现值的计算Word版

PAGE/NUMPAGES第3章现值的计算第2章中我们学习了怎样计算一年后产生现金流的资产价值，但却没有讨论如何评估今后两年或若干年后产生现金流的资产价值，本章我们首先处理这一问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ，然后再考虑一些现值计算的便捷方法，给出一些特殊情形下的现值计算公式，特别地，我们将给出无限期地获得一个稳定收入的投资（永久年金）以及在一段时间里产生稳定现金流的投资（年金）的现值公式。我们还将讨论收入稳定增长的投资的价值。利率说起来是一个再明白不过的概念，但读者将会看到利率有多种给定方法。首先我们将 说明 关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书 单利与复利的不同，然后我们要讨论名义利率与实际利率的差别，这种差异正是通货膨胀降低利息收入购买力的反映。到那时你为现值概念进行的脑力投资将会有所收获，我们将利用这一概念来评估债券的价值，并将在第4章里讨论普通股的价值，进而细致务实地着手处理公司的资本投资决策问题。3．1．长期资产的价值对于一年后产生现金流（C1）的资产，你还记得怎样计算其现值（PV）吗？回答当然是：PV=DF1C1=式中DF1是1年期现金流的贴现因子，r1是资金投资1年的机会成本。如果1年期的美国国库券的利率为7%（r1=0.07），那么一年后你肯定获得的100美元现金（C1=100）的现值就会是PV===93.46美元类似地，2年期现金流的现值可以表示为PV=DF2C2=其中C2是2年期现金流，DF2是2年期现金流的贴现因子，r2是资金投资2年的年利率。继续我们的例子，如果你在第2年里又得到一笔100美元的现金流（C2=100），而2年期国债的年利率为7.7%（r2=0.077），这意味着对2年期国债投资1美元，到第2年末将获得1.0772=1.16美元，那么，你得到的2年期现金流的现值就是PV===86.21美元3．1．1．多期现金流的价值资产现值的一个优良性质就在于它们都以当前的货币单位计量，从而可以累加起来，换句话说，现金流A+B的现值等于现金流A的现值加上现金流B的现值。这一结果令人欣慰，它对于多阶段产生现金流的投资具有重要的意义。前面我们计算过1年后产生现金流C1的资产价值，也计算过2年后产生现金流C2的资产价值。依据可加性原则，我们可以算出在今后两年里每年都有现金流产生的资产价值，那就是PV=+显然，这样的过程还可以继续下去，从而推广到计算一个现金流系列的现值：PV=+++…这就是所谓的现金流贴现（DCF，discountedcashflow）公式，这一公式可以简写为：PV=其中是级数求和符号。如同第二章那样，我们还要加上初始现金流（一般为负值），才能得到净现值（NPV）：NPV=C0+PV=C0+3．1．2．为什么随着期限的增加，贴现因子递减——对生钱机器的一点题外话如果明天的一美元没有今天的一美元值钱，人们自然会想到后天的一美元将更不值钱。换句话说，贴现因子DF2应该小于贴现因子DF1。但如果不同时期的利率rt不同，此结论仍然一定成立吗？假设r1为20%，而r2为7%，那么DF1==0.83DF2==0.87后天收到的一元钱并显然不一定比明天得到的一元钱更不值钱。然而上面的例子并不正确，否则谁要能按照这样的利率借进贷出，那他就能在一夜之间腰缠万贯了。让我们看看这里的“生钱机器”是怎样工作的。假设赫迈奥纳·克拉芙特女士第一个洞察到其中的发财机会，她首先将1000美元放贷一年，获得20%的利息。虽然这是一笔足以诱人心动的收益，但克拉芙特女士却找到了即刻获利的途径，于是她又再次投入交易。事实上，她想到的是：一年内她得到1200美元后，还可进行再投资。虽然她不知道一年后的利率情况，但有一点却很清楚：她到第二年末肯定能有1200美元，因为到时候她至少可以让资金保留在支票帐户上。因此，下一步她要做的就是赶往银行，借入这1200美元资金的现值。按照7%的利率，现值就是PV==1048美元这样，克拉芙特女士投资1000美元，借款1048美元，就可立即怀揣48美元的利润打道回府了。如果这还不够刺激，想一想这样的操作还可立刻继续下去，这一次是从1048美元的投资开始。事实上，只要147次交易，克拉芙特女士就将成为一位（税前）百万富豪。这里，1000（1.04813)147=1002000美元。当然，上面的故事纯属虚构，真实的资本市场中这样的机会不会长久。任何一家银行，如果允许一年期存款利率为20%，两年期贷款利率却只要7%，那么，无论是期盼腰缠万贯的中小投资者，还是奔向亿万富豪的百万富翁就都会蜂拥而至，结果银行将只能很快破产关门。不过，我们却可以从这个故事中吸取两点教训。首先，明天的一美元价值决不能低于后天的一美元，换句话说，一年末得到的一美元的价值（CF1）一定要高于两年末得到的一美元的价值（CF2）。与借出一个时段相比，资金借出两个时段必须要有一些额外的补偿资金借出两年较借出1年多出的额外收益常称做远期收益率（forwardrateofreturn），这里的法则告诉我们远期收益率不小于零。:(1+r2)2必须大于1+r１。其次，我们领会到一条广泛达成的共识，这就是下面的总结性格言：“没有生钱的机器套利（arbitrage）是生钱机器的专业术语， 规范 编程规范下载gsp规范下载钢格栅规范下载警徽规范下载建设厅规范下载 运作的资本市场上不存在套利机会。”。在一个规范有效的资本市场上，任何潜在的生钱机器都会消失于投资人的投机取巧，几乎是稍现即逝。因此，我们要时刻警惕那些自诩为专家的高才，当心他们推销的“肯定赚钱”的投资机会。稍后，在没有生钱机器的假设下，本书将证实几个证券定价的有用结论。也就是说，我们将采取这样的论述方式，即“证券X与Y的定价应当满足如下关系——否则资本市场中将有生钱机器存在，市场不会处于均衡状态。”没有生钱机器并不表明未来不同时刻的利率完全相同，现金流的利率与到期日之间的关系就是所谓的利率的期限结构（termstructureofinterestrate）。对利率期限结构的考察，我们留到第23章进行，现在还是简化这一问题，假设期限结构是“平坦的”——也就是说，无论现金流产生于何时，利率都是相同的。这意味着我们可以将利率序列r1，r2，……，rt，等等，统统换作一种利率r，从而将现值公式简化为PV=++…3．1．3．减少劳苦的现值表到目前为止，我们的例子都相当容易，可以手算解决。真实的问题往往要复杂得多，需要利用特别设有现值计算程序的电子计算器，带有电子表格程序的个人微机，或者现值表来计算。下面举一个较为复杂的例子来解释怎样使用现值表。对你的写字楼 工程 路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理 （第2章开篇所述），你得到一些不利的消息。建筑商告诉你楼房建成需要两年而非一年，随着时间的推移，还要有如下开支：（1）当前投资100000美元（注意，价值50000美元的土地亦需现在投入）；（2）一年后100000美元的建设费用；（3）第二年年末，楼房交付使用时100000美元的最终付款。此外，虽然有些耽搁，但你的房地产顾问依然坚持完工后的楼盘价值仍为400000美元。上面的情况带来了新的现金预算：时间t=0t=1t=2土地–50000建设费–100000–100000–100000收入+400000合计C0=–150000C1=–100000C2=+300000如果利率为7%，则净现值为NPV=C0++=–150000–+表3-1展示了计算净现值的过程。贴现因子可以在书末的附表1中查到，找到以7%打头的列，前两行的数值顶上的为0.935，第二个为0.873。这样，你就不用去计算1/1.07和1/（1.07）2，只要从现值表中选取需要的数据。（注意：7%列中的其他行给出了直到30年的贴现因子，表中的其他列则涵盖了从1%到30%的贴现率。）幸运的是，你的写字楼工程还不太糟糕，建筑商同意付款可以延期，这意味着建筑费用的现值低于前面的估计，一定程度上抵销了收入的延期。表3-1显示，项目的净现值为18400美元——与第二章中估算的23800美元相比降得不多。由于净现值大于零，你还是应将项目进行下去我们假设现金流是安全的，如果预估值有风险，资金的机会成本将升高，如果机会成本为12%，此时的净现值近似为0。。表3-1现值工作表时间贴现因子现金流现值01.0–150,000–150,0001=0.935–100,000–93,5002=0.873+300,000+261,900—————总计=NPV=18,4003．2．经验公式——永久年金与年金有时候，虽然资产产生收入的期限不同，但其现值还是可以通过快捷方式非常容易地计算出来。下面我们来看一些例子。英国政府发行过许多证券，其中一类是所谓的永久年金（perpetuities），对这类证券，政府没有偿付本金的义务，只是每年都要支付一笔固定的报酬，永无终结。永久年金的收益率等于其承诺的年支付额除以其现值你可以从现值计算公式出发来验证这个结论，事实上PV=+++…现在令C/（1+r）=a,1/（1+r）=x,则有PV=a（1+x+x2+…）（1）对等式两端同乘以x，我们有PVx=a（x+x2+…）（2）（1）式减去（2）式可得PV（1x）=a于是，将a和x的定义式代入上式可得PV（1）=对上式两端同乘以（1+r），整理即得r=:收益率=现金流/现值r=显然，给定贴现率r和现金报酬C，将上式变形，我们就能得到永久年金的现值。例如，某个可敬的绅士打算捐款赞助某商学院一个财务职位，如果他想在10%的利率条件下今后每年都能提供100000美元，那么他现在需要划拔的资金应为永久年金的现值===1000000美元3．2．1．增长型永久年金的现值现在，假设我们的捐款人突然想到他的资助忽略了薪金的增长，薪金可能平均年增长4%，那么，捐款人不再是提供每年100000美元的永久年金，而是要在第一年捐款100000美元，第二年捐款1.04100000美元，……。如果用g来表示薪金的增长率，则相应的现金流序列的现值就可计算如下：PV=+++…=+++…幸运的是，对此几何级数求和，我们也有一个简单的公式我们需要计算无穷几何级数的和PV=a（1+x+x+…），其中a=C1/（1+r）,x=（1+g）/（1+r）。我们在脚注4中已经证明这一序列的和为a/（1x），将a和x的表达式代入此式，我们有PV=。假设r大于g，上面繁琐的计算公式就可简化为增长型永久年金的现值=因此，如果我们的捐款人打算每年提供的善款都能跟上薪金增长的节奏，那么现在他必须划出的资金数额就是PV===1666667美元3．2．2．年金的价值年金（annuity）是在一定年份里，每年支付等额款项的资产，常见的年金有等额还款的房屋抵押贷款和分期付款的消费信贷等等。年金价值的计算有一种简单的技巧，如图3-1所示。图中第一行表现的是从第1年年末开始支付现金C的永久年金的价值，其现值为PV=资产付款年份现值永久年金（第1年末开始付款）12……tt+1……永久年金（第t+1年末开始付款）（）第1年到第t年付款的年金-（）图3.1从第1年到第t年产生现金流的年金等同于两种永久年金价值的差额。第二行表现的是从第t+1年年末开始支付现金C的又一种永久年金，它在第t年年末的现值将为C/r，从而其现值为PV=从第t+1年开始，两种年金都产生现金流，它们之间的唯一差别就在于第一种年金从第1年到第t年也在生成现金流，也就是说，两种永久年金的差别就在于支付t年，每年支付额为C的年金。因此，这种年金的价值应为两种永久年金价值的差额年金的现值=C[]其中括号里表达的是所谓的年金因子（annuityfactor），它是每个时间间隔的期末支付1美元、支付t个时间间隔的年金以贴现率r贴现后的现值这里我们仍然可以从现值计算公式出发来验证这个结论，我们要计算的是有限项的几何级数的和PV=a（1+x+x2+…+xt1）,（1）其中a=C/（1+r）,x=1/（1+r）。对上式两端同乘以x，我们有PVx=a（x+x2+…+xt）（2）（1）式减去（2）式可得PV（1x）=a（1xt）于是，将a和x的定义式代入上式可得PV（1）=C[]对上式两端同乘以（1+r），整理即得PV=C[]。举例来说，如果上面说到的捐款人开始变得犹豫不决，想知道只捐款20年、每年捐出100000美元职位资助款时的成本，那么根据我们的公式不难求得PV=100000[0.1]=1000008514=851400美元当然，我们也可以直接翻到书末的附录部分，通过查表（附表3）作答，表中给出了在t个时间间隔里，每期收入1美元的现值。对我们的例子，t=20，利率r=0.10，因此我们可在10%所在列里由上往下找到第二十个数字，得到8.514，将8.514乘以100000美元，就得到我们所要的答案：851400美元。读者应该牢记，年金公式中第一笔资金发生在第一期的期末。如果第一笔资金即刻偿付，对每一笔资金的贴现年份就应减少一年，这样现金就将增加（1+r）倍。譬如，如果我们的捐款人计划的20年捐资立即开始，这笔资金的价值就将为851400美元1.10=936540美元。即期支付的年金称做即期年金（annuitydue）。我们应该时刻留心，注意利用这些公式来简化问题的求解。例如，我们有时需要计算在年利率固定的情况下，每年得到一定收入，到t年末的累计终值。此时，最简便的方法是先计算现值，再乘上（1+r)t就得到了终值例如，如果你在第6年里收到现金流C，并将这笔现金流以利率r投资，这笔投资到第10年的价值为C（1+r)4。你也可先计算资金流的现值PV=C/（1+r)6，然后再算出现在将这笔现金投资10年后的价值，得到的结果完全相同：终值=PV（1+r)10=（1+r)10=C（1+r)4。因此，如果我们的捐款人想弄明白要是不把100000美元送给一无是处的学究，而是每年都进行投资，结果将有多大的财富，那么答案就是终值=PV1.1020=8514006.727=573万美元我们怎么知道1.1020等于6.727呢？这也容易，查查书末的附表2：“t期单位美元终值表”，答案也就出来了。3．3．复利与现值复利（compoundinterest）和单利（singleinterest）之间有着重要的区别，如果资金以复利投资，每期利息都将视作重新投资，在以后各期就将产生更多的利息，但如果投资仅以单利计息，利息就丧失了生息的权利。表3.2比较了100美元分别以复利和单利的方式投资时的结果。注意在单利的情况下，只有100美元的初始投资获得利息报酬，此时投资每年仅带来10美元的财富增长。但在复利的情况下，第1年的初始投资获得10%的收益，年末得到的账面金额将是1001.10=110美元；第2年这110美元将有10%的收益，从而第2年末的账面金额将是1001.102=121美元。表3.2告诉我们，单利和复利计息，投资1期并无差异，投资2期差别不大，但投资20年或更多年份可就天壤地别了。美国革命时期进行100美元的投资，如果以年复利10%计息，现在的价值就将超过1500亿美元，你是否盼望你的祖先能有这样的高瞻远瞩呢？表3.2单利、复利计息时100美元投资的价值比较表年份单利复利初始金额+利息=期末金额初始金额+利息=期末金额1100+10=110100+10=1102110+10=120110+11=1213120+10=130121+12.1=133.14130+10=140133.1+13.3=146.410190+10=200236+24=25920290+10=300612+61=67350590+10=60010672+1067=117391001090+10=11001252783+125278=l3780612002090+10=210017264116042+l726411604=189905276462152240+10=225072116497132+2116497l3=79328146845图3.2中上端的两条曲线比较了以10%的单利和以10%的复利投资100美元时的结果。乍一看来，单利计息时资金的增长率保持不变，而复利时则是加速增长，但这只是视觉上的错误。我们知道，复利计息时，我们的财富将稳定增长10%。事实上，图3.3更为有用，其中数据以近对数的尺度标在图上，不变的复利增长率就表现为一条直线。（P44）美元复利方式增长（10%）单利方式增长（10%）复利方式增长以10%利率贴现未来时间（年）图3.2复利与单利比较图。上端的两条上升曲线表现出100美元投资以单利和复利计息时的增长情况。资金投资的时间越长，复利计息的好处越是明显。最下端的曲线表明要想在10年后获得100美元，现在需要投资38.55美元。反过来说，10年后100美元收入的现值是38.55美元。财务问题通常是复利而非单利，因此，与财务人员交谈，除非特别声明，他们总会认为你是在说复利。贴现是以复利进行的。有些人觉得将问题“如果资金的机会成本为10%，10年后100美元收入的现值是多少？”换为“利率为10%时，要想在10年后获得100美元，我现在需要投资多少？”，直觉上很有帮助。第一个问题的答案就是PV==38.55美元而对第二个问题的回答则是投资额（1.10)10=100美元投资额==38.55美元图3.2和3.3中最下端的曲线描绘了由初始投资38.55美元向其终值100美元的增长轨迹。我们可以将贴现看作由终值到现值，沿图中底线的回归。（P45）美元（对数尺度）复利方式增长（10%）单利方式增长（10%）复利方式增长以10%利率贴现未来时间（年）图3.3除纵座标的尺度改为对数外，表现的情况与图3.2完全相同。恒定的复利增长率意味着一条上升的直线。此图告诉我们以单利计息投资，资金的增长率随着时间的推延，实际上是在下降。关于复利间隔期的一点注记到目前为止，我们有一个潜在假设，就是现金流都是发生在每年年末。生活中有时确会这样，譬如，法国和德国的大多数公司的债券都是每年付息一次，但美国和英国更多的是半年付息一次。在这些国家，投资者的第一次利息就能获得额外的6个月期的利息，结果，利率10%半年复利一次的100美元债券投资，6个月后将变成105美元，到年底就是1.05100=110.25美元。换句话说，利率10%半年复利一次等同于年复利利率10.25%。更一般地，利率r年复利m次的1美元投资到年末将变为[1+（r/m)]m，等同于年复利利率为[1+（r/m)]m-1。20世纪60年代到70年代，储蓄贷款协会一直注意增加利息支付频率对投资者的吸引力，传统上，其存款利率是年复利利率。政府过去常常限定可以对存户支付的最高年利率，但却不谈论复利间隔期。当利率上限开始成为累赘时，储蓄贷款协会逐步实行半年复利，进而每月复利，这样，其等价的年复利利率先是上升至[1+（r/2)]2-1，后升到[1+（r/12)]12-1。渐渐地，有公司推出连续复利利率（continuouslycompoundinterest），即将利息的支付想成是全年等额连续地进行。就我们的公式而言，这就等同于让参量m趋向无穷当我们谈论连续支付时，我们假想货币就象龙头放出的流水，可以连续分割，但实际上谁也无法做到。譬如说，前面的捐款人如果不是每年捐出100000美元，他可以每83/4小时捐出100美元，或者每51/4小时捐出1美元，或者每31/6秒捐出1美分，但他不可能连续付款。财务经理之所以假想可以连续支付而不是每小时、每天或者每周支付，是因为（1）这样可以简化计算，（2）这样求得的结果与经常性付款所得的净现值极其接近。。看起来这会大大增加储蓄贷款协会的计算工作量。其实不然，有人幸运地记起高中代数的内容，立即指出m趋向无穷时，[1+（r/m)]m趋向于（2.718)r，其中数值2.718——或所谓的e，就是自然对数的基底。因此，以利率r连续复利，1美元的投资本利和累加起来到1年末就是er=（2.718)r，t年末就将增长到ert=（2.718)rt，书末附表4给出了ert的数值表。下面我们来试着用用它。例1：假设你出资1美元，以11%（r=0.11）的利率连续复利投资1年（t=1），则1年末的价值为e0.11，你可以在附表4的第2行中查到其量值为1.116美元。换句话说，以11%的利率连续复利投资恰好就是以11.6%的利率年复利投资。例2：假设你出资1美元，以11%（r=0.11）的利率连续复利投资2年（t=2），则投资的终值为ert=e0.22，你可以在附表4的第3行中查到e0.22的量值为1.246美元。资本预算中，常常会遇到将一年之中的现金流看作等额发生而非年末发生更为合理，此时连续复利有着特别的价值。不难利用前面的公式来处理这样的问题。譬如，假设我们想要算出每年付款C的永久年金的现值，我们已经知道，如果是在年末付款，则现值是将付款额除以年复利利率r:PV=如果同样的付款额是全年等额支付，我们用的公式形式依然不变，但公式中的利率换成了连续复利利率。例3：假设年复利利率为18.5%，年末获得现金流100美元的永久年金的现值就是100/0.185=540.54美元。如果现金流是连续收取，现值的计算就应当将100美元除以17%，因为17%连续复利与18.5%的年复利相同（e0.17=1.185）。连续现金流的现值为100/0.17=588.24美元。对任何其他的连续支付，我们总能利用我们计算年金价值的公式。譬如，前面的慈善家考虑得更为周到，决定向一位年长的学究提供一套住房，为此，他必须每年支付100000美元，即刻开始付款，且在今后20年时刻等额付款。前面我们采用的是年复利利率10%，现在我们就要用连续复利，利率为r=9.53%（e0.0953=1.10）。为保证这笔开销，我们的慈善家需要划拔的资金额为记住：年金不过是今天生效的永久年金与t年后生效的永久年金之差。每年连续资金流C美元的永久年金的价值为C/r，其中r为连续复利利率，因此，我们考虑的年金价值为PV=-t年后获得的的现值因r为连续复利利率，t年后获得的C/r在今天的现值应为（C/r）（1/ert），故现在的年金公式为PV=-有时也写作（1-e-rt）：PV=C（-）=100000（-）=1000008.932=893200美元当然，我们也可以利用附表5来简化上面的计算过程。附表5告诉我们如果年复利的收益为10%，那么时刻付款1美元达20年的现值为8.932美元。如果我们回头看看前面对年金的讨论，我们就会看到今后20年每年年末付款100000美元的现值为851406美元，因此，付款采用连续方式，这位慈善家需多花41800美元，较过去的付法多出5%。财务管理中我们对现值常常只需毛估估，现值估计出现5%的偏差还是完全可以接受的。从这个意义上说，我们假设现金流发生在期末还是期初，连续发生还是离散发生，通常都关系不大。但对于有些精细的问题，我们倒确实需要关注资金流发生的精确步调。3．4．名义利率与实际利率如果你投资1000美元，在银行以10%的利率存款，银行对你的承诺是年底向你支付1100美元，但它对这1100美元能买卖多少东西却无半点承诺，这就要看当年的通货膨胀水平。如果商品和服务的价格上升超过10%，从商品购买力的角度来看，你可就损失到家了。反映一般物价水平的经济指标有不少，最知名的当属消费品物价指数（ConsumerPriceIndex），或CPI。CPI度量普通家庭支出的货币水平，本年度到下一年度CPI的变化反映了通货膨胀水平。图3.4显示1926年以来美国的通货膨胀率的变动情况。经济大萧条时期，事实上发生的是滞涨（deflation），商品的平均价格在下降。二战以后通货膨胀巅峰时比率高达18%，不过，这与1993年南斯拉夫的通货膨胀水平相比，可就微不足道，南斯拉夫当时最高的通货膨胀率几乎是每天60%。经济学家有时会谈论当期货币（currentdollars）或名义货币（nominaldollars）与不变货币（constantdollars）或真实货币（realdollars）。譬如说，你的1年期存款将给你带来1100美元的名义现金流，但如果商品价格当年上涨6%，那么每元钱明年将只能比今天少买6%的商品。因此年末的1100美元所能买到的货物只与今天的1100/1.06=1037.74美元的购买量相同，存款的名义收入是1100美元，但其实际收入只有1037.74美元。将未来t时刻的名义现金流转换为实际现金流的一般公式是：实际资金流=名义现金流（1+通货膨胀率)t例如，如果你以10%的利率投资1000美元，投资20年后的名义收入将是10001.120=6727.50美元，但面对6%的通货膨胀率，你的真实收入只有6727.50/1.0620=2097.67美元，换句话说，虽然你将拥有6倍于今天的钱财，但只能享有两倍于今天的商品。银行对你许诺10%的利率，它说的只是名义利率，是你的资金的增长率：当前投资额（美元）投资1期后的收入（美元）结果1000110010%的名义收益率但是，面对6%的通货膨胀率，你的初始投入只得到3.774%的实惠：当前投资额（美元）投资1期后的实际收入（美元）结果10001037.743.774%的期望实际收益率因此，我们可以说：“银行存款提供了10%的名义收益率”，也可以说，“它提供了3.774%的期望实际收益率”。应当注意，名义利率是肯定的，而实际利率只是预期结果。真正的实际利率只有到达考察年份，通货膨胀率明确后才能算得。当通货膨胀率为6%时，10%的名义收益率转化成3.774%的实际收益率，计算实际收益率的公式是1+r名义=（1+r实际）（1+通货膨胀率）=1+r实际+通货膨胀率+（r实际）（通货膨胀率）对上面的例子，1.10=1.037741.063．5．现值公式对债券价值的评估当政府或公司需要借钱时，它们常常会发行债券。债券是一种简单的长期债务，如果你拥有债券，你就获得一系列固定的现金收入：在债券到期日前，每年你将收到利息报酬；到到期日，你还能收回债券的面值金额。债券的面值也称作本金（principal），因此，债券到期时，政府将向你归还本金，支付利息。如果你想买进或者卖出债券，你只需找到一位债券经纪人，他或她就会报出自己愿意买进或者卖出的价格。举例来说，如果你在1998年5月投资于2003年到期的利率为103/4%的美国国债，该债券的息票利率为103/4%，面值为1000美元，这就意味着你将每年都会收到0.10751000=107.50美元的利息报酬，直到2003年。该债券的到期日是2003年5月，到那时，美国财政部会向你支付最后一笔107.50美元的利息，外加1000美元的票面金额。总之，拥有该债券就将得到下列现金流：现金流（美元）19992000200120022003107.5107.5107.5107.51107.5上面这些收入的现值是多少呢？要得到答案，我们就要看看类似证券的报酬情况。1998年夏季，美国其他的中期国债的收益率大约为5.4%，这就是投资者购买利率为103/4%的国债所付出的代价。因此，对利率为103/4%的国债进行价值评估，我们应该利用5.4%来进行现金流贴现：PV=++++=1229.09美元债券的价格通常表示为其面值的百分比，因此，我们可以说利率为103/4%的国债价值为1229.09美元，或者说为122.909%也许你已观察到国债定价的便捷方法，债券就象是两个投资的复合物：第一个投资是每年107.5美元的息票报酬，第二种投资则是到期日的1000美元的面值。因此，对债券价值，我们可以用年金公式来评估息票报酬的价值，再加上最终报酬的现值：PV（债券）=PV（息票报酬）+PV（最终报酬）=（息票5年年金因子）+PV（最终报酬贴现率）=107.5[-]+=460.32+768.77=1229.09美元有时我们不是关心债券的价值，而是面对下面的问题：如果债券的现价为1229.09美元，投资者希望得到的收益是多少？对此问题，我们需要求解下列方程，找出其中未知量r的值来：1229.09=++++利率r常常称作债券的到期收益率（yieldtomaturity）。对我们的例子，r的值为5.4%，如果我们用5.4%来贴现现金流，我们就会得到债券的价格1229.09美元。到第5章我们将会看到，计算r的一般步骤只能是反复尝试，不过，现在也可使用设有专门程序计算r的计算器，还可利用列出不同息票水平、不同到期日下的利率r的债券表册。可能你已注意到我们用来计算利率103/4%的国债现值的公式与我们在3.1节中的一般公式稍有不同，那时，我们使用的r1，1年期资本市场投资的收益率不同于r2，2年期投资的收益率，只是后来，我们才通过假设r1与r2相同来简化问题。现在对国债的定价，我们再次假设投资者利用相同的比率来贴现不同年份产生的现金流。只要利率的期限结构平坦，短期利率接近长期利率，这倒没有什么关系。但如果利率期限并不平坦，职业债券投资人就会对不同流采用不同的贴现率，我们将在第23章进一步讨论这一问题。3．5．1．利率变化与债券定价利率在上下波动，1945年美国政府债券的收益不到2%，但到1981年国债收益已直逼15%。国际利率差异更是惊心动魄，就在我们撰写此书的1998年夏天，日本的短期利率不到1%，而俄罗斯的则已高达60%。那么，利率的变化对债券定价有何影响呢？如果美国债券的收益下调到2%，利率103/4%的国债价格就将上升至PV=++++=1412.43美元而若美国债券的收益跳高至15%，利率103/4%的国债价格就将下跌到PV=++++=857.53美元毫无疑问，投资者要求的利率越高，他们愿意为债券付出的越少。利率变化时，有的债券会比别的债券受到更大的影响，如果债券的现金流延续许多年，影响就会很大；而若债券明天就将到期，影响也就微不足道。3．5．2．复利间隔期与债券定价在计算利率103/4%的国债价值时，我们进行了两个近似处理。首先，我们假定利息的支付是按年进行，而事实上，大多数美国国债半年支付一次息票，因此，利率103/4%的国债投资者不是每年收到107.50美元，而是每半年收到53.75美元。其次，美国国债通常是以半年复利来标明其收益的，因此，如果半年复利的收益率为5.4%，那么6个月的收益率为5.4%/2=2.7%。下面我们再来计算利率103/4%的国债价值，考虑到有10次6个月期53.75美元的息票支付，以及最后的1000美元的票面价值，我们算得：PV=++…++=1231.72美元3．6．本章小结解答现值习题，困难在于正确地提出问题。一旦问题清楚了，你还必须善于计算，但这并不困难。经过本章的学习，现在你所需要的就是一定数量的练习。对多个时段都有收益的资产，基本的现值公式显然是单阶段情形的推广：PV=++…利用这个公式，你总能算出资产现值，但如果不同到期日的利率相同，就有一些化烦为简的技巧。我们考察了三种这样的情形。首先是无限期地每年支付C美元的资产，其价值一目了然：PV=其次是无限期支付、支付额以增长率g稳定增加的资产，其现值为PV=其三是支付t年、每年支付C美元的年金，其现值是两个永久年金价值的差额：PV=C[]下一步我们说明了贴现是一个复利的过程，贴现就是为了以复利利率r产生C1，C2，…等现金流所需的当前投资数量。如果有人向我们提供年利率为r的贷款，我们总应记得检查一下利息复利频度。如果复利间隔期是年，将来我们需要还款（1+r)t美元；而若复利是连续进行，将来我们就需还款2.718rt（或者，用其通常表示ert）美元。资本预算时，我们常常喜欢假定现金流发生在每年的年末，结果我们就用年度复利利率来贴现它们。但有些时候，假定现金流全年等额发生更好，此时我们就需要利用连续复利来进行贴现。现值表可以帮助我们处理许多计算问题，目前我们已经介绍过下列表格：1．t年末收到1美元的现值表；2．1美元在t年末的终值表；3．每年年末收到1美元直到第t年的现值表；4．1美元投资连续复利计息的终值表；5．复利利率为r时t年连续收到1美元的现值表。区别名义现金流与实际现金流有着重要意义，前者是我们将要付出或收到的货币事实金额，后者则是考虑通货膨胀因素的修正金额。同样应清楚的是，一项承诺很高的名义利率，但如果通货膨胀率也是高高在上，实际利率仍然很低，甚至出现负值。本章最后应用现金流贴现技巧讨论了每年支付固定息票的美国国债的价值。本章引入了两个非常重要的概念，我们今后还将多次用到。其一是现值可以累加：如果我们对A+B的现值计算与计算得到的A的现值与B的现值之和不等，我们肯定已经犯了错误。其二是没有生钱机器的观念：如果你发现你找到了这样的机会，还是回头复查你的计算才是。参考文献有关贴现的数学知识，本章的材料已经涵盖了所有你应知道的内容，但如果你还想了解得更加深入，有关的书籍很多，比如说，可以参阅R.Cissell,H.Cissell,andD.C.Flaspohler：ThemathematicsofFinance，8thed.，HoughtonMifflinCompany，1990。练习题1．利率为12%时，6年期的贴现率为0.507，那么，以12%的利率投资0.507美元，6年后的价值为多少？2．如果139美元的现值为125美元，那么贴现因子是多少？3．如果8年期的贴现因子为0.285，那么8年后收到的596美元的现值是多少？4．如果资本成本为9%，那么9年后的374美元的现值是多少？5．某项目产生如下现金流：年份现金流123432137797如果资本成本为15%，那么该项目的现值是多少？6．如果以15%的利率投资100美元，那么8年后你将获得多少美元？7．某项232美元的投资2年后将带来312.18美元，其年利率为多少？8．某项1548美元的投资所得为每年付款138美元的永久年金，如果利率为9%，该投资的净现值为多少？9．某普通股票下一年将发放4美元的现金红利，预计此后的红利将以4%的年增长速度持续增长下去，若贴现率为14%，此红利现金流的现值为多少？10．你刚中了奖额为150万美元的一笔头彩，，遗憾的是，奖金将分10次每年等额支付，第一笔奖金要到下一年才能拿到。若贴现率为8%，该奖金的真实价值为多少？11．回答下列问题：（请勿查表，设利率为10%）（a）每年支付1美元的永久年金的现值是多少？（b）年利率10%的资产，资产价值增长一倍约需7年，8年后开始每年得到1美元的永久年金的现值约为多少？（c）今后7年每年付款1美元的资产现值大约是多少？（d）预计某块土地产生的利润每年增长5%，如果第1年的资金流为10000美元，这块土地价值多少？12．利用书末的附表，回答下列问题：（a）一辆新汽车的成本为10000美元，如果利率为5%，为了5年后筹足这笔款项，现在你该划出多少钱？（b）今后6年，每年年末你需支付12000美元的学费，如果利率为8%，现在你该为之划出多少资金？（c）如果你以8%的利率投资了60476美元，扣除上述学费后，到第6年末你还有多少余款？13．你有机会在贝尔格莱维亚共和国以25%的利率投资，但通货膨胀率为21%，问投资的实际利率是多少？14．设连续复利利率为12%。（a）以此利率投资1000美元，5年后你的投资价值多少？（b）8年后收到的5百万美元的现值是多少？（c）立即开始付款，连续复利15年，每年累计2000美元的连续现金流的现值为多少？15．以6%的利率投资1000万美元，如果利率是以下列方式复利计息：（a）每年一次；（b）每月一次；或（c）连续复利，那么4年后你的投资价值多少？16．到1998年10月，5年期美国政府债券的利率已大致下调为4.5%，试重新评估2003年到期、利率为103/4%的债券价值。（参见第3.5节）如果利率突然攀升至6%，该债券的价值将会有何变化？17．什么是债券的到期收益率？如何计算？实务题1．利用书末附表1的贴现因子，计算下列情况下收到100美元的现值：（a）10年后（1%的贴现率）（b）10年后（13%的贴现率）（c）15年后（25%的贴现率）（d）第1至3年的每年皆得（12%的贴现率）2．利用附表3中的年金因子，计算下列情形下收到的100美元的现值：（a）第1至20年（23%的贴现率）（b）第1至5年（3%的贴现率）（c）第3至12年（9%的贴现率）3．（a）如果1年期的贴现因子为0.88，那么1年期的利率为多少？（b）如果2年期的利率为10.5%，那么2年期的贴现因子为多少？（c）根据上面的1年期、2年期的贴现因子，计算2年期的年金因子。（d）如果每年10美元的3年期年金现值为24.49美元，那么3年期的年金因子为多少？（e）根据（c）、（d）两题的答案，计算3年期的贴现因子。4．一家现购成本800000美元的工厂，预计今后10年扣除经营成本后每年将有170000美元的现金收入。若资本机会成本为14%，该工厂的净现值为多少？工厂在第五年末的价值如何？5．哈罗德·费尔伯特现年30岁，下一年的工资收入将为20000美元，哈罗德估计在其60岁退休前自己的工资收入将以5%的速度逐年增长。（a）若贴现率为8%，这些未来工资收入的现值为多少？（b）若哈罗德每年拿出5%的工资收入，以8%的利率存款，到他60岁时，他的存款将为多少？（c）若哈罗德打算在此后20年里等额消费这笔存款，每年他可消费多少？6．一家现购成本400000美元的工厂，扣除经营成本后，预计第1年将产生100000美元，第2年产生200000美元，第3年产生300000美元的现金收入。已知资本机会成本为12%，按表3.1的方式编制一张工作表，由此计算净现值。7．哈尔松·莱因斯正在考虑购买一艘800万美元的大型运输船，预计每年收入500万美元，经营成本400万美元，该船将在第5年和第10年要进行两次大修，每次将会耗资200万美元，15年后估计该船拆零卖出，尚能得款150万美元。若贴现率为8%，那么该船的净现值为多少？8．作为一名早餐谷物类食品大赛的优胜者，你将可获一项奖品，可供选择的奖品有：（a）现金100000美元；（b）第五年末的180000美元；（c）每年11400美元的永久年金；（d）今后10年每年19000美元；（e）下一年6500美元，此后每年将年增长率5%的现金。如果利率为12%，哪一种奖励价值最高？9．重新考察第3.1节克拉芙特女士的故事。（a）如果一年期的利率为25%，克拉芙特女士需要反复操运作多少次才能成为一个百万富翁？（提示：也许你会发现利用计算器，反复估测调整会省事些）（b）克拉芙特女士的故事说明一年期贴现因子DF1与两年期的贴现因子DF2有何关系？10．西格弗里德·巴塞特现年65岁，估计还能活上12年，他想以年金形式投资20000美元，每年年末能有年金收入，直到寿终为止。如果利率为8%，Basset先生每年可望得到多少？11．詹姆士和海伦·托尼普打算购买一只小艇，为此今后五年准备每年年末存款，若小艇需要20000美元，而他们的存款利率为10%，那么他们在今后1到5年里每年需要存款多少？12．康加卢-奥托公司为其售价10000美元的新车提供无息消费信贷，你可现付1000美元，然后在今后30个月里，每月支付300美元。与其毗邻的脱托摩托公司不允许分期付款，但可以对现价折让1000美元。若利率为10%，哪家公司的售价较为优惠？13．分别在利率为5%，10%和15%的情况下，重新计算第3.1节讨论的办公大楼的净现值，并以净现值为纵坐标，贴现率为横坐标作图，看看贴现率（大约）为多少时，项目的净现值为0？检验你的答案。14.（a）如果以15%的单利投资100美元，10年后这笔投资价值多少？（b）如果是以15%的复利投资，投资价值又是多少？（c）以15%的复利投资，使初始价值加倍需要多长时间？15．你有一条输油管道，下一年可为你赢得200万美元的现金收入，管道的经营成本可以忽略，经营寿命也还很长，遗憾的是，石油的输送量在降低，导致现金流量估计每年减少4%。设贴现率为10%，则（a）如果所说的现金流可以永远生成下去，那么管道现金流的现值是多少？（b）如果管道将于20年后拆毁，管道现金流的现值又是多少？16．设利率为7%，下面三种投资的价值为多少？（a）每年年末得款100美元的永久年金投资；（b）每年年初得款的同样投资；（c）每年时刻等额得款的同样投资。17．重新考虑第3.2节的捐款问题，如果利率是8%而非10%，为了实现下面的资金流，我们的捐款人需要分拔出多少资金？（a）每年年末支付100000美元的永久年金；（b）第一年末支付100000美元，以后以4%的增长率逐年增加的永久年金；（c）今后20年每年年末支付100000美元；（d）今后20年时刻等额支付每年100000美元。18．今天投资1000美元，第8年末蒂布朗财务公司将会向你支付1600美元，这笔投资的年复利利率为多少？连续复利的利率又为多少？19．如果今天你以15%的年复利利率投资100美元，到20年末你将得款多少？如果你以15%的连续复利利率投资，得款又是多少？20．刚才你读到一则广告，广告声称：“今后10年每年给我们100美元，从此以后我们将坚持每年给你100美元。”如果这是一个公平的交易，其中的利率是多少？21．下面的投资你选哪一个？（a）年复利利率为12%的投资；（b）半年复利利率为11.7%的投资；（c）连续复利利率为11.5%的投资。分别计算上述投资进行1年，5年，20年后的价值。22．将适当的数据填入下表：名义利率（%）通货膨胀率（%）实际利率（%）61——10129—323．有时候实际收益率的计算是在名义利率中扣除通货膨胀率所得的差额，如果通货膨胀水平很低，这种经验方法得到的结果与实际很接近。下列情况下，经验公式算出的实际收益率产生的误差多大？名义利率（%）通货膨胀率（%）62952110705024．1880年五名土著侦探以每人可得相当于100澳元的奖励，被请来帮助缉拿臭名昭著的罪犯内德·凯利，1993年，其中两名侦探的孙女声称这笔奖金尚未兑现，维多利亚的总理表示，如果事实成立，政府愿意这100澳元。然而，这两位孙女同时要求她们应当得到复利利息，如果利率为5%，她们应得多少现金？利率为10%时又将如何？25．某租赁 合同 劳动合同范本免费下载装修合同范本免费下载租赁合同免费下载房屋买卖合同下载劳务合同范本下载 要求立即支付100000美元，其后尚须的9次支付，每半年一次，每次100000美元，如果年利率为8%，这笔费用的现值为多少？26．某地方巨头刚刚签下一份1500万美元的资金合同，今后五年每年可有300万美元的资金，一位不太知名的借款人也签下一份为期五年的1400万美元的资金合同，当前可得款400万美元，今后五年每年可得款200万美元。若利率为10%，谁的合同更为优惠？27．1994年8月，《华尔街日报》报道了马萨诸塞州彩票大奖获得者不仅破产，而且因欺诈而入狱的不幸遭遇。这是一笔奖额高达9420713美元，分19次每年等额派发的奖金。（本来派发20次，获奖者已经领取了第一笔奖金。）破产法庭判定这笔奖金将售予出价最高的买主，所得款项用于抵还债务。若利率为8%，你愿为之出价多少？据称强力再保险公司为之付出了420万美元，利用年金表（近似）找出该公司想要的收益率。28．你估计到你35年后退休时，你所积蓄的存款累计将有200万美元，如果利率为8%，而你在退休后尚可活上15年，这些存款每年可为你带来多少等额开支？不幸的是，你的退休收入将受通货膨胀的影响，假设通货膨胀率为4%，试制订一个消费计划，使你退休后每年的实际开支保持相同水平。29．你在考虑购置一个每年可生成400000美元的综合公寓群，对此类投资，你所要求的收益率为10%。已知未来的现金流将会与每年4%的通货膨胀率同步增长，那么，你愿意为此公寓群支付多少，如果（a）现金流的产出永无止境？（b）现金流的产出将在20年后终止？假设扣除土地整理费用，此时地产的价值为500万美元。（这500万美元中包括20年的通货膨胀因素。）计算相应于10%的名义贴现率的真实贴现率。利用真实现金流重新考虑问题（a）和（b）。（你的答案应该没有变化）。30．弗纳尔普尔，独立工作的爬虫学家，打算在其年收入中划出固定比例储蓄以备退休之需。普尔女士现年40岁，年收入为40000美元，她估计自己收入的增长将较通货膨胀率高出2%（这就是说，如果通货膨胀率为4%，她的收入增长就为6%）。她希望到70岁退休时，她能由此得到实际现金500000美元，每年她应该划出的收入比例为多少？假设她将其退休金保守投资，每年的期望实际收益率为5%，不考虑税收。31．1998年10月，2003年到期的美国国债的到期收益率约为4.6%。某2003年11月到期的债券年利率6%，复利计息，其票面价值为10000美元，假设每年支付一次息票，每年复利，试评估债券价值。如果是每半年支付一次息票，半年复利一次，结果又将如何？32．对实务题31，如果利率下调至3.5%，债券的价值有何变化？思考题1．下面是两条经验法则：“72法则”指出利用离散复利方式，一项投资增加一倍所需的时间大约是72/利率（百分比）；“69法则”指出利用连续复利方式，一项投资增加一倍所需的时间恰恰是69.3/利率（百分比）（a）如果年复利利率为12%，利用72法则计算你的现金加倍大约所需的时间。然后再精确计算之。（b）你能否证明69法则？2．利用电子制表软件程序编制你的个人年金表。3．一口油井现在每年生产100000桶石油，该油井可望产油18年以上，但每年的产油量将下降4%，不过，油价将会每年上涨2%。如果贴现率为8%，当前油价为每桶14美元，这囗油井生产的石油的现值是多少？4．推导增长型（或下降型）年金的计算公式。5．假设通货膨胀率为2%，计算利率为103/4%，每年付息的美国国债（参见第3.5节）的真实现金流。然后证明利用真实利率贴现真实现金流得到的现值与用名义利率贴现名义现金流得到的现值完全相同。6．利用电子制表软件程序编制一张债券表，在给定息票利率、到期日和到期收益率的条件下计算债券现值。假设息票每半年支付一次，收益率每半年复利一次。利用这张债券表检验《华尔街日报》上登载的国债收益率。微型案例琼斯家族公司情境：夜色初降，曼哈顿的一间普通家庭住室里，摩登的家具装潢，到处散放着日积月累的《华尔街日报》、《金融时报》，阿兰格林斯潘、乔治索罗斯的签名照醒目高挂，赫德森河的璀璨灯光在图片橱中闪亮，约翰琼斯坐在一台计算机终端前面，闷闷不乐地抿着一杯饮料，正在互联网上交易着日元外汇，这时，他的夫人玛莎走了进来。玛莎：嗨，亲爱的，回到家里真是高兴，虽然交易厅里烦又是糟透了的一天。真烦，没有一笔交易，不过我还是完成了我们铜矿下一年的产品有对冲交易，我没能达成合适的期货头寸，所以我进行了一笔商品互换交易。约翰没有回话。玛莎：约翰，怎么啦？你还在买进日元？几个星期来这种交易可一直在亏呀。约翰：哼，不错，我真不该到高盛公司去赶那外汇交易早餐会，但我现在总得找种方法退出吧。你出去进行商品期货交易的时间里，我就整天呆在这里算那该死的协方差和有效风险收益的均衡。这下你可是大展身手，风光无限了。玛莎：不用担心，亲爱的，一切就会结束的。我们每季度只要再核算一次我们最有效的普通股的投资组合，然后你就可以去进行你的杠杆租赁。约翰：这倒好，你交易，让我来担心一切。最近可有传言说有人想恶意收购我们的租赁公司，我知道我们的负债比太低，而你又忘了安放一枚毒丸，况且最近你又做了一笔负值净现值的投资！玛莎：什么投资？约翰：还不是那辆新的默西迪斯赛马运输车。我们的康涅狄格州来的房地产管理员告诉我它今天就要到货啦，他说，这车要花35000美元！有时我真觉得你对你的克赛珂马比对我还爱呢。玛莎：得了，得了，不用这样想啦，当然是你更重要。不过，不管怎么说，克赛珂可是一流的汉诺威良驹，我们可不能让她在驯马大赛上呆在租来的破旧马笼里吧。约翰和玛