导数综合题经典百题

导数综合题经典百题1．已知函数f(x)xalnx,其中a为常数，且a1.（Ⅰ）当a1时，求f(x)在[e,e2]（e=2.71828…）上的值域；（Ⅱ）若f(x)e1对任意x[e,e2]恒成立,求实数a的取值范围.12.已知函数f(x)alnx,aR.x（I）若曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x2y0垂直，求a的值；（II）求函数f(x)的单调区间；（III）当a=1，且x2时， 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 ：f(x1)2x5.3.已知f(x)x36ax29a2x（aR）．（Ⅰ）求函数f(x)的单调递减区间；（Ⅱ）当a0时，若对x0,3有f(x)4恒成立，求实数a的取值范围．14．已知函数f(x)x3ax2(a21)xb(a,bR).3（I）若x=1为f(x)的极值点，求a的值；（II）若yf(x)的图象在点（1，f(1)）处的切线方程为xy30，（i）求f(x)在区间[-2，4]上的最大值；（ii）求函数G(x)[f'(x)(m2)xm]ex(mR)的单调区间a5．已知函数f(x)lnx.x（I）当a<0时，求函数f(x)的单调区间；3（II）若函数f（x）在[1，e]上的最小值是,求a的值.2mx36．已知函数f(x)ax2(1b2)x,m,a,bR3（1）求函数f(x)的导函数f(x)；（2）当m1时，若函数f(x)是R上的增函数，求zab的最小值；（3）当a1,b2时，函数f(x)在（2，+∞）上存在单调递增区间，求m的取值范围.p7．已知函数f(x)px2lnx.x1（1）若p2，求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线；（2）若函数f(x)在其定义域内为增函数，求正实数p的取值范围；2e（3）设函数g(x),若在[1,e]上至少存在一点x，使得f(x)g(x)成立，求实数p的取值范x000围。18.设函数f(x)p(x)2lnx,g(x)x2.x（I）若直线l与函数f(x),g(x)的图象都相切，且与函数f(x)的图象相切于点(1,0)，求实数p的值；（II）若f(x)在其定义域内为单调函数，求实数p的取值范围。19.已知函数f(x)x22x,g(x)logx(a0,且a1),其中a为常数，如果h(x)f(x)g(x)在2a其定义域上是增函数，且h(x)存在零点（h(x)为h(x)的导函数）。（I）求a的值；（II）设A(m,g(m)),B(n,g(n))(mn)是函数yg(x)的图象上两点，g(n)g(m)g(x)(g(x)为g(x)的导函数),证明:mxn.0nm010.设函数f(x)x2mlnx，h(x)x2xa。（Ⅰ）当a=0时，f(x)h(x)在（1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；（Ⅱ）当m=2时，若函数k(x)f(x)h(x)在［1，3］上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围；（Ⅲ）是否存在实数m，使函数f(x)和函数h(x)在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由．11.已知函数f(x)(x23x3)ex定义域为[2,t](t2),设f(2)m,f(t)n.（I）试确定t的取值范围，使得函数f(x)在[2,t]上为单调函数；（II）求证：nm；f(x)2（）求证：对于任意的总存在满足02，并确定这样的的个IIIt2,x0(2,t),(t1)x0ex03数。12.已知函数f(x)x2alnx在(1,2]是增函数,g(x)xax在(0,1)为减函数.（1）求f(x)、g(x)的表达式；（2）求证:当x0时,方程f(x)g(x)2有唯一解；21(3）当b1时,若f(x)2bx在x∈(0,1]内恒成立,求b的取值范围.x213.已知函数f'(1)0,且f'(x)0在R上恒成立.（1）求a,c,d的值；3b1（2）若h(x)x2bx,解不等式f'(x)h(x)0;424（3）是否存在实数m，使函数g(x)f'(x)mx在区间[m,m2]上有最小值－5？若存在，请求出实数m的值；若不存在，请说明理由.14.已知函数f(x)x3ax2x1，aR．（Ⅰ）讨论函数f(x)的单调区间；21（Ⅱ）设函数f(x)在区间，内是减函数，求a的取值范围．33lnx15.设函数f(x)lnxln(x1)．1x（Ⅰ）求f(x)的单调区间和极值；（Ⅱ）是否存在实数a，使得关于x的不等式f(x)≥a的解集为（0，+）？若存在，求a的取值范围；若不存在，试说明理由．16.某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A,B及CD的中点P处，已知AB=20km,CB=10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），且A,B与等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP，设排污管道的总长为ykm．PDC（Ⅰ）按下列要求写出函数关系式：O①设∠BAO=(rad)，将y表示成的函数关系式；AB②设OPx(km)，将y表示成xx的函数关系式．（Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短．lnxa17.已知函数f(x)(aR)x（Ⅰ）求f(x)的极值；（Ⅱ）若函数f(x)的图象与函数g(x)=1的图象在区间(0,e2]上有公共点，求实数a的取值范围。3ln(ax)18.已知函数f(x)ln(ax)ln(x1),(a0,aR)x1（Ⅰ）求函数f(x)的定义域；（Ⅱ）求函数f(x)的单调区间；（Ⅲ）当a>0时，若存在x使得f(x)ln(2a)成立，求a的取值范围.19.某种商品的成本为5元/件，开始按8元/件销售，销售量为50件，为了获得最大利润，商家先后采取了提价与降价两种 措施 《全国民用建筑工程设计技术措施》规划•建筑•景观全国民用建筑工程设计技术措施》规划•建筑•景观软件质量保证措施下载工地伤害及预防措施下载关于贯彻落实的具体措施 进行试销。经试销发现：销售价每上涨1元每天销售量就减少10件；而降价后，日销售量Q（件）与实际销售价x（元）满足关系：39(2x229x107)(5x7)Q＝1986x(7x8)x5（1）求总利润（利润＝销售额－成本）y（元）与销售价x（件）的函数关系式；（2）试问：当实际销售价为多少元时，总利润最大.2x1x2cx120.已知函数g(x)的图像关于原点成中心对称，设函数f(x)．xcg(x)lnx(1)求f(x)的单调区间;(2)已知exxm对任意x(1,)恒成立．求实数m的取值范围(其中e是自然对数的底数)．21.设函数f(x)(x1)2blnx，其中b为常数．1（Ⅰ）当b时，判断函数f(x)在定义域上的单调性；2（Ⅱ）若函数f(x)的有极值点，求b的取值范围及f(x)的极值点；11（Ⅲ）若b1,试利用（II）求证：n3时，恒有lnn1lnn。n2n122.已知函数f(x)ln(x21),g(x)a.x21y（1）求g(x)在P(2,g(2))处的切线方程l;（2）若f(x)的一个极值点到直线l的距离为1，求a的值；N（3）求方程f(x)g(x)的根的个数.P23.某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进行开发建设,阴影OMx部分为一公共设施建设不能开发,且要求用栏栅隔开(栏栅要求在一直线上),公共设施边界为曲线f(x)1ax2(a0)的一部分,栏栅与矩形区域的边界交于点M、N，交曲线于点P，设P(t,f(t))（1）将OMN（O为坐标原点）的面积S表示成t的函数S(t)；41（2）若在t处，S(t)取得最小值，求此时a的值及S(t)的最小值.22xb24．已知定义域为R的函数f(x)是奇函数．2x1a,(1)求a,b的值；(2)若对任意的tR,不等式f(t22t)f(2t2k)0恒成立,求k的取值范围.25．已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)kf(x2)，其中常数k为负数，且f(x)在区间0,2上有表达式f(x)x(x2).（1）求f(1)，f(2.5)的值；（2）写出f(x)在3,3上的表达式，并讨论函数f(x)在3,3上的单调性；（3）求出f(x)在3,3上的最小值与最大值，并求出相应的自变量的取值.26．已知函数f(x)3x(xa)（x0，aR）求函数f(x)的单调区间；求函数f(x)在1,8上的最大值和最小值．227．已知函数fx为定义在R上的奇函数，且当x0时，fxsinxcosx2cos2x，求x0时fx的表达式；若关于x的方程fxao有解，求实数a的范围。28．已知函数yf(x),xN，满足：①对任意a,bN，都有af(a)bf(b)af(b)bf(a)；②对任意n∈N*都有f[f(n)]3n．（Ⅰ）试证明：f(x)为N上的单调增函数；（Ⅱ）求f(1)f(6)f(28)；（Ⅲ）令n，试证明：n1111anf(3),nN.4n2a1a2an429．已知函数f(x)ln(ax1)x3x2ax．2（Ⅰ）若x为yf(x)的极值点，求实数a的值；3（Ⅱ）若yf(x)在[1,)上为增函数，求实数a的取值范围；5b（Ⅲ）若a1时，方程f(1x)(1x)3有实根，求实数b的取值范围．x30．已知函数yf(x),xR满足f(x1)af(x)，a是不为0的实常数。（1）若当0x1时，f(x)x(1x)，求函数yf(x),x0,1的值域；（2）在（1）的条件下，求函数yf(x),xn,n1,nN的解析式；（3）若当0x1时，f(x)3x，试研究函数yf(x)在区间0,上是否可能是单调函数？若可能，求出a的取值范围；若不可能，请说明理由。31．已知函数fxx3ax2bxc在,0上是减函数，在0,1上是增函数，函数fx在R上有三个零点，且1是其中一个零点．（1）求b的值；（2）求f2的取值范围；（3）试探究直线yx1与函数yfx的图像交点个数的情况，并说明理由．32．定义在R上的函f(x)x3ax2bx(a,b为常数）在x=－1处取得极值，且f(x)的图像在P1,f1数处的切线平行与直线y8x.（1）求函数fx的解析式及极值；（2）设k0，求不等式fxkx的解集；112（3）对任意,R,求证：fsinfcos.2733．已知函数f(x)ln(1ex)x(xR)有下列性质：“若f(b)f(a)x[a,b],则存在x(a,b)，使得f(x)”成立。0ba0（）利用这个性质证明唯一；1x0（2）设A、B、C是函数f(x)图象上三个不同的点，试判断△ABC的形状，并说明理由。34．已知函数f(x)ax(aR),g(x)lnx1.x（1）若函数h(x)g(x)1f(x)2x存在单调递减区间，求a的取值范围；2（2）当a>0时，试讨论这两个函数图象的交点个数．f(x)f(x)f(xx)12121f(x)f(x)35．设函数f(x)的定义域D关于原点对称，0∈D，且存在常数a>0，使f(a)=1，又12，（1）写出f(x)的一个函数解析式，并说明其符合题设条件；6（2）判断并证明函数f(x)的奇偶性；（3）若存在正常数T，使得等式f(x)=f(x+T)或者f(x)=f(x-T)对于x∈D都成立，则都称f(x)是周期函数，T为周期；试问f(x)是不是周期函数？若是，则求出它的一个周期T；若不是，则说明理由。136.设对于任意的实数x,y，函数f(x)，g(x)满足f(x1)f(x)，且3f(0)3g(xy)g(x)2y，g(5)13，nN*,（Ⅰ）求数列{f(n)}和{g(n)}的通项公式；n（Ⅱ）设cg[f(n)]，求数列{c}的前项和Sn2nn;（Ⅲ）设F(n)Sn3n，存在整数m和M,使得对任意正整数n不等式mF(n)M恒成立,求Mm的最小值.37．对于定义在区间D上的函数f(x)，若存在闭区间[a,b]D和常数c，使得对任意x1[a,b]，都有f(x1)c，且对任意x2∈D，当x2[a,b]时，f(x2)c恒成立，则称函数f(x)为区间D上的“平底型”函数.（Ⅰ）判断函数f1(x)|x1||x2|和f2(x)x|x2|是否为R上的“平底型”函数？并说明理由；（Ⅱ）设f(x)是（Ⅰ）中的“平底型”函数，k为非零常数，若不等式|tk||tk||k|f(x)对一切tR恒成立，求实数x的取值范围；（Ⅲ）若函数g(x)mxx22xn是区间[2,)上的“平底型”函数，求m和n的值..38．设函数f(x)的定义域为R，若|f(x)|≤|x|对任意的实数x均成立，则称函数f(x)为函数。ex（1）试判断函数f(x)=xsinxf(x)=中哪些是函数，并说明理由；12ex1（2）求证：若a>1，则函数f(x)=ln(x2+a)-lna是函数。39．集合A是由具备下列性质的函数f(x)组成的：(1)函数f(x)的定义域是[0,)；(2)函数f(x)的值域是[2,4)；(3)函数f(x)在[0,)上是增函数．试分别探究下列两小题：1（Ⅰ）判断函数f(x)x2(x0)，及f(x)46()x(x0)是否属于集合A？并简要说明理由．1227（Ⅱ）对于（I）中你认为属于集合A的函数f(x)，不等式f(x)f(x2)2f(x1)，是否对于任意的x0总成立？若不成立，为什么？若成立，请证明你的结论．．已知是定义在∞的函数，满足．设，．当40f(x)0,f(x)2f(x1)Inn,n1nNx0,1时，2．分别求当、、时，的表达式、、．f(x)xxxI1xI2xInn,n1f(x)f1(x)f2(x)fn(x)341.已知函数f(x)x3x(aR，a0）.a（I）求f(x)的单调区间；（II）曲线yf(x)在点(3a,(f3a)）处的切线恒过y轴上一个定点，求此定点坐标；a（III）若a0,x，曲线yf(x)在点(x,f(x))处的切线与x轴的交点为（x,0），试比较13112的大小，并加以证明x1与x2.ax2142.已知函数f(x)=lnxaR,x[,2]x21(Ⅰ)当a[2,)时,求f(x)的最大值;4(Ⅱ)设g(x)[f(x)lnx]x2,k是g(x)图象上不同两点的连线的斜率，否存在实数a，使得k1恒成立?若存在,求a的取值范围;若不存在,请说明理由.1lnx143..已知函数f（ｘ）＝x(1)求函数的定义域;(2)确定函数f（ｘ）在定义域上的单调性,并证明你的结论；k(3)若当ｘ>０时，f（ｘ）＞恒成立,求正整数k的最大值。x1已知函数和的图象在处的切线互相44.f(x)logaxg(x)2loga(2xt2),(a0,a1,tR)x2平行.(Ⅰ)求t的值；（Ⅱ）设F(x)g(x)f(x)，当x1,4时，F(x)2恒成立，求a的取值范围.2x45.已知函数f(x)aln(x1)b的图象与直线xy20相切于点(0,c)。x1（1）求a的值；（2）求函数f(x)的单调区间和极小值。46.已知函数．f(x)2x3ax与g(x)bx2cx的图象都过点P(2，0)，且在点P处有公共切线．(1)求f(x)和g(x)的表达式及在点P处的公切线方程；mg(x)(2)设F(x)ln(x1)，其中m0，求F(x)的单调区间．8xx47.已知函数f(x)x，g(x)ln(1x)，h(x).1x（1）证明：当x0时，恒有f(x)g(x);kx（2）当x0时，不等式g(x)(k0)恒成立，求实数k的取值范围;kx3248.已知函数f(x)=x＋bx＋cx＋d有两个极值点x1=1,x2=2,且直线y=6x＋1与曲线y=f(x)相切于P点.(1)求b和c郝进制作(2)求函数y=f(x)的解析式;8(3)在d为整数时,求过P点和y=f(x)相切于一异于P点的直线方程.49.已知函数f(x)=x3－3ax(a∈R)．(I)当a=l时，求f(x)的极小值；(Ⅱ)若直线菇x+y+m=0对任意的m∈R都不是曲线y=f(x)的切线，求a的取值范围；(Ⅲ)设g(x)=|f(x)|，x∈[－l，1]，求g(x)的最大值F(a)的解析式．11t50.已知函数y|x|1，yx22x2t，y(x)(x0)的最小值恰好是方程2xx3ax2bxc0的三个根，其中0t1．（Ⅰ）求证：a22b3；（Ⅱ）设，是函数32的两个极值点．(x1,M)(x2,N)f(x)xaxbxc2①若|xx|，求函数f(x)的解析式；②求|MN|的取值范围．1231151.已知函数f(x)=x3+ax2+ax-2(a∈R),32(1)若函数f(x)在区间(-∞，+∞)上为单调增函数，求实数a的取值范围；5(2)设A(x1,f(x1))、B(x2,f(x2))是函数f(x)的两个极值点，若直线AB的斜率不小于-求实数a的取值范围.652.已知函数f(x)ax32bx23cx(a,b,cR)的图象关于原点对称，且当x1时，2f(x)取极小值－．3（1）求a，b，c的值；（2）当x1，1时，图象上是否存在两点，使得在这两点处的切线互相垂直？证明你的结论．53.对于x的三次函数f（x）=x3+（m2－4m+2）x+m3－6m2+9m－1．（Ⅰ）若f（x）有极值，求m的取值范围；（Ⅱ）当m在（1）的取值范围内变化时，求f（x）的极大值和极小值之和g（m），并求g（m）的最大值和最小值．354.已知函数f(x)ax3(a2)x26x3.2（I）当a>2时，求f(x)的极小值；（II）讨论方程f(x)=0的根的个数.55.设函数f(x)x(x1)(xa)(a1)（1）求导数f'(x)，并证明f(x)有两个不同的极值点；（）若对于（）中的不等式成立，求的取值范围。21x1、x2f(x1)f(x2)0a156.已知tR，函数f(x)x3tx.2（Ⅰ）当t=1时，求函数yf(x)在区间[0，2]的最值；9（Ⅱ）若f(x)在区间[－2，2]上是单调函数，求t的取值范围；（Ⅲ））是否存在常数t，使得任意x[2,2]都有|f(x)|6恒成立，若存在，请求出t，若不存在请说明理由.设x、322的两个极值点.57.1x2(x1x2)是函数f(x)axbxax(a0)（1）若，求函数f(x)的解析式；x11,x22（2）若的最大值；|x1||x2|22,求b（3）若且函数，求证：12x1xx2,x2a,g(x)f(x)a(xx1)|g(x)|a(3a2).1258.已知函数f(x)ax33x26ax11，g(x)3x26x12，和直线m:ykx9，又f(1)0．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）是否存在k的值，使直线m既是曲线yf(x)的切线，又是yg(x)的切线；如果存在，求出k的值；如果不存在,说明理由．（Ⅲ）如果对于所有x2的x,都有f(x)kx9g(x)成立，求k的取值范围．59.设函数f(x)x3ax2bx(x0)的图象与直线y4相切于M(1,4)．（Ⅰ）求f(x)x3ax2bx在区间(0,4]上的最大值与最小值；（Ⅱ）是否存在两个不等正数s,t(st)，当x[s,t]时，函数f(x)x3ax2bx的值域也是[s,t]，若存在，求出所有这样的正数s,t；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）设存在两个不等正数s,t(st)，当x[s,t]时，函数f(x)x3ax2bx的值域是[ks,kt]，求正数k的取值范围．60.已知函数f(x)＝x4＋ax3＋bx2＋c，在y轴上的截距为－5，在区间[0，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，又当x＝0，x＝2时取得极小值．（Ⅰ）求函数f(x)的解析式；（Ⅱ）能否找到函数f(x)垂直于x轴的对称轴,并证明你的结论;（Ⅲ）设使关于x的方程f(x)＝λ2x2－5恰有三个不同实根的实数λ的取值范围为集合A,且两个非零实根为2x1、x2．试问：是否存在实数m，使得不等式m＋tm＋2≤|x1－x2|对任意t∈[－3，3],λ∈A恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．61.已知f(x)=x3+bx2+cx+2.(Ⅰ)若f(x)在x=1时，有极值-1，求b、c的值；(Ⅱ)当b为非零实数时，证明f(x)的图像不存在与直线(b2-c)x+y+1=0平行的切线；3(Ⅲ)记函数|f′(x)|(-1≤x≤1)的最大值为M，求证：M≥.21162.设函数f(x)=|x+1|+|ax+1|，已知f(-1)=f(1)，且f(-)=f()（a∈R，且a≠0），函数aa10g(x)ax3bx2cx（b∈R，c为正整数）有两个不同的极值点，且该函数图象上取得极值的两点A、B与坐标原点O在同一直线上。（1）试求a、b的值；（2）若x0时，函数g(x)的图象恒在函数f(x)图象的下方，求正整数c的值。363.已知函数f(x)x3bx23cx8和g(x)x3bx2cx（其中b0），F(x)f(x)5g(x)，2f(1)g(m)0．（1）求m的取值范围；（2）方程F(x)0有几个实根？为什么？64.已知函数f(x)=x3bx2cxd(b，c，dR且都为常数)的导函数为f′(x)=3x24x，且f(1)=7，设F(x)=f(x)-ax2(a∈R).(Ⅰ)当a<2时，求F(x)的极小值；1(Ⅱ)若对任意的x∈0，，都有F(x)≥0成立，求a的取值范围并证明不等式a213a39.a665、已知二次函数f(x)x2x，若不等式f(x)f(x)2x的解集为C.（1）求集合C；（2）若方程f(ax)ax15(a0,a1)在C上有解，求实数a的取值范围；t（3）记f(x)在C上的值域为A，若g(x)x33tx,x[0,1]的值域为B，且AB，求实数t的取值2范围．66、设函数f(x)ax32bx2cx4d（a,b,c,dR）的图象关于原点对称，且x1时，f(x)取极1小值，3①求a,b,c,d的值；②当x1,1时，图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？试证明你的结论。4③若x,x1,1，求证：f(x)f(x)。121231(k1)167、已知函数f(x)x3x2,g(x)kx且f(x)在区间(2,)上为增函数.323（1）求k的取值范围；（2）若函数f(x)与g(x)的图象有三个不同的交点，求实数k的取值范围.68、已知函数f（x）ax3bx2cx（a0）是定义在R上的奇函数，且x1时，函数取极值1．(1)求a，b，c的值；(2)若，求证：；x1，x21，1f（x1）f（x2）211(3)求证：曲线yf(x)上不存在两个不同的点A，B，使过A，B两点的切线都垂直于直线AB．a69.已知函数f(x)lnx,g(x)(a0)，设F(x)f(x)g(x)。x（Ⅰ）求F（x）的单调区间；1（Ⅱ）若以yF(x)(x0,3)图象上任意一点P(x,y)为切点的切线的斜率k恒成立，求实002数a的最小值。2a（Ⅲ）是否存在实数m，使得函数yg()m1的图象与yf(1x2)的图象恰好有四个x21不同的交点？若存在，求出m的取值范围，若不存在，说名理由。70.定义F(x,y)(1x)y,x,y(0,)，（1）令函数2的图象为曲线C，曲线C与y轴交于点A（0，m），过坐f(x)F(1,log2(x4x9))11标原点O作曲线C1的切线，切点为B（n,t）（n>0），设曲线C1在点A、B之间的曲线段与线段OA、OB所围成图形的面积为S，求S的值。（2）当x,yN*且xy时,证明F(x,y)F(y,x);（3）令函数32的图象为曲线C，若存在实数b使得曲线C在g(x)F(1,log2(xaxbx1))22处有斜率为－8的切线，求实数a的取值范围。x0(4x01)ax2ex71.（1）求证：当a1时，不等式(enx1)对于nR恒成立.22x0xaxe（2）对于在（0,1）中的任一个常数a，问是否存在x0使得e0x10成立？002如果存在，求出符合条件的一个；否则说明理由。x072.把函数ylnx2的图象按向量a(1,2)平移得到函数f(x)的图象。2x（1）若x0证明：f(x)。x21（2）若不等式x2f(x2)m22bm3对于x[1,1]及b[1,1]恒成立，求实数m的取值范围。211t73.已知函数y|x|1，yx22x2t，y(x)(x0)的最小值恰好是方程2xx3ax2bxc0的三个根，其中0t1．（1）求证：a22b3；（2）设，是函数32的两个极值点．(x1,M)(x2,N)f(x)xaxbxc2①若|xx|，求函数f(x)的解析式；②求|MN|的取值范围．12312ax74.已知函数f(x)，在x1处取得极值为2。x2b（Ⅰ）求函数f(x)的解析式；（Ⅱ）若函数f(x)在区间（m，2m＋1）上为增函数，求实数m的取值范围；axax（Ⅲ）若P（x0，y0）为f(x)图象上的任意一点，直线l与f(x)的图象相切于点P，x2bx2b求直线l的斜率的取值范围.75.已知：在函数f(x)mx3x的图象上，以N(1,n)为切点的切线的倾斜角为．4（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）是否存在最小的正整数k，使得不等式f(x)k1993对于x[1,3]恒成立？如果存在，请求出最小的正整数k；如果不存在，请说明理由；1（Ⅲ）求证：|f(sinx)f(cosx)|2f(t)（xR，t0）．2t76.设M是由满足下列条件的函数f(x)构成的集合：“①方程f(x)x0有实数根；②函数f(x)的导数f(x)满足0f(x)1.”xsinx（I）判断函数f(x)是否是集合M中的元素，并说明理由；24（II）集合M中的元素f(x)具有下面的性质：若f(x)的定义域为D，则对于任意[m，n]D，都存在[m，n]，使得等式成立”，x0f(n)f(m)(nm)f(x0)试用这一性质证明：方程f(x)x0只有一个实数根；（III）设是方程的实数根，求证：对于定义域中任意的x1f(x)x0f(x).x2,x3,当|x2x1|1,且|x3x1|1时,|f(x3)f(x2)|277.若函数f(x)(x2axb)ex2(xR)在x1处取得极值.（I）求a与b的关系式（用a表示b），并求f(x)的单调区间；（II）是否存在实数m，使得对任意及总有a(0,1)x1,x2[0,2]|f(x1)f(x2)|[(m2)am2]e11恒成立，若存在，求出m的范围；若不存在，请说明理由．78.已知二次函数2，直线，直线2（其中，为常数）；.f(x)axbxcl1:x2l2:yt8t0t2t若直线、与函数的图象以及、轴与函数的图象所围成的封闭图形如图阴影所示.l1l2fxl2yfx（Ⅰ）求a、b、c的值；（Ⅱ）求阴影面积S关于t的函数St的解析式；（Ⅲ）若g(x)6lnxm,问是否存在实数m，使得yfx的图象与ygx的图象有且只有两个不同的交点？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.13x321079.已知函数f(x)图象上斜率为3的两条切线间的距离为，f(x)的导数为f'(x)，函数a25bf'(x)g(x)f(x)3。x（1）若函数g(x)在x=1有极值，求g(x)的解析式；（2）若函数g(x)在[-1,1]是增函数，且b2mb4g(x)在[-1,1]上都成立，求实数m的取值范围。80.设关于x的方程x2mx10有两个实根α、β，且。定义函数2xmf(x).x21（I）求f()的值；（II）判断f(x)在区间(,)上单调性，并加以证明；（III）若,为正实数，①试比较f(),f(),f()的大小；②证明|f()f()|||.81.设直线l:yg(x),曲线S:yF(x).若直线l与曲线S同时满足下列两个条件：①直线l与曲线S相切且至少有两个切点；②对任意x∈R都有g(x)F(x).则称直线l为曲线S的“上夹线”．（1）已知函数f(x)x2sinx．求证：yx2为曲线f(x)的“上夹线”．（2）观察下图：根据上图，试推测曲线S:ymxnsinx(n0)的“上夹线”的方程，并给出证明．82.若存在实常数k和b，使得函数f(x)和g(x)对其定义域上的任意实数x分别满足：f(x)kxb和g(x)kxb，则称直线l:ykxb为f(x)和g(x)的“隔离直线”．已知h(x)x2，(x)2elnx（其14中e为自然对数的底数）．(Ⅰ)求F(x)h(x)(x)的极值；(Ⅱ)函数h(x)和(x)是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．83.已知函数f(x)ln(1x)mx.（1）若函数f(x)在(0,)上单调递减，求实数m的取值范围；（2）求函数f(x)的极值；111（3）求证：ln2(nN*)n1n2n(n1)a84.设f(x)xlnx，g(x)x3x23.x（1）当a2时，求曲线yf(x)在x1处的切线方程；（）如果存在，使得成立，求满足上述条件的最大整数；2x1x2[0,2]g(x1)g(x2)MM1（3）如果对任意的s，t[,2]都有f(s)g(t)成立，求实数a的取值范围。285.已知函数f(x)lnxx2.（1）若函数g(x)f(x)ax在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围；（2）在（1）的条件下，若a1，h(x)e3x3aex，x[0,ln2]，求h(x)的极小值；（）设2，若函数存在两个零点，，且，3F(x)2f(x)3xkx(kR)F(x)mn(0mn)2x0mn问：函数在点处的切线能否平行于轴？若能，求出该切线方程；若不能，请说明理由。F(x)(x0,F(x0))x86.已知函数f(x)x33xasin(x)，其中a，R；（1）当a0时，求f(1)的值并判断函数f(x)的奇偶性；（2）当a0时，若函数yf(x)的图像在x1处的切线经过坐标原点，求的值；（3）当0时，求函数f(x)在[0,2]上的最小值。答案及解析1.解：（Ⅰ）当a1时，f(x)xlnx,1得f(x)1,………………2分x151令f(x)0，即10，解得x1，所以函数f(x)在(1,)上为增函数，x据此，函数f(x)在[e,e2]上为增函数，………………4分而f(e)e1，f(e2)e22，所以函数f(x)在[e,e2]上的值域为[e1,e22]………………6分aa（Ⅱ）由f(x)1,令f(x)0，得10,即xa,xx当x(0,a)时，f(x)0，函数f(x)在(0,a)上单调递减；当x(a,)时，f(x)0，函数f(x)在(a,)上单调递增；……………7分若1ae，即ea1，易得函数f(x)在[e,e2]上为增函数，此时，2，要使对2恒成立，只需2即可，f(x)maxf(e)f(x)e1x[e,e]f(e)e1e2e1所以有e22ae1，即a2e2e1(e23e1)e2e1而(e)0，即e，所以此时无解.222………………8分若eae2，即eae2，易知函数f(x)在[e,a]上为减函数，在[a,e2]上为增函数，a1f(e)e1要使对2恒成立，只需，即2，f(x)e1x[e,e]2ee1f(e)e1a2e2e1e2e1e2e1e2e1由(1)0和(e2)02222e2e1得e2a.………………10分2若ae2，即ae2，易得函数f(x)在[e,e2]上为减函数，此时，，要使对2恒成立，只需即可，f(x)maxf(e)f(x)e1x[e,e]f(e)e1所以有eae1，即a1，又因为ae2，所以ae2.……………12分e2e1综合上述，实数a的取值范围是(,].……………13分22.解：（I）函数f(x)的定义域为{x|x0}，a1f(x).……………………………………………………………………2分xx2又曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x2y0垂直，所以f(1)a12.即a=1.………………………………………………………………………………4分[来源:学科网][来源:学_科_网Z_X_X_K]16ax1（II）由于f(x).x2当a0时，对于x(0,),有f(x)0在定义域上恒成立，即f(x)在(0,)上是增函数.1当a0时,由f(x)0,得x(0,).a1当x(0,)时,f(x)0,f(x)单调递增；a1当x(,)时,f(x)0,f(x)单调递减.…………………………8分a1（III）当a=1时，f(x1)ln(x1),x[2,).x11令g(x)ln(x1)2x5.x111(2x1)(x2)g(x)2.………………10分x1(x1)2(x1)2当x2时,gx(x)0,g(x)在(2,)单调递减.又g(2)0,所以g(x)时,g(x)0.1即ln(x1)2x50.x1故当a=1，且x2时,f(x1)2x5成立.……………………13分3解：（Ⅰ）f'(x)3x212ax9a23(xa)(x3a)0（1）当a3a，即a0时，f'(x)3x20，不成立．（2）当a3a，即a0时，单调减区间为(3a,a)．（3）当a3a，即a0时，单调减区间为(a,3a)．-------------------5分（Ⅱ）f'(x)3x212ax9a23(xa)(x3a)，f(x)在(0,a)上递增，在(a,3a)上递减，在(3a,)上递增．（1）当a3时，函数f(x)在[0,3]上递增，所以函数f(x)在[0,3]上的最大值是f(3)，f(3)4,若对x0,3有f(x)4恒成立，需要有解得a．a3,（2）当1a3时，有a33a，此时函数f(x)在[0,a]上递增，在[a,3]上递减，所以函数f(x)在[0,3]上的最大值是f(a)，17f(a)4,若对x0,3有f(x)4恒成立，需要有解得a1．1a3,（3）当a1时，有33a，此时函数f(x)在[a,3a]上递减，在[3a,3]上递增，所以函数f(x)在[0,3]上的最大值是f(a)或者是f(3)．由f(a)f(3)(a3)2(4a3)，3①0a时，f(a)f(3)，4f(3)4,若对x0,3有f(x)4恒成立，需要有30a,4233解得a[1,]．943②a1时，f(a)f(3)，4f(a)4,3若对x0,3有f(x)4恒成立，需要有3解得a(,1)．a1,4423综上所述，a[1,1]．-------------14分94．解：（1）f(x)x22axa21.x1是极值点f(1)0，即a22a0x0或2.…………………………………………………………3分（2）(1,f(1))在xy30上.f(1)21∵（1，2）在yf(x)上2aa21b3又f(1)k112aa2118a22a10a1,b318f(x)x2x2,f(x)x22x.33（i）由f(x)0可知x=0和x=2是f(x)的极值点.[来源:Zxxk.Com]84f(0),f(2),f(2)4,f(4)8,3318f(x)在区间[－2，4]上的最大值为8.…………………………8分（ii）G(x)(x2mxm)exG(x)(2xm)exex(x2mxm)ex[x2(2m)x]令G(x)0，得x0,x2m当m=2时，G(x)0，此时G(x)在(,)单调递减当m2时：(－∞，2，－x2－m（2－m，0）0（0，+∞）m)G′（x）－0+0－G（x）减增减当时G（x）在（－∞，2，－m），（0，+∞）单调递减，在（2－m，0）单调递增.当m2时：x（－∞，0）0（0，2－m）2－m（2－m+∞）G′（x）－0+0－G（x）减增减此时G（x）在（－∞，0），（2－m+∞）单调递减，在（0，2－m）单调递增，综上所述：当m=2时，G（x）在（－∞，+∞）单调递减；m2时，G（x）在（－∞，2－m），（0，+∞）单调递减，在（2－m，0）单调递增；m2时，G（x）在（－∞，0），（2－m，+∞）单调递减，在（0，2－m）单调递增.a5．解：函数f(x)lnx的定义域为(0,)…………1分x1axaf'(x)…………3分xx2x2（1）a0,f'(x)0.故函数在其定义域(0,)上是单调递增的.…………5分（II）在[1，e]上，发如下情况讨论：①当a<1时，f'(x)0,函数f(x)单调递增，其最小值为f(1)a1,3这与函数在[1，e]上的最小值是相矛盾；…………6分2②当a=1时，函数f(x)在1,e单调递增，其最小值为f(1)1,193同样与最小值是相矛盾；…………7分2③当1ae时，函数f(x)在1,a上有f'(x)0，单调递减，在a,e上有f'(x)0,单调递增，所以，函数f(x)满足最小值为f(a)lna13由lna1,得ae,…………9分2④当a=e时，函数f(x)在1,e上有f'(x)0,单调递减，3其最小值为f(e)2,还与最小值是相矛盾；…………10分2⑤当a>e时，显然函数f(x)在[1,e]上单调递减，a其最小值为f(e)12,e3仍与最小值是相矛盾；…………12分2综上所述，a的值为e.…………13分6．（I）解：f(x)mx22ax(1b2).……3分（II）因为函数f(x)是R上的增函数，所以f(x)0在R上恒成立，则有4a24(1b2)0,即a2b21.arcos,设(为参数,0r1).brsin则zabr(cossin)2rsin()4当sin()1,且r=1时，zab取得最小值2.4（可用圆面的几何意义解得zab的最小值2）…………………………8分（Ⅲ）①当m0时f(m)mx22x1是开口向上的抛物线，显然f(x)在（2，+∞）上存在子区间使得f(x)0，所以m的取值范围是（0，+∞）.②当m=0时，显然成立.③当m0时，f(m)mx22x1是开口向下的抛物线，要使f(x)在（2，+∞）上存在子区间20m0m0,11使f(x)0，应满足2,或2,mm1f(2)0.f()0,m1313解得m0,或m，所以m的取值范围是(,0).24243则m的取值范围是(,).……………………………………………………13分47．解：（1）当p2时，2函数f(x)2x2lnx,f(1)222ln10x22f(x)2x2x曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为f(1)2222.1分从而曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y02(x1),即y2x2p2px22xp（2）f(x)p.3分x2xx2令h(x)px22xp，要使f(x)在定义域（0，∞）内是增函只需h(x)0在（0，+∞）内恒成立4分由题意p0,h(x)px22xp的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为1x(0,)，p1h(x)p,minp1只需p0,即p1时，p21h(x)0,f(x)0f(x)在（0，+∞）内为增函数，正实数p的取值范围是1,6分2e（3）g(x)在[1,e]上是减函数，xxe时，g(x)min2;时，x1,g(x)min2e即g(x)[2,2e]1分①当p0时，h(x)px22xp1其图象为开口向下的抛物线，对称轴x在y车的左侧，p且h(0)0，所以f(x)在x[1,e]内是减函数。当p0时，在h(x)2x因为x[1,e]，2x所以h(x)0,f(x)0.x2此时，f(x)在x[1,e]内是减函数。故当p0时，f(x)在x[1,e]上单调递减，不合题意；f(x)maxf(1)021②当0p1时，由x[1,e]x0x11所以f(x)p(x)2lnxx2lnx.xx又由（2）知当p1时，f(x)在x[1,e]上是增函数，111x2lnxe2lnee22，不合题意；11分xee③当p1时，由（2）知f(x)在x[1,e]上是增函数，f(1)02又g(x)在x[1,e]上是减函数，22故只需f(x)maxg(x)min,x[1,e]1而f(x)f(e)p(e)2lne,g(x)2maxemin1即P(e)2lne2,e4e解得p，e214e所以实数p的取值范围是(,)。13分e21p28.解：（Ⅰ）方法一：∵f'(x)p，………………………………2分x2x∴f'(1)2(p1)．设直线l:y2(p1)(x1)，并设与2相切于点（）分lg(x)xMx0,y0………………………………3∵∴g(x)2x2x02(p1)∴2x0p1,y0(p1)代入直线l的方程，解得p=1或p=3．………………………………6分方法二：将直线方程l代入yx2得2(p1)(x1)0∴4(p1)28(p1)0解得p=1或p=3．………………………………6分px22xp（Ⅱ）∵f'(x)，x2①要使f(x)为单调增函数，须f'(x)0在(0,)恒成立，2x2即px22xp0在(0,)恒成立，即p在(0,)恒成立，x211xx2又1，所以当p1时，f(x)在(0,)为单调增函数；…………9分1xx②要使f(x)为单调减函数，须f'(x)0在(0,)恒成立，2x2即px22xp0在(0,)恒成立，即p在(0,)恒成立，x211xx2又0，所以当p0时，f(x)在(0,)为单调减函数．…………11分1xx综上，若f(x)在(0,)为单调函数，则p的取值范围为p1或p0．……12分19.解：（I）因为h(x)x22xlogx(x0).2a1所以h(x)x2.xlna因为h(x)在(0,)上是增函数。231所以x20在(0,)上恒成立……………………………1分xlna11当x0时,x20x22x.xlnalna而x22x(x1)21在(0,)上的最小值是1。11于是1,即1.（※）lnalna11可见a1(若0a1,则0.这与1矛盾)lnalna从而由（※）式即得lna1.①………………..…………………………4分1x2lna2xlna1同时，h(x)x2(x0)xlnaxlna由h(x)存在(正)零点知(2lna)24lna0,解得lna1②，或lna0(因为a1,lna0,这是不可能的).由①②得lna1.此时，h(x)存在正零点x1,故ae即为所求……………………………6分注：没有提到（验证）lna1时，h(x)存在正零点x1,不扣分。1（）由（），IIIg(x)lnx,g(x0),x01g(n)g(m)nm于是分,x0.……………………………7x0nmlnnlnmnm以下证明m.（☆）lnnlnm（☆）等价于mlnnmlnmnm0.……………………………8分构造函数r(x)xlnnxlnxnx(0xn),则r(x)lnnlnx,当x(0,n)时，r(x)0,所以r(x)在(0,n]上为增函数。因此当mn时,r(m)r(n)0,即mlnnmlnmnm0.从而得到证明。分x0m……………………………11nm同理可证n.综上,mxn.……………………………12分lnnlnm0注：没有“综上”等字眼的结论，扣1分。2410.解：（Ⅰ）由a=0，f(x)g(x)可得mlnxx，x即m┉┉┉┉┉┉┉┉1分lnxx记，则f(x)g(x)在（1，+∞）上恒成立等价于m(x).lnxminlnx1求得'(x)┉┉┉┉┉┉┉┉2分ln2x当x(1,e)时；'(x)0；当x(e,)时，'(x)0┉┉┉┉┉┉┉┉3分故(x)在x=e处取得极小值，也是最小值，即，故┉┉┉┉┉┉┉┉分(x)min(e)eme.4（Ⅱ）函数k(x)f(x)h(x)在1,3上恰有两个不同的零点等价于方程x2lnxa，在1,3上恰有两个相异实根．┉┉┉┉┉┉┉┉5分2令g(x)x2lnx，则g'(x)1┉┉┉┉┉┉┉┉6分x当x[1,2)时，g'(x)0，当x(2,3]时，g'(x)0g（x）在[1，2]上是单调递减函数，在(2,3]上是单调递增函数．故┉┉┉┉┉┉┉┉分g(x)ming(2)22ln28又g（1）=1，g（3）=3-2ln3∵g（1）>g（3），∴只需g（2）0，解得x>或x<-（舍去）22m故m0时，函数的单调递增区间为（，+∞）2m单调递减区间为（0，）┉┉┉┉┉┉┉┉12分211而h（x）在（0，+∞）上的单调递减区间是（0，），单调递增区间是（，+∞）2225m11故只需=，解之得m=┉┉┉┉┉┉┉┉13分2221即当m