高等数学同济版大学微积分公式

高等数学同济版大学微积分公式 12,(arcsinx),,,(tgx)secx21,x2,,,(ctgx)cscx1,(arccosx),,,,,(secx)secxtgx21,x,,,,(cscx)cscxctgx1,(arctgx),xx2,,(a)alna1，x 11,,,(arcctgx),,(logx)a21，xxlna dxtgxdx,,lncosx，C2,,secxdx,tgx，C,,2cosxctgxdx,lnsinx，C,dx2,cscxdx,,ctgx，C,,2sinxsecxdx,lnsecx，tgx，C, secx,tgxdx,secx，C,cscxdx,lncscx,ctgx，C, cscx,ctgxdx,,cscx，C,dx1x,arctg，C22,xa，xaaaxadx,，C,dx1x,alna,ln，C22,x,a2ax，ashxdx,chx，C, dx1a，x,ln，Cchxdx,shx，C22,,a,x2aa,x dxdxx22,ln(x，x,a)，C,arcsin，C,,2222ax,aa,x ,,22n,1nnI,sinxdx,cosxdx,I2nn,,,n00 2xa222222x，adx,x，a，ln(x，x，a)，C,22 2xa222222x,adx,x,a,lnx，x,a，C,22 2xax2222a,xdx,a,x，arcsin，C,22a 1 ?和差角公式: ?和差化积公式: ,,,,，,,,,,,,,,sin(,),sincos,cossin，,sinsin2sincos22,,,,,,cos(,),coscos,sinsin,,,,，,,,,,sinsin2cossin,,tg,tg,,22tg(,),,,1,tg,tg,,,,，,,,，,coscos2coscos,,ctg,ctg,122,,ctg(,),ctg,,ctg,,，,,,,,,coscos2sinsin,,22 2,,,弧微分公式:ds,1，ydx,其中y,tg ,,,,,平均曲率:K,.,:从M点到M点，切线斜率的倾角变化量;,s:MM弧长。,s ,,y,,,d M点的曲率:K,lim,,.23,s,0,sds,(1，y)直线:K,0; 1半径为的圆:,.aKa 定积分近视计算: bb,a矩形法:f(x),(y，y，？，y)01n,1,na bb,a1梯形法:f(x),[(y，y)，y，？，y] 0n1n,1,n2a bb,a抛物线法:f(x),[(y，y)，2(y，y，？，y)，4(y，y，？，y)]0n24n,213n,1,3na 定积分相关公式: 功:W,F,s 水压力:F,p,A mm12引力:F,k,k为引力系数2r b1函数的平均值:y,f(x)dx,b,aa b12均方根:f(t)dt,b,aa 2 ?倍角公式: ,,,sin2,2sincos 32222,,,,,,,,sin3,3sin,4sincos2,2cos,1,1,2sin,cos,sin 32,,,,cos3,4cos,3cosctg,1,ctg2,3,,,2ctg3tg,tg,tg3,2,1,3tg,2tg,tg2,21,tg, ?半角公式: ,,,,1,cos1，cossin,,　　　　　　　　　　　　cos,,2222,,,,,,,,1,cos1,cossin1，cos1，cossintg,,,,　　ctg,,,,21，cos,sin,1，cos,21,cos,sin,1,cos, abc222,,,2R?正弦定理: ?余弦定理: c,a，b,2abcosCsinAsinBsinC ,,arcsinx,,arccosx　　　arctgx,,arcctgx?反三角函数性质: 22 高阶导数公式——莱布尼兹,Leibniz,公式: n(n)k(n,k)(k)()uv,Cuv,nk,0 (1)(1)(1)nn,nn,？n,k，(n)(n,1)(n,2)(n,k)(k)(n),,,,uv，nuv，uv，？，uv，？，uv2!!k中值定理与导数应用: ,,拉格朗日中值定理:f(b),f(a),f()(b,a) ,,f(b),f(a)f()柯西中值定理:, ,F(b),F(a)F(), 当F(x),x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。曲率 3 空间解析几何和向量代数: 2222d,MM,(x,x)，(y,y)，(z,z)空间点的距离:12212121 ,,PrjAB,AB,cos,ABu向量在轴上的投影:是与轴的夹角。u ,,,,，,，Prj(aa)PrjaPrja1212u,,,,,,,,,，，ababcosababab,,是一个数量xxyyzz ab，ab，ab,xxyyzzcos,两向量之间的夹角:222222，，,，，aaabbbxyzxyz ijk,,,,,,,,,,,，,,,,，cabaaa,cabsin.vwr.例:线速度:xyz bbbxyz aaaxyz,,,,,,,,,[abc],(a，b),c,bbb,a，b,ccos,,,向量的混合积:为锐角时，xyz cccxyz代 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 平行六面体的体积。 平面的方程: ,1、点法式:A(x,x)，B(y,y)，C(z,z),0，其中n,{A,B,C},M(x,y,z)0000000 2、一般方程:Ax，By，Cz，D,0 xyz3、截距世方程:，，,1abc Ax，By，Cz，D000平面外任意一点到该平面的距离:d,222A，B，C x,x，mt,0x,xy,yz,z,,000空间直线的方程:,,,t,其中s,{m,n,p};参数方程:y,y，nt,0mnp,z,z，pt,0 二次曲面: 222xyz1、椭球面:，，,1222abc 22xy2、抛物面:，,z(,p,q同号)2p2q 3、双曲面: 222xyz 单叶双曲面:，,,1222abc 222xyz双叶双曲面:,，,(马鞍面)1222abc 4 多元函数微分法及应用 ,z,z,u,u,u全微分:dz,dx，dy　　　du,dx，dy，dz,x,y,x,y,z全微分的近似计算:,z,dz,f(x,y),x，f(x,y),yxy 多元复合函数的求导法: dz,z,u,z,vz,f[u(t),v(t)]　　　,,，,　dt,u,t,v,t ,z,z,u,z,vz,f[u(x,y),v(x,y)]　　　,　,，,,x,u,x,v,x 当u,u(x,y)，v,v(x,y)时， ,u,u,v,vdu,dx，dy　　　dv,dx，dy　,x,y,x,y 隐函数的求导公式: 2FFFdydy,,dyxxx隐函数F(x,y),0，　　,,，　　,(,)，(,),2dxF,xF,yFdxdxyyy FF,z,zyx隐函数F(x,y,z),0，　,,，　　,, ,xF,yFzz ,F,F FFF(x,y,u,v),0,,(F,G)uv,u,v隐函数方程组:　　　J,,,,,G,GGGG(x,y,u,v),0,(u,v)uv, ,u,v,u1,(F,G),v1,(F,G),,,　　　　,,, ,xJ,(x,v),xJ,(u,x) ,u1,(F,G),v1,(F,G),,,　　　　,,,,yJ,(y,v),yJ,(u,y) 微分法在几何上的应用: 5 ,x,(t),x,xy,yz,z,000,y(t)M(x,y,z)空间曲线,在点处的切线方程:,,,000,,,,,,(t)(t)(t)000,,z,(t), ,,,在点M处的法平面方程:,(t)(x,x)，,(t)(y,y)，,(t)(z,z),0000000 ,,FFFFFFF(x,y,z),0,yzxyzx若空间曲线方程为:,则切向量T,{,,},GGGGGGG(x,y,z),0,yzxyzx, 曲面F(x,y,z),0上一点M(x,y,z)，则:000,1、过此点的法向量:n,{F(x,y,z),F(x,y,z),F(x,y,z)}x000y000z0002、过此点的切平面方程:F(x,y,z)(x,x)，F(x,y,z)(y,y)，F(x,y,z)(z,z),0x0000y0000z0000 ,,,xxyyzz000、过此点的法线方程:,,3F(x,y,z)F(x,y,z)F(x,y,z)x000y000z000方向导数与梯度: ,f,f,f,,函数z,f(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向l的方向导数为:,cos，sin,l,x,y,其中为x轴到方向l的转角。 ,,,f,f函数z,f(x,y)在一点p(x,y)的梯度:gradf(x,y),i，j,x,y ,,,f,,,,它与方向导数的关系是:,gradf(x,y),e，其中e,cos,i，sin,j，为l方向上的,l 单位向量。 ,f？是gradf(x,y)在l上的投影。,l 多元函数的极值及其求法: 设f(x,y),f(x,y),0，令:f(x,y),A,　f(x,y),B,　f(x,y),Cxyxxxyyy0000000000 ,A,0,(x,y)为极大值,002AC,B,0时，,,,0,(,)为极小值Axy,00, ,2则:,,0时，　　　　　　无极值ACB, 2,AC,B,0时,　　　　　　　不确定, ,, 重积分及其应用: 6 ,,,f(x,y)dxdy,f(rcos,rsin)rdrd,,,,,DD 22,,,z,z,,,,z,f(x,y)A,1，，dxdy曲面的面积,,,,,,,x,y,,,,D ,,,,x(x,y)dy(x,y)d,,,,MMyxDDx,,,y,,平面薄片的重心:　　,,,,MM(x,y)d(x,y)d,,,,DD 22,,,,xI,y(x,y)d,yI,x(x,y)d平面薄片的转动惯量:对于轴　　对于轴xy,,,,DD xoyzM(0,0,a),(a,0)F,{F,F,F}平面薄片(位于平面)对轴上质点的引力:，其中:xyz ,(x,y),xd,(x,y)yd,,(x,y)xd,，　　，　　F,fF,fF,,faxyz333,,,,,,DDD222222222222(x，y，a)(x，y，a)(x，y，a) 柱面坐标和球面坐标: , x,rcos,,,,,柱面坐标:y,rsin,　　　f(x,y,z)dxdydz,F(r,,z)rdrddz,,,,,,,,,,,z,z,,,,其中:F(r,,z),f(rcos,rsin,z) ,,x,rsincos, ,,,,,,,,,2球面坐标:y,rsinsin，　　dv,rd,rsin,d,dr,rsindrdd, ,,z,rcos, ,,r(,),,222,,,,,,,,,,f(x,y,z)dxdydz,F(r,,)rsindrdd,ddF(r,,)rsindr,,,,,,,,,,,000 111,,,,重心:x,xdv,　　y,ydv,　　z,zdv，　　其中M,x,dv,,,,,,,,,,,,MMM,,,, 222222转动惯量:I,(y，z,)dv，　　I,(x，z,)dv，　　I,(x，y),dvxyz,,,,,,,,,,,,曲线积分: 第一类曲线积分(对弧长的曲线积分): ,x,(t),,,f(x,y)LL,(,t,),设在上连续，的参数方程为:　　则:,,y,(t), ,x,t,22,,,,,,,,,，　　,　　特殊情况:f(x,y)dsf[(t),(t)](t)(t)dt(),,,y,(t),,L, 7 第二类曲线积分(对坐标的曲线积分): ,x,(t),设L的参数方程为，则:,,y,(t), , ,,,,,,,,P(x,y)dx，Q(x,y)dy,{P[(t),(t)](t)，Q[(t),(t)](t)}dt,,L, ,,,,两类曲线积分之间的关系:Pdx，Qdy,(Pcos，Qcos)ds，其中和分别为,,LL L上积分起止点处切向量的方向角。 ,Q,P,Q,P格林公式:(,)dxdy,Pdx，Qdy格林公式:(,)dxdy,Pdx，Qdy,,,,,,,x,y,x,yDLDL ,Q,P1当P,,y,Q,x，即:,,2时，得到D的面积:A,dxdy,xdy,ydx,,,,x,y2DL ?平面上曲线积分与路径无关的条件:1、G是一个单连通区域; ,Q,P2、P(x,y)，Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数，且,。注意奇点，如(0,0)，应,x,y 减去对此奇点的积分，注意方向相反～?二元函数的全微分求积: ,Q,P在,时，Pdx，Qdy才是二元函数u(x,y)的全微分，其中:,x,y xy(,) u(x,y),P(x,y)dx，Q(x,y)dy，通常设x,y,0。00,xy(,)00 曲面积分: 22对面积的曲面积分:f(x,y,z)ds,f[x,y,z(x,y)]1，z(x,y)，z(x,y)dxdyxy,,,,D,xy对坐标的曲面积分:P(x,y,z)dydz，Q(x,y,z)dzdx，R(x,y,z)dxdy，其中:,,, R(x,y,z)dxdy,,R[x,y,z(x,y)]dxdy，取曲面的上侧时取正号;,,,,D,xy P(x,y,z)dydz,,P[x(y,z),y,z]dydz，取曲面的前侧时取正号;,,,,D,yz Q(x,y,z)dzdx,,Q[x,y(z,x),z]dzdx，取曲面的右侧时取正号。,,,,D,zx 两类曲面积分之间的关系:Pdydz，Qdzdx，Rdxdy,(Pcos,，Qcos,，Rcos,)ds,,,,,, 高斯公式: 8 ,P,Q,R，，dv,Pdydz，Qdzdx，Rdxdy,P，Q，Rds()(coscoscos),,,,,,,,,,,x,y,z,,,高斯公式的物理意义——通量与散度: ,P,Q,R,,,，，,散度:div,即:单位体积内所产生的流体质量，若div0,则为消失...,,,x,y,z ,,A,nds,Ads,P，Q，Rds通量:(coscoscos)，,,,n,,,,,,,,, , Adv,Ads因此，高斯公式又可写成:divn,,,,,,, 斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系: ,R,Q,P,R,Q,P(,)dydz，(,)dzdx，(,)dxdy,Pdx，Qdy，Rdz,,,,y,z,z,x,x,y,, dydzdzdxdxdycoscoscos,,, ,,,,,,上式左端又可写成:,,,,,,x,y,z,x,y,z,, PQRPQR ,R,Q,P,R,Q,P 空间曲线积分与路径无关的条件:,，　,，　,,y,z,z,x,x,y ijk ,,,,旋度:rotA,,x,y,z PQR ,,,向量场A沿有向闭曲线,的环流量:Pdx，Qdy，Rdz,A,tds,,,, 常数项级数: n1,q2n,1等比数列:，q，q，？，q,11,q n，n(1)等差数列:1，2，3，？，n, 2 111调和级数:1，，，？，是发散的n23 级数审敛法: 9 1、正项级数的审敛法——根植审敛法(柯西判别法): ,,1时，级数收敛, ,,,n设:,limu，则,1时，级数发散,nn,,,,,1时，不确定, 2、比值审敛法: ,,1时，级数收敛, U,n，1,,设:,lim，则,1时，级数发散,n,,Un,,,1时，不确定, 3、定义法: s,u，u，？，u;lims存在，则收敛;否则发散。n12nnn,, 交错级数u,u，u,u，？(或,u，u,u，？,u,0)的审敛法——莱布尼兹定理:1234123n u,u,nn，1,如果交错级数满足，那么级数收敛且其和s,u,其余项r的绝对值r,u。,1nnn，1limu,0n,n,,, 绝对收敛与条件收敛: (1)u，u，，u，，其中u为任意实数;？？nn12 (2)u，u，u，，u，？？n123 如果(2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对收敛级数;如果(2)发散，而(1)收敛，则称(1)为条件收敛级数。 n1(,1)调和级数:发散，而收敛;,,nn 1　　级数:收敛;,2n ,,,时发散1　　p级数:　　,pnp,1时收敛 幂级数: 10 1x,1时，收敛于23n1,x1，x，x，x，，x，　　？？ x,1时，发散 2n对于级数(3)a，ax　，ax，，ax，，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全？？012n x,R时收敛 数轴上都收敛，则必存在R，使x,R时发散，其中R称为收敛半径。 x,R时不定 1,,0时，R,, an，1,,求收敛半径的方法:设lim,，其中a，a是(3)的系数，则,0时，R,，,nn，1n,,an,,，,时，R,0 函数展开成幂级数: ()n,,f(x)f(x)2n00函数展开成泰勒级数:f(x),f(x)(x,x)，(x,x)，？，(x,x)，？00002!n! (1)n，f(),1n，余项:R,(x,x),f(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是:limR,00nnn,,(n，1)! ()n,,f(0)f(0)2n,x,0时即为麦克劳林公式:f(x),f(0)，f(0)x，x，？，x，？02!n!一些函数展开成幂级数: m(m,1)m(m,1)？(m,n，1)m2n(1，x),1，mx，x，？，x，？　　　(,1,x,1)2!n! 352n,1xxxn,1sinx,x,，,？，(,1)，？　　　(,,,x,，,)3!5!(2n,1)! 欧拉公式: ix,ix,，eecos,x,,2ixcossin,， exix　　　或,ix,ix,ee,sin,x,2, 三角级数: 11 ,,a0,,()sin()(cossin)ft,A，Ant，,，anx，bnx,,0nnnn2n1n1,, ,,,其中，，sin，cos，。a,aAa,Ab,At,x 00nnnnnn正交性:1,sin,cos,sin2,cos2sin,cos任意两个不同项的乘积在[,]xxxx？nxnx？,,, 上的积分,0。 傅立叶级数: ,,a0f(x),，(acosnx，bsinnx)，周期,2,nn2,1n, ,1,a,f(x)cosnxdx　　　(n,0,1,2？),n,,,,,其中,1,b,f(x)sinnxdx　　　(n,1,2,3？),n,,,,, ,,22111111，，，？,1，，，，？,(相加)222228635234　22,,111111，，，？,1,，,，？,(相减)2222222462423412 ,2正弦级数:a,0，b,f(x)sinnxdx　　n,1,2,3？　f(x),bsinnx是奇函数,nnn,,0 ,a20余弦级数:b,0，a,f(x)cosnxdx　　n,0,1,2？　f(x),，acosnx是偶函数,nnn,,20 2l周期为的周期函数的傅立叶级数: ,,,anxnx0f(x)(acosbsin)，周期2l,，，,,nn2ll1n, l,,1nxa,f(x)cosdx　　　(n,0,1,2？),n,ll,,l其中,l,1nx,bf(x)sindx　　　(n1,2,3？),,n,,ll,l, 12 微分方程的相关概念: ,一阶微分方程:y,fxy　或　Pxydx，Qxydy,(,)(,)(,)0可分离变量的微分方程:一阶微分方程可以化为gydy,fxdx的形式，解法:()()gydy,fxdx　　得:Gy,Fx，C称为隐式通解。()()()(),, dyy,齐次方程:一阶微分方程可以写成,fxy,xy，即写成的函数，解法:(,)(,)dxx ydydududxduy,设u,，则,u，x，u，,u，？,分离变量，积分后将代替u，()xdxdxdxxu,ux,()即得齐次方程通解。 一阶线性微分方程: dy1、一阶线性微分方程:，P(x)y,Q(x)dx ,()Pxdx,当Q(x),0时,为齐次方程，y,Ce (),()PxdxPxdx,,当Q(x),0时，为非齐次方程，y,(Q(x)edx，C)e, dyn2、贝努力方程:，P(x)y,Q(x)y，(n,0,1)dx 全微分方程: 如果P(x,y)dx，Q(x,y)dy,0中左端是某函数的全微分方程，即: ,u,udu(x,y),P(x,y)dx，Q(x,y)dy,0，其中:,P(x,y)，,Q(x,y) ,x,y？u(x,y),C应该是该全微分方程的通解。 二阶微分方程: 2f(x),0时为齐次dydy，P(x)，Q(x)y,f(x)， 2dxdxf(x),0时为非齐次 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法: ,,,(*)y，py，qy,0，其中p,q为常数; 求解步骤: 22,,,1、写出特征方程:(,)r，pr，q,0，其中r，r的系数及常数项恰好是(*)式中y,y,y的系数; 2、求出(,)式的两个根r,r12 3、根据r,r的不同情况，按下表写出(*)式的通解: 12 13 r，r的形式(*)式的通解 12 rxrx212两个不相等实根 (p,4q,0)y,ce，ce12 rx21两个相等实根 (p,4q,0)y,(c，cx)e12 2,x一对共轭复根 (p,4q,0)y,e(ccos,x，csin,x)12,,,,r,，i，r,,i12 2 q,p4p,,,，,,22 二阶常系数非齐次线性微分方程 ,,,y，py，qy,f(x)，p,q为常数 ,x,f(x),eP(x)型，为常数; m ,xf(x),e[P(x)cos,x，P(x)sin,x]型ln 14 15 16