通解：
习题12-5 全微分方程
1. 判别下列方程哪些是全微分方程，并求全微分方程的通解.
，通解
。
；
EMBED Equation.3
是…，
不是…，变形有
EMBED Equation.3
是全微分方程，取路径
，
(8)
解：
不是…；变形：
，令
代回：
2. 利用观察法求出下列方程的积分因子，并求其通解：
(4)
；
解：变形：
故通解
积分因子
.
(5)
解：变形：
,两边乘
得:
即:
EMBED Equation.3 通解
,积分因子
.
解：同乘：
第六节、可降价的高阶方程（三种最简类型）286页
二阶及二阶以上的微分方程统称高阶微分方程。
一
型的微分方程
特征；仅含
；求解方法：经
次积分得通解。
286页例1 求解：
。
解：
286页例2质量为
的质点受力
的作用沿
轴作直线运动，设力
仅是时间
的函数：
在开始时刻
的增大，此力
均匀地减小，直到
如果开始时质点位于原点，且初速度为零，求这质点的运动规律。
解：设
时质点的位置，质点运动的微分方程为：
又力
随时间的增大而均匀地减小，且
，又
，从而：
，于是有：
（1）式两端积分得：
故：
再积分得：
又：
于是质点运动规律为：
二
型的微分方程
特征：缺
；求解方法：令
，
；得关于
的一阶方程
，设其通解为
因此得到一个一阶微分方程：
，再积分得：
288页例3：求解：
解：设
，代入有：
，又
，再积分：
，又
又
补 例
；
解：方程中缺
，令
，
，代入方程得
。分离变量，积分：
，
，
，即
，
方程通解：
.
三
型的微分方程
特征；缺
；求解方法：令
，
。得关于
的一阶方程
，设解得：
，分离变量并积分得：
290页例5求解：
解：令
，
代回有：
在
时约去
并分离变量得
，再分离变量并积分得：
补例 求方程
的特解。
解：
缺
，令
，将
，代入方程得：
；因为
，所以
不是方程的解，于是有：
积分，得
即
，
，
，得
于是有
， 即
， 积分得：
，
；原方程特解为
习题12-6 可降阶的高阶微分方程 292页
1. 求下列各微分方程的通解
(2)
；
解:
EMBED Equation.3
(4)
；
解:设
则
原方程化为
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
(5)
；
解:设
则
原方程化为
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 .
解：设
则
原方程化为
(8)
.
解:设
则
原方程化为
EMBED Equation.3
积分之：
EMBED Equation.3
解：设
则
原方程化为
所以，通解：
，即：
解：设
则
原方程化为
2. 求下列微分方程，满足所给初始条件的特解.
解：类似1大题（8）小题有;
且：
，
由
解：设
则
原方程化为
EMBED Equation.3
解：
由：
再
，故特解：
解：设
则
化为
代回有
解：设
则
化为
因：
EMBED Equation.3
（6）
，
，
解:设
则
化为
积分：
由
，
得
EMBED Equation.3
积分：
由
，得：
，由
得：
，
由
得：
， 从而总有
3. 试求
的经过点M(0,1)且在此点与直线
相切的积分曲线.
解:初始条件
，
对
积分：
由
得：
积分：
由
得：
故：
第七节、高阶线性微分方程 293页
叫做二阶线性微分方程，当
时叫做二阶齐次线性微分方程
…
当
时称为
阶齐次线性方程；
时称为
阶非齐次线性方程.
二. 二阶线性微分方程解的结构定理：
设有二阶线性方程
①
②
定理1：设
与
是齐次线性方程①的两个解，则
也是解.
叠加起来的解
从形式上看含有两个任意常数，但它不一定是方程（1）的通解，什么情况下才是方程（1）的通解呢？这就要用到下面的线性相关与线性无关的概念。
设
个不全为零的常数
时有恒等式：
，那末称这
个函数在区间
上线性相关，否则称为线性无关
例如：函数
在整个数轴上是线性相关的。
函数
内是线性无关。
对于两个函数的情形，它们是否线性相关，只要看它们之比是否为常数：如果比为常数，那么它们就线性相关，否则就线性无关
定理2：设
与
是齐次线性方程
的两个线性无关解（即
常数），则
是方程①的通解.
例：
线性无关，所以
是
的通解。
推论：如果
…
为
阶齐次线性方程
的
个线性无关解，则此方程的通解为：
，其中：
为任意常数。
定理3：设
是非齐次线性方程
的一个特解，
是对应齐次线性方程
的通解，则
是方程
的通解.
例
是
的通解，故易验证
是
的通解。
定理4：若
是方程
的解，
是方程
的解，
则
是方程
的解.
习题12-7 高阶线性微分方程 300页
1 下列函数组在其定义区间上那些是线性无关的。
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 2. 验证
及
都是方程
的解. 并写出通解.
解:
,
；
是方程
的解,同理
也是方程
的解.
因
常数,故
与
线性无关；通解：
3. 验证
及
都是方程
的解. 并写出通解.
4. 证明下列函数是相应的微分方程的通解.
(4)
（
，
是任意常数）是方程
的通解；
证明：
故
所以
是方程
的解.
同理,
也是方程
的解.又
常数,
所以
（
，
是任意常数）是方程
的通解；
(5)
（
，
是任意常数）是方程
的通解.
证明：因
EMBED Equation.3
又因
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
显然
EMBED Equation.3 是方程
的解,又
常数,
所以
（
，
是任意常数）是方程
的通解,
易验
是方程
的一个特解,
故
（
，
是任意常数）是方程
的通解.
第八节．常系数齐次线性方程 301页
（
常数）称为二阶常系数齐次线性微分方程。
当
为常数时，指数函数
和它的各阶导数都只相差一个常数因子，由于指数函数的这个特点，因此我们用
来尝试，看能否选取适当的常数
，使
满足
。将
求导代入方程得：
，由于
所以
。由此可见，只要
满足
，则：
就是微分方程
的解
我们把
，叫做特征方程；其根
、
有三种不同情形：
一，不相等的实根：
，由上知：
是方程
的两个解，且
不是常数，因此微分方程的通解为：
二：：
，得一解：
，为得通解，还需求
，且要求
不是常数，设
，将
求导得：
EMBED Equation.3 ，
代回：
得：
因
是二重特征根，故
，又：
所以：
）于是得：
因为这里只要得到一个不为常数的解，所以不妨选取
，由此得微分方程的另一个解为：
，从而通解为：
。
三 两个共轭复根
，……，通解
304页 例1求解：
解：
通解：
304页例2 求解
解：通解
又
，故
求导有：
又
，所以特解：
305页 例3求解
解：
补例 求
的积分曲线，使其在点(0,2)与直线
相切.
解：因所求曲线在点(0,2)与直线
相切，问题是
的特解.
特征方程
，特征根
，所以通解是
由
求得
；曲线：
补例 求幂级数
…的和函数
解：
；两边对
求导
…；
；
…
；所以得
，
，
，这是二阶常系数线性齐次方程，特征根
，通解
；
得出
，
阶常系数齐次线性方程：
⑤
其中
是常数，特征方程
求出特征根，由特征根写出通解
特征方程的根
方 程 通 解 中 的 对 应 项
(ⅰ)单实根
给出一项：
(ⅱ)一对单复根
给出两项：
(ⅲ)
重实根
给出
项：
(ⅳ) 一对
重复根
给出
项：
309页例6
；特征方程：
； 通解：
补例：
；特征方程：
，
通解：
习题12-8 二阶常系数齐次线性微分方程 310页
1. 求下列微分方程的通解
(2)
；
通解为
，
(4)
；
解：特征方程为
通解为
(8)
.
通解为
2. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解.
（2）
，
，
解：
通解为
由初始条件
，
得
故特解为：.
解：
解：
解：
5. 设园柱形浮筒，直径为0.5米，铅直放在水中，当稍向下压后突然放开，浮筒在水中上下振动的周期为2秒钟，求浮筒的质量.
解:设
为水的密度,
为浮筒的横面积,D为浮筒的直径,且设压下的位移为
,则:
即
令：
，则
通解为
故：
第九节. 二阶常系数非齐次线性方程 311页
（
常数）
由定理2知，此方程的通解
其中
是齐次线性方程
的通解，前面已解决.
是非齐次线性方程
的特解，求
的关键是由方程左端函数
的形式正确地写出
，
中的系数待定，然后用待定系数法求出这些系数，从而得
.
一
型
设
是某个多项式）可能是
的特解。将：
；
代入方程，并消去
得：
（3）
若
不是
，因
次多项式，要使（3）两端恒等，可令
为另一
次多项式
，即：
…
代入（3）式，，就可得到
…，
，并得特解：
若
是
，要使（3）两端恒等，那么
必须是
次多项式，此时可令
，代入（3）式，，就可得到
…，
，并得特解：
若
是
，要使（3）两端恒等，那么
必须是
次多项式，此时可令
，代入（3）式，，就可得到
…，
，并得特解：
综上述有，若
，则方程具有形如
的解。
其中，
的多项式，而
则按
不是特征方程的根，是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2。
上述结论可推广至
阶常系数非齐次线性微分方程。
312页 例1求：
的一个特解。
解：
；
不是特征根，故设
，代入所给方程，得：
于是求得一个特解为
313页 例2：求
的通解。
解：
，先求对应齐次方程的解：
由于
是特征方程的单根，故设：
把它代入所给方程，得：
因此求得方程的一个特解为：
从而所求的通解为：
，
二
型：
则非齐次线性微分方程的特解可设为：
，其中
是不同的
次多项式系数待定，
，而
按
不是特征方程的根，或是特征方程的单根依次取0或1。
315页例3：求
的一个特解，
解：
不是特征根，设
；代回得
从而有：
补例：方程
因
，故特征根
是二次多项式，，
不是特征根， 设
.
补例：方程
因
是单根，
一次多项式，故设
.
补例 写出下列方程特解的形式：
(1)
； (2)
；
(3)
；(4)
；
(5)
；
解：(1)
的特征方程为
，故特征根
.
，
二重特征根，且
二次，故
（a,b,c待定）
(2)
的特征方程是
，特征根
，
，
是特征单根，2是零次多项式，故
，是零次多项式，且
不是特根，故
（a,b待定）
(3)
的特征方程为
，
.
，
恰是特征根，
(a,b待定)
(4)
特征方程为
，特征根
.
，
是特征根，且
是一次式；
故
(a,b,c,d待定)
(5)
的特征方程为
，
.
又因
，
，
不是特征根，
，
是二重特征根，
（a,b待定）
习题12—9 二阶常系数非齐次线性微分方程 317页
1. 求下列各微分方程的通解
解：
解：
故
EMBED Equation.3
（4）
；
解：
EMBED Equation.3 为特征方程的单根， 设
, 则得
EMBED Equation.3 通解
.
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
解：分解为：
（1）
对（1）而言：
不是特征根，令
回代得：
。
对（2）而言：
是特征根，令
回代得：
(10)
；
解：
对应齐次解为
.
不是特征方程的根，设
则得
故
通解
2. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解.
（1）
，
，
解：特征方程为
对应齐次解为
,
不是特征方程的根，设
则得
EMBED Equation.3 通解为
,
由
，
得
故特解为
EMBED Equation.3
故
5. 一链条悬挂在一钉子上，起动时一端离开钉子8m，另一端离开钉子12m，分别在以下两种情况下求链条滑下来所需要的时间.
(1) 若不计钉子对链条所产生的磨擦力；
解:设在时刻
时链条上较长的一段下滑s米,且设链条密度为
,则作用力为:
,由
得:
初始条件为
齐次方程
的通解为
,
设
齐次方程
的通解为
由
得
特解为
即
当
时，
(2) 若磨擦力为链条1m长的重量
解:
,由
得:
初始条件为
通解为
由
得
特解为
当
时，
秒.
6. 设
连续，且满足
，求
.
解：
EMBED Equation.3 初始条件
对应齐次方程通解为
,
不是特征方程的根，设
则得
EMBED Equation.3
通解为
由
得
故特解为
.
练习题
一、填空题
1. 曲线族
所满足的一阶微分方程是____
； .
2. 曲线族
所满足的一阶微分方程是______
；
3. 微分方程
的通解是_______
____.
6. 以
为两个特解的二阶常系数线性齐次方程为___
___.
7. 以
为一个特解的二阶常系数线性齐次方程是___
；
8. 一曲线过点
，且该曲线上任一点处的切线斜率为
，则该曲线方程是___
.
9. 微分方程
的一个特解应具有的形式 (D)（√）
.
10.微分方程
的特解形式应设为 (B)
；
11.
是微分方程
的； (C)（√）是解，但既非通解，又非特解；
12. 用降阶法求解方程
，可令 (B) （√）
；
13. 求微分方程
的一个特解。 13.
三、求下列方程的特解：
1.
，满足条件
， 1.
；
2.
，满足条件
， 2.
四、设曲线积分
与路径无关，其中
具有一阶连续导数，且
，求
.
五、求满足
的连续函数
.
八、
，
且
为全微分方程，求
及全微分方程的通解.
九、求
的积分曲线方程，使曲线过点
且该点处的切线斜率为2.
十. 若可微函数
满足关系式
，证明
.
综合习题
三. 求下列微分方程的通解
(1)
；327页3（1）
解：
,令
， 则
积分之得：
通解为
.
法2：令
；327页3（2）
(3)
；327页3（3）
解：
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
(4).
；327页3（4）
解：令
故
,通解为
.
以下为补充题：
(4)
；
解:同乘
得:
即:
通解为
.
(5)
.
解:
因
故原方程为全微分方程,
EMBED Equation.3
通解为
.
五. 已知
，试确定
，使
为全微分方程，并求此全微分方程的通解.
解：
由
得
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 ,
得全微分方程
,
通解为
六. 已知
在全平面上与路径无关，其中
具有连续的一阶导数，并且当C是起点在(0,0)，终点为(1,1)的有向曲线时，该曲线积分值等于
，试求
解：由
得
EMBED Equation.3
由
得:
解得
故
；
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
5（2）图
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
6图
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
（7）题图
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
高数第十二章微分方程 第12页共48页
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