2019-2020学年江苏省苏州市常熟市高二下学期期中数学试题解析

绝密★启用前数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知复数（其中是虛数单位），则复数的虛部为（）A．B．C．1D．答案：A利用复数的除法运算化简，再得到复数的虛部.解：EMBEDEquation.DSMT4，则复数的虛部为.故选：A点评：本题考查了复数的概念，复数的除法运算，属于基础题.2．火车开出车站一段时间内，速度（单位：m/s）与行驶时间（单位：s）之间的关系是，则火车开出几秒时加速度为m/s2？（）A．sB．2sC．sD．s答案：B计算，根据的物理意义，代入，简单计算可得结果.解：由题可知：，所以则所以火车开出2s时加速度为m/s2故选：B点评：本题考查速度导数的物理意义，明白概念，简单计算，属基础题.3．在正方体中，平面与平面所成二面角的正弦值为（）A．B．C．D．答案：C连交于，连， 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 平面，从而有，或（补角）为平面与平面所成二面角的平面角，在中求出关系，即可得出结论.解：连接AC交BD于点，连，如下图所示，因为平面，所以，平面平面，所以（或补角）为平面与平面的平面角，在△A1OA中，设AA1＝a，则AOa，，，所以平面与平面所成二面角的正弦值为.故选：C．点评：本题考查了二面角，根据定义做出二面角的平面角是解题的关键，注意正方体垂直关系的灵活应用，属于基础题．4．有6个人排成一排拍照，其中甲和乙相邻，丙和丁不相邻的不同的排法有（）A．240种B．144种C．72种D．24种答案：B甲和乙相邻，捆绑法，丙和丁不相邻用插空法，即先捆甲和乙，再与丙和丁外的两人共“3人”排列，再插空排丙和丁.解：甲和乙相邻，捆绑在一起有种，再与丙和丁外的两人排列有种，再排丙和丁有种，故共有EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4种.故选：B点评：本题考查了排列中的相邻问题和不相邻问题，属于中档题.5．若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．答案：A先对函数求导，根据函数在区间内单调递增，转化为导函数大于等于，然后分离常数，根据最值求得的取值范围.解：，，∵函数在区间内单调递增，∴导函数EMBEDEquation.DSMT4恒成立，则恒成立，故.故选：A．点评：本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.6．如图，在圆锥的轴截面中，，有一小球内切于圆锥（球面与圆锥的侧面、底面都相切），设小球的体积为，圆锥的体积为，则的值为（）A．B．C．D．答案：B采用数形结合，假设小球的半径为，圆的半径为，然后计算，可得，然后根据体积公式简单计算，可得结果.解：如图设小球的半径为，圆的半径为由所以由，所以所以，则所以所以，故选：B点评：本题考查球体、锥体的体积以及内切问题，本题难点在于找到，读懂题意，细心计算，属基础题.7．若函数存在两个不同零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．答案：C首先能判断出是函数的零点，问题转化为有一个非零根，构造函数，研究其图象的走向，从而得出结果.解：函数存在两个不同零点，等价于有两个不同的解，满足条件，所以有一个非零根，令，，当时，，时，，所以在上单调递增，在上单调递减，且当时，，当时，，所以有一个非零根时，实数的取值范围是，故选：C.点评：该题考查的是有关根据函数零点个数求参数取值范围的问题，在解题的过程中，注意将函数零点的个数转化为图象交点来解决，注意构造新函数，利用导数研究其走向，属于中档题目.8．从0，1，2，3，…，9中选出三个不同数字组成一个三位数，其中能被3整除的三位数个数为（）A．252B．216C．162D．228答案：D根据题意将10个数字分成三组:即被3除余1的有1，4，7；被3除余2的有2，5，8；被3整除的有3，6，9，0，若要求所得的三位数被3整除，则可以分类讨论:每组自己全排列，每组各选一个，再利用排列与组合的知识求出个数，进而求出答案.解：解:将10个数字分成三组，即被3除余1的有，被3除余2的有，被3整除的有.若要求所得的三位数被3整除，则可以分类讨论:①三个数字均取自第一组中，或均取自第二组中，有个；②若三个数字均取自第三组，则要考虑取出的数字中有无数字0，共有个；③若三组各取一个数字，第三组中不取0，有个，④若三组各取一个数字，第三组中取0，有个，这样能被3整除的数共有个.故选：D.点评：本题考查分类计数原理和排列组合知识，如何分类是关键，属于中档题.二、多选题9．以下函数求导正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则答案：AC采用逐一验证法，根据导数的四则运算进行计算，然后判断可得结果.解：对A，，故A正确对B，，故B错对C，所以C正确对D，，故D错故选：AC点评：本题考查函数导数的计算，考查导数的四则运算以及复合函数的导数，掌握基础函数的导数，细心计算，属基础题.10．下面四个命题中的真命题为（）A．若复数满足，则B．若复数满足，则C．若复数，满足，则D．若复数，则答案：AD根据实数和复数的定义，逐个选项判断即可.解：若复数满足，则，故命题为真命题；复数满足，则，故命题为假命题；若复数，满足，但，故命题为假命题；若复数，则，故命题为真命题.故选：点评：本题考查复数的基础知识，属于基础题.11．以下关于函数的说法正确的是（）A．函数在上不单调B．函数在定义域上有唯一零点C．函数的最小值为D．是的一个极值点答案：ABD求导，利用导数讨论函数的单调性、极值，结合零点的存在性定理分析零点个数.解：因为，令得，，所以，当时，，故在上递增；当且时，，故在和时上递减；所以在处取得极小值，故A、D正确；又当时，，所以在上无零点；因为，且在上递减，所以在上只有一个零点，且无最小值，故B正确.故答案选：ABD.点评：本题考查导数的应用，考查学生利用导数研究函数的单调性、极值最值、零点等问题的能力，难度一般，解答时函数单调区间的确定及极值的确定是核心.12．如图，在菱形中，，，将沿对角线翻折到位置，连结，则在翻折过程中，下列说法正确的是（）A．与平面所成的最大角为B．存在某个位置，使得C．当二面角的大小为时，D．存在某个位置，使得到平面的距离为答案：BC对A，可以举出反例；对B、C通过证明与计算可得；对D，可利用反证法；解：如图所示：对A，取BD的中点O，连结OP，OC，则当时，与平面所成的最大角为，故A错误；对B，当时，取CD的中点N，可得所以平面PBN，所以，故B正确；对C，当二面角的大小为时，所以，所以，所以，故C正确；对D，因为，所以如果到平面的距离为，则平面PCD，则，所以，显然不可能，故D错误；故选：BC.点评：本题考查空间中线面位置关系及角的运算、反证法，考查转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力.三、填空题13．复数满足（其中是虛数单位），则复数的模等于______.答案：利用复数的运算法则和模的计算公式即可得出结果．解：∵，∴，∴|z|=，故答案为：.点评：本题考查了复数的运算法则和模的计算公式，属于基础题目．14．设函数满足，则的值为______.答案：1先对函数求导，再令，求出的值，代入原函数中，再令可求出.解：由，得，令，则，解得，所以，令，则，解得故答案为：点评：此题考查函数的导数，属于基础题目.15．用红、黄、蓝、绿四种颜色给图中五个区域进行涂色，要求相邻区域所涂颜色不同，共有______种不同的涂色方法.（用数字回答）答案：240根据分步计数原理与分类计数原理，列出每一步骤及每种情况，计算即可.解：从开始涂色，有4种方法，有3种方法，①若与涂色相同，则共有种涂色方法；②若与涂色不相同，则有2种涂色方法，当涂色相同时，有3种涂色方法；当涂色不相同时，有2种涂法，有2种涂色方法.共有种涂色方法.故答案为：240.点评：本题考查排列组合，考查两种计数原理的应用，属于中档题.四、双空题16．已知四面体的所有棱长均为，则对棱与间的距离为______，该四面体的外接球 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 面积为______.答案：EMBEDEquation.DSMT4将四面体放到正方体中，由可得正方体的棱长为，然后即可求出答案.解：如图，将四面体放到正方体中，由可得正方体的棱长为所以对棱与间的距离即为棱长，等于该四面体的外接球与正方体的外接球相同，半径等于体对角线的一半，所以所以表面积为故答案为：；点评：在解决正四面体的有关问题时，通常把它放到正方体中.五、解答题17．已知复数满足为实数，为纯虚数，其中是虚数单位.（1）求实数，的值；（2）若复数在复平面内对应的点在第四象限，求实数的取值范围.答案：（1）；；（2）.（1）根据为实数，求得，利用复数的除法运算法则，化简，利用其为纯虚数，求得；（2）将所求值代入，确定出，根据其在复平面内对应的点在第四象限，列出不等式组，求得结果.解：（1）因为为实数，所以，因为为纯虚数，所以．（2），，所以，因为复数在复平面内对应的点在第四象限，所以，解之得．点评：该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的除法运算，复数的分类，复数在复平面内对应点的位置，属于简单题目.18．已知函数，在处的切线方程是，其中是自然对数的底数.（1）求实数，的值；（2）求函数的极值.答案：（1）；（2）极大值1；无极小值..（1）计算，，根据函数在处的切线方程，简单计算可得结果.（2）根据（1）的结论，可得，然后利用导数，判断原函数的单调性，找到极值点，最后计算可得结果.解：（1）由，得，由在处的切线方程是，知切点为，斜率为，所以，解之得．（2），，令，得， 1 ＋ 0 － ↗ 极大值 ↘由表可知，当时，取得极大值1；无极小值.点评：本题查函数在某点处的切线方程求参数以及求具体函数的极值，理解函数在某点处导数的几何意义以及掌握导函数与原函数的关系，属基础题.19．某班有6名同学报名参加校运会的四个比赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法，（用数字回答）（1）每人恰好参加一项，每项人数不限；（2）每项限报一人，且每人至多参加一项；（3）每人限报一项，人人参加，且每个项目均有人参加.答案：（1）4096种；（2）360种；（3）1560种.（1）根据分步计数原理直接计算可得，然后可得结果.（2）依据题意，计算，可得结果.（3）先分组，可得，后排列，可得，简单计算可得结果.解：（1）每人都可以从这四个项目中选报一项，各有4种不同的选法，由分步计数原理知共有种．（2）每项限报一人，且每人至多报一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种不同的选法，第二个项目有5种不同的选法，第三个项目有4种不同的选法，第四个项目有3种不同的选法，由分步计数原理得共有报名方法种．（3）每人限报一项，人人参加，且每个项目均有人参加，因此需将6人分成4组，有种．每组参加一个项目，由分步计数原理得共有种．点评：本题考查分步计数原理的计算，分清楚哪个有剩余哪个不剩余以及常用先分组后排列方法，审清题意，细心计算，属基础题.20．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，是上一点，且.（1）求异面直线与所成角余弦的大小；（2）求点到平面的距离.答案：（1）；（2）.（1）连交于，连，根据已知可得，得出为中点，从而有，（或补角）就为所求的角，分别求出，即可得出结论；或建立空间直角坐标系，确定坐标，利用向量夹角公式，也可求解.（2）点到平面的距离等于点到平面距离的一半，由平面，过做于，可证平面，即可求出结论；或求出的面积，用等体积法也可求解；或建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量点到面的距离公式亦可求解.解：（1）连交于，连，平面，所以，在中，，又因为底面是矩形，所以为中点，，所以，因为是上一点，且，所以为中点，，所以（或补角）就为与所成的角，因为所以平面，，，所以异面直线与所成角余弦值为；（2）解1：过做于，平面，所以，所以平面，为点到平面的距离，在中，，又是中点，所以点到平面的距离为．解2：因为，平面，所以，在中，，所以，设点到平面的距离为，则，由，得，所以．又是中点，所以点到平面的距离为．解法二：分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，（1）则，，，设，则，所以，由，知，所以，为中点，所以，，．所以异面直线与所成角的余弦值为．（2），，设平面的法向量为，由，得，所以，取，得，所以是平面的一个法向量．所以点到平面的距离为．点评：本题考查异面直线所成的角，可以用几何法和空间向量法求解，几何法通过做平行线转化为平面角，向量法通过建系把角的计算归结为向量的夹角的计算；考查点到的平面的距离，可以考虑定义法，做出点到面的垂线直接计算，或用等体积法，或用空间向量法应用向量数量积的几何意义求解.21．如图，四棱锥中，底面，，，，为线段上一点，，为的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.答案：（1）证明见解析；（2）.（1）取中点，连接，，证明，再证得平面；（2）连接，先证，证得面，再作交于，连接，证得面，则为直线与平面所成角，再求出的正弦值.解：（1）证明：取中点，连接，，因为为的中点，所以且，又，，且，则，且，所以四边形为平行四边形，则．又因为平面，平面，所以平面．（2）解：在中，，因为，所以，在中，，由，知．因为底面，底面，所以，又，平面，平面，所以平面．在平面内，过点作，交于，连接，则，又，平面，平面，所以平面，所以是在平面内的射影，则为直线与平面所成角．在中，为的中点，所以，在中，由，得，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为．点评：本题考查了线面平行的判定，以及几何法求空间角，结合考查了余弦定理，还考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，运算能力，属于中档题.22．已知．（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）当时，证明对于任意的成立．答案：（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析试题分析：（Ⅰ）求的导函数，对a进行分类讨论，求的单调性；（Ⅱ）要证对于任意的成立，即证，根据单调性求解.试题解析：（Ⅰ）的定义域为；.当，时，，单调递增；，单调递减.当时，.（1），，当或时，，单调递增；当时，，单调递减；（2）时，，在内，，单调递增；（3）时，，当或时，，单调递增；当时，，单调递减.综上所述，当时，函数在内单调递增，在内单调递减；当时，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增；当时，在内单调递增；当，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，时，EMBEDEquation.DSMT4，，令，.则，由可得，当且仅当时取得等号.又，设，则在单调递减，因为，所以在上存在使得时，时，，所以函数在上单调递增；在上单调递减，由于，因此，当且仅当取得等号，所以，即对于任意的恒成立．【考点】利用导函数判断函数的单调性，分类讨论思想.【名师点睛】本题主要考查导数的计算、应用导数研究函数的单调性、分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当，或因复杂式子变形能力差，而错误百出.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等.试卷第2=2页，总4=4页_1234568145.unknown_1234568273.unknown_1234568401.unknown_1234568465.unknown_1234568497.unknown_1234568529.unknown_1234568545.unknown_1234568561.unknown_1234568569.unknown_1234568573.unknown_1234568575.unknown_1234568577.unknown_1234568578.unknown_1234568579.unknown_1234568576.unknown_1234568574.unknown_1234568571.unknown_1234568572.unknown_1234568570.unknown_1234568565.unknown_1234568567.unknown_1234568568.unknown_1234568566.unknown_1234568563.unknown_1234568564.unknown_1234568562.unknown_1234568553.unknown_1234568557.unknown_1234568559.unknown_1234568560.unknown_1234568558.unknown_1234568555.unknown_1234568556.unknown_1234568554.unknown_1234568549.unknown_1234568551.unknown_1234568552.unknown_1234568550.unknown_1234568547.unknown_1234568548.unknown_1234568546.unknown_1234568537.unknown_1234568541.unknown_1234568543.unknown_1234568544.unknown_1234568542.unknown_1234568539.unknown_1234568540.unknown_1234568538.unknown_1234568533.unknown_1234568535.unknown_1234568536.unknown_1234568534.unknown_1234568531.unknown_1234568532.unknown_1234568530.unknown_1234568513.unknown_1234568521.unknown_1234568525.unknown_1234568527.unknown_1234568528.unknown_1234568526.unknown_1234568523.unknown_1234568524.unknown_1234568522.unknown_1234568517.unknown_1234568519.unknown_1234568520.unknown_1234568518.unknown_1234568515.unknown_1234568516.unknown_1234568514.unknown_1234568505.unknown_1234568509.unknown_1234568511.unknown_1234568512.unknown_1234568510.unknown_1234568507.unknown_1234568508.unknown_1234568506.unknown_1234568501.unknown_1234568503.unknown_1234568504.unknown_1234568502.unknown_1234568499.unknown_1234568500.unknown_1234568498.unknown_1234568481.unknown_1234568489.unknown_1234568493.unknown_1234568495.unknown_1234568496.unknown_1234568494.unknown_1234568491.unknown_1234568492.unknown_1234568490.unknown_1234568485.unknown_1234568487.unknown_1234568488.unknown_1234568486.unknown_1234568483.unknown_1234568484.unknown_1234568482.unknown_1234568473.unknown_1234568477.unknown_1234568479.unknown_1234568480.unknown_1234568478.unknown_1234568475.unknown_1234568476.unknown_1234568474.unknown_1234568469.unknown_1234568471.unknown_1234568472.unknown_1234568470.unknown_1234568467.unknown_1234568468.unknown_1234568466.unknown_1234568433.unknown_1234568449.unknown_1234568457.unknown_1234568461.unknown_1234568463.unknown_1234568464.unknown_1234568462.unknown_1234568459.unknown_1234568460.unknown_1234568458.unknown_1234568453.unknown_1234568455.unknown_1234568456.unknown_1234568454.unknown_1234568451.unknown_1234568452.unknown_1234568450.unknown_1234568441.unknown_1234568445.unknown_1234568447.unknown_1234568448.unknown_1234568446.unknown_1234568443.unknown_1234568444.unknown_1234568442.unknown_12345684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