毕尸宁｝巴弓7飞邑二出〖∩下亏邑弓1‖【】｀峨;』｀↑『:叶卿｀≡…工点r尸下二b……司【;;磁尸:,二二1【己~~~~~~~~~~~~~~~~尸归巴弓·弓TL罗｝弓唯i｝弓｀~~~~~~~~嗽1男』』『;;些些l;／潜哦…勺参宁山馅码嚣撼芝辩~~翻严个°d黔以‘电睁■□■烹镶1∏】b』巴｜巴旦△『!『『『（些r二A暇~~~~~~巴丁呛（呛r苛｀｝」尸L;飞苛T二弓E｝弓■尸:｝飞石riI;恿蛹:永;』］＜｀→｀』尸》~~~~~~~~~~＝召｀口卸驴＝△｝l壬＝飞巴~~~巴E』壬｀弓电L弓气弓丑b】IⅧ归i巴电］L已｝→÷｀】蹦些0!专
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
-集台与常用逻辑用语｛（粤｜?）,（粤′粤）耐元素趣＂考点T集台的概念及具运算≡…呼≡＿…＾‖｀≡《…｜刷小题「″～□;～ˉ■■■■■｜［测‖‖诊断］本题难度小,主要考查集合的描述法及集合的交集运算』｜C［解析］本题考查集合间交集的运算及—元二次不等式的解法由考查数形结合思想’意在让大多数考生得分题知Ⅳ＝｜熊｜x2ˉ则-6＜0｝＝｛苑｜（x3）（则＋2）＜0｝＝｛熙｜＿2＜虹＜‖0D［解析］A＝｛则如2＿4x＋3＜（）｝＝｛鳃｜（卯—3）°（期1）＜0｝＝3｝,所以″∩Ⅳ＝｛测｜ˉ2＜施＜2｝.…麓｜……爱正瞒露云二…式〖商川翘…｜露川…;｛‖随～｜Ⅸ｜醚—｀≥0｝-仆÷｝｀』∩赠～集合的交集2＾［瞬桐……豆邮………丫生｜通｜奥,—｛｛艘｜÷…］｝蕊逃∏5卯＋6＞0｝＝｛x｜x＞3或卯＜2｝,B二｛虹｜卯l＜0｝＝｛x｜则＜l｜’［测‖｜｜诊断］本题难度较／｜＼』主要考查元二次不等式的解法及交ˉ,~A∩B＝｛撼｜x＜l｝》故选A。集运算』意在让考生得分.［关键点拨］求解本题首先化简集合A,B,然后借助数轴的直观性求｜‖lC［解析］由（x＋l）（惩—2）＜0,解得ˉl＜x＜2。又则巨Z,...B＝交集｛0,1｝..ˉ。A＝｛l』2｀3｝,.··AQB二｛0!l』2,3｜.故选C.3A［解析］本题考查集合的交集运算由加2≤l得l≤颠≤］!′.B＝［测‖‖诊断］本题难度较小,主要考查—元二次不等式的求解以及｛x｜l≤如≤l｝.又A＝｛ˉl｜0）l,2｝,.·｀A∩B＝｛ˉl,0,］｝。故选A。;集合的并集运算［易错警示!注意区分＂口＂与“∩＂.↑2.D［解析］｀.S二｛卯｜x≤2或绷≥3｝,T＝｛鳃｜刺＞0｝,。..S∩T＝4B［解析］由x2ˉ鳃2＞0得（财2）（卯＋l）＞0,解得鳃＜—l或（0’2］□［3｜＋“）.勉＞2,。.~A＝｛鳃｜郎＜ˉl或鳃＞2｝ˉ借助数轴｜得［RA＝｛x｜ˉl≤则≤［测‖｜｜诊断］（1）本题难度较小,考查＿元二次不等式求解、集合的2｝.故选B壳示｜M乃集合的i云宣.老生需正确求解—元二次不等式』借助数轴~~~~肛~~表示以及集合的运算,考生需正确求解—元二次个寺虱』叫求交集（2）本题若失分］主要是—元二次不等式求解出错ˉ→ˉt—二二—］2□＼≥～＝啼＜.｀～′宁廷.问＾′→〗＿ˉ～←″ˉˉˉ｜‖3｀八［解析］..B＝｛＂｜（撼］）（憋＋2）＜0｝＝｛聪｜一2＜苑＜l｜｛A＝5∧［解析］A＝｜（鞭｀））｜瓤2＋f≤3』卿巨Z’γ巨Z｝＝｜（l』＿l）｀（＿l’0）』｝｛—2』—l』0』l』2｝,＾A∩B二｛—L0｝（＿1!l）,（0》ˉl）,（0,0）,（0,l）!（1,ˉl）,（l,0）〕（l,l）｝｛共9个元素故｝［测‖‖诊断］本题难度较／｜＼｀主要考查—元二次不等式的求解和集选Aˉ｜合的交集运算｜不应失分ˉ［快解］如图构造圆则圆内部共有9个满足题意的点｜故选A.｜『4D［解析］本题考查集合的运算.囚为∧∩C＝｜l,2｝］所以（A∩岛｀｀仅（钳;｀弓:征雕r丫｀『→弓l弓男巴二」』弓巴用巴鹤｀｀荤｀二罚;!削『rhγ:~~~~~~~~巴】△｀尸h【顿愁呜』｛苫:铲些贴;骂~~~~~~~~~弓叫』…『二≥轴｝Zr｀二f电弓蛙｀彤茧:铜馒:撰』』｀了｀蹿毖龋｛瓣!ui龋撼掇｝獭瓣蕊撼瓣蠕｜C）□B二｛l』2』3）4｝’故选D［快解］根据并集运算法贝」可知（A∩C）（ˉ）B必含集合B中的元素｜2’3』4｀排除A’B』C’故选D［易错警示］注意离散集合与实数连续集合的区另｜」。｜］5∧［解析］本题考查集合的交集、补集运算由题知‖UA＝｛ˉl,3｝］｜则（‖0A）∩B二｛—l｜｀故选A~｜…｜｀·＾［解顿｜′／…』＾—…』』咋｜川—…2「′‘—｜∩∩‖勺｜°∧＾I】＿」∩‖｜士b刁告∧→九≡亏到［测‖｜｜诊断］本题难度较／｜＼｛考查集合与不等式的有关知识］考查数｜｛—2,0｀l,2｝,~。.A∩k＝｛0,l｝.故选A。形结合能力』意在让大部分考生得分［测‖｜｜诊断］本题难度小｛主要考查绝对值不等式的求解｀集合的交,°懈狮卜』≡协—｜雪‖｜—｜鞭｝≡｜｜.‘＝｜＂」1:｜｝…≡｜＊…盲＂铡｜球轰示詹…儿蕊州…捻个铜｛｜….剿赚翻湍瞧震蹦稀｜｜腻扁赢鞘冒｜撕觅…｜……｛l｛2｝.故选C.（［RB）＝｛卿｜0＜鳃＜］卜故选B.以‘（∩B＝｛虹｜卯＜0｝.故选A.［快解］因为l匡B,所以l任‖Ra所以1筐A∩（0RB）,排除A,C,D!｛测训｜……卜｛广＝维肯随…露……｜,窿＂义的理解｀运算求解能力,意在让大多数考生得分。［测‖｜｜诊断］本题难度小］考查集合的交集与补集的运算,意在让大8C［解析｝,。A∩B＝｛l｝,。..l匡B』l2＿4×］＋刀l＝0｜。.。m＝3.方程多数考生得分.x2一4鳃＋3＝0的解为＂l＝l］卿2＝3仆。。B＝｛1’3｜,故选C.08C［解析卜全集〔／＝｛l!2’3,4!5｝,A＝｛l,3｝!［测‖｜｜诊断］本题难度小,主要考查集合的表示方法＼元素与集合的关系＼集合的交集的概念』考查
分析
定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析
问题与解决问题的能力｀运算求f.由补集定义得［UA＝｛2｛4,5｝.故选Cˉ［关键点拨］解决本题的关键是利用补集的定义,即00A二｛鳃｜则巨［／解能力,意在使大多数考生得分。且狐任A｝.徊√2｜工燃｜二三…｜』嚣｜‖瓣霸斟怒髓,僵懈祈｜鬃京｛订ˉ｜｜霹.寞题分类集训■【‖〗〗〗〗□‖■~｜微信公众号：嗨呀同学斟鞭燃瓣鹅蕊」题箔键集瓣数孽（螺）或则＞3｝｜画出数轴,公共部分是｛撼｜ˉ2＜虹＜—1｝。故选A判断［刷百所得］可根据集合之间的包含关系判断充要条件.4∧［解析］本题考查充分条件与必要条件｀基本不等式的应用ˉ。.α＞0’b＞0,ˉ..4≥α＋6≥2√丽’...αb≤4〕即」｛α十b≤4＂是＂αb≤4′』的充分条件当α-÷』‖～7时』·』＝÷≤4但°＋b二鉴＞4』厌此α＋6≤4不成立.｀＂α＋｀b≤4｜｜是『αb≤4＂的充分不必要条件.故选A·5.C［解析］｜αˉ3b｜＝｜3α＋b｜的两边平方得｜α｜2＝6α°b＋9｜b｜2＝9｜α｜2＋6α。b＋｜b｜2,·..8｜α｜2＋l2α·b-8b｜2＝0!°,。2｜α｜2＋3α·b-2｜b｜2＝0...。｜α｜＝｜b｜＝l,...3α.b＝0,。.°〃·b＝0,..·α上b.反之］步步可逆,故是充分必要条件］故选C.［关键点拨］解决本题的关键是将式子｜αˉ3b｜＝｜3α＋b｜的两边平方,构造数呈积α.b.［届‖盲所得］充分必要条件的半｜」定要看充分性与必要性是否都成立′也就是充分性与必要性都半｜」定a＾［解析］圈为｜慰—÷｜≤＋,浙从＂…｜又圈为巍』≤］』哪~~~E愚Ⅱ＿广-〕＿区″＾句’可么-2＝l0］刚训诊断］本…小｀主霍…合雕…算』怒壹翻定义雏｝理解｀运算求解能力、数形结合思想‖意在让大多数考生得分.20B［解析］集合AuB＝｛l,2｜4,6｝,贝｜」（AOB）∩C＝｛1｜2,4｝,故选B.［关键点拨］熟悉集合的并集｀交集的定义以及在解题中的应用.［刷盲所得］集合的运算可结合数轴｀Venn图等直观求解』无限数集的运算借助数轴,有限数集的运算贝｜借助Venn图.［测‖｜｜诊断］（l）本题难度小］主要考查集合的交集、并集运算］考查考生对定义的理解以及应用能力,意在让多数考生得分.（2）本题不应错］若错］可能是混淆交集｀并集的符号或定义造成的。2lD［解析］.函数γ二√J＝万丁的定义域满足4—厕2≥0’即ˉ2≤则≤2｛。..A＝［—2,2］.又..函数y＝ln（l＿卿）的定义域满足1—鳃＞0｜即卯＜l］...B＝（＿由』1）....A∩B＝［ˉ2,l）.故选D［关键点拨］利用偶次根式被开方数非负及对数函数的真数大于0,求集合∧｀B.［测训诊断］本题难度小］主要考查函数定义域的求法及集合的交集运算,考查运算求解能力』意在让大多数考生得分。22∧［解析］P＝｛如｜—1＜卯＜］｝’Q＝｛x｜—2＜x＜0｝,则由集合并集的定义｜可得P（ˉ」0＝（＿2｛l）.故选Aˉ［测‖｜｜诊断］本题难度小］主要考查集合的并集运算｜考查对定义的理解、运算求解能力］意在让大多数考生得分.23.｛l｛6｜［解析］本题考查集合的交集运算。由交集定义可得A∩B＝｜1』6｝。［关键点拨］A∩B＝｛x｜x匡A且x巨B｝.24｀｛l｜8｀;［解析］由交集的定义可得A∩B＝｛1,8｝.［刷盲所得］集合的运算通常利用定义求解,如A∩B＝｛则｜茹巨A且卿乞B｝~［测‖｜膨断］本题难度小〕考查集合的交集运算意在使大多数考生得分。Z5~｜［解析］因为α2＋3≥3』所以由A∩B＝｛l｝得α＝］!即实数α的值为］。［测‖｜｜诊断］（］）本题难度／｜＼,主要考查集合的交集的定义及由集合的关系求解参数值』考查考生对定义的理解以及应用能力,意在让多数考生得分（2）本题不应错,若错可能是审题错误或者对于集合运算定义的掌握不牢造成的考点2常用逻辑用语｜刷小题｜」‖·B［解析］本题考查对两平面平行的理解及充要条件的判定。当平面α内有无数条直线和平面β平行时］两平面可以平行,也可以相交,故A不正确.当α,β平行于同条直线时,两平面可以相交也可以平行』故C不正确由干垂直于同—平面的两平面可以相交也可以平行』故D不正确根据两平面平行的判定定理可知’当α内有两条相交直线与平面β平行时!—定有α／／／β反之,当α／／／β时,—定有α内的两条相交直线与平面β平行‖故选B.［易错警示］本题求解的易错之处是误认为由α内有无数条直线与平面β平行可得α／′β.事实上］选项A是α／／／β的必要不充分条件,而D中α‖β垂直于同-ˉ个平面是α／′β的必要不充分条件.2c［解析］命题p为特称命题故司p是全称命题即V″巨N,见2≤2″,选C.［刷盲所得］全称命题的否定是特称命题‖特称命题的否定是全称命题另外,要注意的是｜『＞＂的否定是｜≤＂］而不是｜｜＜＂.［测‖｜｜诊断］本题难度较小,主要考查特称命题的否定.3B［解析］本题考查不等式的解法及充要条件的半｜」断由熊25如＜0得0＜卯＜5;由｜x—l｜＜］得0＜x＜2.因为由0＜撼＜5推不出0＜如＜2｛由0＜狮＜2能推出0＜则＜5,所以｜｜虹2—5厕＜0”是＂｜鳃—1｜＜1”的必要而不充分条件.故选B［关键点拨］求出两个不等式的解集》根据充要条件的定义进行~~＜］＿∑Ⅺx＜l.因为（）＜绷＜l＝则＜l］但知＜1→0＜卿＜1］所以』｜｜寺》′是』《熊2＜l＂的充分不必要条件放选A乙［关键点拨］判断充分不必要条件的关键是『‖以小椎大＂,即小范围推得大范围.7.∧［解析］由线面平行的判定定理可得m区α,nCα’肌／／／n可推出加／／／α;由加／／／α｜′lCα得矾和＂平行或异面,所以由矾／／／α椎不出″l／／／″’所以＂m／／／n＂是“m／／／α＂的充分不必要条件。故选Aˉ［关键点拨］若p＝q］但q诌q］贝‖p是q的充分不必要条件i若p叁q,但q＝〉p｀则p是q的必要不充分条件「若p.q,则p是q的充分必要条件;若p之q,且q当p′贝」p是q的既不充分也不必要条件［测训诊断］（］）本题难度适中,考查线面平行的判定定理和充分必要条件的半」断。（2）若错］可能是由于线面平行的半｜」定定理记忆不牢和对充分必要条件理解不深刻8.∧［解析］已知狮｛″为非零向量!若存在负数入‖使得m＝∧＂,贝｜｜加.Ⅶ＝入″.〃＝∧〃2＜0’成立,是充分条件｛反过来,若加°〃＜0!贝｜｜″t,″不定共线］可能两向量的夹角是钝角』此时就不存在负数∧‖使得咖＝∧〃.所以是充分不必要条件。故选A。［刷育所得］与平面向三数量积有关的问题是高考考查的重点.该类问题多是单独命题有时与其他知识综合命题’考查学生分析问题｀解决问题的能力.［测‖｜｜诊断］本题难度适中,主要考查平面向呈的数呈积运算以及充要条件的判断』考查转化与化归能力｀推理论证能力』意在让部分考生得分.9∧［解析｜副为!′舌卜舌ˉ0…÷｀所以由｜0—舌｜＜舌l1可推出舅in0＜÷』反之不成立』如0≡÷』满足…＝丁＜丁｀此时｜0—舌｜～于≥舌｜则｜,／舌｜≤舌』是…＜＋″呐充分而不必要条件’故选Aˉ［刷盲所得］若p＝0｛q声p］则p是q的充分不必要条件］q是p的必要不充分条件.［测训诊断］（l）本题难度小』主要考查充分条件＼必要条件的判定｀正弦函数］考查学生对充分条件｀必要条件定义的理解和应用能力,意在让多数考生得分.（2）本题不应错〕若错可能是对定义理解有误或sin0＜寺求解错误造成的.垄lOB［解析］..。x＞0,...熊＋1＞l’。~。ln（鲍＋1）＞lnl＝0］...命题p为真命题当α＝1’6＝＿2日寸,α＞b成立〕但α2＞62不成立.。.ˉ命题q为假命题。′ˉ命题p∧司q为真命题故选B.~~／」9∧［解析］因可推出sin0＜此时｜0—舌｜八ˉ厂＝了＝＾′＝≈~~~~~｜@微信公众号：嗨呀同学答案及解析［测‖｜｜诊断］（1）本题难度′｜＼〕主要考查命题真假的判断及含逻辑联结词命题真假的判断,对数函数｀不等式的性质’考查综合运用所学知识分析解决问题的能力〗意在让大多数考生得分.（2）本题若出错!—是命题q的真假判断错误,二是对真值表记忆不准确＂′｜鞭｜-｛‖;＝!逞2｜本题答案不唯—｜［解祈］…数′｜鹏｜-｛‖;二!逞2,满足′｜撼｜刁｜0｜对任意的蕊.｜0』2］都成立』但′｜蕊｜在［0’2］上不是增函数.［刷盲所得］特殊函数中分段函数可以满足各种条件｛半｜」断全称命题为假命题〕只需举反例即可专题二基本初等函数I者点3函数的概念和性质刷小题｜T.B｛解析］本题考查函数性质及函数与不等式的综台.。.勿巨R时,／（撼令l｜＝驴｜露｜』且当瓣匡（0’｜］时√（绷）＝躯（鳃ˉ｜）＝（膨ˉ＋）2＿十≥十』当缠匡（ˉl』0］时’瓣＋」筐（0』』］』则′（叶］｝＝（膊刊）＾＾j（鳃）二步（撼带l）＝十…）＝＋（聪÷）2＿÷≡—了1＾当躯≤0时』ˉ÷≤′（躯）≤0』即对γ撼巨（ˉ鲤』0］青陌′（瓣｜≥ˉ÷而当虹巨（1,2］时,虹-］巨（0’l］］则／（缅—1）＝（卯-1）（匆—2）.＾′（z）二〃（瓣ˉl｜＝2（鳃—l｜（则ˉ2）＝2（腮＿÷）2＿÷又躯匡（l’2:时』′（撼）的最小值为ˉ十』最大值为0』此时′（瓣｜≥ˉ:成立当卯巨（2］3］时!撕ˉ2巨（0,1］’则／（勿—2）≡（冗—2）（鳃-3）’则′（躯｜＝v｜撼ˉl）＝邻（獭—2）＝4（膊＿2）｜躯ˉ3｜＝4（蹦ˉ÷）2—l又膊匡（2,3］时』ˉ」≤′（膊）≤0』此时ˉ:匡［—］』0］令′（鳃）＝—:』贝｜4（”ˉ2｜（赃ˉ3｜＝ˉ:』解得瓣＝÷或÷故当＋…÷时』／（瓣）≤ˉ:;当2＜蜒≤÷时√｜蕊｜≥—÷,故当”筐（—·°｀÷｜时』′（瓣｜≥ˉ÷故选B［快解｜由鞭匡｜0』l］时』′（墓）＝x（瓣—l）＝（躯—＋）2ˉ÷知函数的最小值为ˉ十』根据瓤匡R时′′（鳃十l）＝驯靡）可知聪≤0时』′（獭）≥ˉ丁＞ˉ丁』瓣巨（｜’2］时’′（聪）的最小值为2×（ˉ＋）＝—＋’18”匡（2’3］时』′（卿）的最小值为2×（ˉ十）＝ˉl此时由—l＜ˉ丁8知,使′（躯）≥ˉ÷的值应满足躯匡（2』3］若冗巨（2,3］,贝｜」勿-2巨（0,lM（箍-2）＝（匆-2）（卯—3）。..。／（z）≡2／（卯ˉ1）≡4／（鳃—2）＝4（如—2）（勿ˉ3）。令4（撼＿2｜（躯ˉ3｜＝—:』知撼＝÷或缠-÷』结合卿匡｜ˉ鲍』呵时′（鞭｜≥ˉ:』知咖≤÷』故选B［冕错警示｜本题求解的易错之处是不能正确判断便／（躯）＝—:的嘶的值所在的区间,另外,当判断出勿匡（2,3］后］根据4（蜒—2｜（蕊—3｜＝:求出躯＝÷或瓣＝:时』会误选（ˉ·°,÷｜2c［解析］本题考查利用函数的奇偶性、单调性比较函数值的大小.γ／（x）是定义域为R的偶函数｀且l唯÷＝＿l嘿』4』八′（l啮十）＝／（log34）,且l吧34＞l。又..y＝2∑在（ˉ的’＋切）上单调递增’...0＜3222＜23＜1.32又。.／（鳃）在（0〗＋切）单调递减,且ˉ0＜2ˉ了＜2ˉ丁＜l＜log34』2√｜22｜＞′｜2了）＞′｜l。g』4｜＝′｜lo鞠÷）放选c3.C［解析］。.。函数g（卿）存在2个零点!..。函数y＝／（x）的图像与y＝ˉ嘶-α的图像有2个交点。如图!平移直线y＝-如!可以看出当且仅当—α≤l即▲0＝刻＼｀／一0｜没＼｀~尤α≥—1时］直线y＝—抛-α与y≡／（勿）的图像有2个交点。故选（】.4c［解析］由／（1＿孵）＝／（1＋撼）得／（＿卿）＝／（虹＋2）’又／（勿）为奇函数］则／（／（＿卿）＝／（虹＋2）’又／（勿）为奇函数］贝｜」／（—匆）≡ˉ／（卯）,所以／（嘶）＝-／（鳃＋2）＝／（z＋4）!所以／（匆）是周期为4的函数由／（1）＝2知／（—l）＝ˉ2］所以／（3）＝—2’又／（郎）为奇函数］z巴（ˉ酌,＋铂）!所以／（0）＝0.又因为／（1＿x）＝／（1＋匆）〕令鳃≡1］所以／（0）＝／（2）≡0k／（4）≡0,所以／（1）＋／（2）＋／（3）＋／（4）＝0,／（49）≡／（1）＝2‖／（50）＝／（2）＝0,所以／（1）＋／（2）＋／（3）＋…＋／（49）＋／（50）＝l2×［／（1）＋／（2）＋／（3）＋／（4）］＋／（l）＋／（2）＝l2×0＋2＝2.故选C.［测‖｜｜诊断］本题难度较大,考查抽象函数｀奇偶性｀周期性与函数求值等知识〕考查运算推理能力］意在让少部分考生得分。5D［解析］...／（鳃）为奇函数』／（l）＝ˉl‖..。／（ˉ1）＝1.。。／（匆）在（—山’＋由）单调递减‖.＼由-l≤／（勿ˉ2）≤1〕得-1≤勿ˉ2≤1’即1≤如≤3.故选D。［刷盲所得］解决与抽象函数相关的不等式问题,主要依据单调性或奇偶性去掉函数的＂外衣＂,从而转化成常规的不等式求解［测训诊断］（1）本题难度适中,主要考查函数的单调性与奇偶性的应用｀与函数有关的不等式的求解｛考查抽象概括能力、运算求解能力｀转化与化归能力意在让部分考生得分.（2）本题若出错!可能是不能很奸地利用函数的′性质＂脱去＂函数符号“／＂.6B［解析］y＝匹ˉ±ˉ1＝1＋上,其图像关于点（0,1）对称.又／（—卯）≡卯卯2—／（卿）〗即／（—z）＋／（虾）≡2,...／（鳃）的图像也关于点（0『1）对称又。y＝巫ˉ±ˉ1与y＝／（嘶）图像的交点为（则l〗yl）,（匆2,y2）,…］（如m,y卿）‖卯。..由对称性可知这些交点也关于（0!l）对称!不妨设（卯l,yl）与（Z硒,y厕）关干（0］l）对称!（狐2］y2）与（勿厕ˉ｜］y砸ˉl）关于（0｛1）对称］…｀由对称性可知刃l＋匆肌＝0〕匆2＋匆咖ˉl＝0,…,yl＋y厕≡2］y2＋y顺ˉl＝2’…。m邢加＾∑（厕‘＋γ‘）＝∑呐＋∑y』＝0＋2×巫＝m故选B2J≡l｛＝l‘≡l［关键点拨］需由／（-施）＝2-／（匆）得出函数／（鳃）（如巨R）图像关于点（0,1）对称［刷盲所得］（1）函数y＝／（匆）满足／（匆）≡2b—／（2α—匆）每γ＝／（勿）的图像关于点（α!6）成中心对称（2）函数γ≡／（绷）满足／（卯）＝／（2α-勿）〈≡,γ＝／（匆）的图像关于直线勿＝α成轴对称（3）y＝／（z＋α）是偶函数.函数y≡／（聪）的图像关于直线z＝α成轴对称’y＝／（绷＋α）是奇函数≈函数y＝／（绷）的图像关于点（α］0）成中夏题分类集训微信公众号：嗨呀同学高考必刷题夏题分类集训数学（理）即2露＋2鳃＿丁＞l.γ＝2慈＋的图像相当于γ＝2“的图像向右平移÷个单位’画出γ＝2夏—了垄的图像如图（2）.由图知γ＝2蜒吉的图像在颠＞÷时始终在直凸心对称［测0｜｜诊断］（l）本题主要考查了函数的图像和对称′｜生‖综合性强｛难度较大,有较大的区分度·（2）学生失分主要是不能翻译出函数／（x）（鳃匡R）图像关于点（0,l）中心对称另外’对于选择题,可以采用特殊函数法,即找至｜」符合条件的特殊函数即可｛化—般为具体,更要明确些信息,以便干求解7.C［解析］。.／（—2）＝l＋log2［2ˉ（ˉ2）］＝l＋log24＝3］／（log2l2）＝2lo膘2｜2ˉl＝2log26＝6,。。.／（-2）＋／（log2l2）＝9.［刷育所得］考查分段函数时］各段—般为基本初等函数解决这类题!要注意自变量的范围,二要关注它们常和指数函数｀对数函数综合考查』所以对指数函数｀对数函数的运算能力有—定要求［测训诊断］本题较易但要注意log2l2＝log2（3×4）≡log23＋log24＝2＋log23＞l!不要因此而失分.图（2）线y＝］上方..。.2氮＋2zˉ了＞l恒成立,1∧狮＞÷综上』鲸＞ˉ丁［测0｜｜诊断］（］）本题难度较大,主要考查分段函数及解不等式,考查分类讨论思想及数形结合思想,意在让少部分考生得分.（2）本题若出错‖是最后没有求并集］二是数形结合画图出错Ⅷ.l［解析］.／（绷）＝财ln（厕＋√∏ˉ干万T）为偶函数’.√（ˉ绷）＝／（狐）’即ˉ则ln（√顶ˉ赢丁ˉ卿）＝颜ln（厕＋√∏＿干万丁）』从而ln［（√∏ˉ不万丁）2＿z2］≡0,即lnα＝0,故α＝1［刷盲所得］应用偶函数的定义解答即可.［测】｜｜诊断］本题难度较易］主要考查函数奇偶性的定义］考查学生的运算求解能力.｜2÷［解析］本题考蕾不等式有解问题?函数′（獭｜＝“』ˉ膊』.。.／（t＋2）-／（t）＝［α（t＋2）3—（t＋2）］—（αt3＿r）≡6α‖2＋l2αt＋8α—2存在′匡R』便得『（叶2｜ˉ′｛′｜｜≤÷』即存在′匡R』使得÷≤6娜:＋｜2…≤÷成立｀又邹』带…＞0｀所以3（勤』f6什叫≤α≤444＝≡8.∧［解析］设g（x）＝1l互」勿贝」g′（购）≡巫′（〃）＿／（苑）2.卯由题意当＂＞0时］g′（熊）＜0,即当z＞0时,g（如）单调递减γ小又√（躯）为奇函数｀旦′（ˉ」｜＝0』八g（蕊｜＝粤为偶函数且g（-l）≡g（l）≡0....g（匆）的大致图像如图.。.当撼匡（0,］）时,g（z）＞0!／（则）＞0.当卿巨（—的］-l）时］g（勿）＜0,／（鳃）＞0.。..使得／（绷）＞0成立的刀的取值范围为（-铂,ˉ1）（ˉ」（0!］）.［关键点拨］此题需合理构造函数,结合单调性和奇偶′｜生大致画出图像来确定函数的正负,另需注意求的是／（z）＞0的施的取值范围］而非所构造函数的,所以还需转化.［刷盲所得］对函数性质（单调性｀奇偶性、周期性、最值）的考查直很频繁］要重点突破,另外也要注意利用转化的思想,构造出相关合理的函数,这样才能抓住关键,解决问题在平时》‖练中,也可关注特殊函数法（特别是对函数限制条件较少的）,这样更′央更准9∧［解析］函数／（宛）的定义域为R因为′（—卿｜＝3‘ˉ（＋）ˉ』＝（＋）』—3』＝ˉ卜Ⅱˉ（＋）］＝-／（匆）‖所以／（匆）是奇函数田为函数》＝］蜒在R上是增函数』γ＝ˉ（÷）』在R上也是增函数』所以／（勿）在R上是增函数故选A.［刷盲所得］判断函数奇偶性要把握两点:（l）定义域关于原点对称,这是前提｜（2）／（鳃）≡—／（—匆）或／（知）＝／（—如）在定义域上恒成立［测‖｜｜诊断］本题难度适中〕主要考查函数的奇偶性和单调性,利用函数的定义和性质求解!考查对定义的理解｀推理论证能力’意在让部分考生得分ˉ｜0（—十｜…）［解析］o当蕊≤0时』／（雾｜＋／（躯ˉ十）＞l｀即葱＋｜＋（狮—÷）刊＞l』…—丁』厂丁…αl◎当0＜躯≤十时′（缚｜＋／（甄—＋）＞｜,即2绥＋（xˉ十）＋｜＞｜』。。。2颠＞-冗＋—.2画出γ≡2』与y＝ˉx十十随大致图像』如图（1）2＝2.由题意可得h（t）mi∏≤α≤g（t）ma翼,由复合函数的单调性知g（t）ma＂＝g（ˉl）＝—兰＝ˉ▲9×÷3』〕h｜′｜蹿｜＂≥0』＾0≤α≤j』则α…二丁4［刷宦所得］（l）不等式恒成立或不等式有解求参数,常用分离参数法,通过求函数的最大值或最小值得解（2）γ绷巨［α‖6］,／（匆）≥m岂／（熊）mn≥加;】鳃≡［α］b］,／（卯）≥m〈＝芝／（x）ma撇≥mˉ0a（4,8）［解析］设函数g（z）＝／（绷）-α勉｛贝｜:（瓢｜-｛琴?撕k0』（施十;）』恤ˉ子』甄≤0』｛—卜ˉ÷｜;÷…＂即g（卯）＝依题意得』函数g（则）恰有两个零点,即函数g（狐）与卯轴有两个交点.又因为α＞0］α＞0｛α＞0!α＞0,｜:酬霸｜:叶｜:｜弘′所以…｜『!k趁｜厂』~」~解得4＜α＜8.所以α的取值范围为（4］8）.［关键点拨］构造函数g（鳃）＝／（鳃）ˉα郎,把方程的根的问题转化为函数g（x）的零点问题,再次转化为函数g（x）与勉轴有两个交点的由图可知γ＝2“的图像在0＜鳃≤＋时始终垒在直线y≡ˉ＂＋÷上方卵｀不等式2Ⅱ＞鱼ˉ鳃荆÷恒成立＾0＜颠≤丁］圃当甄＞÷时』′（蕴｜十′（瓤ˉ÷）＞｜』V＝2｀O｜告＼γ＝』］一∑＋图（1）o微信公众号：嗨呀同学答案及解祈［测0｜｜诊断］本题难度中等］但需要逐项分析.在A,D选项中可以借助指数函数｀对数函数的图像或性质解决,在B项中采用作商法即可!在C项中可借助中间值或构造函数处理’易失分。4l∧［解析］α＝2丁＝l6丁］C≡25丁,由幂函数y＝匆丁在（0］＋切）上单2l调递增‖可得α＜c.又b＝4了＝16了］由指数函数y＝l6＂在R上单调递增］可得6＜α.所以b＜α＜c.［关键点拨］本题关键是将α!6,c合理转化’化为指数相同或底数相同的指数式‖利用幂函数性质或指数函数性质处理［刷盲所得］比较对数值与幂值的大′｜｀』善于对式子合理变形』可借｜助指数函数｀对数函数＼幂函数单调性进行比较』或与特殊值进行比｜较,如l｛0等［测0｜｜诊断］（l）本题难度较／」｀’考查指数式的运算’指数函数｀幂函数的性质（2）若出错,主要是对指数运算不熟导致的.∧［解析］本题考查新背景下对对数的概念及运算知识的理解和应窘露｜三1’骂赋露霉j窒!雾｜d::-!0｜,÷＿＂啊」故选＾［关键点拨］解答本题的关键在于正确理解题意’能明确区分星等与｜亮度及其关系数据较多］切忌混淆。∧［解析］本题考查指数函数｀对数函数的性质α＝log52＜｜!o肆佰-＋』6-］°瓢』u2＞］·息o;α25-2,＋-α5!＜o5o』≤｜～α50＝］』故十…」』所以α＜‘＜b放选A［关键点拨］利用0’÷’l等中间值比较各个数值的大′」｀≡［易错鳖示］利用指数函数｀对数函数的单调性时要根据底数与1相比的大／」｀区另｜」对待D［解析］因为1＝log22＜log2e＜log24≡2］所以l＜α＜2;因为0＜ln2＜ln.＝l｀所以0≤‖＜｜;因为!°鼠片二l°髓3＞l。题e』所以c≥α』所以c＞α＞b。故选D［刷盲所得］解此类题的关键是会寻找中间量’常选0’l等进行比｜较］再结合对数函数的单调性』即可比较大小。O［解析］因为lg‖＝!:″ˉ‖g″＝lg3蕊｜ˉ!鼠」0铡≡36｜×α48ˉ｜s0＝9328』所以黑≡」0…故选n［刷有所得］对数函数与指数函数互为反函数,它们的关系为log侧／V＝｜6●αb＝Ⅳ（α＞0且α≠l,Ⅳ＞0）.［测训诊断］本题难度适中｀主要考查对数的运算与性质』考查运算｜求解能力｀转化与化归能力!意在让部分考生得分.ˉ3［解析］本题考查奇函数的性质及指数｀对数运算设聪＞0,则｜ˉ“＜α由绷＜0时』／（鞭）＝ˉe‘螺矢q／（ˉ″）＝＿eˉ吗又函数／（“）为奇｜函数’贝‖ˉ／（卿）＝／（ˉ鲸）＝ˉeˉ。鞭’即鳃＞0时’／（卿）＝e—″.又ln2＞｜0］则／（ln2）＝eˉ“ln2＝（eln2）ˉα＝2α≡8,故α＝-3。［快解］.。。郎＜0时］／（x）≡—euX’且／（匆）为奇函数,ln2＞0,。.ˉ／（ln2）＝—／（—ln2）＝eˉ″l＂2＝（eln2）ˉα＝2ˉα≡8,ˉ..α＝＿3.［刷盲所得］已知奇函数｀偶函数在关于原点对称的定义域≡侧的解｜析式,求另侧解析式的方法;设出待求区阎上自变旦的值』转化为｜已知区间上的值（—般转化为ˉ鞭）,再利用奇函数｀偶函数的性质求｜／（熊）（利用／（熊）＝-／（-勿）或／（则）＝／（-如））.问题］根据分段函数各段的抛物线的顶点在勿轴的上方｀下方,还是落在露轴上］从而可找至｜」参数所满足的不等式组｜解不等式组,即可求出参数的取值范围［测训诊断］本题难度较大,考查分段函数｀函数的零点、方程的根｀解不等式组等基础知识］意在让少部分考生得分T4［2,＋的）〔解析］要使函数／（鳃）有意义,则log2卯—1≥0,解得约≥2,所以函数／（缅）的定义域是［2’＋由）.［刷盲所得］求函数的定义域,就是求使函数解析式有意义的x的取值集合,熟悉各类解析式有意义的条件是关键］如分式的分母不为0、对数式的真数大于0等旧粤［解析］因为函数／（撼｜满足′（鳃十4）＝′｜颠）｜嚣匡R）』且在区间＝｛端…』＂…Ⅷ｝ˉ』｜＝（—2!2］上／（匆）＝卜÷｜』ˉ…0,而徊′（＋）＝c。s丁＝丁［关键点拨］利用函数的周期性将自变量转化到已知解析式的区间上’再代入相应的解析式!注意看清自变量在哪—段范围上.［测‖｜｜诊断］本题难度适中,考查函数的性质〗意在使大多数考生得分.考点4指数函数＼对数函数和幂函数刷小题‖.B［解析］..α≡logO20.3＞logo21＝0,b＝log20.3＜log21≡0,＾αb＜α÷＋÷＝l°翱乳α2刊°颧32二!°嗣jα4匡（0’｜）』即0＜÷＋＋＝祟＜‖又.。α6＜0,·。.αb＜α＋b＜0.故选B［测‖｜｜诊断］本题难度较大!考查对数的运算与性质的灵活应用‖意在使部分考生得分.2D［解析］.。。勿,y〕z为正数,。..2“＝3γ≡5;＞l.设2∑≡3y≡52≡R〗』｛缴-l…≡镁菱0』甄谎…』k≡搓≥0’』Ⅱ-挫lg打』;-｜…-摆＞‖』舔-垫lg污.又（斋「÷:＜!,＾…（斋）鹏÷罢≥Ⅲ...徊＞洒....0＜lg污＜lg√可＜lg打.叉γ｜:k≥0』糕＞谎≥蒜即…＞』Ⅱ放选Ⅱ［测〗｜｜诊断］本题难度较大〗主要考查指数与对数的互化｀比较大小等知识］考查运算求解能力｀数据处理能力｀转化与化归能力‖意在让少部分考生得分。ac［解析］对于A』取α≡6』6≡4』‘＝＋』6昔＞4昔』所以侧‘＞b.』州不正确｜对于E’器≡（÷厂｀囚为÷＞!｀」ˉ‘＞0』所以（÷）｜ˉ.＞l’所以“b‘＞M,B不正确｛对于D’取α＝8,b＝4’‘＝÷,则鱼‖。:鼠÷＝ˉ＋＞l。凰÷三ˉ÷』所以l。g购‘＜l。g.c』D不「确｛对干C,αlogbc＜6logbc＜blogαc.故选C.［刷盲所得］指数函数｀对数函数｀幂函数值比较大′」｀’主要有o特殊值法、中间变量法;@作差法（作商法）;o函数的单调性法等｛冈｜＝56了89夏题分类集训0｜■微信公众号：嗨呀同学高考必刷题舅题分类集训数学（理）T0.ˉ1（ˉ“!0］［解析］本题考查利用函数的奇偶性和单调性求参数的值或取值范围.。.／（虹）的定义域为R且为奇函数,..′／（0）＝0｛即e0＋αe0＝0,...α＝ˉl..。／（嘶）是R上的增函数!。。。／′（匆）≥0对W巨R恒成立｜即e露ˉ÷≥0对W巨R恒成立’八α≤（e缠）2恒e成立。..（ex）2＞0’...α≤0.［关键点拨］定义域为R的奇函数满足／（0）＝0.若／（x）为R上的增函数,贝｜」／′（郎）≥0恒成立〕分离参数后得α≤［（ex）2］mm.考点5函数的图像｀函数与方程｀函数的实际应用刷小题TD［解析］本题考查函数图像的识另」。方法:任取匆巨［—∏］而］］..。／（-匆）≡Sin（—匆）＋（-熊）≡COS（-腮）＋（-匆）2器筹＝ˉ／（x｜』√｜蕴｜在［—丽』∏］上为奇函数』故排除A;当［关键点拨］函数图像的识别是高考中常考题目学生可结合函数′｜生质（对称性｀单调性等）｀特殊点｀极限思想等进行半｜」断,必要时还要借助求导来解决.［测‖｜｜诊断］本题难度中等,考查了函数图像的识另｜」‖根据特殊点｀排除法可以确定选项借助／（2）的值可以排除选项AlB｛在C,D选项中易出错｀可再目特值′（0｜』′（＋）比较6。D［解析］本题考查指数函数｀对数函数的图像及图像变换.方法—当侧＞｜｀即0＜＋＜」时｜′÷是减函数γ＝l°:.（膊＋＋）的图像可由γ＝l。g·藏的图像向左平移÷个单位长度得到｀则函数γ＝÷和γ＝l°g.（墓带÷）的大致图像如图（｜｜所示当0＜α＜1时,两函数的大致图像如图（2）所示.对照选项可知选D∏＿勺垄＋』］—舔＝＿ˉ4上;匝＞l’故排除B’C’故选D~∏财＝÷时√（哥）＝ogo伊昔／）〗而—△°方法二:当匆＝—∏时,／（—∏）＝sin（—∏）＋（—∏）三≡≡≡近于0,故排除B。故选D［刷盲所得］函数图像的识别可从以下方面入手:（1）从函数的定义域｛判断图像的左石位置‖从函数的值域｛判断图像的上下位置;（2）从函数的单调性］半｜」断图像的变化趋势j（3）从函数的奇偶性｜半｜」断图像的对称性｛（4）从函数的特殊点!排除不符合要求的图像2B［解析］本题考查识另｜」已知函数的图像］函数的奇偶性及特殊点的函数值令′｜露｜-2署—颜』侧｜′｜腮｜的定义域为［ˉ6』6］,且告＼毖ˉˉL｝（）勺‖＝｜-l／｜2＂′卯log.卜＋｀‖■‖‖′〗』—勺～图（1）图（2）方法二（排除法）易知α与—L必有1个大于l,1个小于1,则／（鲍）＝α（÷）′与g｜瓣｜＝l°g.（躯＋＋）在各自定义域内掌调性相反』可排除B;由g（十）＝0可排除A》c故选D［刷盲所得］图像识别问题的—般步骤:（l）看定义域;（2）看奇偶性｀对称性｀单调性｜（3）看特殊点（图中标注的点或与坐标轴的交点等）。7.C［解析］本题考查导数的综合应用｀零点的求法及图像的应用当勿＜0时,令y＝／（卯）—砸-b＝卯-α则＿b＝0得b≡（］—α）绷。直线y＝b和γ＝（1ˉα）鳃在则＜0时至多有1个交点］则要使y≡／（勿）ˉα勿ˉb有3个零点,贝」需使其在鳃≥0时至少有2个零点.当鳃≥0时!令y≡／（鞭）ˉ“＿b＝÷膊』ˉ＋（叶l｜藏2ˉb＝0得』＝÷露』—÷（α刊）减令g（瓣）＝÷瓣』—÷（α＋］）瓣2』鳃≥0』则g′（鳃｜＝蕊2＿（叶｜）瓣＝斯［勿ˉ（α＋l）］。（1）当α＋］≤0,即α≤ˉl时‖g′（卯）≥0,...g（勿）在［0,＋由）上是增函数］γ＝b与γ＝g（蛹）的图像至多有—个交点,函数γ≡／（勿）—α鳃一6在［0!＋由）上至多有—个零点,不符合题意（2）当α＋1＞0,即α＞—l时,g（卵）在［0｜α＋l］上是减函数,在［α＋」｀＋函｜上是增函数』＾g（蕴｜赋｜＂＝g（叶｜｜＝ˉ÷（α十［｜｀＜／｜—露｜-2三碧、≡′｜蕊｜｀人′｜膊｜为壹函数,排除c》′｜4｜-2×4324＋2ˉ4≈8］排除A］D故选B』［刷盲所得］对于基本函数＂搭建型＂的图像问题!关键的解决方法有;特值法｀性质法｀极限趋向法｀零点法及极值点法。3.B［解析］。..／（—撼）＝eˉ∑～e＂≡—／（期）,旦匆≠0!...／（匆）为奇函数］2卯le-故排除A;又令匆＝l,贝｜」／（1）＝］e＞2,故排除C,D,故选B［测‖｜｜诊断］本题难度较小!考查函数的性质及函数的图像｛考查数形结合能力0意在让大部分考生得分4D［解析］当撕≡0时,y＝2,排除A］B;γ′≡ˉ4则3＋2卿＝-2x（2鳃2ˉ1）』显然当如＞0或匆＜0时!均有极值点存在］排除C.故选∏［刷盲所得］此类与函数图像有关的问题,实质是考查函数的性质］通常用排除法本题禾｜」用特殊值与导数即可!有时还要用至｜」单调性｀奇偶性｀对称性等］需要灵活掌握5D［解析］／（嘶）≡2匆2—ex｜为偶函数,图像关于γ轴对称。／（2）≡8ˉe2ˉα6』排除A』E项又′（0｜＝—｜｀′（÷）二÷ˉ亿′（十）ˉf｜0｜-十＿拓带!-÷—烬-仔＿拒＜0.＾′（＋）≤′（0｜』排除C项故选D.0。g（如）的大致图像如图所示直线y＝6与y＝g（卵）（匆≥0）的图像须有2个交点』从而有ˉ÷（α十l｜］＜h≤0』此时α＞-l｀b≤O又当卯＜0时,函数y≡／（x）＿四—b须有1个零点,得b＝（1—α）“.γA@微信公众号：嗨呀同学｜答案及解祈叉｜ˉ徽≠0…占由古≤0得｛;二‖』或｛;:d｀综上知—1＜α＜l!6＜0.故选C.［刷盲所得］已知零点个数确定参数范围的方法是将参数分离出来］转化为两个函数图像的交点问题8.D［解析］设／（卵）＝2x｜°sin2箍］／（ˉx）＝2｜ˉx｜.sin（—2鳃）≡ˉ2甄｜°sin2x＝-／（如）!所以／（x）是奇函数］图像关于原点对称’排除A和B.又因为′（÷）二2｜苦｜.霞m丽＝0』所以排除c放选n［关键点拨］解决函数图像的识另｜」问题时可分以下几个步骤,用排除法解题o看定义域@看奇偶性;o找特值;@利用单调′｜生等［测‖｜｜诊断］（1）本题难度中］考查函数的奇偶性和三角函数值的运算,意在让部分考生得分.（2）若错‖反映了考生对函数奇偶性的应用不够熟练］三角函数值的计算不准确9∧［解析］作出函数／（觅）的大致图像如图］不等式／（鳃）≥｜÷襟感｜在R上恒成立』侧｜》二′｜腮｜的…在Ⅱ-｜÷十″｛爵像的上方｜含父点｜』当y＝÷带α与γ＝撼带÷躯＞｜相切时』α＝2｛当γ＝ˉ÷ˉα与y＝”2—躯＋3’躯≤l相切时』匆2ˉ厕＋3＝ˉ÷ˉα’厕2ˉ～＝学…二0有两个泪等的根』则△＝（ˉ＋）2—4（］＋°）＝0』解得α＝—器』由图像可得侧的取值范圈是［ˉ备』2｝在（斋』｜｜上孽调递增』值域为［0』m蹿｛』｜（顾ˉ｜｜』｝］如图（2）’若两函…在［0,!］上育且只萄—个交点』贝｜｛促Il｜』≥娜带!｀爆得m≥3。综上,m的取值范围是（0,l］O［3〕＋的）.故选B.［快解］当m≡3时,y≡低＋3与y＝（3剿ˉl）2的图像在［0,l］上有—个交点（图略）,排除A’C.当′n二√百时,y＝√厉＋√百与y＝（徊鳃ˉ］）2的图像在［0!1］上没有交点（图略）］排除D［刷育所得］根据含参数函数图像的交点个数求参数范围问题!常借助数形结合思想求解［测‖｜｜诊断］本题难度较大,主要考查禾｜」用函数图像的交点个数求解参数的取值范围』考查二次函数、幂函数的图像与性质］考查数形结合思想｀分类讨论思想｀转化与化归能力、分析解决问题的能力及运算求解能力!意在让少部分考生得分.B［解析］因为函数／（腮）＝鳃2＋α即＋6在区间［0,l］上的最大值｀最小值在′（0｜-‖｀′｛｜｜≡｜＋叶＂,／（ˉ÷）≡0ˉ子中取』所以″ˉm与α有关’但与b无关［测‖｜｜诊断］本题难度适中｛主要考查二次函数的图像和性质｀二次函数在闭区间上的最值问题!考查分析问题与解决问题的能力｀转化与化归能力〕意在让多数考生得分。130l5［解析］本题考查实际问题及恒成立问题@—次购买草萄和西瓜各—盒需付款l40元’若匆＝10］贝」超过120元可少付l0元］故顾客实际需要支付130元@设顾客—次购买水果促销前总价为y元当y＜l20时,不享受优惠,即抛＝0｛此时0.8γ≥0.7y｛满足要求当γ≥｜20时’享受优惠x元｀则α8（yˉ藏｜≥α7γ』得膊≤÷’恒成立又y≥｜2W÷γ≥』5』A艘≤l5’即蜒的最大值为［虱［关键点拨］该题需要结合实际对数据进行分析,明确y的取值范围并进—步求得匆!y满足的关系式（不等式）.若／（α）≥g（b）恒成立,贝｜」／（α）mjn≥g（6）m凰x。＂02≥／!2lˉ5ˉ4ˉ3ˉ2ˉlˉl｜〔）l234567＂［刷盲所得］不等式／（绷）≥g（匆）恒成立可转化为函数y＝／（卵）的图像恒在γ＝g（匆）图像的上方（含重合）.［测‖｜｜诊断］本题难度大,主要考查分段函数的图像及其应用］考查考生的作图能力以及应用图像解决问题的能力‖意在让少数考生得分。〗0.B［解析］当撕巨［0,l］时’y≡√万＋加的值域为［m,矾＋l］,且在［0』｜］上掌调递增γ二（′＂缆ˉ｜｜』＝厕』（瓣ˉ六「由m＞0,@当—L≥l,即0＜′＂≤l时,函数γ＝（′m—1）2在［0］l］上单调∏】递减,值域为［（′7l—1）2,l］.两函数图像有旦只有—个交点］如图（l）.~～「上丝）～3,4［解析］本题考查函数的性质｀函数与方程以及直线与↑3圆的位置关系当z巨（0,2］时,／（卯）』＝√1ˉ（期-1）2,令y≡√1ˉ（师ˉl）2!贝｜」（卯ˉl）2＋／＝l’y≥0,故／（z）为以（1,0）为圆心』1为半径］且在如轴上方部分的半圆又／（绷）是奇函数〗且周期为4,画出函数／（如）在（0,9］上的图像,再在同坐标系中作出函数g（腮）,鳃匡（0｛9］的图像如图。关于瓣的方程／（x）＝g（z）在（0!9］上有8个不同的实数根,即两个函数图像在（0’9］上有8个不同的交点］贝｜」g（鳃）,勿巨（0,l］与／（匆）,鳃巴（0,］］的图像有2个不同的交点.当宣线g（蹦｜＝附｛…）经过点（］｀］｜时』k二＋;当宣线g（撼｜＝…｜与半圆（蹦—｜｜』挪:≡｜｀′≥0榨切时』祟＋ˉ｜』解得腮三￥（负值舍去｜所以腮的取值范属晨［＋』子）0｀劲↑制『″″［y↑＼｜｀J∏＋］｜y」I＞久→…~~＿2-l（）』＝ll］加一∩＝］O｜‖l觅］~″l［关键点拨］正确画出函数∧撼）和g（鳃）的图像是本题的求解关键［刷盲所得］已知方程的实根个数求参数的取值范围问题的—般解法是转化为两个函数图像的交点个数’借助函数图像直观求解OQlα2［解析］O设线段A《B〔的中点为G（屿,y‘）!贝｜」q≡夏题分类集训守几而图（2）［0』÷）卜单调递减』｜蟹｜（l）@当上＜1,即″!＞1肘〕函数y＝（′m—l）2在刀〗‖』｜@微信公众号：嗨呀同学高考必刷题夏题分类集训数学（理）为非整数!矛盾,因此y＝lg篮笛Q,因此lg鳃不可能与财匡［∧’k＋1）,内匡N＊,R≤9且如-k匡D的／（财）相等只需考虑y＝lgz的图像与／（x）（l≤z＜l0’刻＿雄D〕片巨N＊,k≤9）的图像的交点。令F（m）＝勿—k〗卯匡［k,内＋l）’片巨N＊,片≤9。画出函数草图’图中交点除（1］0）外其他交点横坐标均为无理数,两函数图像有7个交点!方程／（嘶）一‖g卯＝0有7个解综上〕方程解的个数为8。2γ‘］其中′≡l,2,3,因此只需要比较Cl,C2,C3三点的纵坐标的大小即可求出@由题意,设pt＝上,j＝l,2］3,因此只需要比较三条卯h直线OCl｛OC2］OC3的斜率即可得出结论,［关键点拨］求解本题的关键是将实际问题转化为线段中点和直线的斜率大小的关系［测‖｜｜诊断］（l）本题难度大,主要考查数学建模思想的应用,考查推理论证能力、转化与化归能力,意在让少部分考生得分.（2）本题若出错‖主要原因是不能建立具体的模型求解】5.8［解析］由于／（勿）巳［0,］）’则只需考虑1≤卯＜l0的情况.在此范围内,当z巴Z时旷（虹）＝0’当孵≠1时lg匆＞0,lgl＝0!方程／（匆）ˉlg卯≡0有l个解当z巨Q且z匿Z时,设x≡ˉL!p｛qeN＊,p≥2且p!q互质pⅦ若lgx巳Q］则由lgz巴（0］1）,可设lg卯≡—’矾’′l巨N＊］′『l≥2目m咖』厕互质因此l0萧二÷』则l0腮＝（÷）赋』此时左边为霉数』右边γ＝小~′）ˉ≥「23456789l0x［同‖盲所得］确定函数零点个数或者方程实根个数,＿般禾｜」用数形结台思想转化为两个函数图像的交点个数专题三导数及其应用显然ezˉ｜＞0.当如≥l时〕exl≥l｛当匆＜1时‖0＜e葛ˉl＜l。.。.（e露ˉl）2-l在卯≥1时为非负］在匆＜1时为负值.（e望ˉl」｝ˉ1≥0’测≥l』仰…√o当α＞0时’g′（Z）≡。。.g（z）在［］‖＋m）上单调递增’在（ˉm,l）上单调递减画出g（熊）的草图,如图（l）所示｛g（z）在绷＝1处取极′｜｀值g（l）＝2α,h（如）＝—如2＋2z的大致图像如图（2）所示,内（匆）在如≡l处取极大值h（1）＝l若g（x）＝门（鳃）有唯根‖则g（嘶）的极小值与／（绷）的极大值相等,l..·2α≡l,...α＝丁.考点6导数的运算与导数的几何意义刷小题‖D［解析］本题考查根据导数的几何意义求参数令／（鳃）＝αeⅪ＋如lnz’则／′（匆）＝αex＋l＋ln卯..。。曲线y＝／（卯）在点（1］αe）处的切线方程为γ＝2匆＋b’｛;±趣Ⅲ＾｛《‘（上;｜圃‖｛::骗!解得［刷盲所得］（1）可导函数y＝／（匆）的图像上某点（匆0‖／（勿0））处的切线问题:o内切＝／′（则0）｝@切点既在曲线上又在切线上（2）参数问题可利用代入法排除选项2D［解析］..／（嘶）＝匆3＋（α-l）虹2＋α卯为奇函数］。。.／（ˉ匆）＝—／（匆）对勿巨R恒成立,f.／（—z）＋／（鳃）＝0对鳃巨R恒成立,.。.2（α-1）勿2＝0对勿巨R恒成立,...α-1＝0.解得α≡1,...／（匆）＝“3＋勿,／′（撼）＝3匆2＋l,。..／′（0）＝1,...曲线y＝／（匆）在点（0!0）处的切线方程为γ—0＝嘶—0’即γ＝勿。故选D。3。∧［解析］／′（则）≡（2卯＋α）exl＋（勿2＋α绷—l）ezˉl≡［如2＋（α＋2）如＋α—1］e爵ˉl..Ⅺ＝-2是／（施）的极值点,..。／′（—2）＝0］即（4-2α-4＋α-1）.eˉ3≡0,得α＝＝l·.。.／（x）＝（勿2-z-l）e塞ˉl’／′（z）＝（勿2＋z＝2）e顾ˉl。由／′（z）＞0,得虹＜ˉ2或氮＞］｛由／′（腮）＜0〕得—2＜鲍＜1....／（则）在（—m’—2）上单调递增］在（ˉ2‖l）上单调递减,在（1!＋团）上单调递增］..。当卯＝1时,／（见）取得极小值!.。.／（鳃）的极小值为／（l）≡ˉl。［关键点拨］解决本题的关键在于两点:（l）正确求解导数—正确运用［／（匆）°g（匆）］′＝／′（如）g（鳃）＋／（却）g′（卯）求出该函数的导数｝（2）正确区分极小值点和极小值之间的区别,极小值点是指则的取值,极小值是指y＝／（z）的取值（函数值）.［测0｜｜诊断］（1）本题难度适中,主要考查导数的运算｀极值点的概念、导数与函数的单调性及极值的关系｜考查运算求解能力、应用能力’意在使部分考生得分.（2）本题若错’贝」反映考生对导数求解公式掌握不牢或运算能力不够.4C［解析］函数／（匆）＝卯2-2知＋α（exˉl＋ex＋l）有唯—零点,即／（x）≡0有唯—的根‖即勿2—2如＋α（exˉl＋eˉx＋l）＝0有唯—的根,移项,得α（e蒸ˉl＋eˉx＋l）≡—期2＋2勿.令g（卯）＝α（e寥ˉl＋eˉx＋l）,h（如）＝＿鳃2＋2卯,则y＝g（勿）与y＝h（Z）的图像有唯—交点。对g（匆）求导得g′（茹）≡α（e霹ˉl-eˉ搏＋｜）≡α｜儒瘤ˉ｜ˉ（÷门≡α（e缓ˉ｜ˉ六）＝α.（e:」｝—l湍~~~~~↑γ~ˉ~~~蓖／—卿卜｜矿图（l）图（2）图（3）@当α＜0时‖g（如）的草图如图（3）所示此时g（卿）≡h（必）的根的个数为0或2｜或4』不符合题意o当α＝0时｛／（卯）有2个零点,不符合题意综上所述’α＝÷＝［快解］由／（卯）＝鲍2—2z＋α（e撼ˉl＋eˉx＋｜）,得／（2ˉ匆）≡（2—卿）2—2（2—熊）＋α［e2ˉxˉ｜＋eˉ（2ˉx）＋l］≡鳃2ˉ4卯＋4ˉ4＋2则＋α（elˉ愿＋e葱ˉl）＝卯2-2z＋α（e缚ˉl＋eˉz＋l）’.。.／（2-如）≡／（卯）］即直线卯＝1为／（鳃）图像的对称轴由题意‖／（x）有唯零点］。.。／（撼）的零点只能为冗＝l］即／（l）＝l2—2×l＋α（e｜ˉl＋eˉl十｜）＝0。l..α≡-丁。凸［刷盲所得］在求函数零点问题时］—般会运用函数与方程思想,转化为方程的根的个数问题,通过移项转化为两个函数〕只需研究两个函数图像的交点个数,必要时’需要对参数进行分类讨论.［测0｜｜诊断］本题难度较大｛主要考查函数与导数的综合应用｀函数的零点问题］考查分析问题和解决问题的能力］分类讨论思想的应用』意在让少部分考生得分.5.D［解析］由题意］存在唯—的整数匆o］使得／（z0）＜0,即存在唯—的整数躯0!使exo（2z0＿l）＜α（勿0—l）.设g（z）＝e颜（2zˉ1）］h（卯）＝α（苑＿1）.g′（如）＝e＄（2绷-1）＋2e∑≡e“（2卯＋1）,从而当膨巨（—蜜』ˉ＋）时』g（瓤）单调递减『当鲸匡（—÷』十°°）时』g（鲸｜单调递o微信公众号：嗨呀同学答案及解析增又h（Z）＝α（熊ˉ1）必过点（l,0）｛g（0）＝—l!当g（0）＝h（0）时』0-（-1）＝1而g（—1）＝＿ˉ二,当g（＿l）＝h（—1）时’α＝qα＝l-0e［测‖｜｜诊断］（l）利用导数的几何意义求解切线问题,是高中导数知识的重要部分,应熟练掌握基本题型〕在此基础上加强综合题的训练（2）本题有—定深度,难度,考查了学生的知识迁移能力和数据处理能力!争取得分‖2.2匆＋y＋1＝0［解析］设鳃＞0］则-施＜O因为／（匆）为偶函数’所以／（鳃）≡／（—z）≡ln卵—3鳃,／′（鳃）≡—Lˉ3,所以／′（］）＝—2,所以卯y≡／（勿）在点（1,ˉ3）处的切线方程为γ＋3≡-2（匆-l）］即2卯＋y＋l≡0°［刷盲所得】处理函数与导数以及与导数的几何意义相关的问题时,要熟练掌握函数性质,函数在某点切线的斜率‖就是在该点的导数值。［测0｜｜诊断］（l）本题难度适中,主要考查函数性质和导数的几何意义（2）本题若出错!主要是函数解析式出错或导数计算错误T3.（e］1）［解析］本题考查导数的几何意义｀曲线的切线设A（匆0‖ln施0）,则曲线y≡ln狐在点A处的切线方程为yˉlnx0≡—L（卿—卯0卿0）.将点（ˉe!ˉl）代入得—1＿ln如0≡-上（—eˉ匆0）‖化简得lnz0二冗0—Le,解得则0＝e.则点A的坐标为（e,l）.卯O［关键点拨］曲线y＝／（x）在点（熊0!／（鳃0））处的切线方程是y≡／（卯0）＝／′（冗0）（匆-熊0）.［刷育所得］求曲线的切线］—般要设出切点坐标’利用切点既在曲线上又在切线上以及切点处的导数值等于切线的斜率建立方程组求解‖4.—3［解析］／′（匆）＝6狐2—2α如＝2勿（3鳃ˉα）（α巨R）.当α≤0时!／′（＂）＞0在（0｛＋四）内成立〗则／（勿）在（0〕＋的）内单调递增又／（0）＝l’此时／（卵）在（0,＋的）无零点］舍去当Ⅶ＞0时,由／′（鳃）＞0得憋＞÷或鳃＜0’由／′（蹦）＜0得0＜撼＜;又／（鳃）在（0』…）内有且只有个零点｀＂｜′（÷）＝务带｜-0解得鳃二3｀川′（露｜≡2匆3-3勿2＋1’／′（匆）＝6鳃（煎-l）,匆匡［ˉl,l］』贝‖冗巨（ˉl,0）时,／′（卯）＞0’／（鳃）单调递增］x巨（0,l）时!／′（绷）＜0］／（勿）单调递减,则／（蹦）maⅨ≡／（0）≡l’／（ˉl）≡—4,／（1）≡0,贝｜」／（鳃）mj＂≡—4,所以／（卵）在［—1‖1］上的最大值与最小值的和为-3.［刷盲所得］禾｜」用导数求解函数的最值,应首先利用导数研究函数的单调性｀极值’再与区间端点的函数值比较大／｜＼.↑虱o@［解析］对于@｀令g（躯）＝e″.2ˉ′＝（÷「由÷≥l知g（鳃）在R上是增函数’故／（卵）＝2ˉ露具有M性质对于@,令‘（撼）＝筐￡Gˉ堑＝（÷）藤』由0＜÷＜l知g｜蹦｜在R上是减函数』故／（x）≡3愿不具有M性质对于o0令g（勿）≡e“°卯3,则g′（鳃）≡ex（3绷2＋卯3）＝卿2e瓤（z＋3）当鳃巨（-的!—3）时,函数g（绷）是减函数］因此／（鳃）≡z3不具有″性质.对干@,令g（x）≡e甄（苑2＋2）‖则g′（箍）≡e霹（鳃2＋2z＋2）＝e蘑［（鳃＋1）2＋1］＞0.因此g（冗）在R上是增函数］故／（知）＝嘶2＋2具有M性质应填O@.［测〗｜｜诊断］（］）本题难度大!主要考查指数函数的性质,导数运算法贝｜」以及利用导数研究函数单调性,考查利用所学知识分析解决问题的能力,以及仓｜」新意识,求解的关键是正确理解函数／（勿）具有M性质的特征（2）本题的易错之处是不能正确理解M性质,应明确″是使e丫（匆）是增函数』而不是函数／（觅）是增函数,本题的另—个易错之处是关于函数eⅪ°3ˉ熏与e∑。2ˉx单调性的判断!若不能发坝e』.3ˉ〃＝（÷『』e』.2翼＝（÷「是指数函数』而利用导数进行运算’贝｜｜计算烦琐〗容易导致错误考点7导数的综台应用刷大题｜ll［证明］（1）设g（卿）＝／（则）,则g（卯）≡Cos绷ˉI＿干F＂「（｜云）÷霉…叫｜÷…Ⅲ［巍″］把＂若存在唯—的整数孵0,使得／（熊0）＜0＂转化为＂若存在唯—的整数允0,使得e塞0（耻0-l）＜α（勿0-1）＂。［测0｜陷断］本题难度较难,主要考查导数知识的应用考查转化与化归思想6c［解析］本题考查二次函数｀对数函数的′性质0导数在研究函数性质中的应用由题意知当灯≤l时√（斯）≥0恒成立〕即x2-2m＋2α＝（匆-α）2＋2α—α2≥0恒成立当α≥1时l／（匆）在（-的,l］上单调递减｀／（掘）mjn＝／（l）≡1＞0成立;当α＜l时／（撼）在（-的’α）上单调递减,在（α!I）上单调递增］／（匆）mjn＝／（α）＝α2-2α2＋2α≥0!解得0≤α≤2］故0≤α＜l.所以α≥0。当膊＞!时’鳃ˉα｜n撼≥0恒成立』即α≤亡在（｜’＋函）上恒成立令‘｜蕊｜-亡,则g′｜撼｜＝｝揣』当…时:′｜蕊｜≥0』:｜鳃｜单调递增｛当l＜卯＜e时｛g′（卯）＜0〕g（则）单调递减』易知则＝e为函数g（z）在（l,＋的）上唯—的极′｜｀值点｛也是最小值●点］故g（则）min＝g（e）＝e｛所以α≤e.综上可知,α的取值范围是［0‖e］故选G［刷盲所得］α≤／（鳃）在区间D上恒成立］等价于α≤／（绷）mjn,如巨D;α≥／（熊）在区间D上恒成立〕等价于α≥／（x）max〕x巨D.7D［解析］由导函数γ＝／′（购）的图像中函数值的正负可得函数／（卿）的单调性为先减后增｛再减再增!结台／（茹）图像的单调区间可知应选D.［测‖｜｜诊断］（1）本题难度适中］主要考查函数的单调性与导数的关系〕考查读图、识图和用图能力,意在让多数考生得分.（2）本题若出错］主要是不会利用函数的单调性与导数的关系来选图!错误地将导函数图像的增减性与函数的增减性对应起来8.y＝3匆［解析］本题考查导数的几何意义由y＝3（匆2＋熊）e卿］得γ′＝3（2z＋l）e膊＋3（卯2＋绷）e搏≡3（如2＋3则＋l）ex,所以曲线在点（0,0）处的切线的斜率为3,所以切线方程为y≡3卯.［关键点拨］求曲线y≡／（鳃）在某点的切线方程时主要抓住切点的三个关键点:（］）切点坐标满足原曲线方程｛（2）切点坐标满足切线方程｜（3）将切点的横坐标代入导函数／（冗）可得切线的斜率a’二2”［解析｜由γ＝2ln（叶］）知γ′二六』＾γ′｜艘ˉ＂＝2。.。切线方程为γ＝2则.［测〗｜｜诊断］本题难度较小!考查曲线的切线方程!利用导数求切线的斜率］考查运算求解能力』意在让大部分考生得分.00.ˉ3［解析］由题意得’y′≡αe∑＋（α则＋1）ex‖则y′｜霹＝0＝α＋l＝＝2,所以α＝-3.［测训诊断］本题难度小｛考查导数的运算以及导数的几何意义的应用｛意在使大多数考生得分。00.1-ln2［解析］设y≡脑＋6切曲线y＝lnx＋2的切点为（卯｜］yl）’切曲线y＝ln（则＋l）的切点为（绷2‖γ2）.由导数的几何意义和切点的特征可｛嚏‖广‖…缸｛叫』…雪,知由O消去嘶l,yl整理可得b＝l—ln儿O由@消去鳃2,y2整理可得6＝—lnk＋kˉl。@联立o@可得l＿ln内≡—ln内＋∧—1’...k＝2,°.°b＝］-ln内＝l＿ln2°［关键点拨］关于函数的切线问题,我们要利用导数的几何意义］构建等量关系还需注意切点既在函数图像上,也在切线上对于切点不明确的］需要设出切点］再合理表达求解‖真题分类集训微信公众号：嗨呀同学高考必刷题夏题分类集训数学（理）g′（Z）≡—smz＋（1＋x）2。当露匡（ˉl』÷）时｀g′（蹦｜鬃调递减｀而g′｜0｜＞0』g（子）＜0′可得‘′（惠｜在（ˉl’÷）有唯—零点｀设为α贝｜｜当“.（＿l｀α）时』‘′（篡）＞0;当氮匡（α｀÷）时』凰′｜鞭）＜0所以g（膊｜在（—l』α）单调递增』在（α』÷）单调递减』故g（鳃｜在（ˉ』｀苦）存在唯—极大值点｀即′（鲸｜在（ˉl』苦）存在唯—极大值点（2）／（绷）的定义域为（—l,＋m）.o当卵巨（-1,0］时,由（l）知〕／（熊）在（—l!0）单调递增］而／了（0）＝0‖所以当氮巨（ˉ1!0）时／（匆）＜0〕故／（熙）在（—1,0）单调递减又／（0）≡0,从而虹≡0是／（鳃）在（＿1〕0］的唯—零点.@当∑.（0｀÷｜时｀山（l｜知』／（撼｜在｜0』α｜呻调递增』在（α｜苦）掌调递减』而′｜0）＝0』′（÷）＜0』所以存在β匡（α′号）’使得′｜β）＝0’目当鳃筐（0』β｜时′｜濒｜＞0』当鳃匡（β』÷）时』′（瓣｜＜α故′｜露｜在（0』β｜单调递增′在（β』÷）单调递减又′｜0｜＝0｜′（÷）＝lˉln（l＋÷）＞0’所以当“匡（0』÷｜时』／（鲸｜＞0｀从而／（膊）在（0｀苦｜没有零点o当腮匡（苦』而｜时』′（蹦｜＜0』所以′｜蹦｜在（子』丽）单调递减而′（苦）≥M而｜＜0』所以′（聪）在（÷』丽）有唯—零点@当腮巨（∏〕＋的）时］ln（卯＋l）＞］,所以／（冗）＜0‖从而／（则）在（∏,＋“）没有零点.综上旷（知）有且仅有2个零点。［关键点拨］（］）构造函数g（熊）＝／（则）］通过研究函数g（鞭）的导函数与极值的关系迸行证明』｜2｜分鞭匡（＿l』0］』（0』÷｜』（苦｀而｜’（∏‖＋≠）四段讨论函数／（x）的单调性,从而根据函数的单调性结合零点存在性定理判断出各段的零点个数.2.（1）［解］／（勉）的定义域为（0,］）（ˉ」（l｛＋西）·因为／′（Z）≡ˉL＋2x（抵ˉl）2＞0,所以／（撕）在（0］1）,（l,＋c.）单调点A（腮0〕lnx0）处切线的斜率也是ˉL,所以曲线γ＝ln鳃在点A（z0‖卯0ln如0）处的切线也是曲线y＝e＂的切线［刷盲所得］两曲线有公共切线’贝」两曲线在各自切点处的导数值等于两切点连线的斜率［解］（］）／′（如）＝6鳃2-2哑≡2卯（3绷—α）.令／′（翅）＝0’得缠＝0或绷＝÷着α＞0’则当葱匡（—唾』0｜口（÷』＋国）时旷′｜瓤｜＞0｛当鳃匡（0』÷）时』f′（甄｜＜α故′（獭｜在（—°°』0｜』（÷』＋鲤）单调递增’在（0:÷）单调递减若α＝0!／（狐）在（—m,＋的）单调递增;若α＜0｀侧‖当“.（ˉ唾』÷）u（0’＋国｜时′′′｜聪）＞0;当”.（;』0）时｀′′｜鳃）＜α故／（x）在（—唾’;）』（0’…｜单调递增』在（÷｀0）单调递减（2）满足题设条件的α,b存在o当α≤0时,由（］）知′（卿）在［0,l］单调递增,所以／（匆）在区间［0,l°］的最小值为／（0）＝b’最大值为／（‖）≡2ˉα＋6.此时α］b满足题设条件当且仅当6≡—l｛2＝α＋b≡1］即α≡0,b＝—l@当α≥3时,由（］）知′（财）在［0,l］单调递减,所以／（匆）在区间［0’1］的最大值为／（0）≡b,最小值为／（1）＝2—α＋b。此时α］6满足题设条件当目仅当2—α＋6＝ˉ1］6＝1］即α＝4,6≡l.o当0…3时｀由（｜｜知｜j（艇｜椎［0｀｛］的最小值为／（÷）＝ˉ男十b』最大值为』或2—〃＋‘3若ˉ器＋b＝—l』b＝｜,则α＝3沤与0＜α＜3矛盾若—芳带』＝｜』2ˉ叶6≡｜川α＝蛔或‘-ˉ蛔或鲤-0』与0＜α＜3矛盾综上‖当旦仅当〃≡0,6＝ˉl或〃＝4‖b≡l时’／（鳃）在［0,1］的最小值为-l｛最大值为l.［关键点拨］（l）讨论含参函数单调性的切入点为／′（卯）≡0的根的情况.本题中／′（如）＝0有两根,则需讨论两根大小.（2）求函数在给定区间上的最值或已知最值求参数均是函数单调性的应用问题｜｜｜［解｜／｜慈｜的定义域为（0』…）』′（蕊｜＝士ˉ｜＋÷≡卯2≡α卯＋］2.卯（l）若α≤2!则／（苑）≤0｀当且仅当α≡2,x＝l时／（勿）≡0,所以／（勿）在（0］＋鲍）单调递减（i｜若“＞2』令′｜鳃｜≡0得｜躯＝αˉ2尸或撼二叶√贾ˉ二了2·当嚣匡（0′侧W尸）（鹏＋严』＋国）时』′｜蜒｜＜0｜当慰匡（“—型尸』侧＋γf霄＝可）时』′｜慈｜＞α所以′｜慈｜在（0｜·f-可）｀（α÷f二页』÷露）掌调递减在（哩f＝J』瞳＋巡严）掌调递增（2）由（l）知l／（帅）存在两个极值点当且仅当α＞2。3递增圈为′｜慑｜～!—署＜M嚼』｜＿2—当＿岩≥0｜所以′｜鳃｜在（］』＋国｜育唯—零点膊!』即′（藏｜｜-队又0≤上＜」,′（÷）≡卯l冗l＋lˉln卿l＋万了＝T＝ˉ／（〃!）＝0,故／（厕）在（0』1）有唯—零点ˉL.卯l综上,／（勿）有且仅有两个零点（2｜［证明］因为上≡cˉ｜…』故点周（—ln鞭0』古）在曲线γ-c篮上卯0如O＋1由题设知／（匆0）＝0!即lnzo≡—力0ˉl’1卯0＋1—L-ln匆0＿＿卯0卯0卯0-l1故直线AB的斜率k＝＝＝—-ln卯0-卯0卯0＋1勿0勇『ˉ≡「ˉ卯0曲线′≡.缝在点凋（＿h躯,』寸）处切线的斜率是上』胜线y-ln蹦在几0‖@微信公众号：嗨呀同学答案及解析由于／（z）的两个极值点xl］如2满足匆2—αz＋1＝0,所以匆l匆2＝l］不妨设zl＜匆2!则卵2＞l.由干／（匆l）ˉ／（卵2）ln期l—ln卯2≡ˉ2＋αln如l—ln厕2ˉˉ-上—1＋α＝卯l-卯2卯l冗2卯l-卯2卯l＿九2-2ln冗2-2＋α1—-Z2卯2所以d绷］）ˉ／（绷2）＜α—2等价于ˉL—鳃2＋2ln冗2＜0.勿l-卯2卯2设函数g（如）＝—L-勿＋2ln嘶’由（l）知,g（匆）在（0］＋。°）单调递减,冗又g（1）≡0,从而当z巳（1,＋凹）时‖g（卿）＜0.所以L＿绷2＋2ln如2＜0’即／（如l）-／（鳃2）＜α-2.卯2冗lˉ卯25.（1）［证明］当α＝1时／（如）≥l等价干（鲸2＋1）eˉ＂-1≤0,设函数g（厕）＝（如2＋1）eˉ“ˉ1,则g′（卵）＝-（匆2-2如＋1）eˉ∑＝-（勿-l）2eˉx.当z≠l时,g′（匆）＜0,所以g（勿）在（0〕＋切）单调递减‖而g（0）≡0』故当卿≥0时］g（匆）≤0,即／（“）≥1（2）［解］设函数h（绷）≡l-αz2eˉ剪.／（匆）在（0’＋的］只有—个零点当且仅当h（卯）在（0,＋“］!只有—个零点（l）当α≤0时｛h（卯）＞0‖h（如）没有零点;（jj）当α＞0时,h′（匆）＝α如（匆-2）e霹。当如巨（0〗2）时］h′（勿）＜0‖当嘶巨（2!＋的）时］h′（勤）＞O所以h（鳃）在（0’2）单调递减’在（2］＋的）单调递增故h（2）＝l＿粤是h（绷）在［0』＋函）的最′｜｀值eo若M2｜＞0』即′＜f』厕（瓣｜在（0』＋雪｜没有零点｛2@若h（2）＝0’即α＝÷』h（撼）在（0’＋函）只有—个零点;颧若h（2｜≤0』即“＞÷』由子h（0｜≡」』所以删｜瞧｜在（0』2｜有—个零点由（l）知］当匆＞0时］e露＞匆2!所以』（轴｜≡｜ˉ罢-｜—僻＞｜ˉ器≡｜＋α故h（如）在（2,4α）有—个零点因此h（匆）在（0‖＋m）有两个零点.综上旷｜聊）在（0』＋蜜｜只育—个零点时』·＝÷6.（1）［证明］当α＝0时］／（z）≡（2＋鳃）ln（l＋z）-2匆,／（舞）＝ln（l＋鳃）ˉ六h（“）的极大值点.″（惩）＝志2（2令…』｜ˉ2愿｛l＋2α膊｜（2＋匆＋α卯2）2卯2（α2卿2＋4α九＋6α＋1）弓＝（鳃＋l）（α卯2＋鳃＋2）2.蕊桑6叶｜＞0』则当0≤鞭＜＿警』曰｜鳃｛≤咖｛｜》陌｝时』h′（卯）＞0,故则＝0不是h（x）的极大值点.如果6α＋l＜0’贝｜」α2绷2＋4α鳃＋6α＋l＝0存在根勿｜＜0］故当勉匡（必l,0｜,且｜鳃｜≤恤｛］』陌）』′』｛｜篮｜＜0』所以鳃二0不是″｜露｜的极大值点~~~z3（卯-24）如果6α＋1≡0,则h′（卯）贝｜」当“巨（＿1’0）～｜～…,＾…,／｀」。″｀…′（如＋1）（z2-6卯-12）2.／｀」二＝～｀.,…′时,h′（勿）＞0;当筋匡（0!］）时,h′（鳃）＜0.所以卯＝0是h（如）的极大值点］从而期≡0是／（匆）的极大值点。综上,α＝ˉˉ厅·7.［解］（l）／（鳃）的定义域为（-的］＋的）〕／′（鳃）＝2αe2霹＋（αˉ2）e雾-l≡（αe愿-l）（2e膊＋l）.o若α≤0,贝｜」／′（绷）＜0,所以／（卿）在（-西,＋的）上单调递减@若α＞0,贝｜」由／′（鳃）＝0得箍＝ˉlnα.当熊巨（ˉ”］-lnα）时／′（x）＜0｛当则巨（ˉlnα,＋T）时／′（如）＞0］所以／（匆）在（-酶’-lnα）上单调递减,在（＿lnα,＋的）上单调递增（2）o若α≤0,由（1）知√（鳃）至多有—个零点.@若α＞0,由（l）知0当卵≡—lnα时,／（购）取得最小值!最小值为／（ˉlnα）≡l——上＋lnα.αa.当α＝1时,由于／（—lnα）≡0』故／（鳃）只有—个零点;b.当α巨（l,＋°°）时,由于1—L＋lnα＞0,即／（—lnα）＞0’故／（卯）α没有零点;C。当α巨（0,l）时,l—上＋lnα＜0,即／（ˉlnα）＜0.α又／（—2）≡αeˉ4＋（α-2）eˉ2＋2＞＿2eˉ2＋2＞0,故／（匆）在（-的,ˉlnα）内有个零点.／q＼设正整数厕0满足″0＞ln（亏ˉl）,则／（″0）＝e厕0（αe″0＋αˉ2）ˉ″0＞e则0-几0＞2见0-几0＞0·由＝ln（÷ˉl）＞＿｜nα｀厌此／｜鞭）在（—l＂…）内有—个零点综上］α的取值范围为（0,］）.［刷盲所得］导数法判断函数／（卿）在区间（α,6）内的单调性的—般步骤:（1）确定函数的定义域并求／′（躯）。（2）确定／′（x）在区间（α0b）内的符号（3）作出结论:当／′（卯）＞0时］／（卯）为增函数;当／′（匆）＜0时,／（如）为减函数［测训诊断］本题难度较大,考查导数的应用｀导数与函数的单调性及最值｀函数的零点等知识’考查分类讨论思想、运算求解能力,意在让少数考生得分.a（1）［解］／（嘶）的定义域为（0,＋@）。设g（勿）＝α熊—α＿ln苑,贝｜」／（勿）＝则g（匆）!／（勿）≥0等价于g（撼）≥0。因为g｜l｜＝0｀g｜鳃）≥0』故g′（n＝0』而g′（缚）＝°ˉ÷所以g′（1）＝α-1≡0!得α＝1。若α＝｜》〗‖g′（蹦｜＝lˉ÷当0…l时』g′｜膨）＜0』g（鳃｜单调递减｝当卯＞l时’g′（撕）＞0,g（箍）单调递增所以卵＝1是g（勿）的极小夏题分类集‖‖~~~设函数g（瓤）＝／｜瓣）＝｜n（l＋狮）＿志』贝‖g′（箍｜＝（l÷绷｜Ⅻ当—1＜匆＜0时!g′（绷）＜0;当z＞0时,g′（卯）＞0。故当勿＞-l时］g（z）≥g（（））＝0‖且仅当“＝0时,g（鳃）≡0’从而／（勿）≥0,旦仅当勿≡0时’／（宛）＝0。所以／（知）在（ˉ1,＋明）单调递增.又／（0）＝0,故当-l＜如＜0时!／（勉）＜0;当卿＞0时′（匆）＞0。（2）［解］@若α≥0,由（1）知］当如＞0时‖／（勿）≥（2＋x）ln（］＋卵）—2匆＞0≡／（0）’这与卵≡0是／（匆）的极大值点矛盾2卯o若α＜0｀设函数h（篮｜＝2!」剿鲤』＝ln（1＋趣｜＿2＋…″由于当｜…＂｛｜｀√百｝时』2半…＞0』故＂（鳃｜与′（甄｜的符号相同又∧（0）＝／（0）＝0,故匆≡0是／（z）的极大值点当且仅当匆＝0是@微信公众号：嗨呀同学高考必刷题夏题分类集训数学（理）（l）［解］／′（如）＝（郎—l）ez＋2α（匆～l）≡（如-1）（ex＋2α）。O若α≡0,贝｜」／（勿）＝（x—2）ez］／（绷）只有—个零点@若α＞0,则当则巨（ˉ鲍,l）时,／′（如）＜0｛当匆巨（］,＋切）时,／′（勿）＞0.所以／（匆）在（—四］1）上单调递减!在（1,＋切）上单调递增又／（｜）＝ˉe’／（2）＝α’取b满足b＜0且b＜｜n:’则／（b｜＞÷｜‖ˉ2）带α（bˉ」｜2二α（h翅÷‖）＞0』故／（鳃）存在两个零点o若α＜0,由／′（z）＝0得勿＝l或则＝ln（ˉ2α）.若α≥一÷’则ln（ˉ2α）≤1』故当则匡（l》＋由）时’／′（则）＞0』因此么／（勿）在（l’＋的）上单调递增.又当孵≤1时,／（卿）＜00所以／（鳃）不存在两个零点若α＜ˉ÷’则｜∏（ˉ2α）＞l,故当鳃巨（1,ln（-2α））时,／′（匆）＜0;当匆巨（ln（＿2α）｛＋的）时］／′（勿）＞0,因此／（翼）在（l,ln（ˉ2α））上单调递减‖在（ln（—2α）,＋鲍）上单调递增又当z≤l时’／（鳃）＜0,所以／（知）不存在两个零点.综上,α的取值范围为（0,＋鲍）。（2）［证明］不妨设匆l＜腑2｀由（1）知〕鲸l匡（-的』l）,鳃2匡（1,＋“）,2＝卯2巳（ˉ“』l）,／（x）在（-的0l）上单调递减］所以师l＋鳃2＜2等价干／（如｜）＞／（2-撕2）,即／（2—匆2）＜0。由干／（2ˉx2）≡ˉ则2e2ˉx2＋α（匆2—l）2,而／（匆2）≡（勿2—2）e嚣2＋α（熊2—l）2＝0,所以／（2-绷2）＝-z2e2ˉ翼2ˉ（匆2-2）ex2.设g（绷）＝-ze2ˉ惠-（卯一2）e慈,贝｜」g′（勿）≡（卯ˉ1）（e2ˉx＝ex）。所以当x＞l时!g′（冗）＜0’而g（1）≡0］故当卯＞l时!g（嘶）＜0.从而g（觅2）＝／（2ˉ则2）＜0,故z｜＋勋2＜2.［测‖｜｜诊断］本题难度大｛在第（l）问考查了禾｜」用零点的情况求参数范围’可分离参变量化归为交点问题.在第（2）问中考查了不等式的证明,结合零点和函数单调性化归为函数最值问题学生失分点主要有三点;（l）第（］）问中参变量分离未考虑财≡l的情况.（2）运用零点相等关系消元］建立同—变量不等式（9）构造新函数证明不等式［解］（l）／（勿）的定义域为（ˉ切〕-2）（ˉ」（＿2〕＋够）.TO值点!故g（x）≥g（l）＝0。综上,α＝1（2）［证明］由（l）知／（x）＝知2—鲍—勿｜nx,／′（如）＝2x-2ˉln熊。设h（绷）＝2如—2-ln嘶,则h′（鳃）＝2-ˉ上.卯当瓣筐（0’＋）时』′』′（蹦｜＜0｜当”巨（十』＋嘎）时』″｜聪｜≥0所以h（绷）在（0｀十）上单调递减’在（＋』…）上单调递增又h（eˉ2）＞0』h（÷）＜0』h（l｜二0』所以励｜鳃｜在（0』十）上有唯—零点鳃o’在［＋』＋霞）上有唯—零点｜』且当鳃巨｛0』撼0｜时』咖｜鳃）＞0｛当z巨（勿0『1）时!∧（绷）＜0;当匆匡（l｜＋西）时』h（勿）＞0。因为／′（卯）＝h（熊）,所以匆＝勿0是／（如）的唯—极大值点.由／′（如0）＝0得ln狐0＝2（期0—l）‖故／（匆0）＝蹲o（l—鳃0）.由蕊0匡（0』十）得′｜鳃0｜＜÷因为匆＝如0是／（鳃）在（0’l）上的最大值点‖由eˉl巨（0,l）］／′（eˉl）≠0得／（匆O）＞／（eˉ｜）＝eˉ2.所以eˉ2＜／（箍0）＜2ˉ2。［关键点拨］解决本题第（l）问有两个关键点:o把／（则）≥0转换为″ˉα—lnx≥0;@g（绷）＝α虹—αˉlnx＝α（箍-］）ˉln鳃的图像恒过点（l,0）‖且函数g（卿）至多只有—个极值点,所以欲使g（露）≥0恒成立｛只需使g（卯）在（0,1）上单调递减,在（l,＋的）上单调递增!即g（如）在允＝l处取得极小值即可［测‖｜｜诊断］（l）本题难度较大,主要考查函数的导数｀禾｜」用导数研究函数单调性｀函数极值与最值的求解｀函数的零点｀零点的存在性定理｀恒成立问题与不等式证明!考查运算求解能力｀抽象概括能力｀转化与化归能力｀数形结合思想、分类讨论思想｀函数与方程思想｀推理论证能力｛意在使极少部分考生得满分｜少部分考生得—些分.（2）本题若错〕反映了考生综合运用数学知识和思想方法的能力有待进—步提高9.［解］（l）／（卯）的定义域为（0｛＋鳃）.o若α≤0』因为j（＋）二ˉ＋令αl＂2＜0』所以不满足题意｝@若α＞0,由／′（卯）≡‖ˉˉ坠＝塑ˉ二g知,当斑巨（0〕α）时,／′（卵）＜0;当卯允卯巨（α〕＋的）时!／′（Z）＞0。所以／（匆）在（0］α）上单调递减｜在（α］＋唾）上单调递增故z＝α是／（如）在（0］＋的）上的唯—最小值点.由于／（l）＝0!所以当且仅当＂＝l时］／（x）≥0。故α＝1.（2）由（l）知当鳃巨（l!＋的）时］z—l-｜n勉＞0.令躯＝」＋士｀得ln（」＋寸）＜六师ln（］带』）＋｜n（｜带＋）＋…＋h（｜＋寸）＜＋带士带…十—12＂］—ˉL＜12阅故（｜带＋）×（｜＋六）×…溪（｜带寸）≤·而（｜带÷）×（｜＋扑（｜＋六）≥2｀所以厕的最小值为｀［测0｜｜诊断］（1）本题难度大’主要考查利用导数求最值｀数列与不等式｀导数的综合应用及数歹‖的放缩求和,考查考生分析问题和解决问题的能力｀抽象概括能力以及运算求解能力｀意在使少数考生得分。（2）本题若出错］—是对参数不知该怎么分类讨论;二是衍生式子没有得到‖尸二■■红巳∩乙卯（z-l）（觅＋2）e缠ˉ（勿-2）eⅪ~~）卯』｜（′／′＼己U／-≥0〕（箕＋2）2（“＋2）2≡’当且仅当卿＝0时,／′（勿）＝0!所以／（惩）在（＿凹〗—2）,（—2〗＋m）上单调递增·因此当撕巨（0’＋酶）时’／（z）＞／（0）＝—1.所以（卯＝2）e戴＞-（冗＋2）,即（九-2）e嚣＋勿＋2＞0.（2｜:』（延｜≡｜瞩ˉ2｜.飞j翻（叶2｜-尝（′｜螺｜扭‖由（1）知,／（冗）＋α单调递增,对任意α巨［0‖l）’／（0）＋α≡α-l＜0旷（2）＋α＝α≥0.因此存在唯—的xα巨（0〕2］!使得／（绷o）＋α＝0,即g′（如α）＝0.当0＜纯＜xα时］／（卯）＋α＜0,g′（箍）＜0『g（鳃）单调递减;当财＞如α时］／（卵）＋α＞0,g′（露）＞0,g（匆）单调递增因此g（匆）在如＝”α处取得最小值,最小值为exα—α（卿α＋l）ezα＋／（剿α）（勿α＋l）e愿αg（卯α）≡2＝2＝卯α＋2,卯亿卯皿于是州（′）-满』由（走）′≡（（勉｜｜?≥0,得函数γ-走掌调递增o微信公众号：嗨呀同学苔案及解析所以…筐（0｀2］』得十-茂≤h（α｜-恭≤盖≡子因为γ＝盏单调递增』对任意人匡（＋』÷｜』存在唯—的鳃.巨（0’2］!α≡—／（则α）匡［0,1）,使得h（α）≡儿所以门（α）的值域（2）本题若出错!主要是不会等价转化｀合理分类［解］（l）设曲线y≡／（撕）与x轴相切于点（嘶0‖0）］则／（如0）＝0‖［｜′!》广‖／′（x0）＝0,即3解得虹0≡丁,α≡ˉ丁肉此』当α＝＿÷时』撼轴为曲线γ＝／｜露｜的切线（2）当x巳（l,＋∑）时,g（熊）≡—lnx＜0,从而′l（x）＝mln｛／（x）,g（卿）｝≤g（鳃）＜0,故h（鳃）在（l‖＋钩）无零点.当躯＝!时』若α≥ˉ÷』川′｜｜｜＝α÷≥0』″｛｜｜＝mm｛／（｜｜』g｜!｜｝＝g（」｜二0』故膊＝l是咖｜憋）的零点｜若“←÷』贝｜『｛｜｜＜0,内（l）＝mi＂｛／（］）,g（l）｝＝／（l）＜0!故x＝l不是力（x）的零点。当如巨（0］l）时〕g（x）＝—ln狐＞0.所以只需考虑／（x）在（0］l）的零点个数。（l）若α≤—3或α≥0,则／′（加）＝3则2＋α在（0』l）无零点,故′（鞭｜在（0』｜｜单调』而／｜0｜＝十』／｜｜｜＝叶÷』所以当α≤ˉ3时’／（如）在（0!l）有—个零点;当α≥0时,／（x）在（0］l）没有零点｛h｜着＿〕…0』则′｜瓣｜在（0｀｀／＝子）单调谨减在~～--ˉ（√ˉ÷』」）单调递增』故在｜0』｜｜.,当獭≡√—÷时｜′｜翻｜取得↑3是（＋』÷｝综上,当α巨［0!l）时］g（缅）有最小值h（α）〕∧（α）的值域是（＋』子｜［测0｜｜诊断］第（l）问难度不是很大,规范答题‖尽量多得分.第（2）问对导数的考查有定的深度,需要好的数学素养和功底才能有所突破‖2（］）［解］／′（匆）≡＿2αsin2撕-（α-1）sin鳃.（2）［解］当α≥l时,｜／（撼）｜≡｜αcos2Ⅺ＋（α-l）（｛:os膊＋l）｜≤α＋2（α-1）＝3α-2≡／（0）.因此A＝3αˉ2。当0＜α＜l时｛将／（鳃）变形为／（卿）＝2αcos2z＋（α-l）cos勿ˉ1.令g（!）≡2α‖2＋（αˉl）tˉ1,则A是｜g（t）｜在［ˉl,1］上的最大值,‘（＿［｜＝α』g（］｜＝3α—2｀且当′二景时』:（′）取得极小值』极小值为g（号）＝上旦二上Lˉ｜＝—α2＋βα带!8α8αl令ˉ｜＜导＜］』解得α＜＿÷（舍云｜』α＞了o当0＜α≤÷时》g（′｜在｜ˉ｜』｜｜内无极值点』｜g（≡l）｜≡α’｜g（l）｜＝2-3α’｜g（-l）｜＜｜g（l）｜,所以A≡2-3α.@当十＜α＜l时』山g（—｜｜—g｜l）＝2（｜—α｜＞0』知:（＿｜｜≥g｜｜｜≥g（景）又｜‘（导）｜＿｜g（—!｜｜-｜｜—α｜｜｜十7α｜≥0,8α所以荆≡｜g（景）｜-α』等6·刊8α｜瓤『＝Ⅷ综上,A＝（3）［证明］由（1）得｜／′（绷）｜＝｜ˉ2αsin2鳃—（α-l）sin鳃｜≤2α＋｜α-1｜.由（2）得当0＜α≤÷时』｜／′（躯）｜≤｜＋α≤2ˉ4α＜2｛2ˉ3α）＝2A当÷≤α＜｜时’A＝÷带六带÷＞｜』所以｜／′（鞭｜｜≤｜＋α＜M当α≥l时0｜／′（卿）｜≤3α—］≤6α＿4＝2A所以｜／′（鳃）｜≤2A［关键点拨］第（2）问将函数／（施）转化为二次函数,结合二次函数知识对参数进行合理分类｛第（3）问利用正弦函数的有界性和绝对值的三角不等式得至｜」｜／′（x）｜≤2α＋｜αˉ1｜,然后禾｜」用第（2）问的结果进行分类证明｛测‖｜｜诊断］（］）本题难度较大』综合性强’考查函数与导数,利用导数求函数最值,不等式的证明,对考生综合能力要求较言］考查分类讨论思想、函数与方程思想｀转化与化归思想｀数形结合思想］—斗＋隅~~）杆（汀值＼」／＝取『值＼」／最o着′（√＝子）≥0｀愿［÷…0』′｛蕊｜在｜0｀｜｜无零点圃着′（｀／＝亨）二0』鄙〃＝÷』〗Mx｝在｛0』｜｜育唯—零点o蕾′（√＝亨）＜0｀鼠‖＿3…ˉ÷』曰干′（0｜÷』′（｜｜≡°＋÷』所以当ˉ÷…—÷时》′｜颜｜在｜0』｜）有两个零点;当ˉ3≤°≤ˉ÷时′（蕊｜在（0』］｜有—个零点综上》当α＞ˉ÷或α＜ˉ÷时』′′｜瓣｜有—个零点;当″≡÷或“＝ˉ÷时』h（鳃）有两个零点｛当ˉ÷＜°←÷时》′｜｜斯｜有三个零点［刷盲所得］讨论函数的零点,需要先确定函数的大致图像通过导数知识｛找至｜」分类点］在各个分类下］讨论函数图像,通过最值与单调性来确定函数零点!而分类点的确定是根据／（腮）的导函数的零点来确定的［测‖｜膨断〗本题难度较大｛主要考查导数的几何意义,导数在研究函数性质中的应用04（1）［证明l／′（腮）＝加（e′mˉ］）＋2x.若′n≥0｛贝｜」当z匡（ˉ切!0）时〕e顺x—］≤0］／′（匆）＜0｛当x巳（0’＋钩）时’e顺x—l≥0,／′（熊）＞0.若m＜0!贝」当匆匡（-的,0）时｛e厕膊-1＞0!／′（则）＜0｝当虹巨（0』＋的）时,e′＂xˉl＜0,／′（撼）＞0.所以!／（鲍）在（ˉ切’0）单调递减,在（0］＋鲍）单调递增（2）［解］由（l）知‖对任意的m’／（x）在［-l,0］单调递减］在［0』1］单调递增,故／（匆）在匆≡0处取得最小值所以对于任意绷l!勿2巨［-l,l］〕｜／（舞l）—／（如2）｜≤e—l的充要条件.‖｜l」∩1!｜滤』‖真题分类集‖‖‖微信公众号：嗨呀同学高考必刷题寞题分类集训数学（理）即｛:1副孟lto设函数g（』）＝e』—t—e＋］’则g′（〖）＝e』-1.当』＜0时’g′（t）＜0｛当t＞0时!g′（t）＞0。故g（t）在（ˉ切］0）单调递减!在（0,＋助）单调递增又g（1）≡0』g（-1）＝eˉl＋2-e＜0,故当』匡［—l!］］时,g（t）≤0.当加巨［—1,1］时!g（m）≤0,g（-肌）≤0,即o式成立;当加＞1时,由g（t）的单调性!g（m）＞0,即e厕—m＞e-1;当加＜—1时］g（—′n）＞0‖即eˉm＋加＞e-1.综上］m的取值范围是［＝1’1］.［关键点拨］第问’虽然含有参数’但是目标是证明单调性,用导数的知识解题,注意分类讨论γ匆l］匆2e［-1!1］］｜／（xl）-／（勿2）｜≤eˉl●鳃匡［～l,l］时′（卯）m皿ˉ／（勿）min≤e—1,又由第—问,易知／（财）mm≡／（0）,／（腮）ma×＝maX｛／（—1）‖／（1）｝,得条件.『｜∩!」∏〈｜蝗「］』＝｛:l震iI!』＝解不零式″＿雕≤e—L可设g（t）≡e‘ˉt〕由g（t）的性质解不等式［测〗｜｜诊断］本题难度偏难‖利用导数证明函数的单调性］求函数的最值是高频考点］要重点掌握‖另注意做题规范,争取少失分.旧（l｜［解］由′（膊）二十甄」ˉ鳃』＋鳃得′′（鳃）二÷膨2ˉ2露＋l令j′（甄）二1』即÷贼』＿2獭＋］二1｀得瓣＝0或瓣＝÷又′（0｜二0』′（÷）＝务,所以曲线γ＝′（瓣｜的斜率为l的切线方程是γ二骡与γˉ务二躯＿÷,即′＝撼与γ＝篮ˉ万64（2｜［证明］令g（孵）二／（鞭｜ˉ…［ˉ2』4］由g（撼｜＝＋然』ˉ鞭』得‘′（绷）＝÷”』ˉ2鳃令g′（x）＝0得鳃二0或撼＝÷g′（匆）,g（闪）的情况如下:令!＝ˉL‖则′≥蛔.α设g（t）＝′班ˉ2‘√Tˉ工万ˉ2ln箍,‘≥2／2,则g｜』｜二振（』—√｜÷）』ˉ岩＿2』n‰o当鹏层［＋,十蹿）时｜√｜十÷≤加』则g（′）≥g（2厄）＝8／Fˉq√回√丁干了ˉ2ln鳃.1记p（卯）＝呐ˉ2／z／Iˉ干了ˉln鳃’卿≥ˉ丁,√百12／z／万ˉ干丁ˉ√Z憋ˉ√万ˉ干ˉT则p′（＂）＝≡＝＝——√列;√冗＋lz鳃√r干ˉT~~（匆ˉl）［l＋√厉（√Z万ˉ干可ˉ1）］熊√瓦ˉ干丁（佃＋1）（√r干丁＋√m故‖』—刁′（十』l）｜｝（l』＋酶｜ˉ～—≡-～-～—十0｜＋■…二■～≈～～～≡～～～→■～己～＝～～丁～＝□单调递减｝极小值p（1）｜单调递增卯p′（卿）′（蹦｜′（十）所以p（卯）≥p（1）≡0.因此g（‘）≥g（2／百）＝2p（匆）≥0.圃当鳃匡［士,＋）时噶｜｜｜≡‘（√｜带÷）-＿狐｜n鳃—｜撼刊｜2／r令,｜鳃）≡邓ln＂＋（鞭＋］｜’瓣＝［士’＋｜’则q′（鳃｜＝｜n岩2＋l＞0,故q（甄｜在［士｀＋｜上掌调递增’所以′（鸳｜≤q（＋）由o得,（＋）＝蚂（＋）＜ˉ骆（」｜≡α所以』｜腮｜≤0因此』凛｜』｜率（√!十＋）＝器≥0由o◎知蕊任意嚣霍［士』＋囤）』』霍［蛔’＋国｜』g（』）＝0｀即对任意疟｜÷』＋国）’均有′（撼）≤磊综上所述』所求‘…范圈是（0』乎｜［关键点拨］第（2）问的关键是先令瓣-1,得到α霍（0,￥｜,霉证明当α霍（0》乎｜时旷（聪｜≤嘉可将莫转化为关于α的函数的最值问题,再利用导数求解证明［解］（l）因为α＝b≡c’所以／（x）≡（虹—α）（卯＿6）（z-c）≡（如-α）3.因为／（4）＝8］所以（4-α）3≡8’解得α＝2.（2）因为b≡c,所以／（冗）≡（卯-α）（z-6）2≡卯3-（α＋2b）勿2＋b｜2α辨b｜靡ˉα0』』从而／′（驱｜＝］（蹦ˉ0｜（膊ˉ竿）令／′（鳃）≡0,得z＝6或鳃≡2旦ˉ土』3.因为α』b』竿都在集合｛—3』］』3｜中』且α≠』』所以竿二］』α＝3’b＝ˉ1此时′（勿）＝（z-3）（熊＋3）2旷′（卯）≡3（z＋3）（勿—1）.令／′（勿）≡0］得嘶＝-3或勿≡l。歹‖表如下;ˉ2｜（ˉ2』0）｜0（0』÷）÷＝—ˉ--ˉ～＝ˉˉ≡--≡～～…＋串～～～～≡一…＿ˉ～～≈≡≡←←～＝ˉ≡～～｜＋｜′＝…≡…上ˉˉˉ～＿＿～↓ˉ……＿vˉ＿—＿ˉ64ˉ6｜刀｜0｜＼27）斗β—〕／』』■□■｀4~~~~~~~~~~冗g′（Z）~~~~~~~~~g（勿）｝卜＋≡刀0所以g（嘶）的最′」｀值为—6｛最大值为0.故ˉ6≤g（z）≤0〕即如-6≤／（勿）≤如.（3）［解］由（2）知］当α＜ˉ3时］M（α）≥F（0）≡｜g（0）ˉα｜＝-α＞3;当α＞ˉ3时］M（α）≥F（-2）≡｜g（-2）—α｜≡6＋α＞3;当α≡ˉ3时,M（α）≡3.综上｛当M（α）最小时,α＝-3。［关键点拨］解答第（2）问的关键在于将不等式变形为-6≤／（如）—知≤0］进而转化为求g（鳃）＝／（鳃）ˉ匆的最值问题;第（3）问!将g（匆）的图像向上｀下平移｜α｜个单位长度再将允轴下方的图像翻折至｜」卯轴上方得至｜」F（x）的图像］因为｜g（x）｜m皿＝6!所以分α＞＿3,α＜ˉ3和α＝—3三种情况讨论其最值。‖a［解］（｜）当α＝ˉ÷时』′（篡）＝ˉ÷l…∏再』膊＞α07（√1＋匆ˉ2）（2／1＋勿＋l）3／′（匆）＝—＋4卯,｀′4”l~~2／Iˉ干了4蹦｀／丁下了所以函数／（勿）的单调递减区间为（0‖3）’单调递增区间为（3,＋的）｜2｜由／（｜｜≤六』得0…乎当0…亭时洲蟹｜≤嘉等价于粤ˉ罕丽ˉ2l…ααo微信公众号：嗨呀同学答案及解析若α≤＋』则当獭匡｜0』2｜时』鳃—2＜0』“—l≤＋膊ˉ｜＜0』所以／′（鳃）＞O所以2不是／（施）的极小值点综上可知』α的取值范阔是（÷》十囤）［刷盲所得］（l）导数的几何意义是函数在切点的导数是切线的斜率（过该点的切线）『（2）求参数的范围’通常会用至｜」分类讨论的方法］或是分离参数的方法!转化问题,进而求出参数的范围（1）［解］由已知,力（卿）＝αx—卯lnα,有h′（财）＝αxlnαˉlnα。令h′（x）≡0,解得z＝0。由α＞l,可知当如变化时］h′（狮）!h（鞭）的变化信况如下表｜」二垦亡二l」十子＿｝l二l凹｝ˉ—ˉˉ—-—～↓ˉ—……一-＿＿…／｜极大值｛＼＼迅＋的）＋刀］→一（△～~~~~~~■》『‖‖』＋『‖』‖‖‖～‖‖‖‖~~＿＿信司一＼］ˉ○一‖卯／′（熊）／（Z）极小值所以／（鳃）的极小值为／（l）＝（l—3）（l＋3）2≡ˉ32.（3）因为α≡0,c＝l,所以／（x）＝鳃（匆＝6）（苑-1）＝撼3—（6＋l）匆2＋b卯,／′（露）≡3卯2ˉ2（b＋l）卿＋b。因为0＜b≤l,所以△＝4（6＋l）2-12b＝（2b-l）2＋3＞0’贝」／′（知）有2个不同的零点,设为绷｜,则2（熊｜＜腮2）.由／′（鳃）≡0,得卿｜＝b＋lˉ√62ˉb＋l6＋l＋√62ˉ6＋13］卯2＝3列表如下:‖9卯｜（ˉ如,0）｝0｜（0,＋≈）ˉ—一——＿ˉ十…ˉ—…ˉˉˉˉ…—一↓ˉ·＿ˉ＿——ˉ.ˉ—厂＿—ˉ-ˉ＿h′（“）｜0＋ˉ—＿＿—＿｝ˉˉ＿＿ˉ＿＿ˉ—ˉ—ˉˉˉ＿＿＿＿＿ˉ『-…ˉ～--ˉ.h（卯）＼d极小值｜刀）＝＝卯哼～］ˉ＝~~~~凸＋＿／~~~~~（←～~~~~~~~~~~｛｜｝刽」｜｛升｝′｛~~~~←）～盘低≡叫≡／＿∧｜列l｝（z｜,腮2）ˉ＋-＿ˉ＿ˉ｝一—ˉ-ˉˉ｛0｛-ˉ↓ˉ—＿ˉ＿丁ˉ——＿｛极大值｜＼逊（冗20＋“）如20极小值~~~~｜｜＋｝ˉˉˉˉˉ—-ˉˉ｜／所以函数h（则）的单调递减区间为（—的!0）’单调递增区间为（0,＋四）.（2）［证明］由／′（则）≡α翼lnα’可得曲线γ＝／（匆）在点（匆l］／（鳃l））处的切线斜率为α鳃llnα。由g′（舞）＝—上‖可得曲线γ＝g（蹲）在点勿lnα（熊2,g（如2））处的切线斜率为—兰卯2lnα°因为这两条切线平行』故育侧Ⅶ皿-咖』即陶·蜒!（ln缨｜』二〔两边取以α为底的对数］得log°如2＋卵l＋2logαlnα＝0,所以卯l＋g（匆2）≡ˉ2lnll1αlnα·（3）［证明］曲线γ＝／（掘）在点（鳃l』αx｜）处的切线′l:y—α露l＝α蒸llnα°（Z—卯｜）,曲线y＝g（如）在点（X2,lOgα如2）处的切线′2:y-lOgα知2＝—兰。（财-舞2）.卯2lnα要证明当α≥e丁时｛存在直线′］使′是曲线γ≡／（匆）的切线,也是曲线y≡g（z）的切线只需证明当α≥e亏时,存在如l巳（—的］＋的）｛x2巨（0,＋°°）’使得／｜与′2重合.即只需证明当α≥e÷时’方程组｜‖1网点壶谬詹.由o得如2＝＂x｜（lnα）2,代入@,得12lnlnα≡0.oα陋｜ˉx｜α氮｜lnα＋xl＋∏ˉ∏＋lnα因此,只需证明当α≥e亏时,关于卯｜的方程o存在实数解设函数＂（鳃｜＝侧蕴ˉm蹦｜nα＋蕊十六＋2Ⅲ荒l骨α』即要证明当α≥e亏时,函数γ＝u（则）存在零点.M（x）＝l—（ln′』）2xαx］可知勉巨（ˉm,0）时］u′（z）＞0↑鳃巨（0,＋的）时』″′（腮）单调递减｀又堕′（0｜二｜≥0』幽（（ln‖α｜』）＝｜ˉ侧｜帅｜2≤0｀故存在唯—的匆0］且匆0＞0,使得u′（卿0）＝0］即1ˉ（lnα）2z0α腮0＝0。由此可得u（鳃）在（-的‖x0）上单调递增｜在（匆0］＋的）上单调递减］所以M（绷）在匆≡如0处取得极大值M（卯0）。因为仙≥e亏!故lnlnα≥—l,所以l2lnlnαl≡所以／（鳃）的极大值M＝／（匆l）。方法＿:M＝／（卯l）＝“↑ˉ（6＋l）卯｝＋b〃l＝［3厕｝ˉ2（6＋1）腮!＋b］（÷ˉ宁）ˉ2｜b』;肝｜｜瓣｜带b（b;」）ˉ2（b:ˉ‖刊｜（0刊｜＋b｜b＋l｜＋芳（√b2ˉb刊｜』三≡279＝b（b＋｜）2（b—l）2（b＋l）＋÷｜√b（0ˉl）＋｜）』2727≤b｜!｝l｜令六≤÷因此M≤六方法二:因为0＜b≤l!所以苑｜巳（0,］）°当郎巳（0］l）时〕／（斯）≡卯（则—b）（熊ˉl）≤匆（x—1）2.令g（鞭｜＝膊（躯—｜｜』｜瓣匡｜0』!｜』则g′｜藏｜＝3（躯ˉ十）（露ˉl｜令g′（x｜＝0｜得蹦二÷列表如下;炉＝■「一＝■→＝峙『30极大值｀｀〗】』′′』］—〕′′‖‖｀＼‖‖‖‖』＋』‖~~~~~）→…］—口旷～／○≡≡′｜＼…≡~~~~‖』』」」』｛』伊｝~~~~~~~~~~≈飞〗‖』■｀｜』』勿＝他—低＿■■「七锚彦→β~~~~~~~~~~＼丛1～｜所以当〃＝二时,g（颇）取得极大值’巨是最大值’故g（卯）＂｜凰｀＝〕‘（＋）＝÷所以当则巨（0’l）时』／（鳃）≤g（趣）≤告因此』＂≤告～~′［刷盲所得］利用导数研究函数的极值时,解方程得函数的可能极值点!再通过研究可能极值点两侧导函数的符号确定极值点‖8.［解］（l）因为／（x）≡［o财2ˉ（4〃＋l）媳＋4α＋3］e臆‖所以／′（绷）＝［2α冗ˉ（4α＋l）］ex＋［酗2ˉ（4″＋｜）鳃＋4α＋3］e＂＝［“2—（2α＋l）觅＋2］e膊（斯匡R）〕则／′（l）＝（lˉα）e.由题设知／′（］）＝0］即（lˉα）e＝0’解得α＝l此时／（l）≡3e≠0.所以α的值为l。（2）由（l）得／′（匆）≡［α知2ˉ（2α＋l）施＋2］e＂＝（α卿≡l）（绷一2）e煎。若°＞÷』】｜当鳃詹（＋』2）时』′′（鳃）＜0;当匆巨（2］＋m）时旷′（绷）＞0.所以／（勉）在熊＝2处取得极小值。夏题分类集训微信公众号：嗨呀同学高考必刷题寞题分类集训数学（理）2lnlnα2＋2lnlnα≥0.lnα≥lnα下面证明存在实数t,使得u（t）＜0。由（」）可得h（露｜≥h（l）＝」』即α露≥」＋墓lnα』当鞭＞亡时｀有l2lnlnα＝-（lnα）2冗2＋u（购）≤（l＋鳃lnα）（lˉ鳃lnα）＋则＋IIIˉ∏＋lnα※＋｜＋六＋2l揣l:“′当…了』即lnα＝÷』且鞭二六＝.时,ˉ｜ln“｜2躯2＋鞭＋｜带亡＋2lnlnα≡0°lnα所以存在实数′,使得u（t）＜0。因此］当α≥e丁时〕存在虹｜巳（-助〗＋切））使得M（如｜）＝0.所以’当α≥e了时,存在直线′!使′是曲线y＝／（鳃）的切线,也是曲线y＝g（鞭）的切线20.［证明］（l）函数／（z）的定义域为（0｛＋西）,导函数为／′（厕）＝卡ˉL刀卯冗曰》｛｜鳃』｜～′′｜翰｜橇2六÷｜～2六尚,＂为鳃｛…,所怯古＋由基本不等式得＋√豆雨二阿带何≥20／豆『豆了』因为卿l≠卿2,所以嘶｜x2＞256。由题慧得／（鳃｜｜十′｜鞭2｜＝√丙ˉln躯｜＋√5rˉ｜n獭』＝＋√勇雨ˉln（勿lx2）。设g（蹦｜二＋振ˉln颧』则:′｜x｜＝☆｜顺ˉ4｜』所以所以h′（鳃）≤0』即函数h（如）在（0］＋的）上单调递减,因此方程／（虹）＿肛-α≡0至多1个实根.综上,当α≤3-4ln2时,对干任意∧＞0’直线γ＝∧鳃＋α与曲线y＝／（剩）有唯—公共点［解］（1）因为／（匆）＝e缚cos绷—鳃〕所以／′（卿）＝e厕（cos撼＝sin卿）ˉ1‖／′（0）＝0.又因为／（0）＝l!所以曲线y＝／（x）在点（0!／（0））处的切线方程为y≡1。（2）设h（剿）＝e蒸（cos犯-sin掘）-1,贝｜」h′（狐）≡e撼（cos卯ˉsln匆-sln撼-cos鳃）＝-2exsin卯.当露匡（0』÷）时』h′（x｜＜0』所以″｜鳃）在区间［0』÷｜上单调递减所以对任意鞭匡（0』I｜』有″（狐｜＜″（0｜＝0’即／′（藤）＜α所以函数′（卿）在区间［0』于｜上单调递减因此／（撼｜在区间｜0』子｜上的最大值为′（0｜＝｜｀最小值为／（苦）＝∏丁。＝［测‖｜｜诊断］（1）本题难度大!主要考查导数的运算｀导数的几何意义｀直线方程以及利用导数求函数的最值问题综合考查三角函数与指数函数,考查运算求解能力,意在让部分考生得分。（2）本题容易出现对三角函数求导不熟悉’产生计算失误以及第二问不知道二次求导而产生错误［解］（l）由题意得／（∏）＝∏2-2。又／′（x）＝2鳃—2Sin鳃｛所以／′（∏）＝2∏,因此曲线y＝／（嘶）在点（∏,／（∏））处的切线方程为yˉ（而2-2）＝2∏（x-∏）,即γ≡2∏加＿∏2＝2。（2）由题意得h（熊）≡e期（cos则—sin躯＋2x—2）—α（z2＋2cosz）’所以′l′（鳃）＝ex（cos嘶-sin绷＋2匆-2）＋e熙（-sin嘶-cos卯＋2）-α（2虹-2Sin豹）＝2ex（鳃-Sln冗）-2α（鳃—sin扛）≡2（e鳃-α）.（如-sjn则）.令m（卿）≡熊-sin躯,则m′（卿）≡l—cos嘶≥0。所以加（纯）在R上单调递增.因为m（0）＝0,所以当鳃＞0时］m（缅）＞0;当熊＜0时｛′n（熊）＜0。O当α≤0时,e＂ˉα＞0.当勿＜0时,h′（鳃）＜0,h（鳃）单调递减;当x＞0时］″（膊）＞0］／i（卯）单调递增所以,当如＝0时h（勿）取至｜｜极小值,极小值是h（0）＝ˉ2α-l｛无极大值@当α＞0时,／t′（豹）＝2（ex-eln侧）（x—sin则）。由h′（匆）≡0得苑l＝lnα〕卯2＝0°a当0＜α＜1时,lnα＜0.当勿巨（-的‖lnα）时,e“ˉelnα＜0’h′（箍）＞0,h（卿）单调递增;当匆巨（lnα,0）时,ex-elnα＞0］h′（鳃）＜0,h（x）单调递减;当聪巨（0’＋四）时〕ezˉelnα＞0〕h′（匆）＞0〗h（匆）单调递增.所以,当鳃＝lnα时h（虹）取到极大值〕极大值为内（lnα）≡—α［｜n2α—2lnα＋sin（lnα）＋cos（lnα）＋2］｛当卯≡0时h（卿）取至｜」极小值‖极小值是／』（0）≡-2αˉ1.b.当α＝l时!lnα＝0.所以］当Z巳（＝如,＋如）时］h′（匆）≥0,函数h（勿）在（-如!＋的）上单调递增］无极值c.当α＞1时』lnα＞0.所以,当x巳（ˉ鲍］0）时〕ez-elnα＜0〕h′（则）＞0］h（z）单调递增;当勿巨（0］lnα）时,e则＝elnα＜0,h′（知）＜0!h（勿）单调递减｝消卯巴（lnα,＋T）时,e雾ˉeln＂＞0〕h′（z）＞0,内（鳃）单调递增所以］当施＝0时!h（卿）取至｜」极大值’极大值是h（0）＝—2α-l‖当腮＝lnα时,h（匆）取至｜」极′｜｀值］2］22~~~~~勿｜（0,16）｛16｜（16’＋。°）＿＿＿ˉ＿＿＿＋—＿ˉ＿-ˉ＿｛ˉˉ＿＿ˉˉ＿～—ˉ』＿ˉˉˉ…ˉ-→ˉg′（匆）｝0＋ˉˉ～一ˉ导ˉ≡-ˉˉ一ˉ-ˉˉ--≡.-←--ˉ-ˉ≡-～-ˉ＝ˉ≡ˉ｀-ˉˉˉ｝～ˉ宅～≡≡ˉ-～ˉ≡ˉ≡ˉ～ˉ＝丫ˉ…ˉˉˉˉ＝ˉ-…ˉg（鳃）＼｜2ˉ4ln2削／刀卯所以g（嘶）在［256,＋“）上单调递增』故g（zlz2）＞g（256）＝8—8ln2,即／（刃｜）＋／（则2）＞8—8ln2.｜2｜令『鹏＝eˉ…』″＝（｜α｜附＋l）2＋｜｀贝‖／（m）-内′n-α＞｜α｜＋内—kˉα≥0‖（六÷—愉）≤＂（｜尝＿｜—隐）＜0』／（′!）ˉ片′l—α＜n所以］存在氮0巨（m’几）使／（卯0）≡肛0＋α］所以!对于任意的α巨R及k巨（0,＋西）’直线y＝脑＋α与曲线γ≡／（“）有公共点由／（则）≡肛＋α得片≡√万—ln刃-α冗设h（筋）＝√万—ln绷ˉα冗｜n瞧—亨ˉ｜扭ˉ—:（叫ˉ｜带α2则h′（匆）≡22几卯莫中g（聪｜≡粤ˉ｜n”由（l）可知g（如）≥g（l6）,又α≤3—4ln2］故—g（匆）-1＋α≤ˉg（l6）-1＋α≡-3＋4ln2＋α≤0,6.微信公众号：嗨呀同学答案及解析因为／′（熊）的极值点是／（鳃）的零点］所以′（ˉ÷）-÷子ˉ乎带｜-0』又侧＞0』故』-芋÷因为／（匆）有极值,故／′（沁）＝0有实根,从而6ˉ鱼＝—L（27—α3）≤0』即α≥3.39α当α＝3时√′（z）＞0（z≠-1）］故／（如）在R上是增函数!／（则）没有极值｜当α＞3时〕／′（x）＝0有两个相异的实根ˉα—｀／∏百ˉ＝丽ˉα＋√顶页＝丽极小值是h（lnα）＝-α［ln2α-2lnα＋sin（lnα）＋cos（lnα）＋2］.综上所述:当α≤0时,h（鳃）在（—的］0）上单调递减｛在（0,＋的）上单调递增〗函数h（如）有极小值］极小值是h（0）＝—2αˉl』无极大值‖当0＜α＜1时,函数h（斯）在（＿的｜lnα）和（0’＋四）上单调递增,在（lnα,0）上单调递减］函数h（x）既有极大值,也有极小值,极大值是h（lnα）＝—α［ln2α-2lnα＋sin（lnα）＋cos（lnα）＋2］,极小值是h（0）＝-2α—l当α≡］时,函数h（则）在（-的］＋的）上单调递增,无极值｛当α＞1时］函数h（嘶）在（＿如’0）和（lnα,＋的）上单调递增,在（0,lnα）上单调递减,函数h（如）有极大值,也有极／｜｀值］极大值是h（0）＝ˉ2α—1!极小值是h（lnα）＝ˉα［ln2α—2lnα＋Sin（lnα）＋cos（lnα）＋2］［关键点拨］先求／（如）及／（而）,利用导数的几何意义求切线方程,求函数门（卯）的极值需先求h′（匆）,利用h′（厕）的符号确定单调性’由干含有参数α』因此需分类讨论.［测‖｜｜诊断］（1）本题难度大,主要考查导数的几何意义＼导数运算法则、利用导数研究函数单调性求极值的方法,考查运算求解｀逻辑推理｀分析与解决问题的能力,考查转化与化归｀分类讨论｀函数与方程的思想!意在让部分考生得分.（2）本题求解易错之处是忽视（cos箍）′＝-sin卯!导致／（则）的解析式不正确,不能将h′（x）通过因式分解变形为h′（然）＝2（e剪—α）（卯-Sinz）］即使能变形为h′（孵）＝2（ez—α）（卿ˉsin搏）］若不能先讨论匆-sin勿的正负或不能对α进行讨论都不能得到正确答案本题（2）中确定α的分类讨论
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是e瓣＝α是否有解’即分α≤0和α＞0讨论.［解｜｜］｜圃为｜鳃—√霹＿丁｜′-｜—刀÷≡丁』｜.—孤｜′～—詹—…所以′｜缴｜-（］＿忘＿了）—｀ˉ｜鳃＿√霹＿「｜.＝（｜—獭｜（√万-丁—2）.ˉ（涎＞＋）＝＝｀／豆万ˉ＝ˉT（2）由／（撼）＝（｜ˉ蹦）（√Z万＝Tˉ2）eˉ蕴＝0』解得x＝l或颇＝÷√面万ˉ＝丁当x变化时’／（＂）,／（匆）的变化情况如下表:〕~~Ⅺ3~~〗如」丝3列表如下:一→值吨∏义小≡＿极‖‖‖‖→‖「『『『『＿』』‖』』）二～〗己ˉ~~~~哩二＼冗≡～（～≤｜』□山′』‖■‖‖‖『厂‖‖「‖■‖‖『~~≡≡值约≡◎＿大芦…极山＿｜』—｜｜｜勿→←’二＝酌＿＋＿／~~~~~（＝～~~~~｛｜」寸｜｜『十｜｝｜~~＝）一＝～）如ˉ低—甄～凸』『‖｀≡／一／）＝～~~酌—一~~＋＿＋≡刀】＝＝~~∩乙乞二勿＝一~~′『‖飞七＝『Ⅱ′『『＋』』』‖‖‖但〗‖‖‖‖故／（z）的极值点是熊｜’如2.从而α＞3.因此‘≡芋÷｜定义域为（3』…‖｜2｜［证明］田｜川知』片二竿命设:｜′｜-÷带;,则‘′｜』｜二÷÷二2』谅21当′霍（孪｀框）时』‘′（』｜≥0』从而‘（』）在（乎』＋鲤）上单调递增因为α＞3』所以α伍＞蛔’故g（α√万）＞g（响）＝√可’即÷＞徊√α因此b2＞3α。（3）［解］由（1）知』／（z）的极值点是期l’匆2］且鞭…＝÷α｀绷;＋蕊i＝4α÷6b从而／（卯｜）＋／（“2）＝财｛＋α则;＋6则］＋1＋“i＋“i＋b绷2＋l＝÷（3箍;＋2α搬｜＋‖）＋等（3撼i＋2α鞭2＋‖）＋＋α（瓣｝＋铡;）＋2.′｀ˉ4α3-6（】64α6～＾○23的径圭＋呻ˉ’…＿—。＼迅日丁＝—＼（ˉ～」』′『『。《‖」广〗‖‖‖‖‖←‖‖‖‖‖‖‖‖＝—≤√—勺～气√—∑～‖＿Ⅱ示γⅢⅣ］‖肿严『刽‖‖』』‖′制‖」』』」」′‖β—恒＿上／］∏＝…√Ⅶ们川八『＿｝′｝′→′『。『′｛〗＿○＿○）≡→］～＝｛—∑＿＿—＼迅‖√‖旧旧Ⅷ门仆‖产‖【‖‖〗‖产‖‖′‖‖『『‖一≡Ⅵ』＿勺′←］—∑＿＿止了≈）~~∑＋锄—’＿~~’▲＋）卫如＋冗（』∑—〕3ˉ｀ˉˉDˉˉ乙′.-冗／（匆）／（如）279记／（z）!／′（z）所有极值之和为h（α）,因为／′（蕊｜的碾值为bˉ子二ˉ上α2＋二｀9α所以你（感｜＝ˉ上α』＋二｀α＞3因为h』｜砸｜＝ˉ÷α＿÷＜0｀于9α7是h（α）在（3!＋的）上单调递减因为h（6）＝ˉ六,于是h（α）≥垄h（6）,故α≤6.因此α的取值范围为（3,6］.［刷盲所得］由三次函数有极值’可得其导数（二次函数）有两个不等根］即半｜」另｜」式大于0。［测‖｜｜诊断］（l）本题难度较大］考查导数的运算｀利用导数研究函数的性质、证明不等式等基础知识,意在让少数考生得分.（2）若错,主要是不能对问题进行等价转化‖又′（鳃｜≡十（厩可ˉ」｜2e＝0』所以／｜箍）在区间｜÷｀＋摩）上的取值范围是｜0』÷·告｝［测‖｜｜诊断］本题难度适中］主要考查导数的运算｀导数与函数的单调性及最值,考查分析问题和解决问题的能力｀运算求解能力』意在让多数考生得分.24（l）［解］由／（郧）≡如3＋皿2＋b嚣＋1』得／′｜瓣｜≡……-3（涎带÷）』带bˉ÷当露＝÷时』／′（躯｜有极′｜恒》ˉ÷三角函数与解三角形专颗皿三考点8三角函数的概念｀三角恒等变换刷小题｜‖.B［解析］本题考查二倍角公式及同角三角函数关系式的理解气,°°2sin2α＝cos2α＋1!°.°4sinαcosα＝2cos么α-1＋1］2°·′（0,÷）』＾…≠0且…＞0』4si∏αcosα≡2cosα。。α巴2siIIα＝cosα.又.·。sin2α＋cosα＝l］。..5sin2α＝1.2…-粤（贝值舍去卜直题分类集训微信公众号：嗨呀同学高考必刷题舅题分类集训数学（理）［快解］.,2sin2α＝cos2α＋1!,,。4sinαcosα二2cos2α过点F时,在等腰△BCF中｀计算得BF＝佰＋徊.从而佰ˉ徊＜AB＜佰＋沤［关键点拨］观察直线AD的极限位置,从而得至｜」范围［丽‖盲所得］处理方法有两种!—种是用边的观点,观察与直线AD平行的直线的变化情况,从而获得AB范围的两个极限位置另—种可以应用正弦定理把线段AB的长度表达成角度的函数’从而求出AB的范围［测训诊断］本题难度较难,主要考查解三角形问题,考查学生的运算求解能力。a肾［解祈］本题考董三露』恒等变涣方法—;〔a器l二…（lˉ…）＝二tanα＋l3］又…（0』苦）’＾2sinα＝…｀八…＝÷如图』构造宣角三角形』易知l2＝—′。ˉ——′ˉ.＝′＿21石·mα＝万＝丁［关键点拨］本题已知条件中含2α,而待求式中含α〕因此首先使用二倍角公式将2α转化为α』2E［解析卜…二丁…2α＝］ˉ2鲁in』α＝lˉ2×（＋）』＝｜ˉl〗选故了『—◎′~~勺▲—◎／［关键点拨］应用二倍角公式cos2α二1—2sin2α直接求解［测‖｜｜诊断］（l）本题难度小］考查利用二倍角公式求值0意在使大多数考生得分.（2）本题不应错,若错〕贝｜」反映公式掌握不牢!应加强对公式的理解记忆及灵活应用3D［解析］爵m2α＝咖［÷—2（子—α）｜＝co爵［2（芳＿α）｜≡2c。愚2（子ˉα）—｜＝2×（÷）2—｜＝ˉ去故选n［测‖｜｝诊断］（］）本题难度适中‖主要考查了三角函数式的化简和求值0需熟练掌握诱导公式和二倍角公式（2）本题若失分’多是不能很好地利用整体代换的思想转化4.∧［解析］cos2α＋2sin2α≡cos2α＋4sinαcosα≡l＋4tanα≡坠sin2α＋cos2αtan2α＋l25［关键点拨］求解此类问题〗关键是熟练掌握三角公式和三角恒等变换方法和技巧曰知!an0的值』计算彤如翻腑::;｀α愚in20＋l-tanα解得tanα＝2或taIlα＝—ˉ丁〕副n（2α带÷）-粤胆m2α…α｜-粤（2………』α—～颧n』α）-粤×2詹……』…』丝-但×2…十｜ˉm型αsjn2α＋cos2α2tan2α＋l将…-2丢∩…＝＋分别代＾』解得:m（2α十牙）言得∏方法二:令鳃≡α,y＝α＋丁‖3tan卯≡-2tany,3sin卯cosy＝-2sinγcos卯〕｛…等风｛………早则解得….γ≡丁』c…』二票所以.m（2α十÷）ˉ√可斟m｜膊＋γ）＝si….…°…n’＝ˉ鲁带＝借［刷盲所得］已知角的正切值,求两角和的正弦值或余弦值,可利用同角三角函数的基本关系将弦化切,从而简化运算7古［解析］因为角α和β的终边关于γ轴对称’所以β＝］80°ˉα十］60..胀’忙z所以‘inβ＝smα＝＋』c。sβ＝ˉc°愚α』所以cos（α-β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ≡—cos2α＋sin2α＝2sin2α-1＝79·［关键点拨］求解本题的关键是角的终边对称性的理解以及诱导公式的应用,明确两个角之间正弦｀余弦的关系［刷盲所得］如果两个角的终边关于y轴对称,那么它们的正弦值相等｀余弦值互为相反数｛如果两个角的终边关于如轴对称｛那么它们的余弦值相等｀正弦值互为相反数.bsin0cos0＋ccos20,sin20,cos20等的值,都可转化为含tan0的式子｀依次为器;芳』…｀!袱γ十c』｜粤器』｛了黑［测‖｜｜诊断］（l）本题难度适中,考查利用三角恒等变换给值求值｛灵活运用三角公式（2）本题若失分］则是对三角恒等变换的相关公式和相关技巧不熟5。D［解析］sin20。cosl0。—cos160。sinl0。＝sin20°cosl0°＋°°霞20.sml0.＝爵m（20。刊0.｜＝sm30。＝÷』选n［关键锚］将cosl刨°化为ˉcos20。］再逆用两角和的正弦公式求解［刷盲所得］三角公式的使用分正用｀逆用、变形用。对于公式的逆用〕平时应注意总结.如sin0±cos0’sin0±√可cos0,何sin0±cos0等另外,对干确定角的三角函数,尽量利用诱导公式把角度化小｛从而可以清晰地得出思路［测‖｜｜诊断］本题难度较′」｀,主要考查两角和的正弦公式’考查学生的运算能力·6~＿＋懈祈］｛罢:翻:二‖》＝｛筋:二l二!!弗→（］ˉ…）』″l（ˉcosα）2≡1＝1ˉ2sinα＋sin2α＋cos2α＝］＝sinα＝ˉ丁....sin（α＋β）≡sinαcosβ＋cosαsinβ＝sinα（l-sinα）＋cosα（ˉcosα）＝sinα-sin2α～COS2α≡sinαˉ1＝-上2［测‖｜｜诊断］本题难度较大］考查三角恒等变换｀三角化简求值｀同角三角函数基本关系等知识.考查运算｀化归能力!意在让部分考生得分.7.（佰ˉ徊,佰＋抠）［解析］如图〕延长BC,Fˉ…AD交于点E涎长BA‖CD交于点F,过点C作CG／／／川,交酗于G易知▲AEB＝30。.当直线AD过点C‖F时,AB的长度取极限值。过点C时｛在等腰△BCG中｛计算得BC＝B佰ˉ徊;9∏—口斗皿［＋）∏—△口α（汕｛‖0÷［解析］…＝（an｜（αˉ于）辨子｜上＋1l—÷5~~∏—〃斗］盯｜＼｜′／∏—△了α（】Ⅲ↑］［测‖｜｜诊断］（l）本题难度适中!主要考查三角公式的应用,考查考生对公式的记忆以及运算求解能力,意在让多数考生得分（2）本题不应错!若错可能是公式记忆错误或者运算错误造成的｜刷大题｜｜｛解｜（l）由角α的终边过点P（—÷』ˉ÷）得爵mα＝ˉ了｜44所以sin（α＋而）≡-s］nα≡了.@微信公众号：嗨呀同学答案及解析（2）由角α的终边过点P（ˉ÷』—÷）得…＝—了』3由sin（α带β｝二告得c。圈（α＋β｜＝±苦由β＝（α＋β）-α得cosβ＝cos（α＋β）cosα＋sin（α＋β）sinα‖所以c°sβ＝ˉ器或c°sβ＝著44［解］（l）因为Ⅱ凰nα＝丁』…＝器』所以smα＝丁…因为愚in2α＋c。s2α＝｜』所以c°s』α＝÷』司因此』cos2α≡2cos2α-l≡--▲25,（2）因为α,β为锐角,所以α＋β巨（0］∏）.又因为cos（α＋β）＝ˉ互5,所以詹m（α十β）≡√｜ˉc,息』（·十β）二李』因此tan（α＋β）＝-2。因为〔anα＝÷』所以!蛔2α≡2…＝24l＝tan2α7,h（卯）≡｜sin施｜的和!其中g（匆）的图像如图（1）所示‖h（匆）的图像如图（2）所示〗则／（匆）的图像如图（3）。图（1）2图（2）∧／＿寸＼∧ˉ3冗-2冗-冗O｜冗2冗—〗而＾图（3）∧［解析］本题考查三角函数的周期性与单调性的理解当勉匡｜（于｜苦）蹦』鳃＝（÷｜硫）』…｜ˉ…露.（矛,÷）时｝单调递减｀旦c。s2螺≤0』故′（鳃）＝｜c。s2螺｜在（÷』;）上单调递增／l（腮）＝cos2赃的周期为∏』／（卯）＝｜cos2躯｜的周期为子’故A符合题≡意而／（躯）＝｜愚jn2獭｜以÷为周期』在（子÷）上单调递减′（膊｜＝cos｜如｜≡cos匆的周期为2∏｛／（勿）≡sin｜绷｜不是的周期函数,故选A.［刷盲所得］函数y＝｜Asin（o如＋p）＋k｜（Ao≠0）〗当k＝0时周期T＝肃!当胸≠0时’周期不变D［解析］本题考查三角函数的零点｀极值点｀单调性和周期性方法—｜?蹦巨［0』2∏］…＋÷巨［÷』2丽“十÷｜又丫｜露）在［0』2霸棺…,个零点……号…由｜γ＝愚m厕在［÷’2而侧十÷］上的图像知O正碉@错误;由5丽≤｜2…号≤6丽知号…÷3』o正碉当＂.（0』箭）时,…｝号匡（0』÷）』且倒＞0』＾／（撼｜在（0』箭）巢调递增｜◎正确综上,正确结论的编号是oo@!故选∏方法二依题意作出／（蹦）＝sin（…÷）的图像如下』其中臃≤2丽≤｜n’显然o正确］@错误｜2tan2αˉtan（α＋β）＝因此,tan（αˉβ）＝tan［2α＿（α＋β）］≡1＋tan2αtan（α＋β）勺≡11a［解］（1）因为α＝（cos勿,sln鳃）,b≡（3,ˉ√可）,α／／／b,所以ˉ徊cos绷＝3sin匆.若cos匆≡0,则sin必＝0］与Sin2匆＋cos卯＝1矛盾,故Cosx≠0。2~卢华又厕匡［0’丽］’所以卯＝—5∏于是tan卯＝6·〕（2）／（鳃）＝α·b≡（cos熊,sm鳃）·（3,ˉ√可）＝3cos如ˉ徊sin绷≡（蹦十苦）因为卿匡［0』顿］』所以窥＋÷匡［晋』午］2灯cos3何丁≤）∏—厂◎＋卯／‖‖＼吕◎◎≤】而从于是’当绷＋÷＝÷』即撼＝0时’／（躯）取到最大值3;当叶÷二丽』即露＝等时』／（膊｜取到最｜｀值ˉ蛔［刷百所得］若α＝（鳃｜,yl）,b＝（聪2!y2）,贝｜｛α／／／b●鳃］y2≡嘶2γl’α上b〈≡》α。b≡卯l卯2＋γly2＝0.［测‖｜｜诊断］（1）本题难度中’考查平面向量共线的坐标表示｀平面向量数量积的坐标运算｀≡角函数的性质等基础知识!意在让大多数考生得分（2）本题不应错,若错可能是向量的坐标运算应用错误造成的考点9三角函数的图像与性质刷小题｜↑。C［解析］本题考查三角函数的图像和性质...／（-鳃）＝sin｜-勿｜＋｜sin（ˉ匆）｜＝sin｜x｜＋｜sin匆｜＝／（熊）!...／（卯）是偶函数’故O正确;当鳃匡（÷』叮）时扩｜蕊）＝sm｜瓣｜＋｜…｜＝2…′（蹦｜在（÷』丽）单调递减,故@错误;当卿巴［0,∏］时,令／（匆）≡sin｜卯｜＋｜sin嘶｜＝2sinx≡0’得匆＝0或如＝∏］又／（如）在［-∏!竹］上为偶函数’...／（匆）≡0在［—∏〕∏］上的根为-∏!0,而〕有3个零点,故o错误;｀倡in｜卿｜≤l』｜sin″｜≤l,当躯＝苦＋2k丽（k匡N）或厕＝ˉ÷ˉ2k而（内eN）时两等号同时成立］...／（冗）的最大值为2,故@正确故选C。［关键点拨］／（z）＝sm｜鳃｜＋｜sin掘｜可看作两函数g（卯）≡sin｜约｜和γ≥贝】′一′／／＼｀厂／＼＼／／＼∩○／冗—抛~~@正确又′当”≡（0』荒）时』“）瓣＋÷.（÷』擂）』而（÷』揣）巨（0』÷）》√（蹦）在（0｀荒）单调递增』＾o正确故正确结论的编号是@ooA［解析］由′（霹）＝…ˉsm＂＝徊bo爵（鲸＋矛）知』令2肺≤瓣＋于≤丽＋2肺』隐屋Z』解得—于＋2肺…￥＋2肺’胀匡Z｀其中夏题分类集训4微信公众号：嗨呀同学高考必刷题夏题分类集训数学（理）—个减区间为［ˉ于｀÷丽｜｜所以α的最大值为矛故选A［测‖｜｜诊断］本题难度适中｛考查三角恒等变换｀单调性与最值问题考查运算求解能力,意在让部分考生得分.5D｛解析］把曲线C｜;》′＝…上各点的横坐标缩短到原来的÷’▲纵坐标不变得到曲线γ二co爵2腿’再向左平移舌个单位长度,得到曲线γ＝co.［2（x十舌）｜＝c°舅（2瓤滑）≡·『n（÷十2蕊＋÷）＝·h（2撼带芋）』即曲线c』放选D［快解］C｜;γ二…Q｀Ⅱ＝sm（2瓣夸）』菌先把曲线C｜』C2统—为同三角函数名』再进行变换c｜;》′＝c°s＂＝c°s（膊＋÷ˉ苦）＝;｀n（叶÷）需将“＝‖变成幽＝2』可先伸缩变换,再平移变换即C｜上备点的横兰标缩短到原米的十γ≡瓢n（鳃十÷）;y二慧h（甄＋苦）＝向左平移舌个单位长度·in［2（撼十矛）｜,γ＝.in（2叶午）［测‖｜｜诊断］（l）本题难度适中,主要考查≡角函数图像的变换｀诱导公式等知识］考查数形结合思想｀运算求解能力｀转化与化归能力］意在让部分考生得分.（2）本题若出错,可能是变换规律不清楚,或者不能正确地将平移前后的三角函数名化为同三角函数名6D［解析］A项,最′｜｀正周期T＝巫＝2∏!则片T（内巨Z）也是／（鳃）的@周期』故ˉ2丽是′（嚣）的—个周期E项』把瓣＝芋代入函数中’得／（午）＝＿l｀故夏线“＝宁为》＝′（躯｜图像的对称轴c项』）（苦带丽）-嚼厕鼠（÷十呵十÷）三＂』所以撼三÷为′｜叶丽｜的—个零点D项』原函数相当于γ＝cos“的图像左移÷个单位长度后所肺带子（爬z）』可得x＝粤＋÷（偷匡z卜故选∏［关键点拨］本题考查了三角函数的图像平移和图像的对称性要熟记三角函数图像的对称轴和对称中心还需明确左右平移只针对自变量撕而言［测‖｜｜诊断］（1）本题难度适中,主要考查三角函数图像的平移变换（2）易错点有两个』是把y＝2sm2膊的图像向左平移舌个单位长度理解为y＝2sm（2藤＋舌）』这冕不明确左右平移只针对自变量＂而言,二是不熟悉γ≡Sin嘶的对称轴公式9D［解析］观察题目中函数图像』得『＝2×（÷ˉ士）＝2＝普』从而侧二丽’所以／（瓣｜＝c。.｜…｜将点（士』0）的坐标代入上式』得0＝c。s（哥…）结合图像』得于＋·二苦＋2肺（″匡Z）取附二0’得鹏二于所以／（獭｜＝c。s（硕露÷）从而2肺≤丽叶丁＜丽带2k＂（隐层Z｜解得2腮ˉ＋…2附＋÷｜附匡Z｜』选n［刷盲所得］对于γ＝Asin（@鳃＋甲）或y＝Acos（O惩＋@）,应先根据图像确定参数确定参数时］先确定A（可从图像上观察）‖再利用周期确定@‖最后将图像上＿个特殊点的坐标代入解析式,从而确定9（结合图像位置或给定的华的范围）。［测训诊断］本题难度中等］主要考查y≡Acos（o匆＋华）的解析式的确定］考查学生的识图｀读图能力.｀0E［解析］当绷＝子时,剧＋PB＝l＋√百当撼＝苦时’川＋PB＝2抠?（l＋佰｜2＝6十2石＞（2徊｜2＝8』＾′（于）＞′（苦）’排除c’D当鲸筐（0’÷）时』点P在BC上』′（缆｜＝川＋PB≡√4十蛔n2膊＋tan如,此毗（匆）的导数／′（虹）不是常数,对应图像应为曲线］排除选项A.综上』应选B。［关键点拨］此题中点P沿边BC］CD与DA运动］所以可以先找特殊点的函数关系’例如’本题则＝于和虹＝÷时’排除C’D选项’A』B两选项的区别在于中间段函数的曲直!可以找出函数关系,大致判断［测训诊断］本题难度较难,需要分析函数特征］严密解答有困难｛可以利用特殊点｀特殊位置排除们.c［解析］本题考查三角函数的图像与性质由／（父）为奇函数］可知／（0）＝Asin@＝0‖由｜华｜＜∏可得P≡0。将y＝／（卯）的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍,得g（鳃）＝Asm＋@绷的图像由凸g（瓣）的最小正周期为2丽』可得′二等＝2钢』所以侧二2』g（÷）＝ˉ丁o＝徊n子＝徊｀可得A二2’所以／（獭｜＝2愚in2鲸’贝｜『（于）＝2·in￥＝抠.故选C.［关键点拨］只需根据函数性质逐次得出A〕@〕甲值即可［刷盲所得］在勿＝0处有意义的奇函数必有／（0）＝0.｀2A［解析］将函数γ≡s们（2膊＋号）的筐像问右平移而个单位长度』得函数y＝瓢n［2（鞭ˉ片）＋÷｜的窿像』即γ＝鼠m2撼的图像,令2片∏ˉ等≤2厕≤2肺＋等（附巨Z）’垄≡解得肺—于≤缠≤您而＋于（k匡z）’取附＝｜’得乎…芋』所以函数y＝副n2蕊在区间［￥』宁｜上单得图像对应的函数』在（子』丽）上先减后增』故错误［测】｜｜诊断］本题难度中等〕主要考查余弦型函数y＝Acos（@嘶＋甲）的图像和性质的应用考查数形结合思想,意在让部分考生得分.｛卖二熙谬.7B［解析］由题意可得O＋@得鸥＝÷＋赚宁』顿｜脆!匡z｜脸匡z｜又｜嘲｜≤子』…于或而丁....@≡±l＿4∧｜］Rl巨Z.结台选项令kl＝—2,@＝9’则／（卵）＝.i＂（9叶于）在（舌』六而）上单调递减令k｜＝ˉ…｜l』′（鳃｜＝.枷（｜｜蕊ˉ于）在（舌｀六而）上不单调故选凰［关键点拨］可由题中零点｀对称轴｀部分单调性得至」关于参数@的相关约束,从而确定其最大值.此题为选择题!并且是求o的最大值］也可以采用代入验证法获得答案［测‖｜｜诊断］（l）本题主要考查了三角函数图像及性质,综合性较强,有—定难度.（2）学生出错原因,—是不敢面对本题（与以往12题比较难度有所降低）〕二是综合能力不够］不能将所给信息翻译出来aB［解析］将γ＝2sin2x的图像向左平移舌个单位长度后对应的函数解忻式为,＝2尉m［2（躯十舌）｜＝2血（2x十÷）由2x＋÷＝0圆微信公众号：嗨呀同学苔案及解析Asjn（@购＋华）的形式』然后利用函数图像平移得至｜」结论。［测‖‖诊断］（l）本题难度适中,考查三角函数图像的变换（2）本题若出错〕主要是辅助角求解出错和函数图像平移概念模糊↑a÷［解析］本题考查二倍角公式和余弦函数的最小正周期因为′（獭｜＝瓢n22撼≡十αˉc。s4缚｜＝ˉ＋c。…＋÷』所以′｜x｜的最小正周期?＝宁＝÷［关键点拨］函数y＝c°箩｜侧鳃＋嘲）的最小正周期是箭］9÷［解析卜′（鳃）≤／（于）｀当″＝÷时函数／（蹦）取最大值＾c°s（÷侧ˉ÷）＝l』八÷倒ˉ÷＝2肺（附匡z）’＾倒＝酗＋÷（k匡z卜…α｀当隐＝0时』侧取得最小值÷［测‖‖诊断］本题难度适中〗主要考查余弦函数的最值.如果出错,应该是不能正确理解函数取得最值的条件.2αˉ苦［解析］由函数γ＝副n（2鲸十帜）（—÷＜′＜苦）的图像关于直线鞭＝于对称』得詹m（芋蛔）＝±l又ˉ÷＜樱≤÷』则÷＜2∏∏丁辨帜＜午』则芋＋嘲＝子｀解得吵＝ˉ了［关键点拨］利用正弦函数在对称轴处的函数值最大或最′｜｀建立方程求解［易错鳖示］本题容易遗忘条件』』ˉ÷＜啊＜÷,,导致出现增恨［刷盲所得］正弦函数｀余弦函数在对称轴处取得最大值或最′｜｀值［测‖｜｜诊断］本题难度小’考查正弦函数的图像和性质,意在使大多数考生得分刷大题｜l［解］（1）因为／（x＋0）＝sin（鳃＋0）是偶函数』所以对任意实数z都有sin（加＋0）＝sin（ˉz＋0）,即sin“cos0＋cos卯sin0＝-sin卯cos0＋cos冗sin0］故2sjn勿cos0＝0］所以cos0＝0.又0匡［0’2丽）’因此0＝子或芋≡叁调递增］故选A.［关键点拨］此类题的关键点有两处:—是函数γ≡sin@z（〔o＞0）的图像向左（甲＞0）或向右（帜＜0）平移｜中｜个单位长度得到图像的解析式y＝sin@（虹＋甲）‖即y＝sin（@匆＋@9）;二是正确判断函数的单调性’熟记正弦函数的单调性’再利用整体思想,即可轻松判断此类三角函数的单调性｀aA［解析］由′（于）＝2得富线蹦＝γ是函魏（濒）的—条对称轴』由／（等）＝0得点（宁』0）是函数／｜缠｜的—个对称中心』叉／（赃｜的最小正周期T大于2丽｀则十T＝等ˉ于＝￥’所以7＝3丽＝铲｀解得铡＝÷又因为／（等）二蜜in（暂＋·）二2』且｜嘲｜＜丽｀则帜＝舌’故选A［关键点拨］熟悉正弦函数对称中心｀对称轴之间的距离与函数周期间的关系是关键［刷盲所得］正弦函数在对称轴处取得最大值或最小值,对称中心是图像与勿轴的交点［测‖｜｜诊断］（1）本题难度适中,主要考查正弦函数的图像和性质,考查学生对图像和性质的理解以及运算求解能力〕意在让部分考生得分.（2）本题若错可能是正弦函数性质的应用错误造成的。Ⅷˉ乎［解衍M（鳃｜的最小∏周期′≡2丽’＾求′（甄｜的最小信相当于求／（如）在［0,2而］上的最′｜｀值／′（如）＝2cos卿＋2cos2鳃＝2cos如＋2（2cos2腮—l）＝4cos2匆＋2cos卯-2≡2（2cos卯-l）（cosx＋1）.令／（熙）＝0』解得co…寺或…＝ˉl,厕匡［0』2丽］兰＾由c。…ˉl』得绷二丽｝由c。…÷』得撼＝;丽或蕊＝÷...函数的最值只能在导数值为0的点或区间端点处取至｜」］′（厕｜-2…十…≡0,′（哥）-2息m于柯n午-乎』′（÷厕）＝乎′｝0）-0,′（2顿｜≡0』√（x｜的最小值为—李｛鼠3［解析卜0……÷≤3鳃＋÷≤宁》结台余弦函数敞儒像可得函数｝｜鳃｜取零点时’3鳃十÷二÷或〕躯＋苦＝芋或3蕊＋÷＝￥』解得鞭＝:或缠＝守或瓣＝宁＾有3个零点［测训诊断］本题难度中等,考查三角函数的图像与性质｀零点的概念,意在使大多数考生得分.‖a｜［解祈］′（鞭｜-…』…,詹“＿j-ˉ（…ˉ粤）』十［又′蜒≡［0,苦｜……［0,｜儿｀当…-粤时／（露）取得最大值1［刷盲所得］函数／（如）看似是—个基本的初等函数,实际上是个复合函数’是由』＝…和γ＝＿‘2＋侗叶＋复台而咸的求复合函数y≡／［g（掘）］的值域,应先求函数t＝g（鳃）的值域,把它当作y≡／（t）的定义域,外层函数y＝／（t）在新定义域下的值域即为整个复合函数的值域［测‖｜｜诊断］本题难度适中］主要考查同角三角函数基本关系式、二次函数的性质、余弦函数的性质,考查转化与化归能力、运算求解能力!意在使多数考生得分.｀7午［解析］γ＝…ˉ徊…＝2sin（愿ˉ子）』γ＝si…何c。…2sin（颜号）』所以至少向右平移孪个单位长度［关键点拨］本题关键是利用辅助角公式］将函数化为y＝）∏—■斗＋冗（／＋）∏—Ⅲ＋卯（／~~γ）’≈（（獭＋舌）＋瓢＂2（撼＋于）·2≡SIn（2撼十÷）｜ˉc。鼠（2x＋÷）1-COS＋~~221何（丁…ˉ÷蕊n2腑）＝l-7＝＝lˉ互co3（2x÷）2［｛ˉ粤』｜粤｜因此函数的值域是［刷盲所得］（1）若γ＝／（购）为偶函数,则／（-斯）＝／（卿）≡／（｜卯｜）;（2）若y≡sin（z＋p）为奇函数‖贝」p≡肺’k巨Z;若y≡sin（z＋华）为偶函数,则帜＝k∏＋÷’附巨z（侧蕊ˉ÷）＋割n（幽獭＿÷）2。［解］（1）因为／（匆）≡sln~～~～所以／（题｜＝争i…ˉ丁c…—c°…＝争i…ˉ丁c…＝（÷…粤…鞭）≡何副n（…ˉ÷）何夏题分类集‖｜｜‖I微信公众号：嗨呀同学高考必刷题夏题分类集训数学（理）3.C［解析］如图,过点A作AD上BC,设BC＝α,A则Bc边上的高AD＝÷·又E-÷』∧＼C＾圃D≡仙-÷…≡粤α』Dc-αˉBDˉ′D丁α』＾“-√M』带Dc2-卓“由拿弦定谨得°°.」≡2AB,＋“』ˉBc』;α2＋:α2ˉα』须勺三≡＝＝—2×乎厘×亨°」α2AB·AC［测‖｜｜诊断］（1）本题难度较小,考查解三角形｀余弦定理的应用,解决此类问题应熟练掌握余弦定理,善于构造直角三角形求解（2）本题计算量不大,解题方法多样,大多数考生可得分.4∧［解析］...si∩B（l＋2cosC）＝2sin』cosC＋cosAsinC,.。。sinB＋2sjnBcosC≡sinAcosC＋（sinAcosC＋cosAsinC）,。,.siⅦB＋2自inBcosC≡s‖llAcosC＋sin（A＋C）。又..sinB＝sjn（A＋C）,..,2sinBcosC≡sinAcosC.骂.0＜C＜乎,＾cosC≠0’＾2sinB＝sinA由正弦定理得α＝2h叁［测训诊断］（1）本题难度大』主要考查两角和的正弦公式的逆用、正弦定理将角化边的方法,考查运算求解能力｀分析解决问题的能力,意在让部分考生得分.（2）本题若出错‖则是不能根据等式的特征进行化简5.6／可［解析］本题考查余弦定理及三角形面积公式...在△ABC中’6＝6,B＝乎’α＝2c,＾由余弦定理b2＝α2＋c2ˉ2αccosB’得36＝〕鞭2＋c』ˉ2c』,即c:＝l2,故‘＝蛔…＝呕咽△啊c＝＋…B＝÷×响×狙×粤-眶［刷盲所得］在解三角形问题中,若已知条件中含角的三角函数值（或该角的值）及该角所对的边以及另外两边的关系’常用余弦定理建立有关该三角函数值的等式6苦［解析］仁△姻′中』?…＝÷c。sc＝÷siM＝:’.inC＝苦』八smB＝爵m（…｜＝siMc°.C＋圈mC…二:×÷:×÷二兽＾由正弦定理盂＝志』可得‖＝器ˉl×:×;＝苦［测训诊断］（l）本题考查了利用正弦定理求解三角形。方法不唯—,平时训练可题多解,比较每种方法的优劣。（2）难度较小,合理计算,争取不失分.γ竿需［解析］蕊题考查正弦定理及两角筹的余弦公式的应用由题设知／（÷）二0』所以等ˉ÷＝航』庶巨z故@＝6k＋2］内巨Z又0＜《u＜3!所以@＝2.｜2）由（l｜得′（獭）＝√丁sin（2鳃—子）』所以g（膊）＝何sm（缚十子ˉ子）＝压m（蹦ˉ舌）闲为疟［＿矛￥｜』所以膨＿舌匡［ˉ÷》芋｜当瓣ˉ舌＝ˉ子』即徽＝ˉ子时』g（獭）取得最小值ˉ÷［测‖｜｜诊断］本题难度中!主要考查两角和与差的正弦公式｀三角函数的诱导公式｀根据正弦值求角、≡角函数图像的平移变换、禾｜」用三角函数单调性求最值等知识,考查运算求解、恒等变换｀分析与解决问题的能力以及转化与化归思想］意在让多数考生得分.a［解］（［）由舅m午＝鲁′c°s午＝上2’得′（午）三（粤）』ˉ（＿÷）』ˉ狙×粤×（—÷）∑~~得勿吕◎℃＼‖‖／％∏∏—厂◎■■且吕’～＋＿＝约勺～勿勺凸／』‖＼∏∏·副■■●Ⅲ吕∩丝与沁＝一∑冗∏勺～■】』吕∏□】儿吕徊卯〗吕◎［＿＿甄冗吕勺～◎目℃◎℃由—ˉ））卯∑（／（所以／（熊）的最小正周期是∏.司由正弦函数的性质得÷＋2k丽≤2则＋÷≤于＋2肺’k匡Z’解得÷＋肺…?锨丽』腮匡z所以′（蕴）的单调递增区间是［÷伞肺』芋十肺｜｜k匡z卜［测0｜｜诊断］（］）本题难度适中,主要考查三角恒等变换｀三角函数的性质等知识｛考查运算求解能力’意在让多数考生得分（2）本题若出错,主要是对三角恒等变换公式和三角函数的性质应用不熟考点00解三角形刷小题M［解析］…C＝2c。s2÷ˉl＝2×ˉLˉl＝ˉ÷｀又co爵C＝5‘c2＋Ac2ˉ必2＝l＋25—AB』—÷』“＝砸』故选A2BC·AC2×5［测‖｜｜诊断］本题难度适中｜考查二倍角公式、余弦定理等知识,考查运算求解能力〗意在让部分考生得分.2c［解衍］已知△咽C的圃积为“』誓—瞬』』又s…-÷·b副＂c｀所以÷°』颜nc≡α』芋‘』,整埋可得愚mc-“』器—‘』根搪余弦定理可知…-.』器ˉc凰』所以恿m′-…因为c霍（0』而）』所以C＝÷故选o［刷盲所得］与三角形面积有关的问题主要有两种:—是解三角形求出相关量!利用公式求面积｛二是将面积作为已知条件之—,与正弦定理和余弦定理—起求解三角形中的其他量.解题时主要应用三角形的面积公式s＝十αbsinc’此公式既弓边长的乘积有关｀又与角的三角函数值有关］因此可以与正弦定理和余弦定理综合求解问题在△凰′″中』由『弦定理得揣-…″‘』鼠‖罢-÷』帅D-BC52」手｀则…BD…（45.ˉ」｜≡夸×÷嗜×÷爷a罕］（解祈］由正弦定埋得孟≡题n日…周-÷iM≡6~厅≡2归旱?“＞‖咋｀」≥‘昨｀B为锐甸｀c°.B＝虹万×丁＝7@微信公众号：嗨呀同学答案及解祈｜挝nc二爵in｜…｜＝愚m…B余c。…inB＝卓×乎带＋×罕ˉ乎.…孟谅…器夕浮≡2［测‖｜｜诊断］（1）本题难度较小!考查正弦定理的应用,同角三角函数关系及诱导公式］两角和的正弦公式的应用（2）若错〕反映考生不能正确应用三角函数的知识解决问题!正弦定理应用不熟因为c°霉÷≠0』故.in÷＝÷』鹰此B二60q√3（2）由题设及（1）知△ABC的面积S△ABc≡丁α.由正弦定理得α二滞ˉsm（l20.ˉc｜ˉˉ辽＋ˉLsinC2tanC2°由于△ABC为锐角三角形,故0。＜A＜90。］0。＜C＜90。.由（1）知A＋C＝120°］所以30°＜C＜90。,故＋…2,从而粤＜s…＜亨因此』△…积的取值范圈是（粤』粤）［关键点拨］（1）边角互化必涉及正弦定理｀余弦定理的应用!而在解三角形的过程中,涉及A＋B＋C＝∏时切记要对角的范围进行说明（2｜三角彤面积公式S＝＋…inC＝＋…‘＝÷b鳃iM本题利用已知角选择面积公式s二＋αcsinB』从而将面积范围转化为α与已知角C的关系问题9平［解衍］连霍圆心和内揍r六边形六个顶点』则正六边形是田六个边长为I的等边≡角形组成〕所以单位圆内接正六边形的面积S内＝6×—L×l×1×sin60°＝巫22°［测‖｜｜诊断］本题难度小,主要考查数学传统文化｀圆及三角形面积公式,考查运算求解能力］意在让多数考生得分.｜o罕平［解祈］在△必C巾』取‘C的中点E连攘腿…-［解］（［）往△ABD中』由T弦定理得蒜县I—!≡、』∏‘ˉˉ52一』〃ˉ.≡ˉ～—凹sin▲A由题设知ABAC］得AEˉLBC在Rt△ABE中!AB＝4’BE＝1］。..AE＝√AB2ˉBE2＝~＿√i百,八咖…＝芋』c。s′删二÷在△cBD中』Bc二BD＝2』瓢n么仍D-…删≡罕』＾s△鳃’-＋×2』×乎≡宇由余弦定理得CD2≡BC2＋BD2ˉ2BC·BD.cos▲CBD≡22＋22—2×2×2×（—＋）＝l0…丝BDc＝川＋4—4＝∏∏4√I∏4［测0｜｜诊断］本题难度适中,主要考查正｀余弦函数的定义与禾｜」用余弦定理解三角形］考查转化与化归能力｀运算求解能力,意在让多数考生得分。3sin乙／lDB｜所以sin乙ADB＝迄5］~sin45◎sin乙ADB由题设知,乙仙B＜90.,所以…d皿-√｜＿六ˉ罕（2）由题设及（｜）知』瞳…DC-…仙B-冬在△BCD中,由余弦定理得BC2≡BD2＋DC2-2·BD·DC·cos▲BDC-25十:ˉ2×5×蛔×粤＝25°所以BC＝5。［解］（!｜由题设得吉…n周-壶』即÷…≡I孟可由正弦定理得＋.mCsinB＝3s器故sinB愚inC＝÷（2｜由题设及（」｜得……ˉs…nC＝ˉ＋’即c°s（B令c｜＝—÷所以…＝?』故d＝于田题设得十b碱M二孟』即』c-‘由余弦定理得62＋c2ˉbc≡9,即（b＋c）2—3bc＝9,得b＋c≡门丁.故△ABC的周长为3＋√g了.［测‖｜｜诊断］本题难度适中’主要考查三角形的面积公式、正弦定理与余弦定理＼同角三角函数的基本关系式、三角形的内角和及周长等知识,考查运算求解能力｀推理运算能力｀转化与化归能力］意在让部分考生得分［解］（l｜田题设及A＋B十c＝厕得蓟n月＝8瓢n2÷』故巍nB＝4（1-cosB）ˉ上式两边平方’整理得l7cos2B＝32cosB＋l5＝0!解得cosB≡1（舍去）,或cosB＝旦.17（2｜由c°s‘＝肾得愚mβ＝÷｀故s…＝÷αcsinB＝告“又S△佃c＝2,贝‖α′＝早鱼由余弦定理及α＋c＝6得62＝α2＋c2-2αccosB≡（α＋c）2一2αc（1＋夏题分类集训刷大题l［解］（l）由已知得Sin2B＋Sin2C—sin2A＝sinBsinC］故由正弦定理得62＋C2-α2≡6C。由余弦定理得COSA＝b2＋C2—α2≡l2bC2.因为0。＜A＜l80。!所以A＝60°.（2）由（l）知B≡l20°ˉC,由题设及正弦定理得灯sinA＋＂nu20.ˉc｜二2smc』即粤＋÷°·c＋÷蓟nc＝2smc』可得m.（c带刨.）＝亨由于0.＜c＜」20.,所以咖（c十60.）≡粤』故sinC≡sin（C＋60°-60°）＝sjn（C＋60。）cos60°＿cos（C＋60.）sin60。＝√6＋徊4［关键点拨］（l）利用正弦定理化已知条件等式中的角为边!然后利用余弦定理求得cosA的值,从而求得角A『（2）利用正弦定理化条件中的边为角,然后由三角形内角和定理结合两角和与差的正弦与余弦公式求解2［解］（1）由题设及正弦定理得siMsi＂4÷卫＝sinBsiM≡因为愚inA≠0’所以息inA—芹卫＝sina＝由A＋B十C＝］80.’可得sinA÷旦＝cos亏,B＝～故c°圈÷二2患m旦c°曾旦22.d】■■5问9』微信公众号：嗨呀同学高考必刷题夏题分类集训数学（理）°°s阎）＝36ˉ2×号×（l带）＝4所以b＝2.［测‖｜｜诊断］本题难度适中’主要考查三角形的简单性质｀诱导公式｀二倍角公式｀同角三角函数的基本关系式、余弦定理、三角形的面积公式］考查运算求解能力｀分析问题与解决问题的能力｀函数与方程思想］意在使多数考生得分。o（解］（l）由已知可得蛔M二ˉ何’所以川＝芋在△ABC中』由余弦定埋得28＝4＋‘2ˉ…芋』即c2带2cˉ24＝0』解得c≡＿6（舍去）,或c＝4（2）由题设可得△CAD＝苦’所以△BAD＝△BACˉ△CAD＝÷÷AB.AD.爵in÷＝L故△…面积与△“D的面积的比值为ˉ十“.AD又△ABC的圃积为÷×4×2×sin丝酗C＝2何’所以△ABD的面积为√可.［测‖｜｜诊断］本题难度中等］主要考查三角函数｀余弦定理及三角形中边角关系的综合应用,考查考生运算求解能力’使部分考生得分.7.［解］（l）由已知及正弦定理得,2cosC（sinAcosB＋sinBcos』）＝sinC｛即2cosCsin（A＋B）≡sinC.故2sinCcosC≡sinC。可得c。爵c≡＋』所以c≡÷（2）由已知得』÷…c≡乎又C＝÷』所以αb＝6由已知及余弦定理得,α2＋62—2αbcosC≡7,故α2＋b2≡l3,从而（α＋b）2＝25,所以α＋6＝5.所以△ABC的周长为5＋行。［测‖｜｜诊断］本题难度小,主要考查禾｜」用正弦定理＼余弦定理＼三角函数的和角公式及方程思想解决问题‖学生不易出错a［解］（｜｜s…″＝÷姻.ADsin么B川D｜S△川D‘＝÷AC.ADSin乙CAD＝因为S△ABD＝2S△ADC,▲BAD＝△G4D,所以AB＝2AC.｜2｜…＝÷得爵m阀-÷由正弦定理得鼠inc-÷鼠mB二碧在△ABC中!▲B是钝角,所以乙C为锐角所以…＝√｜＿雨2C＝片所以爵in｜‘ˉC｜＝鼠inBc。.Cˉ·°…inC-罕［关键点拨］（1）合理利用余弦定理建立关于6与c的方程求解;（2）利用正弦定理先求出sinC,再根据＂大边对大角＂确定角C的范围］进而求出角C的余弦值,再结合两角差的正弦公式求解｜o［解｜（l｜在△姻C中｀由正弦定理志二志｀得b咖c＝…｀又由3csinB＝4αsinC‖得3bsinC≡4αsinC!即36＝4α.又因为b＋c≡2α得到0二j侧’‘＝÷α由余弦定理可得c。愚B＝α2＋c』ˉb2吕＝2αC］—~~〗αⅧ—’∑α斗—’＋∑α42侧÷α（2｜由（｜）可得瓢nβ-√」ˉc瞻搁-午,从而翻n2B-2.…圃≡罕』…-c°霞』Bˉ…≡—78〕~—~~广（酬＋÷）-鼠h…÷…m÷＿宁×÷—故sinγ＋纺◎晒］~~］—】×丁—＄［关键点拨］（l）根据正弦定理及b＋c＝2α〕可得α‖b‖c之间的关系｛再使用余弦定理求解｝（2）根据（l）和同角三角函数关系求出sinB］再根据倍角公式求出sin2B］cos2B,最后利用正弦的和角公式即可求解［刷盲所得］（l）在含有α〕b〕c或sinA,sinB］sinC的齐次等式中使用正弦定理可以实现边角关系的互化;（2）使用余弦定理求角的余弦值时只需已知三边的比例关系即可｜M解］（｜）在△ABc中…B＝ˉ十’旧匡（苦,丽）』4√丁...sinB＝√1ˉcos2B＝丁.望『弦定理得六-志≡志-六,…～亭7?B匡（÷｀丽）』＾A匡（0′÷）｀△A＝于（2）在△ABC中〕...sinC＝sin（A＋B）＝sinAcosB＋cosAsinB＝粤×（ˉ＋）牛十×平ˉ誓如图所示］在△ABC中｛B］—∑~~“—“~~…—…由弦六正得理正可（2）因为S△ABD:S△ADc≡BD:DC,所以BD＝√豆.在△ABD和△ADC中〕由余弦定理知AB2＝AD2＋BD2-2AD·BDcos乙ADB,AC2＝AD2＋DC2-2AD.DCcos兰ADC。故AB2＋2AC2＝MD2＋BD2＋2DC2＝6。由（1）知AB＝2AC,所以AC＝l.［测‖｜｜诊断］本题难度偏易’只要熟练掌握解三角形常用的三组公式（正弦定理、余弦定理｀面积公式）］便可抓住关键‖解决问题,此题不应失分.9.［解］（1）由余弦定理b2≡α2＋c2-2αccosB,得b2＝32＋c2—2×3×°×（—÷）因为0＝′＋2’所以｜叶2｜2二32＋c2ˉ2×3ב×（ˉ÷）,解得c二5所以b＝饥C48颧nc≡孟』＾胸≡Bc.瓢nC-7×窖≡乎』息Ac边上的高为李凸［关键点拨］先由cosB求出sjnB,再利用正弦定理求出乙A［刷盲所得］解三角形问题的通法是根据条件应用正弦定理或余弦定理逐—求出二角形的边和角当然条件需要转化‖转化的过程往@微信公众号：嗨呀同学答案及解析｀a［解］（］）在△姐C中』因为△汕＝60.』c＝÷α』所以由正弦定理得sinC＝C邑1旦4＝二×互＝巫α7214（2）因为α二7’所以‘＝÷×7＝3由余弦定理α2＝萨＋c2＿2bcc赡A,′得72＝』2＋32ˉ2b×3×÷』解得6≡8或0≡—5（舍卜所以△姻c的圃积s-＋0“jM÷×8×3×粤≡硒［测‖｜｜诊断］（1）本题难度适中!主要考查正弦定理｀余弦定理与三角形的面积0考查运算求解能力｀转化与化归能力、推理能力‖意在让多数考生得分.（2）本题若错,可能是对公式掌握不牢,推理过程不严密造成的.｜4［解］（l）任△川BC中』因为α＞h』故由smB＝÷』可得c。sB二÷由已知及余弦定理〕得b2≡α2＋c2ˉ2αccosB＝l3,所以6＝√I丁.由正弦定理盂二志』得爵m川＝竿二3但l3.所以b的值为佰』…的值为半~（2）由（1）及α＜c,得cosA＝2丛旦l3,所以愚in2d＝2sin…儿＝苦’c。s2A二」ˉ2爵in愈A＝—二13°故愚in（2船子）-息m2…子…2蛔n于-票［测0｜｜诊断］（l）本题难度中,考查同角三角函数的基本关系｀二倍角的正弦、余弦公式｀两角和的正弦公式以及正弦定理｀余弦定理解≡角形等相关知识’意在让部分考生得分.（2）本题若出错,可能是公式应用错误或者运算错误往是根据三角函数的变换公式本题有多种解法。｜2［解］（］）在△咽c中』由于弦定理点＝志,可得b…＝α爵inB’又由bsiM＝…（Bˉ÷）』得α愚inB二…（B＿÷）叉α＞0』所以詹inB二co·（‘ˉ÷）’可得!凰nB二扛又因为B虐（0’丽）’可得B＝÷（2）在△ABC中’由余弦定理及α＝2’‘＝3’B＝÷’有b2＝α2＋c2—2αccosB＝7!故b＝行.由h瓤nA＝…（圆—÷）』可得瓢M＝互打勺因为α＜c’故cOsA＝ˉ二.行因此咖2删～2愚i＂…A≡平』…A≡…ˉ｜二上7。所以』sin（2AˉB）＝sin2AcosBˉcos2』sinB＝巫×上ˉˉL×727何蛔＿＝—214［关键点拨］（1）禾｜」用正弦定理将边化角,再利用两角差的余弦公式,即可求出角B的大小;（2）利用余弦定理］求出边b;代入已知三角等式,求出sinA〗判断角A的大小,再利用同角三角函数的基本关系］求出cosA｝利用二倍角的正弦与余弦公式,求出sin2A和cos2A,再利用两角差的正弦公式,求出sin（2A—B）的值［刷育所得］求解此类问题的突破□是优先判断所给的关系式的特点,如本题,单刀直入地利用正弦定理‖即可转化为角的三角函数值,迅速求出角B的大小;最后禾｜」用三角公式与余弦定理求角的三角函数值］解题思路十分‖Ⅲ当专题五平面向量基本定理平面向量…／ˉ蛔-…（′—粤）,＿÷考点们平面向量的线性运算｀平刷小题-↑.∧［解析］如图,由E为AD的中点』得苑＝＋m‖〉当瓣-0’γ≡粤时』动（函元）的值最小,最小值为ˉ÷［刷盲所得］利用平面向量的数量积求解问题时!若禾｜」用常规方法］不但要选择合适的基底,运用恰当的平面向量的线性运算〕还要求复杂的数量积运算能力,才能正确求解通过建立平面直角坐标系’规避了上述问题,把问题转化为代数运算〕简单明了］正确率高［测‖｜｜诊断］（1）本题难度较大!主要考查平面向量的线性运算｀平面向量的坐标运算｀平面向量的数量积｀多元函数的最值求解,考查转化与化归能力｀函数与方程思想｀数形结合思想｀运算求解能力‖意在使少部分考生得分。（2）本题若错］反映了考生缺少几何问题代数化的思想方法!对知识的综合运用能力欠佳,平时应看重培养与加强4.∧［解析］...而＝3而’...肪ˉ硒＝3（丽ˉ肪）.整理得3Ⅱ万二ˉ磁4肪’＾肪＝—÷硒＋÷肪’选A［关键点拨］先观察选项］把题干中所给向量转化为选项中的向量.［刷百所得］将已知向量等式中的向量进行转化时］对于选择题要向选项靠拢｜对于填空｀解答题!要向选中的基底靠拢向量的转化还可以考虑拆分’如把3萌拆分成2丽＋耐.另外』如果题目中有明显的垂直线段,还可以考虑用坐标法.［测‖｜｜诊断］本题难度较易,主要考查向量的线性运算’考查学生的运算能力·夏题分类集训A丽＝丽ˉ菇＝范ˉ÷I直～BDDL又?D为BC的中点!＾而二邦徘钡硒＝芯—掘ˉ知二瓢ˉ颖~故选A°2B［解析］α°（2α-b）＝2α2-α°b＝2｜〃｜2ˉα.b≡2×l＋l≡3,故选B.［刷百所得］向量的平方等于模的平方!即α2＝｜α｜2.［测‖｜｜诊断］本题难度较小’考查向量的多项式运算、数量积运算,考查运算能力〗意在让大部分考生得分。aB［解析］以BC的中点为坐标原点’以BC所在直线为z轴,建立如图所示的平面直角坐标系.设P（匆,γ）’贝｜网＝（ˉ“’何ˉγ）’则雨＋淀＝（ˉ2卯’ˉ2y）’...煎.（而＋元）＝2厕2＋（yˉ√3）.2γ＝B（＿1’0）｜O.℃（1’0）”微信公众号：嗨呀同学高考必刷题夏题分类集训数学（理）类讨论｛然后分析人l‖∧2］∧3,入4的取值求其最值.3［解析］以点O为坐标原点,OA所在直线为嘶轴建立平面直角7坐标系』贝M（｜,0｜由…＝7』α巨（0』子）』得…＝盂』…＝主则靴三｜而｜…-灯×盂-÷』γ燃-｜花｜…-抠×士≡÷』即‘（÷』÷）僻°鼠（….｜～士×方—孟信-÷』.m（….｜-击×方壶古＿÷,帅′-｜丽｜c赡｜蜒＋45.｜＝ˉ÷』’儡二｜而｜.sin（…5。｜＝÷』即B（ˉ÷』÷）l35｛手y饿仁则由而＝m丽＋n丽可得则铡争＂＝÷＋÷＝凯!快解］由｜…-7,α.（0』I）』得…-主｀憾,.“二主,则·硼鼠｜….｜三主鳃方＿孟烫方＝÷丽而二］×抠×粤二｜』丽而三｜×抠腻主-÷』丽丽二］×』×（ˉ÷）＝＿÷由而＝厕硕十＂而’得而.丽＝厕顽2＋〃硒.丽』即了＝砸ˉ÷″o;由而二咖丽枷丽得而.丽＝厕丽.丽＋15仁了帅辩＝″游』即1＝—÷哪＋″。由o@联立解得÷÷＝乳［关键点拨］利用向量的坐标运算或利用数量积的运算性质建立方程组是解题的关键［刷盲所得］平面向量数量积的运算—般有两种解法,—是利用向量数量积的坐标运算’二是利用向量数量积的定义和运算′｜｀生质求解要根据实际信况灵活选择方法。［测‖｜｜诊断］（1）本题难度较大〕主要考查平面向量的数量积运算,考查考生的逻辑推理能力和运算求解能力’意在让部分考生得分.（2）本题若错,可能是对于数量积的运算性质掌握不牢,运算错误造成的考点‖2平面向量的数量积及应用刷小题｜5.c［解析］本题考查充分条件与必要条件的判断及向量的运算.由点A’B』C不共线硒与肪的夹角为锐角,得硒.丽＞0.又｜丽＋0O3肪｜＝√磕2＋花2＋2丽.而』｜而｜＝｜茄ˉ磕｜＝√肪2＋硒2ˉ2硒.肪’＾｜萌＋花｜＞｜玩｜又＄.上述过程可逆’八＂硒与I古的夹角为锐角』′是＂｜萌＋肪｜＞｜死｜”的充分必要条件［关键点拨］（l）解答本题的关键是将向量夹角为锐角转化为向量数量积大干0’将｜荫＋肪｜＞｜而｜转化为｜〗商＋花｜＞｜肪ˉ萌｜.（2）若p＝q〕则p是q的充分条件‖若q＝p!则p是q的必要条件;若p●q!则p是q的充要条件6÷［解析］2“＋b＝2（l,2）＋（2,ˉ2）＝（4’2）’又｀℃〃（2“＋b）,么...4∧＿2×l＝0,...入＝丁.［测‖｜｜诊断］本题难度′｜｀!考查向量平行的坐标表示及坐标运算’意在使大多数考生得分.7÷［解析］?M＋b与o十2b平行’八M＋b＝』（α＋2b）＝＾｛l了」l』』＾』二入-÷［关键点拨］本题由α｜b不平行〕可得α＋2b≠0,又（入α＋b）／／／（α＋2b）!可得M＋b≡t（α＋2b）’从而求得入的值.［测‖｜｜诊断］本题难度较易,
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考查明确,易得分.8。ˉl［解析］本题考查平面向量的运算D如图’AD＝5,AB＝2／可!乙DAB≡30°’因为AD／／／BC’所以乙ABE≡兰DAB＝30°。因为AE＝BE’所以乙酗E＝A乙ABE＝30。。过点E作EF上AB｛交AB于5／0。FC＼Qg〈√BE点F,则AF＝BF＝√可’EF＝1,BE＝AE＝2°丽.蓝＝（而ˉ萌）.肪＝丽.眩ˉ硒·蔽＝｜丽｜｜蔽｜cos60°ˉ｜硒｜｜硒｜coS30。＝5×2×＋ˉ狙×2×互＝ˉl2［关键点拨］本题主要利用△ABE为等腰三角形以及AD／／／BC求解902／百［解析］本题考查通过建系将向量模的计算转化为坐标运算’以及分类讨论思想建立如图所示的平面直角坐标系’贝｜」A（0!0）!B（1,0）』C（1,l）,D（0,1）。—≥＝-＋AB＝（1’0）,BC＝（0’1）’而＝（ˉl’0）’丽＝（0』削山lBxˉ1）’肪＝（1』l）’丽＝（ˉ1’1）’...入l】茵＋入2死＋入3而＋几4DA＋--〉---≥--》∧5AC＋入6BD≡（∧l＝入3＋∧5-入6〕∧2-入4＋入5＋入6）.贝｜」S＝ˉ→-—〉｜入lAB＋入2BC＋入3而＋人4顽＋入5肪＋入6丽｜＝师‖川｀翘｜T.B［解析］本题考查平面向量的数量积运算·设向呈α与b的夹角为0］则由（αˉb）ˉLb!得（α—b）·b＝α·b—b2＝｜α｜｜b｜COS0ˉ｜b｜2＝2｜b｜2…—｜b｜2＝0,所以…＝十』所以0＝÷’故选R［关键点拨］解答本题的关键是把（α-b）上b转化为（α＿b）.b＝0,然后利用向量的数量积运算法则求解［刷百所得］平面向量数呈积的运算主要涉及两种公式（1）夹角型计算公式α°b≡｜α｜｜b｜cos0（0为α,b的夹角）｜（2）坐标型计算公式α。b＝兔l匆2＋γlγ2｛其中α＝（纯l］γl）’b＝（鳃2］y2）.求较复杂的向量数量积的运算时通常要注意结合相关的运算律或公式化简进行2D［解析］α＋b≡（4,mˉ2）,。..（α＋b）ˉLb卯.。（α＋b）°b≡0!即4×3＋（m-2）×（-2）＝0!解得m≡8.故选D.√（入lˉ入3＋入5—入6）2＋（入2ˉ入4＋入5＋入6）2入i巨｛ˉ1,l｝,j≡1］2,3］4,5,6］...入5-入6＝0或2或—2（1）当人5-入6＝0时’∧5＋∧6＝±2.当入l—入3＝0‖人2＿入4＝干2时,Smi＂＝0;当∧lˉ入3≡±2,入2ˉ入4≡±2时,Smox＝√22＋42＝2佰.（2）当入5＿入6≡2时,∧5＋入6＝0。当入l—入］＝ˉ2’入2—入4＝0时!Smn＝0;当入!ˉ∧3＝2’入2—∧4＝±2时』Sm鳃＝√耳豆ˉ豆可＝2√百.（3）同理’当入5-入6≡＿2时,Smm＝0,Sm皿≡2佰.综上知原式的最小值为0,最大值为2占.［关键点拨］用坐标表示所求向量模长后’注意至｜」两个平方式子中均有入5’入6,且入5‖入6巨｛＿1,1｝!可根据入5＋∧6或入5—入6的取值分@微信公众号：嗨呀同学答案及解析.。。A在射线OA上运动’B在圆C上运动,...A,B两点间距离的最小值转化为圆心C至｜」射线OA距离的最小值减去半径厂,即当G4上OA时,｜αˉb｜最小,此时｜创｜＝｜OC｜sin60。＝√可,.。.｜αˉb｜m＂＝｜CA｜ˉ｜CB｜＝√可ˉl,故选A.A［测0｜｜诊断］本题难度小,主要考查平面向量的线性运算＼数量积的坐标表示,熟练掌握公式—般不会出错.属于送分题.a∧［解析］由题得｜丽｜＝｜豌｜＝l》煎.丽＝互＋互＝互442!＾…ABc≡卫.巫ˉ逗｜B』｜°｜BC｜2又..乙ABC巨［0。,l80°］,.。.乙ABC≡30。.故选A。［关键点拨］△ABC＝〈虱而〉’借助向量数量积可求角｜刷富所得］若鹰二｜撼!』γ｜）』h＝｜鳃2』她）,则c。s（α』h〉＝｜:｜.｜;｜吕＝扁满丽,甸……主婆…求角…』判,）｜~~~~~~｜｜~O方法二:由已知得b2ˉ4G°b＋3e2＝0］.。.（b＝3e）上（b-e）°如图’作向量而＝e’丽二2e,而＝3e,（b-3e）.（b-e）≡0〗平行与垂直等.［测‖｜｜诊断］（l）本题难度较小,考查向量坐标运算和向量数量积应用（2）本题若失分〗主要是运算出错和对向量知识掌握不牢4∧［解析］方法:以点A为原点〕以∧B所在的直线为鳃轴』建立如图（l）所示的平面直角坐标系〕依题意得,A（0』0）｀B（l,0）.因为』D-」｀△删D≡」20.》所以D（ˉ÷』粤）且直线cD酌倾斜角为30.』所以直线cD的方程为γˉ粤≡粤（叶＋）』即》≡粤（叶2‖｛!麦』群』｜隐｛）二揩删……「由因为点‘为边cD上的动点』故可设E（』』粤（』带2〕）』1ˉ丁≤〖≤1,所…二（』』粤（』带2｜）』而二（』ˉ!』粤（′带2｜）所…硫≡』（』ˉ1｜＋｜亨（』带2｜｜』二÷（』十÷）喘』所以当′＝ˉ÷时』菇.琉取最小值』为器』故选A~~D丽＝b’则而＝bˉe’丽＝b—3e’...而上丽’.,.B是以CD为直径的圆M上的动点作向呈硕＝“,由已知得△AOD＝于’｜OM｜≡2］.｀点″到直线OA的距离Ⅲ＝｜OM｜Sin二＝√可.9。..｜α—b｜＝｜AB｜‖且A‖B均为动点!..当A』B,M共线且4MˉLo4时’｜AB｜最／｜｀］此时｜AB｜mn≡旧ˉ1.故选A［关键点拨］解决本题的关键是将向量问题转化为解析几何问题.将求｜α-b｜的最小值转化为求圆上的点到射线距离的最小值［测‖｜｜诊断］（1）本题难度较大』考查数形结合和转化的数学思想方法的综合运用!及向量的运算,意在让少数考生得分.（2）若错,可能是数学思想方法的运用不够熟练!对求直线和圆上的点之间的距离的最小值的方法不熟悉所致6.C［解析］。。.△AOB＝△COD＞90。,么BOC＜90。!。。.cos乙AOB≡cos△COD＜0’cos乙BOC＞0’又OA＜OC,OB＜OD,.。。OC°OD°—〉cos乙COD＜OA·OB。cos乙AOB＜0＜OB.OC.cos乙BOC,即OC°而＜面.而＜0＜丽.而’即呜＜Il＜h.［测‖‖诊断］本题难度大〗主要考查平面向量的数量积与平面图形的性质,考查数形结合思想｀运算求解能力,意在让部分考生得分。勺7÷［解析］本题考查利用向量的数量积求夹角的余弦值依题知｜彻｜≡｜b｜＝］》且α°b≡0·...C＝2αˉ√百b,.·.α·c≡α。（2α＿旧b）＝2α2ˉ√歹α.b＝2’｜c｜＝√（2αˉ√5b）2｜＝√4α2ˉ4√百血.b＋5b2＝′｀α·C2≡≡—［快解］依题意设α≡（0,1）’b＝（1’0）’。..c＝（ˉ石,2）,。..α·c＝2又｜〃｜-‖‖厂‖-q。巾∩c／〃尸＼＝α·C≡2三≡小‖厂γ司…（碱D′4FB图（2）∏｜｜硒.琉＝丽冗宁↑一1｜O（l）］’～图（l）图（2）方法二;如图（2）取AB的中点F』连接EF’则芯.蓝＝丽.丽＝（丽十雨）.（而—丽）＝可2—丽2≡丽2ˉ÷可知当且仅当｜丽｜最′｜｀时』肪.而取最小值’分别过F』B作CD的垂线’垂足分别为H］G,当点E与H重合时!EF取至｜」最小值,易知EF为梯形DABC的中位线』由已知得｜Bc｜二÷』MD｜＝l,则哑｜＝＋｜｜Bc｜＋｜仙｜｜＝÷疵.壶的最小值为÷［关键点拨］本题命题特点是以平面四边形为背景｛考查平面向量的数量积的概念』只是弓｜进动点而已,解题关键是把几何图形放在适当的平面直角坐标系中｛给有关向呈赋予具体坐标,即将几何问题坐标化＼符号化｀数量化］从而将推理转化为运算,利用平面向量数量积的坐标表示与配方法］即可轻松求出最值。5.∧［解析］方法—:.fb2-4e·b＋3≡0,。。.b2ˉ4C.b＋（2e）2＝l〗→—≥—-》...｜bˉ2e｜二1.设而＝2e’丽＝b』则｜OB—OC｜＝｜CB｜＝l.以O点为原点’而方向为“轴正方向建立平面直角坐标系如图所示,则易知点B在以点C为圆心!l为半径的圆上.—》—步—》设∏i＝α,贝‖乙AOC＝60°｀如图』｜αˉb｜＝｜OAˉOB｜＝｜AB｜.8。2何［解析］｜α＋2b｜2＝（α＋2b）2≡｜α｜2＋2｜α｜.｜2b｜.cos创。＋（2｜b｜）』＝22十2×2×2×÷十22＝4十4十4＝｜2』＾…b｜＝C｀／ir＝2／丁.［快解］如图,α＋2b＝〗万...｀｜肪｜＝｜α｜＝2’-→｜AB｜＝｜2b｜＝2,▲αB＝d）◎,Aˉ—》~～’。｜α＋2b｜≡｜AD｜＝2√3.［测‖｜｜诊断］本题难度小,主要考查向量的［测‖｜｜诊断］本题难度小,主要考查向量的DB夹角、向量的模!向量的数量积等知识,考查数形结合思想｀运算求解能力,意在让多数考生得分ˉ9。-2［解析］.。。α≡（m,1）,b＝（l,2）,.。.α＋b＝（肌＋1,3）’｜α｜2＝加2＋1,｜b｜2≡5,｜α＋b｜2＝（m＋l）2＋9.。。.｜α＋b｜2≡｜α｜2＋｜b｜2,夏题分类集‖‖@微信公众号：嗨呀同学高考必刷题夏题分类集训数学（理）...（′′l＋1）2＋9≡′n2＋1＋5,。ˉ。m≡ˉ2。［快解］...｜α＋b｜2＝｜α｜2＋｜b｜2,...2α·b＝0,即α.b＝0。又.。α≡（m’l）,b≡（1,2）’.。。α。b＝m＋2＝0,.。.加＝-2。［关键点拨］本题主要根据｜α＋b｜2≡｜α｜2＋｜b｜2得至｜」2α.b＝0］即α·b≡0,从而根据平面向量数量积的坐标运算建立m的方程求解［测‖｜｜诊断］本题难度′｜｀〕主要考查平面向量数量积的坐标运算］知识点简单‖运算量较／｜｀’意在送分.‖O√了［解析］本题考查向量的坐标运算.方法—;由BE＝2酗锤＝鄂’则而＝肪ˉ磕二肪ˉ掘~因为D是Bc的中点』所以Ⅺ方＝÷（蕊十肪）凸由』』O,D三点共线可得』存在实数入’使得丽＝人而＝÷儿（硒＋花｜二＋入.3脑＋÷∧元二;入丽＋＋入茄～～因为E’0’c三点共线’所以÷∧＋÷入＝｜’解得入＝＋～△凸侧‖丽≡ˉL丽＋＋肪』则丽·肪ˉ6而.而＝丽.丽—46（知＋叙）.（肪—＋丽）＝＋硒』ˉ上肪2＝0』故2ABˉ丽≡√3.3』何川二÷（入—3）十李×何入-÷入ˉ5≡4』则入≡÷［刷盲所得］灵活应用基底法｀坐标法求向量的数量积.［测训诊断］（］）本题难度较大’主要考查平面向量数量积运算］考查考生的运算求解能力〕意在让少部分考生得分.（2）本题若错可能是运算错误造成的.↑2亨［解祈］…』是互相垂直的单偷向量』…‘』～α设α＝何e｜ˉe2,则α2＝（徊elˉe2）2＝3e｝ˉ2徊el.e2＋e;二4.ˉ..｜α｜＝2,设b≡el＋入c2,则｜b｜2＝e｝＋2入cl。e2＋入2e§＝入2＋L·.。｜b｜＝√Iˉ下F.。..α·b≡（√可clˉe2）·（el＋∧e2）＝何—入,α,b…为铆.…刨.～晶≡焉×』～÷叭～亨［关键点拨］根据,厕蔚〈侧』励〉＝｜:｜.｜;｜』分别计算｜侧｜’｜b｜及‘.‘建立关于入的方程］求儿［刷盲所得］若α＝mc!＋″c2’则α2＝m2e｝＋2m″e｜.c2＋＂2e;.［测‖｜｜诊断］（l）本题难度中庄要考查向量数量积、向量夹角的计算｀单位向量的理解,两向量垂直条件的应用等知识］考查运算求解能力｀分析解决问题的能力以及方程思想等〗意在让多数考生得分.（2）本题易错之处是不能正确使用向量数量积运算律求｜α｜,｜b｜及α°b的值或建立关于人的方程后,求解入不正确］3。42／百［解析］已知｜α｜≡l,｜b｜≡2,则（｜α＋b｜＋｜αˉb｜）2＝2（α2＋b2）＋2｜α＋b｜｜αˉb｜＝l0＋2√α2＋b2＋2α。b。√α2＋b2ˉ2α。b＝10＋2√25ˉ4（α.b）2.由｜α｜≡1,｜b｜≡2,得ˉ2≤α·b≤2,贝｜｜（α·b）2匡［0,4］’所以（｜α＋b｜＋｜α—b｜）2匡［16’20］,所以｜α＋b｜＋｜αˉb｜巨［4’2√百］〕所以｜α＋b＋｜αˉb｜的最小值是4’最大值是2占.［关键点拨］｜α｜2≡α2］由此知求向量的模可先平方’注意（α·b）2≠α2·b2°［测‖｜｜诊断］（l）本题难度适中!主要考查平面向量的模及数量积运算、取值范围问题’考查运算求解能力、转化与化归能力’意在让部分考生得分（2）本题若出错］主要是不熟悉问题的转化思路—向量的模转化为先平方,或计算出错｜4÷［解析］不妨令′.‘≥0’″.‘≥0’对任意的单位向量‘,均有＝｜α·e｜＋｜b·e｜≤伍,即α·e＋b·c≤√6,即（α＋b）。c≤佰成立...α＋b与e同向时等号成立,...｜α＋b｜≤厄.··｜α｜2＋｜b｜2＋2α。b≤6?｜α｜＝｜’｜′｜＝2’八′.b≤÷』故°.b的最大值为÷［快解｝..｜（α＋b）.c｜≤｜α·e｜＋｜b.e｜≤√6’。.。｜〃＋b｜≤佰.平方得｜忽｜2＋｜b｜2＋2′.b≤6』＾倒.b≤＋』即°.』的最大值为÷［关键点拨］本题关键是如何将｜α·e｜＋｜b·e｜≤拓进行转化,由绝对值的三角不等式｜α＋b｜≤｜α｜＋｜6｜得!｜α。e｜＋｜b°e｜≥｜α°C＋b。e｜≡｜（α＋b）°e｜］从而解决问题·［测‖｜｜诊断］本题难度大’主要考查平面向量数量积及不等式’易因为不等式转化弄不清失分.方法二:以点D为坐标原点〕BC所在的直线为m轴建立平面直角坐标系设B（-α’0）’C（α］0）,A（b,c）0α＞0,C＞0,由砸＝2酗得E（午』等）’则宣线｀甲／／BDCˉ觅叫!y＝÷鳃,直线CE;γ＝亡面（鳃ˉα）联立解得O（÷』÷）』则】茵.肪＝b2＋c2ˉ“』』萌.而＝b』令c÷—丝….花＝6丽.茄得』』＋c2ˉα2＝2（脐个c2ˉ2α‖｜』化简得4倒b-』』…狈｜器ˉ√储｜;非:;-懦-位Ⅷ÷（解析］而＝脯＋而二硒÷茄＝芯带;｜肪ˉ萌）＝掘＋飘…丽-3×2腻＋-3』则而丽-（掘＋郭）｛＿丽襟入〗古｜～—＋滴』＋（十川—÷赋花＋÷儿可荐＝3＋3（＋∧＿÷）÷入叫＝号∧ˉ5＝4』则入＝舌［快解］以点A为坐标原点］AB所在直线为匆轴建立平面直角坐标系』厕｜｜脚（0,0）,‘（』』0｜』c（｜』何｜』由丽≡2而得″（÷』竿）’由÷,乎）.（入ˉ′（I商＝入肪＿硒得E（入ˉ3’√可入）’则而.硒＝专题六数列｜;;二獭昔＂腮糯｛;＿i厂』则所以α厕≡一3＋（′l-1）×2＝2几-5,｜考点‖3等差数列｀等比数列｜刷小题｜l∧［解析］本题考查等差数歹‖的通项公式和前″项和公式设等差数歹｜」｛α厕｝的首项为α］,公差为Ⅲ,‖@微信公众号：嗨呀同学~答案及解祈Sn≡则（-3＋2′l-5）＝n2-4Ⅶ』故选A.2［快解］因为α5＝5,S5＝S4＋α5＝5≡5α3］所以α3≡L令″≡3〕贝｜」可验证A正确,B错误｛令″＝5’贝｜」可验证C〕D错误,故选A.2.c［解析］本题考查等比数歹｜」通项公式及前川项和公式设S腮为等比数歹｜｛α测｝的前n项和,且公比为q（q＞0）...·S4＝l5.又..。｛α网｝各项均为正数］且α5≡3α3＋4αl‖。..αlq4≡3αlq2＋4αl~...αl≠0’...q4—3q2—4＝0!解得q2＝4!.。.q＝2.α1（1＿q4）≡l5,...l5αl＝l5’..。αl≡1。方法:。..S4＝l-q..皿3＝αlq2≡4.故选C.α3α3方法二:.画.αl＋α2＋α3＋α4≡15,,.、ˉ丁＋—＋α3＋α3q≡15’qq＾丁带丁…2α｀＝｜5’即￥α』＝」5』＾α』＝4故选oα3α3［关键点拨］解答本题的关键是利用已知等式求出等比数歹‖的公比,再根据数歹｜」的前4项和求出αl.3.B［解析］设等差数歹‖｛α厕｝的公差为d,则α″＝αl＋（″ˉ1）d＝2＋（″＝1）α。..。S3≡3αl＋M≡6＋M］S2＝2α1＋d≡4＋〃］S4＝4αl＋6d＝8＋6〃.由题知3S3＝S2＋S4!。..3（6＋M）＝4＋d＋8＋6〃.解得d＝—3］...α5＝α｜＋4〃＝2-12＝—10ˉ故选B.［快解］设等差数列｛αn｝的公差为d,由已知得S3＋S3ˉS2≡S4ˉS3,即S3＋α3＝α4’·,.S3＝α4-α3＝Ⅲ’..°3αl＋3d≡d.。ˉ。αl≡2,.。.d＝-3,,..α5＝αl＋4d≡-10。故选B.4·c［解析］设等差数列｛α厕｝的首项为α］〕公差为d,侧｜由｛獭厂酗｀停｛::｜照窟§』解得｛;口「‰故选C.［测训诊断］本题难度适中,主要考查等差数歹‖的通项公式与前n项和,考查运算求解能力〕意在让部分考生得分.α∏5.B［解析］设第″层有灯α″盏（1≤n≤7,n巨N＊）.由题意得—＝α∏-1÷（腮≥2）,即数列｛α雕｝是以÷为公比的等比数列旦α］＋α2十…＋＝全4d）≡27,·ˉ。αl＋4〃≡3.又αl0＝αl＋9〃＝8,故αl≡-1,〃＝1,..α1＂＝αl＋99d＝98.故选C.［快解］设等差数歹‖｛α厕｝的首项为αl,公差为〃,贝」S9＝9αl＋36α＝9｜°｜十4d｜＝9侧‘＝27》…‘＝凯又′α＂＝8肝｀d～硒↑;≡:’＝l』.。.αl＂＝α5＋95d≡98.故选Cˉ［关键点拨］本题的关键在于利用等差数歹‖的前9项和与αl0的值』求出公差和首项［测‖｜｜诊断］本题难度′」｀］主要考查等差数歹‖通项公式和前n项和公式!意在让学生得分8.B（解析］.。。αl＋α3＋α5＝αl（1＋q2＋q4）＝3·（l＋q2＋q4）＝2l,·.°q4＋q2-6＝0°,°°q2＞0］°°.q2＝2·。。.α3＋α5＋α7≡（αl＋α3＋α5）。q2＝2l×2＝42。［刷盲所得］对于等差数歹‖、等比数歹‖的运算题］—要合理运用它们的性质,二要注意运算技巧］这样才能既快又准.［测‖｜｜诊断］本题较小〕是对等比数列最基本运算的考查］本题易得至｜」关于q2的—元二次方程解出q2后,合理利用α3＋α5＋α7＝q2（αl＋α3＋α5）!能起至｜」事半功倍的效果9.D［解析］十三个单音的频率成等比数歹‖』设为｛α厕｝,其公比为扼,αl＝／』＾α8＝／.（l汇）γ＝↓;／面V,故选n［关键点拨］本题的主要信息是十三个单音的频率成等比数列』大段的文字只是背景’与题目计算无关［测‖｜｜诊断］（l）本题难度中,主要考查等比数歹‖的通项公式的应用’考查考生的信息处理能力。（2）本题不应错］若错,可能是题干稍长｜考生的处理能力稍弱,找不出主要信息‖0.B［解析］设公比为q,..。y＝ln勿在（l’0）处的切线为γ＝鲍ˉ］,..。易知当z＞0时,lnz≤厕—l＜匆.当q＞0时］.。.αl＞1］..。α2＞0｛α3＞0,α4＞0,。。.αl＋α2＋α3＋α4＞αl＋α2＋α3＞ln（αl＋α2＋α3）’不台题意｛当q≡—1时］αl＋α2＋α3＋α4＝0,αl＋α2＋α3＝αl＞1］。.。ln（αl＋α2＋α3）＞αl＋α2＋α3＋α4＝0,不合题意;当q＜ˉ1时］αl＋α2＋α3＋α4≡αl（1＋q＋q2＋q3）＝αl［（1＋q）＋q2（1＋q）］＝αl（l＋q）（1＋q2）＜0,αl＋α2＋α3＝αl（1＋q＋q2）.?g』＋『＋l＝（q带＋）2＋÷＞‖』＾“｜＋α2＋…｜＞l』...ln（αl＋α2＋α3）＞ln1≡0’不合题意综上可知,ˉ1＜0＜0,此时〕α3-αl≡αl（q2-1）＜0,...α3＜αl,α4-α2＝αlq-αlq＝αl9（q2-1）＞0］...α即＞α2.故选B.3［刷盲所得］常用的几个重要不等式:Osin匆＜氮＜tan苑,鳃巨（0』÷）@l…惩ˉ1….（0』＋睡｜｜oln（“＋1｜….（-1’＋切）;@e鳃≥鲸＋1,勿匡R［测训诊断］（1）本题难度较大］考查等比数列的通项公式应用及分类讨论的数学思想方法.（2）若错’反映了学生综合运用数学知识和数学思想方法解决问题的能力不够.＂导（解析］本题考查等比数列的前″项和方法—;设等比数列~】×［l—（＋）,｜l——L2αl＝3刚』解得α｜＝l鲍』α’…（＋）·＝3』‖日队］β〕~~丁α即塔的顶层共有3盏灯.故选B。［关键点拨］把题目中的文字叙述转化为数学表达式是解决本题的关键［测训诊断］（1）本题难度较小,主要考查等比数歹｜」的定义!等比数歹｜」的通项公式〕意在使多数考生得分。（2）本题不应错〗若错可能是对＂顶层＂的理解出错所致6。∧［解析］方法—:令首项为αl］公差为d（d≠0）.由题意得α;≡α2,α6’..。（αl＋2d）2≡（αl＋〃）.（αl＋5〃）』即α｝＋4αlα＋4d2≡α｝＋6αld＋5〃2’.。。α≡ˉ2αl＝ˉ2×1＝ˉ2.＾s‘＝6α｜＋竿d＝6×［刊5×（—2）＝＿24故选A方法二;令公差为α（α≠0）,由已知得』α;＝α2.α6,即（α6ˉ3α）2＝（α6-4d）·α6］得至｜」2α6＝9d!。。.2（αl＋5〃）≡9〃’.。.Ⅲ＝-2αl＝＿2。6（αl＋α6）6×（1-9）≡＿24故选A由此』.·＝÷硼-ˉ9』s·＝≡22［测〗｜｜诊断］本题难度中等,考查等差数列｀等比数列的定义和通项公式及它们的综合应用,等差数歹‖的求和,考查考生对定义的理解及应用’意在让部分考生得分.7.C［解析］设｛α厕｜的首项为αl,公差为〃,则S9＝9αl＋36d≡9（αl＋l35｛α厕｝的公比为q（q≠0）］。.。αl≡丁,...α4＝αlq,α6＝αl9.由α箭＝α6,得α｛q6＝αlq5,...αlq≡1,...q≡3.α｜（』—?爵）÷×（l＿3鼠｜l2l锡。.S5＝＝＝—1ˉq1-33.12方法二设等比数歹‖｛α＂｝的公比为q（q≠0）。.。.α｜≡丁,α4≡α6,α1（1-q5）l21αi≡α2α6,...α2α6＝α6,...α2≡1,。。.q＝丝＝3,.。.S5≡＝1-q3αl夏题分类集‖｜｜微信公众号：嗨呀同学高考必刷题夏题分类集训数学（理）T2.4［解析］本题考查等差数歹‖通项公式及前n项和公式.膨.｛α网｝为等差数歹‖且α2＝3αl,...公差d≡α2—αl＝2αl］...αl0≡α｜＋9d≡10（αl＋αlO）≡100αl,S5＝l9αl,α5＝αl＋4〃＝9αl°°.°S］0＝2’｜…』｜～25°｜』÷三“2［｜庆解］.。.｛α厕｝为等差数列’旦α2＝3αl〕...公差〃＝α2ˉαl＝2αl〕设αl＝1｛贝｜」d＝2,...α厕≡2n—l。...Slo＝l0×（l＋19）＝l00,S5≡2由已知得q4≡4q2］解得q＝0（舍去）,q≡—2或q＝2故αⅢ≡（—2）＂ˉ｜或α厕≡2则l.（2）若α网≡（-2）″ˉl,则S厕≡1-（-2）＂3由S顺＝63得（ˉ2）咖≡—188］此方程没有正整数解若αn＝2＂ˉl］则S＂＝2测-1.由S咖＝63得2m＝64!解得m≡6。综上,m＝6。考点‖4数列通顶刷小题｜l∧［解析］令｜A测A＂＋｜｜＝α,｜B＂B＂＋l｜＝6,设AlA＂与BlB″的反向延长线交于点o』△MB｜＝0｀则s…＂厂＋｜B顾B畴｜｜.｜叫｜..m0＝＋h｜OA鹏｜s!n0’即S＂＝＋h｜Od,｜sina′β厕仙ˉS.＝十』｜oA州｜sin0＿＋b｜“腻｜霞m0＝』bsjn0（｜叫…｜ˉ｜叫｜）＝÷bsin0.｜A雁A砷｜｜＝＋α0sin0为定值故选A［关键点拨］求解本题的关键是计算面积的通项公式,即S″,然后利用等差数歹』的通项公式判断得出正确结论。［测‖｜｜诊断］本题难度大〗主要考查三角形的面积公式｀等差数列的半｜」断方法以及考生的计算能力.2—63［解析］方法—:由题知S厕≡2α＂＋1（″≥1）,o...S＂ˉl≡2α测ˉl＋1（″≥2）。@当n≥2时!O-@,得α网＝2α厕ˉ2α厕ˉl,·。.α＂≡2α＂ˉl.当n＝1时］Sl＝α1＝2αl＋1］解得αl＝-L。.·数歹｜」｛α厕｝是以-1为首项,2为公比的等比数列α1（1-q6）ˉ1×（1-26）≡-63.。。.S6＝1-q1-2≡≡方法二:由题知当n≥2时!Sn＝2（S″—S＂ˉl）＋l］...s＂≡2s＂ˉ2s＂ˉl＋1〕...s厕＝2s″ˉ｜ˉ1.O构造S网—入＝2（Snl—入）’。.。S皿—入＝2S则ˉl-2∧,..。S厕≡2S厕ˉl-儿@..。o@两式对应项相等’...入≡l当″＝1时!Sl＝αl＝2αl＋l］解得αl＝—l,...Slˉ1≡—2....｛S厕—1｝是以Sl—l≡—2为首项,2为公比的等比数列.°·S-1＝-2×2nˉl＝-2n］∏。。。S″≡1-2几,...S6≡1-26≡-63.｜刷大题］。（l）［证明］由题设得4（α＂＋l＋6″＋l）≡2（α″＋6厕）,即α厕＋l＋b州＝＋（“顺＋』,｜:×（l带,｜-”』尝＿“‖3.＿8［解析］令等比数歹｜」｛α厕｜的首项为αl,公比为q,则αl＋αlq＝—1,Oαl—αlq2≡ˉ3.@:得!＿,-3,＾,-ˉ…｜-｜,鞠-隧Ⅷ』＝‘［测训诊断］本题难度小,主要考查等比数歹‖的定义及通项公式〕意在让大多数考生得分.0464［解析］设公比为q‖由题可知αl＋α1q2＝l0〕α!q＋αlq3＝5］贝｜」?＝丁』α｜二8’…二8.（＋「｜＝2绷ˉ删当厕＝4时,鳃＝l’八α｜≥lα2＞α3＞α4＝1＞α5＞α6＞…。...αlα2…α″取最大值时’n＝3或4。.。.αlα2…αⅦ的最大值为64［测‖｜｜诊断］本题难度中‖考查了等比数歹‖的通项及前几项积的最值!考法较新!如果审清题意,能很快入手‖但注意避免在计算上失分↑5.α厕＝6nˉ3［解析］设等差数歹‖｛α则｝的公差为‘。...αl＝3,α2＋α5≡2αl＋5d＝36］解得d＝6‖.。。α＂＝3＋（n-1）×6＝6nˉ3.［测‖｜｜诊断］本题难度小!主要考查等差数列的概念｀通项公式’意在使大部分考生得分06.1［解析］...｛α厕｝是等差数歹｜」,αl≡ˉ1’α4≡8〕.。°公差d≡3,。..α2≡αl＋d＝2..』·｛b厕｝为等比数列b1＝—1,b4≡8,＾公比q＝ˉ2』＾b2≡b｜q-2故贵二｛［关键点拨］求解本题的关键是利用数列的通项公式转化为基本量进行计算［测‖｜｜诊断］本题难度小’主要考查等差数列及等比数列的通项公式］考查运算求解能力’意在让多数考生得分.‖7.32［解析］设等比数歹｜」｛α厕｝的公比为q‖则由S6≠2S3得q≠Lα｜（!＿q’）＝÷’s‘≡侧!｜lu≡÷‘｜≡旱解得…｜＝丁则S3＝l-q则。』＝α!q′＝十×2’＝32［关键点拨］禾｜」用等比数列前n项和公式建立方程组求解首项和公比.利用等比数列前n项和公式时要判定公比是否为1］同时要注意整体思想的应用［测〗｜｜诊断］（l）本题难度适中’主要考查等比数歹‖的通项公式与前Ⅶ项和公式及其应用!考查考生的运算求解能力!意在让多数考生得分。（2）本题不应错!若错可能是公式应用错误或运算错误造成的｜刷大题1［解］（l）设｛α″｝的公差为α,由题意得3αl＋3‘≡ˉl5。由αl＝＿7得d＝2.所以｛α网｝的通项公式为α厕≡2nˉ9.（2）由（l）得S＂＝n2-8〃＝（n-4）2—l6.所以当川≡4时,S厕取得最小值’最小值为-l6.2.［解］（l）设｛α厕｝的公比为q,由题设得α＂＝q″l.又因为α」＋b!＝｜』所以｛α·＋b厕｝是首项为l』公比为十的等比数列由题设得4（α″＋l-b″＋l）＝4（α见-b厕）＋8’即αn十l-bn＋l＝α＂-6厕＋2.又因为αl—6l≡l,所以｛α厕-b厕｝是首项为1’公差为2的等差数列｜2）［解］由（｜）知｀α.ˉ卜』厕＝六』侧卿ˉ』卿二2″ˉ［所以感撼＝÷［（“腮带』鹏｜＋（侧蕊ˉb撼）］＝去＋厕—12］b厂÷［（α＂带』鹏｜—（感厂叫］≡六ˉ＂＋—12·［关键点拨］将所给的两个递推关系式相加、减］变形后利用等差｀等比数歹‖定义证明分别求得｛α″＋b删｝,｛α厕ˉbn｝的通项公式后,变形@微信公众号：嗨呀同学苔案及解析求｛α网｝〕｛b＂｝的通项公式2［解］（1）由α4＋2是α3’α5的等差中项得α3＋α5≡2α4＋4〗所以α3＋α4＋α5≡3α4＋4＝28〗解得α4＝8.由…』-20得s（叶＋）≡20』解得q＝2或g＝＋』因为q＞l,所以q≡2.（2）设c＂＝（b′』＋l-b厕）α厕,数歹｜｜｛c厕｝前″项和为S厕.…ˉ｛!戊l｝』卿＝＾解得c皿＝4＂—l.由（］）可知α″＝2侧ˉl,与化归能力、推理论证能力!意在让多数考生得分.（2）本题若出错］主要是不会利用S厕与α厕的关系进行转化a萧［解祈］设≡数列｛愈鹏｜的首项为·｜』公菱为删,则由题意得｛;i二』』谰0.解得｛:□｜｀.。α＂＝l＋（nˉ1）＝n］S″≡（l＋则）·″—L＝2吕二2（十＿亩）』＾敲-2｜（｜ˉ＋）＋（＋＿＋）＋…÷（÷—六）｜—2（｜ˉ由）—备［刷盲所得］裂项相消法求数歹‖的前″项和中常用的裂项方法有:航!］厂‖—六;圆腮（＂‖带2｜≡÷（÷ˉ志）｝◎α六!-÷（武ˉ六）（真中｛绎｝为公羞为d≠0的≡数列‖［测〗｜｜诊断］本题难度适中『主要考查等差数列的通项公式｀等差数歹‖的前″项和公式｀裂项相消法求数歹｜」的前n项和』考查运算求解能力｀转化与化归能力,意在使多数考生得分.4—÷［解析卜℃州＝s愿s…β畦!ˉs腮＝s愿s…两边同时除以s鹏s雕!』得六ˉ÷＝L又命÷＝」』＾｛士｜是首项为ˉ］』公羞为ˉ!的等差数列ˉL＝ˉ1＋（n—1）°（ˉ1）≡ˉn,...S厕＝-—1S网n［刷盲所得］已知α＂与S见的关系式!求S则或α＂是言频考点’需重点突破,解决这类题时!要贯彻几个原则:@尽量只保留α＂或者S励｜@谁好消去’就消去谁;o—般是求谁保留谁［测‖｜｜诊断］本题难度适中!式子相对简单,计算量不大,只需合理转化〗便可直击目标］争取得分.5。0ˉ10［解析］本题考查等差数歹｜」的通项公式和前n项和的求法设等差数列｛α藏｝的首项为α』』公差为姚曰s,＝÷｜α］＋α’｜＝÷×2α’＝ˉl0’得α3＝ˉ2』＾‘≡α3ˉα2≡ˉ2ˉ（ˉ3）≡l’＾α］≡≡-3-1≡-4,°°.α5≡αl＋4d≡-4＋4＝0.方法→α｜＝ˉ4’‘二l｀＾s腮＝4＂＋厕（舰ˉ川×l＝寸（n』ˉ9＂）＝2所以b碾铡ˉb腮＝（4腮ˉ｜｜.（÷厂』故0鹏—b″ˉ｜＝（4nˉ5｜.（÷）腮＼″≥2』b＂＝bl≡（b侧-b″ˉl）＋（b厕ˉl-bnˉ2）＋…＋（b3-b2）＋（b2-bl）≡′l｀见＿2（4厕—5｜.（丁）＋（4″＿9｜（＋）蹿』争…＋7蕊＋＋凯设骗＝3带7×÷＋ll×（÷）z辨…＋（4″ˉ5｜（＋厂』厕≥2｀寸喝＝3×＋＋7×（＋）』＋…带（4厕ˉ9｜.（＋厂↓｜4″ˉ5）.（÷）赡ˉ!』所哈赐二…＋抖×（÷）2护鸭.（÷厂ˉ（咖ˉ5）（÷）腮ˉ｜』因此r腮＝l4ˉ（4厕十3｜.（＋）腮ˉ2』＂≥2｜又b］＝l』所以b腮二l5ˉ（4叶3）.（÷「ˉ｝考点05数列的求积｜刷小题｜∧［解析］设首项为第1组,接下来两项为第2组,再接下来三项为第3组］以此类推设第n组的项数为＂］则n组的项数和为＂（lj厕）由题意＂＞l00』令＂（ljn）＞l00得＂≥l4且＂匡N＊』即″出现在第l3组之后第＂组的和为臀＝2〃—］’厕组总共的和为＿↑2（1-2厕）lˉ2-n＝2″＋l-2—〃.若要使前Ⅳ项和为2的整数幂,贝｜」第Ⅺ＋1组的前片项和2废—1应与—2-n互为相反数｜即2k-l＝2＋n（片巳N＊,n≥l4）!内＝log2（＂＋3）,解得n＝29!k＝5.则Ⅳ＝29×（1＋29）＋5＝440.故选A.2［关键点拨］本题的关键是将前″项和合理地转化成2厕＋l—2-n＋2k—l＝2厕0］即将前Ⅳ项和转化为前″组的和与第″＋1组的前片项和.［测‖｜｜诊断］本题难度较大］主要考查数列的递推公式’考查数据处理能力｀应用意识和计算能力］意在让少部分考生得分.2C［解析］因为数列｛α厕｝是公差为〃的等差数歹‖,则S4＋S6＞2S5●S6-S5＞S5—S4≈α6＞α5.〃＞0!所以“〃＞0＂是＂S4＋S6＞2S5＂的充分必要条件故选C。…跋!解决…关攘尉｜…｛弦l｜,疟2将数列前n项和满足的关系转化为数歹‖的通项满足的关系’寻求等价条件.［测‖｜｜诊断］（1）本题难度适中’主要考查充分条件与必要条件的判定｀等差数歹‖的定义｀数歹‖前n项和Sn与通项α＂的关系,考查转化÷（＂ˉ÷）.ˉ÷...则巳N＊〕。..当′l＝4或5时』S″取最′｜｀值〕为S4＝S5＝ˉ10.方法二:...αl≡＝4‖d≡1｛...α测≡-4＋（′!ˉ］）×l≡n—5.由α′l≤0得＂≤5,且′』＝5时’α5≡0,故当网＝4或5时］S″取最′｜｀值,为S4＝S5＝5×（-4＋0）＂＾-102刷大题0。［解］（1）设｛αn｝的公差为〃,根据已知条件有S7≡7＋2l〃＝28］解得〃＝l所以｛α＂｝的通项公式为α则＝″.bl≡［lg1］＝0‖bll＝［lg1l］＝l,blol≡［lgl0l］＝2.｜!｝胁№（2）因为b网≡所以数歹‖｛b厕｝的前1000项和为1×90＋2×900＋3×l＝1893.［测‖｜｜诊断］（1）本题考查了等差数歹‖的通项公式］新定义,依据数歹‖夏题分类集训喻微信公众号：嗨呀同学高考必刷题舅题分类集训数学（理）通项特征求和。（2）考查方向明确｛计算量不大,只需规范解题步骤］争取得满分。2［解］（1）由α筒＋2α＂＝4S厕＋3,知α:＋l＋2α厕＋1＝4S厕十l＋3.两式相减,得α爵带lˉα:＋2（α厕带l—α厕）＝4α厕带l』即2（α砷l＋α腮）＝α:余lˉα:＝（α＂带l＋α撼）（α腮刊＿α厕）.因为α网＞0!所以α网＋l—α厕＝2.又因为α｝＋2αl＝4αl＋3』解得α1＝ˉ1（舍去）或αl＝3.所以｛α测｜是首项为3〕公差为2的等差数列,通项公式为αn≡2n＋L（2）由α″≡2n＋1可知α腮α瞬｜（2″＋｜）（2厕＋3）二÷（南志）116n≡＿＝设数列｛b″｝的前″项和为T＂,贝｜」Z!≡bl＋b2＋…＋b＂那么’当″＝片＋1时’q＋c2＋…＋ck＋ck＋l＜2佃＋√「丙｜（肝J「＜2顺＋｀／了吾＜2顺h／厩丁带万2顺÷附22（｀／∏ˉ干ˉTˉ〃）＝2／∏ˉ干＿T,即当″＝A＋1时不等式也成立根据O和@,不等式cl＋c2＋..｀＋c＂＜2／万对任意″匡N＊成立·［刷言所得］常见不等式的放缩111（」｜裂项放缩;÷＝六＜厕.（″ˉ［｜-百丁了＜Fˉ二T＝÷（古ˉ击）』″≥2｜（2）禾｜」用二项式定理放缩:（l＋虹）Ⅲ≥l＋″卿（卯＞0）『（3）利用基本不等式放缩;√鹏（厕＋l）＜n十（!＋l）』（4｜函数放缩』如｜＂躯≤赃ˉ｜舍竿≤｜ˉ÷（l）［解］设等比数歹｜」｛α″｝的公比为q.由αl≡1,α3＝α2＋2,可得q2—q-2＝0.因为q＞0,可得q＝2,故αⅦ＝2nl.设等差数歹‖｛b′!｝的公差为α.由α4≡b3＋65,可得bl＋3d＝4.由α5＝b4＋2b6｛可得36l＋lM＝16｛从而bl＝l,d＝1!故bn＝n。所以,数歹‖｜α＂｝的通项公式为α＂≡2″ˉl,数列｛b″｝的通项公式为b门＝″·（2）O［解］由（｜｜』有s臃＝剧＝2.ˉ］』敬′腮-自｛妒＿川-自2』—厕ˉ2媳｛LI渺｜＿＂-”』＿鹏＿2◎（证明］因为（｝删r」!｜-｜附｜｜（赊2｜≡（2k＋l-片一2＋k＋2）片片·2片＋l7∏＋27k＋1＝～～（片＋l）（k＋2）k＋2化＋1,所以』:｜财｝｝淌ˉ（等—等）＋（等—等）＋…＋（瓷ˉ黑）-瓷—2［关键点拨］（1）根据已知条件和等比数歹‖的通项公式即可求出｛α＂｝〕进而由等差数列的通项公式即可求出｛6″｝;（2）O利用（1）的结论,求出等比数歹‖｛α厕｝的前n项和,再利用分组法求和』目阿求出魄。淑佣｜｜｜的结论』并把（（删淌裂咸两项,再利用相消法求和］即可证明等式成立.［刷言所得］破解此类题的关键:—是活用“基本量法＂〗若干个能唯—确定个数歹‖的量称为该数列的＂基本量＂.首项与公差是等差数歹‖的＂基本量＂,首项与公比是等比数列的“基本量＂,在解决等差数列或等比数歹‖的相关问题时〕常用等差（等比）数歹｜」的通项公式及其前n项和的公式;二是活用公式法｀分组求和法与裂项相消法求数歹‖的前n项和.（1）［解］cl＝bl-αl＝1-1＝0!C2＝max｛6l—2αl,62＿2α2｝＝max｛1—2×1,3—2×2｝＝-1’c3≡max｛blˉ3αl,b2—3α2,b3—3α3｝＝max｛lˉ3×1,3—3×2,5-3×3｝≡ˉ2.当n≥3时’（b片＋l一nαk＋l）一（6k一nαk）≡（bk＋lˉbk）＝n（αk＋l-αk）≡2-n＜0］所以bk-nαk关于片巨N＊单调递减所以c＂≡max｛blˉαln,b2—α2n,…,6厕-α厕n｝＝bl-αl″≡1—n.所以对任意n≥1］c＂＝1—″］于是c网＋l-C网≡-1!所以｛c厕｝是等差数列（2）［证明］设数歹‖｛α厕｝和｛b＂｝的公差分别为d1,〃2,则｜）〕＋］几勺～‖—…（＋＋）］—丁］—日（＋）】—日］—］（｜］—∑~~5门~~3（2n＋3）ˉ［刷盲所得］对于含有α＂,S则的等式〗可以令″取Ⅶ＋1得至｜」—个新的等式’二者相减即可『对于第二问〗是典型的裂项相消法求和数歹‖求和问题是数歹‖解答题的考查重点‖应根据通项公式特点’决定数歹｜」求和的方法〗常见的有公式法｀裂项相消法｀错位相减法｀分组求和法等［测‖｜｜诊断］本题难度较易’主要考查数歹｜」的通项公式、裂项相消法求和.3。［解］（1）设等差数歹‖｛α＂｝的公差为d’等比数列｛b厕｝的公比为q。依题意得｛:;厂j!勋』解得｛『二;!故咋辨｜鹏ˉ!｜×…‖bn＝6×2融ˉl＝3×2〃°所以｛α厕｝的通项公式为α＂＝3施＋1,｛b厕｝的通项公式为b见＝3×2″。（2）Oα2＂（c2＂-1）＝α2＂（b″-1）＝（3×2″＋l）（3×2″ˉ1）≡9×4厕＿l.所以数列｛α2″（c2则—1）｝的通项公式为α2网（c2测ˉ1）≡9×4测ˉ1.2∏2兄@∑α愈c』二∑［α』＋α′（c』ˉ1）］『＝lj≡l2见见＝∑α』＋∑α2』（C2』ˉ1）『＝］j＝］三（…雏酿｜2i＿!｜蒸3）＋自｜,撼剿』＿］｜≡（3×22″ˉ1＋5×2厕ˉl）＋9×4（1-4＂）1一4-n＝27×22″ˉI＋5×2″ˉl-几-12（几巴N＊）·［关键点拨］（1）设出等差数歹‖的公差和等比数歹‖的公比,根据已知列出方程,求出公差和公比即得;（2）根据（1）中通项公式求解@,利用分组求和方法求解°（1）［解］设数歹‖｛α厕｝的公差为〃,由题意得αl＋2d≡4,αl＋3d≡3αl＋M’解得αl＝0,α＝2.从而α″＝2几-2’几≡N＊.所以S＂≡′l2一n,刀巴N＊·由S＂＋b皿’S则＋l＋bn』S见＋2＋6＂成等比数列得（Sn＋l＋b＂）2＝（S厕＋6厕）（S厕＋2＋b″）。解得b碉二÷（s稳｜ˉs鹏s峙2）所以0腮＝″2＋鹏』″匡N｀46~~厂—（2）!证明!嗡-√壶三√i湍｜～√＂｜吕｜』眶N｀我们用数学归纳法证明O当n＝1时’cl＝〔）＜2,不等式成立;@假设n＝k（k匡N＊）时不等式成立,即c1＋c2＋…＋c腮＜狐@微信公众号：嗨呀同学答案及解析T＂＝2×4＋5×42＋8×43＋…＋（3∏-1）×4陋〕4乃＝2×42＋5×43＋8×44＋…＋（3′l-4）×4″＋（3n＝1）×4厕＋l］上述两式相减!得-3Z2＝2×4＋3×42＋3×43＋…＋3×4＂-（3nˉ1）×4n十l12×（1-4鹏）-4-（3∏—1）×4″＋l＝≡l-4≡-（3几-2）×4＂＋1-8.得T碾＝罕×4州＋÷所以数列｛°:赋b2愿｜｝的前″项和为血丁旦×4…＋÷［测‖｜｜诊断］（1）本题难度中,考查等差数列｀等比数歹‖以及数歹｜」求和〕意在让大多数考生得分.（2）本题若出错,可能是公式应用错误或者运算错误8.［解］（1）设数列｛z测｝的公比为q,贝｜」q＞0.b附-′mk＝6l＋（k-1）创2-［αl＋（片ˉ1）〃l］n＝bl-αln＋（α2-ndl）（k-1）。所以缔≡｛｛｜Ⅲ:｜p（腮—川｜d厂＂感』｜』…‖d2≤″dl·o当dl＞0时,墩止整数鹏≥奇则当…时,…』』因此c,-b｜ˉ·｜＾此时,C厕』C厕＋l,Cm＋2］…是等差数列@当dl≡0时,对任意则≥1!c″＝bl—αl＂＋（nˉl）max｛d2’0｝≡6］ˉαl＋（n—1）（max｛d2,0｝—αl）此时’Cl］C2〕C3,…,C″,…是等差数歹｜」.o当dl＜0时〕当鹏÷时肩＂d』≤d…C＂b1-α1′l＋（n-1）（〃2-Ⅶdl）所以—＝门Ⅶ6l-〃2＝门（-〃l）＋〃l-αl＋〃2＋′l≥′l（-〃l）＋〃l-αl＋〃2-｜blˉα2｜。对任意正数M’…数…藤｛M卜帅｜—…』ˉ‘』ˉ呐,罢｝』-dl叫~~…得｛｜!螺3所以3q2-5q-2＝0.因为q＞0,所以q＝2,匆l≡l。因此数列｛卵＂｝的通项公式为勿n＝2厕ˉl.（2）过Pl,P2,...,P″＋l向勿轴作垂线’垂足分另｜」为Ql〗02‖…,Q″＋1。由（1）得如＂十l—躯″≡2″—2＂l≡2＂ˉl］记梯形P见P″＋lQ″＋lQ″的面积（2）过Pl,P2’由（1）得鲍″＋l↑』为b＂,由题意得b厕＝白′一歹皆、0.凸n故当′!≥′n时,鱼＞MⅦ｜（′l＋′!＋l）厂勺▲×气乙见勺▲×-’］＋几勺≡（~~ˉ.ˉ八2｀所以T厕≡b1＋62＋.′.＋6＂＝3×2ˉl＋5×2o＋7×2l＋…＋（2n-I）×2厕ˉ3＋（2厕＋l）×2厕ˉ2］O又2T侧≡3×20＋5×2l＋7×22＋…＋（2n-1）×2厕ˉ2＋（2几＋1）×2″ˉl。@oˉ@得ˉZ!＝3×2ˉl＋（2＋22＋…＋2＂ˉl）＿（2′0＋1）×2厕ˉl＝ˉ二＋22（l＝2″ˉl）′′、.＂｀—.气n—｜［关键点拨］对于学生只要按照题目要求计算出Cl’C2］C3!就不难猜出这个结论,进而进行证明这要求学生在面对创新问题的时候’要遵循“探索—归纳—论证—检验｜的思维模式,多观察数学概念背后的直观现象］从而找至｜」论证的核心。题目的第二问对学生的论证要求比较高’学生可以继续通过尝试不同的观察,发现规律进行论证.这道题相比去年最后—题难度要言些［测‖｜｜诊断］本题难度大’主要考查等差数列定义与性质、归纳推理、数列与函数的关系!考查分类讨论思想｀推理论证能力｀抽象概括能力｀运算求解能力｛意在让少部分考生得分.7.［解］（1）设等差数列｛α厕｝的公差为d,等比数列｛b厕｝的公比为q.由已知62＋b3≡12』得6l（q＋q2）＝l2｛而bl＝2,所以q2＋q-6≡0.又因为q＞0］解得q＝2.所以b则＝2厕。由63＝α4＿2αl,可得Mˉαl＝8o由Sll＝1lb4,可得αl＋5d＝16@〕联立o@,解得αl＝1,d＝3’由此可得α＂≡3n—2.所以数歹｜」｛α＂｝的通项公式为α″＝3″ˉ2,数歹‖｛b″｝的通项公式为6厕≡2测.（2）设数歹‖｛α2″b2腮l｝的前几项和为T见,由α2n＝6n—2,b2nˉl＝2×4＂ˉl］得α2nb2nˉl＝（3＂-l）×4″,故~旧卜p~-（2Ⅶ＋1）×2nˉl1-2所以T″≡（2′l-1）×2厕＋l2［关键点拨］利用等比数歹‖通项公式列方程求公比’首项］根据平面图形面积（梯形面积）求出｛卿厕｝的通项公式,错位相减法求和.［刷盲所得］若数歹‖b＂＝α＂.鳃″,且｛α″｝,｛鳃＂｝分别是等差数列｀等比数歹‖〕求｛6厕｝的前″项和时多用错位相减法。［测‖｜｜诊断］（l）本题难度中〕主要考查等比数歹‖的通项公式｀求数歹｜」前″项和的方法。考查运算求解、分析与解决问题的能力以及转化与化归的思想方法’意在让多数考生得分.（2）本题易错之处是忽视公比q＞0的条件′求出9＝2或q＝ˉ＋造成增解』不能正确理解』点列,,不能准确求出｛b厕｝的通项公式,使用错位相减法求和时计算错误（可以在求出计算结果后用n＝1,2的值代入验证）。~专题七考点06不等式的性质与解法＼墓本不等式刷小题］。c［解析］本题考查不等式的性质及构造函数解题的方法。对于A‖。。。α＞b’ˉ..α—6＞0,但α-b不定大于l,故ln（α-6）＞0不—定成立!故A不正确对于B,..。y＝3寥是R上的增函数’..。当α＞6时,3α＞3b,故B不正确不等式对于C,.·.y＝如3在R上是增函数,且α＞b,...α3＞63!故C正确对于D］由α＞6不—定得至｜」｜α｜＞｜6｜,如α＝3,b＝-5.故选C。［快解］…6』＾取°二÷’b＝l’则ln（αˉb）＜0』3÷＞］!』故A｜B不正确.再取α＝2］6＝-5,则｜α｜＜｜b｜］I）不正确。故选C.［关键点拨］本题中判断ln（α—6）＞0］可结合α-6＞1.而α＞6时不—定有α＞b＋1’故A不—定成立而对于B!C!可构造函数对于D可由｜α｜＞｜b｜得α2＞62判断出当α＞6时不—定有｜α｜＞｜6｜。夏题分类集‖｜｜微信公众号：嗨呀同学高考必刷题夏题分类集训数学（理）2。!解桐着｜2》…＂｜｛;聪｛′耀得醚≥÷』上当.≤÷豌,（2’1）筐A’故A‖B］C错误］D正确故选D,［刷盲所得］判断—个全称命题是假命题,只需举出＿个反例3B［解析］因为α≥』＞0』“b＝［』所以α二十且α≥l』0≤0≤L所以2.＞1』因此÷＜1｜‘＋十≡2α＞2;侧＋b…÷＞2’l°髓（叶b｜＞1』α＋丁…6≥］°髓（α＋b｜所以步＜l°题（叶0｜＜侧＋÷故选凰1［快解］（特值法）取α＝2,b＝＋』则｜og2（α＋b）＝log』÷巨（l』2）’‘＋十＝4’÷二÷』所以÷＜lo题（叶b｜…÷故选凰［测‖｜｜诊断］本题难度中,主要考查函数的性质’不等关系,考查分析解决问题的能力｀转化与化归能力’意在让部分考生得分。44√丁［解析］｜瓣＋l凹＋l）＝2蕊y＋鸭1止＋1ˉ2竿主旦ˉ√卯y√宛γ√卯y2（何诗）…扣念呕,当且仅当…』融Ⅱ≡』』γ＝1或狐＝2》γ二÷时等号成立.故所求的最小值为4√豆垄［关键点拨］变换求解目标达至｜」可以使用基本不等式的目的.［易错鳖示］使用基本不等式求最值时定要验证等号是否能够成立5÷［解析］因为‘—3b＝ˉ6｜2.＞0｜赤≥0』所以2.带寸＝2.,2ˉ沁≡2√2..2ˉ』』＝2√丽—丽＝2√丁了≡2×÷≡十,当且仅当2…时筹号成立即｛‖剥-0』解得｛;二』了』,所以孵带上86的最小值为÷［刷盲所得］运用基本不等式时｛—定要注意应用的前提:＂—正＂＂二定＂“三相等｜｜。若连续两次使用基本不等式求最值!则必须使两次等号成立的条件—致,否则最值取不至｜」.6（l,4）（l,3］O（4,＋四）［解析］@当入＝2时’／（苑）＝｛至漏｜鳃≤2由′（腮｜≤0得｛戳0或｛愚…0,解得2≤勿＜4或l＜即＜2.所以不等式的解集为（1,4）.@函数y≡如ˉ4与y＝勿2ˉ4嘶＋3的图像如图所示来处理’如／（z）＝0可等价转化为h（x）＝g（卯）〗贝｜」问题可等价转化为函数y＝g（x）与y＝∧（z）图像的交点问题来解决。［测训诊断］（l）本题难度适中］考查分段函数及不等式的解法、函数零点的判断｀数形结合｀分类讨论数学思想方法的应用‖意在让部分考生得分。（2）若错’可能是因为分类讨论及数形结合思想应用不熟练所致7.9［解析］在△ABC中,角A!B｛C所对的边分另｜］为α,b,c,乙ABC＝120°］△ABC的平分线交AC与点D,旦BD＝1,由三角形面积公式可得寺″sjn｜20.＝＋αsin60.＋÷csin60.』化简得“二…则÷＋＋二｜』则4…＝（4α＋‘）（＋＋＋）＝5＋÷＋平≥5＋2√÷γ-,,当且仅当′-2鹤弱取筹号』放4…的最小值为9［关键点拨］找至｜」α和c的关系αc＝α＋c!进而禾｜」用＂l＂的代换是解题关键［易错鳖示］本题容易出现如下错误;αc＝α＋c≥2√而,αc≥4!则4α＋c≥4√∏万≥8,而错填8,错误原因是两次应用基本不等式时等号成立的条件不相同导致最后的等号取不到［刷盲所得］应用基本不等式求解最值时,要注意对条件＂—正二定三相等＂的检验］尤其是等号成立的条件s（＿国』÷｜（解析］当〃匡［u』4］时』设g｜篮）＝撼带÷』g（鳃）在［l’2］上单调递减,在［2,4］上单调递增〕旦g（1）＝g（4）≡5’‘（2｜-4』所以叶÷匡［4’5］o当α≤4时’′（缚）＝叶丁ˉ…＝叶÷二g（躯｜』满足最大值4为5;@当…时』f（藤｜二α—（鞭十÷）＋α二2αˉ（蕴辨÷）≤2α—4｀而2α—4≥6,与题意不符’舍去io当4＜α＜5时,／（鳃）的最大值只可能为／（1）〕／（4）或／（2）,而／（l）＝／（4）＝5,／（2）＝4ˉα｜＋α＝2α—4,要使／（匆）的最大值为5,9则2αˉ4≤5’即4＜α≤丁.综上可得』α匡（—唾』÷｝［关键点拨］含有绝对值函数般需要去绝对值!本题求解的关键是对α进行合理的分类讨论.［测训诊断］本题难度大,主要考查含有绝对值的函数与对勾函数｀函数性质及最值’考查分类讨论思想｀运算求解能力］综合性较强,是有挑战性和选拔性的题目’意在让少数考生得分.a《［解祈｜因沟鹏b＞0』所剔鹏呼刊＝2√v十］-…刊■＝αb｛:;二至…..α』喘≡2√」,』☆ˉ4』当且仅当α坞严的最小值是轧［刷盲所得］基本不等式是求解函数最值的重要方法’注意对条件｜｜—正｀二定｀三相等＂的检验〕尤其是等号成立的条件的检验。［测‖｜｜诊断］（l）本题难度中等,主要考查基本不等式的应用!考查考生的运算求解能力,意在让部分考生得分。（2）本题若错可能是对基本不等式掌握不牢造成的.V≡刀2←牧＋3~↑γ~~y＝】广～4勿ˉ卜3~≡4结合图像可知,当入≤l时函数／（嘶）有l个零点』当1＜入≤3时函数／（苑）有2个零点］当3＜入≤4时函数／（卿）有3个零点,当入＞4时函数／（如）有2个零点.所以当／（卿）有2个零点时,∧的取值范围是（l］3］（ˉ」（4’＋的）。［关键点拨］@中可画出y≡／（熊）的大致图像］找出解决问题的｜庙界位置］禾｜」用图像求出／（鳃）恰有2个零点的条件.［刷百所得］对于函数零点问题］常用直接法、数形结合思想来解决,若函数较复杂‖也可以将／（z）的零点问题转化为方程／（勿）＝0的解o微信公众号：嗨呀同学答案及解析‖o30［解析］—年购买孪次』则总运费与总存储费用之和为／（撼｜＝呼×6…4（孕带瓣）…×√孪了了≡240｀当且仅当鞭≡30时取等号.故年的总运费与总存储费用之和最小时,虹的值是30.［关键点拨］将实际问题转化为数学问题结合基本不等式求解［刷百所得］求解函数最值的常用方法;基本不等式法｀图像法、导数法等‖要根据函数特征选择方法.［测‖｜｜诊断］（l）本题难度适中,主要考查数学知识在实际问题中的应用以及基本不等式的应用,考查考生应用数学知识解决实际问题的能力,意在让多数考生得分.（2）本题若错］可能是审题错误｀基本不等式应用错误或运算错误造成的考点↑7二元—次不等式（组）与简单的线性规划问题刷小题l∧［解析］由线性约束条件可得,可行域如图中阴影部分所示.值由｛嚣工丫ˉ∩』得A（-1!l）,所以zmm＝-4×（-1）＋］＝5.故选C.牧~~γ△干｜｜广｜｜＝）日▲］＿｜~~如冗＝0＞／2毗～白＼陪雕淘毗:γ1魁′—卯｜手1｜1q～／［关键点拨］根据目标函数的几何意义确定其取得最大值的点.［易错鳖示］作不等式组表示的平面区域时,要正确分析出各个不等式表示的半平面c［解析］本题考查简单的线性规划问题!考查学生的数形结合思想及运算求解能力ˉ作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分勺（含边界）所示’由z＝3蛔＋2γ’得γ＝ˉ÷卿＋÷’由图可知’目标函÷乙』｜1）2Ⅺ＿3｝＋3＝0Ⅺ（0,l）魏二…的最大值在点撒…由｛;:｝土;』得」（2,2）所以zmaⅪ＝3×2＋2×2＝l0!故选C。｀卯34｀｀瞒＜′＝ˉ3酞＋3γ-3＝0徊（片6,ˉ3）√γ｀刀则∑~~γ由目标函数z＝2鳃＋y可得y＝ˉ2鳃＋z’z随着直线y≡ˉ2匆＋z的纵截距的增大而增大作出直线′o:y≡-2匆0通过平移直线／o可得点B（ˉ6］-3）为z取得最′｜｀值的最优解,.。.zm∏＝2×（—6）＋（—3）＝—15.故选A。［快解］直线2则＋3γˉ3＝0与直线2工—3y＋3≡0交于点A（0’1）’此时z≡1;直线y＝-3与直线2知—3y＋3二0交于点B（—6〕-3）］此时z≡ˉl5;直线γ＝—3与直线2卯＋3y—3≡0交于点C（6〕-3）,此时z≡9。故zmin≡—l5。故选A.［测‖｜｜诊断］（1）本题难度适中］主要考查线性规划问题的最优解‖考查数形结合思想的应用〗意在使多数考生得分。（2）本题不应错’若错可能是边界顶点坐标求错所致2c［解析］本题考查线性规划.＜4ˉ2｀冗｜』陕瞬］虏｛慧q仁0,得‘｜—!,!｜′此时.～ˉ｜｛由｛诚4-0,得‘｜］,—｜｜』此时,-｜｛由｛撼土》＝‖,得A（2］2）!此时z＝l0‖故zmax＝10。c［解祈］作出可行…中剿影部分所示由｛瞒乙｜得｛慧所以州（2』3｜由曰标函数舅-…可得γ＝÷叶÷,‘随看直线γ二ˉ÷躯＋÷往γ轴上的截距的增大而增大作出直线』o;γ＝ˉ÷鞭’通过平移直线′0可得点A（2｀3｜为;取得最大值的最优解］所以Zmax＝3×2＋5×3＝2l故选C.5由｜如｜≤1—y得y＿l≤z≤1-γ｜11＝0作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分（含边界）所示令z＝3鳃＋y’贝｜」直线y＝-3勿＋z与y轴交于点（0,z）。平移直线』:y＝—3苑,可知当其经过点B（2〕-1）时,z取得最大值5,故选C。［快解］作出可行域如图中阴影部分（含边界）所示’易得A（0’l）〕B（2,-1）’C（—2!ˉl）,将≡个点的坐标分另｜」代入3勉＋y中］比较可得其最大值为5〕故选（】。3.c［解析］本题考查简单的线性规戈」.作出不等式组表示的平面区域］如图中阴影部分所示·目标函数z＝—4鳃＋y的最大值｛即直线y＝4卵＋z在γ轴上的截距的最大值,故目标函数经过点A时取得最大—］／｜』「l＊｀』.霸≡’［快解］可行域是个四边形,求得四边形各顶点的坐标分别为（-l,0）,（2!0）,（3,2）〕（2’3）〕将各顶点的坐标代入忽≡3匆＋5y,可得目标夏题分类集训｛＂微信公众号：嗨呀同学高考必刷题真题分类集训数学（理）经过点A时』凰取得最小值｀直线γ＝—十鞭可以无限向上平移,故舅无最大值联立｛p慧α得｛｛二i即点州｛2』｜｜,所以柿-4所以＝［4』…｜故选n［刷盲所得］对于线性规划问题,首先应正确画出可行域,再明确z的几何意义［测‖｜｜诊断］本题难度适中,主要考查线性规划,考查数形结合思想｀转化与化归能力｀运算求解能力〕意在让多数考生得分。0O6［解析］由约束条件画出可行域‖如图中阴影部分及其边界函数的最大值为21故选C.［刷盲所得］判断二元—次不等式组表示的平面区域常用＂选点法＂!即直线定边界｛分清虚实;选点定区域,常选原点。求线性目标函数的最值的—般步骤是:—画二移三求其关键是准确作出可行域］准确理解z的几何意义,这样就可以借助图形直观地得到答案了.6D［解析］画出不等式组表示的平面区域｛如图中阴影部分所示设.＝撼＋2y｀则γ＝—÷瓤十÷作出直线y＝ˉ＋鞭并平移’结台图形可知,目标函数在（3］3）处取得最大值］为9.故选D.｀~~｜~绷一γ＋］＝0）｛／》｀磐→γ＝≡″』［快解］求出不等式组所表示的平面区域的三个顶点（3!-1）］（l’1）］（3〗3）｛分另｜」代入嘶＋2y中验证,可得卯＋2γ的最大值是9.故选D。［关键点拨］解决线性规划问题的关键是理解目标函数的几何意义,结合图像进行求解［测训诊断］本题难度适中］主要考查线性规戈｜」知识,考查数形结合思想］意在让部分考生得分。7D［解析］约束条件对应的平面区域是以点（0〕3）〕（0’1）,（—÷』÷）,（ˉ;』3）为顶点的四边彤』当巨标函数＝y经过点（0’3）时‖z取得最大值3,故选D.［关键点拨］正确画出可行域和理解目标函数的几何意义是解题的关键［刷育所得］目标函数z＝m＋勿的几何意义与直线在y轴上的截距有关［测‖｜｜诊断］（1）本题难度′」｀〕主要考查线性规戈｜」‖考查学生的运算求解能力｛意在让多数考生得分.（2）本题不应错‖若错可能是可行域画错或运算错误造成的。3冗＋20＝0γ凰＝……＝ˉ÷瓤＋i由图可知』当直线γ＝ˉ÷撼＋÷经过点A（2,0）时纵截距÷最大’舅也最大把A（2’0）的坐标代入目标函数z＝3冗＋2γ,得zmax≡3×2＋2×0＝6.?T.9［解析］方法—:作出可行域如图中阴影部分所示,联立｛憋;＝‖｜解得刹｜｜’2｜』联立｛副』-0｀解得B（5’4）’由z＝嘶＋y得y＝-则＋g‖作出直线γ≡—如』平移直线γ＝-匆‖易知当直线经过可行域内的点B（5,4）时］z取得最大值!且zm酗＝5＋4＝9~~γ／、但∩刻』◎~~日γ＿／∑＋卯Ⅱac［解析］作出不等式组表示的可行域］如图中阴影部分所示由z＝＂十2γ』得γ＝ˉ÷＋÷作出直线’＝＿＋瓣并平移』易知当直线γ＝1ˉ亏厕＋÷经过点A时』2的值最凸～＝02V＋3＝0卯-卯＝5Ⅺ~~γ方法二:作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示’△ABC的顶点坐标分别是A（l’2）’B（5,4）〕C（5,0）］代入目标函数z＝财＋γ!可得z的值分别为3〕9和5,所以z≡财＋y的最大值是9.‖2—5［解析］作出不等式组表示的平面区域］如图中阴影部分所示由葱＝〕鳃ˉ2y』整埋得y二÷鳃ˉj当ˉ÷最大时’z最小结合图形可知’目标函数氮＝3＂ˉ2′的最小值在A（＿1!1）处取得.此时zmi＂＝3×（-l）-2×l≡-5.ˉ卯β＼＼＼门｜3几＋γ＋5≡α卯＋3≡0大庙｛扁』5-0得剧｜—M｜赦Zmm＝ˉ3＋2×4＝5.故选C.［｜诀解］作出不等式组表示的可行域!因为z＝勿＋2y表示—条直线,所以最值点应在可行域的端点取得易求A（—3’4）』B（ˉ3’0）』C（-2’1）.将各点坐标依次代入可求z的最大值为5.［关键点拨］画出可行域〕利用直线z＝如＋2y的斜率大于直线3勿＋y＋5＝0的斜率,平移直线z＝期＋2y寻找取最大值的点.［测训诊断］（1）本题难度小〕主要考查线性规戈｜｜知识｀目标函数最值的求法］考查运算求解能力、分析解决问题的能力以及数形结合思想!意在让大多数考生得分（2）本题若出错,贝」是不能准确画出可行域让大多数考生得分（2）本题若出错,贝」是不能准确〖卯创二勺＝~~γ″y小如-V＝09D［解析］由约束条件画出可行域,如图中阴影部分所示田‘二獭十2y得γ＝ˉ÷叶÷』作出直线y＝ˉ÷露并平移’当直线γ＝＿丁缚＋丁.111y＝ˉ切「l＼3歹＂耻＋y≡-l@微信公众号：嗨呀同学答案及解祈图能力和数形结合思想｀转化与化归思想（2）本题若出错］主要是计算错误‖6.3［解析］作出题中不等式组表示的平面区域如图÷＝÷≡:表示（0』0｜与｜露』γ）两点连线的斜率结合图彤』庶叫最大又因为A（｜’3｜』所以十的最大值为湍二虱［测0｜｜诊断］本题难度小,主要考查简单的线性规划｜6］题,考查数形结合思想｀运算求解能力,意在让多数考生得分.l［解析］画出不等式组表示的可行域,如图所示由…ˉ4γ』得γ二÷熊—÷使z最小］就是使目标函数线的纵截距最大由图知直线过B点时’纵截距最大吁■■■绷＂）”带淫0夕尸如-γ联京｛剿三!告0｀得厨｜｛』］｜』代入目标…噶…＝!［测‖｜｜诊断］本题难度适中〕考查线性规划中求目标函数的最值,意在让大多数考生得分。‖42l6000［解析］设生产产品A为如件,产品B为y件,利润为z元,l.5卯＋0·5y≤l50］｜;蚤副贝｜」z＝2l00z＋900y］且匆,y满足作出上述不等式组表示的平面区域（应为区域内的整点）。作出直线′0:2l00斯＋900γ＝0,即7鳃＋3y＝0。l075.ˉ丁＜ˉˉ丁＜—ˉ丁,〕『。当平移′0到过点M的位置时,恿取得最大值｜23＾x~~!关键点拨］将÷化为瑞』再进行观察［刷盲所得］对于非线性的目标函数,通常利用其几何意义,例如备ˉ洲』表示定点（0』0｜与动点（撼’γ｜连线的斜率』这祥就可以把二元函数最值问题转化为斜率最值问题再例如√Fˉ下7可化为√（如ˉ0）2＋（yˉ0）2,即转化为定点（0,0）至｜」动点（嘶,y）距离的最值问题［测训诊断］本题难度较易,主要考查线性规划问题恤』（解棚露刊…等价于｛鳃质［｜』.出不筹…示响平面区域］如图中阴影部分所示作直线匆-2y≡0并平移］可知当直线＝2γˉ“…』时,.取得最小值由｛:i鸭解得‖＝l》~d｜｜』2）~＾｜2γ—撼｜…二1｛熟酬,得撇（‘0,＂0）』由zmax＝2l00×60＋900×100＝216000利润之和的最大值为216（m元V√30（）5x＋3）’＝600｀｀‖‖）～h‖A则｀3＝300X＋y｀｀Ⅺγ六〕~~γ″｀l00｀‖『0V＝0O｜＼5050x斟＿9＂0｜＼l″l＿!／［关键点拨］本题关键在于弓｜入变量,根据材料所限及工时所限建立变量间的不等式即线性约束条件j由于利润来源于产品A,B的禾｜」润,故把利润表示为产品A,B件数的函数』即线性目标函数｛然后利用—般的线性规划问题解决,再来验证答案即可［测‖｜｜诊断］（1）本题难度偏难,主要考查利用线性规划知识解决实际问题’即把实际问题转化为线性规划问题解决.（2）由于本题涉及数量关系较多!数据较大,故学生运算时可能出现错误｀5!［解析］由题可得可行域为如图所示的△ABC（含边界）’由凰＝鳃＋≡γ得y＝ˉ…当富线γ＝ˉ鳃挖过点B（l』÷）时瘸有最大垮冗［快解］直线鳃＋1＝γ,y≡2鳃的交点只有—个,若线性目标函数的最值存在,』｜—定…处取得由僻,解得｛》＝l｛...（2y—冗）min＝3。［关键点拨］条件勉＋l≤γ≤红的等价转化是问题转化的关键—步.［刷盲所得］判断二元—次不等式表示平面区域的方法』选点法＂直线定边界』分清虚实;选点定区域’常选原点.求线性目标函数的最值的般步骤是:—画二移三求其关键是准确作出可行域,准确理解目标函数z＝m＋b）′中z的几何意义’就可以借助图形直观地得到答案1Taˉ28［解析］作出可行域如图所示.由z＝鳃＋3γ得y＝＿丁z＋÷由图可知’当喜线γ＝—÷鲸十÷经过点c（4』—2｜时』在y轴上1z的截距最小,因而zmm＝4＋3×（ˉ2）＝—2.当直线γ＝ˉˉ丁z＋丁经过点B（2,2）时!在y轴上的截距最大,因而zmaⅪ≡2＋3×2＝8.［快解］可行域如图所示将A（1,1）’B（2,2）］C（4,—2）代入z≡卯＋3y得zA＝4,zB＝8’zc＝一20ˉ·.zmm≡一2,2maⅡ＝8。夏题分类集训◎~~］＋γ刀》＂｜「斗［刷盲所得］对于线性规划问题’首先正确画出可行域,再明确z的几何意义［测‖｜｜诊断］（1）本题难度较小,考查线性规划知识,考查考生的作微信公众号：嗨呀同学高考必刷题夏题分类集训数学（理）V＝0＝02y＋4‖3x咏~~~／2万.ty-2＝0［测〗｜｜诊断］（1）本题难度较′｜｀〗考查简单的线性规划问题｛考查考生的作图能力和数形结合思想｀转化与化归思想（2）本题若出错,主要是计算错误｀9｛÷l3｜［解析］不等式组对应的平面区域是以点』｜0｀2）』B｜l』0）!C（2』3）为顶点的三角形,如图所示,愈2＋广表示原点至｜」△ABC内（包括边界）点的距离的平方.因为原点至｜」直线2鞭＋yˉ2＝0的距离为÷』所以（蕊2翔2）…二÷当｜聪』y｜取点c（2』』｜时』蕊…墩得最大值l3』故驱2＋y2的取值范围是｜÷’l3｜［关键点拨］目标函数鳃2＋y2的几何意义是距离的平方!不能遗漏平方。［测‖｜｜诊断］（l）本题难度中’主要考查线性约束条件下,目标函数的取值范围］考查学生的运算求解能力’意在让学生得分.（2）本题若出错,—是目标函数的几何意义应用错误’没有平方｝二是运算错误.立体几侧专题∧考点08空间几何体的结构特征｀表面积与体积刷小题1D［解析］本题考查三棱锥的外接球的体积.如图｛取AC中点G!连接PG］BG易证AC上平面PBG0PBC平面PBG’故PB上AC.又E‖F分另｜」是PA,AB的中点,故EF／／／PB。由么CEF＝90°!得EF上EC!故PB上EC』而AC∩EC＝C］因此PB上平面〃C.所以PB上川,PB上PC.又因为△PAB,△PBC’△川C是全等三角形,所以三棱锥PˉABC中PA‖PB』PC两两垂直P咋（旬闽ABA将三棱锥P-ABC放至｜」正方体中,如图,则正方体的棱长为√Z则正方体的外接球即为三棱锥PˉABC的外接球.易求得正方体的体唬线长为佰’故球0半径R＝李』则球o的体积v三÷丽膊≡÷厕×乎≡佰丽』故选u［关键点拨］根据题意得出〃］PB’PC两两垂直!将三棱锥P≡ABC放到正方体中’则三棱锥P—ABC的外接球半径即为正方体的体对角线的—半2B［解析］由三视图还原成直观图可知,点M］Ⅳ的位置如图（1）所示.在图（2）所示的圆柱侧面展开图中’｜M＼／｜＝√Fˉ再丁＝2√百.（‖」＝—～″（A）得分.（2）本题不应错,若错!则反映了对三视图理解不至｜」位,要注意空间想象能力的培养4B［解析］如图所示’点M为△ABc的中心,点E为AC中点0点O为球心’显然当DMˉL平面ABC时,三棱锥DˉABC的体积最大.因为球半径为4］所以OD≡OB≡4.因为△ABC为等边三角形且面积为呕』所以亨姻2二蛔,解得姻二6因为点删为△ABc的中心’所以6″＝÷B圆＝÷×3何＝2杠在R!△O临中』根据勾股定理可知』OM＝√OB2ˉBM2＝√则2ˉ（2√可）2二2’所以DM＝OD＋OM＝4＋2＝6’所以三棱锥DˉABc体积的最大值为＋×9徊×6＝18徊故选B.D［刷盲所得］解决与球有关的切｀接问题’关键是构造直角三角形进行计算.［测‖｜｜诊断］（1）本题难度中等’考查与球有关的三棱锥的体积问题0意在使部分考生得分°（2）若错!贝‖可能是对几何体的外接球性质掌握不到位｀空间想象能力不够＝＿＿5.B［解析］由三视图可知!几何体的直观图如图所示该几何体有两个面是梯形!且都是上底为2!下底为4］高为2的梯形,因此所求梯形的面积之和为4MB）图（2）因此从M至｜」Ⅳ的路径中,最短路径的长度为2佰.a∧［解析］根据题意!樟头能够和带卯眼的木构件咬合,所以樟头应能完全放进所求木构件的卯眼中,但是凹进的／」｀长方体在顶部是看不到的,所以应画成虚线故选A.［测0｜｜诊断］（l）本题难度小］考查三视图的判断』意在使大多数考生S＝2×（2＋4）×2≡12.故选B22［测‖｜｜诊断］（1）本题难度适中,主要考查三视图与简单几何体｀平面图形的面积等知识］考查空间想象能力｀运算求解能力,意在让部分考生得分.（2）本题若出错,可能是空间想象能力不足!不能还原出几何体的直观图所致@微信公众号：嗨呀同学答案及解析6B［解析】由三视图可知,该几何体可以看作两个几何体的组合体,上部分是底面圆半径为3‖高为6的圆柱的—半］下部分是底面圆半径为3高为4的圆柱』所以该几何体体积为丽×32×4＋÷×丽×32×6＝63∏.［测‖｜｜诊断］本题难度适中’主要考查由三视图还原几何体｀简单几何体的体积计算、不规则几何体的体积计算‖考查空间想象能力和转化与化归能力,意在使多数考生得分。7.B［解析］设圆柱底面半径为厂,球的半径为R,过圆柱的轴线作—截面』如凰由勾股…′二√藤＿（十）』二亭＾该圆柱的体积γ二s…×（粤）』×」二÷佩计算几何体表面积即把各个面面积相加.（2）本题若出错’—是不能利用三视图判断几何体形状‖二是没有理清对应的长度、角度］导致计算出错.‖‖.B［解析］因为AB上Bc,AB＝6］BC≡8,所以在Rt△ABC中〗AC≡√AB2＋BC2＝10,所以△ABC的内切圆的半径r≡6＋8ˉ10≡2.又2句因为4A1＝3＜4’所以在三棱柱中体积最大的球的半径为÷’此时凸′二÷丽×（÷）｀＝÷瘫［关键点拨］本题关键是计算△』BC的内切圆半径［测0｜｜诊断］（1）本题难度较大,主要考查多面体与球的组合体,以及球的体积公式,处理此类题时,可借助正方体、长方体｀正四面体的内切球或外接球0或通过画出截面计算球的半径（2）本题若出错］主要是不会转化为计算截面三角形内切圆半径｜2B［解析］米堆的体积为十×＋×丽×（警）2×5＝碧（立方尺）,从而这堆米约有3×器62≡22（斜｜放选Ⅱ［刷盲所得］对干—些以实际生活为背景命制的考题’关键是迅速把其所蕴含的数学问题找出来』利用数学知识加以解决.［测‖｜｜诊断］本题难度较易》主要考查空间几何体的体积计算,考查学生的运算求解能力.T3。B［解析］由题中所给条件!所得组合体的表面积为（2厂）2＋＋顿′2＋而′.2厂＋2丽′』＋十w产＝5呵′2＋4′2≡l6＋20俞』从而厂＝2,故选B,［关键点拨］能把三视图准确地还原为直观图［刷盲所得］对干组合体’还原时先弄清楚组合部件的相对空间位置］然后再进行还原］牢记三视图法则｜!长对正｀高平齐｀宽相等＂.［测‖｜｜诊断］本题难度较易,主要考查三视图还原直观图｀空间几何体表面积的计算,考查学生的空间想象能力和运算求解能力。T4D［解析］由三视图可知’剩余部分是由正方体截去Qˉ≡像尺卢尸＾』′【『】占〃『］＿∑［测训诊断］本题难度中等,主要考查立体几何中球的内接几何体问题!考查空间想象能力、计算能力,意在让部分考生得分。8.∧［解析］由该几何体的三视图可知’这个几何体是把—个球挖樟它的÷得到的（如图所示》设该球的半径为R』则;×÷丽R』二等丽』得R＝2所以它的表面积为4丽×2』ˉ÷×4硕×22＋3×十…2:＝l7碾故选A.［关键点拨］根据几何体的三视图都是圆!且圆中有线段出现!可得该几何体-定是球去掉了-部分.［测‖｜｜诊断］本题难度适中,主要考查根据三视图还原几何体｀求几何体的表面积,考查学生的空间想象能力及运算能力’但—部分学生不能根据几何体的体积求出其半径’或能求出它的半径］而计算表面积时漏掉某—个（些）表面而出错筐9.C［解析】由三视图可知,该几何体为—个圆柱上放着—个蘸鲤篱蹦霖慧鳃蹦蹦挺｜8而’S圆柱侧＝2丽×2×4二l6∏,S圆柱下底＝4…该几何体的表｜面积为8∏＋16∏＋4∏≡28而.故选C.［刷有所得］圆锥的表面积公式S＝∏产＋∏厂′;圆柱的表面积公式;S＝2而厂2＋2而厂′;圆台的表面积公式;S＝而产＋而厂′＋而R2＋∏Rl.［测0｜｜诊断］本题难度较小,平时训练时要加强公式记忆和理解,争取不失分.‖OB［解析］由三视图可知原几何体为—个斜四棱柱〕底面是边长为3的正方形’该斜四棱柱是棱长为6的正方体的—部分,如图所示,其表面积为（3×3＋3×6＋3×3石）×2＝54＋18石.故选B三棱锥AˉBCD］如图所示.设正方体的棱长为1,则A『正方体＝l,｜h＿腮”二十×＋×』×l撼l＝÷』1B带÷＿÷…6［刷盲所得］若三视图中出现垂直关系较多时‖我们常借助正方体或长方体模型进行割补］还要注意三视图中线段的实虚和线段的倾斜方向.［测‖｜｜诊断］本题难度适中,利用三视图中对角线的走向］要准确定位‖尽量不要失分｜5C［解析］γv…c＝v…二＋s∧“圆.′b≡÷R』′Mh…＝肘』＾w…）…＝÷膊二36解得R＝6』＾s球二4厕Rz二l44佩［关键点拨】本题VOˉABc≡VCˉO刹B,这样才能更好地明确何时VOˉABC最大.这样才能得至｜」‖／0ˉABc最大值的表达式!先求出球的半径凡再求球的表面积.［测‖｜｜诊断〗本题难度适中!主要考查球的相关性质,平时我们要多加练习］重点突破06B［解析］本题考查由三视图还原几何体｀简单几何体的体积计算及祖肥原理的应用.由三视图可知!该几何体可以看作正方体截去两个三棱柱所剩余的部分,如图所示几何体ABCDEˉA｜BlClDlEl的体积为V正方体AGFEˉAlClFlEl—V棱柱CDFClDlF!-V棱柱BCGˉBlClGl＝夏题分类集‖｜｜6′行＝抄√A3B［关键点拨］求解此类问题,首先应熟练掌握常见几何体如棱锥｀棱柱｀圆柱｀圆锥｀球等在不同放置情况下的三视图‖在此基础上结合每题的特征,找至｜」对应的几何体.［测‖｜｜诊断］（1）本题难度适中,考查三视图、多面体的表面积｀由三视图还原几何体!可借助正方体｀长方体｀正四面体来还原几何体,微信公众号：嗨呀同学高考必刷题夏题分类集训数学（理）36×6＿＋×2×3×6ˉ＋睬3…6＝］62｜cmⅡ）』故选＂求解能力］意在让多数考生得分（2）本题若出错,主要是不能还原出几何体.2l26√豆ˉl［解析］本题考查空间想象能力及运算求解能力.由‘半正多面体＂的特征可知上半部分有9个面,中间部分有8个面,下半部分有9个面!共有9×2＋8＝26（个）面.如图,取半正多面体的截面正／＼边形ABCI）E″H则由正方体的棱长为1可知AD＝l。由对称性可得△BAI）＝咱。｜设半正多面体的棱长为如.过B’C分另｜」作B″上AD于M］OV上AD于″』则删二删-‘＂-′＂-粤鳃故由侧十删带M-闷叶蕊三!』知如＝←＝√百ˉl.√2＋l″扣＼／.｜｜｜0‖‖｜列＿ˉ」—＿＿E／｜／≡….DC｜′≡≡′眨′≈′、G′BA［关键点拨］通过三视图准确地画出该几何体的直观图,从而根据几何体的结构特征’结合相关数据〕求出几何体的体积。‖7c［解析］根据三视图,还原四棱锥,如图在四棱锥S—ABCI）中’SDˉ［底面ABCD,AB／／／CI）,AD上DC.AB＝l,AD＝DC≡SD＝2.显然△SDA’△SI）C是直角三角形.另外SD上AB］S′4l＝＝＝尸＝＝＝夕『~∏■‖【口‖了尸且＝′″夕＝、『‖‖】＾〗‖‖‖…论∩『凹扩〕＝＞口【~~~~~~／BCAI）MⅣAB上AD’SD∩AD≡D’。.,AB上平面SAD。又剔C平面SAD!...ABˉ［SA‖即△MB是直角三角形.又计算△SBC的三边长并由勾股定理A知其不是直角三角形故选C.′0‖′0｜u｜ˉE′′《j~~~~CGF［关键点拨］根据半正多面体的对称性求面数.根据半正多面体的特征将空间问题平面化,转化为;已知正∧边形中与边平行的对角线长为l,求边长22。118.8［解析］本题考查空间几何在实际问题中的应用依题知γ长方…ˉ…′｜＝6×6×4＝｜科（cm』｜’γ…ˉc″鹰′＝÷×3×（6×4—6×2）＝12（cm3）,...V模型≡M4ˉ12＝l32（cm3）.。..制作该模型所需原料的质量为0.9V模型＝0.9×l32≡ll8.8（g）。［关键点拨］本题的关键是正确确定挖去的四棱锥的底面面积和高,因为其底面各顶点是长方体侧面棱的中点］所以其面积为长方体该侧面面积的—半.23。40厄而［解析］方法—;如图过顶点S作SO上底面,可设圆锥底面半径为厂〕..。SA与底面成45°角』...M＝′,S0＝厂,...AS＝厄r｛则SB≡徊厂.7又M与sB所成角的余弦值为方』设SA与SB所成角为0’＾…＝＋＝As2＋6s2ˉ‖膘二2′2令2户ˉ姻22AS。BS2×√页厂×√可厂,′M-祭,取姻巾点E』连攘陋』则姻-÷咽-务,B［刷盲所得］三视图的题目要先还原出直观图才能进行判定与相关计算本题中,SA与AB的位置关系需要推理判断］△MB是直角三角形易被忽略‖ac［解析］由三视图知该几何体是底面为AD直角梯形的直四棱柱］即如图所示四棱柱AlBlClDl-ABCD.由≡视图中数据可知底面梯形的两底分另｜」为1和2,高为2,所以As臆厨＝＋×（｜＋2）×2＝3直四棱柱的高为2］所以体积v＝3×2＝6。故选C.CC］［关键点拨］根据几何体的三视图画出正确的直观图［测‖｜｜诊断］（1）本题难度小,考查三视图及棱柱的体积,意在让大多数考生得分。（2）本题不应错］若错］可能是不能正确地将三视图还原为几何体‖9.B『诞析〗相抿≡抑国可午∩ˉ谚∏何休早丁′〗B［解析］根据三视图可知’该几何体是正D四棱锥P-ABCD↑利用补形法（镶嵌法）将其放入棱长为2的正方体中,如图可以得出最长棱是川’且R4＝√可PC＝2／可.故选B·［关键点拨］求解本题的关键是由三视图及其图形中的数据能够进行识别｀半｜」断和得至｜」对＾CDs…』＾鹏-〃5』—姻』-√2娇』—晶『2-孕＾＾s…宁＂.s圆-＋×亭×嘿-罕′凰≡5∏了,°.°厂＝2√l0,八S圆镶侧＝÷×2丽r×徊′＝寸×2丽×2m×徊×2m二侧厄＂S应的直观图’并准确计算出几何体的相关数据,应注意三视图的特点＂正侧—样高!正俯—样长』俯侧—样宽］.［刷百所得］解决此类问题的关键是得出几何体的形状’利用补形法（镶嵌法）’即借助正方体（或长方体）求解［测‖｜｜诊断］本题难度适中,主要考查三视图的识别与空间几何体相关数据的计算,考查空间想象能力｀转化与化归能力｀运算求解能力］意在让部分考生得分.2O∧［解析］由三视图可得〗原几何体是由—个三棱锥和个半圆锥组成≡棱锥的底面是边长为2cm｀该边上的高为1cm的三角形,言为3cm｀因此三棱锥的体积v｜＝十×÷×2×｜×3-川cm』｜;半圆锥的底面半径是lcm』高为3cm』它的体积陀＝＋饰×l』×3×十二÷｜cm』｜所以原几何体的仙积V＝］十÷（cm』‖［测训诊断］（1）本题难度适中］主要考查三视图与几何体的结构、圆锥和棱锥的体积公式,考查空间想象能力｀转化与化归能力｀运算‖7方法二;设母线SA’SB所成角为6’贝‖…＝古』sm0＝√lˉc赡20＝孪s…-＋鳃』×…-＋酗2×乎＝M了』解得s』-咽设底面圆的圆心为O』。..SA与底面所成角为45°!.。.△SOA为等腰直角三角形,。..底面圆半径R＝SA·sin45。＝2｀／I∏.o微信公众号：嗨呀同学马答案及解析设EC与OP交于点′］则′为正方形E′℃H外接圆的圆心!′圆-十oA-＋｀以点o』′为上下底面圆心的圆柱的体积v＝丽×（＋）』×｜二于［关键点拨］根据棱锥的结构特点,确定所求圆柱的高和底面的半径［易错鳖示］圆柱的底面半径是棱锥底面对角线长度的—半,不是底边棱长的—半10［解析］本题考查空间几何体的体积.因为长方体ABCD＿AlBlClDl的体积是120’所以三棱柱BCD-BlClDl的体积是60’又点E是CCl的中点,贝｜」三棱锥E-BCD的体积VEˉBcD≡÷‰…』o｜＝十×60＝!o［易错警示］锥体的体积容易忘记乘÷古［解析］依题意知｀四棱锥″ˉ″cH为正四棱锥’正方彤＾该圆锥的侧面积s倒锥侧＝＋×2厕Rx酗＝4呐而［测‖‖诊断］本题难度较大,考查圆锥性质、线面角｀余弦定理等知识!考查空间想象能力与运算求解能力］意在让少部分考生得分.24·4√T互［解析］如图（l）,作OH上AC,垂足为H,连接EH由题意知,点O‖H,E在＿条直线上.设OH＝勉,则AC＝2√了鳃,HE＝5ˉ鳃,＾s…＝＋※砸×3露＝蛔熊乳27F图（1）如图（2）。设D］E｛F重合干点S］则根据题意,点S在平面ABC上的投影为圆心O］＾SO＝√FHi二OH2＝√（5ˉ彪）2ˉ鳃2＝√面5ˉ＝丁丽』厅≡勺～—S＄28ˉ粤’四棱锥删—″cⅡ的高为勺√｀‖‖′′］—〗（＋）】—∑／』】‖‖｀／γEFGH的边长为＾γ…二÷s….sO＝√I5瓣2.√亏＝万＝5√百.√5则4＝2页了’0＜则＜ˉ丁.凸令／（鳃）≡5匆4ˉ2嘶5,则／,（厕）＝20鳃3ˉ10匆4≡10冗〕（2—匆）,当0＜鳃＜2时］／（匆）＞0’当2＜＋,所以四棱锥删ˉ〃‘″的体积为÷×（亨）—×＋≡古［易错鳖示］本题易错点有两处:—是空间想象力弱,误以为四边形EFGH为有—个内角为120。的菱形］事实上!四边形EFGH为正方形;二是四棱锥的体积公式与柱体的体积公式搞混÷［解析］匠方体的棱长为2｀易知以其所有面的中心为顶点的多面体是正八面体｀所有棱长都是／Z则其体积为＋×（√5｜2×l×2＝牛〕［关键点拨］熟悉正方体各面中心构成的几何体的结构是解题的关键竿［解析］由正方体的表面积为l8得正方体的棱长为√可’则其外凸接球的直径为2R二3』R＝÷』则这个球的体积为乎R』＝竿×279∏了≡丁.［刷育所得］正方体的体对角线是其外接球的直径,棱长为α的正方体的外接球的直径2R＝何α.［测训诊断］（l）本题难度适中］主要考查正方体的外接球的体积,考查考生的空间想象能力和运算求解能力』意在让部分考生得分.（2）本题若错可能是正方体的棱长计算错误、正方体与外接球的关系错误或球的体积公式应用错误造成的.2＋子［解析］如图’由三视图可知,几何体的直观图中』长方体的～长｀宽｀高分另｜」为2］l,1!其体积为J／l＝2×1×l≡2.CB“＜÷时√,（诞）＜0’＾／｜膨｜在＂＝2处取得最图（2）大值。此时（VSˉABc）max≡√I了×22×√5ˉ＝页ˉ百页＝4√i百.［测‖｜｜诊断］本题难度大,主要考查三棱锥的结构与特征｀点面距离｀图形的翻折｀锥体的体积、导数与函数的最值等知识,考查空间想象能力｀运算求解能力｀转化与化归能力,意在让少部分考生得分.25.若′上m,l」ˉα,则m／／／α（答案不唯-）［解析］本题考查立体几何中的直线与平面的位置关系.由题意可得到以下三个命题2930／矛-′（l）若o@〕则o,即若′上m,m／／／α,则′上α!不成立.（举反例）如图〕α／／／β,′,ⅢCβ且‖上∏!,″o／／／α,显然!与α并不垂直／厂7（2）若OO‖贝」@,即′上m,′上α,则m／／／α,成立.若′上″l,!上α,则″『Cα或m／／／α。又已知′『l为平面α外的直线］则m／／／α成立甲（3）若酗,贝｜」o,即m／／／α,′上α,则』上m〕成立如图,若矾／／／α,则在α内存在直线则与m平行,即″Cα且m／／／″。又。.′上α〕.。.』」ˉ″。又..m／／／″,.噶.′上m·［关键点拨］本题为开放性命题’答案不唯—.30可根据条件构造三个不同的命题,从中找出—个正确命题即可要证明命题不成立』可以通过举反例的方法,对于立体几何中有关位置关系的证明’除了使用综合法等常规方法,还可以使用反证法.26子［解析］本题考查空间几何体的结构特征圆柱的体积公式＼／｜＝＝＝孝＝＝＝-＝＝＝＝＝＝--＝＝如图,正四棱锥P-ABCD的底面边长为徊,侧棱长为√百ˉ,点E,F,G‖H分另｜」为线段PA,PB,PC,PD的中点］O为底面中心’AB＝√2,M＝?』B＝l』oP＝√萨＝I丽＝÷A√弓ˉ二ˉT＝2,故圆柱的高为1左右两边的十圆柱体的母线长为l』底面半径为l』故其体积为随-2×＋×而×｜2×｜＿子』因此该几何体的体积为′二′｜＋赐＝2＋÷～［测‖｜｛诊断］本题难度中〕主要考查根据几何体的三视图还原直观图,求几何体的体积’考查空间想象能力、运算求解能力以及分析解决问题的能力｛意在让部分考生得分。夏题分类集训C｜B夕人′飞夕b夕／〔微信公众号：嗨呀同学高考必刷题舅题分类集训数学（理）32÷［解析］设球O的半径为『』则圆柱的底面圆半径为『高为2∩J／l∏厂2·2厂3则丙＝ˉ耳＿＝了＝了丁而厂知′六边形″c础s为正六边形｀并易求得EF二坚』所以s＝6×凸（＋×乎×粤×…0.）-乎故逾A方法二;由于正方体的12条棱可分为3／llJD｜［关键点拨］本题的关键是弄清几何图形中基本量的关系以及熟悉几何体的体积公式［刷有所得］与圆柱的上｀下底面及母线均相切的球的半径等于圆柱的底面圆半径｛直径等于圆柱的高［测‖｜｜诊断］（1）本题难度适中‖主要考查圆柱｀球的体积计算,考查考生的运算求解能力!意在让多数考生得分.（2）本题不应错,若错可能是公式错误或者运算错误造成的考点‖9空间点｀线｀面的位雷关系刷小题｜lB［解析］本题考查面面垂直的性质、空间线段长的计算及直线位置关系的判断如图｛连接BD,BE...·／V为正方形』BCD的中心,..。Ⅳ匡BD。又.。.″是ED的中点!...M巳ED.。.·M,Ⅳ巨平面BED。...由图知BM与E／V相交方法—:设CD的中点为O,以O为坐标原点〗OD〕O／V〕OE所在直线分别为匆轴、y轴｀z轴建立空间直角坐标系,如图所示设正方形ABCD的边／组,每组中的4条棱所在直线互相平行,故每条棱所在直线与平面α所成的角都B］相等等价于具有公共顶点的三条棱与平面α所成的角都相等不妨设平面α与FClC’ClB1,ClD1所成的角相等〗则平面α与平面B1CDl平行或者重合当平面αB刁十回D1L〃l＋（丁飘白里ˉ曰.二＋回αDCl』‖‖0′′尸0＝■■尸口司户′〃CC截此正方体的截面是三角形时‖这些三角图（3）形的最大面积等于s…D｜＝粤当平面α截此正方体的截面是六边形时,设截面与棱AlB1,BlB,BC,CD,DD1,DlA1分别交于点E,F,C,H,′’Jb连接〃设A1E＝鳃（0＜勿＜1）,贝｜」A1J＝BF＝BG＝DH＝D′＝熊’BlE＝BlF＝cG＝CH＝DlI＝DlJ＝1ˉ鳃,幻＝F℃＝Ⅲ＝徊“,″≡GH＝〃＝√5（1＿缚）,∏＝√ZS梯形EF″＝÷｜徊半徊甄）.｜粤（｜ˉ瞩｜｜＝粤（｜ˉ撼2｜’s…′二寸［徊＋呕｜!＿骡｜卜祭-粤蹦（…｜′所以s六…啊≡s…＋s…′-粤（＿2瓣』十2鳃＋!｜』当＂-÷时,s六…＂″有最大＝长为｜则囱（M,粤）｀″（0’＋,0）』圆（—十,1』0）〃（＋』0’享）碰-（0,＋』ˉ粤）』丽-（÷』ˉ1’粤）＼乙二／＼4..4／值乎综上所述,当每条棱所在直线与平面α所成的角都相等时,平面α截此正方体所得截丽积的最大值为乎C［解析］方法—:以D为原点‖nA‖DC°DD｜所存宫纬分男｝｜为冗°v.z冗~｀｜丽｜＝乎’｜丽｜＝l』＾｜丽｜≠｜顽全方法二设ED＝DC＝α,则BD≡徊血’EB≡徊α.在△酗D中』由中线定理得‘滩＝＋［2（m2＋EB2｜—即』］二α2』＾酬-…E″二粤°』＾删筹酗故选Ⅸ［刷盲所得］三角形的中线定理‖三角形～条中线两侧所对边的平方和等于底边平方的＿半加上这条中线的平方的2倍,即对任意△4BC,设′是线段BC的中点′AI为中线!贝｜」有如下关系AB2＋dC型二2″辨M′缴或姻2带AC2＝十BC2带2眠3.C［解析］方法—:以D为原点〗nA‖DC’DD1所在直线分别为冗0y,z轴!建立空间直角坐标系’如图所示’‖｜≥铲7~B〃〗x贝｜」A（1,0』0）,Dl（0!0,√可）’D（0,0,0）!Bl（1’1!√5ˉ）〕＾画＝（ˉl’0’√可）』面＝（l』l’√5）』设异面直线ADl与DBl所成的角为0!耐硒—］涸＝粤放选α。°COS0＝≡『而丫「而∏ˉ｀／iˉ百×｀／T丁Iˉ下可ˉ｜｜AD｛｜｜DB「｜｜｜｀／iˉ百×｀／T工Tˉ百｜ˉ2∧［解析］方法—;由于正方体的12条棱’可分为3组‖每组中的4条棱所在直线互相平行所以要让每条棱所在的直F线与平面α所成的角都相等’只需找—个具有公共点的三条棱!使其所在的直线与平面α所成的角都相等即可不妨找以Cl为公共点的三条棱C!B｜!ClDl,BClC。如图（l）,在三棱锥Cl-BlCDl中!底面BlCD｜为等边三角形!且ClBl＝ClD］＝ClC’所以三棱锥Cl＿BlCDl为正三棱锥’故三条棱ClBl‖ClC与ClDlBl所在的直线与平面BlCDl所成的角都相等当平面BlCD｜沿对角线ACl平行移F动时］只有当平面移动到平面EFCHRS（E,F］G〕〃,凡S分别为所在棱的中点）B时,面积最大!如图（2）所示又由题易FBAlDl‖ClCl方法二:如图,连接BC1,BlC交于O点‖取CD中点／V,连接O／V’／γB.贝｜」O／V／′／DBl’ADl／／／BCl.Al。tO／V与OB所成角即为异面直线ADl与DBl所成角在长方体中,BlD≡√Iˉ干ˉIˉ百≡√百,OⅣ＝÷E‖D-亨,爬-亨’oB≡÷Bc』≡!,士~／＾…″o阀-（粤）』十｜2＿（粤「—罕故2×粤×｜选C.A0Ⅺ0ⅪDD;〔｜‘图（］）S4lD］∩√RHD℃）勺≡（图‘@D织』』『伊′『卢『′′0′′f′′′pJ″｀Ⅱpb′卢′f』「′』『『』′微信公众号：嗨呀同学答案及解析7D［解析］由题意得四棱锥S—ABCD为正四棱锥］设O为其底面中心〕贝」SO上平面ABCD.过点E作EG／／／BC交CD于点G,贝｜」乙SEG＝0］,易知SE＝SG,取gc中点H』八…｜＝箭取‖B中点′』连接o′｀sRM）〃Bc』。。.OF上AB｀..。SA＝SB!F为AB中点』。·.′4B上SF!.。.▲SFO为二面角S—AB一C的平面角｜SO..·乙SFO≡03‖tan03≡而.0°.OF＝EH!SH＞SO,.,°tan01＞tan0q,..°01＞03.。。,SO上平面ABCD,。。.▲SEO为SE与平面ABCD所成的角,＾△s圆o＝02’｀an02＝粉o圆＞o′』…0』＞憾n0』’.°·0愈＞0,!°°°0l＞03＞02,当且仅当E为AB中点时］0l≡02＝03.故选nS［测‖｜｜诊断］本题难度适中］考查异面直线所成的角的余弦值、空间几何体等知识,考查空间想象能力与运算求解能力.C［解析］如图〗延长CCl至C2,使ClC2＝CCl＝1’C24C［解析］如图〗延长CCl至C2,使ClC2＝CCl＝1’连接AC2,B1C2....ClC2上BBl,.。.四边形BC］C2Bl为平行四边形‖..』BlC2／／／BCl。...么ABlC2为异面直线ABl与BCl所成的角或其补角在△ABC中］』C2≡AB2＋BC2—2AB。BC。cos乙ABC＝4＋l-2×2×1×cos120°＝7』且ABl＝√AB2＋BB↑＝占,BlC2＝√B!C｝＋Cl畸＝√ZAC2＝√AC2＋CC;＝√∏AB｝＋Bl佬ˉACi5＋2ˉ11√T∏cos乙ABlC2＝＾MDˉD尸～店厉≡一＝＝4lClCABcos120°＝7』且ABl＝√AB2＋BB↑＝占,BlC2＝√B!C｝＋Cl畸＝√ZAC2＝√AC2＋CC;＝√∏在△AB!C2中’』砷B｜佬—“】＝’带2ˉnˉ织屏面直线姻!与Bc｜所成角的余弦值为孕故选°［刷盲所得］求异面直线所成的角’关键在干把空间角转化为平面角,转化的方法有中位线法、构造平行四边形法等本题就采用了构造平行四边形法求解［测训诊断］（1）本题难度适中,主要考查余弦定理｀异面直线所成的角!考查运算求解能力｀空间想象能力｀转化与化归能力］意在使部分考生得分.（2）本题若错,则反映考生空间想象力不够｀转化能力不足5.∧［解析］在原正方体的前方补—个正方体（如图）,故平面α为平面A″Q,...α∩平面ABCD≡m＝AM,.。.AM／／／B!Dl’即m／／／BlDl》同理n／／／DlC,...Ⅷ,n所成角为乙cDlBl.又△cDlBl为正三角形,＾△cD｜B｜≡60.｀八啊』＂所咸角的正弦值为粤』故选ACAEFB［关键点拨］在正四棱锥S-ABCD中,利用＂平移法＂作出SE与BC所成的角0l;用线面角的定义作出02,用二面角的定义作出03是解决该题的关键［刷有所得｜空间角的求法（l｜异面直线所成的角0匡（0》苦｜』常田吉排为平移洪和向量诀:（2）纬面角0巨「0’婴｜』常用方法;定义用方法为平移法和向量法｜（2）线面角0匡［0’苦｜』常用方法;定义法和向量法;（3）二面角0巨［0,∏］‖常用方法为定义法｀三垂线法｀垂面法和向量法。［测‖｜｜诊断］（1）本题难度中,考查异面直线所成角,线面角和二面角的求法!意在让部分考生得分。（2）若错,反映了考生的空间想象能力不强!不能′｜央速正确地作出这三个角8.@o［解析］若直线α』b不共面,过直线α上任—点P作直线b′／／／b,设直线α!b′确定的平面为α,则α上b′,且α∩b′＝P,,..ACˉLb,。.。AC上b′。。惨.ACˉLα,α∩b′＝P,°酵·AC上平面α.。·。当等腰直角三角形ABC以直角边AC所在直线为旋转轴旋转时!△ABC形成圆锥AC‖直角边BC形成圆锥的底面β,...平面α／／／平面β或平面α,β重合。取平面α／／／平面β。存∧』‖BC中。沿AC＝BC二1｀贝｜｜AB≡√r。如图,设A在△ABC中｛设AC＝BC二1｛则AB＝√2。如图,设D‖C］Bl~~‖QDDC~~~~~A′此A′此ⅣM［刷百所得］找面面交线的方法有两种,—种是根据线面平行的性质,另—种是找两个平面的两个公共点连成直线即为交线;而异面直线所成角的求解方法主要是平移｀建立空间直角坐标系［测0｜｜诊断］（1）本题难度偏难,主要考查面面平行的性质及异面直线所成的角的求解,学生不易得分.（2）由于立体几何中找面面交线较难,学生找不到交线与其他线的关系‖而不能将′n‖′l所成角转化为与它们平行的直线所成角而出错.BE／／／α’DB／／／b｜贝｜｜DE是圆C的直径当直线AB与α成创。角时｛直线EB与AB成创°角』·.‘4E＝√ZAB＝√Z乙ABE≡60°’...△ABE为等边三角形’...EB二√百.』·.CB＝上CD....DB≡√豆....AD＝√ZAB≡√Z..。△∧BD为等边三角形·｀么ABD＝60·.。.角.故o错,@对B日［解析］本题考查异面直线所成的角｀线面角｀面面角的求法.由题意得三棱锥V-ABC为正三棱锥如图,在平面ⅦC中!作PD／／／AC交VC于点BD,连接BD.在等腰△BPD中｜α＝乙BPD（α屋（0』÷｜）取Po的中点″』连接B″』则（α匡（0』丁｜）’驭″田甲息′γ’注按皿v’川6.B［解析］本题考查异面直线所成的角、线!AB与b成60°C对于o和@,平面β内有无数条直线与直线α平行当AB在平面β内的投影CB与直线α在平面β内的平行线α′重合时〗直线AB与α所成的角最小,为45°｛故O对当α与平面ABC垂直时,直线AB与α可以成90°角,故@错。［测】｜｜诊断］（l）本题难度大』主要考查直线与直线｀直线与平面的位置关系,考查空间想象能力、分析问题和解决问题的能力!意在让少数考生得分。（2）本题若出错,—是考生作图时出错,二是空间中直线与直线、直线与平面的位置关系判断出错9.@o@［解析】@不正确.由加上″,m上α’可知″／／／α或网Cα。又Ⅷ／／／β’...α〃β或α∩β＝／（但不—定垂直）.@正确＂／／／α,贝｜｜存在n′Cα,n／／／n′’又m上α’则必有′＂上n′,。。.′门上＂。夏题分类集训A斟mα二器作P0坪面佃C｜连接Bo』则愚mβ二器（β匡（0』号］）...PD／／／平面ABC,。.。PO为直线PD与平面ABC的距离,即PO与点／v到平面ABC的距离相等.。.HV＞PO’。。。sinα＞sinβ‖。。.α＞β作PE」ˉAC交AC干点圆』连接O圆』则舅inγ＝器（γ巨（0』苦））连接PC｀则PC≡PB＞PE’...Sinβ＜sinγ,·.。β＜γ。...β＜αlβ＜γ.故选B.微信公众号：嗨呀同学高考必刷题真题分类集训数学（理）o正确α／／／β,则α内任直线均与β平行〕又mCα,...′′!／／／β.o正确加／／／″‖。..m’见与α所成的角相等又α／／／β,...几与α,β所成的角相等.。。m与α所成的角和n与β所成的角相等故答案为@oo［刷盲所得］判断立体几何中的线面位置关系时’建议画图或放在正方体中或利用身边的实物判断对错［测‖｜｜诊断］（l）本题以命题真假的形式考查了立体几何中点｀线｀面的位置关系,考查了学生的空间想象能力.（2）命题有四个］易漏选或错选］需考虑全面’有定难度当然,我们可以利用身边的空间几何体结合实体加以半｜」断’减少分析时间刷大题｜肌（」｜［证明］由已知得」″＝÷‖D二2取BP的中点T〕连接AT,TⅣˉ又平面AlACC］上平面ABC,AlEC平面A1ACC］,平面A］ACC1∩平面ABC＝AC,所以AlE上平面ABC〗则AlE上BC.又因为A1F／／／』B,乙ABC≡90°’故BC上AlF。所以BC上平面A｜EF.因此EF上BC.（2）［解］取BC中点C,连接EG,GF,贝｜」EC刷l是平行四边形由于AlE上平面ABC’故A‖E上EG’所以平行四边形EG刷l为矩形由（］）得BC上平面EG州l’则平面A1BC上平面EG刷l’所以EF在平面A!BC上的射影在直线AlG上连接AlG交EF于O’贝｜」△EOG是直线EF与平面AlBC所成的角（或其补角）.不妨设AC＝4,贝｜｜在Rt△AlEG中,AlE＝2／可,EG＝何.由于o为A｜c的中点’故圆o≡oc-铲二罕』所以cos▲EOG＝EO2＋OG2—EG2＝二2EO°OG5·因此直线阀′与平面川｜Bc所成角的余弦值是÷方法二:（］）［证明］连接AlE’因为AlA＝AlC］E是AC的中点,所以4lEˉLAC.又平面AlACCl上平面ABC’A1EC平面A1ACC1,平面AlACC1∩平面4BC＝AC’所以A｜E上平面ABC.B由″为PC的中点知,?Ⅳ〃BC』Ⅷ＝÷BC＝2么又AD／／／BC,故Ⅷ／／／A″,Ⅷ＝AM,所以四边形AM／VT为平行四边形,所以Mγ／／／AZ因为ATC平面R4B,M］γα平面川B,所以MV／／／平面PAB.（2）［解］取BC的中点E,连接AE.由AB≡AC得AE上BC〗从而AE上AD’且佃二√姻还砸-√」殿型—（粤）』二伍以A为坐标原点’肪的方向为匆轴正方向’建立如图所示的空间直角坐标系A＝z）‘z.由题意知’′｜0,0』4）〃｜0,2』0）』c（石』2』0｜』州（粤』｜』2）,丽≡（0』2》—4｜,可≡（粤』］』ˉ2）,丽-（粤,」』2）设〃＝（x｛y!z）为平面PMγ的法向量,｛郸≡』Ⅷ｛册繁二‖〈＂可取∏＝（0’2〗1）·于是直线』Ⅳ与平面PMγ所成角的正弦值为｜…,丽）｜～沽十黑～誓［刷盲所得］证明直线与平面平行,主要有两种方法:—是通过线线平行得到线面平行『二是通过面面平行得到线面平行利用向量法求空间角的步骤（l）建立空间直角坐标系;（2）写出相应点的坐标『（3）求平面的法向量｝（4）利用向量求角［测‖｜｜诊断］（1）本题难度适中］考查线面平行的判定和线面所成的角（2）本题若出错,—是不会作辅助线构造平行四边形来得到平行关系,二是相关点坐标错误!系数计算出错2方法—:（1）［证明］连接A｜E］因为A｜A＝AlC,E是AC的中点!所以AlEˉMC.』｜′、C如图’以点E为原点,分别以射线EC’EAl为y,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系E-卯眶.不妨设AC＝4,则Al（0!0,2／可）,B（√可〕l,0｜’β!（灯,〕』2何）』′（粤’;,狐）』」C（0’2,0）。因此丽≡（粤』;,狙）’前≡（＿灯』」』0‖由而.而＝0得EF上BC.（2）｛解］设直线EF与平面AlBC所成角为0由（I）可得而＝（ˉ√可’1』0）’盯古＝（0,2,ˉ（2）［解］设直线EF与平面AlBC所成角为0］.由（l）可得而＝（ˉ√可’l’0）’硒＝（0’2’ˉ2／丁）.设平面AlBC的法向量为〃＝（鳃’y,z）.碉｛票剧,滁—闷』≡』…｜』阎｜‖｛Ⅱˉ伍≡0—》故…＝｜c蠕（可』″）｜二「器:ˉ删＝÷因此直线E′与平面‖｜‘c所成的角的余弦值为÷［冕错警示］若斜线′与平面α所咸的焦为′』则帜巨（0』÷）战cosp＞0.本题易忽视线面角的范围而致错.［刷百所得］设』为平面α的斜线’l∩α＝A,α为′的方向向量!″为平面α的法向量〕●为／与平面α所成的角!贝｜」sin中＝｜cos〈α,″〉｜＝｜:｜.｜贵｜’酗匡（0’÷）［证明］（1）在平行六面体ABCD-AlBlClDl中’AB／／／AlBl,因为ABα平面AlBlC,AlBlC平面AlBlC〕所以AB／／／平面AlBlC。（2）在平行六面体ABCD—AlB｜ClDl中,四边形ABBlAl为平行四边形又因为AAl≡AB,所以四边形ABBlAl为菱形’因此AB1ˉLA｜B·3』4｜B@微信公众号：嗨呀同学答案及解析｜考点20空间向量和立体几何｜刷大题｜‖.（1）［证明］连接B｜C’″E.因为M,E分别为BB｜,BC的中点〕所以恤〃B｜c』且恤＝＋B｜α又因为″为A!D的中点』所以Ⅶ＝＋d｜α由题设知A｜B｜上Dc』可得B｜c上川｜D｀故ME丝Ⅻ｀因此匹边形MVDE为平行四边形,MV／／／EDˉ又Mγ亿平面EDCl,所以Mγ／／／平面ClDE。（2）［解］由已知可得DE」ˉDA.以D为坐标原点』顽的方向为厕轴正又因为AB｜上BlC｜,BC／／／B｜C｜’所以ABl」ˉBC.又因为AIB∩BC＝B,AlBC平面4lBC’BCC平面AlBC,所以ABl上平面AlBC、因为』BlC平面／lBHlAl,所以平面ABBlAl」平面／l1BC。4（l）［证明］如图,设PA的中点为F!连P接EF‖FB。因为E］F分另｜」为PI）’PA的中点］所以〃〃′且″＝当川α又因为BC〃AD,BC＝÷M,＝＾四／y凹山／／m″‖D山—可血』′,股QE′】1）4∧∧BBMC所以EF／／／BC且EF＝BC,即四边形BCEF为平行四边形,所以CE／／／BF.又BFC平面PAB,CEα平面川B’因此CE／／／平面PAB.（2）［解］分另｜」取BC］AD的中点为M!Ⅳ.连接P／V交EF干点Q,连接″0’BⅣ!如图因为E〗F!″分别是PD,PA］AD的中点,所以点0为EF的中点在平行四边形BCE′,中,MQ／／／CE由△R4D为等腰直角三角形｛得P／γ上AD。因为AD＝2BC!／V为AD的中点,所以BC＝DⅣ.又AD〃BC,所以四边形BCDⅣ为平行四边形!所以BⅣ／／／CD.由DC上AD,得B／V上川D.所以ADˉL平面PB／γ。由BC／／／AD得BC上平面PBⅣ,那么平面PBC上平面PBⅣ。过点0作PB的垂线］垂足为H’连接MHMH是MQ在平面PBC上的射影‖所以乙0M〃是直线CE与平面PBC所成的角设CD≡L在△PCD中,由PC＝2,CD＝l,PD＝灯,得CE≡徊.在△PM中』由P″＝月″＝｛』PB二何｀得0H二÷在R｜△″0〃申』qH≡＋〃0-徊』所以…0M′二粤』所以直线“与平面PβC所咸角的正弦值是粤［刷百所得］证明直线与平面平行,主要有两类方法’—是通过线线平行得到线面平行;二是通过面面平行得至｜」线面平行求线面角,主要方法是由定义作出线面角再计算或应用向量法.［测‖｜｜诊断］本题难度适中,主要考查空间线面平行的半｜」定、线面垂直与面面垂直的半｜」定｀直线和平面所成的角等’考查空间想象能力｀运算求解能力｀转化与化归能力,意在让多数考生得分。［证明］（l）在平面ABD内,因为』B上AD’A［证明］（l）在平回ABD内’因为AB上AD,方向,建立如图所示的空间直角坐标系Dˉ勿γz,贝｜M（2,0,0）!Al（2,0!--今4）,M（］,何,2）,／V（1,0,2））／llA＝（0,0,ˉ4）’硕＝（ˉl』石’ˉ2）,I丙＝（ˉ1’0’ˉ2）’耐＝（0’ˉ√可’0）.设腕＝（勿,y｛z）为平面AlM4的法向量则｛爵搁所以｜ˉ财＋仍ˉ2氮＝0’可取砸＝所以｛Ⅲ训ˉ』＝0』…～｜‘I）‖士＝孔卯凸（√5ˉ,1’0）.设″＝（p,q］′）为平面AlMV的法向量｛-—≥＂｜｜｛＄:搁所以｛Ⅲ禽1b∏』则｜测.丽二α所以｜ˉ》ˉ.2′＝6’可取＂二（2』0’—｜‖于是…鹏）～｛器∩器｜ˉ捻孪》所以二面角4ˉM｛｜ˉⅣ的正弦值为华［关键点拨］（1）找到平面外条直线与平面内的—条直线平行,由中位线定理与已知条件推出四边形M／VDE为平行四边形,然后利用平行四边形的性质求证;（2）以D为原点,建立空间直角坐标系〕求出平面AlMA与平面AlM″的法向量,利用空间向量夹角公式求解（1）［证明］由已知得,BlCl上平面ABBl』l］BEC平面ABBlAl〗故BlCl上BE.又BE上ECl〗所以BE上平面EBlCl。（2）［解］由（1）知乙BEBl≡90。。由题设知Rt△ABE兰Rt△AlBlE!所以乙AEB≡45°,故』E＝AB］M｜＝2AB。2EF上AD,所以EF／／／AB.又因为EFα平面ABC,ABC平面ABC,所以EF／／／平面ABC.（2）因为平面ABD上平面BCD’平面ABD∩平面BCD≡BD〗BCC平面BCD’BCˉ［BD’所以BCˉL平面ABD.因为ADc平面ABD,所以BC上AD。曰乱以D为坐标原点’顽的方向为厕轴正方向’″｜顽｜为单位长’建立如图所示的空间直角坐标D｜系D-zγz,则C（0,1,0）’B（1〗1〗0）,Cl（0,I,2）』E（l’0》1）』CB＝（l,0,0）』硫＝（1）ˉ1’1）’→一CC1≡（0,0,2）。设平面EBC的法向量为∏＝（缅］γ’z）］则＿≥｛燃二‖｜良‖｛r!1榷～α所以可取Ⅶ＝（0,D-l’-1）.设平面ECCl的法向量为咖＝（如’y］z）!则｛票阁,舰｛刽≡“所以可取加＝（l,l,0）.BDBlC户又AB上』D,BC∩AB＝B,ABc平面』BC,BCc平面ABC,所以ADˉL平面ABC.又因为ACC平面ABC,所以AD上AC。［关键点拨］熟悉空间直线与平面位置关系的判定定理和性质定理［刷盲所得］般通过证明线线平行来证明线面平行,也可以通过证明面面平行,利用面面平行的性质证明线面平行［测训诊断］（l）本题难度中〕考查空间直线平行｀垂直的判定定理与性质定理等基础知识,意在让大多数考生得分。（2）本题不应错,若错可能是定理的条件没有写全或定理应用错误造成的B夏题分类集训微信公众号：嗨呀同学高考必刷题寞题分类集训数学（理）于是c。s〈″｀砸〉＝「器借「＝ˉ丁所以,二圃麓Bˉ圆c＿c』的正弦值为旱［关键点拨］证明线面垂直,只需证明直线和平面内的两条相交直线垂直,而求二面角的平面角则需建立空间直角坐标系,将二面角的平面角转化为两平面法向量的夹角（或其补角）.3.（1）［证明］由已知得AD／／／BE,CG／／／BE’所以AD／／／CG,故AD,CG确定—个平面〗从而A,C’G!D四点共面由已知得AB上BE’AB上BC,故AB上平面BCG且又因为ABC平面ABC’所以平面ABC上平面BCGE.（2）｛解〗作EH上BC,垂足为H因为EHC平面BCGE,平面BCGE上平面ABC,（l）［证明】因为AP≡CP＝AC≡4,O为AC的中点,所以OP上AC,且o′≡蛔连揍o凰因为姻-Bc二粤Ac,所以△姻‘为等膘直角三｜5角形,目oB上Ac’oB二学c＝2由Op2＋OB2二pB2知pO上OR由OP上OB’OP上AC知PO上平面ABc（2）［解］如图’以O为坐标原点』丽的方向为匆轴正方向‖建立空间直角坐标系O-卯咒,由已知得O（0’0!0）’B（2,0‖0）,A（0］ˉ2’0）』C（0’2』0）,P（0’0’蛔）,丽＝（0’2,蛔）』取平面R4C的法向量丽二（2’0』0）.A设M（α’2ˉα』0）（0＜α≤2）』则砸二（α』4-α,0）°设平面PAM的法向量为〃＝（z,y’z）.由萨.″＝0’丽.＂＝0得｛熊蔽‖—0｀…｜幅｜.—』｜’阿』2／3（α-4）所以cos〈丽’″〉＝′』2√3（α-4）2＋3α2＋α2由已知可得｜co鼠〈而』＂〉｜二粤～所以L≡～＝粤解得α＝2／了｜αˉ4｜可取″＝（徊（αˉ4）,何α′所以EH上平面ABC.由已知’菱形BCGE的边长为2!乙EBC＝创°,可求得BH＝1,EH＝徊.以H为坐标原点’丽的方向为z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系H-Dz↑＾◎~~~~~~~＝叮亏〔″“』E（F）~~~,ˉα）!匆归’则A（-1,1,0）,C（1,0,0）,G（2〗0,√可）’而＝（1,0』何）』肪＝（2,ˉ1’0）.设平面ACGD的法向量为〃＝（匆,y’z）,＂｛｛票:二‖｜:′｛鞠0,所以可取″＝（3,6,ˉ何）.又平面BCGE的法向量可取为加＝（0,1’0）’所以c鳃〈厕,獭〉≡｜湍｜≡粤因此二面角B-CG-A的大′｜＼为30。.［关键点拨］折叠问题-定注意在动中寻找不变的边与角及各种位置关系,从而利用线面垂直推导出面面垂直.4（1）［证明〗由已知可得,BF上PF,BF上EF,又PF∩EF＝F,所以BF上平面PEF。又BFC平面ABFD,所以平面PEF上平面ABFD.（2）［解〗作FH上EF,垂足为〃.由（1）得,PH上平面ABFD.以H为坐标原点』丽的方向为y轴正方向’｜前｜为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系Hˉ匆归.2归（·ˉ4｜』带…圆／＝粤解得‘＝＿4（舍去｜』α≡÷2／g｜α-4｜所以所以卿二（ˉ孪,字,ˉ÷）又元-（0』2,ˉ蛔）』所以c°.〈死』＂〉二罕所以′c与平圃″″所成角的正弦值为旱（1）［证明］由题设知!平面CMDˉL平面ABCD,交线为CD.因为BC上CD,BCc平面ABCD,所以BC上平面CMD!故BC」ˉDM,＾因为M为CD上异于C］D的点!且DC为直径,所以DM上CM又BC∩C‖f＝C,所以DM上平面BMC。而DMC平面AMD,故平面AMD上平面BMC（2）［解］以D为坐标原点』丽的方向为厕轴正方向’建立如图所示的空间直角坐标系D-z眶.＾当三棱锥MˉABC体积最大时,M为CD的中点.由题设得D（0’0｝0）,A（2’0’0）,B（2,2,0）,C（0!2!0）‖M（0!1!1）,AM＝（ˉ2’1,1）’脑＝（0』2』0）’页＝（2’0’0）.→6▲≈▲′′彦＜ˉˉ厉′C夕F言了~~≈≈／／A了—D设〃＝（“,y‖z）是平面MAB的法向量,则｛踢搁.娜｛塞广α可取＂≡（1’0’2）.丽是平面MCD的法向量,因此…顽》～湍哥～粤,咖〈卿,顽）-孪z从由（1）可得’DEˉLPE.又DP＝2,DE＝1,所以PE＝何.~~～又″＝l》圃′＝2’故P圃儿″可得PH＝夸’EH二÷则″（M,o）,P（0,0’亨）,D（—｜,—÷』O）』硫＝（｜’÷’粤）丽＝（0,0’粤）为平圃烟″的法向量设DP与平面ABFD所成角为0,3侧｜…｜萧票卜矛罕所以oP与平酣″D所咸角的正弦值为旱』／贤B所以平圃删B与平圃卿‘D所成二面角的正弦值是孪7。（1）｛证明］由已知么BAP＝乙CDP＝9O。!得AB」ˉAP,CD上PD.由干AB／／／CD,故AB上PD·又AP∩PD＝P,从而AB上平面PM@微信公众号：嗨呀同学答案及解析丽＝（聪ˉ1’y’z）励＝（厕’yˉ1』zˉ何）.因为BM与底面ABCD所成的角为45°!而川＝（0,0,1）是底面ABCD的＿个法向量,所以｜cos〈丽’″〉｜＝sin45°’｜z｜徊∩同′.｀,,,＝＝＼口∏◎o又ABC平面R4B,所以平面川B上平面PAD（2）［解］在平面以D内作PF」ˉ∧D,垂足为F.由（1）可知,AB上平面〃D,故AB上PF。又∧B∩AD＝A,可得PF上平面∧BCD·以F为坐标原点’煎的方向为厕轴正方向』｜耐｜为单位长度’建立如图所示的空间直角坐标系F～4Oz.由（1）及已知可得~~】刀∑″］＋∑）］勿（即徊丁~~哟｜′√（”ˉ1）2＋′＋多-百』厩｜』｀沁ˉ』′宁yˉz＝M.L′又M在棱PC上,设丽＝入元则厕＝入,y二1』z＝√可ˉ√虱@’徊丁］山佰丁~~~~~~勿γ凸万广≈≤或）去舍（’但∑但∑＋’』】＝~~~~~~卯γ凹∏厂烂■得解°◎由A蹋ˉ〃』（乎’0’0）』P（M粤）』圆（等l』0）c（ˉ等lp）所以琵ˉ（ˉ粤,!,ˉ粤）’而≡｝徊』0,0｜,顽＝（粤’0,＿粤）’→AB＝（0’1,0）.设″＝（匆1］yl,z‖）是平面PCB的法向量,则｛打｝亭｝ˉ.｛:霍二‖鼠′可取〃＝（0’ˉl,ˉ徊）.设加＝（匆2,y2,z2）是平面〃B的法向量’贝｜」粤鞠ˉ祭典＝0』…-（』’0’1）』则｛瓣二‖!鼠′｛鞠ˉ“侮。os〈雁｀腮〉＝｜:｜.｜器｜＝旷由图可知］二面角A-PB-C为钝角!所以二面角dˉPBˉc的余弦值为—鲁［刷盲所得］（1）解决直线与平面垂直问题的常用方法;o利用线面垂直的定义@利用线面垂直的判定定理｜o利用面面垂直的性质（2）由于＂线线垂直＂＂线面垂直＂＂面面垂直＂之间可以相互转化!因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心展开,这是化解空间垂直关系难点的技巧所在［测‖｜｜诊断］本题难度适中,主要考查线面垂直的判定与性质｀面面垂直的判定｀二面角的求解｀空间直角坐标系的应用等知识’考查空间想象能力｀运算求解能力｀推理论证能力!意在让部分考生得分°a（1）［证明］取R4的中点F!连接EF,BF.因为E是PD的中点’所以E〃AD』厦′＝＋An由丝BAD＝△ABC＝90。得BC〃AD』又BC＝＋仙』所以〃上Bc’四边形Bc〃是平行四边形’所以c圆〃″又BFc平面″B!CEα平面〃B,故CE／／／平面″B.（2）［解］由已知得BA上AD’以A为坐标原点’丽的方向为z轴正方向』｜丽｜为单位长’建立如图所示的空间直角坐标系Aˉ腮归’则A（0』0’0）,B（］’0,0）』C（1,1’0）’P（0’1｀√可）’元＝（1’0』ˉ√可）’丽＝（1,0,0）.所以〃（」＿乎』!,乎）’从而硕＝（」—粤』］』粤）设m≡（z0〗y0,z0）是平面ABM的法向量,则｛爵搁,:′｛腻）咐….ˉα所以可取″二（0,—厄2｜子是c鳃…）二｜箭｜器｜＝罕因此二圃角″—姻—D的余弦值为平［测‖｜｜诊断］（1）本题难度中等偏上,主要考查点｀线｀面的位置关系!线面平行的判定,空间直角坐标系的建立与坐标运算,直线与平面所成角的求法,二面角的求法,考查空间想象能力｀运算求解能力｀函数与方程思想!意在使部分考生得满分!大多数考生得＿些分（2）本题若错‖反映了考生空间想象力不够,看不出几何体直观图中各边｀角之间的关系,导致点″的位置确定不了.（1）［证明］由题设可得,△∧BD兰△CBD,从而AD≡CD。又△ACD是直角三角形!所以乙ADC＝90。.取AC的中点O’连接DO‖BO!贝｜」DO上AC,DO＝Aα又由于△ABC是正三角形,故BO上AC·所以△DOB为二面角D-AC-B的平面角.在Rt△AOB中,BO2＋AO2＝AB2°又AB＝BD,所以BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2,故么DOB＝卯。°所以平面Am上平面ABc9（2）［解］由题设及（1）知,OA,OB’OD两两垂直以O为坐标原点顽的方向为厕轴正方向’｜丽｜为单位长’建立如图所示的空间直角坐标系O-』U’佰.则A（1』0,0）’B（0,何,0）,冗C（＝1,0,0）』D（0,0,1）.由题设知』四面体dB硒的体积为四圃体ABcD的体积的十’从而E到平面必c的距离为D至‖平面ABc的距离的÷』即圆为oB的中点』得）】—∑’佰丁◎（Ⅱ洒≡（—!』0』!｜』而≡（ˉ2,0,0｜’硒二（ˉ!』亨》＋）z朵P谩＂≡｜霉｝,｜.｜是挛……量,鼠｜｛＂票二‖｝＂-卯＋Z≡0’ˉ瞧粤′辈÷≡α可取〃二（］’粤』l）｛ˉ＿＝步…是平…的…,＂｜｛瞬;二;』……≡设M（匆,y,z）（0＜卯＜1）〗贝｜」夏题分类集‖‖微信公众号：嗨呀同学@U0HV皿木丁〃′0问gq‘H＝』JL」〃OK.月O丁H〃聪‘zO′0＝0I＝zl＋Z［≡ZHO＋它〃′O晋士幅二Hα二H』α』｜＝〃o测组』千＝黑＝册尉』’γ〃〃甲.巾＝zOv＿乙Hv／｀＝OH＝O0岂‘9＝OV‘g＝HV田·H′0丁』Ⅱ山W‘0H丁』3］Ⅵ图〃〃”骤‘器＝黑勘』‘’二卵甲酋.O0≡0V〔0H丁OV岂腮曰田［即皿］（［）.丫日↓科鹃但阳黔阳韦崇‘酉邱｜』迪≠罩碘□芳阳豆锤士甲ˉ车孟弓—旦q聘首宴此q骋霉副但」玉阳韦羔靶《罢早趣半阳粤回＝‘弓「｜韦阳三垂皿回｀三垂回骑豆秀孟王（中骂瓢醋立［腮纂｜｜‖赃】.旦土↓告士三垂蛹三旁熏朋皿血‖日‘骑辜明回木邱ˉP星垂彩三旁「｜丢耻甲回土—音丑墨百骂惠‘回士＋舌士豆垂骑巨旁—阳田回士＋—巾茸朋Ⅲ吾孟王梁早阳豆垂回回朋Ⅱ［岂蛆三‖凹］.粤回＝阳巾（z）半窒蚌而国巨但｜＝工毒同血孵旦垂回回1旦‘臣垂回回阳岂业W60O』J旦土丁』V阳岂（0』丁』V）°06＝α』V70坐（』J丁』V）钮早卫早』J8V纽取团阻‖坐吉鹅姜醋立［蒸骂鹤罢］批—″副翼零卿—’a—,粤凰＝聪皿z＝｜册｜」苦｜＝〈酗』″〉so°F｜胆6［（;』9—』［ˉ）≡磐‘｜刨刨』｜）三…鳃』（0‘9』0）’（;』0』｛ˉ）′′（9』0,［｜Ⅱ』（0』副＿』＂）γ岂但（［）田.邮鳃ˉ0窒蚌币邑三［旦｜＝本盏‘升q亩早｜胆｜‘凹耳卫啡｛!瞄鲸早凹旦阳墅胆问‖告爷‘骂当衅币午0沂｜‘园叫［测］（Z）.0』VⅡ士丁0ⅡV回士问咀‘OⅡV回士DOJ午囤.0』V回士丁9J网胆60≡O』O0V早图x.’』丁O习问胆‘Z嗡炯＝Z9』＋z’Ⅱ皿W壶≡〃截血』;-』″′副≡阳′z≡″″田』中〃″g鳃戳粤≡z可＝〃岂ˉ但‘巾OO』V!H丑ll7古＝Ⅱ（′聪』刨＝羽岂但』巾’砸vⅧ丑.0V丁OⅡ目‘L／｀＝O∏门gg‘0∏丁ⅡVKoⅡ≡∏刚芳但［OH≡HV‘OoHV回±丁JH甲ˉ旦＝0O≡9V岂但‘。0ZI＝OHV7田.I＝HO召聊土‖中O0HV班莹丑……耙｝‖二洼册｝「………,.（L／｀ˉ‘0‘6）＝＂血但门gqⅧˉ剿噶｜‖二墨;｝「｜‖‘喜凹裂阳Ⅱ0H回士吾（z（几‘匆）＝〃瓢.（0‘0‘巾-）＝亚（旷巾—‘［ˉ）＝亚（0』巾‘0）二四（旷0!［）＝2皿咀.（ˉg｀‘0‘Zˉ）〔）乱但山W。°09＝〃07班‘国皿木阳T一四—0国Ⅱ＝午』m7门姐‘0α′J旦土丁四岂但‘ⅡV／／／∏H田.〃／／／OO‘〃0／／／HV班‘00＝00〃旦士O00HV回士xD0蛔回士／／／HV问姐‘蛔／／／HV‘‖芳曰甲.（ˉ旷‘0‖0）O‘（0‘0‘［ˉ）Z‘（0‘巾‘〔ˉ）H‘（0‘巾‘I）V岂但‘g＝Oo‘Z＝』O「｜Ⅲ‘°＂＝蛔α7醒‘粤旦土阳∏—』『—0粤旦≡早〃〃70芳（I）田。』Ⅱ‘9』‘’J愚辜‘’＝0VO（I8召‘OH裂翠［即Ⅲ］（I）.川韩孟墨‘鞋半晋明囤埋捌卒喜回困‖坐〔司篓卫阳望皿＝吾阳半孟击旱;罢卫晋＝.墨退孟型再阳豆垂回彩朋Ⅱ吾「｜居斜0墨丑〗坐变脾阳避乎吾—‘川彤骂彤苇（z）.菌宴Q′昨‘辛影目!峰矗墨‖浓剩骋孵罪囤玉｜′虱墨百‘瞬骂u〗芳豆弄（［）［卯斜｜｜‖腿］嘛豆阳辜日↓旁鲤田旦士士巨垂彩豆朋皿士丑秘美‘三垂皿尊釉孤孟［烈兰鹅罢］盏畜剿藤卫降’ˉγ』αˉs鲤—驯徊盖ˉ（铡‘叫u赡厕驹』:z四×四｜箭｜.｜器｜＝〈＂』砌〉so°吾士死≡巾［ˉ≡.（I6［-‘0）≡〃狙但门咀…捣｝＂』蹬;｝「｜〗‘喜回采阳〃0V皿土吾（zz‘z几‘Z鳃）＝Ⅲ召.（g-6［b巾）＝汕IH但问gg℃霉;『巳憾｝＂』毗蹦｝‖〗‘喜回早阳′OHV旦士吾（［2‘I几［｜卯）＝酗召.（［‘l‘［）＝鲤‘（0‘0!9）＝9V‘（0‘巾＿‘［）＝延←zlH.瓤”ˉ0窒割而粤豆但｜军阳些咀固皿工毒‘升吗审午｜哩｜‘回早Ⅲ瞄贩早回早阳哩骂当蚌币早O问,』四V回士丁Oα腮（I）甲〔0毕否垂‘〃丁O0斗O再［捌］（z）.0O』′Ⅱ旦士丁』JHV回士醉‘』ZHV旦士D』VX.OO』Ⅱ回土丁』V问咀［卵丁』V［』O丁』V岂但〗芳■甲［朋Ⅲ］（I）Ol.尉用菌再吾二!阳叫召骑咱鳞吉—‘导细呈醋牢（Z）.爷岂玉弄例吕到丑三［q骋翘车菌耳＼α骋霉酵但」＝阳韦三豆影‘醋回曰乳半阳粤［旦｜＝半｀旦垂回皿阳巾凹U刺互豆弄孟王‘平鞋骂鄂赡立（I）［酮熟｜｜‖‖Ⅸ］.骂中阳OH吾习「｜丢岂〔三醋剐诽士丑秘≠但｜（Z）圭.0V丁O8‘0V丁OO「｜丢岂坠W‘HO白OO裂辜‘O骂中0V胆‘孵明鹃斗士丑蛰≠□｜（I）窑｛黑埠藉≠］′力嘿目鞋半阳’ˉ酬ˉα国凰＝洞咀』国皿＝粥嘿’ˉ,γˉ″粤凰二…方-｜册｜.｜粉｜-（酗』舰）霞°°｜＂（旦』『ˉ』0）H铲←Ⅺ‘（［60‘0）′（I6（0‖l-‘［）O〔（0‘g-（0）H‘（0‘I—‘［—）V［（0‘（）［0）H「｜Ⅲ!z枷—H爱衅币粤星但」≡互毒!回早〕I晦则早回耳阳坦骂当坐↓币早′′同‘圈叫［溯］（Z）（藏）熏藤‖鹏事赣彤醋童醋鹏卿肆量微信公众号：嗨呀同学答案及解析故cos〈冠,丽〉＝丽.而＝√可｜丽｜｜丽｜3所以直线姻与直线c′所咸角的余弦值为旱［刷育所得］对于所给图形中有明确的垂直线段,用空间向量的知识来解决更为方便］例如本题中的菱形的对角线,第（l）问可以求平面的法向量解决问题『第（2）问直接应用公式解答即可.［测〗‖诊断］本题难度中等〕主要考查面面垂直、异面直线所成的角］考查学生的空间想象能力和运算求解能力.［解］（］）交线围成的正方形E〃GF如图所示.（2）作EM上』B,垂足为″’则AM＝AlE＝4,EM＝A4l＝8.因为E〃CF,为正方形,所以E〃＝EF＝BC＝l0。以具余弦值为亨（3｜［解］直线Ac在平面姻′内囚为点c在PB上｜且熊＝÷』｜雨＝（2』ˉl』—2｜』所以元二÷苗＝（÷』ˉ÷’ˉ÷）』施＝萨带元＝（÷》ˉ÷』÷）由｜2｜知｀平面蛔′的法向三＂＝（—｜』ˉ］』!｜所….＂＝＿!＋÷÷＝0所以直线AC在平面AEF内［关键点拨］解答本题的关键在于正确建立空间直角坐标系,得到相关点的坐标,再利用法向量求二面角的余弦值〕并判断直线是否在平面内（若AG在平面AEF内’则AG的方向向量与平面AEF的法向量互相垂直）.‖3~~』于是″H＝√删2ˉEM2＝6’所以AH＝l0。以D为坐标原点’顽的方向为厕轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系I）—匆γz,则A（l0,0,0）’H（10010〕0）’乙］□l—旦句曰｜05（1）［证明］依题意〕可以建立以A为原点’分别以Ⅱ茵》而’丽的方向为厕轴,γ轴,z轴正方向的空间直角坐标系（如图）,可得A（0,0’0）,B（l,0,0）,C（1,2,0）,D（0,］,（））,E（0’0’2）,设CF≡∧（h＞0）,贝｜」F（l’2’h）。依题意’萌＝（1’0’0）是平面ADE的法「队…画】』】日』-＼且’U9U′止丁ˉ回IⅢⅢ／Ⅲ当‖】／△伊■~EF～□E（］0’4’8）’F（0’4’8）』蔽＝（10’0』0）》丽＝（0’ˉ6』8）.设卯＝（绷』y‖z）是平面E〃CF的法向量!贝｜」→｛渊二｛｜｜郊｛｜』§厂!座～0,阶…』～｛0』4,j》—卜又耐＝（—l0』4’8）’故｜cos〈腮’丽〉｜＝｜＂.AF｜＝匹｜〃｜｜耐｜l5所以〃与平圃酗c′所成角的正镇值为嚼［关键点拨］第—问本质是由面面平行的性质来确定被另＿个面所截得交线的情况,注意标明关键点的位置,便于第二问求解第二问考查线面角的正弦值］本题放在长方体中’所以首先考虑用建系法求…』注意对…!·-｜…《耐』.）｜～里＂…｜AF｜·｜〃｜C4冗向量,又肺＝（0』2’h）’可得丽.硒二0’又因为直线BFα平面4DE‖所以BF／／／平面ADE.（2）［解］依题意』丽＝（ˉl’l’0）丽＝（＿1》0』2）’而＝（ˉ1’--〉—2｀2｜投腮～（翼…平厕…法…｜｛黑二‖鼠‖｛二鞭凰』不妨令舅二｜』可得卿-｜2｀2｜川-＋因此有c°.（丽,愿）-尉箭＝丁4所以宣线cE与平面‘′〕E所成角的正弦值为j（3）［解］设腕≡（匆］γ,葱）为平面BI）′、的法向量〗—》则｛叫二‖｜＂｛瓤二‖,,不妨令′二!｀可得″-（』』｜』—÷）甲曲1［测‖｜｜诊断］本题在立体几何大题中难度偏易］但需认真计算!正确应用公式‖避免在此失分。T4.（］）［证明］因为PA上平面』BCD’所以RA上CD.又因为ADˉLCD,所以CDˉL平面PAD.（2）［解］过A作AD的垂线交BC于点M因为PAˉL平面ABCD,所以″上AM,PAMD。B如图建立空间直角坐标系A—冗归］贝」A（0!0’0）’B（2,—1］0）,C（2,2,0）,D（0’2,0）,P（0,0〕2）。因为E为PD的中点’所以E（0’1’l）.∑—∧斗｜由题恿有｜c°愚〈″｀厕〉｜＝｜册｜.｜;;｜］—〕~~~］｀／5丁子峨L解得偷＝÷经椅骑』符合题意所以线段c′的长为÷［刷盲所得］如果两个平面的法向量分别为加,″‖贝｜」两个平面所成的角0满足cOs0＝｜cos〈咖,〃〉｜.［证明］（l）因为D,E分另｜」为BC〕AC的中点,所以DE／／／AB.所以腋＝（0』l’l）』死＝（2’2’ˉ2）》茄＝（0’0,2）.所以可＝掘＝（÷』÷ˉ÷）丽＝丽＋可＝（÷』÷』÷）ˉˉ-〉｛黔二‖｝设平面AEF的法向量为〃＝（鳃,y,z）,则｛黔＋＂广舞≡』』｜′ˉˉ』…≡ˉ1提″ˉ即（ˉ1,—l!l）。又因为平面PA1）的法向量为p＝（l,（）,0）’所以c·.（〃,′）ˉ「揣ˉ粤由题知』二圃角′,ˉ姻ˉ′为锐角』所T6.［证明］（l在直≡棱柱ABC—AlBlCl中,AB／／／AlBl〕A］所以AlBl／／／EDˉ又因为EDC平面DECl,AlBlα平面DECl,所以AlBl／／／平面DEC｜。（2）因为AB＝BC,E为』C的中点!所／l以BEˉLAC.因为三棱柱ABC-AlBlC1是直棱柱］Bl｜B｜C夏题分类集‖｜｜微信公众号：嗨呀同学高考必刷题夏题分类集‖｜｜数学（理）不妨令z＝-1,可得″0＝（l,0,＝1）·又献＝（l』—;,｜）,可得丽.腮,＝0』又因为直线MVα平面CDE,所以MV／／／平面CDE。（2）［解］依题意’可得死＝（ˉl,0’0）’蔬＝（1』ˉ2’2）』而＝（0,ˉ1’2）.设＂≡（匆,y’z）为平面BCE的法向量,则｛蠕二‖｜即｛弱!2＝α不妨令z＝1,可得″＝（0,1!1）.…ˉ｜…）………舰｜｛嚼二‖!＂｛二《了!』二0』不妨令.二］,可得顾-（0』2』川困此有…』愿）-｜湍｜三呼』于是鼠m（卿』愿）二俘所以』二圃角‘ˉBc—F的正弦值为仆（3）［解］设线段DP的长为h（h匡［0’2］）,则点P的坐标为（0』0’h）｜可得萨＝（ˉ1』ˉ2』h）.易知』沉＝（0’2』0）为平面…—个法…｜…莎,而）｜≡箭票＿志』由题意’可得万÷云＝in60.＝粤』解得h二粤筐［0』2］所以,线殷DP的长为粤方法—:（1）［证明］由AB＝2,AAl＝4,BBl＝2,AAl上AB,BB｜上AB得AB1≡A1B1≡2／2’所以AlB｝＋AB｝＝AA｝’故ABl上A1B‖所以ClC上平面ABC.又因为BEC平面ABC!所以ClC上BE。因为ClCc平面AlACCl!ACC平面A1ACC1!C1C∩AC＝C,所以BE上平面AlACCl.因为ClEC平面AlACCl’所以BE上C〗E°［关键点拨］熟记空间直线与平面平行、垂直的判定定理是正确证明的关键T7。（1）［解］在三棱柱ABCˉAlBlCl中,.·.CC1上平面ABC,.。.四边形A1ACCl为矩形.又E,F分别为AC!AlC!的中点’...AC上EF·.。.AB＝BC’.。.AC上BE°.。.EF∩BE≡E,..°ACˉL平面BEF°」≥iA1｀;｜Bl（2）［解］由（1）知AC上EF,AC上BE,EF／／／CCl.又CC1上平面ABC’.。·EF上平面ABC°。。.BEC平面ABC,.°.EF上BE.如图所示建立空间直角坐标系E-z归.由题意得B（0’2‖0）,C（ˉ1!0‖0）,~~~~、‖『）｀、DG狞＝万F～土）D（l’0’1）,F（0,0〕2）〕G（0,2〕1）....而＝（2’0,1）’硒＝（1’2,0）’设平面BCD的法向量为Ⅺ≡（匆,y』z）』＾｛册霍二!｝｛;喇｝令z＝2,则y＝ˉ1,z＝—4!...平面BCD的法向量〃≡（2,-1!-4）.又.平面CDCl的法向量为耐＝（0’2’0）’…〈撼丽）ˉ｜糯｜皿√21目＝由图可得二面角B-CD-Cl为钝角］所以二面角BˉCDˉCl的余弦值为ˉ票（3）［证明］由（2）知平面BCD的法向量为〃＝（2!ˉ1,-4）..°.G（0,2,1）,F（0’0’2）,...而＝（0’ˉ2’1）’·..″.可＝ˉ2』...″与丽不垂直’...GF与平面BCD不平行且不在平面BCD内!..°GF与平面BCD相交［易错鳖示］建立空间直角坐标系先要证相交干同—点的三条直线两两垂直’否则要扣分°［测‖｜｜诊断］本题难度适中,考查线面垂直,二面角的求法,直线与平面的相交关系此类题目的解决方法有两种:-是建立空间直角坐标系,应用空间向量求解;二是应用几何法求解!两相比较〗空间向量法比较容易掌握T9由BC＝2,BBl＝2,CCl＝l,BBl上BC,CCl」ˉBC得BlCl二佰,由AB＝BC＝2’△ABC＝120。得AC≡2／可,由CClˉ［AC,得ACl＝√13,所以AB;＋B｜C｝＝AC｝’故AB｜上B｜C!.因此AB1上平面A1B1Cl.（2）［解］如图!过点Cl作ClD上AlBl,Al交直线A1Bl于点D,连接AD.由ABl上平面AlBlCl得平面A1B1Cl上平面ABB1,由C1D上AlB1得C1D上平面ABBl,所以么C1AD是AC1与平面ABBl所成的角.由BlCl＝石,AlBl＝砸,A］C］≡徊T得A~产…c!』｜‘｜≡芳』…c｜」｜愿｜-方』所以c｜D二何』故…蛆三署—俘‖B圈此,直线Ac｜与平圃姻E｜所成的角的正弦值是俘!解］依题意,可以建立以D为原点』分别以丽,庞’沉的方向为勿轴!γ轴,z轴的正方向的空间直角坐标系（如图）,可得D（0,0’0）’A（2,0,0）,B（1,2,0）’C（O’2‖0）,E（2!0,2）,F（0,1,2｛’c（0』0』2）’″（0’÷』）』Ⅳ（1,0,2）.（1）［证明〗依题意戊＝（0,2』0）』硫＝（2』0’2）.设＂0＝（“｛爵!震二‖｛即｛撼“）.设〃o＝（z08方法二:（1）［证明］如图,以AC的中点O为原点,分别以射线OB,OC为z!y轴的正半轴,建立空间直角坐标系O-勿）Z.由题意知各点坐标如下;A（0’ˉ何,0）’B（1‖0,0）,Al（0,ˉ√7,4）,Bl（1,0,2）,Cl（0!√3,l）.因此丽↑＝（l归』2）,巫↑＝（l侗’ˉ2）’瞒!嚼≡;｜得…‘Ⅷ由赋.I而二0得AB!上A｜C｜.所以AB1上平面AlBlCl。AAx!y,z）为平面CDE的法向量,则2y≡0,2卯＋2Z＝0,@微信公众号：嗨呀同学答案及解析（2）［解］设直线ACl与平面ABBl所成的角为0.由（l）可知阿＝（0’蛔’l）’丽＝（l』侗』0）,硒＝（0』0’2）.设平面ABB1的法向量〃＝（如,y,z）.→.｛慨:莹16′即｛鞠ˉ0』可取鳃—｜ˉ侮』｜』0｝｜画.〃｜√丽所以sin0＝｜cos〈碱』〃〉｜＝＝｜耐｜｜″｜l引因此』直线“｜与平面」酗｜所咸的角的正弦值是等2O［解］如图,在正三棱柱ABC-AlBlCl中!设AC,AlCl的中点分别为O’O｜’则OB上OC』OO｜上OC,Oo!上OB》以｛苑’而’耐｝为基底,建立空间直角坐标系O＝勿γz.因为AB＝AAl＝2’所以A（0,＿1’0）,B（何,0‖0）,C（0’1‖0）,Al（0,-1,2）,Bl（灯’0,2）’Cl（0,1,2）.（!｜因为P为刹｜圃｜的中点,所以′（粤,ˉ÷,2）,从栖-（—粤』ˉ÷’2）,顽≡（0’2』2）,钻｜＿′万古示骸｀｜｜丽。硒｜｜ˉl＋4｜3√I∏故｜cos〈丽』丽↑〉｜＝-｀,M~~~国｜萨｜｜碱｜√百×扼2O.因此』异圃直线阎P与“!所成露的余弦值为乎（2）因为0为Bc的中点’所以0（粤’÷,0）’因砸≡（亨』÷,0）』雨＝（0』2』2）,园二（o,0,2）设Ⅶ＝（z,y!z）为平面A0Cl的—个法向量,粤叶尹≡0,则｛票咎』＂｛…不妨取″＝（何’ˉ1’1）,设直线CCl与平面A0Cl所成角为0,｜碱.厕｜2√百∏‖｜ˉ9＾‖／示〉一＼‖则SiA】n0＝｜cos〈而↑』″〉｜＝火｜」s1【lO＝‖COS＼LL】】〃／‖≡」硒｜｜″｜亏厉I＝了』所以直线cq与平哑0c｜所成角的正弦值为粤【『专题九解析几何考点20直线与圆刷小题｜‖。∧［解析］方法—:。..直线则＋y＋2≡0分别与z轴,y轴交干A,B两点,...A（ˉ2’0）’B（0’ˉ2）,.·。｜AB｜＝2√百....点P在圆（如ˉ2）2＋广＝2上』...圆心为（2’0）,设圆心到直线财＋y＋2＝0的距离为αl』’｜｜d｜＿｜2芳2｛三蛔故点僻到直线…带2三0的距离刷2的范围是［√Z蛔］’则S△姻′＝÷MB｜创2匡［2’6］故选A凸方法二:·°°直线匆＋y＋2＝0分别与勿轴,y轴交于A’B两点,.″.A（ˉ2’0）’B（0,ˉ2）’...｜AB｜＝2亿...点P在圆（“ˉ2）2＋／＝2上’。..可设P（2＋徊cos0’抠sin0）’0巨［0,2∏）’...点p至｜」直缉＋y＋2＝0的距离为dˉ｜2辨徊…籍徊…｜-｜2.m（外子）斜｜抠抠?sm（外子）筐［—」』」］,＾d匡［抠』蛔］＾s△蛔′二吉MB｜d匡［2,6］故选A［关键点拨］解答本题的关键是找至｜」圆上的点到直线的距离的最大值与最小值,而圆上的点至｜」直线的距离的最值又可以转化为圆心到直线的距离加（减）半径长’当然利用三角代换求圆上的点至｜」直线的距离的取值范围也很便捷［测‖｜｜诊断］本题难度中等,考查直线与圆的位置关系｀点到直线的距离公式等,意在使部分考生得分2.∧［解析］设圆C的半径为厂.如图,建立平面直角坐标系2在Rt△BCD中』‘D＝石』÷BD.′二十BC.CD’＾′＝万＾圆c‖（蹦ˉ2）2＋（’ˉl）2二÷,｜鳃-2÷…,,三!带÷…′贝｜」圆上任～点P（2带÷…』］岩…）由莎＝入Ⅱ商＋严丽’得（2情…』］÷i皿）-川0』1）带鹏｜2』0｜-（驰,川』｜｛~梨（兽…｜入＝兰sinα＋l』入…（÷…＋（吉…带］）三云…十万…带2≡1））］—石（＋）∑—何（／√n（α＋@）＋2＝sin（α＋甲）＋2S1sin（α＋o）的最大值为1,..。入＋以的最大值为3｜｜γ们邻勺◎（日x,y）4（0,0）D（2,0）m［测‖｜｜诊断］（1）本题难度大,主要考查直线与圆相切,向量的线性运算’函数的最值,考查换元法的应用及转化与化归的数学思想,意在让少数考生得分.（2）本题若错,—是没有转化成三角函数,二是运算出错寞题分类集训微信公众号：嗨呀同学高考必刷题真题分类集训数学（理）2α—3≡0,解得α＝3或α＝ˉ1（舍去）,即点A的横坐标为3.［｜快解］由硒.而＝0得AB上CD.又点C为AB的中点’AC＝CD』则丝BAD＝45°。设直线′的倾斜角为0〕贝｜」tan0≡2.设直线AB的斜率为隐’则胀＝恤（外子）＝—］,则直线A〃的方程为γ＝—3｜濒ˉ5‖又A为直线』:y＝2卯上第—象限内的点,联立解得斯≡3］贝｜」点A的横坐标为3.［关键点拨］结合圆的几何性质确定点D的位置』禾｜」用向量的坐标运算或者圆的几何性质求解［刷有所得］已知圆直径的两端点的坐标分另｜」是（勉l,yl）］（勿2,y2）’贝｜」该圆的方程为（卯—如l）（匆ˉ剿2）＋（yˉγ｛）（γˉy2）＝0.8［ˉ5√Z1］［解析］设P（腮’γ）’贝｜网.而＝（ˉl2ˉ赃’ˉγ）.（ˉ卯』6-y）＝鳃（鳃＋l2）＋y（y—6）≤20.又如2＋y2＝50』则2鳃—y＋5≤0.联立｛感笆;0′解得则＝ˉ5或l结合图形（图略）可得ˉ5√面≤肛≤l,故点P的横坐标的取值范围是［ˉ5√Zl］［测训诊断］（l）本题难度较大,主要考查平面向量的数量积的坐标运算｀二元—次不等式表示的平面区域以及直线与圆的位置关系’考查考生的逻辑推理能力｀运算求解能力’意在让少数考生得分.（2）本题容易错‖若错可能是不能正确等价地转化造成的.■■刷大题『,『腰〗户洼.［解］方法:3。∧［解析］圆的标准方程为（则ˉ1）2＋（γˉ4）2＝4,...圆′心坐标为（1〕4）又圆心到直线“＋y-l＝0的距离为1｛。。.由点至｜」直线的距离公式!可得｜浩＋｜—器＋-｜…—÷故选＾［关键点拨］本题考查了直线和圆的位置关系,利用点到直线的距离公式’建立等量关系｛求出参数值即可.［测‖｜｜诊断］本题难度易｛主要考查点至｜」直线的距离公式和考生的计算能力.属于送分题4.C［解析］设过A,B］C三点的圆的方程为卯2＋y2＋酗＋Eγ＋F＝0,代入A,B］C三点坐标‖｛锤瓣镭镭｛曰……制＝得20＝0·令卯＝0’得／＋4yˉ20＝0,...yM＋y″＝ˉ4,γ删。y″＝ˉ20.＾｜MM＝｜y删—y″｜＝√（y″＋γ″）2ˉ4y″y″＝√I石下丽＝4厄［关键点拨］本题给出圆上三点坐标’求被y轴截得的弦长,要先求出圆的方程］再应用相关知识求弦长对干圆的方程的求解,—种方法是设圆的—般方程‖代入三点坐标’得至｜」—个二元—次方程组去求!另＿种方法是利用圆的几何性质,求出两条弦的垂直平分线方程］两条垂直平分线的交点即为圆心!再合理求出半径,对于弦长｛可由解析中方法求解,也可应用求圆的弦长的常规方法’即应用′』＝d2＋（÷）』求解［测‖｜｜诊断］本题难度适中,考查的是圆的方程求解和直线与圆的位置关系相关知识〗这类知识我们应熟练掌握!运用自如,此题尽量不要失分。5.4［解析］设圆心O到直线′的距离为d,则2√Ir二刁r＝2灯,＾d＝］｝铡｜涛罢～3』…～—粤此时直巍′的商隆为ˉ争辩Ⅱ—2／可＝O...』的倾斜角为30。,如图所示过C作BD的垂线,垂足为E,贝｜｜｜CE｜＝｜AB｜＝2√可。?c‘〃′昨｀么EcD＝30.肝｀｜cD｜二c黑.＝4（1）过A作AEˉLBD〕垂足为E。由已知条件得］四边形ACDE为矩形,DE≡BE≡AC≡6’AE＝CD≡8°因为PB上AB’所以cos叁PBD＝sin乙ABE＝且＝土105～』｜≡＝BDl2≡自皿（）／PDC—▲—日〃β〃尸日乙∩℃吕β尸以所因此道路PB的长为l5（百米）。（2）O若P在D处,由（1）可得E在圆上,则线段BE上的点（除B,E）到点O的距离均小于圆〔）的半径,所以P选在D处不满足规划要求@若0在D处,连接AD,由（l）知AD≡｀／AE2＋ED2≡l0,从而…B』D＝dD』＋」铲＿BD2＝去＞0』所以△酗D为锐角2AD·AB所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此Q选在D处也不满足规划要求。综上,P和Q均不能选在D处（3）先讨论点P的位置当△OBP＜90°时,线段PB上存在点至｜」点O的距离小于圆O的半径,点P不符合规划要求;当乙OBP≥90。时,对线段PB上任意—点F〕OF≥〔）B〕即线段PB上所有点至｜」点O的距离均不′｜｀于圆0的半径,点P符合规划要求设Pl为′上—点］且P］B上AB』由（1）知］PlB＝l5’此时PlD＝PlBsin乙PlBD＝PlBcos兰ER4＝15×▲＝9.5,当△OBP＞90°时‖在△PPlB中〗PB＞PlB＝l5.由上可知!〃≥15.再讨论点0的位置［关键点拨］由圆的弦长计算出参数m’结合直角三角形计算CD的长.圆中的弦长公式′＝2√产ˉ＝万丁》结合图形转化到直角三角形求弦长.［测‖｜｜诊断］（l）本题难度较大］考查直线和圆的位置关系｀弦长公式、直线的位置关系｀转化与化归思想（2）本题若出错‖主要是不能运用条件进行等价转换或不能正确画出图像.6,ˉ2√歹［解析］本题考查直线与圆的位置关系两点间的距离公式及点至｜」直线的距离公式由题知厂＝｜-m＋3｜＝√4＋（m＋l）2）石解得m＝ˉ2,r＝√百.讽3［解析］设d（“』2鳃｜』α＞0』则线段咽的中点c（竿｀α）』以姻为直径的圆C的方程为（觅-5）（匆-α）＋γ（y—2α）＝0,与直线′:y＝2腮联立得z2ˉ（1＋α）”＋α＝0’解得D（1』2）’则萌.而＝（5ˉα』ˉ2侧）.（ˉ:ˉ3’2—α）＝侧』ˉ2αˉl5＋2α2—4·-0』化简得α2—2@微信公众号：嗨呀同学答案及解祈由（2）知’要使得0A≥15!点Q只有位于点C的石侧,才能符合规戈｜」要求当0A＝l5时’CQ＝√QA2—AC2＝√I歹＝百丁＝3√面『.此日寸』线段以上所有点到点（）的距离均不小于圆O的半径综上,当PB上AB,点0位于点C右侧,巨C0＝3√页Iˉ时,′最′｜｀,此时P,0两点间的距离PQ≡PD＋CD＋CQ＝］7＋3｀／面T.因此,d最小时,P,0两点间的距离为l7＋3√页丁（百米）.方法二:（1）如图,过O作0H上′］垂足为H以O为坐标原点‖直线OH为y轴,建立平面直角坐标系距离PQ＝4＋3√面Tˉ（ˉ］3）＝17＋3√页T.因此,〃最′｜｀时,P,0两点间的距离为l7＋3｀／豆T（百米）.［关键点拨］通过审题正确地将实际问题转化为数学问题〕进而利用相应的数学知识建立目标函数是解题关键解决直线与圆的位置关系的实际应用题可建立直角坐标系,利用解析法求解考点22椭圆刷小题｜】.B［解析］本题考查椭圆的定义、标准方程及几何性质设椭圆C的标准方程为÷÷-｜｜d＞‖＞0卜...｜AFb｜＝2｜FbB｜,｜必｜＝｜BFl｜,..。｜BFl｜＝3｜FbB｜。又。。｜BFl｜＋｜FbB｜＝2叫｀｜′』B｜＝÷’则M′2｜＝α』MB｜＝｜B′｜｜＝;α｀M′｜｜二“方法—:在△ABFl中］由余弦定理］得cos乙BAF｜＝｜姻｜Ⅷ!｜j万｜｜′′｜｜』-（等）:枢2—（等）』-÷椭圆‘的2°丝·α2焦点为Fl（-1｛0）‖F2（1!0）』.。.C＝l,｜FlF2｜＝2.在△AFlF2中,由余弦定理,得｜F｜F2｜2＝｜AFl｜2＋｜AF2｜2—2｜AFl｜｜AF2｜°…删′｜』即4＝α2＋α2ˉ2α2.＋』解得α2＝3』＾0』＝α2ˉc2＝2』22＾椭圆C的标准方程为÷＋÷＝l’故选B方法二:...｜AFl｜＝｜AF2｜＝α］。.。点A为椭圆的上｀下顶点。不妨设川｜0』ˉb）』′凰｜l』0｜,零硒＝2硒』fB（÷』!）》代入椭圆方程阀9b2÷＋;＝!,解得侧』＝…′＝」｀＾』2＝侧1—‘2≡2』嚣椭圆C的标22准方程为÷＋÷＝L［刷盲所得］求椭圆方程的主要方法（l）直接法,即根据已知条件直接求得α］b的值』即可求得椭圆方程;（2）定义法］即利用椭圆的定义求解;（3）待定系数法,即设出椭圆的标准形式’然后根据已知条件建立关干α!b的方程进行求解2D〔解祈］方法—;如图』由题絮喧线AP的方霍为』-粤…｜』直线F2P的方程为y＝√可（勿ˉC）,过点P作PB上鳃轴］交如轴于点B.（鸳!i‖）…竿～｜…卜竿伴联立.,。△PF2B≡180。-120°≡60。’＾｜F2P＝2（α;c）又.。△PFlF2为等腰≡角形,▲FlF2P≡l20。》.ˉF2P＝｜FlF2｜,即2c-2（宁′）｀＾b＝÷＝÷故选u因为BD＝12,AC＝6,所以OH＝9,直线′的方程为y＝9〗点A’B的纵坐标分另｜」为3’—3。因为AB为圆O的直径,AB＝10,所以圆O的方程为鳃2＋／≡25.从而A（4!3）,B（-4!-3）｛直线dB的斜率为÷／○｀℃γ″↑｜〃尸『、｜厂因为PB上AB』所以直线PB的斜率为ˉ÷｀直线PB的方程为γ＝ˉ牛厕—孕〕〕√（-l3＋4）2＋（9＋3）2所以P（-13,9）,PB＝日］~~因此道路PB的长为15（百米）。（2）O若P在D处,取线段BD上—点E（—4｛0）］贝」Eo＝4＜5］所以P选在D处不满足规划要求@若Q在D处’连接AD,由（1）知D（—4’9）!又A（4,3）,q所以线段AD;y＝ˉ了”＋6（ˉ4≤“≤4）在线段川D上取点M（3』子）』因为o＂-√』』带（￥）』＜√5了再霄-5』所以线段AD上存在点至」点O的距离小于圆O的半径因此Q选在D处也不满足规划要求综上,P和0均不能选在D处（3）先讨论点P的位置.当△OBP＜90°时,线段PB上存在点至｜」点O的距离小于圆O的半径,点P不符合规划要求｝当△OBP≥90°时!对线段PB上任意点F,OF≥OB］即线段PB上所有点到点O的距离均不′」｀干圆O的半径｜点P符合规划要求设Pl为／上—点,且PlB上AB,由（l）知0PlB≡15,此时Pl（-13’9）‖当乙OBP＞90。时!在△PPlB中’PB＞PlB＝l5。由上可知］Ⅲ≥l5.再讨论点Q的位置由（2）知,要使得QA≥15,点0只有位于点C的右侧,才能符合规戈｜」要求当QA＝15时’设Q（α,9）’由AQ＝√（α—4）2＋（9ˉ3）2＝15（α＞4）,得α＝4＋3√面T,所以Q（4＋3√叮,9）.此时,线段QA上所有点至｜」点0的距离均不小于圆O的半径综上,当P（-13,9）,Q（4＋3｀／页T｜9）时,d最小,此时P,0两点间的Pγ」↑』夏题分类集‖｜｜微信公众号：嗨呀同学高考必刷题真题分类集训数学（理）方法二:如图!,。。△PFlF2为等腰三角形,乙FlF2P＝120°0...｜PF2｜＝｜FlF2｜＝2c,...乙PF,B＝60°。在△PF2B中,｜PB｜≡何c,｜AB｜＝α＋2c’~～~厅则在△APB中』蛔n△〃B＝｜器｜＝器ˉ鲁’＾α＝4…二÷故选n［测］｜｜诊断］本题难度较大!考查椭圆方程、直线方程｀椭圆离心率等知识。考查数形结合能力｀运算求解能力.3.∧［解析］由椭圆的轴对称性及题意’设点p在第二象限如图!设OE的中点为c』｜删｜…″′〃o圆』＾船ˉ册』即｜品｜＝罕』＾｜O圃｜＝簧』＾｜oc｜＝＋｜oE｜＝2（黑c「又Oc〃Ⅷ』~｀｜锡＝『∏α惯′即2（宁）α÷‘’ˉ—』＾α＝3c』即e＝÷·,·｜PF｜＝2,.。.｜MF｜＝l,＾…删″』ˉ↓铬≡佰放直线PF的斜率为硒［关键点拨］解答本题的关键是充分利用直径所对的圆周角为直角!明确MFl为PF的垂直平分线及椭圆的定义与基本性质的应用ˉ-＋8。5［解析］设B（z0,y0）!A（卯l,γl）,。..P（0’l）,..,AP≡（ˉzl,1ˉ＂｜』两≡（瓣＂』γ＂—｜｝γ萨≡2两』′｛「i｝厂鸟i‖,ˉ!｜｜′｛》｜剿》将删』…代入÷锄』ˉ磁得22卯02惮｜』…哪｛熏闽｜,ˉ‰3两式相减得γ＂＝十顺带丁＾膊;二4砸—4’;＝—＋″!2＋;mˉ÷″!＞」｀52...当m＝—＝5时』卵;取得最大值’此时｜厕0｜最大.2×（ˉ士）［测‖｜｜诊断］本题难度适中］考查向量的坐标运算｀转化与化归思想｀二次函数求最值!意在让部分考生得分.｜刷大题（l｜［解］由题设得☆☆＝ˉ÷』化简得÷啃＝l（｜鳃｜≠2｜》所以C为中心在坐标原点’焦点在腑轴上的椭圆,不含左｀右顶点。（2）@［证明］设直线P0的斜率为k,则其方程为y＝陋（内＞0）。｛癸｜衙≡缝志由7记鹏＝7言示』则P｜舰｀皿k）’Q｜ˉ＂』—雌）｀E｜鹏』0卜γB0［关键点拨］正确画出图形,构建α,b｛c的关系〕从而计算离心率.要善于结合图形分析问题、解决问题［测‖｜｜诊断］（l）本题难度较大,考查椭圆的几何性质（2）本题若出错,—是不会建立等量关系］二是对椭圆几何性质不熟悉邱.B［解析］本题考查椭圆的性质...α＞b＞0’...c＝√∏页＝】丁,由离心率虐-÷-罕-÷』得3鹏』二绷:』故选3［关键点拨］利用α2ˉb2≡C2,及e≡△即可得到α!b的关系α5.B［解析］由椭圆的标准方程可得α＝3,b≡2‖所以c＝佰］则椭圆的离心率为.ˉ卓故选凰［测‖｜｜诊断］本题难度小!主要考查椭圆的标准方程｀几何性质‖考查对定义的理解,意在让多数考生得分6（3,√I百）［解析］本题考查椭圆中焦点三角形的相关性质方法—:设点M（z0!y0）（z0＞0,y0＞0）。。。。Fl（-4,0）,F2（4’0）,且｜MF2｜巨（2,6）!...若△MFlFh为等腰三角形‖贝｜」｜FlM｜≡｜FlFb｜＝8,｛意扛鹤州二耘）……（方法二:由方法—知｜FlF2｜＝｜MFl｜＝8.由｜MF1｜＋｜MF2｜＝12得刁｜″〃2｜＝纵在△″FlF2中’由余弦定理得cos△″FlF2＝寸’则.n△MMh≡乎』所以加＝｜M,｜｜sin么腑｜陀＝√『了,题卿＋4＝｜MFl｜cos△MF｛F2＝7!解得腮″＝3,...M的坐标为（3’√T了）。于是直线0c的斜率为令』方程为’二÷（鹏ˉ《小乙｛寞〕』翱……№,由设‘｜骡‘』γ‘｜』侧｜—蜒和鞭‘是方程o的解故艘‘二哩（辉2｜』由此得Ⅱk3γc＝r丽可.uk3从丽直…斜率为醚｜霸I｜“1＝丁.2＋片2≡u所以PQ上PG〗即△PQG是直角三角形馋｜解］由◎得｜′q｜≡2鹏√「丽霄｀｛Pc｜ˉ2鹏瞩可』所以△′Qc的8（＋哦）8内（1＋k2）＝面积s＝＋｜P0‖PG｜＝（｜ˉ卜2藤）（2＋隐2｜l＋2（＋伙）27.√i歹［解析］本题考查圆的性质＼椭圆的定义、直线斜率的求法。设线段PF的中点为M!连接MFl,PFl（Fl为椭圆的右焦点）·°。。FF1为圆O的直径且｜FlF｜≡4,′°″F1上PF!｜PF1｜≡4.由椭圆的定义知｜PF｜＋｜PFl｜＝6!设′≡肉＋十』贝｜由肉＞0得′≥2』当目仅当附＝l时取等号因为s≡尚;在［2』…｜单调递减』所以当』≡2｀即附＝1时｀s取得最大值』最大值为导@微信公众号：嗨呀同学答案及解祈设该数歹｛」的公差为d,贝｜｜2｜d｜＝｜｜丽｜ˉ｜雨｜｜＝＋｜嘶!ˉ鳃2｜＝÷ˉ√（膨!＋獭2）2ˉ4…@将咖＝÷代入o得腑＝＿』可所以′的方程为γ＝ˉ鳃十寸’代入c的方程』并整理得7鳃2ˉl4鳃＋＋＝0故瓣｜…＝2』鳃｜箍2＝六』代入@解得｜砌｜＝1器所以该数列的公羞为嘿或—乎（1）［解］由于B‖B两点关干y轴对称,故由题设知C经过P3〕P4两点又由÷＋古＞÷＋蒜知』c不经过点′!』所以点P凰在c上』＋＝!,｜崇命｝辨｛;-｛）因此故c的方程为÷′』-』（2）［证明］设直线P2A与直线P2B的斜率分别为片l‖内2.如果′与剪轴垂直设l:匆＝‘］由题设知′≠0,且｜t｜＜2!可得A』B的坐标分另｜为（′｀罕）（′』—罕）贝｜」k1＋片2≡√4ˉ02ˉ2√啡ˉt2＋2＝ˉ1〕得t≡2,不符合题设,2t2t从而可设』;y-k…（砸差｜｜将y-顺十哪代＾子带广≡｜得（4片2＋1）冗2＋8kmU＋4矾2-4＝0。由题设可知△＝16（4k2-m2＋l）＞0.8片m4m2ˉ4设A（绷l』yl）’B（卵2’y2）’贝｜」“l＋绷2＝—JP—干T』厕!“2＝4A2＋1.因此』△P0G面积的最大值为等［关键点拨］（1）禾」用斜率之积列等式,化简,求得M的轨迹;（2）将证明△PQG为直角三角形转化为证明直线PQ上PG!即证内PQ°片PG＝ˉ1.（3｜s△,0‘＝＋｜P0｜.｜Pc｝［易错蜜示］已知″（鹏》γ）』财＂.k删＂＝ˉ÷』因此直线d″’B″的斜率存在,贝」嘶≠勿A且匆≠卵B〗即如≠±2.2·（1）［解］由已知得F（1’0）,!的方程为勿＝1.（1』粤）或（」』—粤）由已知可得,点A的坐标为所以哑的方橇为γ-ˉ粤露带徊或y-争ˉ抠（2）［证明］当′与免轴重合时］▲OM4＝△OMB＝0。.当′与剿轴垂直时｛OM为AB的垂直平分线!所以乙OMA≡乙OMB·当′与匆轴不重合也不垂直时］设‖的方程为y≡∧（xˉ1）（k≠0）,A（匆l’yl）,B（冗2,γ2）,贝｜」则l＜√Z勿2＜徊’直线M4,』〃B的斜率之和为4y1y2k蝴＋内″‘＝元丁＝页＋万I＝r由yl＝脑l—儿y2＝kz2—k得2肛1鳃2＿M（宽l＋卯2）＋4k内MA＋kMB≡（卿l-2）（z2-2）.将′-腮（缚ˉ｜｜代入÷广-｜得（2内2＋l）觅2-4k2鳃＋2k2-2＝0。4内22化2-2所以躯l＋腮2＝〗P∏’躯!卿2＝2A2＋1.贝‖2肛l匆2-3k（“l＋z2）＋4′b＝4内3-4k-12内3＋8片3＋4k2k2＋l从而RMⅪ＋AMB＝0!故M4,MB的倾斜角互补所以△OM4＝△OMB.综上,乙OM4＝△OMB.［证明］（l）由题知内存在且不为0。2222设」（箍｜,γ1｜｜B（鞠｀”｜｀则÷÷≡l｀子÷＝』两式相减,并由γlˉy2≡k得卯lˉ勿2丝』—±鱼上＋I』ˉ土丝。k≡0。43由题设知财｜挚＝L1宁旦＝哪』于是垄全qk＝ˉ扁曰题设得0＜咖＜÷｜故附＜＿÷（2）由题意得F（l』0）,设P（z3』γ3）］贝｜」（z3-1‖y3）＋（如l-1‖yl）＋（如2-1,y2）≡（0!0）.·~~肋l＋m-1肛2＋加≡1＋而k｜＋片2＝1上二1＋γ2—1日≡卯1卯22kzlx2＋（′几—1）（匆l＋卯2）~~勿2冗l3卯l卯2由题设知kl＋k2＝ˉ1］故（2k＋l）z1匆2＋（m-l）（允1＋z2）＝0‖目‖｜2肿!卜笨产｜顺＿］卜丽辩-0』解得腮＝哩2.加＋1当且仅当加＞ˉ1时’△＞0,于是′;y≡ˉ—匆＋m’即y＋1＝2竿.｜鳃ˉ2）』所以』过定点｜2』ˉl卜［刷盲所得］解决直线与椭圆位置关系的问题,其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立,消元｀化简!然后应用根与系数的关系建立方程（组）］从而解决问题［测‖‖诊断］本题难度较大］主要考查椭圆的定义｀标准方程与性质,直线与椭圆的位置关系｀直线的斜率｀定点问题等知识,考查推理论证能力｀运算求解能力｀转化与化归思想｀分类讨论思想‖意在让少数考生得分（1）［解］设P（卿,γ）’M（厕0』y0）,则Ⅳ（嘶0』0）,丽＝（绷ˉ″0’y）』Ⅶ-｜0』№）由丽-徊耐得瓣0-鳃』′o≡粤γ因为卿（鳃0』γ,｜在‘上,所以等＋等＝L因此点P的轨迹方程为斟2＋／＝2（2）［证明］由题意知F（ˉ1!0）。设Q（-3,1）,P（m』″）.则—≥＿广而＝（ˉ3』‘）’可＝（ˉlˉ′＂』ˉ″）』OQ。PF＝3＋3′＂ˉ′″.而＝（咖,厕）’而＝（ˉ3ˉ咖』‘ˉn）真题分类集‖｜｜@由（1）及题设得勿3＝3-（匆l＋抛2）＝1!y3＝＿（yl＋γ2）＝—2′n＜0又点P在c上’所以哪二÷』从而P（l』＿÷）｜沛｜二÷5~／2√（撼｜ˉ」）,带3（｜ˉ÷）呐—∑∑~~干是｜雨｜＝√（卯1ˉl）2＋γ;＝同理｜雨｜＝2ˉ等.＝所以｜煎｜＋｜丽｜＝4ˉ十（膊」＋狮2｜二虱故2｜萨｜＝｜雨｜＋｜丽｜』即｜顽｜’｜丽｜』｜雨｜成等差数歹‖徽｜微信公众号：嗨呀同学高考必刷题夏题分类集训数学（理）由而.而＝l得ˉ3咖ˉ厕2＋′″ˉ厕2＝｜’又由（1）知m2＋n2≡2］故3＋3m-tn＝0。所以而.可＝0,即而上可又过点P存在唯—直线垂直于（）0』所以过点P且垂直于O0的直线′过C的左焦点F。［测‖｜｜诊断］（1）本题难度中等偏上,主要考查相关点法求轨迹方程｀平面向量数量积的坐标运算、直线方程、两条直线的位置关系｀椭圆的几何性质’考查运算求解能力｀分析问题与解决问题的能力｀转化与化归的能力.意在使少部分学生得满分,大多数考生得—些分.（2）本题不易得满分,—方面是含有字母的运算易发生错误,另方9由（l）得O″的方程为γ≡ˉˉr烈设点P的横坐标为xP.｛;原之h二雕蕊』腮屿满由将点（号』＂）的坐标代入′的方程得b＝咖（÷—″）’医此内（片-3）m卯M≡3（内2＋9）,四边形OAPB为平行四边形当目仅当线段AB与线段OP互相平分‖即躯P＝2如M。于是3V器了-2撼:｜｜躇』解得隐｛-4—汀｀腮』-轩师因为胸＞0’儿≠3,j≡1,2,所以当／的斜率为4—行或4＋√7时,四边形OAPB为平行四边形［关键点拨］第问可以联立方程｛结台根与系数关系和中点坐标公式,表示出点M的坐标,从而证明,也可以用点差法］设而不求］得出结论第二问四边形OAPB为平行四边形〕可从线段AB与线段OP互相平分得至｜」则′’＝2xM’也可从向量角度』运用平行四边形法贝｜」］得至｜」而＝丽＋丽＝卯A＋卿B求解［测‖｜｜诊断］本题难度适中,考查知识明确,思维量和计算量都不太大〕学生容易上手得分,争取得满分.a［解］（」｜设椭圆的半焦距为‘｀依题慧』泌-4』÷-粤,又α2＝b2＋c2’可得α≡√了,b≡2,c≡L所以椭圆的方程为÷宁-［（2）由题意〗设P（郎P,yP）（刃P≠0）］M（施M,0）。设直线PB的斜率为k（内≠0）』又B（0,2）］贝」直线PB的方程为y＝脑＋2〕与椭圆方程联立｛尊牢』撰………雕≡ˉ蒜″入Ⅱ-脸十2得′′-盖辈』进而畜线″′的斜率芳-绵在勺γ＝脑＋2中’令γ＝0』得绷删＝—÷由题意得″（0’ˉl）》所以直线Mv的龄率为ˉ』由o尸儿Ⅷ｀得蠕（÷）≡‖｀化澄得膳-等』从而k＝童孪所以直线P‘的条率为孪或ˉ孪［关键点拨］（2）解答本题的关键是设出直线PB的斜率,然后将直线PB的方程与椭圆方程联立’得出点P的坐标,再得出点MⅣ的坐标’利用两直线垂直的条件得关于内的方程,解方程即得9［解］｛｜）设椭圆的焦距为2.』田已知有÷÷』又由忽』～b…’可得2α＝36.由已知可得,｜FB｜＝α,｜AB｜≡徊6.由｜FB｜·｜AB｜≡6／Z可得αb＝6,从而α＝3,6＝2·22所以’椭圆的方程为÷＋÷＝L（2）设点P的坐标为（期l,γl）’点Q的坐标为（撕2!γ2）。由已知有γ｜＞γ2＞0,故｜PQ｜sin▲AOQ＝yl-γ2。又因为MQ｜＝鼠m盖AB』而△叫B＝÷』故｜剧0｜＝仍”面是对直线』过定点（-l,0）的转化不合理所致6［解］（1）设M（绷l,yl）』贝｜｜由题意知yl＞O句~句当′＝4时』阿的方程为÷÷＝｜』A（ˉ2』0卜由巳知条件及椭圆的对称性’知直线A″的倾斜角为子’因此直线AM的方程为γ＝如＋2。将x≡y＿2代入÷÷-」』得7广ˉ」2y-0』解得y＝0或γ＝半｀所以’｜＝旱因此△AMV的面积S△A″″＝2×—上×旦×旦＝1坐27749（2）由题意‖＞3,k＞0,A（ˉ亿0）。将直线刹M的方程Ⅱ-k（露十阳代入千十宁≡｜,得（3＋讹2）匆2＋亚·讹2如＋t2片2ˉ3t＝0。巾蕊｜＋徊-‘揣』』得鳃｜-咖删』｜』…｜-｜巍M｜｀／「丁P-6们‘霄l由题设』得直线A″的力程为γ二—十（躯＋′｜｀同理可得｜A／V｜＝6内√t（1＋k2）3内2＋t由2MM≡｜AM得3÷搬Ⅱ＝］P丁P片即（片3-2）t≡M（2内ˉ1）。当k＝沥时上式不成立’因此′＝3片（2内ˉ1）片3ˉ2′＞3等价丁腮』ˉ…ˉ2＝｜腮ˉ2）（膘＋1）＜0｜即悬＜0片3-2k3-2｛匿』6或｛剿d,橇得苑…』由此得因此∧的取值范围是（沥’2）.［测0｜｜诊断］本题第（1）问较新颖』跳出了常规模式,重点考查了椭圆的对称性!视角较新第（2）问延续了弦长问题］但后面处理上］需要—定技巧〕对考生的数学功底和数学素养要求较高7.（l）［证明］设直线／:y＝脑＋b（内≠0!b≠0）,A（熊l!yl）,B（苑2］y2）!M（卿″,y″）.将y＝脑＋b代入9x2＋广≡′＂2得（k2＋9）孵2＋2肋愈＋62ˉ允l＋卯2-肋哪2＝0,故躯″＝—厂ˉPˉ再｀′删＝赋＂带b二尚于是直线0删的斜率枷≡器＝—÷｀:肌‘鹏.』＝ˉ9所以直线OM的斜率与′的斜率的乘积为定值.（2）［解］四边形OAPB能为平行四边形.因为直线′过点（号:加）》所以′不过原点且与c有两个交点雕充要条件是府＞0］A≠3.@微信公众号：嗨呀同学答案及解析方法二:如图,由题意及等面积法可知c2＝2αb］又c2≡α2＋b2’故.』…侧M』｜…｀所以艘-÷≡√宁:≡徊方法三:由｜PQ｜＝｜OF｜且P,Q在以OF为直径的圆上可知PQ为圆的自径设OF的中点为M则｜PM｜＝｜OM｜＝÷因为点P在圆凸＂2辨广≡忽让｀所以｜0P｜-“｜结合R［△0P删知·』-÷÷』故像＝ˉ旦＝√5。α［关键点拨］求解本题的关键是明确若点P在以OF为直径的圆上,则OP上PF,且｜Op｜＝α!｜pF｜＝b.根据等面积法结合c2≡α2＋b2得出关于α,c的关系式后求e.2∧［解析］本题考查双曲线的几何性质及三角形面积的计算不妨设点P位于第—象限双曲线中］α2＝4‖b2＝2,贝｜」c2≡6.方法′′｜0′｜≡亿』〃″二!≡粤』…△P‘′≡粤』＾0′上的高h-｝｜0′｜…P0′-亭…÷｜o′卜h-乎方法＝。..｜P0｜＝｜PF｜,点F坐标为（佰,0）,.。.点P的横坐标为粤设点P在渐近线′-粤瓣上｜八点P酌纵坐标y-亨』入s△″″-÷｜o外y-乎2aB［解析］如图γ双曲线c;÷ˉ′2＝0的两条渐近线分别为γ＝粤瓣和Ⅱ＝亨瓣』由器｝-乎…M0』可得5γ｜-9Ⅱ〗｛黔ˉ!淌…』≡煮可露…‖由方程组方橇为…—2～0』宙方橇组｛摊2～α2k消去鳃‖可得y2≡【ˉ干ˉT由5yl≡9γ2,可得5（内＋1）＝y9内2＋4,两边平方,整理得56附』ˉ50肿l｜＝0’解得隐＝÷』或附＝÷,易知直线AB的所以’庶的值为÷端｜o［解］（｜｜设椭圆的半焦厘为c因为椭僵E的离心率为＋』两詹线之「司的距离为;』所以÷-＋』竿-:』解得α＝2,c＝l,于是b＝√Fˉ＝万丁＝√可,阔此椭圆E的标准方橇是『带÷二［（2）由（l）知’Fl（-l,0）,F2（1,0）.设P（鳃0,γ0）］因为P为第—象限的点］故腮0＞0,y0＞O当卯0＝1时｛′2与ll相交于Fl,与题设不符.当输≠!时直线″!的斜率为恭』富线″』的斜率为—』坚卯0-1因为′l上PF1〗′2ˉLPF2,卯0＋l卯0-］所以直线′｜的斜率为——,直线′2的斜率为ˉ—γ0γ0卯0＋l从而直线′l的方程为y＝-＿（匆＋1）］oy0卯0-1直线l2的方程为y≡—＿（如—l）。@y0…瞬得鳃-＿鞠』》～丁,所从0（—绚』罕）厕;ˉl勿;ˉl点Q在椭圆E上!由对称性,得＿＝±y0,即γ0“;ˉγ;＝］或狐;＋筛＝l.又′…圆上｀故乎等-｜“;ˉ』;≡」』＂＂二乎』＂;＋危二!』僻｛辨｀愿.｛乎牛!篮.由↑营午｝‖°.°乙″0F≡▲ⅣOF＝30。,°.°乙MOⅣ＝60◎.又.。△OMⅣ为直角三角形!。。。▲OⅣ″＝30°。。·.乙M）F＝乙O／VM〕·.·｜0F｜≡｜ⅣF｜。,。.F（2,0）,。.,｜FⅧ｜≡｜OF｜sin▲MOF＝l’｜／VF｜＝2..。.｜Mγ｜＝｜MF｜＋｜F／γ｜＝3.故选B4.∧［解析］因为双曲线的离心率e＝二＝｀／I丁下Jr二徊』所以上＝徊.ααα句勺6所以双曲线景—卡＝｜的渐近线方程为y＝±—躯＝±徊蝉故α选A。［关键点拨］解题的关键是利用6＝二＝√而丁干贾进行转化.αα［测‖｜｜诊断］本题难度较小］考查双曲线的离心率,渐近线方程的概念及计算考查运算求解能力,意在让大部分考生得分。5.C［解析］如图所示,直线′l;y＝上鳃,即bzˉαy≡（）,F2（c’0）,α（乎,平）因此点P的坐标为［测‖｜｜诊断］（1）本题难度中,考查椭圆的标准方程｀几何性质以及直线与椭圆的位置关系,意在让大多数考生得分.（2）本题不应错,若错最大的可能是运算错误造成的.考点23双曲线」刷小题｜0。∧［解析］本题考查双曲线离心率的求法及圆的几何性质方法:如图’连接OP,PF.由题意知△OPF为直角三角形］且｜（）P｜＝α,｜PQ｜＝｜OF｜＝C。故｜PF｜二√了—＝而页ˉ＝6.2由三角形等面积法可知αb＝÷,即c2二2αh又b2＝c2-α2,则c4＝4α262＝4α2（c2＿α2）’即c4ˉ4α2c2＋4α4≡0,故e4ˉ4e2＋4＝0,故e2＝2’则e＝√百真题分类集训微信公众号：嗨呀同学高考必刷题夏题分类集训数学（理）bC≡卫旦＝b,...｜PF2｜＝｀／Fˉ而丁C..。△OPF2为直角三角形,.》｜OP｜＝√｜OF2｜2ˉ｜″2｜2＝√6iˉ＝万丁＝α』..·｜PFl｜≡√6｜OP｜≡佰α.｜PF2｜b在Rt△OPF2中》cos乙OF2P＝而瓦ˉ「＝丁在△PFlF2中,｜PF2｜2＋｜F1F2｜2ˉ｜PFl｜262＋4c2ˉ（√6α）2COS么PF2Fl≡≡2｜PF2｜。｜FlF2｜2b.2cb2＋4c2-6α2ˉ上,,.·b2＋4c2ˉ6α2≡4b2,4bCC...4c2ˉ6α2＝3b2＝3c2ˉ3α2,』..c2＝3α2,..·e≡何.故选C.［关键点拨］解答本题的关键是根据题意画出图形!在三角形中找至｜」边角关系!进而利用余弦定理求解［测‖｜｜诊断］本题难度较大’考查双曲线的离心率的求解,余弦定理的应用!意在使部分考生得分。6∧［解析］双曲线C的渐近线方程为y＝±ˉ止勿.圆（厕ˉ2）2＋／＝4α的圆心为（2’0）,半径为2］设圆心到直线y＝±上卿的距离为d,则α…得‘2＋（÷）』-22,解得硼-何则羔亏二徊,整理得膘ˉ3·』』即上-√冒所…线豹离心霉为√｜÷（÷）』-2放α选A°［刷青所得｜直线被圆截得的弦长问题的求解—般利用公式（十）2＋〃2＝产（′为弦长!d为圆心到直线的距离｛厂为圆的半径）通过＂知二求—＂求解［测‖｜｜诊断］本题难度适中〗主要考查双曲线的几何性质,直线与圆的位置关系,考查运算求解能力｛意在让部分考生得分。7.∧［解析］...m2＋n＋3肌2-几＝4m2＞0,.,.该双曲线为焦点在勿轴上的双曲线…』≡…2≡｜,该双曲线方程为击—叁-｜』筛又因为删（蹦』』’0）…线上』所以粤—耐三］｀即端＿…γ;所以碱丽,≡…;—』却;-3′;—1＜0』故—亨＜γ,≤粤』选A.［关键点拨］利用点（匆0〗y0）在双曲线上‖将含有嘶0,y0的不等式转化为关干y0的不等式,即化繁为简〕化二元为—元［刷盲所得］遇到两个甚至多个函数｀不等式,我们可禾｜」用已知条件｛化繁为简!减少变量个数,达至｜」求解的目的.［测训诊断］本题难度中等,主要考查平面向量的数量积的坐标运算,考查学生的运算求解能力。‖0.D［解析］如图所示,由双曲线的对称性!不妨设″在第—象限由题知兰ABM＝120。!AB＝BM≡2α,易求M点坐标为（2α,归ˉα）,代入÷—÷-1』得α』三矾＾臆』二2鹏:』...e＝ˉ三≡√百.α几〗~~~／／—α＼｀｜叫′／［关键点拨］此题关键是由题中信息,得到M点坐标（2α,√7α）,再代入双曲线方程’确定α,b,C关系,求得离心率［测‖｜｜诊断］本题难度较难’需准确定位才能打开题干,争取得分.↑lc［解析］本题考查双曲线的渐近线方程＼离心率的求法。...双曲线的渐近线方程为如±γ＝0］·。.α≡b〗.。。α2＝62］..。α2≡c2—α2,2.〈2α2＝c2,即÷＝2’＾‘＝√百.故选Cα［刷盲所得】由α与b的关系可以求出离心率e≡ˉ△≡α√｜＋（÷）2（注意与椭圆的区别｜』唱…心率也可得出·与』的关系勺~句｜2c［解析］因为双曲线÷卡＝1（α＞0』b＞0｜的离心率为2｀所｛虱卵｛『二麓所………Ⅱˉ以±—鳃-堂伍依题意,不妨设d（僧,÷）』B（°』ˉ÷）到直线》～bα…巨离分别为』」』感Ⅱ』…＋感』-6,所以｜任丢｜＋＝｛伍辨÷｜—6,所从」响;—3·｜÷｜…d-6｀解得·-徊』222~勺或α＝ˉ√可（舍）』所以b＝3』所以双曲线的方程为÷ˉ÷＝l』故选C.｛｛i（!二‖｛解得ˉ!…3故选A［刷盲所得］当双曲线（或椭圆）方程中有参变量时,要确定双曲线（或椭圆）的焦点位置｛若确定不下来〕就分类讨论.［测训诊断］本题难度适中〕主要考查双曲线的标准方程及性质’考生会因为弄不清焦点位置而浪费时间』甚至失分.aA［解析］由题意′MF］上′｜′2』.in丝删′2′｜＝＋』则在R（△M′!′』中,不妨设｜MFl｜＝‘,则｜MF2｜＝3′〕｜F］F2｜＝2√5‘..。.2α＝｜MF2｜ˉ｜″Fl｜≡2t,2c＝｜F!F2｜＝2厄t,...e＝＿旦＝灯.故选A.α［关键点拨］在双曲线的焦点三角形MFlF2中,｜MFlˉMF2｜＝2α,｜FlF2｜＝2c’再禾｜」用求解三角形的有关知识,计算离心率e≡—坚.α［刷盲所得］在求解有关椭圆和双曲线的离心率问题时』若有焦点三角形这样的大环境］可结合椭圆或双曲线的定义,解出这个三角形的相关信息’快速地求出对应的离心率［测‖｜｜诊断］（1）本题考查了双曲线的几何性质‖重思维‖轻计算（2）本题入题较难｜但如果能注意到焦点三角形这个大环境,结合双曲线的定义’会事半功倍9.∧［解析］由双曲线的方程知』Fl（ˉ√丁’0）』F2（√可’0）,从而耐!＝（ˉ√可ˉ则0』ˉγ0）』耐2＝（何ˉ厕0』ˉy0））从而耐l.耐2＝厕;ˉ3＋γ↑咖＝:＂@微信公众号：嗨呀同学｜苔案及解祈［快解｜因为双曲线÷卡-］（α＞0』｝≥0｜的离心率为2』所以｛文虱戚哪｛;二撬如…………堕2ˉ6’可得CF＝3’故b＝3,所以α＝√可’所以双曲线的方程为÷ˉ÷≡』［易错鳖示］本题易错点有两处:—是匆型的双曲线的渐近线方程与y型的双曲线的渐近线方程搞混,导致所得的结果出错;二是双曲线中的α,b‖c的关系式与椭圆中的α’b］c的关系式搞混!导致所求的结果出错°03。B［解析］由双曲线的标准方程得］其焦点在卯轴上’且α2≡3〗b2＝1,。。.c2＝α2＋b2＝3＋1≡4!。.。c≡2’。。。其焦点坐标是（＿2］0）‖（2’0）.故选B.［测‖｜｜诊断］（1）本题难度小’考查双曲线标准方程中基本量的运算〗意在让大多数考生得分.（2）本题不应错］若错〗可能是椭圆中基本量的关系混淆在椭圆中C2＝α2-b2］在双曲线中C2＝α2＋b2.‖4B［解析］由双曲线的离心率为√百得α＝b,贝｜」渐近线方程是y≡±濒｀又由题意知直线′P与渐近线γ＝膊平行得财′＝÷＝l’c二4』＂｜°-b≡蛔』双曲线的方程为÷＿÷二｜』故选＂［关键点拨］熟悉双曲线的渐近线方程｀离心率等几何性质［刷盲所得］离心率为徊的双曲线是等轴双曲线,即实轴长等干虚轴长’两条渐近线互相垂直,渐近线方程是y≡±虹,［测0｜｜诊断］（1）本题难度适中!主要考查双曲线的标准方程｀几何性质〗考查考生对双曲线性质的应用以及运算求解能力,意在让多数考生得分。（2）本题若错可能是性质记忆错误或者运算错误造成的。］5。2［解析］本题考查双曲线的离心率由题意,不妨设点B在第-象限方法＿:由题意知｜FlA｜＝｜AB｜,｜FlO｜＝｜F2O｜。故OA／／／F2B〕因此△AOFl＝△BF2O.又由对称性知叁AOFl＝乙BOF2,故乙BOF2≡▲BF2O。所以｜OB｜≡｜BF2｜.又因为屈.硒＝0’所以FlB上F2B］所以｜OB｜＝｜OFl｜≡｜OF2｜』6程是y＝±—z＝±√n.α［关键点拨］双曲线的渐近线方程与焦点位置有关.［刷盲所得】若双曲线的焦点在如轴上〕贝｜」渐近线方程是y＝b±—卯αα若双曲线的焦点在γ轴上,则渐近线方程是y≡±丁匆.∏2［解祈卜双胜线÷卡＝!｜。≥0』偷＞0｜的石焦点′｜臆』0｜至｜—条渐近线的距离为粤c』…祭,＾b』-‘』—α』二÷c』』…2α,贝｜」其离心率e≡ˉ坠＝2.α［易错警示］双曲线中基本量α0b,C的关系是α2＋b2≡C2,不要与椭圆中混淆。［刷盲所得］双曲线的个焦点至｜」—条渐近线的距离为b°［测‖｜｜诊断］本题难度适中〕考查双曲线的几何性质］意在使大多数考生得分.旧2［解析］根擂双曲线的标准方程可知其离心露.-匹严二徊』解得加＝2.［刷高所得｜着已知双曲线的离心率』可由′-÷-√｜＋（÷）』转化为α2与b2之间的关系求解［测‖｜｜诊断］本题难度小,主要考查双曲线的定义及其离心率,考查运算求解能力,意在让多数考生得分。调厂±粤“［解祈］设A（鳃｜,y｜）》E（鳃』』”｜庙蜒』≡2′γ得′（0』÷）』抛物线的准线方程为y＝ˉ÷由抛物线定义得｜A′｜＋｜BF｜二γ｜＋γ2＋严′｜OF｜＝÷结合｜AF｜＋｜BF｜＝4｜OF｜＝2p’得…二腆将鹏』-2‘′代入÷—借二］得誓ˉ卡-｜』舅噎ˉ2D＿2b2誓刊-0』,｜…-竿-誓-腆八歹二…,二26』』＾双曲b2线÷卡二1的渐近线方橇为′-塞粤＾［测0｜｜诊断］本题难度大’主要考查抛物线的定义｀双曲线渐近线方程的求法』两曲线之间的位置关系〕考查运算求解能力、分析和解决问题的能力｀转化与化归能力、数形结合思想〕意在让少部分考生得分2o2何［解析］双曲线÷—／≡1的右准线瓣≡;与两条渐近线Ⅱ≡＊争的交点坐标为（÷,辈粤）』叉两焦点分别为′!（ˉ2,0）』岛｜2,0）,则四边形F｜PM的面积是ˉ÷｜F』尼｜.｜PQ｜＝＋×4×√5＝2佩≡▲［鼠惰所撂｜双陛线÷ˉ卡-］（·≥0』』＞0｜的准线方程是2D卵＝±旦＝］渐近线方程是y＝±—z。Cα［测0｜｜诊断］（l）本题难度适中!主要考查双曲线的几何性质及其应用］考查考生对性质的理解以及运算求解能力,意在让多数考生得分·（2）本题不应错］若错可能是对于双曲线的性质掌握不牢‖运算错误造成的夏题分类集‖｜｜｜所以△OBF2为等边三角形’即乙BOF2≡60。,则过第—｀三象限的渐近线斜率片＝tan▲BOF2≡灯.因此双曲线C的离心率e≡÷√1÷ˉ√∏萨≡2方法二:设F1（-c00）,Fh（c,0）,因为硒.硒＝0’所以么FlBF2＝90°.又F『j三m所以A为FlB的中点』所以｜OB｜＝÷｜FlF2｜＝c》凸F｜∩爪｜Fˉx所以B（α』b｜』所以」（宁》÷）所以直线oA的斜率为六＝-上,解得c＝2α,则双曲线C的离心率e＝-旦≡2.αα06.y＝±√酝［解析］本题考查双曲线的几何性质将点（3,4）代入双曲线方程得9卡＝1｜b＞0）｀解得0二徊』贝｜该双曲线的渐近线方微信公众号：嗨呀同学高考必刷题夏题分类集训数学（理）考点24抛物线刷小题lD［解析］本题考查抛物线和椭圆的几何性质由y2＝2p鳃（p＞0）知抛物线敲焦点坐标是（;,0）,而椭圆嘉÷-］的焦点坐标为（±√2J’0）’则÷＝｀／豆歹’故p＝8故选D垄［关键点拨］由于抛物线的焦点与椭圆的—个焦点重合］因此椭圆焦点必在则轴上’因椭圆中α2＝3p』62二p』故c＝√豆页.［易错鳖示］本题易错之处;—是抛物线焦点坐标写错,从而造成错解］≡是不能正确理解抛物线焦点在如轴上!而对椭圆的焦点进行讨论,造成错解勺2D［解析］由题知直线M｀′的方程为γ＝÷（驱＋2）｛豆｜叶!｜蹄｛刚;＝》联立抛物线与直线方程设″（1!2）,／V（4‖4）,由题可得F（1!0）』...丽＝（0』2）’F?V＝（3’4）’...丽.丽＝8.故选D.→［刷育所得］圆锥曲线与向量相结合的通法—坐标法,般求出或设出点的坐标｛再根据已知条件,利用平面向量的坐标运算［测‖｜｜诊断］（1）本题难度适中,考查解析几何中的直线与抛物线的位置关系和向量的综合应用,意在让部分考生得分｛（2）本题若错,可能是运算出错或向量坐标的数量积公式弄错3.∧［解析］方法—｛抛物线／＝4鳃的焦点坐标为（1’0）ˉ由题意!显然直线′l,′2的斜率存在（若有—条不存在』贝｜」交点个数不满足题意）。设直线′｜的方程为y≡片（嘶—l）］将其与抛物线方程／＝4x联立得k2如2ˉ（2片2＋4）绷＋k2＝0.片2设』（x!｀γ］）｜B｜…）｜则…2＝2÷』…篡＝萨≡』.。.｜AB｜≡＿纽ˉ-＿—2且-l-Cos20Sin20°又DE与AB垂直’＾直线DE的倾斜角为子＋0,凸2p2p.。」DE｜≡.in2（于＋0）◎。〃.°.y2＝4卯〕°·.p＝2°＾｜佃｜＋｜哑｜-驴（志十志）二息…』〃←m』细.n』204416≡≡＝＿≥｜6’当0＝于时取等号’即｜AB｜＋｜DE｜的最小值为l6,故选A［测‖｜｜诊断］本题难度较大,主要考查两直线垂直的条件｀直线方程｀直线与抛物线的位置关系｀弦长｀基本不等式等知识,考查运算求解能力、转化与化归思想｀数形结合思想’意在让少部分考生得分.B［解析］如图!设圆的方程为匆2＋／＝R2（R＞0）,抛物线方程为y2＝2pz（p＞0）,A（m〕″）.。。.抛物线y2≡2pz关于鳃轴对称,圆关于嘶轴对称,且｜AB｜＝4徊,.,·｜yA｜＝~7刀土｀训在圆上》＾粤＋2√Z＾卯A＝万＝pp8＝R2.O由抛物线y2＝2p勿知,它的准线方程为鳃＝＿:矿′｜DE｜＝蛔＾R2＝1线方程为瓣-—:矿′｜D阀｜ˉ眶』八R』-宁｀y4■尸心几帐比｛｜扩北』≡~~刀5@联立m圆可解得p＝4〕..。C的焦点到准线的距离为4。故选R［刷盲所得］解决圆中弦长问题—般用垂径定理』即′＝2｀／F可丁.［测‖｜｜诊断］本题较难,主要考查抛物线的性质及圆的对称性｀圆中弦长的计算方法］考查学生分析问题的能力以及运算能力5.2［解析］如图所示.′l′｜ˉˉ√（l＋片2）［（绷l＋绷2）2ˉ4卿l厕2］｜AB｜≡斗＼■□■〗■′′斗—脐＋’▲（片＋′√斗—脐＋纠斗~~冗直线′』的方程为y＝—÷｛藏＿」｜』匠理』将其与抛物线方程γ2＝4”联立可得｜DE｜＝4＋4片2。~｀MB｜＋｜Dg｜＝4÷＋4带孵≡s＋4（萨十☆）≥:…＝u6｜当且仅当R＝±］时取得等号方法二』设直线必的倾斜角为0（0＜‘＜÷）作AK｜≡抛物线的｀准线厕＝ˉl于点Kl』A足垂直“轴于点K2』设准线则＝ˉ1与躯轴的交点为C』如图所示。.。.抛物线方程为y2＝4鳃’。。.准线方程为′:匆≡-1.焦点为F（1］0）..｀M（ˉ1,I）在抛物线的准线上.过点A作AA′上′,垂足为点A′〗过点B作BB′上′,垂足为点B′.由题意得,｜AB｜＝｜狙′｜＋｜BB′｜..。.△AMB≡90°］...取AB中点M′‖连接MM′,＾｜″＂′｜二＋｜AB｜＝＋（｜朋′｜＋｜BB｜′｜』又.。四边形AA′B′B为梯形,点M′为AB中点,且AA′上′,BB′上′｛。..点M为A′B′中点,″M′／／／则轴〕方法—:易得点M′的纵坐标为γ0＝1。设A（鳃l,yl）’B（卯2,y2）,＾｛酞｜两式作差得’γ｛ˉy;＝4（厕lˉ购2）』°°°k＝yl-y2≡4Ⅱ＿鳃』＂毗-六÷-2方法＝:设A′（-l’l＋t）〗B′（-1,1-t）!l′＼K2E∑′旧｜酗｝≡＾易知~｀M′｜.…＋′）＝｜A′｜』｜A′｜＝丁为丽』同理｜B′｜＝—丛—l＋COS0,@微信公众号：嗨呀同学答案及解析｛（÷』。）』E（子』h）』尸（ˉ÷,“）』0（ˉ＋』』）』尺（ˉ十｀竿）＾A（（li』｜2』l＋‘）｀β（（l可』｜』』lˉ』）。..k≡（1＋t）ˉ（1ˉ1）≡-2二≡2.（1＋t）2（1-t）22×2t444［刷百所得］解决与抛物线的焦点弦有关的问题’常用的方法是“设而不求＂,另外,结合抛物线的图像’掌握—些抛物线特有的性质以及结论也是′｜央速解题的关键［测‖｜｜诊断］本题难度较大｛考查抛物线焦点弦性质的灵活应用!考查学生灵活运用性质解决问题的能力,意在使部分考生得分.66［解析］方法—;广＝8撼的焦点为F（2］0）。...Ⅳ点在γ轴上｛设Ⅳ（0,y″）.又。。.M为′Ⅳ的中点］′″（竿』竿）』恩Ⅷ（」』粤）又″点在抛物线γ』≡:止,7设过A,B两点的直线为‖,则′的方程为2卯-（α＋6）y＋α6＝（）.（］）由F在线段AB上］得l＋α6＝0。记直线AR的斜率为片｜］F0的斜率为片2,则胸≡器—∏;≡:J≡＋＝护＝b二腮…所以AR／／／F0.（2｜设!与藤轴的交点为D（膨1』0｜』则s△“′＝＋｜b—α｜.｜ⅡD~~上｜6—鹏卜卜厂÷｜』5△′哑-＿厂｜α-b｜2由题设百得｛』ˉα卜卜厂÷｜-｜·贡川｀所以绷l＝0（舍去）或鳃l＝l。设满足条件的AB的中点为E（勿,y）.当直线』B与瓣轴不垂直时,由k啊＝kD腑可得志二六（蕊≠」卜因为宁＝γ’所以y』二蕊＿｜（鳃≠［｝当直线AB与鳃轴垂直时,E与D重合所以AB中点的轨迹方程为y2＝勿ˉ1［关键点拨］证明两直线平行可通过证明直线斜率相等或向量共线〗求轨迹方程关键是建立动点坐标的关系式［刷盲所得］求曲线方程的—般步骤:（1）建系设点,（2）建立关系,（3）代点］（4）化简方程.其中最关键的是找等量关系,有的需根据已知直接代入,有的需利用定义性质,有的需借助相关点〕要注意转化的等价性’不要忽略了隐藏的限制条件［测‖｜｜诊断］（l）本题难度较大‖考查抛物线的几何性质｀直线和抛物线的位置关系｀求曲线方程等,考查推理论证能力、运算求解能力、数形结合思想、转化与化归思想（2）本题若出错,主要是不会弓进坐标,不能合理建立关系式a［解］（1）由题设可得M（2伍,α）,Ⅳ（ˉ2√而,α）或M（ˉ2√I,α）,Ⅳ（2√I,α）.又γ′≡÷』故y-子在”-2伍处的导数值为伍｜故曲线C在点（2伍,α）处的切线方程为yˉα＝｀／而（卿ˉ2伍）,即√面hˉγˉα≡0.’-皆在蕊-ˉ2厄处的霉数值为ˉ伍』故闺线c在点（ˉ2伍』。）处的切线方程为γˉα＝ˉ侗（鳃＋2伍）,即√∏）憋＋γ＋α＝O故所求切线方程为√而瓦—yˉα≡0和√而!憋＋y＋α＝0.（2）存在符合题意的点］证明如下:设P（0,b）为符合题意的点｛M（嘶l,γl）,M匆2］y2）,直线PM’PⅣ的斜率分另｜」为kl’片2.将y＝脑＋α代入C的方程得z2-4肛-4α＝0.故箍l＋勿2＝4k’匆l绷2＝-4α.从而h＋附2＝工』＋1旦二1＝2…2＋（αˉb）｜鳃｜＋獭2）二幽÷』上勿1卯2卯l卯2当6＝—α时,有kl＋片2＝0］则直线PM的倾斜角与直线PⅣ的倾斜角互补］故△OPM＝△OPⅣ!所以点P（0］-α）符合题意.［关键点拨］要判断是否存在P点,使乙OPM＝△OPⅣ’关键是判断是否存在点P］使APM＋AP″＝0.［刷有所得］角的相等,反映在解析几何中｛就是两条直线的夹角相等］由干OP是y轴,即转化为直线PM｛PⅣ的斜率和为0的问题］类似的问法还有证明匆轴是某角的角平分线］也是这样的解题思路.［测〗｜｜诊断］本题难度中等’主要考查导数的几何意义,根与系数的关系在解题中的应用（粤）方法二:方法二｝√（2ˉ0）2＋（0ˉγ″）2＝8×1’得γ付＝32’...｜F?V｜＝β~~／＝8卯的焦点为F（2’0）,准线′;勿＝—2.如图‖设′与茹轴的交点为A,分别过MM作直线／的垂线,垂足分另｜」为D,B.由″为FⅣ的中点〗易知线段BM为梯形A′WD的中位线。.。｜DⅣ｜＝2!｜AF｜＝4,...｜MB｜＝3。又由抛物线的定义得｜MB｜≡｜MF｜,旦ˉ｜MV｜＝｜MF｜’。.°｜／VF｜＝｜／γM｜＋｜MF｜＝2｜MF｜≡2｜MB｜＝6°D1ˉB〕ˉ可A［刷盲所得］若条件中给出某点在某曲线上］则由此条件可得出两种思路（1）该点坐标满足该曲线的方程｜（2）该点满足该曲线的定义这两种思路—般都可以使问题求解,如何选择可根据自己的习惯.［测0｜｜诊断］本题难度较大,主要考查抛物线的定义｀抛物线的方程｀抛物线的几何性质｀两点间的距离公式,考查转化与化归思想｀数形结合思想｀运算求解能力,意在让部分考生得分.｜刷大题｜0［解］（1）设直线′;γ＝÷鲍＋M（鲍1’γ!）,B（卿2’γ2）凸3由题设得′（÷0）』故M′｜＋｜″｜＝狐｜…丁』｛宜＾由题设可得躯｜…÷由12（t-l）可得9z2＋12（t—l）虹＋4t2＝0］贝」zl＋卵2＝-97从而—l2（′ˉ』｜＝÷』得′-ˉ丁9所以′的方程为γ＝÷翼—二～8（2）由萨＝3雨可得γ1＝—3γ野3｛圃』…—…新…＝』由从而-3y2＋y2≡2,故y2＝＿1,γl≡3。代＾c的方橇得鳃厂3』缀』-÷故MB｜≡孪［关键点拨］（l）设出直线′的方程,联立抛物线方程!利用根与系数的关系与抛物线的定义求解;（2）根据向量相等的条件得至｜」点A,B纵坐标间的关系,联立直线′与抛物线的方程消去鳃,利用根与系数的关系求出点A,B的坐标〗从而求得｜AB｜。［刷有所得］有关直线与抛物线的弦长问题’要注意直线是否过抛物线的焦点若过抛物线的焦点,可直接使用公式｜AB｜＝zl＋卯2＋p;若不过焦点,贝｜」使用—般弦长公式2［解］由题意得′（＋』0）』设!!;’＝α》!2;γ＝b』则α』≠0』目了巳｀Ⅱ夏题分类集训微信公众号：嗨呀同学高考必刷题夏题分类集训数学（理）所以》带☆为定值4［解］（l）由题意得÷＝｜’即′＝2所以抛物线的准线方程为则＝—l。（2）设A（绷A,yA）,B（卿B’γB）,C（如c,yc）,重心G（财c〕γG）.令γA≡2‖’t≠0］则匆A＝t2.由于直线佃过′’故直线姐方程为惑≡导Ⅱ带｜｀代入γ』-4蜒』得y2ˉ2（t2′ˉ1）y-4＝0!故2tyB＝-4!鼠‖〃＝二｀所以B（÷.—÷）7又由于鳃‘＝＋（…圃＋鞭‘｜｀γ‘＝÷（y…＋′′）及重心c在“细上;故2‘ˉ÷十γc＝0』得C（（＋—!「,2（＋ˉ｛））｀G（2′嚣』2令2｀0）所以直线AC方程为y—2』＝2r（绷—t2）』得Q（!2-1］0）.由于0在焦点F的右侧!故Z2＞2.从而2』4-2t2＋2＿1·｜2t｜s｜＋｜Fc｜.｜γ刹｜3t22′4-t2＿＝日≡＝—吕＝2ˉ昌令雁＝‘2ˉ2』则砸＞0』［易错警示］（1）与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线只有—个交点｛（2）—元二次方程根与系数的关系的应用计算量庞大’需要认真｀谨慎,否贝‖会出现计算失误’导致错误21鳃ˉ丁1.［解］（l）设直线AP的斜率为k,P（z,绷2）〕则k≡＝嘶ˉ丁1九＋—2因为—＋＜卿＜÷』所以直线』P的斜率的取值范圈是｜—l｀l卜｜氢｛堂‖（2）联立直线AP与BQ的方程＝k2＋4k＋3解得点Q的横坐标是匆0＝2（片2＋1）因为｜〃｜-√Iˉ下萨（獭＋＋）＝√Iˉ下萨（附＋l｜｀｜PQ｜＝√Iˉ丽丁（财0—卿）＝ˉ（片ˉ1）（k＋1）2√Pˉ干丁』所以｜川｜。｜PQ｜＝-（k—l）（内＋1）3.令／（∧）＝-（k—1）（内＋1）3.因为／′（k）＝—（4片-2）（片＋l）2’所以′（附｜在区间（ˉl』÷）上单调递增』在（÷』l）上单调递减』因此当腑＝＋时』｜PA｜.｜P0｜取得最大值器［关键点拨］求解第（2）问的关键是将〃,P0的长度用直线AP的斜率片表示出来,借助导数求出最大值。［测‖｜｜诊断］（1）本题难度适中‖主要考查直线方程｀直线与抛物线的位置关系｀导数的运算及应用等知识,考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力,意在让多数考生得分.（2）本题若出错］主要是不能正确表示出R4,PQ的长度］或是利用导数求最值时出错考点25圆锥曲线的综台问题刷小题｜B［解析］方法～‖在椭圆中’令α｝＝12』b｛＝3’则c｝＝9.在双曲线中』令c为双曲线的半焦距』则c2＝c｝＝9』｜i九‖／｛:i二……子÷｜方法二:设双曲线的半焦距为c,则c2＝12-3≡9.令双曲线方程为（粤蹲）:ˉ广二入（入＞0）』古÷…掣÷州ˉ…＾勺勺＾双曲线c的方程为子ˉ÷二l［刷盲所得］求双曲线方程时,若巴知渐近线方程为y＝上匆,可令双α曲线方程为（÷）2ˉ（＋）2＝∧（川≠0｜』或已知渐近线方程为y＝脑』也可令（肋）2-γ2＝入（入≠0）.［测‖｜｜诊断］本题难度中等’主要考查椭圆与双曲线的定义及标准方程,考查数据处理能力,意在让部分考生得分。6旦＝2ˉ加2＋4m＋3≡2ˉ＝1哼当m11S2m＋ˉ工＋4≥2ˉ2√砸÷带↓m腮三侮时,瓷取得最小值1粤,此时G｜2』叭［刷盲所得］若G为△ABC的重心,A（绷l］yl）,B（匆2,y2）,C（匆3］y3）,则‘（鞭」窖十陶』′!孪购）』且煎磕励≡＂（1）［解］因为抛物线／＝2p虹经过点P（1,2）,所以4＝2p’解得p＝2』所以抛物线的方程为广＝4躯.由题意可知直线′的斜率存在且不为0,设直线′的方程为y≡缸＋1（片≠0）.由｛｝戴］得″＋｜2…1～0｀依题意△＝（2Aˉ4）2-4×片2×1＞0］解得八＜0或0＜k＜L又PA!PB与y轴相交’故直线′不过点（l,ˉ2）.从而k≠-3.所以直线′斜率的取值范围是（≡的,—3）□（-3］0）（ˉ）（0,］）.（2）［证明］设A（匆l〕yl）,B（匆2,γ2）.2k＝41由（l）知卯l＋厕2＝ˉ～∏厂’鳃l厕2＝F.直线剐的方程为γ＿2-舞｜露—］‖5∏-yl＋2-肋l＋1令厕＝（）,得点M的纵坐标为y″＝ˉ万了≡丁＋2＝-万厂＝厂＋2-脑2＋I同理得点／V的纵坐标为y″＝-万Iˉ＝厂＋2.由丽＝入而’丽＝′‘而得入＝lˉγ″’陛＝lˉγ″所以十＋＿—＋—ˉ—＝1ll勿l-1卯2-11以1ˉγ″lˉy″（kˉI∏「＋（kˉ1）厕2片ˉ1↓】八片∑＋∑＿赔2尤l卯2-（尤l＋卯2）●］—肘~~｜∑~~1-片乙卯1卯2@微信公众号：嗨呀同学答案及解祈2∧［解析］以线段A｜A2为直径的圆,是以原点为圆心,以α为半径的圆由相切可得,圆心（0‖0）到直线6鳃—αγ＋2αb＝0的距离d＝｜2αb｜√歹丁〗丁＝α,可得362＝α2.由62＝α2ˉc2得3（α2ˉc2）≡α2｀从而c佰e≡—≡—α3,［测‖｜｜诊断］本题难度较大,主要考查直线与圆的位置关系及解析几何中椭圆的定义及性质的综合应用,考查运算求解能力,意在让少部分考生得分。3。D［解析］本题考查双曲线的简单几何性质抛物线的准线′的方程为如≡ˉ1〕贝｜」OF｜＝］.双曲线的渐近线方程为γ≡±上勉,故当α7／［关键点拨］正确理解正六边形的几何特征.［测‖｜｜诊断］本题难度中’主要考查椭圆｀双曲线的定义｀几何性质刷大题｜队（l｜［证明］设D（』』ˉ十）』A｜鳃!』γ』｜》则狮｝＝2γ［lγl＋ˉ丁由干y′＝勿,所以切线DA的斜率为匆l〗故～卯l-』＝卯l·整理得2t匆l—2y1＋］＝0。设B（z2,y2）］同理可得2咖2-2γ2＋l＝0.故直线AB的方程为2tx＿2y＋1＝0。所以直线奶过定点（0』＋）1（2）［解］由（l）得直线AB的方程为y≡t鳃＋丁.1［工了…≡』」由于是觅l＋z2≡2t,如l虹2＝ˉl!yl＋γ2＝t（卿1＋卯2）＋1≡2』2＋1.｜AB｜＝√iˉ∏丁｜财!＿”2｜＝√Iˉ∏丁×√（鲸l＋卯2）2＿细l腮2＝2（′＋l）设dl,d2分别为点D』E至‖直线AB的距离,则dl＝√『丁下丁’2d2≡√Pˉ干T因此’四边形ADBE的面积S＝÷｜AB｜（d｜＋d2）＝（《2＋3）√P玩兰设删为线段AB的中点』则删（′』‘2余÷）由于丽上萌｜而丽＝（′’′2＿2）,荫与向量（1’‘）平行’所以t＋（『2-2）t＝0.解得′≡0或t＝±l。当t＝0时,S＝3当k＝±l时’S＝q√可.因此,四边形ADBE的面积为3或4／Z［关键点拨］（l）直线过定点问题可先求出含参方程,再整理说明其过定点｜（2）本小问的关键是数形结合］将题中几何关系用代数式表示2［解］（l）由题意得F（1!0）‖′的方程为γ＝片（腮-l）（R＞0）。设A（抛l,yl）’B（卯2,γ2）,由｛｝厂」』尊＿］｜』得膝艘』ˉ｜2腮』辨…』ˉα2k2＋4△≡］6k2＋］6＞0,故熊l＋卿2＝k2.所以｜dB｜＝M′｜＋｜″｜ˉ（鳃』刊｜＋｜…｜）≡挫宁由题设卸挫铲-8解得愉二—1｜舍去｜』k二］因此′的方程为y＝卿—1。（2）由（l）得AB的中点坐标为（3!2）,所以AB的垂直平分线方程为γ-2≡ˉ（匆-3）0即y＝一鳃＋5。设所求圆的圆心坐标为（幻0,y0）!贝｜｜｛｛（x〔卿ˉ旷』｜Ⅱ辩脆解德｛》!二碰｛｝!二ud真题分类集‖‖~~臼」∏川α∩二~~』以所斗~~助—α‖目助—α~~日』蹦≡ˉ1时）y≡±上,所以αc√Fˉ下Fˉ＝√百.故选D.—三≡αα［关键点拨］只需把AB｜≡4｜（）F｜用α,b表示出来,即可根据双曲线离心率的定义求得离心率22［刷百所得］双曲线÷十＝｜｜＂＞0｀b＞0｜的离心率‘＝二＝α√｜÷（÷）｝‘平（解祈］?M″｜-M删』垒删N-6叭｀△删＂为筹边三麓形』＾』｜·,0倒直线′;,-÷鳃的距离为粤』』即湍了亏二粤b→α2＝3b马又b2＝c2ˉα2’＾4α2＝3c2’＾e＝二＝巫α3.［测‖｜｜诊断］本题难度适中,主要考查双曲线的有关性质｀圆及三角形的性质、点至｜」直线的距离等知识l考查数形结合思想｀运算求解能力!意在让部分考生得分。5（缠ˉ÷）2余,2二等［解析］由题意』圆经过椭圆的（4』0）』｜0』2）』（0!—2）这三个顶点,故设圆心为（α!0）（0＜α＜4）。∩从而有√（αˉ0）2＋（0ˉ2）2＝4ˉα』解得α二÷凸圆的标准方程为（瘫＿÷）2十广＝等［关键点拔］设定圆心坐标为（α,0）!同时注意α的取值范围,以便进行取舍［刷盲所得］遵循＂先定型,再定量＂的原则即先确定含参的曲线方程!再根据已知条件求出参数［测‖｜｜诊断］本题难度较易,主要考查圆的标准方程的确定｀椭圆的简单几何性质,考查考生的运算求解能力6.何ˉ12［解析］如图,六边形ABF｜CDF2为正六边形,直线OA’OB是双曲线的渐近线］则△AOF2是正三角形...直线OA的倾斜角为÷』√其斜率』二册＿灯』＾…的离心…』-√∏票-√Iˉ百＝2.连接FlA..。.正六边形的边长为c’.ˉ.｜FlA｜＝何c.由椭圆定义得｜FlA｜＋｜F2A｜≡2α,即c＋何c＝2α,.。.椭圆的离心率e2＝丁＝∩云J丁＝何—1微信公众号：嗨呀同学高考必刷题寞题分类集训数学（理）因此所求圆的方程为（卯—3）2＋（y-2）2≡l6或（卯—ll）2＋（y＋6）2＝l44。a｜｜）!证明｜…,γ』）,…｜』…带2由｛》厂』2』可得~7~7（yly2）2广ˉ2呵ˉ4＝0』则Ⅱ〃』＝…｜二÷』鞭』＝粤』故瓣l鞠＝↓＝4。因此OA的斜率与OB的斜率之积为卫.丝＝二」＝—1,所以OA上冗l卯24OB.故坐标原点O在圆M上（2）［解］由（l）可得yl＋y2＝2加,膊l＋匆2＝m（γ｜＋γ2）＋4＝2m2＋4故圆心M的坐标为（m2＋2,加）’圆M的半径厂≡√（m2＋2）2＋m2.由于圆M过点P（4’ˉ2）’因1匪.丽＝0,故（”1ˉ4）（卯2ˉ4）＋（γl＋2）（y2＋2）＝0,即卿l卯2＝4（筋l＋z2）＋ylγ2＋2（γl＋y2）＋20≡0,由（1）可得γly2＝—4,如l如2＝41所以2m2-′n-1＝0,解得m＝1或′′l＝ˉˉ丁.鱼当m≡1时直线′的方程为撕ˉγ—2＝0‖圆心M的坐标为（3］l）,圆M的半径为√I∏,圆″的方程为（勿ˉ3）2＋（y-1）2≡10ˉ当咖＝ˉ＋时’直线′的方程为2慰＋’ˉ4＝0』圆心M的坐标为（÷』ˉ÷）圆腮的半径为孪』圆删的方程为（鞭ˉ÷）』＋（y＋÷）2＝器［关键点拨］第（］）问关键在于找至｜」koA·k0B＝—1｝第（2）问关键禾｜」用萨.肺＝0找出圆心坐标及半径.［测‖｜｜诊断］（l）本题难度较大’主要考查直线与抛物线的位置关系,直线与圆以及圆的标准方程’考查考生的运算求解能力｀分析问题与解决问题的能力』意在让部分考生得分。（2）若出错）—是联立方程出错;二是运算出错.4（l）［证明］因为｜AD｜＝｜AC｜,EB／／／AC,故▲EBD＝△ACD＝乙ADC°所以｜EB｜≡｜ED｜,故｜酗｜＋｜EB｜≡｜EA｜＋｜ED｜＝｜AD｜.又圆A的标准方程为（“＋l）2＋／≡l6,从而｜AD｜＝4,所以｜EA｜＋｜EB｜＝4.由题设得A（—1,0）,B（1〕0）,｜AB｜＝2,由椭圆定义可得点E的轨迹勺~7方程为r÷＝l｜｝≠0卜（2）［解］当′与卿轴不垂直时’设′的方程为γ≡A（卿—l）（片≠0）,″（冗l’yl）’Ⅳ（冗20y2）.｛二｜芋』鲁｜……—』圣Ⅷ由8k24片2ˉl2则则!＋“2＝JPˉ干I’腕｜″2＝可Fˉ百.所以｜M｀′｜-√iˉ了丽｜露!ˉ翅｜≡」‖闻l设过点B｜｜』0｜目与!垂直的直线为咖;γ二ˉ十｜鳃ˉl｜』』到咖的匣综上,四边形／｜!pⅣ0面积的取值范围为［l2』8何）.［测‖｜｜诊断］本题难度大,综合性较强,需用平面几何知识打开“僵局＂,又重点考查了利用定义求轨迹｀弦长｀圆锥曲线中的取值范围等知识.由于本题运算量较大｀较繁杂］故大部分学生只能得第（1）问的分值5.［解］（1）由抛物线C“2＝—2py经过点（2〗—1）,得p＝2.所以抛物线C的方程为鳃2＝—4γ,其准线方程为y≡］.（2）抛物线C的焦点为F（0］-1）。设直线′的方程为y＝肛—］｜″0｜庙｛窿｝』得氯…←0设删（蜒』,帅｜,』W鞠’胸｜,则匆l如2＝—4.直线OM的方程为y≡△嘶.令γ＝—1］得点A的横坐冗l标卯A＝—旦。同理得点B的横坐标匆B＝＝—卯2ylγ2设点D（0』删｜』则顽≡（÷』ˉ］ˉ＂）』而-（—贵』ˉ］ˉ＂）』＂№（手）「—子）.帅.川』ˉ是｛顽.丽＝堕1丝＋（n＋1）2＝（几＋l）2≡-4＋（′l＋1）2。令顽.丽＝0’即ˉ4＋（″＋l）2＝0』得″＝l或厕＝ˉ3.综上’以AB为直径的圆经过y轴上的定点（0,l）和（0!—3）.［刷盲所得］定点｀定值问题的解法:通常是通过设参数或取特殊值来确定定点与定值〕或者将该问题涉及的几何式转化为代数式〗证明该式是恒定的.定点｀定值问题同证明问题类似!在求定点、定值之前已知该值的结果’因此求解时应设参数』运用推理’到最后必定参数统消,定点、定值显现o｜l）（证明］设P（躯o』γ0M（十y｝』γ｜）』B（十γ;』随）因为PA,尸B的中点在抛物线上］所以…方震（竿）』→＋宁翔,即γ2ˉ2γ0γ＋8”0ˉγ;＝0的两个不同的实很所以yl＋y2≡2y0’因此‖P″垂直于y轴α川解｜邮｜咖｛｝｜莹二也｛;』所以｜P″｜二÷（y｝＋γ;｜ˉ缆＂＝÷γ;—3露o』｜γ!ˉγ2｜＝2√2（γ;ˉ4“0）因此,△刷B的简积s…～＋｜′删卜｜＂ˉ婉｜≡乎（γ;—鳃0｜贵2因为腮;＋千＝1｜ˉ｜≤蕊＂＜0）』所以咐ˉ4狐0＝獭;ˉ4卿0抖巨［4β］』因此』△川缅积的取值范阔是［6徊｀｜5耍｜7.［解］（1）因为椭圆C的焦点为F｜（ˉ√了,0）,F2（√可,0）,可设椭圆c的方程为备＋卡＝｜｜α≥』＞0卜~／2＼／4′勺｀2（√亩!）2~~『一斗√誓芹司离为7声了』所以｜P0｜≡又点（何』十）在椭圆c上』｛…~÷沛ˉ｜,解橇｛『;引｀所以敞四边…″0的厕积岛—十｜删″‖′0｜＝｜2｀／｜丰煎六可得当′与卵轴不垂直时｛四边形MPW面积的取值范围为（l2,8√5ˉ）。当′与卯轴垂直时］其方程为则＝1］｜″Ⅳ｜≡3］｜PQ｜＝8］四边形MPⅣ0的面积为l2.2因此』椭圆C的方程为÷＋′2＝｜@微信公众号：嗨呀同学答案及解析［刷盲所得］直线与圆的位置关系的问题般利用几何法来求解’即比较圆心到直线的距离与半径厂的大小〕而直线与椭圆的位置关系则利用代数法,即将直线方程代入椭圆,利用半｜」另｜」式、根与系数的关系等求解［测‖｜｜诊断］本题难度适中,考查椭圆｀圆的标准方程｀几何性质以及直线与圆｀椭圆的位置关系等知识’考查分析问题的能力和运算求解能力。a［解］0｜设′的坐标为｜ˉ‘｀0｜依题意’÷＝＋’苦≡α』:ˉc＝＋』解得α＝l』c＝÷』′＝2』干是b2≡α2ˉc』＝÷所以椭圆的方程为赃2＋竿＝l’抛物线的方程为广＝4虹〕（2）设直线AP的方程为z＝加γ＋1（m≠0）!与直线′的方程z≡＝1联立』可闹点P（ˉl』ˉ÷）』故0（ˉl』÷）将蹦＝叼＋l与鞭』＋等-」联立捎去聪』整理得｜』腮…｜广带6叼≡0』解得y-0或γ～-6加｜‖ˉ臣＝-‖ˉ.—′＝》≡、／-3加2＋4-6m＼上因为圆O的直径为FlF2’所以具方程为鳃2＋广≡3.（2）O设直线′与圆o相切于点P（z0,y0）（勿o＞0,y0＞0）’贝｜｜z;＋y;≡3｜卯03所以直线′的方程为y＝-丝（嘶-熊0）＋y0!即y≡ˉ—z＋。y0y0γO子十广二｜’｜＿湍′＝…由得（4卿;＋y;）鳃2ˉ24绷0绷＋36ˉ4y;＝0.（＊）因为直线′与椭圆C有且只有—个公共点,所以△＝（—24″0）2ˉ4（4厕;＋y;）（36ˉ4γ;）＝48γ;（绷;ˉ2）＝0.因为财0,y0＞0,所以如0＝√Zγ0≡1.因此’点P的坐标为（徊,l）.感因为三角形叫B的面积为孪｀所以＋｜AB｜.｜0P｜＝巫7’从而AB＝虫724”0±｀／啡8γ;（厕;ˉ2）设A（匆l!yl）』B（沁2,y2）,由（＊）得卯｜』2＝2（4鳃;＋y;）所以｜姻｜』-｜…｜』带｛Ⅱ｛—监｜:ˉ（｜带:）憾辙因为厕;＋尤＝3’所以｜AB｜2＝16（缅;ˉ2）32（卵;＋l）2＝49’即2躯;ˉ45膊;十l00＝0』解得鳃;＝i（鳃;＝20舍去）’则’;＝十』因此尸的坐标为（华』夸）综上,直线′的方程为y＝ˉ石!财＋扼。3厉器庄点B异于点州』可得点B（;删绷』3贡器）由0（ˉ｜｜÷）’可得富线膀Q的方程为（3贡铝—÷）（＂＋｜｜＿（絮÷i4带!）（′ˉ÷）-0｀令γ-0』解得‘—;器』敬n（;厉碧｀0）所以｜仙｜-］＿;器-3黑2又…d′D的面积为呼’故＋赋3黑2×扁二乎』…3满—邓｜鹏｜÷2-0｜解得｜狮｜≡平』所以腮＝罕所以直线AP的方程为3则＋√6〕′ˉ3≡0］或3zˉ√6yˉ3＝0.［刷盲所得］解决直线与圆锥曲线的位置关系问题,—般方法是直线方程与圆锥曲线方程联立方程组!解出点的坐标或禾｜」用根与系数的关系＼弦长公式等‘设而不求＂思想求解［测‖｜｜诊断］（1）本题难度大,主要考查椭圆｀抛物线的标准方程和几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等,意在让少数考生得分。（2）本题若出错’反映考生运算求解能力较差,需要多训练,切实提高运算能力.尽‖‖恤′ˉ≥卯计数原理专题十考点26两个计数原理｀排列与组台刷小题］D［解析］把4项工作分成＂三堆＂‖其中＂—堆＂包含2项工作,另俩堆…顾工作』…霄嚼芳c｝～c;膊然后把这!!三堆＂分配给3名志愿者,则分法有A;种。根据分步乘法计数原理可得不同的安排方式共有C岛。A』＝36种.故选D.［刷盲所得］当把3n个元素平均分成＂三堆＂时,其分法有〔』.÷叫神当把＂个元累分咸元素输个数分另｜为…（测÷2p＝″）的＂三堆＂时’其分法有C呀.C冈ˉ卿.Pi种.Ai［测‖｜｜诊断］（l）本题难度适中,主要考查分组分配问题的求解‖分步乘法计数原理］考查分析问题与解决问题的能力］意在让部分考生得分.（2）本题若错!可能是分组方法不当所致2.B［解析］如图’除已知标记的E］F］G三点外!另记A,B］Al!B1］El’AA2｛B2’Gl,A3』B3!Fl’如图所示若B总体路线最短｛贝｜」需E至｜」F最短］并EG｜A］~●尸｜｜E｜｜B2｜｜且F至｜」G也最短.E到F最短］可由E→B→F或E→Elˉ→F。显然｛由Eˉ→B→F最短有3条（E→B→A→Al→F或E→B→Bl→Al→F或E→B→Bl→A2→F）。由E→El→F最短有3条（E→El→Bl→A］—学F或E→El→Bl→A2→F或E→El→B2→A2→F）,由分类加法计数原理可知,E→F共有6条最短路径而F→C有F→G｜→A3→G,F→B3→A3→GFˉ→B3→Fl→G共3条最短路径〕由分步乘法计数原理可知‖共有6×3＝18条最短路径故选Bˉ［关键点拨］本题考查了分类加法计数原理和分步乘法计数原理在实际生活中的应用］要明确怎样才算是路径最短［测0｜｜诊断］本题难度适中,需要耐心分析’准确理解』争取不失分.3D［解析］由l』2］3］4!5组成没有重复数字的五位数,个位数为奇数的有C↓种,其余4个数字全排列,所以奇数的个数为C』.A』≡夏题分类集训06｜4］FB］小B］微信公众号：嗨呀同学高考必刷题夏题分类集训数学（理）［关键点拨］解答本题的关键是正确写出展开式的通项,找出含虹4的是哪＿项.［测‖｜｜诊断］（1）本题难度中等偏小,考查二项式的展开式!意在使大多数考生得分。（2）本题不应错!若错‖则反映对二项式定理掌握不牢’应加强对公式的理解记忆及灵活应用3.Cˉ［解析］卯2的系数由两部分组成!即（1＋则）6中勿2的系数和卯4的系数’。..C:＋C:＝30,故选C,［测‖｜｜诊断］（1）本题难度适中,主要考查二项式定理＼二项展开式中待定项的系数等知识!考查转化与化归能力｀运算求解能力,意在让部分考生得分。（2）本题若出错｛主要是计算错误4C［解析］令M≡卯＋γ｛／V＝（2绷—y）5.若M中取z,贝｜」Ⅳ中取含腮2y3的项,即C;（2x）2（ˉγ）3＝ˉ40x2y3,.。。购°（-40鳃2γ3）≡-40卵3y3.若M中取y’贝｜」Ⅳ中取含财3γ2的项,即C;（2则）3（ˉy）2＝80厕』γ2’。.·γ°（80甄3y2）＝80嘶3y3·合并同类项得ˉ40x3y3＋80箍3y3＝40匆3y3,系数为40.［测‖｜｜诊断］本题难度中等,主要考查二项展开式,考查分类讨论思想’意在让部分考生得分。5.C［解析］方法—:（嘶2＋绷＋y）5可以变形为［（勿2＋舞）＋y］5,展开式中含有y2的项为C:（颠2＋z）3广.根据题意,应在（卯2＋x）3中得至｜」含卯5的项.展开式通项为T′十l＝Ci（嘶2）3ˉ′z『＝C5鳃6ˉ′。令6—′＝5,得′＝1,故（x2＋舞＋y）5的展开式中瓣5／的系数为C;C』＝30.方法二要得到如5广,需在5个（鳃2＋卯＋γ）中取2个知2,l个匆,2个y’从而鳃5γ2的系数为C;.C』。C;≡30.［关键点拨］化三项为两项〕或用排歹」组合的知识解决.［刷盲所得］对于括号里是三项的展开式,经常把三项视作两项!然后用通项公式求得某指定项系数或根据系数确定参数｜也可以用排歹‖组合的知识解答,即确定生成指定项所需字母个数,再进行选取［测‖｜｜诊断］本题难度中等,主要考查二项展开式求指定项系数610［解析］（2如＋√r）5的展开式的通项为Z＋l≡C§（2则）5ˉ′·如T′＝Cg2,＿萨瓤,—盒令5ˉ÷厂＝3;得′＝4＾瓣』的系数为C!×2＝l0［测‖｜｜诊断］本题难度易,主要考查由二项展开式求特定项系数注意区另｜」二项式系数与项的系数7。3［解析］（l＋绷）4的展开式通项为C』如′』其中厂可取0’l］2,3,4。所有奇数次幂项为αC』卵』αC』绷3』C!绷』Ci则3’C』卯5』。.,系数和为8α＋8＝32〗。..α＝3.［关键点评］本题需明确什么是奇数次幂项（如苑,如3,嘶5等）!易和奇次项混淆.［测0｜｜诊断］本题难度适中,但需理解题意,计算量不大,争取不失分。a28［解析］本题考董二项式定理z厂c‘（2鹏）,ˉ′（＿志）′＝（ˉ1）厂28ˉ4′C§勿8ˉ4旷〕令8＿4厂＝0,得r＝2‖故所求的常数项为（ˉ1）2C;＝28.［关键点拨］根据二项展开式的通项公式得出通项,根据方程思想得出r的值‖再求出其常数项［易错鳖示］二项式中含有负号时’要把负号与其后面的字母看作—个整体,计算时要特另｜」注意符号9.16√百5［解析］本题考查二项展开式的通项的应用二项式（√豆＋蹦）9的通项为Z＋｜＝C6（√可）9ˉ′虹厂』令r≡0,得常数项为C!（√百）9≡l6√可.当′＝1,3,5』7］9时』系数为有理数』共5项［刷盲所得］（α＋6）″的展开式的通项为T′＋l＝C用α＂ˉ「6′,r≡0,1,2］…,n.注意区分二项式系数与项的系数‖o÷（解析｜（蕊—末）,的展开式的通项为叭｜-c瓣ˉ（—太）′-3×4×3×2×1＝72.故选D［刷盲所得］解决此类问题］应理解有限制条件的排列组合问题的求解’先处理个位数字［测‖｜｜诊断］本题难度易］考查了有限制条件的排歹‖问题’属干送分题4.16［解析］方法-（直接法）;O选1女2男有c』c;＝12（种）选法,@选2女l男有Ci.C』＝4（种）选法.根据分类加法原理〗共12＋4＝16种不同选法.方法二（间接法）;6人中选3人有C:种选法’3人全是男生有C》种选法』...符合题意的不同选法有C;ˉC』＝20ˉ4二l6（种）.［关键锚］分类讨论选l个女生和选2个女生的情况,或是禾｜」用间接法。［刷盲所得］排歹｜」组合通常用分组讨论的方法’若正面讨论分组较多时,可以从反面研究5.1260［解析］方法—第—类』含有0时有C』C;C』A;＝540（个）;第二类』不含0时』有C;C;A』＝720（个）.由分类加法计数原理得共有四位数540＋720＝1260（个）.方法二（间接法）;不考虑数字0时』共可以组成C;CiA』二l440（个）｛当0在首位时’有C;C｛A;＝l80（个）.故满足题意的数共有1“0—180＝l260（个）。［刷盲所得］解决排歹‖组合的应用问题常用的方法:@直接法,注意＂特殊元素｜＂特殊位置＂优先的原则｛@间接法,注意‘正难则反＂的原贝｜」］尤其是出现＂至少＂“至多｜等问题时常用此方法.［测‖｜｜诊断］（1）本题难度小!考查排列｀组合的应用］意在让大多数考生得分.（2）在解决数字排序问题时,＂0＂不能排在首位‖故需对数字中是否含有＂0＂进行讨论.6.l080［解析］—个数字是偶数｀三个数字是奇数的四位数有C』C;A』＝960个四个数字都是奇数的四位数有A;＝l20个’贝‖至多有—个数字是偶数的四位数—共有960＋l20＝1080个.［刷百所得］含有』至多＂＂至少＂的计数应用题—般先分类〕再分步。［测‖｜｜诊断］（l）本题难度较大,主要考查计数应用题｜考查考生对分类加法计数原理｀分步乘法计数原理的理解和应用’意在让部分考生得分（2）本题若错可能是计数原理应用错误或运算错误造成的7。660［解析］若不考虑至少有1名女生的要求］则不同的选法种数为C‖C↓C:＝840.若选出的服务队中没有女生』则选法种数为C:C』C;＝l80.所以满足题意的选法种数为840ˉ180二660.［屈‖盲所得］处理复杂排列组合问题主要有两类方法‖—是从正面考虑,往往需要合理分类｝二是从反面考虑］用排除法。同时需要掌握常见的排列组合类型［测‖‖诊断］（1）本题难度适中,主要考查计数原理｀排歹‖组合问题,考查正难则反思想｀运算求解能力》意在让多数考生得分.（2）本题若出错,主要是从正面考虑时分类不当出错,或计算失误考点27二顶式定理及具应用刷小题｜‖.∧［解析］本题考查二项展开式的通项.,.（1＋欺2）（l＋匆）4＝（l＋鳃）4＋2匆2（1＋匆）4,相加的两个二项展开式的通项公式分另｜」为z＋l二q°匆′与Z′＋l≡红2.C2′°鳃′′0...鳃3的系数为C』＋2C‖≡4＋8≡12.故选A.［关键点拨］对于″个多项式积的展开式中的特定项问题’主要根据因式乘法法贝｜」‖结合组合思想求解［易错鳖示］注意在运用组合思想进行分类求解时勿重复或遗漏2c［解析］（瓣斟＋÷）’的展开式的通项为z襟｜＝c:（蹦』）’ˉ′（÷）′＝C!2′zl0ˉ2′＿′＝C§2′嘶l0ˉ3′〕令10ˉ3r＝4,得厂＝2］所以展开式中匆4的系数为C:22＝4O故选C.微信公众号：嗨呀同学答案及解析＿＋）℃;瓣5÷』令5＿÷′二2』解得′＝2』所以鳃2的系数为≈C:（3厕）2＝54〃2』即厕（＂宗1）＝6』解得″＝4.全［测0｜｜诊断］（1）本题难度／」｀0主要考查二项式定理的理解］考查运算求解能力｀分析解决问题的能力,意在让大多数考生得分（2）本题若出错］贝｜」是对二项式定理的通项公式记忆不准确‖3.164［解析］（卯＋1）3展开式的通项为Z＋l≡C;绷3ˉ『（′＝0,1’2,3）｀（“＋2）2＝“2＋4厕＋4’所以-次项系数α4＝C;×4＋C;×4＝16’常数项α5＝C;×4＝4.（关键点拨］—次项系数分两部分’—是第—个因式中的—次项系数与第二个因式中的常数项的乘积j二是第—个因式中的常数项与第二个因式中—次项系数的乘积.［测‖｜｜诊断］（1）本题难度适中’主要考查二项式定理和特殊项的系数,考查分类讨论思想、运算求解能力、转化与化归能力,意在让多数考生得分.（2）若出错!主要是对二项展开式的结构分析不足0460［解析］二项展开式的通项公式为T′＋l＝C｛（—2匆）′＝C8·（ˉ2）′〃雁』令r＝2,则“2的系数为C:×（ˉ2）2二60.［测训诊断］本题难度易’主要考查由二项展开式的通项公式求特定项系数,不易失分.（（出）2c;＝:［刷盲所得］求展开式中的特定项的系数问题的关键-是利用二项式的通项公式;二是利用方程的思想求出特定项的系数’要注意符号因子不能丢＂7［解析］由题知（派十去）:二（撼＋＋去）:』由二项式定理得通项为z剁＝c《｜瓣÷｜』ˉ′.（去）′＝（÷）′c《.撼宁咖ˉ′＝（十）c《.Ⅺ竿令且;1I＝0』解得′＝2帅｀常数项为喝＝（＋）2×C;＝十×8×7司-丁≡′.［关键点拨］（α＋b）＂的展开式的通项公式为Z十l＝（〕脆α烈—厂b′（厕巨N＊’0≤厂≤见,′巨N）。［测‖｜｜诊断］（1）本题难度小!考查二项式定理通项公式的应用］意在让大多数考生得分。（2）若错］可能是因为通项公式记得不牢或计算出错.‖24［解析］（1＋3则）″的展开式的通项为T′＋l＝C丙（3匆）′。由题意知专题十-概率与统计2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势］所以年排放量与年份负相关‖所以错误选项为D［测‖｜｜诊断］本题难度较易｜题干展示的是—个柱形图,考查学生的读图｀识图能力,不应失分l0l06·C［解析］。..∑匆§＝225!∑y‘≡1600,.。.冗＝22。5,y＝160.i≡l!≡l又。..′＝6z＋d中6＝4,回归直线—定过样本点的中心（22.5,16（））’八160＝4×22.5＋d.;.a＝70『..。｝＝4如＋70.当嘶＝24时’j＝4×24＋70＝166.故选C·［刷盲所得］回归直线—定过样本点的中心（冗］y）。［测‖｜｜诊断］本题难度中’主要考查线性回归方程的理解及应用!考查数据处理能力｀运算求解能力、分析解决问题的能力,意在让部分考生得分.7.0.98［解析］本题考查用样本估计总体的方法。依题意估计经停该站高铁歹｜」车所有车次的平均正点率的估计值为10×0·97＋20×0·98＋10×O99＝0·98.40a÷［解析］本题考董数据的平均数｀方差该组数据的平均数是6＋7＋8＋8＋9＋10＝8］6考点28统计与统计案例｜刷小题｜l∧［解析］本题考查统计中样本数字特征的理解由于去掉—个最高分与最低分后』评委所评的9个分数从／」＼至｜」大排序后,中间个数字不会改变,故中位数不变.由于最高分和最低分是极端分数‖因此会影响平均数、方差和极差［关键点拨］本题求解时,首先应明确所给的四个数字特征,其中中位数是将—组数据按从／」｀至｜」大排列后处在中间位置的个数（共有奇数个数时）’去掉最高分与最低分后不会改变中间位置的数,故中位数不变2∧［解析］设新农村建设前的经济收入为肌（加＞0）元,则新农村建设后的经济收入为2m元.A选项!0.37×2mˉ0。6m＝0.14m＞0』种植收入增多『B选项00。05×2加-0·04加＝L5＞1!其他收入增加了—倍以上］0.叫mC选项｛0.30×2mˉ0.30m＝l,养殖收入增加了—倍;0·30加D选项,新农村建设后!养殖收入与第三产业收入的总和在经济收入当中占的比例为30％＋28％＝58％＞50％故选A·［测0｜｜诊断］（1）本题难度小,考查统计图表中的扇形统计图!意在让大多数考生得分·（2）本题不应错〕若错!可能是看错题目要求,把选不正确的当作了选正确的3.∧［解析］根据对折线图的理解,对干选项A!月接待游客量不是逐月增加!故A错误;对干选项B,月接待游客量呈现增长趋势,贝｜」年接待游客量逐年增加｜故B正确‖对干选项C］从题图中可以看出各年的月接待游客量言峰期大致在7!8月‖故C正确;对于选项D!从折线图的走势看‖各年l月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小‖折线图走势比较平稳,故D正确故选A［测‖｜｜诊断］本题难度小,考查统计图中的折线统计图,考查分析问题与解决问题的能力,意在让大多数考生得分°4D［解析］由图可知平均最高气温高于20℃的月份有2个.［测‖｜｜诊断］（1）本题难度较小,考查读图｀识图和用图能力。（2）本题若失分,主要是没有读懂图5D［解析］注意选择不正确的.由柱形图知,A』B,C明显正确因为差是』6ˉ8）2＋（7＿8）2＋（8ˉ8）2＋（8ˉ8）2＋（9ˉ8）2＋（l0ˉ8）26气＝—∩〕~~贝｜」方［关键点拨］正确应用数据的平均数和方差公式是解题的关键990［解析］由茎叶图和平均数公式可得分数的平均数为89＋89＋90＋91＋91≡90.5［关键点拨］理解茎叶图的数据的构成是解题关键。［测‖｜｜诊断］本题难度小!考查茎∩十图｀平均数等简单的统计知识’意在使大多数考生得分.3＂00.18［解析］应从丙种型号的产品中抽取60×200＋400＋3＂＋100＝18（件）,［关键点拨］分层抽样是各层按比例抽样［测‖｜｜诊断］本题难度小,主要考查分层抽样的性质,考查考生应用数学知识解决实际问题的能力,意在让多数考生得分°寞题分类集训『日β§』■■■】》｜｜微信公众号：嗨呀同学高考必刷题翼题分类集训数学（理）｜刷大题｜0.［解］（1）由已知得0。70＝α＋0.20＋0.15’故α＝0。35.b≡l-0.05-0°l5-0·70≡0.10.（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为2×0°l5＋3×0,劝＋4×0.犯＋5×0.20＋6×0°l0＋7×0°05≡4°仍°乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×O05＋4×0°10＋5×0°15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0°15＝6＂·2.［解］（］）利用模型O,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y≡-30.4＋］35×l9≡226.l（亿元）。利用模型@,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为v＝99＋17。5×9＝256.5（亿元）.（2）利用模型@得至｜」的预测值更可靠.理由如下:（i）从折线图可以看出’2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线｝＝ˉ30.4＋13.5′上下’这说明利用2000年至20l6年的数据建立的线性模型o不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加,2010年至2016年的数据对应的点位于—条直线的附近,这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势’禾｜」用2010年至2016年的数据建立的线性模型｝＝99＋17,5′可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型@得至｜」的预测值更可靠（ii）从计算结果看!相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型O得到的预测值226.l亿元的增幅明显偏低,而利用模型@得至｜」的预测值的增幅比较合理,说明利用模型@得至｜」的预测值更可靠（给出了2种理由,答出其中任意—种或其他合理理由均可）［关键点拨］（l）把20l8年所对应的t的值分另｜」代入两个模型计算即可（2）可以从以下两个方面进行思考O看散点图的分布与两个模型是否吻合;@看纵坐标的总体数据变化趋势进行判断［刷育所得］（1）本题是个图形信息题’从已知的图形读出尽可能多的信息｛有利于解题‖其中重要节点的信息要抓着（2）数据的数学化分析是数学对自然科学的—个重要贡献,如线性回归方程的预测与实际已有数据的比对‖统计中回归模型必过的数据中心点等］是半｜」断模型预测可靠性的重要依据a［解］（1）第二种生产方式的效率更高.理由如下:O由茎叶图可知:用第—种生产方式的工人中,有75％的工人完成生产任务所需时间至少80分钟,用第二种生产方式的工人中,有75％的工人完成生产任务所需时间至多78分钟.因此第二种生产方式的效率更高@由茎叶图可知:用第种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟‖用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73。5分钟.因此第二种生产方式的效率更高o由茎叶图可知』用第—种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟‖用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钝因此第二种生产方式的效率更高@由茎叶图可知:用第种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多］关于茎8大致呈对称分布;用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多,关于茎7大致呈对称分布又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同’故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第—种生产方式完成生产任务所需的时间更少.因此第二种生产方式的效率更高（以上给出了4种理由,答出其中任意—种或其他合理理由均可）（2）由茎叶图知厕＝79芳8l＝8O鱼歹‖联表如下:不超过矾~~~~~~~~~~~~~~5｜超过m■■什～■-≡≡～■～■～■■-｛15十ˉ—～ˉˉ-昂←≈ˉ-ˉ-55第＿种生产方式第二种生产方式~~~15l（3）由于K2＝40（15×l5—5×5）2＝l0＞6.635,所以有99％的把握20×20×20×20认为两种生产方式的效率有差异［测〗｜｜诊断］（1）本题难度中〗考查茎叶图的识另｜」｀均值的计算、中位数的计算｀2×2歹｜」联表、独立性检验等,意在使大多数考生得分.（2）本题不应错』若错］可能是计算错误或对茎叶图｀2×2列联表认识不准确［解］（l）记B表示事件＂｜日养殖法的箱产量低于50kg＂〕C表示事件＂新养殖法的箱产量不低于50kg｜｜.由题意知P（A）＝P（BC）＝P（B）P（C）.｜日养殖法的箱产呈低干50kg的频率为（0.0l2＋0。014＋0。024＋0。034＋0ˉ（）40）×5＝0。62’故P（B）的估计值为0.62.新养殖法的箱产量不低于50kg的频率为（0.068＋0.叫6＋0.0l0＋0.008）×5≡0。66,故P（C）的估计值为0.66.因此｛事件A的概率估计值为0.62×0.66＝0。4092（2）根据箱产量的频率分布直方图得歹｜］联表:4｜箱↑ˉ—ˉˉˉ＋≡～～～ˉ～箱产~~~~~~~~~量≥50kg箱产量＜50kg6234｜日养殖法~~~~~~~~~~~~~~~新养殖法38~~~66200×（62×66-34×38）2K2的观测值内＝β】～～ˉ卢、≡＾‖γ刁′′100×l00×96×104ˉ＝＿由于15.705＞6635,故有99％的把握认为箱产量与养殖方法有关（3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中,箱产量低于50kg的直方图面积为（0。004＋0。020＋0。044）×5＝0ˉ34＜0.5〗箱产量低于55kg的直方图面积为（0.Ⅷ＋0.020＋0.叫4＋0。068）×5＝0°68＞0·5］故新养殖法箱产量的中位数的估计值为50辨α;谎34≡5235｜蹈｜［测‖｜｜诊断］（1）本题难度中等｛主要考查频率分布直方图｀相互独立事件的概率计算｀独立′｜生检验｀样本数据的数学特征及相关计算,考查运用数学知识解决实际问题的能力｀运算求解能力｀分析问题与解决问题的能力〗意在使多数考生得分.（2）本题易在计算上出现失误〕K2的观测值不准确导致判断失误』也可能出现对中位数的计算方法准备不足致误［解］（l）由折线图中数据和附注中参考数据得／∑（y《ˉy｜』＝α霸』7『＝4』吕｜′′ˉ『｜2≡28』√』」777∑（‘i—『）（γ』ˉy）＝∑′jγ‘ˉI∑γ‘＝4O17ˉ4×932＝289,!≡‖｛＝l〖≡‖α55瓣2646≡α9’厂≈因为γ与t的相关系数近似为0.99』说明γ与r的线性相关程度相当言,从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系5∑!≡l（tj＿〗）（y!-y）（2）由y＝罕＝l33l及（l）得6≡＾′∩书√○］◆○～～…—明~~∑（′』ˉ『）2j≡li＝7—b『≈133l-0.103×4≈0.92.~所以y关于t的回归方程为｝≡（）·92＋0.1（）′o微信公众号：嗨呀同学答案及解析将20l6年对应的′＝9代入回归方程得j＝0.92＋0.l0×9＝182.所以预测20l6年我国生活垃圾无害化处理量约为l82亿吨［测0｜｜诊断］（1）本题难度适中〕主要考查折线图｀线性回归方程｀利用线性回归模型解决实际问题（2）本题若出错』主要是计算错误或对提供的公式不理解6［解］（1）由散点图可以判断,y＝C＋α√厉适宜作为年销售量γ关于年宣传费m的回归方程类型（2）令删≡沥,先建立y关于汕的线性回归方程8∑｜!』ˉ丽）（y』＿y）呼＝68』由于d≡』＝l≡∑（汕‘ˉ历）2i＝l6≡yˉd厕＝563ˉ68×6.8＝100.6,所以y关于川的线性回归方程为’＝l00.6＋68Ⅷ］因此y关于嘶的回归方程为,≡l00。6＋68√厉。（3）o由（2）知〕当鳃＝49时,年销售量y的预报值,＝100.6＋68×√呵＝576。6!年利润z的预报值2＝576。6×0ˉ2—49≡66.32.@根据（2）的结果知,年利润z的预报值:＝0.2（l00.6＋68振）ˉ则＝—匆＋l3.6伍＋20.12.所以当扳＝呼＝68』即膨＝4624时’:取得最人值故年宣传费为46。24干元时,年禾｜」润的预报值最大.［刷盲所得］处理回归分析问题的步骤是:（1）根据题目中的样本点绘制散点图｛（2）根据散点图观察两个变量所适合的回归方程类型’如果是线性的,利用公式直接写出回归方程;如果是非线性的!先用变换化为线性的.求出回归方程式〕再进行换元］这样就得到了两个变量的回归方程｛（3）通过残差分析或计算R2来检验回归方程是否合适,否的话寻找原因,是的话就可以用来预测了。［测〗｜｜诊断］本题难度中等〕主要考查回归方程的建立与预报’考查学生的数据分析能力。7.［解］（1）两地区用户满意度评分的茎日十图如下:满意B满意和A满意B不满意@需合理利用公式;事件A,B互斥时〕P（A＋B）＝P（A）＋P（B）.事件A〕B独立时］P（AB）＝P（A）°P（B）来解决概率问题［测训诊断］本题难度适中,理解题意］合理利用公式便可得分｛此题尽量不失分.考点29古典概型和几何概型刷小题l∧［解析］本题考查排列组合｀二项分布和古典概型方法—;每—艾有阴｀阳两种』｜胃形』概率均为÷’随机抽取6个艾,可＝视为二项分布』则恰有3个阳艾的概率为c:（＋）』（＋）｀二荒』故选A.方法二;因为每＂重圭卜＂由6个位置排歹‖组合而成!其中每个位置有阳艾和阴艾两种选择,所以共有26种“重圭卜＂,恰有3个阳艾的.c;种』｛重封.』所以所求概率′—器—:-荒故选＾2∧［御丁］设△ABC的三边BC,AC,AB的长分别为α』6,c,贝｜」α2＝b2＋c2.则区域［的面积s‖＝＋b‘｀区域Ⅱ的面积S』＝＋丽（÷）2＋十丽（÷）2＋÷』‘＿÷硕（÷）』＝÷丽（b』＋c』ˉα2｜＋÷bc＝十b‘』厩域＂的面积sⅡ-＋丽（÷）』ˉ÷b‘≡乎ˉ＋b·由几何概型的概率公式可知pl＝p2!故选A［关键点拨］先设出三角形ABC的≡边长α,b,c｜再根据三角形的面积公式求出区域I的面积｛而区域II的面积是以b和C为直径的两个半圆的面积加上三角形的面积｛再减去以α为直径的半圆的面积.［腻惰所得］几何概型的概率公式′-黑≡蕉-黑≡髓在求圃积时』常用至｜｜区域的割补』对于…形的圃积』常用至｜」定积分求解［测‖｜｜诊断］（1）本题难度中等,考查面积型几何概型的概率,意在让部分考生得分;（2）本题若错,可能是没有设置变量,求不出区域的面积3.B［解析］设正方形的边长为1.如图!直线′过正方形的中心且垂直于AB,由已知给出的对称性知内切圆位于直线／左侧的黑色部分恰好为位于直线′右侧的白色部分.所以黑色部分面积恰好为半圆］旦该圆的半径为÷所以S黑＝＋丽×（÷）2＝÷硕而s正＝｜×1S黑丁∏吕＝B地区A地区β可〕斗］∑〕斗ββ了∏β。厂∩凹■‖Ⅲ＾／←司、＝司◇√■‖』β尸〕斗］勺〕气乙句〕‖【∩≡’斗日β斗』§日℃ββ气◎◎勺乙β＄刁′β°通过茎∩十图可以看出,A地区用户满意度评分的平均值言于B地区用户满意度评分的平均值;A地区用户满意度评分比较集中,B地区用户满意度评分比较分散（2）记CAl表示事件:＂A地区用户的满意度等级为满意或非常满意＂;CA2表示事件;＂A地区用户的满意度等级为非常满意＂;CBl表示事件:‘『B地区用户的满意度等级为不满意＂｝CB2表示事件:＂B地区用户的满意度等级为满意＂,则CAl与CBl独立,CA2与CB2独立,CBl与CB2互斥,C＝CBlCAl□CB2CA2,P（C）＝P（CBlCAlL）CB2CA2）≡P（CBlCAl）＋P（CmCA2）＝P（CB1）P（CAl）＋P（CB2）P（CA2）。由所给数据得c删』c耀’c刚』c腿发生的频率分别喘′赤,器』荒｀故P（c灿）＝器』P（C褪）＝命』P（c刚）＝册』P（c腿）＝箭』P（C｜＝业×卫＋旦×ˉ▲＝0.48、20202020［关键点拨］第—问要会绘制茎叶图,并由茎叶图数据’比较两组数据的平均值,方差大小.第二问关键◎理解事件含义,A地区满意度高于B地区满意度包含3个互斥事件’A非常满意B不满意｀A非常｜｝B41）（4［测‖｜｜诊断］（l）本题难度小’主要考查图形的对称性、几何概型概率的计算等知识,考查数形结合思想、转化与化归能力｀抽象概括能力,意在让大多数考生得分.（2）本题若出错’可能是没有合理转化求出相应图形的面积.4B［解析］几何概型转化为长度之比,基本事件总长度为7;50～8:30共有40分钟.等车时间不超过10分钟即在7:50～8:00,或夏题分类集训／＼微信公众号：嗨呀同学高考必刷题夏题分类集训数学（理）故所求概率为P（AB＋AB）≡P（AB）＋P（AB）＝P（A）（1—P（B））＋（l-P（A））P（B）。由题意知P（A）估计为0.25‖P（B）估计为0。2。故所求概率估计为0.25×O8＋0.75×0.2＝0.35。（3）赃l＞Df4＞Df2≡赃5＞Df3＞赃6.［关键点拨］（l）应用概率的统计定义求解｝（2）应用事件间的关系＂交＂“并＂＂对立＂表示所求事件］然后求概率｛（3）考查两点分布的应用’分布与方差的计算。2［解］（l）设A表示事件:＂—续保人本年度的保费高于基本保费＂,贝｜」事件A发生当且仅当—年内出险次数大干1!故P（A）＝0.2＋0.2＋0。l＋0·05≡0ˉ55。（2）设B表示事件:＂—续保人本年度的保费比基本保费高出60％＂,贝｜｜事件B发生当且仅当—年内出险次数大干3』故P（B）＝0.］＋0.05≡0.15.又P（AB）＝P（B）,故′（周｜州｜-粥｜-荆膘告因此所求概率为告（3）记续保人本年度的保费为X｜贝｜」X的分布列为｝Ii;丁臂／悬→;守十悬｛｛X0.85α?｝——＿—＿—ˉ｛P｛0.30′′E（X）＝0.85α×0.30＋α×0.15＋l。25α×0。20＋L5α×0.20＋l,75α×0.l0＋2α×0·05≡L23α.因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为L23。［测训诊断］（1）本题题意明确’计算量不大!难度较小。（2）条件概率平时考查较少］注意公式的理解和应用］尽量不要在此题失分考点30条件概率｀独守重詹试验｀二顶分布和正态分布｜刷小题1B［解析］根据题意可知〗X服从二项分布］即X～B（10,p）,因为DX＝聊（l—p）］所以10p（1—p）＝2ˉ4］解得p＝0.4或p＝0.6.又因为p（X≡4）≡C↑0p4（1ˉp）6,P（X＝6）＝C『0p6（1ˉp）4｜P（X＝4）＜P（X＝6）!所以（1-p）2＜p2,所以p＞0。5‖即p≡0。6,故选B［测‖｜｜诊断］（l）本题难度中等］考查二项分布的概率与方差’意在使部分考生得分。（2）本题若错,可能是没判断出X服从二项分布,要注意二项分布满足的≡个条件;o每次试验中,事件发生的概率是相同的;@各次试验中的事件是相互独立的｜o每次试验中只有两种结果:事件要么发生,要么不发生2∧［解析］由题意,该同学通过测试的概率为P3（2）＋P3（3）,其中P3（2）表示投3次恰好投中2次!P3（3）表示投3次恰好投中3次.由几次独立重复试验恰好有片次发生的概率计算公式知‖该同学通过测试的概率为B（2）＋P3（3）＝C;×0.62×（1-0.6）l＋C;×0.63×（l—0。6）0＝0.648,选A.［刷育所得］解决这类问题,要做到:（1）能准确理解＂至少＂的含义!将＂每人投3次,至少投中2次才能通过测试＂分解为＂投3次恰好投中2次＂与』投3次恰好投中3次＂,且这两个事件互斥!然后应用概率公式运算.（2）能意识到｜｜投3次恰好投中2次＂与＂投3次恰好投中3次＂都是二项分布模型］可以应用门次独立重复试验恰有k次发生的概率公式计算.3.0.l8［解析］本题考查事件的相互独立性.。..甲队以4:1获胜,...第五场甲胜,而前四场甲需要胜三场输—场又前五场的主客场安排为“主主客客主＂,..。甲获胜情况可分为＂胜胜胜负胜＂＂胜胜负胜胜＂“胜负胜胜胜＂＂负胜胜胜胜＂这4种.设事件A为甲以4:1获胜,A§表示第′场甲获胜.。..P（A）≡P（AlA2A3A4A5）＋ˉˉ…＝-—ˉ～＝ˉ～ˉ～一～ˉ≡—丁『α｛l.25α｝l.5α1。75α-～.～≡≡≡～～』ˉ～ˉˉ≡～ˉ～～～0.15｝0.20｝0ˉ200。l0｛2α厂二＝～≡＝＝■～≈～≈～…,｛0.05X0.85αP｜（）.3（）a20ˉ8;30到达发车站』共有20分钟』所以长度之比为升二÷故选B·［关键点拨］本题主要考查了几何概型〕关键在于将实际问题转化为几何概型本题转化为时间长度之比.［测‖｜｜诊断］本题难度较小’学生易在审题上失分’注意只有小明至｜」达时间为7:50～8:00或8:20～8:30,才能保证他等车的时间不超过l0分钟.5.C［解析］厕』巨［0』1］』γ!匡［0’1］』厕;＋贡＜1’由几何概型可得巫＝nl丁∏—厂…丽＝竿故选o［关键点拨］理解随机模拟实验的原理和本质』将这个问题合理转化为对应的比例式,从而估算圆周率∏.［测‖｜｜诊断］（1）本题用随机模拟实验去估算圆周率∏］有—定新意.可以回归课本,理解这种随机模拟实验的本质（2）本题重在理解实验的本质’有—定难度,需加强理解,争取得分.6C［解析］方法—;从9张卡片中依次抽取1张,共取2次有C↓C↓种不同方法,其中2次抽得卡片的奇偶性不同的方法有2qC』种.由2qC』405古典概型概率公式得P＝万J可＝万＝丁方法二｛由题意知两次取卡片,彼此相互独立,贝｜」两次取得卡片奇偶』｜莲不同的概率为:×;＋;×÷＝÷［刷百所得］（l）古典概型两个特点｛等可能性!有限性计算公式′（A｜≡咆真霍蹦j数｜2）着事件d,B相互独立』则′（姻）≡P（A）P（B）］若事件A］B互斥］则P（A＋B）＝P（A）＋P（B）。［测‖｜｜诊断］（1）本题难度中,主要考查两个原理、古典概型的应用,考查相互独立｀互斥事件概率的求法考查运算求解能力｀数据处理能力｀分析解决问题的能力及分类讨论思想,意在让部分考生得分.（2）本题若出错,贝｜」是对抽取的2张卡片上的数字的奇偶性不同不能正确理解喘［解析］记2名男生分别为d』B』3名女生分别为α』″,c,则从中任选2名学生有AB!Aα,Ab,Ac’Bα］Bb,Bc,α6〕αc,bc,共10种信况,其句中恰好选中2名女生有αb’αc’bc’共3种情况,故所求概率为市［易错警示］本题列举基本事件时可能出现遗漏而导致错误］列举时要按照定的｜｜顶序［刷百所得］古典概型中基本事件的计数—般利用歹‖举法。气a亏［解析］由6＋箍ˉ躯2≥0解得ˉ2≤”≤3’则D＝［ˉ2’3］’则所求概率为;≡｛≡;｝≡;~［关键点拨］正确求解集台D］确定几何概型的测度,再计算概率.［测‖｜｜诊断］本题难度适中,主要考查函数的定义域、—元＝次不等式、几何概型的概率］考查考生对定义的理解以及运算求解能力］意在让多数考生得分.刷大题｜0.［解］（1）由题意知,样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2000］第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25≡50.故所求概率为揣＝α02a（2）设事件A为＂从第四类电影中随机选出的电影获得好评＂!事件B为＂从第五类电影中随机选出的电影获得好评＂.｜｜@微信公众号：嗨呀同学答案及解祈P（AlA2A3A4A5）＋P（A｜A2A3A4A5）＋P（AlA2A3A4A5）≡0.6×0·6×0.5×0.5×0,6＋0°6×0.6×0.5×0°5×0.6＋0.6×0,4×0.5×0.5×0,6＋0°4×0°6×0.5×0.5×0°6≡0°l8°［关键点拨］解答本题的关键是要明确第五场—定是甲胜!同时前四场因为有主客之分,所以要分析清楚具体的胜负情况.刷大题］｛解］（l）20件产品中恰有2件不合格品的概率为／（p）＝C;op2（lˉp）!:因此／（′）＝C;0［2p（lˉp）｜‘ˉl8p2（lˉp）｜7］＝2C;0p（lˉp）l7（l-l0p）.令／（p）＝0,得p≡0.l.当p巨（0,0』）时〕／（p）＞0;当p匡（0.1］l）时／（p）＜0。所以／（p）的最大值点为p0＝0.1（2）由（I）知］p＝0。l（l）令Y表示余下的］80件产品中的不合格品件数,依题意知Y～B（180,0』）,X≡20×2＋25y,即X≡40＋25Yb所以E（X）＝E（40＋25Y）≡40＋25E（Y）＝490。（jl）如果对余下的产品作检验!则这箱产品所需要的检验费用与赔偿费用和为400元由于E（X）＞400’故应该对余下的产品作检验［关键点拨］（l）此试验符合二项分布,则／（p）可表示出来］利用导数求出／（p）的单调性,贝｜」′0可求;（2）本题的关键是表示出X关于Y的函数］X＝40＋25Y,则E（X）＝E（40＋25y）＝40＋25E（y）,求E（Y）即可。［测‖｜｜诊断］本题难度适中］考查二项式定理的展开式,考查利用函数单调性求最值!考查二项分布期望的求法。2［解］（l）抽取的—个零件的尺寸在（严—3叮］以＋3α）之间的概率为0.9974’从而零件的尺寸在（严＿3口『陛＋3α）之外的概率为0。＂26』故X～B（l6,0.0026）.因此P（X≥1）＝1—P（X＝0）＝l-0。9974l6≈0.叫08。X的数学期望为E（X）＝16×0.0026＝0。叫l6。（2）O如果生产状态正常,个零件尺寸在（严ˉ3α‖以＋3叮）之外的概率只有0.0026］—天内抽取的l6个零件中,出现尺寸在（队-3α,严＋3叮）之外的零件的概率只有0.0408’发生的概率很小。因此—旦发生这种情况,就有理由认为这条生产线在这—天的生产过程可能出现了异常信况｛需对当天的生产过程进行检查!可见上述监控生产过程的方法是合理的。@由万＝9.97,s≈0.2l2’得〃的估计值为户＝9.97’矿的估计值为5≡0.2l2.由样本数据可以看出有—个零件的尺寸在（户ˉ36!户＋36）之外’因此需对当天的生产过程进行检查剔除（血—3j』…j｜之外的数孺922’剩下数据的平均数为古×（16×9.97-9.22）＝10.02］因此以的估计值为10.02。16∑卯;＝16×O2122＋l6×9972≈159l.134剔除（户—3厅｀血＋36）『＝l之外的数据9。22!剩下数据的样本方差为古×（l59L｜］4ˉ9222ˉl5×Ⅲ022｜＝000a因此α的估计值为｀／∏ˉ6丽≈O09.［测‖｜｜诊断］（l）本题难度适中,主要考查正态分布及其应用｀期望｀平均数与方差｀决策问题等知识’考查数据处理能力｀分析问题与解决问题的能力｀应用能力!意在让部分考生得分.（2）本题若出错,可能是计算错误,或者求解思路不清.3.［解］（l）随机变量X的所有可能取值为0’1’2〕3.（lˉ＋）≡十』P（x＝3｜＝＋×＋×十＝☆所以随机变量X的分布歹‖为Ⅺ≡尸014］】—叫∑＿】—斗｜—＿lˉ—l1‖—｝24~卜‖‖〔‖‖随机变量x的数学期望圆（x｜＝0×÷＋l×旦＋2×＋＋3×24113-＝＝＝＝≡—24l2°（2）设Y表示第辆车遇至｜」红灯的个数‖Z表示第二辆车遇至｜」红灯的个数!则所求事件的概率为P（Y＋Z≡1）＝P（y≡0,Z＝1）＋P（y＝1’Z≡0）＝尸（Y≡0）P（Z＝l）＋P（y≡1）P（Z≡0）1］1lll］1≡丁×可＋可×丁≡丽。所以这2辆车共遇到｜个红灯的概率为片［刷白所得］求解数学期望—般利用定义』特殊分布列的数学期望也可以利用相应的期望公式直接求解［测‖｜｜诊断］（1）本题难度中,考查相互独立事件的概率｀离散型随机变量的分布列和数学期望］意在让部分考生得分。（2）本题若出错’可能是概率公式应用错误或考虑情况不全面造成的考点3‖离散型随机变量及具分布列｀期望租方差刷小题｜1D［解析］本题考查离散型随机变呈的期望、方差的求法及≡次函数的单调性由分布歹｜可得圆（x｜二÷×0带÷×α＋÷×l＝宁』D（x）＝＋×（0＿宁）2＋÷×（。ˉ宁）2＋÷×（l＿宁）2＝÷α敷＿÷叶;』α匡（0』!｜该函数图像的对称轴为夏线α＝÷』且该函数在（0』÷）上单调递减』在（÷’l）上掌调递增』所以D（x）先减后增］故选D［关键点拨］解答本题的关键是根据分布歹｜」先求出E（X）’然后求出D（X）〕得至｜」关于α的二次函数!从而可得函数的单调性.2∧［解析］由题可知,随机变量fl］f2都满足两点分布’贝｜」E（fl）＝pl’E（f2）≡p2,D（占l）≡p1（1-pl）’D（占2）＝p2（l-p2）ˉ。。。0＜pl＜′2＜÷肝｀E（皆｜｜≤‘（曹,卜又D（‘｜｜ˉD（金｜＝（p!ˉ′2）.（1ˉpl—p2）＜0’..。D（占l）＜D（音2）。故选A。［测‖｜｜诊断］（1）本题难度适中,主要考查两点分布及其期望和方差｀函数与不等式］考查转化与化归能力、函数与方程思想］意在让部分考生得分.（2）本题若出错,主要是期望和方差公式运用不熟,或比较方差时方法不当al.96［解析］由题意知X～B（100,O02）〕.·.D（X）＝l00×0。02×（l-0.O2）＝l。96［关键点拨］根据变量X的特点半｜」断出X服从＝项分布是解决本题的关键二项分布的特点是o试验是重复的｜@在每—次试验中事件的概率是不变的［测‖｜｜诊断］本题难度适中］主要考查二项分布的判断｀二项分布的方差公式!考查考生对基本知识点｀基本结论的掌握及运用情况‖意在使多数考生得分.｜刷大题｜0.［解］（1）由题意知’X所有可能取值为200,300〕50O,由表格数据知P（x＝200）-乙;;旦＝α2』′（x＝300）＝责＝α4』夏题分类集训｜P（x＝0｜＝（lˉ十）×（hˉ÷）×（lˉ十）＝十’P（x＝川＝—×（lˉ十）×（lˉ十）＋（l—＋）×丁×112（｜—十）＋（｜ˉ＋）×（｜—÷）×叶＝箭』P（x-2｜≡（lˉ÷）×＋×丁＋÷×（hˉ＋）×十＋丁×丁×l1l嗡微信公众号：嗨呀同学高考必刷题夏题分类集‖｜｜数学（理）P（x＝500｜＝25蒜4＝α轧因此X的分布列为的学生有l＂ˉ30—25—5＝40人所以从全校学生中随机抽取1人,该学生上个月A』B两仲文付方式都使用的概率佰计为揣＝α↓（2）X的所有可能值为0,1,2.记事件C为＂从样本仅使用A的学生中随机抽取1人,该学生上个月的支付金额大于l000元＂,事件D为＂从样本仅使用B的学生中随机抽取l人,该学生上个月的支付金额大于l000元＂.由题设知』事件′｀″相互独壶』且p（c｜二带＝04』P（D）＝罢＝0。6·所以P（X＝2）＝P（CD）＝P（C）P（D）＝0.24,P（X≡1）＝P（CDQCD）＝P（C）P（D）＋P（C）P（D）＝0.4×（l-0.6）＋（1-0.4）×0。6＝0.52〗P（X≡0）＝P（CD）＝′〕（C）P（D）＝0.24。所以X的分布列为~｜‖』卜Ⅺ～尸200~~~~~~0°2300~~~~~~0°4500~~~~~O4｜（2）由题意知’这种酸奶天的需求量至多为500瓶〕至少为20（）瓶｛因此只需考虑200≤n≤500.当300≤n≤500时,若最高气温不低于25,贝」γ＝6n-4n＝2″;若最高气温位于区间［凹〕25）,贝｜」Y＝6×Ⅻ＋2（则—Ⅻ）-4″＝lⅫ＿2″｛若最高气温低于2（）｜贝」y＝6×2＂＋2（n-2＂）-4n＝8＂-2n。因此E（Y）≡2几×0。4＋（l200-2″）×0.4＋（800—2″）×0.2≡“0-0,4见°当200≤n＜300时］若最高气温不低于20,则Y＝6″—4则≡2″;若最高气温低于20,则Y≡6×200＋2（nˉ200）＝4n≡800ˉ2″.因此E（Y）＝2Ⅶ×（0.4＋0.4）＋（800-2几）×0。2＝160＋1.2n。所以n≡300时!Y的数学期望达至｜」最大值〕最大值为520元［测〗｜｜诊断］（1）本题难度中等,主要考查随机变量X的分布歹‖及数学期望,考查考生分析问题和解决问题的能力、数据处理能力｛第（1）问使多数考生得分!第（2）问使部分考生得分.（2）若出错〕考生很可能在第（2）问处理数据时出错2［解］（1）由柱状图并以频率代替概率可得,—台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,1l的概率分另｜」为0.2!0.4］0ˉ2,0。2.从而P（X≡16）≡0.2×0。2＝0.04;P（X≡17）＝2×02×0·4＝0·16·P（X≡18）≡2×0。2×0。2＋0.4×0.4≡0.24.P（X＝19）≡2×0。2×0.2＋2×0ˉ4×0.2＝0。24』P（X≡20）＝2×0.2×0.4＋0.2×0。2≡0。2.P（X≡21）＝2×0。2×0。2≡0.08;P（X＝22）＝O2×O2＝0.叫.所以X的分布列为｜~~』』『【｛『｜｜2~~~~~0,240~~~~~~~~~0°24Ⅱ≡尸1~~~~~~〔）°52『］】＄Ⅱ′■『‖■『〗~~故X的数学期望E（X）＝0×0.24＋l×0.52＋2×0.24＝1.（3）记事件E为＂从样本仅使用A的学生中随机抽查3人,他们本月的支付金额都大于2000元＂.假设样本仅使用A的学生中］本月支付金额大于2000元的人数没有变化』则由上个月的样本数瞻得′｜厕｜～志-巾答案示例1:可以认为有变化.理由如下删P（E）比较小’概率比较小的事件—般不容易发生-旦发生,就有理由认为本月的支付金额大于2000元的人数发生了变化所以可以认为有变化答案示例2:无法确定有没有变化.理由如下:事件E是随机事件’P（E）比较小］—般不容易发生’但还是有可能发生的!所以无法确定有没有变化.［关键点拨］（1）结
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初级电工基础知识现场安全隐患查找图现观庄严论民国老课本梁冬对话王东岳
合运算的德°摩根定律得到样本中上个月A,B两种支付方式都使用的学生人数;（2）明确随机变量X的意义,确定X的可能取值及发生的概率,再禾｜」用期望公式求解;（3）从样本中使用A支付方式且消费金额超过2000的频率与上个月使用A支付方式且消费金额超过2000的概率的变化角度分析人数变化［解］（l）因为甲同学上学期间的三天中至‖校信况相互独立,且每天7;30之前到校的概率均为÷｜敬xˉ阀（3』÷）』从而′｜Ⅺ-偷｜≡c;（÷）』（＋）』—赡』隐-0』｜』2』3所以随机变量Ⅱ的分布列为＝』』』『」』叶‖』」」‖」＿Ⅺ＿尸~~X21｜220.08!0.04l6~~~~~~0°0417~~~~~~~0·l6l8~~~~~~0°24］9｜200.24｝0.2~P（2）由（l）知P（X≤l8）≡0.q4,P（X≤19）＝0.68,故n的最小值为l9.（3）记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位:元）。当″＝19时’E（Y）＝l9×200×0。68＋（19×200＋500）×0·2＋（19×200＋2×500）×0.08＋（l9×200＋3×50O）×0。04＝4040.当Ⅶ＝20时］E（Y）≡20×2＂×0.88＋（20×2＂＋5＂）×0.08＋（20×2＂＋2×5＂）×0·叫＝408O可知当n＝19时所需费用的期望值小于当n＝20时所需费用的期望值!故应选施＝19.［关键点拨］准确理解题意］运用离散型随机变量分布歹‖与期望解决实际问题.弄清事件本质］歹‖清三年内共需要更换的易损零件数的分布歹」是本题关键;第（3）问分别计算川≡19,″≡20时的期望值来处理最优化问题［测‖｜｜诊断］本题难度大,将实际问题转化为离散型随机变量的分布歹‖与期望,来作决策学生失分点有两处:（l）对题意理解不透｝（2）在第（3）问中最优化上处理不当3.［解］（1）由题意知,样本中仅使用A支付方式的学生有18＋9＋3＝30人〕仅使用B支付方式的学生有10＋14＋l≡25人］A］B两种支付方式都不使用的学生有5人故样本中A］B两种支付方式都使用4~』』』』／尸‖『‖『／Ⅺ…尸0］27〕≡β—”∑～斗＿’】′『『了『『『『『】匡∑—’7随机变量X的数学期望E（X）＝3×÷＝2.（2）设乙同学上学期间的三天中7:30之前至｜」校的天数为Y’则（3｜÷）目腮-｜x-3』y-］｝OⅧ-2』′二0｜由题意知事Y～B件｛X＝3,Y＝1｝与｛X＝2,Y≡0｝互斥!且事件｛X＝3｝与｛Y＝1｝!事件｛X≡2｝与｛Y＝0｝均相互独立,从而由（1）知P（M）≡P（｛X＝3,Y＝l｝O｛X＝2,Y＝0｝）≡P（X＝3,Y＝1）＋P（X≡2,y≡0）≡P（X＝3）P（y＝l｜＋P（x二2｜P（y＝0）≡务×÷卜÷×六＝器@微信公众号：嗨呀同学答案及解析能力、应用能力,意在让多数考生得分。（2）解决本题需要正确确定f的所有取值以及对应的概率］还要避免计算错误7。［解］（1）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含Al但不包含Bl的事C!5件为M则P（M）＝面＝丽（2）由题意知X所有可能的取值为0,l］2』3］4］贝｜」C:C』5′呕～0｜簧≡方’僻｜x≡川—可ˉ五』C:C15′｜x≡』｜≡等～兴』′α～］｜～雨—2｜』C｛C‖l≡≡—因此X的分布列为［关键点拨］（1）X服从二项分布,可得具分布歹‖和数学期望｛（2）设乙同学上学期间的三灭中7;30到校的灭数为y｀则y～B（3｜÷）』所求的概率即X＝3且Y＝1或者X＝2且Y＝0,根据相互独立事件同时发生的概率的乘法公式和互斥事件概率的加法公式计算即得5。［解］（1）由已知,甲｀乙｀丙三个部门的员工人数之比为3:2:2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7人’因此应从甲｀Z｀丙三个部门的员工中分别抽取3人!2人］2人（2）O随机变量x的所有可能取值为0’1’2,3.‘等—腮（偷二＂』］』2,3》P（X＝k）＝所以’随机变量X的分布歹‖为21835〕—↓—沥l1235Ⅺ…尸0135斗＿］—呕35212102］○≡］—哩一Ⅺ＿尸P152l~~~~~~~随机变量x的数学期望E（x｜＝0×去带l×÷2×÷3×÷二芋@设事件B为』抽取的3人中!睡眠充足的员工有1人,睡眠不足的员工有2人＂;事件C为＂抽取的3人中’睡眠充足的员工有2人］睡眠不足的员工有l人＂］贝｜」A＝B（ˉ」C〕且B与C互斥.由o知,P（B）≡P（X≡2）’P（C）＝P（X＝1）,故P（A）＝P（B□C）＝P（X≡2）＋P（x＝l）＝冬~′所以』事件4发生的概率为÷［关键点拨］（1）利用分层抽样的抽样比,可求出甲｀乙、丙三个部门的员工中分别抽取的人数;（2）o可判断X服从超几何分布!只需利用超几何分布的概率公式,求出X的分布列］再禾｜」用期望的定义求E（X）;@利用互斥事件的概率公式,即可求出事件A发生的概率［刷盲所得］求解此类问题的关键—是利用分层抽样的抽样比,估计各层的人数;二是利用服从超几何分布的概率公式求概率,利用互斥事件的概率加法公式求概率｝三是利用离散型随机变量的期望的定义求期望.6［解］（1）由题图知］在服药的50名患者中‖指标γ的值′」｀于60的有15人’所以从服药的50名患者中随机选出—人’此人指标y的值小于60的概率为另＝03（2）由题图知’A,B,C,D四人中］指标z的值大于1。7的有2人:A和C］所以‘的所有可能取值为0,l｛2.′｜‘≡0｜÷÷』P｜←」｜≡等÷』赃｜‘～2）≡:～÷』所以占的分布列为数学期望E（X）＝0×P（X＝0）＋l×P（X＝1）＋2×P（X≡2）＋3×P（Ⅱ＝3）＋4×P（x＝4｜二0刊×贪＋2×兴带〕×贪＋4命＝z［刷盲所得］求离散型随机变量的分布歹‖的—般步骤:（1）明确随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义‖（2）利用排歹｜」组台知识或互斥事件｀独立事件的概率公式求出随机变量取每个可能值的概率｝（3）按规范形式写出随机变量的分布列!并用分布列的性质验证.［测‖｜｜诊断］（1）本题难度中,主要考查离散型随机变量的分布歹‖以及根据分布歹‖求期望等知识‖考查运算求解能力、抽象概括能力｀分析问题与解决问题的能力＼转化与化归能力〗意在让多数考生得分｛（2）本题的易错之处是不能正确确定随机变量的取值’在求随机变量对应的概率时出现错误〗从而不能准确列出随机变量的分布列］并计算期望∏8（l）［解］编号为2的抽屉内放的是黑球的概率为p≡—∏l＋∏（2）［证明］随机变量X的概率分布为111∏几＋1n＋2C册＝｝C附lC册干｛｜~~~~~C儡＋′』C儡＋＂C阶＋′旧〗几—∏1『7〗＋nC庶舟ˉlC册＋＂1片C册二｛｝—‖C傲＋′↓｜XP~~~~随机变量X的期望为厕十＂1〔】｛＝｜l″叶″1（kˉ1）｜E｜x）-∑丁.6雨≡6丽吕丁.（厕—l）｜（腮ˉ′』）｜k＝几所以』（川≤武:｜鹏ˉ｜｜」（脆ˉ＂）｜（k-2）｜1m＋n（附-2）｜（＂ˉl｜C念.冯｜＂ˉ2）｜（愉ˉ＂）｜≡二1（＂ˉ1）C‰＂（1＋C册三｝＋C册ˉ2＋…＋C瞒ˉ2）≡二1（″ˉl）C册十厕（C册＝｛＋C‖＝;＋C货ˉ2＋…＋C瞒ˉ2）吕≡1（nˉ1）C册十厕（C册—l＋C贤ˉ2＋…＋C獭ˉ2）≡≡1（＂ˉl）C册雨（C腺hˉ2＋C碱—2）＝·■·＝］＿】—〕‖′｜′＋』』｛′′◎＿］—β｛［』｜勺叁16占二尸‖故‘的期望E（《｜二0×÷＋｜×÷＋2×÷＝止（3）在这l00名患者中,服药者指标γ数据的方差大于未服药者指标y数据的方差［关键点拨］准确找出随机变量占的取值以及正确求出f对应的概率,是解决此类问题的关键［测‖｜｜诊断］（1）本题难度中］主要考查古典概型概率公式的应用、离散型随机变量的分布列与数学期望,考查识图与读图能力、数据处理夏题分类集训微信公众号：嗨呀同学高考必刷题夏题分类集训数学（理）C腮hˉln｜公式求解［测‖｜｜诊断］本题难度大,考查离散型随机变量的概率分布、数学期望以及不等式证明的综合应用,意在让少数考生得分.＝＝≡（n—1）C丹!＋＂（m＋几）（′‖-1）’n即E（X）＜（m＋n）（几-1）.［刷盲所得］求解概率问题首先要确定概率模型’再利用相应的概率专题十二考点32算法与程序框图的理解与应用刷小题｜1∧［解析］本题考查程序框图由程序框图知,输入A的值后经过两次德坏』…出循环』输出刹』可将2十÷的步骤分解为第—2＋＿L2算法初步满足条件］第四次:执行循环体,S≡—2＋1×4≡2‖α＝＿l’K＝5;满足条件］第五次:执行循环体,S＝2＋（—l）×5＝—3!α≡1］K＝6｛满足条件〗第六次;执行循环体,S＝-3＋1×6＝3!α＝-l,K≡7｛不满足条件］输出S＝3.故选B。［测‖｜｜诊断］本题难度中等］主要考查程序框图,考查数据处理能力｀识图与读图能力］意在使多数考生得分ˉ6D［解析］从最小值进行验证’即从Ⅳ＝2开始验证第1次循环,S≡0＋］00＝100‖M＝ˉ皿＝—l0,j＝2;l0第2次循环』s＝0＋］00＋（ˉ｜0｜二90』″＝ˉ升二｜｀′＝3』此时S＝90＜91.满足条件,程序需在′＝3时跳出循环］即Ⅳ＝2为满足条件的最小值.故选D.［测训诊断］本题难度中等,主要考查循环结构的程序框图’考查分析问题和解决问题的能力〗意在让部分考生得分.7c［解析］由程序框图可知,输入躬≡0』）.＝l,′』＝l,第-次循环′x二0』γ＝l』不糯足条件｛鹏≡2第二次循环』慈二÷』,＝2』不满足条件｜″二3』第三次循环』膊二÷』y二6』因为÷＋36＞36′满足条件》所以停止循环’输出躯＝÷』y＝6’满足y＝4期故选G凸［测训诊断］本题难度中等!将程序框图与函数解析式相结合］属于在知识的交汇点命题‖是新课标的命题方向之—.本题的关键是由循环输出结果找到满足题意的关系式〕在循环结构的计算过程中要细心,避免失分.8。C［解析］输入勿＝2,″≡2.初始片＝0’s＝O第—次输入α≡2｛s≡0×2＋2＝2］R＝0＋l＝1≤n,进入循环;第二次输入α≡2,s＝2×2＋2＝6〕∧＝1＋1＝2≤″,再次进入循环;第三次输入α＝5,＄＝6×2＋5＝17,k≡2＋l＝3＞n’跳出循环,输出s＝17。故选C。［关键点拨］理解循环体的本质］注意每次循环后s值的变化［测训诊断］本题难度适中,计算量较小,理解了循环体的本质后很容易得分.9B［解析］由程序框图依次得oα≡2,b≡4,α＝6］s≡6’″＝1;@α≡ˉ2〕6＝6,α＝4,s≡10,″＝2;oα＝2,b＝4,α≡6,s＝l6,″≡3;@α＝—2!b＝6,α≡4!s＝20,n≡4,此时s＞l6!输出n≡4故选B.［刷有所得］程序框图问题按程序框图走向模拟计算即可常考形式是条件填充或循环结构的结果输出。［测‖｜｜诊断］（1）本题难度适中,考查程序框图′考查逻辑推理能力和运算能力。（2）本题若出错,主要是不能运用条件进行等价转化或不能正确地运行程序｜oc［解析］执行程序;s二÷』砸＝丁』几≡｜』s＞′『s＝十’砸二了｀ll″＝2’S≥』｜S＝÷’厕＝六』″≡］｀S≥』;S＝六』砸＝六』＂≡4』S＞′;s＝六』咖＝丽』厕＝5』s＞』;s≡古』咖＝画』厕＝6’s＞′｝s≡志》11Ⅷ二六』厕二7』此时s＞′不成立』退出循环｜输出＂＝7》选c［刷百所得］程序框图问题’按照程序走向模拟运算即可常考热点］l1,第二步求A2＝万】「＝2＋l’则空白框中2＋—L7步求A｜＝‖』—∩乙＋∩兰≈应填M＝击［｛胰瞬｜……代＾…橇序可得』ˉ点｝…￡凸k≤2!继续循环｜A＝2＋＿兰,k≡3＞2,不满足循环〕退出,输出2÷12＋—兰‖满足题意!故选A.A＝2＋＋［刷盲所得］求解含有循环结构的程序框图问题—般解法是严格按照程序框图设计的计算步骤逐步计算｝逐次判断是否满足判断框内的条件!决定循环是否结束要注意初始值的变化!分清计数变量与累加（乘）变量!掌握循环体等关键环节.2c［解析］本题考查框图的循环结构和等比数列求和。6＝0.01≡志执行程序』初始值躯＝｜,』＝0｝’＝l』躯＝÷≥志｝‘二l余十』躯＝lll11F≥而｝…』』＝｜＋÷＋士＋…＋了｀躯＝了＞而;』＝｜＋＋＋」×（［ˉ十）＝2＿六｜故尹…＋了｀躯≡古＜志｜输出…≡lˉˉ上2选C.3E［解析｜由题意知″＝l＋＋＋÷＋…啡命』r＝＋伞上＋←41了＋…＋而因此空白框中应填入!二叶2故选E［测‖｜｜诊断］本题难度适中’考查数列求和运算｀程序框图运算!考查算法语句｀推理能力,意在让部分考生得分。4D［解析］输出为偶数,则＂□＂内应填＂n≡n＋2＂;要求输出的n满足3见-2孤＞l000］且是判断框条件不满足时输出,则＂＝＂内应填＂A≤1000＂.故选D［测‖｜｜诊断］本题难度适中,主要考查程序框图］考查推理论证能力｀识图与读图能力!意在让部分考生得分』5。B［解析】根据程序框图‖执行的过程如下:满足条件］第—次执行循环体］S＝0＋（ˉ1）×1＝ˉl,α≡1!K≡2;满足条件,第二次:执行循环体’S≡-1＋l×2≡1,α≡-1!K＝3;满足条件』第三次:执行循环体］S≡］＋（ˉ1）×3＝＿2!α＝1,K＝4;~~@微信公众号：嗨呀同学答案及解析是条件填充与循环结构的输出结果｛无论哪—种题型’模拟执行都是解决问题的关键。［测‖｜｜诊断］本题难度较易!主要考查循环结构的输出结果.00。B［解析］输入α≡l4,b≡l8,。..α≠b且α＜b］.。.b＝18-14＝4α＝l4］b＝4］进入下—次循环...α≠b且α＞b!。.。α＝l4—4≡10。α＝10｛b＝4］进入下—次循环....α≠b且α＞b］.。.α＝l0-4＝6。α＝6］b＝4］进入下次循环..。.α≠b且α＞b!.。。α＝6—4＝2.α＝2!b＝4,进入下—次循环...α≠b且α＜b,·。.b＝4-2＝2.α≡2,b＝2,。..α≡b］输出α＝2。［关键点拨］本题利用循环结构］考查＂更相减损术＂的思想方法’应正确理解题意［测0｜｜诊断］本题难度较易,只要正确执行循环,细心运算就可以得分。］2.B［解析］本题考查程序框图的循环结构.初始值片≡l］s≡l第172×4次循环』s＝丁三页＝2’不满足k≥3』k＝2;第2次循环’‘＝3×2ˉ2三≡2』不满足附≥3』k＝3｝第3次循环』‘二3祟2＝2』满足k≥3｀输出＄≡2.故选B［关键点拨］明晰程序框图的意义,找出运行规律及最后—次运行结果是解决问题的关键.03.B［解析］本题考查程序框图运行程序框图得S＝l‖《＝2＜4;J≡l,S≡1＋2×2｜＝5,i＝3｝S＝5＋3≡8,《＝4≥4,退出循环输出S＝8°故选B（关键点拨］只需根据程序框图的流程线顺序逐次进行计算即可［易错墨示］注意判断框,当第-次满足条件j≥4时输出S.｜4B［解析］当晰二l时』,＝lˉ十＝÷;当隐＝2时』』＝＋＋＋＝÷当腮二3时’跳出循环』输出‘二÷故选B［测训诊断］（1）本题难度小!考查程序框图,算法的直至｜」型循环结构,意在使大部分考生得分°（2）本题不应错,若错!可能是忽视片的赋值与s的赋值的前后｜｜顶序,导致终止循环的条件半｜」定错误k值的赋值处理框与s值的赋值处理框的先后｜｜顶序不同〗最后的输出结果会不同‖5B［解析］输入″＝20』‘＝2’T＝0’丝＝l0是整数’执行T＝l’‘＝3,3≥5不成立;执行斗＝斗不是整数’卤＝4』4≥5不成立;执行4＝乎是整数’『＝2’煎＝5』5≥5成立』给柬循环』所以输出′＝2故选B。［刷育所得］在有关累加（累乘）问题的循环结构中—般都有—个计数变量和累加（累乘）变量。计数变量用于记录循环次数累加（累乘）变量用于输出结果只要读懂题意与程序框图的功能,就能准确求得输出值.】6C［解析］当∧＝0时’内＜3成立’进入循环‖k＝1］s＝2｛此时’k＝l＜3成立’继续循环’k＝2’蹦＝÷｝＝≤此时’片＝2＜3成立’继续循环’R＝3』s＝÷剧此时』附＝3』循环结柬』输出‘＝÷放选o［刷育所得］本题中程序框图的循环过程由两个变量控制〗个是计数变量｀个是累加变量在解题时』首先要搞清楚这两个量｛并且注意这两个量的变化规律［测训诊断］本题难度小］主要考查程序框图的循环结构］考查推理能力和计算能力,意在让大多数考生得分‖7.C［解析］该程序框图循环4次‖各次Ⅳ的值分别为8］7〕6］2,满足判断框内的条件Ⅳ≤3’终止循环,输出Ⅳ的值为2.故选C.［关键点拨］正确确定程序框图的循环次数可逐次歹‖举.［刷盲所得］当程序框图的循环次数较少时,—般利用列举法求解［测0｜｜诊断］（1）本题难度小,主要考查程序框图］考查学生的读图能力,意在让多数考生得分。（2）本题不应错!若错可能是循环次数错误造成的。08D［解析］第—次:匆≡7,22＜7,7不能被2整除,b＝3,32＞7,输出α＝1｜第二次:如≡9’22＜9!9不能被2整除’b≡3‖32＝9!9能被3整除!输出α＝0.故选D.［关键点拨］根据输入的鲍的值以及循环条件!分另｜」作出半｜」断［测‖｜｜诊断］（l）本题难度中‖主要考查算法的三种基本逻辑结构的理解及应用!考查分析解决问题的能力以及逻辑思维能力’意在让部分考生得分.（2）本题的易错之处是不能根据输入的匆的值以及循环条件进行半｜」断!从而导致输出结果错误‖95［解析］本题考查算法流程图运行该算法流程图’第1次循环!”二l｜S＝＋』不满足条仁』继续运行｛第2次循环』醚＝2』S＝÷』不满足条件’继续运行第3次循环0匆≡3］S＝3!不满足条件,继续运行;第4次循环,z≡4,S＝5,满足条件,运行结束故输出的S的值是5.［易错鳖示］本题容易出现运行次数多的情况,卯＝4满足条件卯≥4‖所以运行结束［刷百所得］当算法流程图的运行次数较少时!—般采用歹｜」举法求解］即逐次歹‖出各次的运行结果,直到运行结束2o—2懈桐由流…得Ⅱ≡｛;谰｀0…』所以当输入的“的值为六时』y＝2带｜。题六＝2ˉ4＝ˉ2［关键点拨］从选择结构的流程图中得分段函数的解析式］再由输入的z的值求输出的γ的值。［测0｜｜诊断］本题难度′｜｀,主要考查流程图和对数运算’考查考生的读图能力和运算求解能力,意在让多数考生得分.~｜专题十三推理与证朋若错,反映考生推理能力不够或分析转化能力不足,应加强这方面训练2C［解析］当m＝4时!数歹‖共有8项,由题可知］α1＝0!α8＝l,分类考虑:o当前四项全为0时,后四项全为1!满足条件〕有1个『@当前四项有三项为0时’第2’3’4项任取两项为0］第5,6,7项任取—项为0,共有C;。C』＝9个O当前四项有两项为0时,则第2或3项为0,第5项—定为0,第6,7项有—项为0,共有C』.Cl＝4个.综上,共有1＋9＋4＝14个不同的＂规范01数歹｜」＂.［关键点拨］关键是读懂新定义的含义,结合数列的新定义〗对前四考点33推理与证明｜刷小题｜」］D［解析］因为四人中有2位优秀,2位良好.假设乙｀丙的成绩都为优秀或良好］则甲看至｜」Z、丙的成绩后—定知道自己的成绩’与｜｛甲不知道自己的成绩＂相矛盾,故乙｀丙两人中应是—人优秀—人良好’甲｀丁中应是—人优秀—人良好。乙看了丙的成绩后］—定可以知道自己的成绩,丁看了甲的成绩后’也定知道自己的成绩故选D.［测0｜｜诊断］（1）本题难度中等〕主要考查推理与证明｛考查分析问题与解决问题的能力、推理论证能力｜意在使多数考生得分（2）本题~~~｛@夏题分类集训微信公众号：嗨呀同学高考必刷题翼题分类集训数学（理〉项中0的个数进行合理分类［测0｜｜诊断］（l）本题难度较大〕考查新定义｀数歹｜」、计数原理等知识〕处理新定义问题’首先要读懂新定义‖然后进行等价转化;对复杂计数问题要进行合理分类（2）本题若出错‖—是对新定义不理解,二是不会合理分类3。∧［解析］本题考查数列的递推公式、不等式的应用及二项式定理对于选项A』当h＝÷时』α』＝α2十÷』α』＝α1十十≥÷』“惑＝α;＋÷≥备＞l』α,＝αi＋＋≥（备）2÷’α阑二α;＋＋≥（备）＋＋』α’＝α:十＋≥（备）＂带÷』α＂＝α;＋÷≥（器）｜6＋＋』α,≥（备）沤令÷』硬＂＞（恬）“＋÷?（器）赋＝（1＋六）“＝ch＋ch（六）｜＋c南（六）』＋…叶C圈（六）赋＝l＋4＋:＋…啡（六）“＞l0…≥lo故选项A正确;对丁选项B』当6＝＋时｀α畔｜＝α:＋＋;当q巨（ˉ＋』＋）时』·2＝α2带士＜÷』α』＝αi＋＋＜＋』≡』α＂＝α;辨十≤＋’故选项B不成立;对于选项C!当6≡ˉ2时,α＂＋l≡α:ˉ2,当α＝ˉ1时,α2≡ˉ1〕α3＝—1］…］αlo≡ˉ1＜10,故选项C不成立;对于选项∏』当』-＿4时』“硼…:＿4』当·-｜粪严时』·厂｛辈严＜!0,选项∩不成立［关键点拨］选项C’D中’令α什‖＝α鹏,即数列｛α鹏｝为常数列’通项为αn＝α.解—元二次方程求得α］若α＞10’则αl0＞10］否则αl0＜l0°4B［解析］排除法。假设袋中—红—黑｛若甲盒放红球,则乙盒放黑球,排除A;同理若甲盒放黑球］贝｜｜丙盒放红球,排除D;假设袋中二红二黑］先取2红〕甲盒放—个红球’乙盒放—个红球］再取2黑,甲盒放—个黑球,丙盒放—个黑球,排除C.故选B。［测‖｜｜诊断］（］）本题难度大,考查逻辑推理能力。（2）考生易因理不清思路而无从下手‖从而失分5.1和3［解析］。。.丙说他的卡片上的数字之和不是5’...丙卡片上的数字可能是1和2’或者是l和3.又。.。乙说他与丙的卡片上相同的数字不是l,。。.数字是2和3的卡片必定在乙手中。.。。甲与乙的卡片上相同的数字不是2］...甲的卡片上的数字只能是1和3.［测〗｜｜诊断］（1）本题考查了逻辑推理’难度较小.（2）本题需认真审题,避免粗心出错.6—1,-2,＝3（答案不唯—）［解析］由题意知］α〗b,c均小干0,可以找到满足题意的＿组数据:＿］’-2’-3.［测‖‖诊断］本题难度稍大』主要考查利用特例来半｜」断命题真假‖考查简单推理能力］题目具有开放′｜生］意在让部分考生得分.刷大题｜1（1）［解］l,3’5］6.（答案不唯—）（2）［证明］设长度为q末项为“″0的—个递增子歹‖为α′!,α『2〕…,α′,｜,α厕0.由p＜q,得α7≤α厂9ˉl＜α厕0.因为｛α厕｝的长度为p的递增子歹‖末项的最小值为α厕0,又αrl,α厂2〕…,α印是｛α厕｝的长度为p的递增子歹‖’所以α砸0≤α′p。所以αm0＜α厕0.（3）［解］由题设知,所有正奇数都是｛α厕｝中的项.先证明:若2m是｛α＂｝中的项,贝｜」2′′o必排在2′n—1之前（m为正整数）.假设2m排在2m—1之后设αpl’αp2’…,αpmˉl,2加ˉl是数歹‖｛α厕｝的长度为m末项为2′nˉ1的递增子歹‖,则αp］,αP2,…〕α′咖ˉl’2′n—1,2加是数列｛α″｝的长度为m＋l末项为2m的递增子列与巴知矛盾再证明:所有正偶数都是｛α厕｝中的项假设存在正偶数不是｛α厕｝中的项,设不在｛α＂｝中的最小的正偶数为2m.因为2k排在2内-1之前（∧＝1,2］…’加—1）］所以2内和2∧—1不可能在｛α则｝的同—个递增子歹‖中.又｛α厕｝中不超过2m＋l的数为1’2‖…,2mˉ2,2′nˉ1〕2m＋l,所以｛α＂｝的长度为m＋1旦末项为2m＋1的递增子歹‖个数至多为2×2×2×…×2×1×1＝2咖ˉl＜2砸°（m＝l）个与巳知矛盾最后证明:2m排在2m＿3之后（m≥2为整数）.假设存在2m（m≥2）’使得2m排在2m-3之前,贝｜｜｛α″｝的长度为m＋1且末项为2m＋l的递增子歹‖的个数小于2m.与已知矛眉综上’数歹｜」｛α″｝只可能为2,］’4’3,·.,,2加ˉ3’2m’2m-l’….经验证,数歹‖2’1』4,3,…,2矾ˉ3〕2加’2m-l,…符合条件所以醚,≡｛‖土｜漓爵｜［关键点拨］正确理解新定义’准确提取信息,剥去新定义｀新法则｀新运算的外表!利用所学知识将其转化为对已学知识的应用2［解］（1）设等比数列｛α厕｝的公比为q,所以αl≠0,q≠0..｛:;鲸:γ蛔｜≡叭得｛:｜间｛）…｜≡0』懒得｛;｜豆l因此数歹‖｛α″｝为｜｜Mˉ数列＂。（2）o因为击÷贡,所以』产α由b｜≡1｀s｜-‘｜,得＋-＋—÷』则b』≡26n6″＋l由h二÷病,得s厂2（b呻｜ˉ』鹏）』b几bn＋lb厕ˉ1bn当n≥2时!由6＂≡S＂—S网ˉl］得b皿＝2（b网＋l-6″）2（bn-b测ˉ1）!整理得b则＋l＋6则—l＝2b＂。所以数歹｜｜｛b厕｝是首项和公差均为1的等差数列因此,数列｛b腮｝的通项公式为b厕＝″（n巨N＊）.@由o知］6隐≡A,∧匡N＊.因为数列｛c厕｝为』M—数列｜〕设公比为q,所以cl＝1‖q＞0.因为Ck≤b‖≤c几＋l,所以q‖—l≤k≤qk］其中∧＝1‖2,3,…］m当k≡l时,有q≥1;当账＝2』3』≡』m时』有乎≤｜n,≤挡设j（瓣）＝竿（瓣＞］）』则′′（聪）二］笋令／′（勿）＝0］得匆≡e.歹‖表如下;憋｜（1,e）｝＝ˉ-～ˉ～≡ˉ十＝ˉ＝—ˉˉˉ-ˉ←ˉ≡＝ˉ≡-≡-ˉ＋0「卯」｝＋＝～～＝～→≈＝≡～＝寸～＝■～＝～≈≈…≡≡～～＝＝己＝≡己°二～≈～～＝十～0』匆）｜刀（e,＋鲍）｀｀~u（e｀＋鲍）e0极大值／′（勿）~~~~~~~~~~~／（x）＝〗■■【『■［『因为等＝竿＜竿二等』所以／（胀｜…二／｜3｜＝罕取g＝打』当胀＝｜’2』3』4』5时』竿≤ln,』即腑≤√』经检验知√ˉ』≤片也成立因此所求m的最大值不小于5.若加≥6!分另｜」取片＝3,6,得3≤q3!且q5≤6］从而ql5≥243’且ql5≤216］所以q不存在因此所求m的最大值小于6.综上!所求″l的最大值为5。［关键点拨］利用等比数歹‖的通项公式建立方程组以及读懂新定义,@微信公众号：嗨呀同学答案及解析性、导数应用｀数学归纳法｀不等式及其应用等知识』考查推理论证能力｀分析问题和解决问题的能力］综合性很强,是区分度较大的题目,意在让少部分考生得分.4（1）［解］G（A）的元素为2和5.（2）［证明］因为存在α＂使得α″＞αl］所以｛t巨N＊｜2≤j≤Ⅳ,α《＞αl｝≠z.记m＝mjn｛!巨N＊｜2≤j≤Ⅳ,α血＞αl｝,贝｜」m≥2!且对任意正整数片＜m!α庶≤αl＜αm’因此meG（A）,从而C（A）≠z.（3）［证明］当α川≤αl时,结论成立.设αⅣ＞αl.由（2）知G（A）≠z.设G（A）≡｛Ⅶl,n2,…‖np｝,测l＜n2＜...＜n′,记n0＝］,贝｜」α″O＜αnl＜α侧2＜.ˉˉ＜αnp。对j≡0’1,…,p,记G《＝｛k匡N＊｜n!＜内≤Ⅳ,αk＞αn『｝。如果G』≠2］取m血＝minG!］贝｜」对任何］≤片＜′n《,有α‖≤α皿‘＜α顾‘］从而mj巨C（A）且m肛＝Ⅶ!＋l.又因为np是G（A）中的最大元素］所以Gp＝z.从而对任意n′≤片≤Mα儿≤α皿′,特另｜」地］α」v≤α＂p.对j≡0’l’ˉˉˉ,p＝1’α网j＋lˉl≤α见卤。因此α厕《＋l≡α＂‘＋lˉl＋（α叫＋l-αn血＋lˉl）≤α网卤＋1.p所以α″ˉαl≤α＂′ˉα!＝∑（α咐ˉα陶—l）≤p.〔＝l因此G（A）的元素个数p不小于αⅣ-αl。［刷盲所得］压轴题目’灵活性强,需要考生具备很强的数学功底和创新能力.［测‖｜｜诊断］（1）本题难度很大’属于数列新定义题型（2）考生不易得分.利用等价转化思想对新定义等价转化］将陌生问题转化为熟悉问题是本题的解题关键［证明］（l）用数学归纳法证明;xn＞0.当n＝l时］霓l＝l＞0。假设当n二闪时’匆片＞0!那么当＂≡片＋1时,若-1＜zk＋l≤0,则匆k＝匆腮＋l＋ln（1＋勿k＋l）≤0!矛盾,故靴＋l＞0.因此腮＂＞0（n巨N＊）.所以鳃皿≡卯＂＋l＋ln（l＋x见＋l）＞zn＋l。因此0＜苑忍＋l＜z网（n巨N＊）.（2）由匆厕≡则网十1＋ln（1＋z侧＋｜）｛得厕厕x叶lˉ4躯＂带l＋2狮＂＝财:带lˉ2”叶l＋（厕″带l＋2）ln（1＋颜叶l）.记函数／（嘶）＝匆2-2z＋（z＋2）ln（1＋x）（如≥0）!则′（蕊｜-禁竿十ln（｜十露）＝0｜蕊≥0｜』函数／（鳃）在［0!＋切）上单调递增］所以／（如）≥／（0）＝0,因此“:别—2鳃鹏刊＋（卯厕刊＋2）ln（1＋“叶l）＝／（躯砷l）≥0’故2x＂辨｜ˉ鳃厕≤玉夸旦（＂匡N.｜（3）因为卵＂＝虹″＋l＋ln（l＋匆腮＋l）≤鳃鹏＋l＋卯＂＋l＝2x＂＋l’1所以x″≥可7＝了.凸由（2｜巾腮′宁却…厂魏』得六ˉ＋≡2（÷—＋）＞0』所以古ˉ＋＝2（六ˉl）＝2鹏ˉ｜（六＿＋）二…,…≤六综上｀六…六（鹏筐N,‖［关键点拨］第（l）问利用数学归纳法证明不等式’第（2）问构造函数／（z）＝匆2—2卿＋（匆＋2）ln（l＋如）〗运用导数确定单调性从而证明不等式,第（3）问禾｜」用不等式ln（如＋1）≤露进行放缩.［测‖｜｜诊断］本题难度较大,主要考查数列的概念、递推关系与单调3专题十四数系的扩充与复数的弓｜入快速解答本题如果出错］可能是计算（1＋i）（1—i）＝12—i2＝2出错1＋4i＋4i25D［解析档＿（｜ˉ2i）（l余2∏＝5ˉˉ÷带÷i』故选D。［测‖｜｜诊断］本题难度较小‖考查复数的概念与复数的运算,意在让大部分考生得分。6D［解析］（1＋i）（2—i）＝2＋2i-i—i2＝2＋i＋1＝3＋i.故选D.［测‖｜｜诊断］（1）本题难度小,考查复数的运算,意在使大多数考生得分.（2）本题不应错!若错,则是忽略了i2＝-1。7B［解祈］对于命题′｜,由÷筐R』得六霍R』即赤霍R…R』..。z巨R!故pl为真命题;对于命题p2!显然i2＝—l巨R,但i筐R,故p2为假命题;对于命题p3,显然zl·3zl≡3｜zl｜2≡R’但当zl≠0时,zl≠3zl’故p3为假命题;对于命题p4’z≡R‖则云巨R,p4为真命题故选B.［测‖｜｜诊断］（1）本题难度小］主要考查复数的概念｀复数的四则运算｀共扼复数｀命题真假的判定等知识‖考查对定义的理解｀运算求解能力｀推理论证能力’意在让大多数考生得分。（2）本题若出错,可能是对复数的概念掌握不熟.考点34复数的概念与运算‖刷小题0。c［解析］本题考查复数的模及复数的几何意义方法—:设z＝绷＋γi!贝｜」由｜z一i｜＝l可得｜如＋（γ-1）i｜≡l!即√露2＋（yˉ1）2≡1,可得勿2＋（γˉ1）2≡1方法二:｜z—i｜＝1表示复数z≡x＋yi对应的点（鳃］y）至｜」复数i对应的点（0!1）的距离为l,即匆2＋（y-1）2＝1.［关键点拨］方法—;｜z｜＝｜则＋yi｜＝√Pˉ工了丁.方法≡;复数施＋yi与复平面上的点（卯］γ）—对应2c［解析］本题考查复数的几何意义及共扼复数的概念.。。z＝-3＋2i］。。~z＝-3ˉ2i’则复数z在复平面内的对应点（-3!-2）在第三象限〗故选C。［快解］z＝ˉ3＋2i在复平面内的对应点（＿3,2）在第二象限,又复数z与复数z在复平面内的对应点关于卯轴对称］故选C.2i3.D［解析］本题考查复数的四则运算依题知,z＝Iˉ干了≡2i（1＿i）2i（1-i）≡1＋i.故选∏≡≡（1＋i）（1-i）2［快解］将等式z（1＋i）＝2i两边同乘（1-i）,得2z＝2i（l—i）’...z＝i-i2＝l＋i!故选D4C［解析］←针2i＝｜l—i）2｜2ˉi2＋2i＝子＋2i≡i』八｜墓｜＝l［测‖｜｜诊断］本题难度小』主要考查复数的运算和复数的模的概念,意在让大多数考生得分如果熟知结论摆二—i』涪＝i｀就可以更sD［解狮］带｜荆｜｛二‖≡3ˉ3…1≡2—i放选n2［测‖｜｜诊断］本题难度小’主要考查复数的四则运算’考查运算求解能力〗意在使大多数考生得分.2i2i（1—i）＝2』二丝＿2＋21吕＝夏题分类集训@~微信公众号：嗨呀同学高考必刷题舅题分类集训数学（理）［刷百所得］在解决与复数的概念有关的问题时,必须先将复数化为z＝α＋6i（α,6巨R）的形式注意对复数相关概念的理解］注意分类讨论思想｀数形结合思想的灵活应用。［测‖｜｜诊断］本题难度小,主要考查复数的运算和复数的几何意义,考查简单计算能力｀转化与化归能力］意在让大多数考生得分.‖9.∧［解析］.·α巨R,z＝α＋何i,...z＝αˉ√7i...z·云≡（α＋√可i）（α-√可i）≡α2＋3＝4...α≡土1故选A.［快解］...z。云≡｜z｜2,z≡α＋√5i,...｜z｜2＝α2＋3≡4..·α≡±1.［刷盲所得］若复数z≡α＋bi（α］6eR）,贝｜｜云＝α-6i!｜z｜2≡z·云.［测0｜｜诊断］（1）本题难度小,主要考查共扼复数的概念及复数的乘法运算’考查运算求解能力,意在让大多数考生得分.（2）本题若出错’主要是对共矩复数概念理解有误20.｀／I可［解析］本题考查复数的运算和简单的几何意义焉｜＿‖混｜｜｜二｛｜｜-｜2—』｛｜—√2』＋｜—』｜』-陋l＋i,...｜z｜≡徊.方法二:令z＝α＋bi（α,6巨R）’则（1＋i）。（α＋bi）＝2i!展开得（鹏ˉb｜＋｜叶』｜!二2!昨｀｛:平!二!｜..◇α＝b＝l·.。.愿≡1＋i....｜z｜＝抠.［测‖｜｜诊断］本题难度小〕主要考查复数的乘除运算,意在让大多数考生得分.‖OB［解析］由（1＋i）鳃＝1＋yi得x＋熊i＝1＋yi,。.。绷,y是实数〕...匆＝y≡1,...｜z＋yi｜＝｜1＋i｜＝√豆.故选B［测0｜｜诊断］本题难度易｛主要考查复数相等及复数的模的计算,意在让学生得分.｜M［解析］≡平圃内对……象隅｀｛孵二‖｜解得—3＜加＜1...。实数m的取值范围是（-3,1）.故选A。［关键点拨］明确复数与复平面上的点的对应关系［测0｜｜诊断］本题较易〕主要考查复数的几何意义’由此列出不等式组!求解即可属于送分题｜2c［解析］由怎二｜带2i』得…5』八击二÷二i故选o［测‖｜｜诊断］（1）本题难度较小‖主要考查复数的概念｀复数的运算.（2）本题若失分,主要是对复数概念理解不清楚和计算错误｜虱A［解祈］去分母得｜擂＝训｜ˉ凰｜’即＝吕二（｜↓｛「｜j｜i｜｜吕＝当＝h’从而｜舅｜＝√6:＿∏了≡l放选A［刷百所得］准确运算,特别是复数的除法,是处理复数问题的关键此外’要熟记;i4∩＝1‖i4n＋｜＝j!i4n＋2＝—1!i4n＋3＝-i°［测‖｜｜诊断］本题难度较小,主要考查复数的四贝｜」运算、复数的模,考查学生的运算求解能力.T4B［解析］.。.（2＋αi）（α＿2i）＝4α＋（α2—4）i≡ˉ4i,＾｛!;三!告—‰解得α≡0。故选B［测训诊断］本题难度较易,考查的是复数的四则运算和复数相等的充要条件,计算过程中要细心,本题意在让学生得分.‖5.D［解析］本题考查复数的概念及运算·.。.z＝2＋i〕..。z＝2—i］。.z.z＝（2＋i）·（2-i）≡4-i2≡5,故选D。［快解］..。忽≡2＋i,...z·云≡｜z｜2≡22＋12≡5,故选D.｜6D!解析｝击＝宁＝＋带÷』莫共辊复数为lˉ＋i’＾在百√~~顾—徊~~●■Ⅲ■】且＿＋日】~~狗—…‖快解］［关键点拨］把求解的复数化为α＋bj（α‖b巨R）的形式』再解决其他问题2｜粤［解祈］本题考查复数的四则运算及模长的计算…丙≡1（!带‖｜（!ˉ!｜ˉ＋ˉ＋i雕｀｜慧｜≡√＋＋乒1-i222［解析］本题主要考查复数的运算｀实部的概念因为复数（α＋2i）（1十i）＝αˉ2＋（α＋2）i的实部是0!所以αˉ2≡0〕解得α≡2［关键点拨］复数α＋6i（α,b巳R）的实部是α°2a4ˉ!［解祈］豁ˉ｜糊｜｜｛二i‖型了里-4ˉⅨ■＝［刷百所得］求解此类问题的关键是“运算关＂!即熟练掌握复数的四贝｜」运算24｀2［解析］复数z＝兰旦1＝（1＋2i）.i＝2ˉi’则它的实部为2.i·i［关键点拨］利用复数的除法运算法则化简复数］得到复数的最简代数形式后即可得实部［刷盲所得］复数的除法运算法则是分子｀分母同时乘分母的共辆复数,即分母实数化［测训诊断］（1）本题难度小,考查复数的除法运算以及复数的概念,意在使大多数考生得分.（2）本题不应错,若错,可能是计算错误导致的25ˉ2［解析］若磊＝（αˉi｜（2ˉi）＝22二1ˉ竿i是实数’则55宁＝0,解得α＝—2｛关键点拨］熟悉复数的分类’如虚部为0的复数是实数是关键［刷百所得］复数的除法运算法则是分子、分母同时乘分母的共扼复数,实质是分母实数化。［测‖｜｜诊断］（1）本题难度小』主要考查复数的除法运算和复数的分类,考查考生对概念的理解以及运算求解能力,意在让多数考生得分.（2）本题不应错］若错可能是概念理解错误或运算错误造成的.2652［解析｝..（α＋bi）2≡α2＝b2＋2αbi≡3＋4i］...α2—62≡3〕且.0—2』解得｛;二;』或｛;二;!…臃-5』碰-2［关键点拨］求解本题的关键是由复数相等构造α和6的等式关系’从而计算出α2＋62和αb的值［测‖｜｜诊断］本题难度适中,主要考查复数相等｀复数四则运算,考查运算求解能力、转化与化归能力｀函数与方程思想,意在让多数考生得分.复平面内,共辗复数对应点的坐标为（＋』ˉ÷）』在第匹象限故选D［刷盲所得］（l）复数的除法运算的关键是分子｀分母同乘分母的共辆复数（2）在复平面内,复数与其共扼复数的对应点—定关于实轴对称.wE［解析］设＝台,则＝u兰｜芹!∏ˉ竿≡｛带｛,＾:＝」ˉi.故选B。［测‖｜｜诊断］（l）本题难度小,考查复数的运算及共矩复数的概念（2）本题不应错,若错,可能是运算出错或共扼复数的概念不清］8B［解析］因为（1-i）（α＋i）≡α-αi＋i＋1＝（1＋α）＋（1—α）j』该…复平圃……露二象限｀所以｛｝土:二‖｜即｛:二〔｜,所以感←!』副‖实数鹏的…圈是｜＿函』ˉ!｜故透＂［关键点拨］求解本题的关键是通过计算将复数化为标准的代数形式!禾｜」用对应点在第二象限转化为关于α的不等式组求解@微信公众号：嗨呀同学答案及解析27.｀／I∏［解析］复数z＝l＋2i＋j-2≡ˉl＋3i,则｜z｜＝√（ˉl）2＋32＝√∏［快解］（性质法）｜z｜≡｜1＋i｜·｜l＋2i｜＝徊×占＝√I∏.［测0｜｜诊断］（1）本题难度小,主要考查复数的运算’考查考生的运算求解能力］意在让多数考生得分.（2）本题不应错,若错可能是运算错误造成的坐标系与参数万程专题十五坐考点35坐标系与参数方程刷小题0.D（解析］本题考查参数方程与普通方程的互化!点至｜」直线的距离公式将直线『的参数方程消去参数t得普通方程4勿—3y＋2≡0’点（｜』0倒′的距离为｜祟考｜-÷》…［关键点拨］通过代入法消去参数’将参数方程化为普通方程］然后禾」用点到直线的距离公式计算2c［解祈｜方法→｛》＝:撕x2却』ˉ!,＾点尸…圆上勺圆心（0』0｜到直线鳃＿叼ˉ2＝0的距离则二7贡÷亏』当″′二0时,d取最大值2°.°。圆上-点到直线的距离的最大值为1＋2＝3.故选C.方满二′｛》二;栅露:辨′ˉ｜』＾点′在巢位圆上。·‘直线如＝mγˉ2＝0恒过定点（2!0）!如图!当直线与勿轴垂直时,圆心到直线的距离最大,为2!.。。圆上-点到直线的距离的最大值为1＋2＝3.故选C.｜二着＼…′直线▲所以圆心C（1,0）］半径厂≡］通方程为冗＋y—2＝0』所以点C（1!0）至｜」直线匆＋γ-2＝0的距离〃＝抠＝＝2!｜1-2厄〗）徊丁／′■‖＼∑■』√刘所以｜AB｜＝2√尸ˉ＝了丁＝＝徊,~抠l所以△AEc的面积为÷MB｜.‘＝÷×徊×丁＝丁［测0｜｜诊断］本题难度适中,考查参数方程化为普通方程,圆的—般方程和标准方程,直线与圆相交的弦长,三角形的面积,意在让部分考生得分°6.1［解析］圆p2ˉ2pcos0ˉ4psin0＋4≡0的直角坐标方程为“2＋广ˉ2卿ˉ4y＋4≡0』即（〃ˉl）2＋（yˉ2）2＝1』所以圆是以点C（l）2）为圆心,1为半径的圆点P在圆外!点P至‖圆心C的距离d＝2!所以｜AP｜min≡｜CP｜＝1＝2＝1＝l·［测‖｜｜诊断］本题难度适中!主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化｀点与圆的位置关系!考查数形结合思想｀转化与化归能力,意在让部分考生得分.叭2［解祈］直线方程可化为鞭（粤…带＋…）刊-0』整理得2√5Pcos0＋2Psin0＋1＝0,其直角坐标方程为2√可厕＋2y＋1＝0.圆p≡2sin0的方程即为p2＝印sin0,其直角坐标方程为x2＋／＝2y,即为膊2十（γ—l）2＝l』圆心（0』l）到直线的距离d＝÷＜l’则富线与圆相交,即直线与圆的公共点的个数是2.［关键点拨］正确将极坐标方程化为直角坐标方程,结合直线与圆的位置关系判定直线与圆的公共点的个数是关键.［测‖｜｜诊断］（l）本题难度适中,主要考查曲线的极坐标方程｀直线与圆的位置关系’考查考生的运算求解能力,意在让部分考生得分.（2）本题若错可能是极坐标方程与直角坐标方程的互化公式掌握不牢或运算错误造成的｜刷大题｜肌［解］（｜）因为ˉ｜＜蒜≤｜』且蕊』十（÷）婴-（糕）』辨（1芳｜』-!,~,所以c的直角坐标方程为瓣2＋÷＝l｜鳃≠ˉl卜′的直角坐标方程为2鳃＋√5y＋11＝0,｜2｜由｜｜问设c的参数方橇为｛）二跳（α为参数,ˉ…＜丽｜c上的点到′的距离为｜2…十狙…＋ll｜＝4e。鼠（α—÷）＋｜l打行当α＝—铲时,…（α—÷）＋ll取得最小值7｀故c上的点剑!更离的最小值为打.寞题分类集‖｜｜y↑卯＝mv＋2＝0｜∩冗＝乙［关键点拨］明确点P的轨迹是单位圆!圆上—点到直线的距离的最大值是圆心至｜」直线的距离加上半径.3÷［解析］本题考查圆的参数方程宣线与圆的位置关系由圆的参数方程可知圆的圆心坐标为（2!1）,半径为2.由直线与圆相切,得.』囤…距离等于半径』郎糕＋｜～……｜～鞭』＋4｜解得α二÷［关键点拨］根据圆的参数方程确定圆的半径和圆心坐标,再根据直线与圆相切的条件得出α满足的方程’进而求解［刷盲所得］直线与圆的位置关系可以使用判别式法,但—般是根据圆心到直线的距离与圆的半径的大小作出判断41＋√百［解析］.Pcos0＋psin0＝α’...则＋yˉα≡0,...p≡2cos0》.＝。p2＝2pcos0］·..腮2＋广＝2厕,即（觅ˉ1）2＋广＝1..ˉ,直线与圆相切,＾圆心（」』0｜到直线的距离′＝｜!亏｜＝!’＾1ˉ“＝辈沤又…0〕。..α＝1＋徊。［关键点拨］分另｜」将直线和圆的方程化为直角坐标方程］由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径列式求解即可［刷盲所得］与极坐标方程有关的题目常常转化为直角坐标方程求解5÷［解析］将圆卿2＋γ2—2鳃＝0化为标准方程得（颠—l）2＋y2＝l』@微信公众号：嗨呀同学高考必刷题夏题分类集训数学（理）2tan÷lˉtan2÷［快解］利用万能公式sinα＝叁,cosα＝鱼’求C的l＋!an2÷l＋!an2÷1-Z24t直角坐标方程令』＝｜an÷』则躯＝…＝Iˉ下Ir’y＝2sinα＝＿1＋‖2,则c的直角坐标方程为腮2十（÷）2＝｜（鳃≠ˉ｜）［易错鳖示］解答本题的易错点有（1）化曲线C的参数方程为直角坐标方程时,易忽视未知数狐的取值范围｜（2）消去参数t时’由于参数方程较为复杂,找不至｜」消参的方法。2［解］（l）因为删（p0’0o）在C上’当00＝÷时’p0＝4sm子＝蛔由已知得｜OP｜＝｜OA｜cos子＝2设Q（p‖0）为′上除P的任意—点.在R［△oP0中』…（0ˉ子）二｜o′｜＝2经检验点P（2｀÷）在曲线…（0ˉ于）＝2上所以』′的极坐标方程为…（0ˉ子）＝2（2）设P（p!0）,在Rt△OAP中!｜OP｜≡｜OA｜cos0＝4cos0’即β＝4cos0.因为P在线段o″上』旦AP上o＂’故0的取值范围是［子』÷｝所以』P点轨迹的极坐标方程为p≡4c。s0’0匡［于÷｝a［解］（1）由题设可得,弧晒,玩,而所在圆的极坐标方程分另｜」为p＝2cos0‖p＝2sin0］p＝-2cos0.所以′M!的极坐标方程为′＝2…（0≤‘≤于）』″2的极坐标方程为′＝2sin0（子≤0≤￥）』删］的极坐标方程为′＝ˉ2c°.0（乎≡0≤丽）（2）设P（p,0）,由题设及（1）知若0≤β≤子』则2cos0＝√可’解得0＝÷;若子≤0≤乎』则…二何』解得0＝哥或0＝宁｜着￥≤0≤丽』则—2…＝何’解得β＝于综上｀P的极坐标为（徊』÷）或（打』÷）或（徊’午）或（徊』干）［关键点拨］（1）写出弧所在圆的极坐标方程后,注意标注定义域（2）｜OP｜即为曲线上的点P至｜」极点的距离,其实质为点p的极径4［解］（1）由匆＝pcos0］y＝psin0得C2的直角坐标方程为（卿＋1）2＋广＝4·（2）由（1）知C2是圆心为A（-1,0）,半径为2的圆.由题设知,Cl是过点B（0,2）且关干y轴对称的两条射线记y轴右边的射线为′l’y轴左边的射线为′2。由干B在圆C2的外面］故Cl与C2有且仅有三个公共点等价于′l与C2只有—个公共点且′2与C2有两个公共点,或l2与C2只有—个公共点且′l与C2有两个公共点当』l与C2只有—个公共点时,A到′l所在直线的距离为2,所以｜＝k＋2｜√p了丁二2』故k＝ˉ÷或腮＝0经检验』当k＝0时』′｜与C2没有公共点;当胀＝＿÷时’′｜与C2只有—个公共点』′2与C』有两个公共点当′2与C2只有—个公共点时’A至｜］′2所在直线的距离为2,所以片祟—2｀鼓腮≡0或k÷经检验当＂-0时,′』与c』没有公共点;当附二÷时』′2与c2没有公共点综上』所求c!的方程为’＝÷｜躯｜十2［关键点拨］本题的关键是把曲线Cl与圆C2有≡个公共点转化为′l与圆有两个公共点,『2与圆有—个公共点或′l与圆有—个公共点,′2与圆有两个公共点分情况讨论可求出片的值再进行验证即可［测〗｜｜诊断］本题难度适中］考查极坐标方程与直角坐标方程的互化］考查直线与圆的位置关系的判定］考查点到直线的距离公式225I解］（l）曲线C的直角坐标方程为f十六＝l当cosα≠0时,′的直角坐标方程为γ＝tanα°厕＋2—tanα］当cosα＝0时,′的直角坐标方程为勿＝1.（2）将』的参数方程代入C的直角坐标方程’整理得关于′的方程（1＋3cos2α）』2＋4（2cosα＋sinα）tˉ8＝0.O因为曲线C截直线′所得线段的中点（1,2）在c内,所以O有两个解］设为tl,』2,则tl＋』2＝0.4｜2「删:｜iα）』故2…十瓢nα＝0』于是直又由@得′l＋′2≡—线′的斜率∧＝tanα≡＿2.［关键点拨］（l）利用sin20＋cOs20≡l消去参数0即可得曲线C的直角坐标方程,直线′消去参数Z可得』的直角坐标方程〗注意分cosα＝0和cosα≠0讨论（2）将′的参数方程代入C的直角坐标方程,可得关于t的—元二次方程,再结合′的几何意义求出直线的斜率［刷盲所得］化参数方程为普通方程主要是消参,可以利用加减消元、平方消元、代入法等;在极坐标方程与参数方程的条件下求解直线与椭圆的位置关系问题‖通常将极坐标方程化为直角坐标方程‖参数方程化为普通方程来解决］遇到求曲线交点、距离｀线段长等几何问题时］求解的—般方法是分另｜」化为普通方程和直角坐标方程后求解!或者直接利用极坐标的几何意义求解要结合题目本身特点,确定选择何种方程.6［解］（1）○O的直角坐标方程为邱2＋y2≡1当α＝等时』′与○O交于两点≡当α≠子时’记tanα＝R’则』的方程为γ＝儿“ˉ徊.′与○O交于两点凸徊当且仅当＜l』解得隐＜—l或陶＞h』即α匡（于』÷）或α.√T丽r）浙—斗’而—’＝（综上』α的取值范围是（子｀￥）｜2｜′的参…为｛》二′靴…（′为参数』÷…￥）设A』B’P对应的参数分别为』＂』』′』』′』贝‖‘′,＝缴芋圆』且翔』』’满足＝』2—2厄′sinα＋1＝0。于是ⅡA＋′B＝砸sinα’1p＝√百sinα,又点P的坐标（腮,y）满足｛》圭n…所以点P的轨迹的参数方程是~～｛型…｜…于…等｝@微信公众号：嗨呀同学々~苔案及解析T0。［解］（1）消去参数j得至｜」Cl的普通方程匆2＋（yˉ1）2≡α2。Cl是以（0,1）为圆心〕α为半径的圆.将绷≡pcos0’y＝psin0代入Cl的普通方程中〗得至｜」Cl的极坐标方程为p2—2尸sin0＋1-α2＝0.（2）曲线Cl,C2的公共点的极坐标满足方程组｛麓:i;0带｜—.』二0｀若p≠0］由方程组得l6cos20-8sin0cos0＋1-α2＝0.由已知tan0＝2,可得16cos20-8sin0cos0＝0,从而1＿α2＝0,解得α＝-1（舍去）〕或α≡l当α＝1时］极点也为C1］C2的公共点,在C3上.所以α＝1.［刷盲所得］对于极坐标系下的曲线方程求交点坐标’就是把它们的极坐标方程联立］解p］0.［测0｜｜诊断］（l）本题难度中,主要考查参数方程｀直角坐标方程｀极坐标方程的互化’对学生来说难度不大.（2）本题可以利用求两圆公共弦方程的方法求解］学生也容易得分.T‖.［解］（1）由勿＝pcos0,y＝pSin6可得圆C的极坐标方程为p2＋12pcos0＋11≡0.（2）在（l）中建立的极坐标系中〗直线′的极坐标方程为0＝α（p巨R）.设点A,B所对应的极径分别为pl,p2』将′的极坐标方程代入C的极坐标方程得p2＋12pcosα＋11＝0］于是pl＋p2≡-12cosα,PlP2＝1l。｜AB｜＝｜p!ˉp2｜＝√（pl＋p2）2＿4plp2＝√lq4COS2αˉ“由M‘｜-呵,得c°慰』α-;…ˉ辈罕所以′的斜率为罕或＿罕［测‖｜｜诊断］（1）本题考查了直角坐标方程和极坐标方程的互化,也考查了直线与圆的弦长问题,题型稳定（2）本题难度适中,直线斜率存在］可表示出直线方程,再利用垂径定理’建立等量关系］可求出′的斜率｀2［解］（!）c｜的曾通方橇为÷广-1C2的直角坐标方程为绷＋γ-4＝0。（2）由题意,可设点P的直角坐标为（徊cosα‖sinα）.因为Q是直线!所以｜PQ｜的最小值即为P至｜」C2的距离d（α）的最小值因为‘｜α｜二」徊…带…ˉ4｜-抠｜瓢l（α号）ˉ2｜』徊所以当且仅当α＝2肺＋÷（险筐Z）时’励（α）取得最小值,最小值为抠,此时点P的＝坐标为（÷』＋）［测‖｜｜诊断］（1）本题难度适中,主要考查参数方程与普通方程’极坐标方程与直角坐标方程的互化］以及与椭圆有关的最值问题（2）本题若出错］主要是第（2）问不能借助椭圆的参数方程合理转化’导致思维受阻。03.［解］（1）因为彭≡pcos0,y＝psin0,所以Cl的极坐标方程为pcos0＝-2,C2的极坐标方程为p2-2尸cos0—4psin0＋4≡0.（2）将β＝矛代入p2ˉ2pcos0ˉ知sinβ＋4＝0’得P2ˉ3仰＋4＝0’解得pl＝2√ZP2＝√豆.故P｜ˉP2＝√Z即｜MV｜＝抠。因为c2的半径为｜』所以△c2Mv的面积为÷夏题分类集训A［刷盲所得］解决参数方程问题时,考生要熟练掌握直线、圆、圆锥曲线的参数方程的建立过程〗特别要明晰直线的参数方程中参数的几何意义,熟练掌握参数方程与普通方程互化的常见方法］学会在互化中寻找解题方案｀优化解题思路。」礼叭［解］（｜｜曲线c的普通方程为÷坷2≡］』当α≡-］时’直线′的普通方程为x＋4yˉ3＝0｛剪臃仁‖慰（羞由从而c与!的交点坐标沟（3』0｜』（＿备,器）A｛L睡叶｀轧（2）直线／的普通方程为抛＋4y＿α-4＝0］故C上的点（3cos0,sin0）到′的距离α＝｜3cos0＋4sin0-α-4｜√l7当α≥ˉ4时』刨的最大值为g兰’由题意得旦兰＝√I7』所以α＝8｛√17√17当“＜—4时』感的最大值为芒｜』由题意得荒｜≡历』所以√l7α＝-16.综上］α＝8或α＝-16.［测‖｜｜诊断］本题难度适中,主要考查椭圆的参数方程与直线的参数方程化为普通方程｀直线与椭圆交点的坐标｀点至｜」直线的距离等知识〕考查运算求解能力、转化与化归思想］意在让部分考生得分.［解］（1）设点P的极坐标为（p,0）（p＞0）〕点M的极坐标为（pl,0）（p1＞0）。4由题设知｜OP｜＝p,｜OM｜≡pl＝—COS0由｜OM｜.｜OP｜＝16得Q的极坐标方程为p＝4cos0（p＞0）。因此C2的直角坐标方程为（卿ˉ2）2＋广≡4（z≠0）.（2）设点B的极坐标为（pB〗α）（pB＞0）.由题设知｜OA｜＝2,P′＝4coSα’干是△OAB的面积S＝÷｜OA｜。′B.丝…“～4…卜n（·ˉ子）｜～2｜翅n（蛔—÷）ˉ粤｜≡…当α＝ˉ舌时’S取得最大值2＋厄所以△OAB面积的最大值为2＋何.［测‖｜｜诊断］本题难度适中〗主要考查极坐标的基本概念、直角坐标方程与极坐标方程的互化、圆的性质,考查转化与化归能力｀数形结合思想、运算求解能力〕意在使部分考生得满分.［解］（1）消去参数t得直线′l的普通方程′l:y＝k（嘶-2）;消去参数腮得直线′2的普通方程′鸳!y二＋（躯带2卜｛辈｜九…’—…＂）设P（z’γ）!由题设得所以C的普通方程为撼2-y2≡4（y≠0）.（2）C的极坐标方程为p2（cos20—sin20）＝4（0＜0＜2∏,0≠∏）.~飞~8~~~9气＾句｛β‖:!;!::!熄o得…—…｜…＋…｜联立故…＝ˉ十』从而c。s20＝片』sin』0≡古代入p2（cos20-sin20）≡4得p2＝5,所以交点M的极径为√百.［测0｜｜诊断］本题难度中等’主要考查参数方程与普通方程｀极坐标方程与直角坐标方程的互化!意在使大多数考生得分若出错,很可能是消参出错@微信公众号：嗨呀同学高考必刷题夏题分类集训数学（理）［关键点拨］直角坐标方程与极坐标方程的互化］可依照公式z＝PCOs0,y＝PSin0,p2＝X2＋广’tan0≡ˉ匹进行｛而处理相关的长度｀卯距离问题,可先将极坐标方程转化为直角坐标方程,视要求转化结果对于求直线与圆或其他圆锥曲线相交的相交弦问题,视情况可用直线的参数方程中参数的几何意义［测0｜｜诊断］本题难度较易,主要考查直角坐标方程化为极坐标方程、三角形面积,考查学生的运算求解能力。04［解］（1）曲线C2的直角坐标方程为勉2＋y2-2y≡0］曲线C3的直角坐标方程为斯2＋y2-2／可如≡O仁i）,立｛堂｝Ⅲ撑＂｛赡停｛｝二‖｜.厩以c』与c』交点…坐标为（0』0｜和（粤’÷）（2）曲线C｜的极坐标方程为0＝α（p巨R!p≠0）,其中0≤α＜∏。因此点A的极坐标为（2sinα’α）,点B的极坐标为（2／可cosα,α）.″以｜捆｜～｜』…—蛔…｜≡小炯（醚ˉ÷）｜当α＝子时｜M‘｜取得最大值′最大值为钒［关键点拨］因为C｜是过原点,倾斜角为α的直线’r≠0,所以原点不在此直线上］Cl的极坐标方程为0＝α（p≠0）.C2!C3为两圆］且均过原点.本题中!如果理解了直线的参数方程并旦能灵活地运用极坐标方程,会′｜央速解决问题繁—问‖可以联蔬｛:二i熬′』求出｜〃,,｜』露孰化为直…第二问,联立0≡α（p≠0）与C2’C3的极坐标方程］表示出A］B两点的极坐标』｜佃｜＿…倒｛-4卜m（°＿÷）｜』菱最值［测‖｜｜诊断］本题难度适中,可以转化为熟悉的直角坐标来解答］但若能合理禾｜」用极坐标,能减少计算量］学生应争取得满分。↑5.［解］因为曲线C的极坐标方程为p＝4cos0』所以曲线C是圆心为（2,0）,直径为4的圆固为直线′的极坐标方程为′sm（苦ˉ0）＝2｀则直线′过A（4》0）’倾斜角为÷’所以A为直线′与圆C的—个交点.设另—个交点为B,则△（MB＝÷连接OR因为OA为直径’从而乙OBA＝÷,所以AB二4们os苦＝蛔因此,直线′被曲线C截得的弦长为2／可.O［刷盲所得］与极坐标方程有关的题目＿般转化为直角坐标方程求解［测‖｜｜诊断］本题难度／」｀!考查曲线的极坐标方程以及直线与圆的位置关系↑6［解］直线′的晋通方程为卯—2y＋8≡0.因为点P在曲线C上］所以设P（2＄2］2／5b）’从而蠕僻…′…d～｜芳描‖｜-2｜』—侮｜』滞』归ˉ当,-徊时』d!＂i倒-孪因此当点P的坐标为隅』4）时,曲线C上的点P到直线′的距离取到最小值等［关键点拨］利用曲线的参数方程设出点的坐标,再利用点到直线距离公式求解［刷盲所撂］参数方程般消去参数,转化为普通方程求解,有时也利用曲线的参数方程设点的坐标。［测‖｜｜诊断］（1）本题难度′｜｀］考查曲线的参数方程以及直线与抛物线的位置关系〕意在让多数考生得分.（2）本题不应错,若错可能是运算错误造成的专题十六不等式选讲所以’不等式／（z）＜0的解集为（—的』1）.（2）因为／（α）＝0,所以α≥1。当α≥1］鳃匡（—切!1）时／（鳃）＝（α≡z）如＋（2ˉ勿）（z-α）＝2（α-匆）°（勿-1）＜O所以,α的取值范围是［1,＋四）.［关键点拨］（1）当α＝l时’分腮≥l和匆＜1去绝对值号,再解不等式,求并集｛（2）由于／（α）≡O且匆e（-乙］1）时『／（z）＜0,故α任（-酌,1）,即α≥l’可结合α≥1,卯巳（—四,1）］将／（匆）去掉绝对值号］解不等式得α-勿＞0］即α＞z对z巨（—由,1）恒成立’则α≥1.3.（1）［解］由于［（鳃ˉ1）＋（γ＋l）＋（z＋1）］2＝（虹-l）2＋（y＋1）2＋（z＋1）2＋2［（鲍一l）（y＋1）＋（γ＋1）（z＋1）＋（z＋1）（zˉ1）］≤3［（勿—l）2＋（y＋1）2＋（z＋l）2］,故由已知得（xˉ」）2＋（y＋］）2＋（朴1）2≥÷』当且仅当”二÷』γ＝ˉ丁』凰＝—＋时等号成立1所以（蹦—l）2＋（γ刊｜2＋（舅＋l）2的最小值为÷考点36不等式选讲｜刷大题｜1［证明］（l）因为α2＋62≥2α6!b2＋c2≥26c’c2＋α2≥2αc］α6＋bC＋Cαl1又αbC＝1,故有α2＋b2＋C2≥α6＋6C＋Cα≡≡丁＋丁＋αbC!所以÷＋十＋＋≤α2＋b』＋投（2）因为α!b］c为正数且αbc＝1,故有（α＋b）3＋（b＋c）3＋（c＋α）3≥3;／（α＋b）3（b＋c）3（α＋c）3＝3（α＋b）（b＋·）（α＋‘）≥3×（2√丽）×（2√瓦）×（2｀／而）≡24.所以（α＋b）3＋（6＋C）3＋（c＋α）3≥24［刷百所得］基本不等式的推广:—般地,若αl’α2,α3,…!α＂是正实“｜＋α2十啪＋…腮≥扣!o2侧』≡o.』当且仅当.!≡数,贝」有不等式α2＝α3＝…＝α″时取等号2［解］（1）当α≡l时!／（绷）＝｜鳃-1｜匆＋｜卯≡2｜（卿—1）。当勿＜1时′（勿）＝—2（z＿］）2＜0｝当鳃≥1时′（z）≥0.@微信公众号：嗨呀同学答案及解析（2）［证明］由于［（zˉ2）＋（y—1）＋（z—α）］2＝（如—2）2＋（yˉ1）2＋（z＿α）2＋2［（匆ˉ2）（y-l）＋（y-1）（z—α）＋（z-α）（鳃-2）］≤3［（卯ˉ2）2＋（y-1）2＋（z-α）2］,故由已知得（绷ˉ2）:＋（yˉl）2＋（舅ˉα）2≥｛2÷α）2』当且仅当x＝宁』’＝宁』舅＝罕时等号咸立因此（狮ˉ2）2＋｜γˉl）2＋｜氢ˉα）2的最小值为｜2÷α乙由题设知（2芋）2≥＋』解得α≤＿3或α≥ˉ肌［关键点拨］多元代数式求和与不等式成立问题均可利用消元法或构造均值不等式进行求解4.［解］（］）当α＝1时,／（卯）≡｜匆＋1｜—｜觅＿l｜,｛薪‖即／（如）＝故不等式川殿｜≥｜的解集为｛蹦卜≥＋｝（2）当Ⅺ巨（0,l）时｜x＋l｜-｜α飞ˉl｜＞财成立等价干当匆匡（0,l）时｜″ˉ1｜＜1成立若α≤0!则当勿巨（0,1）时｜α勿≡1｜≥1;■】『i」／团■■■■■ⅢⅢX（2）由（l）知,y≡／（腮）的图像与）轴交点的纵坐标为2］且各部分所在直线斜率的最大值为3,故当且仅当α≥3目6≥2时!／（匆）≤αz＋b在［0‖＋由）成立〕因此α＋6的最／｜｀值为5.［刷百所得］对于含有两个绝对值号的函数问题!解题的关键是去掉绝对值号,去绝对值号有两种方法:（l）零点分段法i（2）图像法.其中,用图像法,数形结合来求解’可以使得代数问题几何化,既通俗易懂,又简洁直观,是—种较好的方法.［解］（l）当α≡l时〗不等式／（抑）≥g（x）等价于如2—卿＋｜x＋l｜＋｜鳃—l｜-4≤0.O当虹＜ˉ1时,o式化为x2—3xˉ4≤0‖无解;当—l≤x≤l时,o式化为x2ˉ施-2≤0,从而ˉl≤蹦≤1;ˉ1＋｀／I7ˉ业＾卢～】〗↓／7＼引▲」｜／斗,ˉˉ2!ˉ〃一≡∩‖｜＝■二一当卯＞1时了,O式化为匆2＋苑—4≤0,从而1＜虹≤~~若α＞0’｜《咖＝l｜＜l的解集为｛“0…÷｝2-1＋｀／I7。｝所以］｜夏｜＝…解集为｛’｛ˉ~√｀′.｀′～′..ˉ｜～ˉˉ［｜-l≤冗≤—ˉ2」ˉ（2）当z匡［ˉ1!‖］时,g（鳃）≡2。所以／（x）≥g（匆）的解集包含［-1,1］,等价于当纯匡［—l,］］时］／（如）≥2恒成立即卿2ˉα苑—2≤0在［～l’1］上恒成立则只需｛｝『;二;二;!藤得—］…｜所以α的取值范围为［ˉ1,l］.［测训诊断］本题难度适中’主要考查含绝对值不等式的解法｀绝对值不等式的性质｀—元二次不等式的解法、不等式恒成立问题等知识］考查运算求解能力、分类讨论思想｀转化与化归思想,意在让部分考生得分。勺所以ˉ二≥1!故0＜α≤2.α综上!α的取值范围为（0,2］.［关键点拨］（1）由α≡1‖／（匆）的解析式用分段函数表示’贝｜」／（嘶）＞1可求;（2）本题的关键是由如巨（0’1）!将原不等式转化为求使｜″—1｜＜1恒成立时α的取值范围’通过讨论α≤0和α＞0两种情况即可求出α的范围［测‖｜｜诊断］本题难度适中’考查绝对值不等式的解法,考查转化思想和推理能力.5.［解］（1）当α≡1时,｛墓蕉‖／（匆）≡可得／（匆）≥0的解集为｛鲸｜—2≤嘶≤3｝。（2）／（卯）≤l等价于｜勿＋α｜＋｜如-2｜≥4。而｜x＋α｜＋｜如-2｜≥｜α＋2｜’且当z＝2时等号成立故／（z）≤1等价干｜α＋2｜≥4由｜α＋2｜≥4可得α≤ˉ6或α≥2］所以α的取值范围是（-的,—6］O［2,＋的）.［关键点拨］（1）采用零点分段法去掉绝对值!再解不等式即可｝（2）当／（z）≤1时,即｜z＋α｜＋｜绷＿2｜≥4,而｜允＋α｜＋｜匆-2｜≥｜α＋2｜』故只需保证｝α＋2｜≥4即可｛进而得到α的取值范围［刷盲所得］绝对值不等式的解法有≡种:o利用绝对值不等式的几何意义求解］体现了数形结合的思想;@利用＂零点分段法＂求解,体现了分类讨论的思想｛o通过构造函数,利用函数的图像求解,体现了函数与方程的思想｜叮尸‰6［解］（1）／（匆）＝γ≡／（z）的图像如图所示a［证明］（1）（α＋6）（α5＋b5）＝α6＋α65＋α56＋66＝（α3＋b3）2-2α3b3＋α6（α4＋b4）＝4＋αb（α2-b2）2≥4。（2）因为（α＋b）3≡α3＋3α26＋3αb2＋b3＝2＋3αb（α＋b）≤2＋3（α＋6）2‖.〖｀句.3（α＋6）3＋’～~~‖｀〗』』＋α′『＼4｀四‖｀′′-＝｜4〗所以（α＋b）3≤8,因此α＋b≤2。［测‖｜｜诊断］本题难度适中,主要考查基本不等式、不等式的证明｜考查分析问题与解决问题的能力｀推理论证能力｀转化与化归能力〕意在使部分考生得满分.仔≡3［解］（1）／（勿）＝当匆＜—1时旷（勿）≥1无解｝当—1≤z≤2时』由／（勿）≥1］得2m-1≥l’解得1≤卵≤2;当z＞2时!3≥1成立!得z＞2.所以／（鳃）≥1的解集为｛匆｜如≥l｝.（2）由／（如）≥勿2-z＋m,得m≤｜z＋1｜ˉ｜匆-2｜-匆2＋z.而｜鳃＋l｜ˉ｜蹦—2｜—豪＋鳃≤｜撼｜＋l＋｜蕴｜ˉ2ˉ豪＋｜鞭｜＝—（｜蹦｜ˉ÷）恩＋÷≤÷’当且仅当鲸≡÷时』｜躯刊｜ˉ｜鳃ˉ2｜—聪2…丁5寞题分类集‖｜｜9醇‖｜｝,由微信公众号：嗨呀同学高考必刷题翼题分类集训数学（理）｜≥｜2卯-α＋1＿2卯｜＋α≡｜1-α｜＋α］当蹦＝÷时等号成立’所以当卿巨R时,／（绷）＋g（驰）≥3等价于凸｜l—α｜＋α≥3.O当α≤l时｛@等价于l-α＋α≥3〕无解当α＞1时,o等价于α—l＋α≥3,解得α≥2.所以α的取值范围是［2,＋切）.［刷盲所得］含有绝对值的不等式的求解主要是去绝对值,常见去绝对值的方法有分段讨论去绝对值｀平方去绝对值或利用几何意义求解,处理恒成立问题的方法主要是分离参数法和函数最值法。［测训诊断］（l）本题难度适中,主要考查绝对值不等式的解法.（2）本题若出错’主要是第（2）问不会用绝对值的二角不等式求最小值‖3.［解］（l）当α＝1时,／（卵）＞1化为｜匆＋l｜—2｜冗ˉl｜—l＞0ˉ当豹≤ˉ1时’不等式化为卿-4＞0!无解;∩当ˉl＜躯＜l时』不等式化为3绷—2＞0,解得÷＜鳃＜l｝当则≥1时!不等式化为ˉ鳃＋2＞0,解得l≤嘶＜2.所以′｜撼｜＞｜的解集为｛鳃｛÷…2｝｛独黔…（2）由题设可得’／（允）＝所以函数／（卯）的图像与颠轴围成的三角形的三个顶点分别为‖（竿』0）,‘｜2α刊』0）』C（α』α刊｜』△川Bc的面积为÷（α刊尸勺由题设得÷（α＋l）2＞6且α＞0』故α＞2所以α的取值范围为（2,＋够）。［刷盲所得］含有绝对值的不等式解集问题可等价转化为不含绝对值的不等式组的解集问题转化的时候先找分界点］根据分界点去绝对值.［测‖｜｜诊断］本题难度较易,主要考查含绝对值不等式的解集｀参数的取值范围问题04［证明］（l）因为（√而＋仍）2＝α＋b＋2√丽,（拓＋√J）2＝c＋〃＋2√6J‖由题设α＋b＝c＋〃,α6＞c〃得（√万＋｀／万）2＞（√『＋〃）2·因此／万＋亿＞征＋〃·（2）O若｜α—6｜＜｜c—d｜,则（α—6）2＜（cˉ〃）2,即（α＋6）2-4αb＜（c＋d）2-4Cd.因为α＋6＝C＋d‖所以αb＞cd.由（1）得√而＋亿＞√了＋〃.@若伍＋仍＞拓＋〃,则（√r＋历）2＞（√了＋〃）2,即α＋b＋2√i『＞c＋d＋2√F刁.因为α＋b＝c＋d,所以αb＞cⅢ。于是（α-6）2≡（α＋6）2-4α6＜（c＋d）2ˉ4c〃≡（c-d）2。因此｜αˉb｜＜｜c＝d｜。综上,伍＋仍＞花＋〃是｜αˉb｜＜｜cˉ〃｜的充要条件.［测‖｜｜诊断］本题难度中等,主要考查基本不等式的运用、充要条件的证明｀综合法证明命题,意在考查考生灵活运用知识分析解决问题的能力.‖5.［证明］由柯西不等式可得（αC＋M）2≤（α2＋62）（C2＋d2）。因为α2＋b2≡4,C2＋〃2≡16’所以（αC＋M）2≤64,因此αC＋M≤8.［刷盲所得］柯西不等式是证明不等式｀求最值的主要工具〕注意柯西不等式的正向应用｀逆向应用以及变形应用.［测‖｜｜诊断］本题难度小,考查不等式的证明〕意在让多数考生得分。故顺的取值范围为（ˉ唾』÷｝［测训诊断］（l）本题难度中等’主要考查利用零点分段法解不等式及恒成立问题,考查考生分类讨论思想｀化归与转化思想’意在让多数考生得分。（2）本题若出错］很可能是分类讨论时忽略了大前提’也可能是最后没有求并集冗-4’卯≤-l,仁＼了÷TO［解］（1）／（勿）＝y＝／（如）的图像如图所示γ▲刑（2）由／（鳃）的表达式及图像知,当／（嘶）＝1时,可得鳃＝］或鳃＝3｜当／（露）＝ˉ｜时｀可得鳃-＋或膊二虱故／（绷）＞l的解集为｛撼｜1＜熊＜3｝’／｜慈｜＜—｜的解集为｛蕊｜慈≤÷或蕊＞5｝所以｜′｜慈｜｜＞｜的耀集为｛撼卜＜÷或｜…』…｝,［关键点拨〕零点分段表示函数是解决本题的关键.在第（2）问中不等式的求解可利用图像找交点坐标,也可用零点分段求解［测训诊断］本题难度易’考查零点分段作分段函数图像以及含绝对值不等式的解法.1-2期,期≤-丁,＂（l）（解］′｜躯）＝｀l’—＋＜膊＜丁’2匆,嘶≥丁.当鞭≤ˉ＋时,由′（鳃｜＜2』得—2露＜2』1解得x＞—l,即—1＜勿≤—ˉ丁;＝当ˉ÷＜躯＜÷时,／（“）＝l＜2’即ˉ＋…亏｛1＝～△～当瓣≥＋时｀由′（膊）≤2’得2瓣≤2』解得膊＜」』即÷≤灌＜［所以／（卿）＜2的解集M≡｛z｜ˉ1＜鳃＜l｝.（2）［证明］由（1）知〕当α,b巨M时〕—1＜α＜l,ˉl＜b＜l,从而（α＋6）2ˉ（］＋αb）2≡α2＋b2-α2b2-l＝（α2＝1）（1-b2）＜0ˉ因此｜α＋b｜＜｜1＋αb｜。［测‖｜｜诊断］（1）本题主要考查了含绝对值不等式的解法及不等式的证明（2）本题难度较小』但注意第（l）问中集合间的交、并运算!并注意M需为集合形式02.［解］（1）当α＝2时旷（勿）＝｜2如-2｜＋2.解不等式｜2勿-2｜＋2≤6得＿1≤嘶≤3。因此／（嘶）≤6的解集为｛鳃｜—1≤鳃≤3｝.（2）当鳃巨R时｜／（卯）＋g（z）≡｜2匆＝α｜＋α＋｜l-2觅｜@微信公众号：嗨呀同学微信公众号：嗨呀同学
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