2020-2021学年广东省湛江市高二上学期期末数学试题及答案 解析

绝密★启用前2020-2021学年广东省湛江市高二（上）期末数学试卷注意事项：1、答 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上一、选择题（共8小题）.1．设集合A＝{x|（x﹣7）（x+12）＜0}，B＝{x|x+6＞0}，则A∩B＝（　　）A．{x|﹣6＜x＜12}B．{x|﹣6＜x＜7}C．{x|x＞﹣12}D．{x|6＜x＜7}2．“四边形ABCD是菱形”是“四边形ABCD的对角线互相垂直”的（　　）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．双曲线x2﹣4y2＝﹣8的渐近线方程为（　　）A．y＝±2xB．C．D．4．“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这句话出自《庄子•天下篇》，其意思为“一根一尺长的木棰，每天截取其一半，永远都取不完”．设第一天这根木棰被截取一半剩下a1尺，第二天被截取剩下的一半剩下a2尺，…，第五天被截取剩下的一半剩下a5尺，则＝（　　）A．18B．20C．22D．245．已知抛物线C的焦点到准线的距离大于2，则C的方程可能为（　　）A．y2＝4xB．y2＝﹣3xC．x2＝6yD．y＝﹣8x26．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BB1的中点，若O为底面A1B1C1D1的中心，则异面直线C1E与AO所成角的余弦值为（　　）A．B．C．D．7．P为椭圆上一动点，F1，F2分别为左、右焦点，延长F1P至点Q，使得|PQ|＝|PF2|，则动点Q的轨迹方程为（　　）A．（x+2）2+y2＝34B．（x+2）2+y2＝68C．（x﹣2）2+y2＝34D．（x﹣2）2+y2＝688．如图，某人在一条水平公路旁的山顶P处测得小车在A处的俯角为30°，该小车在公路上由东向西匀速行驶7.5分钟后，到达B处，此时测得俯角为45°．已知小车的速度是20km/h，且，则此山的高PO＝（　　）A．1kmB．C．D．二、选择题（共4小题）.9．设命题p：∀n∈N，6n+7为质数，则（　　）A．￢p为假命题B．￢p：∃n∈N，6n+7不是质数C．￢p为真命题D．￢p：∀n∈N，6n+7不是质数10．设Sn是等差数列{an}的前n项和，且a1＝2，a3＝8，则（　　）A．a5＝12B．公差d＝3C．S2n＝n（6n+1）D．数列{}的前n项和为11．已知a＞b＞0，且a+3b＝1，则（　　）A．ab的最大值为B．ab的最小值为C．的最小值为16D．a2+15b2的最小值为12．已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，点P为Ω上一点，且P不在坐标轴上，直线AP与直线y＝﹣3交于点C，直线BP与直线y＝﹣3交于点D．设直线AP的斜率为k，则满足|CD|＝36的k的值可能为（　　）A．1B．C．D．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．设向量，，，则实数m＝　　．14．若双曲线的虚轴长为，则该双曲线的离心率为　　．15．在△ABC中，若，，AC＝2，则AB＝　　．16．已知点P（m，n）是抛物线x2＝﹣8y上一动点，则的最小值为　　．四、解答题．本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说期、证时过程或演算步骤．17．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，sinC＝2sinB．（1）求cosA；（2）若△ABC的周长为，求△ABC的面积．18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝AA1＝2BC，E，F分别为侧棱BB1，CC1中点．（1）证明：BF∥平面A1C1E．（2）求B1C与平面A1C1E所成角的正弦值．19．已知数列{an}的首项为4．（1）若数列是等差数列，且公差为2，求{an}的通项 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 ．（2）在①a3﹣a2＝48且a2＞0，②a3＝64且a4＞0，③a2021＝16a2a2017这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答．问题，若{an}是等比数列，______，求数列{（3n﹣1）an}的前n项和Sn．20．如图，平面ABCDE⊥平面CEFG，四边形CEFG为正方形，点B在正方形ACDE的外部，且AB＝BC＝，AC＝4．（1）证明：AD⊥CF．（2）求平面BFG与平面ABCDE所成锐二面角的余弦值．21．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）与双曲线有相同的焦点F．（1）求C的方程，并求其准线l的方程；（2）如图，过F且斜率存在的直线与C交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），直线OA与准线l交于点N．过点A作l的垂线，垂足为M．证明：y1y2为定值，且四边形AMNB为梯形．22．已知椭圆的离心率为，且焦距为8．（1）求C的方程；（2）设直线l的倾斜角为，且与C交于A，B两点，点O为坐标原点，求△AOB面积的最大值．参考答案一、选择题（共8小题）.1．设集合A＝{x|（x﹣7）（x+12）＜0}，B＝{x|x+6＞0}，则A∩B＝（　　）A．{x|﹣6＜x＜12}B．{x|﹣6＜x＜7}C．{x|x＞﹣12}D．{x|6＜x＜7}解：∵A＝{x|﹣12＜x＜7}，B＝{x|x＞﹣6}，∴A∩B＝{x|﹣6＜x＜7}．故选：B．2．“四边形ABCD是菱形”是“四边形ABCD的对角线互相垂直”的（　　）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：当四边形ABCD是菱形时，根据菱形的性质可知，对角线互相垂直，当四边形ABCD的对角线互相垂直时，四边形不一定是菱形，比如可以是梯形，故“四边形ABCD是菱形”是“四边形ABCD的对角线互相垂直”的充分不必要条件．故选：A．3．双曲线x2﹣4y2＝﹣8的渐近线方程为（　　）A．y＝±2xB．C．D．解：根据题意，双曲线的方程为：x2﹣4y2＝﹣8，变形可得，则其焦点在y轴上，且a＝，b＝2，则其渐近线方程为：y＝±2x，故选：A．4．“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这句话出自《庄子•天下篇》，其意思为“一根一尺长的木棰，每天截取其一半，永远都取不完”．设第一天这根木棰被截取一半剩下a1尺，第二天被截取剩下的一半剩下a2尺，…，第五天被截取剩下的一半剩下a5尺，则＝（　　）A．18B．20C．22D．24解：设这根木棰的长度为1尺，第一天这根木棰被截取一半为，剩下a1＝1﹣＝尺，第二天被截取剩下的一半为×，剩下a2＝﹣×＝尺，第三天被截取剩下的一半×，剩下a3＝﹣×＝尺，第四天被截取剩下的一半×，剩下a4＝﹣×＝尺，第五天被截取剩下的一半×，剩下a5＝﹣×＝尺，则＝＝24，故选：D．5．已知抛物线C的焦点到准线的距离大于2，则C的方程可能为（　　）A．y2＝4xB．y2＝﹣3xC．x2＝6yD．y＝﹣8x2解：抛物线C的焦点到准线的距离大于2，可得p＞2，y2＝4x中p＝2，所以A不正确；y2＝﹣3x中p＝，所以B不正确；x2＝6y中p＝3，所以C正确；y＝﹣8x2，即x2＝y，所以p＝，所以D不正确；故选：C．6．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BB1的中点，若O为底面A1B1C1D1的中心，则异面直线C1E与AO所成角的余弦值为（　　）A．B．C．D．解：如图所示，建立空间直角坐标系.不妨设AB＝2，则A（2，0，0），O（1，1，2），E（2，2，1），C1（0，2，2），∴＝（﹣1，1，2），＝（﹣2，0，1），∴cos＜，＞＝＝＝．∴异面直线C1E与AO所成角的余弦值为．故选：D．7．P为椭圆上一动点，F1，F2分别为左、右焦点，延长F1P至点Q，使得|PQ|＝|PF2|，则动点Q的轨迹方程为（　　）A．（x+2）2+y2＝34B．（x+2）2+y2＝68C．（x﹣2）2+y2＝34D．（x﹣2）2+y2＝68解：由已知椭圆的方程可得：a2＝17，b2＝13，则a＝，由椭圆的定义可得|PF，又因为|PQ|＝|PF2|，所以|PF，所以|QF，所以点Q的轨迹是以F1（﹣2，0）为圆心，2为半径的圆，所以点Q的轨迹方程为：（x+2）2+y2＝68，故选：B．8．如图，某人在一条水平公路旁的山顶P处测得小车在A处的俯角为30°，该小车在公路上由东向西匀速行驶7.5分钟后，到达B处，此时测得俯角为45°．已知小车的速度是20km/h，且，则此山的高PO＝（　　）A．1kmB．C．D．解：设OP＝x，由题意可得：Rt△OBP中，∠PBO＝45°，∴OB＝OP＝x．在Rt△OAP中，∠PAO＝30°，∴OA＝x•tan60°＝x．又AB＝×20＝2.5，在△OAB中，由余弦 定理 三点共线定理勾股定理的证明证明勾股定理共线定理面面垂直的性质定理 可得：＝，解得x＝1．故选：A．二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 ．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．设命题p：∀n∈N，6n+7为质数，则（　　）A．￢p为假命题B．￢p：∃n∈N，6n+7不是质数C．￢p为真命题D．￢p：∀n∈N，6n+7不是质数解：命题p：∀n∈N，6n+7为质数，当n＝3时，6×3+7＝25不是质数，故命题p为假命题，￢p：∃n∈N，6n+7不是质数，所以￢p为真命题．故选：BC．10．设Sn是等差数列{an}的前n项和，且a1＝2，a3＝8，则（　　）A．a5＝12B．公差d＝3C．S2n＝n（6n+1）D．数列{}的前n项和为解：由题意，设等差数列{an}的公差为d，则d＝＝＝3，故选项B正确，a5＝2+3×（5﹣1）＝14，故选项A不正确，∵S2n＝2n×2+×3＝n（6n+1），选项C正确，∵an＝2+3×（n﹣1）＝3n﹣1，∴＝＝（﹣），∴数列{}的前n项和为++…+＝×（﹣）+×（﹣）+…+×（﹣）＝×（﹣+﹣+…+﹣）＝×（﹣）＝，选项D正确．故选：BCD．11．已知a＞b＞0，且a+3b＝1，则（　　）A．ab的最大值为B．ab的最小值为C．的最小值为16D．a2+15b2的最小值为解：对于A，B：∵a＞b＞0，且a+3b＝1，∴1＝a+3b≥2，故≤，0＜ab＜，故A正确，B错误；对于C：∵a＞b＞0，且a+3b＝1，∴+＝（+）（a+3b）＝10+3（+）≥10+3•2＝16，当且仅当a＝b＝时“＝”成立，故C正确；对于D：a2+15b2＝a2+15＝a2﹣a+＝+≥，当且仅当a＝时“＝”成立，故D正确；故选：ACD．12．已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，点P为Ω上一点，且P不在坐标轴上，直线AP与直线y＝﹣3交于点C，直线BP与直线y＝﹣3交于点D．设直线AP的斜率为k，则满足|CD|＝36的k的值可能为（　　）A．1B．C．D．解：由椭圆的方程可得A（﹣3，0），B（3，0），设P（x0，y0），则k＝，因为kPA＝k，所以k，又直线PA的方程为y＝k（x+3），则令y＝﹣3，得x，直线PB的方程为y＝﹣，令y＝﹣3，得xD＝27k+3，所以|CD|＝|27k+|＝36，整理可得：9k2+14k+1＝0或9k2﹣10k+1＝0，解得k＝或1或，故选：AD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．设向量，，，则实数m＝　﹣6　．解：∵向量，，，∴•＝m+2+4＝0，解得m＝﹣6，故答案为：﹣6．14．若双曲线的虚轴长为，则该双曲线的离心率为　2　．解：双曲线的虚轴长为，可得b＝3，a＝，所以c＝＝2，所以双曲线的离心率为：e＝＝2，故答案为：2．15．在△ABC中，若，，AC＝2，则AB＝　　．解：因为＝，可得cosC＝，又sin2C+cos2C＝1，所以，因为，AC＝2，由正弦定理得，可得．故答案为：．16．已知点P（m，n）是抛物线x2＝﹣8y上一动点，则的最小值为　3　．解：抛物线的准线为y＝2，焦点F坐标为（0，﹣2），所以＝+，表示点P（m，n）与点F（0，﹣2）的距离与点P（m，n）与点A（2，﹣1）的距离之和，所以的最小值为线段AB长度，又|AB|min为点A到准线y＝2的距离，即|AB|min＝3，故答案为：3．四、解答题．本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说期、证时过程或演算步骤．17．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，sinC＝2sinB．（1）求cosA；（2）若△ABC的周长为，求△ABC的面积．解：（1）因为，所以．（2）因为sinC＝2sinB，所以c＝2b．由余弦定理得，则．因为△ABC的周长为，所以，解得b＝2．所以△ABC的面积为．18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝AA1＝2BC，E，F分别为侧棱BB1，CC1中点．（1）证明：BF∥平面A1C1E．（2）求B1C与平面A1C1E所成角的正弦值．解：（1）证明：∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F分别为侧棱BB1，CC1中点．∴BEC1F，∴四边形BEC1F是平行四边形，∴BF∥EC1，∵BF⊄平面A1C1E，EC1⊂平面A1C1E，∴BF∥平面A1C1E．（2）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝AA1＝2BC，E，F分别为侧棱BB1，CC1中点．∴以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，设AC＝AA1＝2BC＝2，则B1（0，1，2），C（0，0，0），A1（2，0，2），C1（0，0，2），E（0，1，1），＝（0，﹣1，﹣2），＝（2，0，0），＝（0，1，﹣1），设平面A1C1E的法向量＝（x，y，z），则，取y＝1，得＝（0，1，1），设B1C与平面A1C1E所成角为θ，则sinθ＝＝＝．∴B1C与平面A1C1E所成角的正弦值为．19．已知数列{an}的首项为4．（1）若数列是等差数列，且公差为2，求{an}的通项公式．（2）在①a3﹣a2＝48且a2＞0，②a3＝64且a4＞0，③a2021＝16a2a2017这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答．问题，若{an}是等比数列，______，求数列{（3n﹣1）an}的前n项和Sn．解：（1）数列是等差数列，且公差为2，首项为4，所以，整理得．（2）选①：a3﹣a2＝48且a2＞0，{an}是等比数列，设公比为q，由于首项为4，则由a3﹣a2＝48，得q＝4，所以，选②：由于首项为4，且a3＝64，{an}是等比数列，所以q＝±4，且a4＞0，所以，选③：由于数列，{an}的首项为4，且满足a2021＝16a2a2017，解得q＝4，所以，设，则①，所以4②，①﹣②得﹣3，所以．20．如图，平面ABCDE⊥平面CEFG，四边形CEFG为正方形，点B在正方形ACDE的外部，且AB＝BC＝，AC＝4．（1）证明：AD⊥CF．（2）求平面BFG与平面ABCDE所成锐二面角的余弦值．解：（1）证明：∵四边形ACDE为正方形，∴AD⊥CE，∵平面ABCDE⊥平面CEFG，平面ABCDE∩平面CEFG＝CE，∴AD⊥平面FECG．又CF⊂平面FECG，∴AD⊥CF；（2）∵四边形CEFG为正方形，∴CG⊥CE，∵平面ABCDE⊥平面CEFG，平面ABCDE∩平面CEFG＝CE，∴CG⊥平面ABCDE．故EA，ED，EF两两垂直，所以以E为原点建立空间直角坐标系，∵AB＝BC＝，AC＝4，∴B到AC的距离为1．∴B（5，2，0），F（0，0，4），G（4，4，4），则，，设面BFG的法向量为，由，可得＝（4，﹣4，3）又平面ABCDE的法向量为，cos＝＝∴平面BFG与平面ABCDE所成锐二面角的余弦值为．21．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）与双曲线有相同的焦点F．（1）求C的方程，并求其准线l的方程；（2）如图，过F且斜率存在的直线与C交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），直线OA与准线l交于点N．过点A作l的垂线，垂足为M．证明：y1y2为定值，且四边形AMNB为梯形．解：（1）因为双曲线的右焦点为（2，0），所以F（2，0），则，即p＝4，故C的方程为y2＝8x，其准线l的方程为x＝﹣2．（2）证明：由题意可知，直线AB过点F且斜率存在，设其方程为y＝k（x﹣2）（k≠0），联立，整理得ky2﹣8y﹣16k＝0，所以△＝64+64k2＞0恒成立，所以，故y1⋅y2为定值．因为点N在准线l上，设点N为（﹣2，m），则由kOA＝kON，可得．又，所以．因此BN∥x轴∥AM，易知，x1≠x2，|AM|≠|BN，故四边形AMNB为梯形．22．已知椭圆的离心率为，且焦距为8．（1）求C的方程；（2）设直线l的倾斜角为，且与C交于A，B两点，点O为坐标原点，求△AOB面积的最大值．解：（1）依题意可知，解得a＝2，b＝2，c＝4故C的方程为．（2）依题意可设直线l的方程为，联立，整理得，则△＝300m2﹣64（5m2﹣20）＞0，解得﹣8＜m＜8．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，，原点到直线l的距离，则△AOB的面积，当且仅当m2＝32，即时，△AOB的面积有最大值，且最大值为2．PAGE