高考数学（文科）总复习：平面向量的数量积

第3课时　平面向量的数量积第五章　平面向量与复数高考数学（文科）总复习…复习任务…1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2．体会平面向量的数量积与向量投影的关系．3．掌握数量积的坐标 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示，会进行平面向量数量积的运算．4．能运用数量积表示两个向量的夹角．5．会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．请注意这部分知识是向量的核心内容，向量的平行、垂直关系是向量间最基本最重要的位置关系，而向量的夹角、长度是向量的数量特征，是必考的重要内容之一．∠AOB＝θ0°≤θ≤180°90|a|·|b|cosθx1x2＋y1y2数量积的有关概念(1)两个非零向量a与b，过O点作eq\o(OA,\s\up16(→))＝a，eq\o(OB,\s\up16(→))＝b，则_________，叫做向量a与b的夹角；范围是____________．(2)a与b的夹角为___度时，a与b垂直，记作a⊥b.(3)若a与b的夹角为θ，则a·b＝_________．(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝__________．|a|cosθx1x2＋y1y2＝0x1y2－x2y1＝0(5)a在b的方向上的投影为_______．(6)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，夹角为θ，则|a|＝_______，cosθ＝_______________．a⊥b⇔____________．a∥b⇔____________．b·aa·(λb)a·c＋b·c数量积满足的运算律已知向量a，b，c和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律：(1)a·b＝___．(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝______．(3)(a＋b)·c＝________．注意(1)两个向量的数量积是一个实数．∴0·a＝0(实数)，而0·a＝0.(2)数量积不满足结合律(a·b)·c≠a·(b·c)．(3)a·b中的“·”不能省略．1．下列结论正确的打“√”，错误的打“×”．(1)两个向量的数量积是一个向量．(2)向量在另一个向量方向上的投影也是向量．(3)若a·b>0，则a和b的夹角为锐角；若a·b<0，则a和b的夹角为钝角．(4)若a·b＝0，则a＝0或b＝0.(5)(a·b)·c＝a·(b·c)．(6)若a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c. 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×　(6)×2．(课本习题改编)已知向量a与b的夹角为eq\f(π,3)，|a|＝eq\r(2)，则a在b方向上的投影为(　　)A.eq\r(3)　　　　　　　　　B.eq\r(2)C.eq\f(\r(2),2)D.eq\f(\r(3),2)答案　C解析　∵a在b方向上的投影为|a|·cos〈a，b〉＝eq\r(2)coseq\f(π,3)＝eq\f(\r(2),2).选C.3．(2018·课标全国Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝(　　)A．4B．3C．2D．0答案　B解析　a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2－(－1)＝3，故选B.4．已知a，b都是单位向量，a·b＝－eq\f(1,2)，则|a－b|＝(　　)A.eq\r(3)B．3C．2D．1答案　A解析　∵|a－b|2＝(a－b)2＝|a|2－2a·b＋|b|2＝3，∴|a－b|＝eq\r(3).5．(2014·重庆)已知向量a与b的夹角为60°，且a＝(－2，－6)，|b|＝eq\r(10)，则a·b＝________．答案　10解析　∵a＝(－2，－6)，∴|a|＝eq\r(（－2）2＋（－6）2)＝2eq\r(10).∴a·b＝2eq\r(10)×eq\r(10)cos60°＝10.6．(2017·课标全国Ⅰ，理)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________．答案　2eq\r(3)解析　本题考查向量的运算．|a＋2b|＝eq\r(（a＋2b）2)＝eq\r(a2＋4b2＋4a·b)＝eq\r(22＋4＋4×2×1×cos60°)＝2eq\r(3).题型一　平面向量的数量积的运算(1)已知|a|＝2，|b|＝5，若：①a∥b；②a⊥b；③a与b的夹角为30°，分别求a·b.【思路】　根据非零向量数量积的定义直接求解即可，只需确定其夹角θ.【解析】　①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角为0°.∴a·b＝|a||b|cos0°＝2×5×1＝10.若a与b反向，则它们的夹角为180°.∴a·b＝|a||b|cos180°＝2×5×(－1)＝－10.②当a⊥b时，它们的夹角为90°.∴a·b＝|a||b|cos90°＝2×5×0＝0.③当a与b的夹角为30°时，a·b＝|a||b|cos30°＝2×5×eq\f(\r(3),2)＝5eq\r(3).【答案】　①±10　②0　③5eq\r(3)(2)已知点A，B，C满足|eq\o(AB,\s\up16(→))|＝3，|eq\o(BC,\s\up16(→))|＝4，|eq\o(CA,\s\up16(→))|＝5，则eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))·eq\o(CA,\s\up16(→))＋eq\o(CA,\s\up16(→))·eq\o(AB,\s\up16(→))的值是________．【解析】　方法一：如图，根据题意可得△ABC为直角三角形，且B＝eq\f(π,2)，cosA＝eq\f(3,5)，cosC＝eq\f(4,5)，∴eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))·eq\o(CA,\s\up16(→))＋eq\o(CA,\s\up16(→))·eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(BC,\s\up16(→))·eq\o(CA,\s\up16(→))＋eq\o(CA,\s\up16(→))·eq\o(AB,\s\up16(→))＝4×5cos(π－C)＋5×3cos(π－A)＝－20cosC－15cosA＝－20×eq\f(4,5)－15×eq\f(3,5)＝－25.方法二：如图，建立平面直角坐标系，则A(3，0)，B(0，0)，C(0，4)．∴eq\o(AB,\s\up16(→))＝(－3，0)，eq\o(BC,\s\up16(→))＝(0，4)，eq\o(CA,\s\up16(→))＝(3，－4)．∴eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(BC,\s\up16(→))＝－3×0＋0×4＝0，eq\o(BC,\s\up16(→))·eq\o(CA,\s\up16(→))＝0×3＋4×(－4)＝－16，eq\o(CA,\s\up16(→))·eq\o(AB,\s\up16(→))＝3×(－3)＋(－4)×0＝－9.∴eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))·eq\o(CA,\s\up16(→))＋eq\o(CA,\s\up16(→))·eq\o(AB,\s\up16(→))＝－25.方法三：eq\o(CA,\s\up16(→))在eq\o(BC,\s\up16(→))上的投影为数量CB，eq\o(CA,\s\up16(→))在eq\o(AB,\s\up16(→))上的投影为数量BA，因此eq\o(BC,\s\up16(→))·eq\o(CA,\s\up16(→))＝－eq\o(BC,\s\up16(→))2＝－16，eq\o(CA,\s\up16(→))·eq\o(AB,\s\up16(→))＝－eq\o(AB,\s\up16(→))2＝－9，eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(BC,\s\up16(→))＝0.∴eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))·eq\o(CA,\s\up16(→))＋eq\o(CA,\s\up16(→))·eq\o(AB,\s\up16(→))＝－25.方法四：eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))·eq\o(CA,\s\up16(→))＋eq\o(CA,\s\up16(→))·eq\o(AB,\s\up16(→))＝0＋eq\o(CA,\s\up16(→))·(eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(AB,\s\up16(→)))＝eq\o(CA,\s\up16(→))·eq\o(AC,\s\up16(→))＝－eq\o(AC,\s\up16(→))2＝－25.方法五：∵eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(CA,\s\up16(→))＝0，将其两边平方可得eq\o(AB,\s\up16(→))2＋eq\o(BC,\s\up16(→))2＋eq\o(CA,\s\up16(→))2＋2(eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(CA,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))·eq\o(CA,\s\up16(→)))＝0，故eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(CA,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))·eq\o(CA,\s\up16(→))＝－eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up16(→))2＋eq\o(BC,\s\up16(→))2＋eq\o(CA,\s\up16(→))2)＝－25.【答案】　－25★状元笔记★向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2；(3)注意共线时θ＝0°或180°，垂直时θ＝90°，三种特殊情况．A．－1　　　　　　　　B．0C．1D．2【解析】　由已知得|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，∴(2a－b)·b＝2a·b－b2＝2|a||b|cos〈a，b〉－|b|2＝2×1×1×cos60°－12＝0，故选B.【答案】　B(2)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则eq\o(AE,\s\up16(→))·eq\o(BD,\s\up16(→))＝________．【解析】　方法一：eq\o(AE,\s\up16(→))·eq\o(BD,\s\up16(→))＝(eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up16(→)))·(eq\o(AD,\s\up16(→))－eq\o(AB,\s\up16(→)))＝eq\o(AD,\s\up16(→))2－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up16(→))2＝22－eq\f(1,2)×22＝2.方法二：以A为原点建立平面直角坐标系(如图)，可得A(0，0)，E(1，2)，B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，eq\o(AE,\s\up16(→))＝(1，2)，eq\o(BD,\s\up16(→))＝(－2，2)，则eq\o(AE,\s\up16(→))·eq\o(BD,\s\up16(→))＝(1，2)·(－2，2)＝1×(－2)＋2×2＝2.【答案】　2(3)(2018·西安高新一中四模)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝eq\f(π,4)，若eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(AC,\s\up16(→))＝2eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(AD,\s\up16(→))，则eq\o(AD,\s\up16(→))·eq\o(AC,\s\up16(→))＝________．【思路】　本题可从已知的向量等式出发，结合图形活用向量的加、减法运算及其几何意义求解；亦可通过建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求解．【解析】　方法一：因为eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(AC,\s\up16(→))＝2eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(AD,\s\up16(→))，所以eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(AC,\s\up16(→))－eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(AD,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(AD,\s\up16(→))，所以eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(DC,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(AD,\s\up16(→)).因为AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝eq\f(π,4)，所以2|eq\o(AB,\s\up16(→))|＝|eq\o(AB,\s\up16(→))||eq\o(AD,\s\up16(→))|coseq\f(π,4)，化简得|eq\o(AD,\s\up16(→))|＝2eq\r(2).故eq\o(AD,\s\up16(→))·eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\o(AD,\s\up16(→))·(eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(DC,\s\up16(→)))＝|eq\o(AD,\s\up16(→))|2＋eq\o(AD,\s\up16(→))·eq\o(DC,\s\up16(→))＝(2eq\r(2))2＋2eq\r(2)×2coseq\f(π,4)＝12.方法二：如图，建立平面直角坐标系xAy.依题意，可设点D(m，m)，C(m＋2，m)，B(n，0)，其中m>0，n>0.则由eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(AC,\s\up16(→))＝2eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(AD,\s\up16(→))，得(n，0)·(m＋2，m)＝2(n，0)·(m，m)，所以n(m＋2)＝2nm，化简得m＝2.故eq\o(AD,\s\up16(→))·eq\o(AC,\s\up16(→))＝(m，m)·(m＋2，m)＝2m2＋2m＝12.【答案】　12【解后反思】　方法一侧重于考查数量积公式a·b＝|a||b|cosθ在解题中的运用，解题过程具有一定的技巧性，需要借助向量加、减法的运算及其几何意义进行适当变形；方法二通过建立平面直角坐标系，借助数量积的坐标运算公式a·b＝x1x2＋y1y2求解，较为简捷、明了．在 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 两向量的夹角时，必须使两个向量的起点重合，如果起点不重合，可通过“平移”实现．本题方法一中，涉及向量eq\o(AD,\s\up16(→))与eq\o(DC,\s\up16(→))的夹角，注意其夹角不是∠ADC，而是∠ADC的补角．题型二　向量的模(1)已知向量a，b满足|a|＝6，|b|＝4，且a与b的夹角为60°，求|a＋b|和|a－3b|.【思路】　本例题介绍两种求向量模的方法：①利用|a＋b|2＝(a＋b)·(a＋b)；②构造模型，利用向量的加法和减法求模．【解析】　方法一：因为|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，所以a·b＝|a|·|b|·cosθ＝6×4×eq\f(1,2)＝12，(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝36＋24＋16＝76，(a－3b)2＝a2－6a·b＋9b2＝36－72＋144＝108.所以|a＋b|＝2eq\r(19)，|a－3b|＝6eq\r(3).方法二：如图所示，eq\o(OA,\s\up16(→))＝a，eq\o(OC,\s\up16(→))＝b，则eq\o(OB,\s\up16(→))＝a＋b，由a，b的夹角为60°知，∠AOC＝60°，∠BAO＝120°，在△AOB中，由余弦定理，得|a＋b|＝|eq\o(OB,\s\up16(→))|＝eq\r(62＋42－2×6×4×cos120°)＝2eq\r(19).如图所示，仿上可求得|a－3b|＝|eq\o(FE,\s\up16(→))|＝6eq\r(3).【答案】　2eq\r(19)，6eq\r(3)(2)已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是(　　)A．1　　　　　　　　　B．2C.eq\r(2)D.eq\f(\r(2),2)【解析】　方法一：设出单位向量的坐标和向量c的坐标，将问题转化为求函数的最值．设|c|＝r，设a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(rcosθ，rsinθ)，则(a－c)·(b－c)＝0，即(1－rcosθ，－rsinθ)·(－rcosθ，1－rsinθ)＝0，即－rcosθ＋r2cos2θ－rsinθ＋r2sin2θ＝0，即r2＝r(sinθ＋cosθ)．当r≠0时，则r＝sinθ＋cosθ＝eq\r(2)sin(θ＋eq\f(π,4))≤eq\r(2)，即|c|的最大值是eq\r(2).方法二：直接设出向量的直角坐标，把问题转化为坐标平面内曲线上的问题，根据曲线的几何意义解决．设a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(x，y)，则(a－c)·(b－c)＝0，即(1－x，－y)·(－x，1－y)＝0，即x2＋y2－x－y＝0，即(x－eq\f(1,2))2＋(y－eq\f(1,2))2＝eq\f(1,2)，这是一个圆心坐标为(eq\f(1,2)，eq\f(1,2))，半径为eq\f(\r(2),2)的圆，所求的问题等价于这个圆上的点到坐标原点的最大距离，根据图形，最大距离是eq\r(2)，即所求的最大值为eq\r(2).方法三：因为|a|＝|b|＝1，a·b＝0，展开(a－c)·(b－c)＝0后得|c|2＝c·(a＋b)．由于a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，故|a＋b|＝eq\r(2).设〈a＋b，c〉＝θ，则|c|2＝c·(a＋b)＝|c|·|a＋b|cosθ，当|c|≠0时，|c|＝|a＋b|·cosθ＝eq\r(2)cosθ≤eq\r(2)，故|c|的最大值是eq\r(2).【答案】　C★状元笔记★利用数量积求解长度(模)问题的处理方法(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a)；(2)|a±b|＝eq\r(（a±b）2)＝eq\r(a2±2a·b＋b2)；(3)若a＝(x，y)，则|a|＝eq\r(x2＋y2).A.eq\r(3)　　　　　　　　B．2eq\r(3)C．4D．2【解析】　∵a＝(2，0)，∴|a|＝2，∴|a＋2b|＝eq\r(（a＋2b）2)＝eq\r(a2＋4b2＋4a·b)＝eq\r(4＋4×1＋4×2×1×cos60°)＝2eq\r(3).故选B.【答案】　B(2)已知向量a与b的夹角为120°，|a|＝3，|a＋b|＝eq\r(13)，则|b|等于(　　)A．5B．4C．3D．1【解析】　方法一：|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝|a|2＋2|a||b|cos120°＋|b|2＝32＋2×3×|b|×(－eq\f(1,2))＋|b|2＝9－3|b|＋|b|2＝13，即|b|2－3|b|－4＝0，解得|b|＝4或|b|＝－1(舍去)．方法二：(构造法)根据向量运算的平行四边形法则，作向量eq\o(OA,\s\up16(→))＝a，eq\o(OB,\s\up16(→))＝b，使得∠AOB＝120°且|eq\o(OA,\s\up16(→))|＝3，分别以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则eq\o(OC,\s\up16(→))＝a＋b，且|eq\o(OC,\s\up16(→))|＝eq\r(13)，如图所示，则有|b|＝|eq\o(OB,\s\up16(→))|＝|eq\o(AC,\s\up16(→))|，在△OAC中，∠OAC＝60°，由余弦定理得cos∠OAC＝eq\f(|\o(OA,\s\up16(→))|2＋|\o(AC,\s\up16(→))|2－|\o(OC,\s\up16(→))|2,2|\o(OA,\s\up16(→))||\o(AC,\s\up16(→))|)＝eq\f(9＋|\o(AC,\s\up16(→))|2－13,2×3×|\o(AC,\s\up16(→))|)＝eq\f(1,2)，解得|eq\o(AC,\s\up16(→))|＝4，从而|b|＝4.【答案】　B题型三　向量的夹角(1)已知|a|＝1，a·b＝eq\f(1,2)，(a－b)·(a＋b)＝eq\f(1,2)，求：①a与b的夹角；②a－b与a＋b的夹角的余弦值．【思路】　解决本题的关键是求|b|，|a－b|和|a＋b|的值，然后运用夹角公式求出．【解析】　①∵(a－b)·(a＋b)＝|a|2－|b|2＝eq\f(1,2)，又∵|a|＝1，∴|b|＝eq\f(\r(2),2).设a与b的夹角为θ，则cosθ＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(\f(1,2),1·\f(\r(2),2))＝eq\f(\r(2),2).∴θ＝45°.②∵(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，∴|a－b|＝eq\f(\r(2),2).∵(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝eq\f(5,2)，∴|a＋b|＝eq\f(\r(10),2).设a－b与a＋b的夹角为φ，则cosφ＝eq\f(（a－b）·（a＋b）,|a－b|·|a＋b|)＝eq\f(\f(1,2),\f(\r(2),2)×\f(\r(10),2))＝eq\f(\r(5),5).即a－b与a＋b夹角的余弦值为eq\f(\r(5),5).【答案】　①45°　②eq\f(\r(5),5)(2)(2019·陕西省宝鸡市高三一检)已知向量a＝(－2，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是(　　)A．(－eq\f(1,2)，2)∪(2，＋∞)　　B．(2，＋∞)C．(－eq\f(1,2)，＋∞)D．(－∞，－eq\f(1,2))【解析】　依题意，当a与b的夹角为钝角时，a·b＝－2λ－1<0，解得λ>－eq\f(1,2).而当a与b共线时，有－2×1＝－λ，解得λ＝2，即当λ＝2时，a＝－b，a与b反向共线，a与b的夹角为π，不是钝角，因此，当a与b的夹角为钝角时，λ的取值范围是(－eq\f(1,2)，2)∪(2，＋∞)，选A.【答案】　A(3)已知向量a，b满足|a|＝|b|＝1，且|ka＋b|＝eq\r(3)|a－kb|(k>0)，那么向量a与向量b的夹角的最大值为________．【解析】　由|ka＋b|＝eq\r(3)|a－kb|，得|ka＋b|2＝(eq\r(3)|a－kb|)2，即k2a2＋2ka·b＋b2＝3(a2－2ka·b＋k2b2)，所以k2＋2ka·b＋1＝3(1－2ka·b＋k2)，即a·b＝eq\f(1,4)(k＋eq\f(1,k))，因为k>0，所以a·b＝eq\f(1,4)(k＋eq\f(1,k))≥eq\f(1,4)×2×eq\r(k×\f(1,k))＝eq\f(1,2)，当且仅当k＝1时等号成立，所以cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)≥eq\f(1,2)，〈a，b〉∈[0，eq\f(π,3)]，即向量a与向量b的夹角的最大值为eq\f(π,3).【答案】　eq\f(π,3)★状元笔记★求两向量夹角的方法(1)一般是利用夹角公式：cosθ＝eq\f(a·b,|a|·|b|).(2)注意：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角为钝角．A.eq\f(8,65)　　　　　　　　　　B．－eq\f(8,65)C.eq\f(16,65)D．－eq\f(16,65)【解析】　由题可知，设b＝(x，y)，则2a＋b＝(8＋x，6＋y)＝(3，18)，所以可以解得x＝－5，y＝12，故b＝(－5，12)．由cosa，b＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(16,65)，故选C.【答案】　C(2)(2019·郑州质检)已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为________．【解析】　设a与b的夹角为θ，依题意有(a＋2b)·(a－b)＝a2＋a·b－2b2＝－7＋2cosθ＝－6，所以cosθ＝eq\f(1,2).因为0≤θ≤π，所以θ＝eq\f(π,3).【答案】　eq\f(π,3)(3)(2014·四川)若平面向量a＝(1，2)，b＝(4，2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝(　　)A．－2B．－1C．1D．2【解析】　根据平面向量的数量积的坐标运算求解．因为a＝(1，2)，b＝(4，2)，所以c＝ma＋b＝(m，2m)＋(4，2)＝(m＋4，2m＋2)．根据题意可得eq\f(c·a,|c||a|)＝eq\f(c·b,|c||b|)，所以eq\f(5m＋8,\r(5))＝eq\f(8m＋20,\r(20))，解得m＝2.【答案】　D题型四　平行与垂直已知A(3，0)，B(0，3)，C(cosα，sinα)，O为原点．(1)若eq\o(OC,\s\up16(→))∥eq\o(AB,\s\up16(→))，求tanα的值；(2)若eq\o(AC,\s\up16(→))⊥eq\o(BC,\s\up16(→))，求sin2α的值；(3)若|eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OC,\s\up16(→))|＝eq\r(13)且α∈(0，π)，求eq\o(OB,\s\up16(→))与eq\o(OC,\s\up16(→))的夹角．【解析】　(1)eq\o(OC,\s\up16(→))＝(cosα，sinα)，eq\o(AB,\s\up16(→))＝(－3，3)，eq\o(OC,\s\up16(→))∥eq\o(AB,\s\up16(→))，∴3cosα＝－3sinα，∴tanα＝－1.(2)eq\o(AC,\s\up16(→))＝(cosα－3，sinα)，eq\o(BC,\s\up16(→))＝(cosα，sinα－3)，∵eq\o(AC,\s\up16(→))⊥eq\o(BC,\s\up16(→))，∴cos2α－3cosα＋sin2α－3sinα＝0，sinα＋cosα＝eq\f(1,3)，1＋2sinαcosα＝eq\f(1,9)，sin2α＝－eq\f(8,9).(3)∵eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OC,\s\up16(→))＝(3＋cosα，sinα)，∴|eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OC,\s\up16(→))|2＝(3＋cosα)2＋sin2α＝13，∴cosα＝eq\f(1,2).∵α∈(0，π)，∴α＝eq\f(π,3)，∴C(eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2))．∴cos〈eq\o(OB,\s\up16(→))，eq\o(OC,\s\up16(→))〉＝eq\f(\o(OB,\s\up16(→))·\o(OC,\s\up16(→)),|\o(OB,\s\up16(→))||\o(OC,\s\up16(→))|)＝eq\f(\f(3,2)\r(3),3×1)＝eq\f(\r(3),2).∴eq\o(OB,\s\up16(→))与eq\o(OC,\s\up16(→))的夹角为eq\f(π,6).【答案】　(1)－1　(2)－eq\f(8,9)　(3)eq\f(π,6)★状元笔记★两个向量平行与垂直的条件平行与垂直问题是一个重要的知识点，在高考题中常常出现，常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要特别注意垂直与平行的区别．若a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a⊥b⇒a1b1＋a2b2＝0，a∥b⇔a1b2－a2b1＝0.A.eq\r(5)　　　　　　　B.eq\r(10)C．2eq\r(5)D．10【解析】　由a⊥c，得a·c＝2x－4＝0，解得x＝2.由b∥c，得eq\f(1,2)＝eq\f(y,－4)，解得y＝－2.所以a＝(2，1)，b＝(1，－2)，a＋b＝(3，－1)，|a＋b|＝eq\r(10)，故选B项．【答案】　B(2)若平面四边形ABCD满足eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))＝0，(eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\o(AD,\s\up16(→)))·eq\o(AC,\s\up16(→))＝0，则该四边形一定是(　　)A．直角梯形B．矩形C．菱形D．正方形【解析】　由eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))＝0，得平面四边形ABCD是平行四边形，由(eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\o(AD,\s\up16(→)))·eq\o(AC,\s\up16(→))＝0，得eq\o(DB,\s\up16(→))·eq\o(AC,\s\up16(→))＝0，故平行四边形的对角线垂直，所以该四边形一定是菱形，故选C.【答案】　C1．记忆向量的数量积公式应从两个方面：①定义，②向量的数量积的坐标公式．2．向量的数量积应用广泛，可用于求角、求长度、证垂直等问题．3．注意数形结合思想的应用，如加、减运算的几何意义，数量积的几何意义——投影．有关数量积的最值问题的四种解题方法目标函数法(1)已知向量a＝(eq\r(3)sinθ，1)，b＝(1，cosθ)，则a·b的最大值为________．【解析】　a·b＝eq\r(3)sinθ＋cosθ＝2sin(θ＋eq\f(π,6))≤2，故a·b的最大值为2.【答案】　2(2)(2017·北京，文)已知点P在圆x2＋y2＝1上，点A的坐标为(－2，0)，O为原点，则eq\o(AO,\s\up16(→))·eq\o(AP,\s\up16(→))的最大值为________．【解析】　方法一：由题意知，eq\o(AO,\s\up16(→))＝(2，0)，令P(cosα，sinα)，则eq\o(AP,\s\up16(→))＝(cosα＋2，sinα)，eq\o(AO,\s\up16(→))·eq\o(AP,\s\up16(→))＝(2，0)·(cosα＋2，sinα)＝2cosα＋4≤6，故eq\o(AO,\s\up16(→))·eq\o(AP,\s\up16(→))的最大值为6.方法二：由题意知，eq\o(AO,\s\up16(→))＝(2，0)，令P(x，y)，－1≤x≤1，则eq\o(AO,\s\up16(→))·eq\o(AP,\s\up16(→))＝(2，0)·(x＋2，y)＝2x＋4≤6，故eq\o(AO,\s\up16(→))·eq\o(AP,\s\up16(→))的最大值为6.【答案】　6换元法(1)设a，b，c是单位向量，且a·b＝0，则(a－c)·(b－c)的最小值为(　　)A．－2　　B.eq\r(2)－2C．－1D．1－eq\r(2)【解析】　依题意，设a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(sinθ，cosθ)，则a－c＝(1－sinθ，－cosθ)，b－c＝(－sinθ，1－cosθ)，(a－c)·(b－c)＝－sinθ·(1－sinθ)－cosθ(1－cosθ)＝1－(sinθ＋cosθ)＝1－eq\r(2)sin(θ＋eq\f(π,4))，则其最小值是1－eq\r(2).【答案】　D(2)(2016·浙江，文)已知平面向量a，b，|a|＝1，|b|＝2，a·b＝1，若e为平面单位向量，则|a·e|＋|b·e|的最大值是________．【解析】　由a·b＝1，|a|＝1，|b|＝2可得两向量的夹角为60°，建立平面直角坐标系，可设a＝(1，0)，b＝(1，eq\r(3))，e＝(cosθ，sinθ)，则|a·e|＋|b·e|＝|cosθ|＋|cosθ＋eq\r(3)sinθ|≤|cosθ|＋|cosθ|＋eq\r(3)|sinθ|＝eq\r(3)|sinθ|＋2|cosθ|≤eq\r(7)，所以|a·e|＋|b·e|的最大值为eq\r(7).【答案】　eq\r(7)数形结合法(2013·湖南，理)已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是(　　)A．[eq\r(2)－1，eq\r(2)＋1]B．[eq\r(2)－1，eq\r(2)＋2]C．[1，eq\r(2)＋1]D．[1，eq\r(2)＋2]【解析】　以a和b分别为x轴和y轴正方向的单位向量建立直角坐标系，则a＝(1，0)，b＝(0，1)，设c＝(x，y)，则c－a－b＝(x－1，y－1)，∵|c－a－b|＝1，∴(x－1)2＋(y－1)2＝1.即(x，y)是以点M(1，1)为圆心，1为半径的圆上的点，而|c|＝eq\r(x2＋y2).所以|c|可以理解为圆M上的点到原点的距离，由圆的性质可知，|OM|－r≤|c|≤|OM|＋r，即|c|∈[eq\r(2)－1，eq\r(2)＋1]．故选A.【答案】　A基本不等式法(1)在△ABC中，BC＝2，A＝eq\f(2π,3)，则eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(AC,\s\up16(→))的最小值为________．【解析】　由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·coseq\f(2π,3)≥2AB·AC＋AB·AC＝3AB·AC，AB·AC≤eq\f(4,3).所以eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(AC,\s\up16(→))＝AB·AC·coseq\f(2π,3)≥－eq\f(2,3),(eq\o(AB,\s\up16(→))·eq\o(AC,\s\up16(→)))min＝－eq\f(2,3),当且仅当AB＝AC时取等号.【答案】　－eq\f(2,3)(2)已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝(2cosC－1，－2)，n＝(cosC，cosC＋1)，若m⊥n，且a＋b＝10，则△ABC周长的最小值为(　　)A．10－5eq\r(3)B．10＋5eq\r(3)C．10－2eq\r(3)D．10＋2eq\r(3)【解析】　∵m⊥n，∴m·n＝0，即2cos2C－cosC－2cosC－2＝0.整理得2cos2C－3cosC－2＝0，解得cosC＝－eq\f(1,2)，cosC＝2(舍去)．又∵c2＝a2＋b2－2abcosC＝(a＋b)2－2ab(1＋cosC)＝102－2ab(1－eq\f(1,2))≥100－(eq\f(a＋b,2))2＝100－25＝75，∴c≥5eq\r(3)，则△ABC的周长为a＋b＋c≥10＋5eq\r(3).故选B.【答案】　B高考怎么考1．(2015·课标全国Ⅱ，文)向量a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，则(2a＋b)·a＝(　　)A．－1　　　　　　　B．0C．1D．2答案　C解析　a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，∴(2a＋b)·a＝(1，0)·(1，－1)＝1.2．(2016·山东，理)已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝eq\f(1,3).若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为(　　)A．4B．－4C.eq\f(9,4)D．－eq\f(9,4)答案　B解析　由n⊥(tm＋n)可得n·(tm＋n)＝0，即tm·n＋n2＝0，所以t＝－eq\f(n2,m·n)＝－eq\f(n2,|m|·|n|cos〈m，n〉)＝－eq\f(|n|2,|m|×|n|×\f(1,3))＝－3×eq\f(|n|,|m|)＝－3×eq\f(4,3)＝－4.故选B.3．(2016·课标全国Ⅲ)已知向量eq\o(BA,\s\up16(→))＝(eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2))，eq\o(BC,\s\up16(→))＝(eq\f(\r(3),2)，eq\f(1,2))，则∠ABC＝(　　)A．30°B．45°C．60°D．120°答案　A解析　由两向量的夹角公式，可得cos∠ABC＝eq\f(\o(BA,\s\up16(→))·\o(BC,\s\up16(→)),|\o(BA,\s\up16(→))|·|\o(BC,\s\up16(→))|)＝eq\f(\f(1,2)×\f(\r(3),2)＋\f(\r(3),2)×\f(1,2),1×1)＝eq\f(\r(3),2)，则∠ABC＝30°.4．(2017·课标全国Ⅱ)设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则(　　)A．a⊥bB．|a|＝|b|C．a∥bD．|a|>|b|答案　A解析　依题意得(a＋b)2－(a－b)