数学分析习题解答

数学分析习 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 解答§17.1多元函数微分学1．求下列函数的偏导数：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)2.设；求解法1：则解法2：3．设，考察函数f在原点（0，0）的偏导数。解：因为不存在.所以，在原点关于的偏导数为0，关于y的偏导数不存在。4．证明函数在点（0，0）连续但偏导数不存在.证明：记则而所以即在点连续.然而，不存在，即不存在，同理不存在.5．考察函数在点（0，0）处的可微性解：同理而。所以，。即函数在点处可微。6．证明函数在点（0，0）连续且偏导数存在，但在此点不可微。证明：记，则等价于（1）即在点处连续。（2），。即函数在点处偏导数存在。（3）设则当则不存在，所以函数在点处不可微.7．证明函数在点（0，0）连续且偏导数存在，但偏导数在（0，0）不连续，而在原点（0，0）可微.证明：由于所以在点连续。且同理所以在点偏倒数存在。但当时，而不存在。因此，不存在，从而在点不连续。同理可证在点不连续。然而所以在点可微8.求下列函数在给定点的全微分：（1）在点（0，0），（1，1）；（2）在点（1，0）和（0，1）。解：（1）因为在点连续，所以函数在可微。可得（2）因为在点（1，0）、（0，1）连续，所以函数在（1，0）、（0，1）可微，由可得9求下列函数的全微分：（1）；（2）.解：显然函数和的偏导数连续，于是和可微，且（1）因所以（2）因所以10．求曲面在点（1，1，）处的切平面方程和法线方程。解：因在处可微，从而切平面存在。且切平面方程：即法线方程：即11．求曲面在点（3，1，1）处的切平面方程和法线方程。解：分别对求导得得在点（3，1，1）处有，所以根据切平面方程定义得切平面方程为：，即9x+y-z-27=0.法线方程为：即x-3=9(y-1)=9(1-z).12．在曲面z=xy上求一点，使这点的切平面平行于平面x+3y+z+9=0；并写出这前平面方程和法线方程。解：设所求点为，点处切平面法向量为：要使切平面与平面x+3y+z+9=0平行，则有于是求得则点为（-3，-1，3），且点处的切平面方程为：即x+3y+z+3=0.法线方程为：即13．计算近似值：（1）；（2）.解：（1）选函数于是故（2）选取函数则所以14．设圆台上下底的半径分别为R=30cm,r=20cm,高h=40cm.若T,r,h分别增加3mm,4mm,2mm,求此圆台体积变化的近似值。解：圆台体积，于是，其中将及代入上式得§17.2复合函数微分法1．求下列复合函数的偏导数或导数：（1）设，求解：令，由复合变量的求导法则有=（2）设，求解：（3）设，求解：（4）设解：（5）设，求解：用分别 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示函数对第一个中间变量与第二个中间变量的偏导数。（6）设解：2．设，其中f为可微函数，验证解：设3．设其中f为可微函数，证明证：设则4．设f(x,y)可微，证明：在坐标旋转变换，之下，+是一个形式不变量。即若，则必有+=（其中旋转角是常数）证：5.设是可微函数，试求.解：§17.3方向导数与梯度1．求函数在点处沿方向（其方向角分别为60，45，60）的方向导数.解：函数在点(1,1,2)处可微.且于是沿方向的方向导数为.2.求函数在点到点的方向上的方向导数.解：函数在点A(5,1,2)处可微，且而的方向余弦为.故在点A处沿的方向导数为3.求函数在点及点处的梯度以及它们的模。解：因为所以4.设函数，其中，求u的梯度；并指出在空间哪些点上成立等式。解：因此由，得，故使的点是满足方程的点，即在空间以为球心，以1为半径的球面上都有。5．设函数，求它在点的梯度.解：因为所以。6.证明：（1）（2）（3）（4）证：设（1）（2）（3）（4）7．设，试求：（1）（2）grad.解：（1）由得（2）设，则§17.4泰勒公式与极值问题1．求下列函数的高阶偏导数：（1），所有二阶偏导数；(2) ,所有二阶偏导数;（3），，(4)（5）所有二阶偏导数.(6),所有二阶偏导数;(7)解：（1）（2）（3）于是（4）由归纳法知因此，（5）（6）令。则（7）2．设，，证明：.解：于是3．设，证明证：因为所以4．设.证明:.证：同理，于是5．证明定理17.8的推论.证：设是D上任意两点，由于D是区域，可用一条完全在D内的折线连结（图17-1），在直线段上每一点存在邻域由中值定理（定理17.8）得于是即在内是常数。由有限覆盖定理，存在有限个这样的邻域将覆盖，不妨设既然在每个邻域上函数为常数，且在两邻域相交部分函数值相等，故在上为常数，特别同理可证故由的任意性知，在D内常数。6.通过对施用中值定理,证明对某,有.证：在上满足中值定理条件，于是令则即7.求下列函数在指定点处的泰勒公式:（1）=在点（0，0）（到二阶为止）；解：函数在上存在任意阶连续偏导数，且(2)在点(1,1)(到三阶为止);解：函数在点(1,1)的邻域内存在任意阶连续偏导数，且（3）=在点（0，0）；解：因为（4）=在点（1，-2）.解;8.求下列函数的极值点：(1)解：解方程组得稳定点由于（2）解：同课本P138例6。（3）.解：解方程组得稳定点，由于为极小值点。9.求下列函数在指定范围内的最大值与最小值：（1）；解：先求开区域内的可疑极值点。由得稳定点再求边界上的可疑极值点。由得由这时这时所以边界上的稳定点为又所以函数在取得最大值4，在点取得最小值-4。（2）;解：解方程组得稳定点，考察边界（边界上的最大（小）值在可疑极值点和端点之中），有，这时这时，这时所以函数在点取得最大值1，在点取得最小值0。(3)解：解方程组得因此稳定点在上。在区域内部，将代入得于是区域内部仅为稳定点，在边界上，函数值均为零，所以函数在点取得最大值，在边界上取得最小值零。10.在已知周长为的一切三角形中，求出面积最大的三角形.解：设三角形的三边分别是x,y,z.则面积,所述问题就是求函数上的最大值。因D是开区域，把D的边界添加进去得到有界闭区域于是在上一定取到最大值，又在D的边界上的值为0，而在D的内部的值皆大于0，从而在D内一定取到最大值。因与在D内有相同的可疑极值点，所以考虑函数。解方程组得处取得极大值。故面积最大的三角形为边长为的等边三角形，面积。11.在xy平面上求一点,使它到三直线x=0,y=0及x+2y-16=0的距离平方和最小.解：设所求点位（x,y）,则它到x=0的距离为,到的距离为，到的距离为，于是到三直线的距离的平方和为由因此是的极小值点。又这就是说，存在一个圆使得当时，有。因在有界闭域上连续，所以在内取到最小值，由是唯一的极值点知，点是在全平面上的最小值。12.已知平面上n个点的坐标分别是试求一点,使它与这n个点距离的平方和最小.解设所求的点为，它与个点距离的平方和为由因由11题知为所求点。17总练习题1.设,证明.证:由,,得.2.求函数在原点的偏导数与,并考察在的可微性.解: ,.若在点可微，则且而.因此,当时,.从而,矛盾!所以在不可微.3.设, 证明:  (1); (2)证:(1) 设的元素为,则为的代数余子式.于是.从而因为对一切的都成立,所以.(2)利用课本页关于齐次函数的欧拉定理有.易见是次齐次函数.所以.4.设函数具有连续的阶偏导数,试证函数的阶导数.证:应用数学归纳法证明当时,有.令.则.对应用时的结论知:所以对一切的,有.5.设,求.解: 由行列式求导法则知.6.设,求.解: 7.设函数在上有,试求关于的函数式.解:若在上连续,,则.对上任意两点,,由中值定理知:.所以由,对的任意性知与无关.即.再求关于的函数式.因,据上述结论知.因而.从而所以.8.设在点可微,且在给定了个向量,,相邻两个向量之间的夹角为.证明.,,……所以而故9.设为次齐次函数,证明:.证因为为次齐次函数,所以.令,,代入上式并两边对求导得.再对求导次得.令,则,,从而.11.对于函数,试证证因为所以为次齐次函数.因此由上题得