新教材高中数学人教版必修第一册：5.4.2《第1课时周期性与奇偶性(导学)》同步课件

基础知识　自主学习1.函数的奇偶性知识梳理奇偶性定义图象特点偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就叫做偶函数关于对称奇函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就叫做奇函数关于对称y轴f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)原点2.周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个的正数，那么这个就叫做f(x)的最小正周期.f(x＋T)＝f(x)最小最小正数1.函数奇偶性常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇.2.函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).【知识拓展】 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 组一　思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点.(　　)(2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称.(　　)(3)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a>0)的周期函数.(　　)(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.(　　)(5)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期.(　　)基础自测×√√√√123456题组二　教材改编2.[P39A组T6]已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(－1)＝_____.－2解析　f(1)＝1×2＝2，又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2.1 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 解析1234564.[P39A组T6]设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜0的解集为______________.解析　由图象可知，当0＜x＜2时，f(x)＞0；当2＜x≤5时，f(x)＜0，又f(x)是奇函数，∴当－2＜x＜0时，f(x)＜0，当－5≤x<－2时，f(x)>0.综上，f(x)＜0的解集为(－2,0)∪(2,5].解析123456答案(－2,0)∪(2,5]解析　依题意得f(－x)＝f(x)，∴b＝0，又a－1＝－2a，解析123456答案题组三　易错自纠5.已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是√6.偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝______.解析1234563答案解析　∵f(x)为偶函数，∴f(－1)＝f(1).又f(x)的图象关于直线x＝2对称，∴f(1)＝f(3).∴f(－1)＝3.题型分类　深度剖析典例判断下列函数的奇偶性：题型一　判断函数的奇偶性师生共研解答∴f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数.解答∴函数f(x)为奇函数.解答解　显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.∵当x＜0时，－x＞0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；当x＞0时，－x＜0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数.判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系.在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立.思维升华跟踪训练(1)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是A.y＝x＋sin2xB.y＝x2－cosxC.y＝2x＋D.y＝x2＋sinx解析答案√解析　对于A，f(－x)＝－x＋sin2(－x)＝－(x＋sin2x)＝－f(x)，为奇函数；对于B，f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cosx＝f(x)，为偶函数；对于D，y＝x2＋sinx既不是偶函数也不是奇函数.(2)函数f(x)＝lg|sinx|是A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为2π的奇函数C.最小正周期为π的偶函数D.最小正周期为2π的偶函数解析　易知函数的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，关于原点对称，又f(－x)＝lg|sin(－x)|＝lg|－sinx|＝lg|sinx|＝f(x)，所以f(x)是偶函数，又函数y＝|sinx|的最小正周期为π，所以函数f(x)＝lg|sinx|是最小正周期为π的偶函数.解析答案√解析题型二　函数的周期性及其应用自主演练解析　由于函数f(x)是周期为4的奇函数，答案2.(2017·山东)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2).若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝_____.解析　∵f(x＋4)＝f(x－2)，∴f((x＋2)＋4)＝f((x＋2)－2)，即f(x＋6)＝f(x)，∴f(x)是周期为6的周期函数，∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1).又f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(1)＝f(－1)＝6，即f(919)＝6.解析答案63.定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2018)＝_____.解析答案339解析　∵f(x＋6)＝f(x)，∴周期T＝6.∵当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x，∴f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2015)＋f(2016)＝1×＝336.又f(2017)＝f(1)＝1，f(2018)＝f(2)＝2，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2018)＝339.函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质.对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值.思维升华命题点1　求函数值或函数解析式题型三　函数性质的综合应用多维探究典例(1)(2017·全国Ⅱ)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝_____.解析　方法一　令x＞0，则－x＜0.∴f(－x)＝－2x3＋x2.∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x).∴f(x)＝2x3－x2(x＞0).∴f(2)＝2×23－22＝12.方法二　f(2)＝－f(－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12.12答案解析(2)(2016·全国Ⅲ改编)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则f(x)＝___________________.解析　∵当x＞0时，－x＜0，∴f(x)＝f(－x)＝ex－1＋x，解析答案命题点2　求参数问题典例(1)设函数f(x)＝为奇函数，则k＝____.解析　∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，－2答案解析∴(x＋2)(x＋k)＝(2－x)(k－x)，x2＋2x＋kx＋2k＝2k－kx－2x＋x2，∴k＝－2.解析－10答案解析　因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数，即3a＋2b＝－2.①由①②得a＝2，b＝－4，从而a＋3b＝－10.即b＝－2a.②命题点3　利用函数的性质解不等式典例(1)已知定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有<0，则A.f(3)2>1，∴f(3) 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 一、函数性质的判断典例1　(1)(2017·北京)已知函数f(x)＝3x－，则f(x)A.是偶函数，且在R上是增函数B.是奇函数，且在R上是增函数C.是偶函数，且在R上是减函数D.是奇函数，且在R上是减函数解析答案√解析　∵函数f(x)的定义域为R，∴函数f(x)是奇函数.又∵y＝3x在R上是增函数，(2)(2017·荆州模拟)下列函数：①y＝sin3x＋3sinx；解析答案其中是奇函数且在(0,1)上是减函数的个数为A.1B.2C.3D.4√解析　易知①中函数在(0,1)上为增函数；④中函数不是奇函数；满足条件的函数为②③.(3)定义在实数集R上的函数f(x)满足f(x)＋f(x＋2)＝0，且f(4－x)＝f(x).现有以下三个命题：①8是函数f(x)的一个周期；②f(x)的图象关于直线x＝2对称；③f(x)是偶函数.其中正确命题的序号是________.解析　由f(x)＋f(x＋2)＝0可得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴函数f(x)的周期是4，①对；由f(4－x)＝f(x)，可得f(2＋x)＝f(2－x)，f(x)的图象关于直线x＝2对称，②对；f(4－x)＝f(－x)且f(4－x)＝f(x)，∴f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数，③对.①②③解析答案二、函数性质的综合应用典例2(1)已知f(x)是定义在R上的奇函数，对任意的实数x，f(x－2)＝f(x＋2)，当x∈(0,2)时，f(x)＝－x2，则等于解析答案√解析　由f(x－2)＝f(x＋2)，可知函数f(x)的最小正周期T＝4，又由于该函数是奇函数，(2)函数f(x)＝在[1，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是___________.解析解析　由已知函数y＝x＋2018－在[1，＋∞)上是增函数，且y＞0恒成立.[－1,2019)答案∴a≥－1.又由当x＝1时，y＝1＋2018－a＞0，得a＜2019.∴a的取值范围是[－1,2019).(3)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增.若实数a满足f(2|a－1|)＞f()，则a的取值范围是________.解析答案又由已知可得f(x)在(0，＋∞)上单调递减，课时作业1.下列函数为偶函数的是A.f(x)＝x－1B.f(x)＝x2＋xC.f(x)＝2x－2－xD.f(x)＝2x＋2－x12345678910111213141516解析　函数f(x)＝x－1和f(x)＝x2＋x既不是偶函数也不是奇函数，排除选项A和B；选项C中，f(x)＝2x－2－x，则f(－x)＝2－x－2x＝－f(x)，且定义域为R，所以f(x)＝2x－2－x为奇函数，排除选项C；选项D中，f(x)＝2x＋2－x，则f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)，所以f(x)＝2x＋2－x为偶函数，故选D.解析答案√2.设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是A.奇函数，且在(0,1)上是增函数B.奇函数，且在(0,1)上是减函数C.偶函数，且在(0,1)上是增函数D.偶函数，且在(0,1)上是减函数解析答案√12345678910111213141516解析　易知函数定义域为(－1，1)，f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故函数f(x)为奇函数，由复合函数单调性判断方法知，f(x)在(0,1)上是增函数，故选A.3.(2017·江西南城一中模拟)已知R上的奇函数f(x)满足：当x＞0时，f(x)＝x2＋x－1，则f(f(－1))等于A.－1B.1C.2D.－2答案12345678910111213141516√解析　∵y＝f(x)是奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－1，∴f(f(－1))＝f(－1)＝－1.解析4.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，其最小正周期为4，且当x∈时，f(x)＝log2(－3x＋1)，则f(2021)等于A.4B.2C.－2D.log27解析答案√解析　∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，其最小正周期为4，∴f(2021)＝f(4×505＋1)＝f(1)＝－f(－1).f(x)＝log2(－3x＋1)，∴f(－1)＝log2[－3×(－1)＋1]＝2，∴f(2021)＝－f(－1)＝－2.123456789101112131415165.若f(x)＝ex－ae－x为奇函数，则f(x－1)＜e－的解集为A.(－∞，2)B.(－∞，1)C.(2，＋∞)D.(1，＋∞)解析　因为f(x)＝ex－ae－x为奇函数，所以f(0)＝1－a＝0，即a＝1，则f(x)＝ex－e－x在R上单调递增，√解析答案123456789101112131415166.已知偶函数f(x)对于任意x∈R都有f(x＋1)＝－f(x)，且f(x)在区间[0,1]上是单调递增的，则f(－6.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是A.f(0)＜f(－6.5)＜f(－1)B.f(－6.5)＜f(0)＜f(－1)C.f(－1)＜f(－6.5)＜f(0)D.f(－1)＜f(0)＜f(－6.5)解析答案12345678910111213141516√解析　由f(x＋1)＝－f(x)，得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，∴函数f(x)的周期是2.∵函数f(x)为偶函数，∴f(－6.5)＝f(－0.5)＝f(0.5)，f(－1)＝f(1).∵f(x)在区间[0,1]上是单调递增的，∴f(0)＜f(0.5)＜f(1)，即f(0)＜f(－6.5)＜f(－1).7.若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝______.解析　函数f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，故f(－x)＝f(x)，即ln(e－3x＋1)－ax＝ln(e3x＋1)＋ax，解析答案整理得e3x＋1＝e2ax＋3x(e3x＋1)，所以2ax＋3x＝0，1234567891011121314151612345678910111213141516解析8.已知函数f(x)在R上为奇函数，且当x>0时，f(x)＝＋1，则当x<0时，f(x)＝____________.答案解析答案123456789101112131415169.设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x＋2)；③当0≤x≤1时，f(x)＝2x－1，则＝_____.解析　依题意知：函数f(x)为奇函数且周期为2，12345678910111213141516＝－1＋21－1＋20－110.若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调递增函数.如果实数t满足f(lnt)＋f≤2f(1)，那么t的取值范围是_______.解析　由于函数f(x)是定义在R上的偶函数，解析12345678910111213141516答案得f(lnt)≤f(1).又函数f(x)在区间[0，＋∞)上是单调递增函数，所以|lnt|≤1，即－1≤lnt≤1，故≤t≤e.11.已知函数f(x)＝是奇函数.(1)求实数m的值；解答12345678910111213141516解　设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x).于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围.解答12345678910111213141516解　要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，所以1 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式.解　当x∈[0,1]时，－x∈[－1,0]，则f(x)＝f(－x)＝x；从而当1≤x≤2时，－1≤x－2≤0，f(x)＝f(x－2)＝－(x－2)＝－x＋2.解答1234567891011121314151612345678910111213141516解析答案112345678910111213141516即函数f(x)的周期是4，所以f(2019)＝f(505×4－1)＝f(－1).因为函数f(x)为偶函数，所以f(2019)＝f(－1)＝f(1).由f(x)>0，得f(1)＝1，所以f(2019)＝f(1)＝1.解析12345678910111213141516答案14.设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0,1]时，f(x)＝2x，则有①2是函数f(x)的周期；②函数f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数；③函数f(x)的最大值是1，最小值是0.其中所有正确命题的序号是________.①②解析　在f(x＋1)＝f(x－1)中，令x－1＝t，则有f(t＋2)＝f(t)，因此2是函数f(x)的周期，故①正确；当x∈[0,1]时，f(x)＝2x是增函数，根据函数的奇偶性知，f(x)在[－1,0]上是减函数，根据函数的周期性知，函数f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数，故②正确；由②知，f(x)在[0,2]上的最大值f(x)max＝f(1)＝2，f(x)的最小值f(x)min＝f(0)＝f(2)＝20＝1且f(x)是周期为2的周期函数，∴f(x)的最大值是2，最小值是1，故③错误.1234567891011121314151615.(2017·东北四市联考)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为____.解析　因为当0≤x＜2时，f(x)＝x3－x.又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)＝0，则f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0.又f(1)＝0，∴f(3)＝f(5)＝f(1)＝0，故函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点有7个.解析12345678910111213141516答案716.已知函数f(x)＝2|x－2|＋ax(x∈R)有最小值.(1)求实数a的取值范围；解答12345678910111213141516∴－2≤a≤2，故a的取值范围为[－2,2].(2)设g(x)为定义在R上的奇函数，且当x<0时，g(x)＝f(x)，求g(x)的解析式.解答12345678910111213141516解　∵g(x)为定义在R上的奇函数，∴g(0)＝0.设x>0，则－x<0.∴g(x)＝－g(－x)＝(a－2)x－4，