极坐标与直角坐标、普通方程与参数方程 的互相转化

1极坐标与直角坐标、参数方程与普通方程的转化一、直角坐标的伸缩设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩）（）（0,0,yyxx变换，简称伸缩变换．平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示．在伸缩变换Error!下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆（重点考察）．【强化理解】1．曲线C经过伸缩变换后，对应曲线的方程为：x2+y2=1，则曲线C的方程为（　　）A．B．C．D．4x2+9y2=1【解答】解：曲线C经过伸缩变换①后，对应曲线的方程为：x′2+y′2=1②，把①代入②得到：故选：A2、在同一直角坐标系中，求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线4x2＋9y2＝36变成曲线x′2＋y′2＝1．【解答】解：设变换为φ：可将其代入x′2＋y′2＝1，得λ2x2＋μ2y2＝1．{x′＝λx（λ>0），y′＝μy（μ>0），)将4x2＋9y2＝36变形为＋＝1，x29y24比较系数得λ＝，μ＝．13122所以将椭圆4x2＋9y2＝36上的所有点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的，{x′＝13x，y′＝12y．)1312可得到圆x′2＋y′2＝1．亦可利用配凑法将4x2＋9y2＝36化为＋＝1，与x′2＋y′2＝1对应项比较即可得(x3)2(y2)2{x′＝x3，y′＝y2．)二、极坐标1.公式：（1）极坐标与直角坐标的互化公式如下表：点M直角坐标,xy极坐标,互化公式cossinxy222tan0xyyxx已知极坐标化成直角坐标已知直角坐标化成极坐标2.极坐标与直角坐标的转化（1）点：有关点的极坐标与直角转化的思路A：直角坐标,xy化为极坐标,的步骤①运用222tan0xyyxx②在0,2内由tan0yxx求时，由直角坐标的符号特征判断点所在的象限．3B::极坐标,化为直角坐标,xy的步骤，运用cossinxy（2）直线：直线的极坐标与直角坐标转化的思路A：直角坐标转化成极坐标思路：直接利用公式cossinxy，将式子里面的x和y用转化，最后整理化简即可。sincos和例如：x+3y-2=0：用公式将x和y转化，即02-sin3cosB：极坐标转化成直角坐标类型①：直接转化---直接利用公式转化例如：ρ(cosθ＋sinθ)＝12思路：第一步：去括号，ρcosθ＋ρsinθ＝12第二步：用公式cossinxy转化，即12yx类型②：利用三角函数的两角和差公式，即2sin2coskk或思路：第一步：利用两角和差公式把sin(θ±α)或cosθ±α)化开，特殊角的正余弦值化成数字，整理化简第二步：利用公式cossinxy转化例如：直线的极坐标方程是l2sin333解：第一步：利用两角和差公式把sin(θ±α)或cosθ±α)化开特殊角的正余弦值化成数字，整理化简，即433cos3sin33)cos23sin21233)3sincos3cossin2（（第二步：第二步：利用公式cossinxy转化0333,33333cos3sinyxxy即类型③：，该直线经过原点（极点），对应的直角角可以不是特殊角）为倾斜角，可以是特殊（坐标方程为kxx即ytanαy例如：(0)3思路：直接代入033yxxyx，33yx33x即y3tany(注：直线的直角坐标方程一般要求写成一般式：Ax+By+C=0)三、曲线极坐标与直角坐标互换（一）圆的直角与极坐标互换1.圆的极坐标转化成直角坐标类型一：sincos详解：一般要转化成x、y都需要跟搭配，一对一搭配。sin,cos所以两边同时乘以，即0--,sincos22222yxyxyxyx即类型二：2没有三角函数时，可以考虑两边同时平方544222yx即2.圆的直角坐标转化成极坐标3)1()4(22yx解 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 一：拆开--公式代入014sin2cos801428031216822222yxyxyyxx即解题方法二：代入-拆-合031sin2sin16cos8cos3)1sin()4cos(222222即014sin2cos8014sin2cos8)sin(cos2222即【强化理解】1.将下列点的极坐标与直角坐标进行互化．①将点M的极坐标化成直角坐标；(4，143π)②将点N的直角坐标(4，－4)化成极坐标(ρ≥0，0≤θ<2π)．3【解答】解：①∵x＝4cosπ＝4cos＝4×＝－2，y＝4sinπ＝4sin＝2，∴点A的1432π3(－12)1432π33直角坐标是(－2，2)．3②∵ρ＝＝8，tanθ＝＝－，θ∈[0，2π)，又点(4，－4)在第四象42＋（－43）2－43433限，∴θ＝，∴对应的极坐标为．5π3(8，5π3)62、将下列直角坐标方程与极坐标方程进行互化．①y2＝4x;②θ＝(ρ∈R)；π3③ρ2cos2θ＝4;④ρ＝．12－cosθ【解答】解：①将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入y2＝4x，得(ρsinθ)2＝4ρcosθ．化简得ρsin2θ＝4cosθ．②当x≠0时，由于tanθ＝，故tan＝＝，化简得y＝x(x≠0)；当x＝0时，y＝0．显yxπ3yx33然(0，0)在y＝x上，故θ＝(ρ∈R)的直角坐标方程为y＝x．3π33③因为ρ2cos2θ＝4，所以ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝4，即x2－y2＝4．④因为ρ＝，所以2ρ－ρcosθ＝1，因此12－cosθ2－x＝1，化简得3x2＋4y2－2x－1＝0．x2＋y2三、参数方程1.必记的曲线参数方程已知条件普通方程参数方程经过点P(x0，y0)，倾斜角为α)(00xxkyyError!(α为参数)圆心在点M0(x0，y0)，半径为r22020)y-yx-xr（）（Error!(θ为参数)7长半轴a和短半轴b椭圆＋＝1(a＞b＞0)x2a2y2b2Error!(θ为参数)实轴a和虚轴b双曲线－＝1(a＞0，b＞0)x2a2y2b2Error!(θ为参数)已知p抛物线y2＝2px(p＞0)Error!2.参数方程与普通方程的转化（1）参数方程转化成普通方程类型一：含t的消参思路：含有t的参数方程消参时，想办法把参数t消掉就可以啦，有两个思路：思路一：代入消元法，把两条式子中比较简单的一条式子转化成t=f(x)或t=f(y)，思路二：加减消元：让含有t前面的系数相同或成相反数后相加减。例如：曲线C：(t为参数）tytx221222解：思路一：代入消元：∵x＝2＋t，∴t＝x－2，代入y＝1＋t，得y＝x－1，即x－y－1＝2222220.思路二：加减消元：两式相减，x－y－1＝0.类型二：含三角函数的消参思路：三角函数类型的消参一般的步骤就是：移项-化同-平方-相加移项：把除了三角函数的其他相加减数字移动左边8化同：把三角函数前面的系数化成相同平方：两道式子左右同时平方相加：平方后的式子进行相加（注：有时候并不需要全部步骤）例如：圆消参数θ，化为普通方程是(x－1)2＋(y＋2)2＝1.{x＝1＋cosθ，y＝－2＋sinθ)解：移项：（三角函数前面系数已经相同，省去化同，直接平方）sin2cos1yx平方：2222sin2cos1）（）（yx相加：12)y1-x22（）（3.参数方程涉及题型（1）直线参数方程的几何意义（2）距离最值（点到点、曲线点到线、）【强化理解】1、直线l的参数方程为为参数）．写出直线l的直角坐标方程；【解答】直线l的参数方程为为参数）．由上式化简成t=2（x﹣1）代入下式得根据ρ2=x2+y2，进行化简得C：x2+y2=1（2分）9