中科大历年考研数学真题

中科大数学专业考研真 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 数学分析线性代数与解析几何目录1线性代数与解析几何11.1中科大2009年研究生入学 考试试题 高中音乐教师业务考试试题学前班考试试题docoffice办公软件考试试题班组级安全教育考试试题及答案银行业从业资格考试试题 线性代数与解析几何...11.2中科大2010年研究生入学考试试题线性代数与解析几何...21.3中科大2011年研究生入学考试试题线性代数与解析几何...41.4中科大2012年研究生入学考试试题线性代数与解析几何...61.5中科大2013年研究生入学考试试题线性代数与解析几何...81.6中科大2014年研究生入学考试试题线性代数与解析几何...91.7中科大2015年研究生入学考试试题线性代数与解析几何...101.8中科大2016年研究生入学考试试题线性代数与解析几何...121.9中科大2017年研究生入学考试试题线性代数与解析几何...13151.10中科大2020年研究生入学考试试题线性代数与解析几何...2.数学分析162.1中科大2009年研究生入学考试试题数学分析..........162.2中科大2010年研究生入学考试试题数学分析..........172.3中科大2011年研究生入学考试试题数学分析..........182.4中科大2012年研究生入学考试试题数学分析..........192.5中科大2013年研究生入学考试试题数学分析..........212.6中科大2014年研究生入学考试试题数学分析..........232.7中科大2015年研究生入学考试试题数学分析..........252.8中科大2016年研究生入学考试试题数学分析..........262.9中科大2017年研究生入学考试试题数学分析..........272.10中科大2018年研究生入学考试试题数学分析..........292.11中科大2020年研究生入学考试试题数学分析..........30第1章线性代数与解析几何1.1中科大2009年研究生入学考试试题线性代数与解析几何1.A=0···a1.........a2n···0,a2k=0,aak−1=1(k=1,2,···,n),求A的Jordan 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 型2.直线l1,l2:(1)证明：两直线异面；(2)求两直线的公垂线。3.向量α1,α2线性无关，α3,α4线性无关，且α1正交与α3,α4,α2正交与α3,α4,证明：这四个向量线性无关。4.A和B是两个不同的方阵，满足A3=B3,AB2=B2A，问A2+B2是否可逆，说明理由。5.α1,···,αn是V的基，对任意c1,···,cn,存在唯一的向量α，使得(α,αi)=ci.6.3阶方阵A的特征值分别为λ1=λ2=9,λ3=−9和λ1与λ2分别对应的特征向量为α1=(1,0,−1),α2=(?,?,?),求矩阵A以及使A对角化的矩阵P7.A是复方阵，线性变换T→AX+XA,证明：如果A可对角化，那么T也可以对角化。8.A是复方阵，定义eA=+∞∑k=0Akk!，证明：det(eA)=etr(A)1.2中科大2010年研究生入学考试试题线性代数与解析几何–2–1.2中科大2010年研究生入学考试试题线性代数与解析几何一.填空题1.二次曲线x2−4xy+y2+10x−10y+21=0的类型是，通过转轴去掉其交叉项的转角角度是(只需填写一个角度即可)2.以曲线y=x2z=2为准线，原点为顶点的锥面方程为.3.以xOy平面上的权限f(x,y)=0绕x轴旋转所得的旋转面的方程是.如果曲线方程是x2−y2−1=0,由此得到的曲面类型是.4.设α1,α2α3α4是线性空间V中4个线性无关的向量,则向量组α1+α2,α2+α3,α3+α4,α4+α1的秩等于.5.在3维实向量空间R3中，设α1=(−1,1,1)T,α2=(1,−1,0)T,α3=(1,0,−1)T,β=(−4,3,4)T,则beta在基α1,α2,α3下的坐标是.6.设n>2,则det=a1+b1a2+b1···an+b1a1+b2a2+b2···an+b2.........a1+bna2+bn···an+bn等于.7.设n>1,矩阵A=0a0−10a1−1.........0an−2−1an−1,则A的特征多项式是.8.λ−矩阵λ−1λλ2−13λ−1λ2+2λ3λ2−1λ+1λ2λ2+1的Smith标准型是.9.用Gram-Schmit正交化 方法 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是将R3(标准内积)的基(1,1,1)T,(−1,0,−1)T,(−1,2,3)T化成的标准正交基是.10.定义所有n阶实线性空间构成的实线性空间V上的对称双线性函数为f(X,Y)=tr(XTY),X,Y∈V,二次型为Q(X)=f(X,X).则Q(X)的正负惯性指数分别为.二.解答题1.求如下线性方程组的通解:x1+x2+x3+x4+x5=13x1+2x2+x3+x4−3x5=−2x2+2x3+2x4+6x5=55x1+4x2+3x3+3x4−x5=01.2中科大2010年研究生入学考试试题线性代数与解析几何–3–2.设空间上有直线l1:x−13=y1=z0和l2:(x,y,z)=(3+2t,t,3t−3).设平面pi与直线l1,l2平行，且pi与l1的距离是√91,求pi的方程。3.设A:U→V为数域F上的线性空间U到V上线性映射.证明：dimKerA+dimImA=dimU4.设A=2−1122−112−1,求方阵P,使得P−1AP为A的Jordan标准形。5.证明：酉矩阵的特征值模长为1。6.设V是n维欧氏空间，(?,?)为其内积，V∗为其对偶空间。证明：(1)对于每个给定的α∈V,映射fα:V→R,β7→(α,β)是V∗中的一个元素.(2)映射f:V→V∗,α7→fα是n维线性空间V到V∗的同构映射.7.设数域F上有限维空间V上线性变换A和B满足AB=aBA(a∈F,a̸=1),且A是可逆线性变换，证明:(1)B为幂零矩阵(即存在正整数n,Bn=0).(2)A和B有一个公共特征向量1.3中科大2011年研究生入学考试试题线性代数与解析几何–4–1.3中科大2011年研究生入学考试试题线性代数与解析几何一.填空题(每小题5分)1.两个平面z=x+2y和z=−2x−y的夹角等于.2.点(0,2,1)到平面2x−3y+6z+1的距离等于.3.二次曲面xy+z2=1的曲面类型是.4.001011111−1=.5.设V是由A1=111−1,A2=211−2,A3=311−3生成的R2×2的子空间，则dimV=.6.已知实线性空间V中的向量α1,α2,α3,α4线性无关，则向量组{α1+α2,α2+α3,α3+α4,α4+α1}的秩等于.7.已知实方阵A=00a110100与B=00a2010100相似，则a=.8.1111λλ21λ2λ4的初等因子组是.9.对R4中的向量α1=(1,0,1,0),α2=(0,−1,1,−1),α3=(1,1,1,1)作Gram-Schmidt正交化和单位化，得到β1,β2,β3,则β3=.10.已知实二次型Q(x,y,z)=ax2+y2+z2+xy+yz+zx正定，则实数a的取值范围是.二.解答题1.设点A(1,1,−1),B(−1,1,1),C(1,1,1)求∆ABC的外接圆的方程.2.求线性方程组的通解：x1+x2+x3+x4+x5=13x1+2x2+x3+x4−3x5=−2x2+2x3+2x4+6x5=55x1+4x2+3x3+3x4−x5=03.设n阶复方阵A的特征值全体为λ1,···,λn,f(x)是一个复系数多项式.求证f(A)的特征值全体为f(λ1),···,f(λn).1.3中科大2011年研究生入学考试试题线性代数与解析几何–5–4.设α1,···,αn是欧式空间V的任意n个向量,n≥1,G=(α1,α1)(α1,α2)···(α1,αn)(α2,α1)(α2,α2)···(α2,αn).........(αn,α1)(αn,α2)···(αn,αn),其中(αi,αj)是V的内积.求证:G正定的充分必要条件是α1,···,αn线性无关。5.设A是无限维线性空间V的线性变换，B是A在ImA上的限制变换.求证：V=ImA⊕KerA的充分必要条件是B可逆。6.已知R2的线性变换A把(1,0)映射到(0,1)，把(0，1)映射到(2,1),并且把圆C:x2+y2=1映射成椭圆E,求：(1)E的方程；(2)E的长轴所在直线的方程；(3)E的面积。1.4中科大2012年研究生入学考试试题线性代数与解析几何–6–1.4中科大2012年研究生入学考试试题线性代数与解析几何一.填空题(每题5分)1.在R3中，直线x=y=z与平面z=x−y的夹角的余弦值等于2.在R3中,方程xy−yz+zx=1所表示的二次曲面类型为.3.在R4中,设三点A,B,C的坐标分别为A(1,0,1,0),B(0,1,0,1),C(1,1,1,1),则∆ABC的面积等于.4.满足f(−1)=0,f(1)=4,f(2)=3,f(3)=16的次数最小的一元多项式f(x)=.5.使线性方程组a2x1+x2+x3=1x1+ax2+x3=ax1+x2+x3=a2有解的实数a的取值范围是.6.已知实方阵A的伴随矩阵A∗=2111110010101001，则A=.7.已知复方阵A的特征方阵λI−A的初等因子组为{λ,λ+1,λ2,λ2,(λ−1)2,(λ−1)3,}则A的最小多项式dA(λ)=,rank(A)=,tr(A)=.8.设n⩾2,则实二次型Q(x1,···,xn)=n∑i=1x2i−(n∑i=1xi)2的 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型为.二.解答题1.求R3中直线x−1=y−2=z−3与x=2y=3z的公垂线方程。2.已知W1,W2是数域F上n维线性空间V的两个子空间.求证:dim(W1⋂W2)+dim(W1+W2)=dimW1+dimW23.设A是数域F上n维线性空间V的线性变化。已知A的特征多项式φA(λ)=f(λ)·g(λ),其中f(λ)g(λ)是数域F上的两个互素的多项式。求证:(1)Imf(A)=Kerg(A)(2)V=Imf(A)⊕Img(A)4.设Q(x)是n元实二次型，V={x∈Rn|Q(x)=0}求证：f(X,Y)=tr(XTAY)是Rn上的子空间⇔Q(x)是半正定或半负定的.5.设R2×2上的线性变换A(x)=AX−XA,其中A=1112(1)求证:f(X,Y)=tr(XTAY)是R2×2上的内积(2)求ImA在f下的一组标准正交基。1.4中科大2012年研究生入学考试试题线性代数与解析几何–7–6.设n⩾2,求如下n阶实方阵A=(aij)n×n的Jordan标准形A=O11......1...1O,即aij=1,i+j∈{n,n+1}0,i+j/∈{n,n+1}1.5中科大2013年研究生入学考试试题线性代数与解析几何–8–1.5中科大2013年研究生入学考试试题线性代数与解析几何一.填空题(每题6分)1.两直线1−x=2y=3z与x=y+2=2z+4的夹角为,距离为2.当实数a,b,c满足时，曲面z=ax2+bxy+cy2是椭圆抛物面.3.实方阵1010110100110001的伴随方阵为,Jordan标准形为.4.设V是次数⩽3的实系数多项式f(x)全体在多项式的加法和数乘运算下构成的实数域上的线性空间.从V的基1,x−1,(x−1)2,(x−1)3到q,x,x2,x3的过渡矩阵为.V上的线性变换A:f(x)7→xf′(x)在1,x−1,(x−1)2,(x−1)3下的矩阵为.A的最小多项式.5.多项式矩阵111λ11λ11λ11λ111的初等因子组为.6.实二次型Q(x1,x2,x3,x4)=x1x2+x1x3+x1x4+x2x3的规范型为.二.解答题1.求x轴绕直线x=y=z−1旋转所得曲面的一般方程.2.设A是数域F上的有限线性空间V上的线性变换,求证:dim(ImA∩KerA)=rankA−rankA23.证明:Cayley-Hamilton定理：数域F上的任意方阵A的特征多项式都是A的零化多项式。4.设A,B是n阶复方阵，Cn×n上的线性变换A:X7→AX−XB.求证:A可逆的充分必要条件是A与B无公共的特征值.5.设A是数域F上的线性空间V上的线性变换，f1(x)和f2(x)是F上的多项式，g(x)是f1(x)和f2(x)的最大公因式,h(x)是f1(x)和f2(x)的最小公倍式.求证:的充要条件Kerh(A)=Kerf1(A)⊕Kerf2(A)是g(A)可逆1.6中科大2014年研究生入学考试试题线性代数与解析几何–9–1.6中科大2014年研究生入学考试试题线性代数与解析几何一.填空题(每空6分)1.原点到直线x+1=y+2=z+3的距离为.2.设点P(1,2,3)与原点关于平面pi对称，则pi的方程为.3.椭圆x2+xy+y2=1的离心率为.4.设f(x)=x2−2ax+2整除g(x)=x4+3x2+ax+2,则常数a=.5.设A=0101−10100−101−10−10,则A−1=,A的Jordan标准型为.6.设V是实数域上的线性空间，V中的向量组{α1,α2,···,α2014}线性无关，则向量组{αi+αj|1⩽i<j⩽2014}的秩为.7.设方阵A的最小多项式dA(x)=x3(x+1)3,则B=A2的最小多项式dB(x)=.8.多项式矩阵x−x2000x+x20001−x2的Smith标准型是.9.设实二次型Q(x,y,z)=ax2+y2+z2+axy−xz正定,则常数a的取值范围是.二.解答题1.设Rn×n上的线性变换A(X)=AXAT,其中A是n阶实方阵,rank(A)=r,求ImA的维数及其一组基。2.设A是线性空间V上的线性变换。求证：存在V的子空间W与ImA同构，并且V=W⊕KerA3.设A是数域F上的n阶数方阵，向量αi满足(λiI−A)nαi=0,i=1,2.求证：若λ1̸=λ2,则F[A](α1+α2)=F[A]α1⊕F[A]α2.(注:F[A]α={f(A)α|f(x)∈F[x]})4.已知欧氏空间V上的非零线性变换A保持向量的夹角不变.求证：存在实数λ使得λA是正交变换.5.设复方阵,i是虚数单位.求酉方阵P使得PA是上三角方阵并且PA的对角线元素都是正实数.1.7中科大2015年研究生入学考试试题线性代数与解析几何–10–1.7中科大2015年研究生入学考试试题线性代数与解析几何一.填空题(每题6分)1.点(1,0,1)关于直线2x−1=y−1=2z−1的对称点为2.设直线l过点(3,7,-8),并且与直线l1:x=y2=−z3,以及直线l2:x−12=y+2=z−3均有交点.则l1与l2的交点为，l与l2的交点为3.二次型x1x2−3x2x3+x1x3的正惯性指数为4.矩阵1√3−√319=，行列式det−In2In3In4In=,其中In表示n阶单位矩阵5.在线性空间M3R中(运算为矩阵的加法和数乘)，考虑线性子空间V=A∈M3(R)|A112011001=112011001A则维数dimV=.6.设A,B,C为n阶矩阵,In表示n阶单位矩阵，则矩阵InAC0InB00In的逆矩阵为7.考虑矩阵A=11111−1−1111−1−11−11−1，则A11−2A21+3A31−4A41=,其中Aij表示相应的代数余子式，方阵A的秩为二.解答题1.设A为行满秩的m×n矩阵,m<n.试证明：存在n阶可逆方阵Q使得A=(Im,0)Q,其中Im为m阶单位矩阵,0为m×(n−m)零矩阵.2.设P3为由次数不超过3的复系数多项式组成的线性空间.考虑其上的线形变换A=xddx:P3→P3试求A的极小多项式.3.考虑行向量空间R4中向量组S={a1=(1,−1,2,4),a2=(0,3,1,2),a3=(1,−1,2,0),a4=(2,1,5,10),a5=(3,0,7,14)}试求向量组S的所有极大线性无关组.4.考虑矩阵A=1020000120100100.试求正交方阵P使得P−1AP为对角阵.1.7中科大2015年研究生入学考试试题线性代数与解析几何–11–5.设A=1109713,p0,q0为正实数,满足p0+q0=1.对于n⩾1,令pnqn=Anp0q0试证明:数列{Pn}n⩾0的极限存在，并求出极限值.1.8中科大2016年研究生入学考试试题线性代数与解析几何–12–1.8中科大2016年研究生入学考试试题线性代数与解析几何一.填空题1.经过直线x=y=2−z且与平面x+2y+3z=5垂直的平面方程式是2.给定空间直角坐标系中点A(1,0,1),B(0,1,−1),C(2,1,2)和D(5,4,1).则四面体ABCD的体积为,点D到平面ABC的距离为3.二次型(x1−x2)2+(x2−x3)2+(x3−x4)2+(x4−x5)2的正惯性指数为.4.矩阵1−11115=，行列式det02In3In0=,其中In表示n阶单位矩阵.5.考虑列分块矩阵A=(β1,β2,β3)以及B=(2β3,β2,−β1).若detA=2,则detB=.6.由向量(0,1,4,14)，(1,2,3,4),(1,1,0,-5)，(3,2,1,-4)以及(2,1,1,1)生成的R的子空间维数为.7.λ-矩阵0λ2−λ0λ2+λ0000λ3−λ的Smith标准型为.8.若1为方阵的特征值，则a=.二.解答题1.设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵,a为非零复数.试证明:a为AB的特征值当且仅当a为BA的特征值.若a=0,该结论还成立吗？请论证或举例说明.2.设n阶正交方阵A和B满足detA=-detB.试证明:det(A+B)=0.3.考虑2×2实方阵全体M2(R)，对于任给的两个2阶方阵A,B,我们定义〈A,B〉=tr(ABt).这里tr表示迹，t表示矩阵转置.(1)试证明:〈?,?〉是M2(R)上的一个内积.(2)在该内积下，试计算向量组1001,1100,0011,100−1的Gram-Schmidt标准正交化.4.考虑[0,1]区间上的连续实函数组成的实线性空间V,设n⩽1,W为{1,x,x2,cdotsxn}生成的子空间,考虑线性变换A=(x+1)ddx:W→W.试证明:dimW=n,且A可对角化,并求出A的所有特征向量.5.设e为自然常数.对于n阶复方阵A,我们定义eA=In+A+A22!+A33!+···.试证明：(1)方阵eA定义合理;(2)det(eA)=etr(A)1.9中科大2017年研究生入学考试试题线性代数与解析几何–13–1.9中科大2017年研究生入学考试试题线性代数与解析几何一.填空题1.A(2,−1,−1),B(1,a,2),C(3,1,2)以及D(1,0,1)共面，则a=2.设直线l:1−x3=y+1=3−z2在平面x−y+z=2上的投影为l1，则l1的方程为，l绕l1旋转所得的曲面方程是3.矩阵11−11101=，行列式det3+a1b2a1b2a1b3a2b13+a2b2a2b3a3b1a3b23+a3b3=4.方阵A=3−212−223−65的最小多项式，Jordan标准形为5.在复线性空间中M3(C)（运算为矩阵的加法和乘法），考虑线性子空间V=X∈M3(C)|X112−111−157=000000000则dimV=6.设1√21√6−1√12121√2−1√61√12−1202√61√12−120ab12为正交矩阵，则a=,b=二.解答题1.给定二次曲面在直角坐标系下的方程x2+y2+z2−xy−xz−yz−2z+1=0，利用正交变换和平移将其化为标准方程，并判断这是什么类型的曲面。2.考虑2阶复方阵M2(C)组成的线性空间，方阵A=7237以及线性变换B:M2(C)→M2(C)满足B(X)=AX−XA，其中X为任意2阶方阵，试证明：B是可对角化的线性变换。3.设V由次数不超过3的实系数多项式组成的线性空间。对于任意的f(x),g(x)∈V，定义(f(x),g(x))=6∫10f(x)g(x)dx。（1）证明：(,)给出了V上的内积结构；（2）设W为由1,x,x3生成的线性子空间（于是，W为欧式空间），U为1,x生成的线性子空间，试计算U在W中的正交补空间。4.设n阶是对称矩阵A,B以及A+B的正惯性指数分别为PA,PB以及PA+B，试证明：PA+B≤PA+PB1.9中科大2017年研究生入学考试试题线性代数与解析几何–14–5.解线性常微分方程dx1dt=x1−x2−x3dx2dt=x2−x1−x3dx3dt=x3−x1−x2，其中xi=xi(t)1.10中科大2020年研究生入学考试试题线性代数与解析几何–15–1.10中科大2020年研究生入学考试试题线性代数与解析几何一.填空题1.直线l:（具体表达式不详）与平面pi:（具体表达式不详）的夹角为，直线到平面的投影方程为，直线绕y轴旋转而得到的曲面方程为。2.矩阵3−14−12020为，行列式det(I4+ααT)=，其中α=(1,1,0,−2)T。3.已知实二次型10002−100−1a100012的正惯性指数为2，则实数a的取值范围为。4.在欧式空间R4中，U是由（具体表达式不详）张成的子空间，V是由（具体表达式不详）张成的子空间，则U∩V的维数为，U⊥∩V的维数为。5.矩阵A=10112a101可对角化，则a=，A的最小多项式为。二.解答题1.给定二次曲面方程（具体表达式不详），试用正交变换与平移将它化为标准方程，并判断它是什么曲面？2.设A是n阶复方阵且不可对角化，试证存在非零矩阵B，使得AB=BA且Bn=0。3.在M2(C)上定义线性变换β:X→AX,A=1201，求β的特征值和特征向量，若尔当标准型。4.给定行向量集合S:（具体表达式不详），试求它的极大线性无关组并给出证明。5.A是n阶实对称方阵，b是n维列向量，证明：A−bbT正定当且仅当A正定且bTA−1b<1。第2章数学分析2.1中科大2009年研究生入学考试试题数学分析1.判断（1）∞∑n=0(1+2i)n3n−2n绝对收敛。(2)缺少2.填空（1）f=11−x在x=−1处展开后的级数，收敛点集为.（2）sin(x2)=x有个根。（3）1−12−14+13−16−18+···+12n−1−14n−2−14n+···的和是。3.f:[0,1]→R，单调递增且f([0,1])是闭集，证明：f在[0,1]上连续。4.f在[0,1]上连续，且∫10f(x)xndx=0,n=0,1,2,···，证明:f≡0.5.是否存在原函数f，使得df满足以下等式：df=xdy−ydx√x2+y2.6.f:N→N,且f−1(N)是有限集，limn→+∞xn存在，证明：limn→+∞xf(n)存在。7.S={(x,y,z)∈R3|xy2z3=1}（1）证明：S在R3确定一张隐式的曲面，并求出一个在点(1,1,1)附近的参数方程。（2）S是否连通，是否紧致？（3）点q∈S,|q|是q到原点的距离，点p满足|p|=infq∈S|q|，求p组成的集合。8.缺少9.设Γ(s)=∫+∞0xs−1e−xdx,S={(x,y,z)|x2+y2+z2=1},用Γ(s)表示第一型曲面积分Γ(s)=∫S(x2+y2)adσ，其中a>−1.2.2中科大2010年研究生入学考试试题数学分析–17–2.2中科大2010年研究生入学考试试题数学分析1.设函数f(x):[0,+∞)→[0,+∞)是一致连续的，α∈(0,1],求证：函数g(x)=fα(x)也在[0,+∞)上一致连续。2.设f(x,y)在R2\{(0,0)}上可微，在(0,0)处连续，且lim(x,y)→(0,0)∂f∂x(x,y)=0,lim(x,y)→(0,0)∂f∂y(x,y)=0.求证：f(x,y)在(0,0)处可微。3.设x0∈(1,32),x1=x20,xn+1=√xn+xn−12,n=1,2,···.求证：数列xn收敛，并求其极限。4.设f(x)在(−∞,+∞)上有连续的导函数，f(0)=0，且曲线积分∫C(ex+f(x))ydx+f(x)dy与路径无关，求∫(1,1)(0,0)(ex+f(x))ydx+f(x)dy5.设α>1，求证：以下含参变量x的无穷积分f(x)=∫+∞1arctan(tx)tαdt定义了(0,+∞)上的一个可微函数，且满足xf′(x)−(α−1)f(x)+arctanx=06.设a,b,c都是正数，计算曲面积分∫∫Sx3dydz+y3dzdx+z3dxdy其中S是上半椭球面x2a2+y2b2+z2c2=1,z≥0，方向朝上。7.设f(x)是定义在实轴上以2pi为周期的奇函数，又f(x)有连续的导函数且满足f′(x)=f(pi2−x)，试求f(x)。8.设∞∑n=1an是一个收敛的正向级数，求证：∞∑n=1a1−1nn也收敛。9.设函数f(x)在[0,+∞)上二阶可导，f(0)≥0，f′(0)≥0，且满足f(x)≤f′′(x)，求证：f(x)≥f(0)+f′(0)x10.1设{an}和{bn}都是正数列，满足limn→+∞bnn=0及limn→+∞bn(anan+1−1)=λ>0求证：（1）limn→+∞an=0；（2）级数∞∑n=1an收敛。2.3中科大2011年研究生入学考试试题数学分析–18–2.3中科大2011年研究生入学考试试题数学分析1.计算（1）limx→+∞x{(1+1x)x−e};（2）∫pi20sin7xdx2.回答下列问题，举例说明或者证明你的结论。（1）是否存在R上不连续的函数，它的绝对值却是处处连续的函数？（2）设f,g是R上的连续函数，如果f(x)=g(x)对所有的有理数成立，是否可以断言f(x)=g(x)在R上是成立的？（3）无穷区间上的连续函数是否能用多项式一致逼近？3.设a,b,c,d是4个不等于1的正数，满足abcd=1，问：a2010+b2010+c2010+d2010和a2011+b2011+c2011+d2011哪个数大？为什么？4.设f:[a,b]→[a,b]（1）如果f是[a,b]上的连续函数，证明：存在ξ∈[a,b]使得f(ξ)=ξ;(2)如果f是[a,b]上的递增函数，证明：存在ξ∈[a,b]使得f(ξ)=ξ。5.（1）把周期为2pi的函数f(x)=x2−pi2,x∈[−pi,pi]展开为Fourier级数。（2）利用上面的级数，计算下列级数的和∞∑n=11n2,∞∑n=1(−1)n1n2,∞∑n=11n4（3）求级数∞∑n=1(−1)ncosnxn2。6.缺少7.设{xn}是一个非负的数列，满足xn+1≤xn+1n2,n=1,2,···证明：{xn}收敛。8.若∞∑n=1an=A，证明：∞∑n=1a1+2a2+···+nann(n+1)=A9.设f是从区间[0,1]映到区间[0,1]的函数，其图像{(x,f(x)):x∈[0,1]}是单位正方形[0,1]×[0,1]的闭子集，证明：f是连续函数。10.设D是封闭光滑曲线L围成的区域，f(x,y)在D¯上有二阶连续偏导数，且a∂2f∂x2+b∂2f∂y2=0其中a,b>0，若f在L上等于常数C，证明：f在D上恒等于C。2.4中科大2012年研究生入学考试试题数学分析–19–2.4中科大2012年研究生入学考试试题数学分析1.在下面三个问题中，如果答案是肯定的，请举出相应的例子；如果答案是否定的，请给出证明。（1）是否存在两个发散的正数列，它们的和是一个收敛数列？（2）是否存在[a,b]上不恒等于0的连续函数，它在[a,b]中的有理点处都取0值？（3）是否存在这样的数列{an}，它满足limn→+∞ann=0但是limn→+∞max{a1,···,an}n̸=0？2.设数列{an}满足limn→∞a2n−1=a,limn→∞a2n=b证明：limn→∞a1+···+ann=a+b23.函数f(x)=∫x2x1tln(t−132)dt,x∈(1,+∞)在何处取最小值？4.设函数f在(0,+∞)上可微，且f′(x)=O(x),x→+∞，证明：f(x)=O(x2),x→+∞5.（1）把周期为2pi的函数f(x)=(pi−x2)2,(0≤x≤2pi)展开为Fourier级数。(2)利用上面的级数，计算下列级数的和：∞∑n=11n2,∞∑n=1(−1)n1n2,∞∑n=11n4（3）求级数∞∑n=1cosnxn2。6.（1）计算幂级数∞∑n=0(n2+1)3nxn的和（2）证明级数∞∑n=1xαe−nx2当α>2时，在(0,+∞)中一致收敛。7.设z=f(x,y)在R2上有连续的二阶偏导数，且满足方程6∂2z∂x2+∂2z∂x∂y−∂2z∂y2(1)试确定a的值，使得在变换ξ=x−2y,η=x+ay,(a̸=−2)2.4中科大2012年研究生入学考试试题数学分析–20–下方程（1）被简化为∂2z∂ξ∂η=0并由此求偏微分方程（1）的解。8.设D是R3中的有界闭区域，f在D上连续且有偏导数，如果在D上有∂f∂x+∂f∂y+∂f∂z=f,f|∂D=0，其中∂D即D的边界，证明：f在D上恒等于0.9.（1）计算∫∫∫V√a2−x2−y2−z2dxdydz其中V是R3中以原点为中心，a为半径的球。（2）设S是R3中不通过原点的光滑封闭曲面，S上点P处的外单位法向量n⃗=(cosα,cosβ,cosγ)，试就原点在S所包围区域的外部或内部两种情形计算曲面积分∫∫Sxcosα+ycosβ+zcosγ(ax2+by2+cz2)32dσ其中a,b,c都是正数。10.设f:(0,+∞)→(0,+∞)是一个单调递增的函数，如果limx→+∞f(2x)f(x)=1证明：对任意m>0，都有limx→+∞f(mx)f(x)=12.5中科大2013年研究生入学考试试题数学分析–21–2.5中科大2013年研究生入学考试试题数学分析1.回答下列问题，并说明肯定或否定的理由：（1）如果∞∑n=1un(x)在(a,b)的任一闭子区间[α,β]⊂(a,b)中一致收敛，能否判定它在(a,b)中处处收敛？能否判定它在(a,b)中一致收敛？（2）点集E={(x,y)∈R2:xy>0}是不是R2中的区域？是不是R2中的开集？2.设limn→∞an=a(1)试用ϵ−N语言证明：limn→∞a1+···+ann=a;（2）证明：limn→∞a1+a22+···+annlnn=a。3.计算积分（1）∫+∞0x−sinxx3dx（2）∫∫x2+y2≤1(3xy2−x2)dxdy4.证明：不等式13tanx+23sinx>x对于所有的x∈(0,pi2)成立。5.设f(x,y)=xy2x2+y2,(x,y)̸=(0,0)0,(x,y)=(0,0)证明：（1）f在(0,0)处连续；（2）f在(0,0)处沿任意方向的方向导数都存在；（3）f在(0,0)处不可微。6.证明：函数f(x)=sinxx在(0,+∞)中一致连续。7.把周期为2pi的函数f(x)=x2,x∈[−pi,pi]展开为Fourier级数，并计算下列级数的和∞∑n=11n2,∞∑n=11n4,∞∑n=1(−1)ncosnxn28.设f是[a,b]上的正值可积函数，证明：存在c∈(a,b)使得∫caf(x)dx=∫bcf(x)dx=12∫baf(x)dx9.设f∈C1(R3),a,b,c是非零实数，证明：在R3上成立1a∂f∂x=1b∂f∂y=1c∂f∂z的充分必要条件是存在g∈C1(R)使得f(x,y,z)=g(ax+by+cz)2.5中科大2013年研究生入学考试试题数学分析–22–10.设a>0,ac−b2>0,α>12，证明：∫+∞−∞dx(ax2+2bx+c)α=(ac−b2)12−αa1−αΓ(α−12)Γ(α)√pi其中Γ是Gamma函数。2.6中科大2014年研究生入学考试试题数学分析–23–2.6中科大2014年研究生入学考试试题数学分析1.回答下列问题，举例说明或者证明你的结论。（1）如果∫+∞0f(x)dx收敛，是否可以断言limx→+∞f(x)=0？（2）如果∞∑n=1an2<+∞，能否断言+∞∑n=1an和+∞∑n=1(−1)n−1an至少有一个收敛？2.计算下列极限的值：（1）limx→+∞(x−x2ln(1+1x))；（2）limx→0cosx−e−x22sin4x。3.计算下列积分：（1）∫10(∫10max(x,y)dy)dx；（2）∫10lnxxαdx,α<1。4.设{an}+∞n=1是一个非负数列，满足an+1≤an+1n2,n=1,2,···证明：{an}收敛。5.设f在(0,+∞)上有三阶导数，如果limx→+∞f(x)和limx→+∞f′′′(x)都存在且有限，证明：limx→+∞f′(x)=limx→+∞f′′(x)=limx→+∞f′′′(x)=06.设f,g都是[a,b]上的连续函数，证明：存在ξ∈[a,b]使得g(ξ)∫ξ1f(x)dx=f(ξ)∫bξg(x)dx7.设limn→+∞an=a∈R，证明：（1）幂级数+∞∑n=0anxn的收敛半径R≥1；（2）设f(x)=+∞∑n=0anxn，那么limx→1−(1−x)f(x)=a；（3）limx→1−(1−x)∫x0f(t)1−tdt=a8.设z=f(x,y)在R2上有连续的二阶偏导数，且满足方程14∂2z∂x2+5∂2z∂x∂y−∂2z∂y2(1)试确定λ的值，使得在变换ξ=x+λy,η=x−2y,(λ̸=−2)下方程（1）被简化为∂2z∂ξ∂η=0并由此求偏微分方程（1）的解。2.6中科大2014年研究生入学考试试题数学分析–24–9.设F⃗=(a−1y+yz,xz+bxy2,−cxyz2)其中a,b,c是三个常数（1）问a,b,c取何值时，F⃗是有势场；（2）当F⃗为有势场时，求出它的势函数。10.设u(x,y)在R2上有连续的二阶偏导数，且恒取正值，证明：u满足方程u∂2u∂x∂y=∂u∂x∂u∂y的充分必要条件为u(x,y)=f(x)g(y)，其中f,g在R上有二阶连续导数。2.7中科大2015年研究生入学考试试题数学分析–25–2.7中科大2015年研究生入学考试试题数学分析1.求极限limx→+∞(sin1x)∫x0|sint|dt2.求二元函数F(x,y)=x√1+x2+y√1+y2在闭区域x≥0,y≥0,x+y≤1上的最大值。3.设a,b是正数，计算二重积分∫∫D(x2+y2)dxdy其中D是椭圆盘x2a2+y2b2≤14.设R>0，计算曲面积分∫∫S(xy2+13x3)dydz+yz2dzdx+R3dxdy