第十七讲 矛盾方程（组）的解---最小二乘法
一、从实验数据处理谈起
设有一组实验数据(t1，s1)，(t2，s2)，……，(tn，sn)，希望由实验数据拟合给定规律，从而测出待测量的有关参数。
假定规律为：
，由于存在误差
，令
，
则：Ax=b实际无解，或者说矩阵方程Ax=b成为矛盾方程（不自洽、非相容），虽说无解，但在物理上看，我们需要而且也理当有“解”。怎么办？
一般处理是，定义一种目标函数，例如：
使误差
最小化。wi=1(i=1～n)时
2、 最小二乘法（解）
对于矛盾方程Ax=b，最小二乘法是求其“解”的一种
方法
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。即求使
的解。
引理：
,A{1,3}由如下方程的通解构成：
其中，A(1,3)为A{1,3}中的某个矩阵。
证：1。方程既然相容，设X是其某个解，则
即方程的解必在A{1,3}中。
2。设X为A的一个{1,3}-逆矩阵，则
即，A的{1,3}-逆矩阵必满足方程AX=AA(1,3)
令
，则
定理：矩阵方程Ax=b的最小二乘解为
，其中A(1,3)为A的任何一个{1,3}-逆矩阵，反之，存在X，对于任何
均有Xb成Ax=b的最小二乘解，则
。
证明：
所以，
，
故
取得极小值的条件是x为方程
的解。任取一个
，我们知道
。而对于
，有
（但最小二乘解是否一定具有A(1,3)b的形式呢？）
方程
的通解为
显然最小二乘解并不一定都具有A(1,3)b的形式。
反之，若对于
，即
推论：x是方程Ax＝b的最小二乘解的充要条件是，x为方程
的解。
证：
，而
，故
最小二乘解一般不唯一。
3、 极小范数最小二乘解
定理2 ：设
，则x＝A
b是方程Ax＝b的极小范数最小二乘解。反之，若存在
，若对于所有
，x＝Xb均成为方程Ax＝b的极小范数最小二乘解，则X＝A
。
证：最小二乘解满足Ax＝AA(1,3)b，其极小范数解唯一，且为
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4 ，反之，
均成为唯一的极小范数最小二乘解
，所以：X＝A
。
定理3：矩阵方程AXB＝D的极小范数最小二乘解唯一，且为
证明略（教材P86）
作业：P343－344，1，2，5
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浙公网安备 33021202002483