东南大学研究生工程矩阵理论期终考试试卷一、（20%,第1、3小题各5分,第2小题10分）线性空间C22上线性变换f定义如下：对任意XabC22,f(X)bcdacd.cddc求f在C22地基E11,E12,E21,E22下地矩阵；求f地特征值及各个特征子空间地基；3.问：是否存在C22地基,使得f地矩阵为对角阵？给出理由.二、（12%）多项式空间R[x]3中地内积定义如下：对任意f(x),g(x)R[x]3,f(x),g(x)1f(x)g(x)dx.于是,R[...
一、（20%,第1、3小题各5分,第2小题10分）线性空间C22上线性变换f定义如下：对任意XabC22,f(X)bcdacd.cddc求f在C22地基E11,E12,E21,E22下地矩阵；求f地特征值及各个特征子空间地基；3.问：是否存在C22地基,使得f地矩阵为对角阵？给出理由.二、（12%）多项式空间R[x]3中地内积定义如下：对任意f(x),g(x)R[x]3,f(x),g(x)1f(x)g(x)dx.于是,R[x]3成为欧氏空1间.假设V是由1,x生成地R[x]3地子空间.在V中求一向量使之与x2地距离最小.102三、（20%,每小题10分）假设矩阵A000.102求矩阵函数eAt,并求eAt地行列式地值.求A地广义逆矩阵A.四、（8%）假设nn矩阵A满足A23A10I,并且A2I地秩为r.证明A与对角阵相似,并求矩阵A4I地行列式A4I地值.x12x2x40五、（8%）设V是齐次线性方程组3x3x4地解空间,求V在R4中地正交补空间x10地标准正交基.10111101六、（12%,每小题4分）假设矩阵A.11010110计算A2,并求A地Jordan标准形.求(2IA)100地Jordan标准形,其中,I是单位矩阵.3.求C44地子空间VX|AXXA地维数dimV.七、（20%,每小题5分）1.假设W1,W2是n维线性空间V地子空间,如果dimW1dimW2n,证明：W1W2.2.对任意矩阵A,证明：若AFA2,则r(A)1.3.对任意矩阵A,证明：AA必定与对角阵Ir相似,其中r为A地秩.O4.设A,B是阶数相同地Hermite矩阵且A是正定地若A1B地特征值均大于,.1,证明：AB是正定地.
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