初中数学 解题模型汇总

*目录1●等角套●鸡爪图（旋转大法）●内含半角模型（截长补短+旋转大法）●将军饮马（牛喝水）——两村一路问题及拓展●妙趣横生的“十字架”（四边形+三角形）●中点处理策略——五大模型●角平分线处理策略（双垂、单垂、双等、与平行等腰叠加）●相似模型俱乐部●倍半角处理策略●三角比与解三角形及应用模型（确定即可求的理念进一步深化）●一次函数中K的颜值及其妙用●二次函数常用二级结论及解题套路●反比例函数中的几何模型及二级结论●完美无缺的圆（圆中的模型）●妙不可言、威力无穷的12345模型*目录2●“魔鬼模型”——婆罗摩笈定理及模型●方、不、函综合应用题解题策略●数与代数中的二级结论●正方体展开模型识记●方程与不等式重点、难点、易错点处理策略●瓜豆原理（相似+缩放+旋转的叠加）●胡不归（斜边打折变对边，正弦助力胡可归）●最大张角（米勒定理）●阿氏圆（子母相似邂逅圆创造奇迹）●中考六道大题破解策略总结及示例●作辅助线的的原则●《初中数学116解题模型》完整版●与初中数学紧密相关的几个历史人物●三角形全等的模型与技巧讲义(初二培优特供)*初中数学通关口诀 代数抓精髓；代入是关键。代数一般式；两得全搞定。 算功过三关；解功四门槛。方程辨两类；函数识三型。 函数三姐妹；勾股三用途。系数不为零；指数要相吻。 非负三兄弟；蜕皮两魔鬼。统计要通关；两查走在前。 几何要通透；精髓是特殊。四图加一 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf ；数据整理好。 重点特殊图；识图定性判。数据分析透；三差加三数。 两图谈感情；特殊关系联。概率也不难；频率能估算。 全等加相似；对称与旋转。列表和树型；搞清总和分。 平移与投影；位似也要算。鱼池鱼几多；应用记概型。 考点说举做；做题改变找。动点巧分类；最短牛喝水。 条件挖隐含；分类不漏点。找准临界点；相似巧破题。 思路技巧精；反思记模型。代数两特殊；首先特殊数。 应用均同宗；关系是根本。数数拉关系；方不与函数。 元量同回代；运算有六种。 关系大小等；再加倍比分。 每每有热点；负元巧应用。算功：有理数、无理数、代数式的三种计算功力。解功：指解一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程组、不等式（组）的四种功力。勾股三用途：指勾股定理的计算；列方程；证明垂直的三项功能。*初中数学精髓几何：两个字概括——特殊：特殊图形；特殊关系（全等、相似）。代数：两个字概括——代入：字母的含义代入代数式、方程、不等式或者函数。几何三大方法：全等、相似、勾股定理。辅助线的认识对内分割对外补形压轴题大类：几何综合；代数综合；代几综合。*戏说数学之——代数分式方程（可化为一元一次方程）代数学什么？数以及数与数的关系！*按照数的性质为代数式分类 代数式死数（实数）活数（含字母的数）永正数：非负数+正数非负数：平；绝；根永负数：－（非负数+正数）条件活数（川剧变脸）*戏说数学之——几何几何学什么：特殊的图形以及图形之间的特殊关系！*学习几何要过四关 画图关：按照题意画图形。 语言关：文字语言（自然语言）、图形语言、符号语言这三种语言的转换和翻译。 推理关：证明，推理的能力和步骤。 模型关：掌握常用的几何模型。*等角套等角：产生一对新的等角，“顺藤摸瓜”去确定这一对等角所在的两个可能相似（全等）的三角形，找到条件证之用之——拨开云雾见天日！1*诀曰：歪八套，和歪A，形影不离似孪生。 特殊的三对相似（和四点共圆结合理解更加妙趣横生）若∠D＝∠C，这个图形为“歪8”，显然△AOD∽△BOC，添油加醋—若∠D＝∠C，这个图形为“歪8”，显然△AOD∽△BOC，添油加醋—连接AB、DC，△AOB∽△DOC相似吗？为什么？八字倒角（共边等角，一等三等）：如图：如果∠BAC与∠BDC；∠DAC与∠DBC；∠ABD与∠ACD∠BDA与∠ACB四对共边等角中，有一对相等，则另外三对一定相等。思考：为什么叫“共边等角”？（学了圆，理解、记忆更容易）*母题一ABCDEF1.如图：△ABC和△ADE均为等边三角形，连接BD、CE（手拉手），延长BD交CE于F，连接AF。求证：⑴△ABD≌△ACE⑵∠BFC=60°⑶AF平分∠DFE2.若把上题已知条件中的等边三角形改为等腰直角三角形，∠BAC和∠DAE为直角，请判断：上述结论有什么变化？试证明你的判断。3.若把“1”题已知条件中的等边三角形改为顶角相等的两个等腰三角形，∠BAC和∠DAE顶角，请判断：上述结论有什么变化？试证明你的判断。4.若把“1”中的条件改为：△ABC中，DE∥BC，把△ABC旋转到如图所示的位置。其他条件不变。请判断：上述结论有什么变化？试证明你的判断。ABCDEFDE口诀：手拉手，是旋转，等边等腰和任三。*注意：2中的点M为△ABC的费马点：三角形中到三个顶点距离的和最小的点！且这个最小距离就是DC或BE（为什么？）双等边模型*母题三双正方形模型ABCDEFGH1.如图，四边形ABCD和四边形CEFG均为正方形，G在CD上，BG的延长线交DE于H。求证：⑴BG=DE⑵BG⊥DE（内含：歪八套歪A+四点共圆，与圆结合：宝藏也）ABCDEFGH2.如图，四边形ABCD和四边形CEFG均为正方形，BG交DE于H。求证：⑴BG=DE⑵BG⊥DE（对照“1”，类比推理）*母题四ABC1.如图，等腰直角三角形ABC中，D为斜边BC上的中点，E、F分别在AB、AC上，且ED⊥EF，求证：⑴BE=AF⑵△EDF为等腰直角三角形⑶BE2+CF2=EF2⑷S△ABC=2S四边形AEDFEF2.在“1”中，若EF与AD相交于G，其他条件不变，求证：⑴ED2=EG·EA⑵GE·GF=GA·GDABCEFG*母题五*母题六*2诀曰：共顶点，等线段，绕着顶点来旋转。鸡爪图，三线段，抓住定角也旋转。简释 ：遇到共点等线段出现，可以考虑在共点等线组成的角内找一条过角的顶点的线段（所谓的鸡爪图），把该线段绕角的顶点旋转一个与α相同的角度，构造“等角套”，此时必然会产生一对全等三角形。利用全等的性质去解决问题，事半功倍。ABCDABDCE如图：若已知AB=AC，AD是过A点的一条线段——怎么做辅助线？作AE=AD，且∠EAD=∠BAC（或：把线段AD绕A点旋转一个与∠BAC相等的度数），可以达到柳暗花明又一村的奇效。鸡爪图*母题七ABCD如图：等腰直角△BAC中，∠BAC=90°，D为BC边上任意一点。猜想：AD、BD、DC的数量关系并证明。*母题八四边形+换个角度看等角套：共点等线旋转解题策略1.如图：正方形ABCD内有一点E，且EA=1，EB=2EC=3，求∠AEB的度数。ABCDE鸡爪—旋转（图中几个鸡爪？选择哪个？为什么？）口诀：辅助线，有原则，聚合补全方向明。2.如图：∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC，求证：AB2+BC2=BD2ABCD如果AB=4，BC=3，求BD=？*ABCD┓图解：图中直角=360-（360-30-60）=90*母题九ABCE如图：等边三角形ABC中，EA=3，EB=4，EC=5求∠AEB的度数。*母题十“邻补四边形模型”口诀：对角补，邻边等，知二推一角平分。ABCD邻补四边形：对角互补，邻边相等的四边形！如图：四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，且AB=AC，求证：⑴BD平分∠ADC=90⑵DA+DC=BD⑶S四边形ABCD=1/2BD2特别提示：类似题目可以用“旋转大法”和“截长补短”法以及“角平分线双垂直模型”解决， 建议 关于小区增设电动车充电建议给教师的建议PDF智慧城市建议书pdf给教师的36条建议下载税则修订调整建议表下载 对比提升解题能力。**母题十一ABCD1.如图：四边形ABCD中，∠ABC=60°，∠ADC=120°且AB=AC，求证：⑴BD平分∠ADC⑵DA+DC=BD⑶S四边形ABCD=BD2特别提示：和“母题九”类比，条件和结论分别佛发生了什么变化？2.如图：四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°且AB=AC，求证：BD平分∠ADC问:“1”中的其它结论还成立吗？为什么？*小结，拓展：上面是所谓的共点等线构成的“鸡爪图”，旋转后构成一对全等的三角形。如果是任意的“鸡爪图”呢？可以如法炮制吗？ABCDABDCE如图：若已知AB≠AC，假定AB：AC=m，AD是过A点的一条线段——怎么做辅助线？作AD：AC=m，且∠DAE=∠BAC（或：把线段AC绕A点旋转一个与∠BAC相等的度数，并使AD：AE=m），会发生什么？有全等吗？显然不是！找一找：是不是出现了相似——神气的一转成双！鸡爪图**母题十二*方法*3旋转+截长补短：破解半角模型——诀曰：共顶点，等线段，绕着顶点来旋转。 鸡爪图，三线段，抓住定角也旋转。线段和，要得证，截长补短是正本。正方形，等直三，内含半角转一转。*母题十三1.如图：正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=45°，⑴证明：EF=BE+DF⑵证明△ECF的周长等于正方形ABCD周长的一半。⑶过A作AH⊥EF于H，证明：AH=BC备注：用旋转法和截长补短法两种方法证明。2.如图：在“1”的条件下，连接BD交AE于G，AF于M，连接EM、GF。GF与EM相交于O点。⑴证明：BG2+MD2=GM2⑵证明：△AGF与△AME是等腰直角三角形⑶证明：AE平分∠BEF；AF平分∠DFE⑷证明：△EAB∽△EFG；△ADF∽△EMF⑸图中有至少六个圆内接四边形，太多的相似三角形可以自己去找。GMO更多结论参考下页——正方形内含半角***母题十四邻补四边形内含半角（邻边相等，对角互补的四边形）ABCDEFABCDEFABCEF1.如图：四边形ABCD中，E、F分别是CD、AD上的点，∠ABC=∠ADC=90°且∠EBF=45°，⑴猜想并证明线段EF、CE、AF之间的数量关系备注：用旋转法和截长补短法两种方法证明。2.如图：四边形ABCD中，E、F分别是CD、AD上的点，∠ABC+∠ADC=180°且∠EBF=1/2∠ABC°，⑴猜想并证明线段EF、CE、AF之间的数量关系备注：用旋转法和截长补短法两种方法证明。2.如图：等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，E、F都是AC上的点，且∠EBF=45°，⑴猜想并证明线段EF、CE、AF之间的数量关系备注：用旋转法和截长补短法两种方法证明。此题其实就是母题十二“2”中的第一问！*自造半角模型解体策略：三角形作高翻折！*4将军饮马：这个将军饮的不是马，是数学！解题依据：两点间线段最短；点到直线的垂直距离最短；翻折，对称。解题策略：对称、翻折→化同为异；化异为同；化折为直。口诀：和与差，求最值，将军饮马七模型！··ABP两村一路（异侧）和最小两村一路（同侧）和最小一村两路和最小两村两路和最小两村一路（线段）和最小两村一路（同侧）差最大两村一路（异侧）差最大*母题十五AB函数中的将军饮马（四大模型）★如图：平面直角坐标系中有A、B两点A（1，3）；B（4，2）。⑴若x轴上有一动点P，当PA+PB最短时，求P点的坐标及PA+PB的最小值。⑵若x轴上有一动点P，y轴上有一动点Q，当△APQ的周长最短时，求出P、Q两点的坐标，并求出此时△APQ的周长的最小值。⑶若x轴上有一动点P，y轴上有一动点Q，当四边形AQPB的周长最短时，求出P、Q两点的坐标。⑷若x轴上有一线段EF，且EF=1，当四边形AEFB的周长最短时，求出E、F两点的坐标。ABOO备用图*母题十六“变态的将军饮马”——造桥选址问题**母题十七两村一路**母题十八ABCDMN两村一路*母题十九两村一路*母题二十“变态的”两村一路：固定变量法—* 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 ：先设E点不变，画出P点后在确定E的位置！固定变量法*母题二十一*EF由面积关系得：EF与BC的距离为2，所以，B点的对称点是A，连接AC，AC=5=PB+PC*一村两路母题二十二**母题二十三AOBP·1.如图，∠AOB=30°，点P为∠AOB内部一点，且OP=15，OA、OB上分别有两个动点M、N，当△AMN的周长最短时，求周长的最小值。1.如图，点P为∠AOB内部一点且OP=15，OA、OB上分别有两个动点M、N，当△AMN的周长最短为15时，求∠AOB的度数。AOBP·一村两路*母题二十四两村两路····ABCDMNPQ如图：矩形ABCD中，AC=6，DC=4，DM=1BN=2，P、Q分别为AB、AC上的两个动点，当四边形MNPQ的周长最小时，求周长的最小值。*母题二十五两村一路差最大Oxy··A（2，2）B（8，-6）如图：平面直角坐标系中，A、B两点的坐标已知，在x轴上有一动点P。当|PA-PB|最大时，求P点的坐标，并求出|PA-PB|的最大值。*5十字架模型：诀曰：三角形，四边形，十字架中有乾坤又改斜，又改正，横平竖直有矩形。*【正方形内的十字架结构】1、在正方形ABCD中，BN⊥AM，则常见的结论有哪些？垂等图2、在正方形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、CD、BC、AD边上的点，⑴若EF⊥GH，证明：EF=GH⑵若EF=GH，证明：EF⊥GH以上结论，称之为“垂等图”！以上方法：改斜归正，横平竖直。母题二十六*如图，将边长为4的正方形纸片ABCD折叠，使得点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F在AD边，求折痕FG的长；母题二十七*【解析】连接AE，由轴对称的性质可知，AE⊥FG（应该是FG垂直平分AE）这样就可以直接用上面的结论啦！所以由垂直得到相等，所以FG=AE=（）感悟：慧眼发现十字架！解析*【十字结构在矩形中】【思考】既然正方形内可出现垂直，那么矩形内出现垂直会有什么结论呢？1、如图，在矩形ABCD中，AB=m，AD=n，在AD上有一点E，若CE⊥BD，则CE和BD之间有什么数量关系？证明请。2、如图1，一般情况，在矩形ABCD中，E、F、G、H分别为AD、BC、AB、CD边上的点，当EF⊥GH时，证明：⑴△FME∽GNH⑵EF:GH=AB:BC注意：红色的字很关键否则，上述结论不成立母题二十八*例题2如图，已知直线与x轴、y轴分别交于B、A两点，将△AOB沿着AB翻折，使点O落在点D上，当反比例函数经过点D时，求k的值.母题二十九*【解析】求出点D的坐标就好啦！这个题学生不会做，主要是图不完整，太空啦！所以把它围成一个矩形就好啦！（如图）发现连接OD后，有OD⊥AB（发现没有，矩形内部垂直模型出来了！）解析*如图把边长为AB＝6，BC＝8的矩形ABCD对折，使点B和D重合，求折痕MN的长.母题三十*答案*我们知道直角三角形是可以看成是连接矩形对角线后分成的图形。所以矩形的结论可沿用至直角三角形内——在Rt△ACB中，AC=4，BC=3，点D为AC上一点，连接BD，E为AB上一点，CE⊥BD，当AD=CD时，求AE的长；母题三十一*【解析】如图，补成矩形ACBH，延长CE交AH于点G在Rt△ACB中，AC=4，BC=3，点D为AC上一点，连接BD，E为AB上一点，CE⊥BD，当AD=CD时，求AE的长；*如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，点D为BC边上的中点，BE⊥AD于点E，延长BE交AC于点F，则AF：FC的值为___________.母题三十二*分析：八字相似得：AF：FC=AB：CG又全等得：CG=BD所以：AF：FC=AB：BD=2推广：此题变式：BD：DC=2：3，则：AF：FC=（）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，点D为BC边上的中点，BE⊥AD于点E，延长BE交AC于点F，则AF：FC的值为___________.简答*应2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠ABC＝45°，点D为BC的中点，CE⊥AD于点E，其延长线交AB于点F，连接DF.求证：∠ADC＝∠BDF.母题三十三*如图，过点B作BG⊥BC交CF的延长线于点G.∵∠ACB＝90°，∴∠2＋∠ACF＝90°.∵CE⊥AD，∴∠AEC＝90°，∴∠1＋∠ACF＝180°－∠AEC＝180°－90°＝90°.∴∠1＝∠2.证明：*在△ACD和△CBG中，∠1＝∠2，AC＝CB，∠ACD＝∠CBG＝90°，∴△ACD≌△CBG(ASA)．∴∠ADC＝∠G，CD＝BG.∵点D为BC的中点，∴CD＝BD.∴BD＝BG.*又∵∠DBG＝90°，∠DBF＝45°，∴∠GBF＝∠DBG－∠DBF＝90°－45°＝45°.∴∠DBF＝∠GBF.在△BDF和△BGF中，BD＝BG，∠DBF＝∠GBF，BF＝BF，∴△BDF≌△BGF(SAS)．∴∠BDF＝∠G.∴∠ADC＝∠BDF.*本题运用了构造法，通过作辅助线构造△CBG，△BGF是解题的关键．还可以用十字架来寻找思路.*【十字结构在其他四边形中】1.如图，把边长为AB＝BC＝4且∠B=45°的平行四边形ABCD对折，使点B和D重合，求折痕MN的长.母题三十四*1.如图，把边长为AB＝BC＝4且∠B=45°的平行四边形ABCD对折，使点B和D重合，求折痕MN的长.【解析】看着不熟悉吗？怎么转换为熟悉的模型呢？看下面，补成矩形不就好了！简答*2.如图，若BA=BC=6，DA=DC=8，∠BAD=90°．DE⊥CF，请求出DE：CF的值．母题三十五*2.如图，若BA=BC=6，DA=DC=8，∠BAD=90°．DE⊥CF，请求出DE：CF的值．【解析】咋一看，又是个不 规则 编码规则下载淘宝规则下载天猫规则下载麻将竞赛规则pdf麻将竞赛规则pdf 的图形再仔细看一下条件，发现其实是个轴对称的图形再利用一下条件，可算出BD=10，发现△BCD也是个直角三角形要求DE与CF的比值，仍然往我们熟悉的模型上靠拢将这个图形补成矩形简答*【课后习题】母题三十六*附1：任意三角形中的十字架图中三边三线被分成的六个线段比知二求四！1.平行线截线段成比例定理的应用。2.三角形三条中线交点（重心）的性质定理。母题三十七如图：△ABC中，D、E、F分别是BC、CA、AB上的点，G为AD、BE、CF的交点，且BD:DC=2：1求：AG:GEABCDEFG*附2：等腰三角形中的斜十字ABCDEF如图：△ABC是等腰三角形，D、E分别是BC、CA上的点，AD、BE相交于点F，∠AFE＝∠C求证：⑴△AFE∽△ACD⑵△DBF∽△DAB⑶△BDF∽△BEC⑷△ADB∽△BEC⑸D、C、E、F四点共圆母题三十八*6中点解题策略（五大模型）诀曰：见中点，造垂径，中位倍长加斜中。等腰中，造三线，两个条件快补全。·●“角平分线、中点、垂直”只要出现了两个条件，考虑补全为等腰三角形三线合一模型。*母题三十九1.如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，连接BE并延长AC于点F，AF=EF。求证：AC=BE。倍长中线，立竿见影！2.如图，在△ABC中，AB=12，AC=20，求BC边上中线AD的范围。*母题四十1.2.倍长中线，柳暗花明！*2.解答*母题四十一倍长中线，思如泉涌！*母题四十二三线合一+等角套+旋转大法+类比探究*母题四十三等腰中，造三线，两个条件快补全。三线合一+中位线**母题四十四补全三线合一+中位线(角平分线+垂直=三线合一)***母题四十五造双中:**母题四十六1.2.*取特值(图形或位置特殊化)的妙用!口诀:选填题，巧测量，排除代入特值上F2.的图解，EF为中位线，综合已知条件易得：DE=DF。OK*7角平分线解题策略图中有角平分线，可向两边作垂线。图中有角平分线，可将图形对折看。角平分线加垂线，三线合一试试看，角分线加平行线，等腰三角必呈现。角平分线、平行、等腰三个条件知二推一*ABCMABCDABCEDABCDABC若BM和CM为△ABC的角平分线。∠BMC=()若BD和CD为△ABC的内外角的角平分线。∠BDC=()若AD和AE为△ABC的高和角平分线。则∠EAD=()直角三角形斜高=两条直角边的乘积除以斜边。等边三角形的面积=四分之根号三乘边长的平方。*（2）已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AP平分∠BAC【提示】“图中有角平分线，可向两边作垂线”母题四十七*例题3（1）已知等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD，垂足为点E，求证：BD=2CE母题四十八*F角平分线+垂直=构造三线合一；找全等：△CAF≌△BDACE=EF=1/2CF=1/2DB作辅助性的本质就是：补全图形！*1.在三角形ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点F，过点F作DE//BC，交AB于点D，交AC于点E，若BD+CE=9，则线段DE之长为________母题四十九2.在三角形ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点F，过点F作DE//BC，交AB于点D，交AC于点E，若BD+CE=9，则线段DE之长为________*母题五十*边长为8和4的矩形OABC的两边分别在直角坐标系的x轴和y轴上，若沿对角线AC折叠后，点B落在第四象限F处，设FC交X轴于点D.求（1）点D的坐标；（2）三角形ADC的面积；（3）CD所在的直线解析式；（4）点F的坐标.母题五十一*四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，求证：①AE=EF（若将已知中的E为BC的中点改为E为BC上的一个动点，结论还成立吗）②若E仍为BC之中点，EF与DC交于点H，则AH=AB+CH（AE为∠BAH的平分线）。③AE=EF；AE⊥EF；CF是外角平分线，三者知二推一。你能证明上述结论吗?母题五十二*母题五十三OABCDE如图：OA⊥OC，CD⊥CE，D、E分别在OA、OB上，且CD=CE，求证：⑴OC平分∠AOB⑵OE+OD=⑶S四边形OECD=1/2OC2* 如图，把一个长方形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在两坐标轴上，连接OB、将纸片沿OB折叠，使点A落在点E的位置，若OA=10，AB=5，求E点的坐标。F1.证明OCF与BFE全等。2.利用方程求△BFE各边长.3.求直角三角形BEF的斜高4.求ON=OC+CM=OC+ME5.利用勾股定理求EN.母题五十四*8相似模型口诀：找相似，A八K，正斜射影含子母。 等边相似得平方，一线三等最常用。等腰之中斜十字，缩放大法和瓜豆。圆中对顶和切割，歪八歪A一起来。*一、相似基本模型预备知识：1.三角形中的十字架；2.三角形中的面积比(大A型中的面积关系)；3.全等的各类模型;4.面积2倍模型(如下题)；*等边相似得平方！**特别地：若C为BD的中点，我们称其为中点相似模型（等边相似模型），又可以得到一系列神奇的结论。如：三个相似；一大两小三角形面积和；两条角平分线等。等边相似得平方！***等腰三角形中的斜十字ABCDEF两对歪A一（子母）；歪A必有歪八套*△ADF∽△ACE*二、相似证明等积（等比）示例*母题五十五*母题五十六*母题五十七*母题五十八*三、几何背景下的动点基本模型示例*母题五十九*母题六十*母题六十一*母题六十二*母题六十三*母题六十四*9倍半角模型诀曰：倍半角，三角形，中垂廷长造等腰。 十五度，七十五，倍半应用就是牛。***10解三角形模型（含双勾股、正三角形面积模型）*正切坡度与一次函数斜率K的关系牢记—角优先掌握三类模型解任意三角形增减性：比大小及化简“绝对式”等代替相似简化运算思路清晰与相似结合威力大*直角三角形三边两角知二（至少一边）求三。任意三角形三边三角知三求三（已知中至少有一边。角优先套模型两角一线定乾坤*解直角三角形破题秘诀 三角函数不用愁 求子用乘母用除 四类模型要牢记 少破边角造模型 紧扣模型角优先 勿忘方程设表列 相似不忘随时用 能乘不除少麻烦 能用三角不勾股 能用特值不用普角优先套模型；两角一线定乾坤。一算角；二算边。勾股相似设表列。做辅助；套模型。三角函数要先行。角无用；换模型。解题切记一根筋。*中考数学三角比的应用必做的13道题*母题六十五*母题六十六*母题六十七*母题六十八*母题六十九*母题七十*母题七十一*母题七十二*母题七十三*母题七十四*母题七十五*11一次函数中的几何模型—K的颜值**一次函数中K的特殊求法 找坡度—定坡角—求正切—K即定。 两点纵坐标之差÷横坐标之差（注意顺序） 理解：速度；速率：变化率。 知K反过来亦可求直线与X轴之夹角！ 加深对“斜率”的理解与记忆。两直线夹角为β、，则有：tanβ=*特别提升一次函数y=kx+b中——3-6-9三角形和45-90三角形*一次函数的图象与性质K管方向（增减）；K＞0增函数；k＜0减函数。K相等，两直线平行。K的乘积为-1，两直线垂直。b管位置：y=kx+b是将直线y=kx平移|b|个单位得到的。b＞0向上平移；b＜0向下平移。所以直线Y=kx+b与直线y=kx平行且与y轴的交点为（0，b）一次函数（不含正比例函数）图象的四种情况——*两个一次函数图象的特殊关系：k同b不同则平行；k反b等关于y轴对称；k反b反关于x轴对称。常函数：指类似y=b或x=a的函数。它们不是一次函数，但它们的图象也是一条直线，且与x轴或y轴平行。一次函数图象与两坐标轴围成的三角形的面积=—— K=±1时，正比例函数的图象就是两坐标轴所成直角的平分线。两个一次函数，若K1·K2=-1则这两条直线垂直。*拓展提升 代数式、方程、不等式与函数的关系——Y=kx+bkx+bkx+b＞0kx+b=0kx+b＜0y=kx+bkx+b＞0kx+b＜0kx+b=0★★★其它函数（如二次函数）以此类推！*一次函数的应用解题思路 一分为二：分清横、纵坐标表示的实际意义。 数形结合：数字—坐标图—直线图（示意图）之间做好“翻译”，做到“三合一”。特别是坐标系中每条线段所代表的“情景”。 三法求解：算术法（小学方法）；代数法（待定系数法等）确定关系式；几何法（做好坐标与线段的转换，然后根据全等、相似等几何特征列方程求解，最后将线段转化成坐标）。 三型结合：指函数，方程，不等式的结合。*12二次函数中的几何模型*函数并网——联想解函数题两法定式十看定性*函数大数据因变量Y（或S）自变量x（或t）关系式图象表格辨函数（式辨+图辨+表辨）；定义域+值域；关系式-图象-表格的信息读取一次函数反比例函数二次函数*二次函数演义一个定义：整式；二次；a≠0七种形式：一母六子双0式一般式纵0式横0式截0式两根式统一为顶点式理解记忆一个图象抛物线—轴对称常函数—五点法数形定性两法定式三类应用方程法设表列待定系数法几何背景代数背景实际应用三法定一轴一轴定乾坤七式各自表三点法顶点法交点法综合法思想方法：数形结合-方程思想-设横表纵-配方法-取特值法-最值法-韦达法三大关系：与一次函数与方程；与不等式------■三大关系*a、b、c的分工与合作------一次函数（正比例函数）；反比例函数与二次函数------最高次项从顶点横坐标（对称轴方程）出发）：三种求法确定自变量取值范围---------两不靠三角形面积的求法。*函数六小灵童六种形式的对称轴+求关系式时的对应方法+八个特殊点的坐标=要牢记八仙过海：顶点（0，C）（±1，a±b+c）（±2，4a±2b+c）（±3，9a±3b+c）*确定函数关系式通关补充内容 掌握四类特殊二次函数的关系式的确定 双零式（b=0、c=0、顶点在原点）。设为对应的关系式，只需图象上的一个点的坐标或一对对应值即可确定其关系式。（画图：略） 横零式（b=0，顶点在y轴，对称轴为y轴）：设为对应的关系式，只需图象上的两个点的坐标或两对对应值即可确定其关系式。（画图：略） 纵零式（顶点在x轴，顶点的纵坐标为零）：设为对应的关系式，只需图象上的两个点的坐标或两对对应值即可确定其关系式。（画图：略） 截零式：函数图象与y轴的交点为（0，0），此时，c=0，也可以直接设为对应的关系式，只需图象上的两个点的坐标或两对对应值即可确定其关系式。（画图：略 掌握一般情况下二次函数关系式的五种求法：一般式；顶点式；交点式；顶横式，顶纵式等。*矩形大法*设横表纵，坐距互变；横平竖直；改斜归正，上下左右，矩形大法。yxB（xB,yB）P（xP,yP）A（xA,yA）|yA-yB||xB-xA||xP-xA||yP-yB||yP-yA|O|xB-xP|等腰、直角三角形等存在性动态问题几代结合破解策略（一）注：过左、右两点分别做Y轴的平行线；过上、下两点分别做X轴的平行线，构造矩形！！*铅垂线法*求三角形面积常用的方法：底高法；正弦法（四连乘）；宽高法（铅垂线法）1.底高法：S=（底×高)÷2；2.正弦法：S=两边与其夹角正弦的乘积的一半3.宽高法(铅垂线法)：S=（宽×高）÷2★重点：什么是宽？什么是高？如何确定？（横平竖直；改斜归正）定义：过三角形的一个顶点做y轴的平行线（x轴的垂线）与这个顶点的对边（或延长线）相交，交点到这点的距离（纵坐标的差的绝对值）叫做该三角形的“高”（竖直高）；另外两个顶点的水平距离（横坐标的差的绝对值）叫做该三角形的“宽”（水平宽）。具体操作时有如图所示的三种情形：ABCDmS=（m×AD）÷2ABCDS=（m×CD）÷2ABCDmS=（m×BD）÷2m注：一般来讲：过动点（设横表纵）做y轴的平行线与其对边或延长线相交！*几何背景动态问题思路开始舞台（基本图形）演员点动线动图动边角线路线时间速度路程七要素——拉清单时间范围先搞定，细心确定临界点。算角优先不能忘，七个要素拉清单。紧扣结论设表列，分类讨论是难点。*动态问题分类破题 几何背景：临界点问题—长度、面积的分段函及最值问题；存在性问题（垂直；垂直平分；角相等，角平分；等腰三角形；直角三角形；相似；特殊四边形；线路最段中长等问题。探究性问题（特殊到一般；一般到特殊等） 函数背景：长度、面积的函数关系问题；存在性问题（同上）。 常态与变态之间的化归大法——交轨大法——等积大法；相似大法；三角大法；双勾股大法等。*破解动点问题通关口诀—相似搭桥 等腰——风水轮流转；中线加高亦等腰。 直角——与你同行找相似，勾逆斜中也能行。 平行——比翼双飞成比例，相似等角也可以。 相似——找等角，掉包计（换座位）,顺时针。 最短——两村一路牛吃草。 面积——定底表高用公式；一拆二放全搞定。 长度——设横表纵，标距互变。 平四——三平定位要知晓，判定方法灵活用。 特四——先平后特。一垂两等变菱形；一垂三等正方形。 无关——干掉参数就能成。 思路——以静制动，找准临界，分类体验，设表列解。有相似用相似，无相似造相似。三角函数灵活用。*平行四边形的存在性预备知识：①中点坐标公式；②三平三交定三点；③两对角线端点的横、纵坐标之和分别相等（秒杀必备）；④横平竖直接做辅助。分类三定一动：用②③即可秒杀（本质还是中点坐标公式）两定两动两点之间线段是一条边两点之间线段是对角线利用①②③④综合解决*13反比例函数中的几何模型*式判；图判；参数判。无零函数；与正比例比较和联动。确定K：一点定K，横纵相乘；面积定K，几何意义逆推；实际问题，寻找方程；几何问题，有相似用相似。常用xy=k来判断---注意每个象限顶点坐标；与过圆点的直线的关系；与Y=±X的关系。双对称（轴心）初中唯一的“分式”函数。相等；一半；二倍*式判；图判；参数判。无零函数；与正比例比较和联动。确定K：一点定K，横纵相乘；面积定K，几何意义逆推；实际问题，寻找方程；几何问题，有相似用相似。常用xy=k来判断---注意每个象限顶点坐标；与过圆点的直线的关系；与Y=±X的关系。双对称（轴心）初中唯一的“分式”函数。相等；一半；二倍*位置增减性位置增减性y=kx(k≠0)直线双曲线一三象限y随x的增大而增大一三象限每个象限内，y随x的增大而减小二四象限二四象限y随x的增大而减小每个象限内，y随x的增大而增大填表分析正比例函数和反比例函数的区别* 函数 正比例函数 反比例函数 表达式 图象形状 K>0 K<0反比例函数表达式中k的几何意义反比例长方形：在反比例函数图象上任取一点，过该点分别作坐标轴的垂线，两条垂线与两坐标轴围成的长方形称为反比例长方形。反比例三角形：过反比例函数图象上任一点作一条坐标轴的垂线，这点和垂足、原点构成的三角形叫做反比例三角形。S反比例长方形=|xy|=|k|S反比例三角形ADO=—|k|S反比例直角三角形AEC=2|k|S反比例平行四边形ABCD=2|k|12*特别提升一两正一反面积公式：如图——S△OAB=S梯形ABCD反比例函数分矩形对边成比例定理——如图：AD：DB=CE：EB(AC∥DE)重要的解题思想：基本图形——经验积累——模式识别——ABCD0OABCED熟记基本图形——累积解题经验——识别模式灵活应用——（从简单出发）面积：大三=大梯；小三=小梯*两正一反求面积终极重要公式——积差法ABCD0ABOCD内外积的差的绝对值的一半！！！***如何确定反比例函数的比例系数K 找交点，做垂线， 设横表纵永不变。 横横关系要搞清， 面积为媒要清醒。 几何代数函数牵， 坐距互变几代联。 几何性质找得准， 等量关系列方程。*14圆中的模型*一个模型：垂径图-知二求四几何题：角优先的原则几何计算：先算出角，而后设表列三点确定圆*圆的计算与证明常用八种模型 射影图 斜射影 一线三垂直（正K型） 一线三等角（歪K型） 垂径图 共圆图 弦切图 切割图另外：平行弦；两切图。*圆的计算与证明的基本套路证切线直接证明直角（全等；平行；互余；斜中）一拆二让三余计算三角比让线让角求比（利用相似等）线段长放到一个三角形中解三角形找到相关的两个相似三角形*破解垂径图ABOCD如图所示的模型中：半径（直径）；弦（半弦）；弦心距；弓高；小弦；和其中的角，知道两个条件（至少一个为长度），即可求出另外所有的长度。*弦切角模型PABC原定理：若PA为切线，则∠PAB=∠C逆定理：若∠PAB=∠C，则PA为切线怎么证明（做辅助线）？找切点，过切点的弦和径（直径）做直角三角形即可！*切割图+斜射影APBCO如图：PA为⊙O的切线，PBC为割线，则：⑴∠PAB＝∠ACB⑵△PAB∽△PCA⑶PA的平方=PB·PC*图中无圆，心中有圆，四点共圆┓┓┓┓双直角；对角互补；外角等于内对角；正多边形。利用四点共圆解决角相等，线段成比例，三角形相似等较复杂的几何问题事半功倍，妙不可言！┓┓三类模型：垂径图；弦切图；共圆图；切割图+射影图（斜射影）*另：等腰梯形四个顶点永远共圆！！！*圆上一点两等弦如图：⊙O中，弦AB和AC相等，则过AO的直线为对称轴，且平分∠BAC，直线AO垂直平分BC——等腰三角形三线合一！！ABCO*平行弦夹等弧ABCD*三角形内切圆半径计算公式后一个公式可以用图中6个三角形“拼合后“证明！*三角形外接圆半径计算公式*1．定角对顶边：等腰三角形的面积最大，周长也最大．２．定角夹定高：等腰三角形的面积最小，周长也最小．注：做腰的中垂线，找外接圆的圆心——隐圆处理．*典型例题ABCD已知：正方形ABCD的边长是6，O是对角线AC与BD的交点，点E在CD上且DE=2CE，连接BE，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，则OF的长是=（）EF0提示：根据上述模型，易得：四边形BCFO四点共圆，所以△OGF∽△BGC相似比为OG：OB，自然想到：过E作EM⊥BD，求出EM：EB，易知，BE可求，EM是等腰直角三角形DEM的直角边，DE是知道的，最后，0F：BC（6）=OG：GB=EM：EB（已求出），问题得到解决。MG┏┏母题七十六*四点共圆巧解题等腰三角形ABC中，∠ACB=90°，O是斜边AB的中点，D，E分别在直角边AC，BC上，且∠DOE=90°DE交OC于点P，以下结论正确的有（）ABCODE①∠DEO=45°②△AOD≌△COE③④┓┗**母题七十七*母题七十八*母题七十九*母题八十*母题八十一*母题八十二*母题八十三*母题八十四*母题八十五*母题八十六*母题八十七*中考中和圆的证明和计算考题精选*母题八十八*母题八十九*母题九十*母题九十一*母题九十二*母题九十三*母题九十四*母题九十五*1512345模型*“12345”模型（12345模型）*12345模型图解及典型应用*****12345模型秒杀相关题目ABCDEF45°45°■如图：45°两边的两个角的和为45°，只要知道一个角的正切，立即可以秒森另一个角的正切。■事实上，利用4前面的“背景公式，知道两角的和（比如45°、30°、60°）和其中一个角的正切，我们立即可以求出另外一个角的正切，当然，也可以通过两个角的正切求出这两个角和的正切！32645°*16“魔鬼”模型（顶角互补的共顶点等腰三角形模型）*一个定理+两个弱化模型*********17方、不、函题型破解策略***母题九十六*母题九十七*母题九十八*母题九十九*母题一百*母题一百零一*母题一百零二**母题一百零三*母题一百零四*母题一百零五*母题一百零六*母题一百零七*母题一百零八*母题一百零九*18数与代数式中的解题模型及二级定理*根号中不能有开出去的因式（数）-根号中无有分母；分母中无根号---根号中不能有小数（变分数处理）-运算——加减：先化后算；乘除：先算后化。*复习题纲 三根一式（二次根式与无理式的异同） 三大定义（有理数；无理数；实数） 四大家族；两种分类；五大概念， 一一对应；大小比较。 四个性质（先开后方；先方后开，积根；商根） 五大法则（加减；乘；除；乘方；开方）。 一类化简；六种运算；科零负收尾。*特别提升(a+b)2=a2+b2+2ab应用整体的思想，可以理解为三个数（画线三部分），三个数知二求一是这个公式的另外一种应用。(a-b)2=a2+b2-2ab应用整体的思想，可以理解为三个数（画线三部分），三个数知二求一是这个公式的另外一种应用。小结：两数和、两数的差、两数平方的和、两数的乘积，知二求二。可以让学生自己出题加深理解记忆。*活用公式之总结a2-b2=(a+b)(a-b)a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab(a+b)2-(a-b)2=4ab(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)X2+1/x2=(x+1/x)2-2=(x-1/x)2+2*特别记忆 若过直角三角形两锐角顶点的中线长分别为m和n，则此直角三角形斜边的长为（如图所示）：*三个基本问题 蚂蚁立体对角吃东西路最近—— 立体插杆怎么最长—— 梯子滑动问题——长方体蚂蚁对角爬吃东西求最短路程a、b、c为长宽高计算比较判断求之牢记：最大边平方与另外两边和的平方之和的算术平方根最短*直角三角形快速切换求边法（强化训练——熟练掌握）用比值法抓住已知准确判断快速求值1112345121351213√2√3√5√10用两边的长度或比值确定属于那种类型，用比值知一求二（其它边）*19正方体的展开图* 正方体的表面展开图—— 十一种类型汇总*记忆口诀中四连，一边一个挂两边（1-4-1六个）中三连，歪带帽子鞋任穿（2-3-1三个）中二连，歪戴帽子歪穿鞋（2-2-2一个）无田凹，三三相遇边对边（3对3一个）*特别注意 正方体开时是从里向外展开，外面的字在平面图的下面，否则平面之间的关系会不一样。反之，当我们已知一个平面，要把它折叠成正方体时，则有两种情况：一是向上折起；二是向下折起。产生的两种结果是不一样的！ 知立体图形求展开图，有一种情况，无需分类讨论；知平面图，要折成正方体，则有两种情况，一向上、二向下。*20方程与不等式中的解题模型及二级定理*方法清单一、直接设元二、间接设元三、设辅助未知数（或者整体1）四、设比例份数为未知数（1份）五、整体设元*一个概念；三个系数；五种解法。一个判别；两个关系；综合应用。*拓展：整体思想+换元；与二次函数联袂。换元法图象法*每每问题模型 实际销量=原销量±（价差/前每×后每） 总利=单利×销量 单利=售价-进价（成本）=原单利±价差*一元二次方程中考选择填空压轴题 a≠0 △≥0+题目对根的要求 根的定义（代入——代数之精华） 韦达定理 关于两根的对称式：直接变为和与差式。 关于根的非对称式： 遇高次（一代二违） 遇绝对（两边平方）**△△韦达定理常用模型*【典例2】已知关于x的分式方程A≤-1且a≠-2母题一百一十*【典例4】若关于x的方程有增根，试求k的值。母题一百一十一*母题一百一十二*（3）某渔船出海捕鱼，2010年平均每次出海可捕鱼10吨，2012年平均每次出海仅可捕渔8.1吨，求2010年到2012年平均每年每次出海捕鱼量下降的百分率。（答案：10%）（4）某电视机厂，1月份电视机的产量为5000台，第一季度的后两个月共生产11550台。若每个月电视机产量的增长率相同，求这个增长率。*母题一百一十三***销售问题的两种变化母题一百一十四*母题一百一十五*（1）一个六位数,其最高位上的数字是2,如图:2abcde（省略上划线）,若将该六位数最高位换做9.并把其后五位数与最高位对得:abcde9（省略上划线）.此时,对调后的六位数是原六位数的3倍,求这个六位数.(285713)。计数问题（2）一个两位数，个位上的数字是十位数字的平方还多1，若把个位上的数字与十位上的数字对调，所得的两位数比原数大27，求原两位数。母题一百一十六*（1）有一张长方形的桌子，长6尺，宽3尺，有一块台布的面积是桌面面积的2倍，铺在桌面上时，各边垂下的长度相同，求台布的长和宽各是多少？（精确到0.1尺）（2）如图,在一块长92m,宽60m的矩形耕地上挖三条水渠,水渠的宽度都相等.水渠把耕地分成面积均为885m2的6个矩形小块,水渠应挖多宽.母题一百一十七【面积问题】*（1）△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从A点出发，沿AB边向B点以1cm/s的速度移动，点Q从B点出发，沿BC边向C点以2cm/s的速度移动（点Q到达C点运动停止）如果点P、Q分别从A、B同时出发t秒（t＞0)。 t为何值时间，PQ=6cm? T为何值时，△PBQ的面积等于8cm2?ABCPQ母题一百一十八几何+动点问题*（2）将一条长为56cm的铁丝剪成两段,并把每一段围成一个正方形.(1).要使这两个正方形的面积之和等于100cm2,该怎样剪?(2).要使这两个正方形的面积之和等于196cm2,该怎样剪?(3).这两个正方形的面积之和可能等于200m2吗?*小明将勤工助学挣得的500元钱按一年定期存入银行,到期后取出50元用来购买学习用品剩下的450元连同应得的税后利息又全部按一年定期存入银行如果存款的年利率保持不变,且到期后可得税后本息约461元,那么这种存款的年利率大约是多少?(精确到0