6.轨迹方程.交轨法

第六讲:轨迹方程.交轨法21第六讲:轨迹方程.交轨法若动点满足的几何条件是两动曲线(曲线方程中含有参数)的交点,此时,要首先分析两动曲线的变化,依赖于哪一个变量？设出这个变量为t,求出两动曲线的方程,然后由这两动曲线方程着力消去参数t,化简整理即得动点的轨迹方程,这种求轨迹方程的方法我们称为交轨法.一.解析形式例1:(2003年新课程 高考 地理事物空间分布特征语文高考下定义高考日语答题卡模板高考688高频词汇高考文言文120个实词 试题)己知常数a>0,向量c=(0,a),i=(1,0),经过原点O,以c+λi为方向向量的直线与经过定点A(0,a),以i-2λc为方向向量的直线相交于点P,其中λ∈R,试问:是否存在两个定点E、F,使得|PE|+|PF|为定值.若存在,求出E、F的坐标;若不存在,说明理由.解析:(Ⅰ)由c=(0,a),i=(1,0)c+λi=(λ,a),i-2λc=(1,-2λa)直线OP、AP的方程分别为λy=ax、y-a=-2λax,消去参数λ,得点P(x,y)的坐标满足y(y-a)=-2a2x2,即=1.①当a=时,点P的轨迹为圆,故不存在满足题意的定点;②当a≠时,点P的轨迹为椭圆,故存在椭圆的两焦点满足题意.类题:1.(2011年安徽高考试题)设直线l1:y=k1x+1,l2:y=k2x-1,其中实数k1,k2满足k1k2+2=0.(Ⅰ)证明l1与l2相交;(Ⅱ)证明l1与l2的交点在椭圆2x2+y2=1上.2.(2005年全国高中数学联赛安徽预赛试题)己知常数a>0,向量p=(1,0),q=(0,a),经过定点M(0,-a),方向向量为λp+q的直线与经过定点N(0,a),方向向量为p+2λq的直线相交于点R,其中λ∈R.(Ⅰ)求点R的轨迹方程;(Ⅱ)设a=,过F(0,1)的直线l交点R的轨迹于A、B两点,求的取值范围.二.平几形式例2:(2013年福建高考试题)如图,在正方形OABC中,yO为坐标原点,点A的坐标为(10,0),点C的坐标为(0,CB10),分别将线段OA和AB十等分,分点分别记为A1,A2,Bi…,A9和B1,B2,…,B9,连接OBi,过Ai作x轴的垂线与OBiB1交于点Pi(i∈N+,1≤i≤9).OA1AiAx(Ⅰ)求证:点Pi(i∈N+,1≤i≤9)都在同一条抛物线上,并求该抛物线E的方程;(Ⅱ)过点C作直线l与交抛物线E于不同的两点M、N,若△OCM与△OCN的面积比为4:1,求直线l的方程.解析:(Ⅰ)因Bi(10,i)直线OBi:y=x;直线AiPi:x=iPi(i,)点Pi(i∈N+,1≤i≤9)在抛物线E:x2=10y上;(Ⅱ)设M(x1,y1),N(x2,y2),直线l:y=kx+10;由x2-10kx-100=0x1+x2=10k,x1x2=-100;因△OCM与△OCN的面积比为4:1|x1|=4|x2|(x1x2<0)x1=-4x2-3x2=10k,-4x22=-100k=直线l的方程:y=x+10.类题:1.(1983年全国高考副题)如图,在直角坐标系中,己知矩形OABC的边y长OA=a,CO=b,点D在AO的延长线上,OD=a,设M、N分别是OC、BCCNB边上的动点,使OM:MC=BN:NC≠0,求直线DM与AN的交点P的轨迹方MP程,并画出图形.DOAx22第六讲:轨迹方程.交轨法2.(2003年大纲卷高考试题)己知常数a>0,在矩形ABCD中,AB=4,BC=4a,yO为AB的中点.点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动,且,DFCP为CE与OF的交点(如图)问是否存在两个定点,使P到这两点的距离的GPE和为定值.若存在,求出这两点的坐标及此定值;若不存在,请说明理由.AOBx三.解析条件例3:(2004年全国高中数学联赛山东预赛试题)设A1、A2是椭圆+=1(a>b>0)长轴上的两个顶点,P1P2是垂直于长轴的弦,直线A1P1与A2P2的交点为P.则点P的轨迹的方程是.解析:设点P1的坐标为(m,n),则有P2(m,-n),A1P1所在直线的方程为y=(x+a),A2P2所在直线的方程为y=(x-a),两式相乘,并利用+=1消去m、n有-=1.类题:1.(1990年上海高考试题)己知点P在直线x=2上移动,直线l过原点且与OP垂直,通过点A(1,0)及点P的直线m与直线l交于点Q,求点Q的轨迹方程,并指出该轨迹的名称和它的焦点坐标.2.(1986年全国高考试题)已知两点P(-2,2),Q(0,2)以及一条直线:L:y=x,设长为的线段AB在直线L上移动,求直线PA和QB的交点M的轨迹方程.( 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 把结果写成普通方程).四.曲线条件例4:(2012年辽宁高考试题)如图,动圆C1:x2+y2=t2,1<t<3,与椭圆C2:+y2=1相交于A,B,C,D四点,点A1,A2分别为C2的左,右顶点.(Ⅰ)当t为何值时,矩形ABCD的面积取得最大值？并求出其最大面积;(Ⅱ)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程.解析:(Ⅰ)设D(x0,y0)(x0>0,y0>0),则+y02=1,矩形ABCD的面积S=4x0y0S2=16x02y02=16x02(1-)=-(x02-)2+36,当x02=时,S取得最大值6,此时,y02=t2=x02+y02=+=5t=;(Ⅱ)由A1(-3,0),A2(3,0),设A(a,b),则B(a,-b),且+b2=1;直线AA1:y=(x+3),A2B:y=-(x-3),两式相乘得:y2=-(x2-9)y2=(x2-9)-y2=1;由-3<a<0,0<b<1x<-3,y<0M的轨迹方程:-y2=1(x<-3,y<0).类题:1.(2010年广东高考试题)已知双曲线-y2=1的左、右顶点分别为A1,A2,点P(x1,y1),Q(x1,-y1)是双曲线上不同的两个动点.(Ⅰ)求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程式;(Ⅱ)若过点H(O,h)(h>1)的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点,且l1⊥l2,l1求h的值.2.(2012年江苏高考试题)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0).第六讲:轨迹方程.交轨法23已知(1,e)和(e,)都在椭圆上,其中e为椭圆的离心率.(Ⅰ)求椭圆的离心率;(Ⅱ)设A,B是椭圆上位于x轴上方的两点,且直线AF1与直线BF2平行,AF2与BF1交于点P.(i)若AF1-BF2=,求直线AF1的斜率;(ii)求证:PF1+PF2是定值.五.动弦上点例5:(2005年全国高中数学联赛山东预赛试题)如图,y过原点O作抛物线y2＝2px(p>0)的两条互相垂直的弦AOA、OB,再作∠AOB的平分线交AB于C.OCx求点C的轨迹方程.B解析:设A(2pa2,2pa)(a>0),B(2pb2,2pb)(ab≠0),由OA⊥OBab=-1EMBEDEquation.3===|a|3,由OC平分∠AOBEMBEDEquation.3==|a|3EMBEDEquation.3=|a|3,设C(x,y),则x-2pa2=a3(2pb2-x),y-2pa=a3(2pb-y)x==,y=EMBEDEquation.3EMBEDEquation.3=EMBEDEquation.3a=EMBEDEquation.3y[1+()3]=2p(+1)y(x2+3y2)=2p(x2-y2).类题:1.(2008年北京、安徽春招试题)设点A和B为抛物线y2=4px(p>0)上原点以外的两个动点,己知OA⊥OB,OM⊥AB,求点M的轨迹方程,并说明它表示什么曲线.2.(2007年天津高考试题)设椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,A是椭圆上一点,AF2⊥F1F2,原点O到直线AF1的距离为|OF1|.(Ⅰ)证明:a=b;(Ⅱ)设Q1、Q2为椭圆上的两个动点,OQ1⊥OQ2,过原点O作直线Q1Q2的垂线OD,垂足为D,求点D的轨迹方程.六.动弦交点例6:(2011年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设点A(-1,0),B(1,0),C(2,0),yPD在双曲线x2-y2=1的左支上,D≠A,直线CD交双曲线x2-y2=1的右支于点E,求证:直线AD与BE的交点P在直线x=上.ABCx解析:设D(x1,y1)(x1<0),E(x2,y2)(x2>0),直线DE:y=k(x-2);D由EMBEDEquation.3(1-k2)x2+4k2x-4k2-1=0(k≠1)x1+x2=,x1x2=x1+x2=4+=(x1+x2)-1,x1x2=+=(x1+x2)+(x1+x2)-1=(x1+x2)-1;直线AD:y=(x+1)=(x+1),直线BE:y=(x-1)=(x-1)直线AD与BE交点P的横坐标x满足:(x+1)=(x-1)(-)x=-(+24第六讲:轨迹方程.交轨法)x=-=-=.类题:1.(2011年四川高考试题)(文)过点C(0,1)的椭圆(a>b>0)的离心率为,椭圆与x轴交于两点A(a,0),B(-a,0),过点C的直线l与椭圆交于另一点yD,并与x轴交于点P,直线AC与直线BD交于C点Q.(Ⅰ)当直线l过椭圆右焦点时,求线段CD的长;BOPAx(Ⅱ)当点P异于点B时,求证:为定值.DQ2.(2011年四川高考试题)(理)椭圆有两顶y点A(-1,0)、B(1,0),过其焦点F(0,1)的直线lD与椭圆交与C、D两点,并与x轴交于点P.直线CAC与直线BD交于点Q.AOBPx(Ⅰ)当|CD|=EMBEDEquation.3时,求直线l的方程;(Ⅱ)当点P异于A、B两点时,求证:为定值.ABPO�EMBEDEquation.DSMT4����EMBEDEquation.DSMT4���xy_1436987585.unknown_1436989447.unknown_1437030418.unknown_1437030490.unknown_1437031645.unknown_1437031762.unknown_1437031812.unknown_1437031658.unknown_1437031159.unknown_1437031233.unknown_1437031263.unknown_1437031608.unknown_1437031401.unknown_1437031256.unknown_1437031208.unknown_1437031117.unknown_1437031133.unknown_1437030852.unknown_1437030894.unknown_1437030456.unknown_1436990240.unknown_1436990642.unknown_1437030298.unknown_1436990432.unknown_1436989561.unknown_1436989656.unknown_1436989491.unknown_1436988721.unknown_1436988983.unknown_1436989045.unknown_1436989398.unknown_1436989028.unknown_1436988876.unknown_1436988923.unknown_1436988851.unknown_1436988031.unknown_1436988147.unknown_1436988457.unknown_1436988110.unknown_1436987834.unknown_1436987969.unknown_1436987678.unknown_1422008031.unknown_1422556101.unknown_1422557283.unknown_1422557944.unknown_1422558046.unknown_1422558099.unknown_1422558124.unknown_1422557959.unknown_1422557891.unknown_1422557915.unknown_1422557691.unknown_1422557035.unknown_1422557204.unknown_1422557261.unknown_1422557153.unknown_1422557013.unknown_1422556000.unknown_1422556058.unknown_1422556089.unknown_1422008083.unknown_1234568062.unknown_1234568064.unknown_1387285045.unknown_1421933249.unknown_1400668268.unknown_1400668285.unknown_1388579228.unknown_1234568580.unknown_1384865451.unknown_1384866258.unknown_1384866262.unknown_1384866251.unknown_1383164970.unknown_1234568065.unknown_1234568063.unknown_1234568057.unknown_1234568059.unknown_1234568060.unknown_1234568061.unknown_1234568058.unknown_1234568056.unknown_1234568054.unknown_1234568055.unknown