高中数学选修2-2第一章教案

. —－可编辑修改，可打印—— 别找了你想要的都有！ 精品教育资料 ——全册 教案 中职数学基础模块教案 下载北师大版¥1.2次方程的根与系数的关系的教案关于坚持的教案初中数学教案下载电子教案下载 ，，试卷，教学课件，教学设计等一站式服务—— 全力满足教学需求，真实规划教学环节 最新全面教学资源，打造完美教学模式 第一章导数及其应用 主备人：迪力孜拉 辅备人：迪力孜拉 授课时间： 2016年 月 日 课 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 变化率问题 教学内容 教材第2,3,4页的内容。 教 学 目 标 知识与能力： 理解平均变化率的概念； 过程与 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ： 了解平均变化率的几何意义； 情感态度与价值观： 会求函数在某点处附近的平均变化率 教学重点 平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点 平均变化率的概念． 突破方法 通过情境演示的活动，掌握连加、连减算式的计算顺序和理解连加、连减算式的含义。 教 学 过 程 一．创设情景 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关： 一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。 导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度． 二．新课讲授 （一）问题提出 问题1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? · 气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是 · 如果将半径r表示为体积V的函数,那么 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 : ， 1 当V从0增加到1时,气球半径增加了 气球的平均膨胀率为 2 当V从1增加到2时,气球半径增加了 气球的平均膨胀率为 可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了． 思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少? 问题2 高台跳水 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速 度粗略地描述其运动状态? 思考计算： 和 的平均速度 在 这段时间里， ； 在 这段时间里， 探究：计算运动员在 这段时间里的平均速度，并思考以下问题： ⑴运动员在这段时间内使静止的吗？ ⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知， ， 所以 ， 虽然运动员在 这段时间里的平均速度为 ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． （二）平均变化率概念: 1．上述问题中的变化率可用式子 表示, 称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率 2．若设 , (这里 看作是对于x1的一个“增量”可用x1+ 代替x2,同样 ) 3． 则平均变化率为 EMBED Equation.3 思考：观察函数f(x)的图象 平均变化率 EMBED Equation.3 表示什么? 三．典例分析 例1．已知函数f(x)= 的图象上的一点 及临近一点 ,则 ． 例2求 在 附近的平均变化率。 四．课堂练习 1．质点运动规律为· ，则在时间 中相应的平均速度为 ． 2.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率. 3.过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q (1+Δx,1+Δy)作曲线的割线，求出当Δx=0.1时割线的斜率. 五．回顾总结 1．平均变化率的概念 2．函数在某点处附近的平均变化率 六．布置作业 板 书 设 计 课 后 小 记 主备人：迪力孜拉 辅备人：迪力孜拉 授课时间： 2016 年 月 日 课 题 导数的概念 教学内容 教材第5,6,7页. 教 学 目 标 知识与能力： 了解瞬时速度、瞬时变化率的概念； 过程与方法： 理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵； 情感态度与价值观： 会求函数在某点的导数 教学重点 瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念； 教学难点 导数的概念． 突破方法 小组合作交流，共同探究。 教 学 过 程 一．创设情景 （一）平均变化率 （二）探究：计算运动员在 这段时间里的平均速度，并思考以下问题： ⑴运动员在这段时间内使静止的吗？ ⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知， ， 所以 ， 虽然运动员在 这段时间里的平均速度为 ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． 二．新课讲授 1．瞬时速度 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如， 时的瞬时速度是多少？考察 附近的情况： 思考：当 趋近于0时，平均速度 有什么样的变化趋势？ 结论：当 趋近于0时，即无论 从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度 都趋近于一个确定的值 ． 从物理的角度看，时间 间隔无限变小时，平均速度 就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在 时的瞬时速度是 为了表述方便，我们用 表示“当 ， 趋近于0时，平均速度 趋近于定值 ” 小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。 2 导数的概念 从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是: 我们称它为函数 在 出的导数，记作 或 ，即 说明：（1）导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率 （2） ，当 时， ，所以 三．典例分析 例1．（1）求函数y=3x2在x=1处的导数. （2）求函数f(x)= 在 附近的平均变化率，并求出在该点处的导数． 例2．（课本例1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第 时，原油的温度（单位： ）为 ，计算第 时和第 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义． 解：在第 时和第 时，原油温度的瞬时变化率就是 和 根据导数定义， 所以 同理可得: 在第 时和第 时，原油温度的瞬时变化率分别为 和5，说明在 附近，原油温度大约以 的速率下降，在第 附近，原油温度大约以 的速率上升． 注：一般地， 反映了原油温度在时刻 附近的变化情况． 四．课堂练习 1．质点运动规律为 ，求质点在 的瞬时速度为． 2．求曲线y=f(x)=x3在 时的导数． 3．例2中，计算第 时和第 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义． 五．回顾总结 1．瞬时速度、瞬时变化率的概念 2．导数的概念 六．布置作业 板 书 设 计 课 后 小 记 主备人：迪力孜拉 辅备人：迪力孜拉 授课时间： 2016年 月 日 课 题 导数的几何意义 教学内容 教材第7，8，9，10页内容 教 学 目 标 知识与能力： 1．了解平均变化率与割线斜率之间的关系； 过程与方法： 2．理解曲线的切线的概念； 情感态度和价值观： 3．通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题； 教学重点 曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义； 教学难点 导数的几何意义 突破方法 通过学生自主探究活动，帮助学生理解和掌握加减混合的计算顺序，会计算加减混合式题。 教 学 过 程 一．创设情景 （一）平均变化率、割线的斜率 （二）瞬时速度、导数 我们知道，导数表示函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率，反映了函数y=f(x)在x=x0附近的变化情况，导数 的几何意义是什么呢？ 二．新课讲授 （一）曲线的切线及切线的斜率：如图3.1-2，当 沿着曲线 趋近于点 时，割线 的变化趋势是什么？ 我们发现,当点 沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线. 问题：⑴割线 的斜率 与切线PT的斜率 有什么关系？ ⑵切线PT的斜率 为多少？ 容易知道，割线 的斜率是 ,当点 沿着曲线无限接近点P时， 无限趋近于切线PT的斜率 ，即 说明：（1）设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率. 这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质—函数在 处的导数. （2）曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个. （二）导数的几何意义： 函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点 处的切线的斜率， 即 说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出P点的坐标; ②求出函数在点 处的变化率 ，得到曲线在点 的切线的斜率； ③利用点斜式求切线方程. （二）导函数： 由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当时, 是一个确定的数，那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.记作： 或 ， 即: 注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数． （三）函数 在点 处的导数 、导函数 、导数 之间的区别与联系。 1）函数在一点处的导数 ，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。 2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的， 就是函数f(x)的导函数 3）函数 在点 处的导数 就是导函数 在 处的函数值，这也是 求函数在点 处的导数的方法之一。 三．典例分析 例1:（1）求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程. （2）求函数y=3x2在点 处的导数. 解：（1） , 所以，所求切线的斜率为2，因此，所求的切线方程为 即 （2）因为 所以，所求切线的斜率为6，因此，所求的切线方程为 即 （2）求函数f(x)= 在 附近的平均变化率，并求出在该点处的导数． 解： 例2．（课本例2）如图3.1-3，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数 ，根据图像，请描述、比较曲线 在 、 、 附近的变化情况． 解：我们用曲线 在 、 、 处的切线，刻画曲线 在上述三个时刻附近的变化情况． （1） 当 时，曲线 在 处的切线 平行于 轴，所以，在 附近曲线比较平坦，几乎没有升降． （2） 当 时，曲线 在 处的切线 的斜率 ，所以，在 附近曲线下降，即函数 在 附近单调递减． （3） 当 时，曲线 在 处的切线 的斜率 ，所以，在 附近曲线下降，即函数 在 附近单调递减． 从图3.1-3可以看出，直线 的倾斜程度小于直线 的倾斜程度，这说明曲线在 附近比在 附近下降的缓慢． 例3．（课本例3）如图3.1-4，它表示人体血管中药物浓度 (单位： )随时间 （单位： ）变化的图象．根据图像，估计 时，血管中药物浓度的瞬时变化率（精确到 ）． 解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度 在此时刻的导数，从图像上看，它表示曲线 在此点处的切线的斜率． 如图3.1-4，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值． 作 处的切线，并在切线上去两点，如 ， ，则它的斜为： 所以 下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值： 四．课堂练习 1．求曲线y=f(x)=x3在点 处的切线； 2．求曲线 在点 处的切线． 五．回顾总结 1．曲线的切线及切线的斜率； 2．导数的几何意义 六．布置作业 板 书 设 计 课 后 小 记 主备人：迪力孜拉 辅备人：迪力孜拉 授课时间：2016 年 月 日 课 题 几个常用函数的导数 教学内容 教材第14,15页的内容 教 学 目 标 知识与能力： 使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数 、 、 、 的导数公式； 过程与方法： 掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数． 情感态度与价值观： 掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数． 教学重点 四种常见函数 、 、 、 的导数公式及应用 教学难点 四种常见函数 、 、 、 的导数公式 突破方法 通过学生自主探究活动，帮助学生理解和掌握加减混合的计算顺序，会计算加减混合式题。 教 学 过 程 一．创设情景 我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数 ，如何求它的导数呢？ 由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数． 二．新课讲授 1．函数 的导数 根据导数定义，因为 所以 EMBED Equation.DSMT4 表示函数 图像（图3.2-1）上每一点处的切线的斜率都为0．若 表示路程关于时间的函数，则 可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态． 2．函数 的导数因为 所以 EMBED Equation.DSMT4 表示函数 图像（图3.2-2）上每一点处的切线的斜率都为1．若 表示路程关于时间的函数，则 可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动 3．函数 的导数因为 EMBED Equation.DSMT4 所以 表示函数 图像（图3.2-3）上点 处的切线的斜率都为 ，说明随着 的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当 时，随着 的增加，函数 减少得越来越慢；当 时，随着 的增加，函数 增加得越来越快．若 表示路程关于时间的函数，则 可以解释为某物体做变速运动，它在时刻 的瞬时速度为 ． 4．函数 的导数 因为 EMBED Equation.DSMT4 所以 （2）推广：若 ，则 三．课堂练习 1．课本P13探究1 2．课本P13探究2 4．求函数 的导数 四．回顾总结 五．布置作业 板 书 设 计 课 后 小 记 主备人：迪力孜拉 辅备人：迪力孜拉 授课时间： 2016 年 月 日 课 题 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 教学内容 教材第16页内容 教 学 目 标 知识与技能： 熟练掌握基本初等函数的导数公式； 过程与方法： 掌握导数的四则运算法则； 情感态度和价值观： 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数． 教学重点 基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则 教学难点 基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用 突破方法 通过多种形式的数学活动和评价，提高学生口算能力和计算正确率。 教 学 过 程 一．创设情景 函数 导数 四种常见函数 、 、 、 的导数公式及应用 二．新课讲授 （一）基本初等函数的导数公式表 函数 导数 （二）导数的运算法则 导数运算法则 1． 2． 3． （2）推论： （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数） 三．典例分析 例1．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为 ，物价 （单位：元）与时间 （单位：年）有如下函数关系 ，其中 为 时的物价．假定某种商品的 ，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？ 解：根据基本初等函数导数公式表，有 所以 （元/年） 因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨． 例2．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数． （1） （2）y ＝ ； （3）y ＝x · sin x · ln x； （4）y ＝ ； （5）y ＝ ． （6）y ＝（2 x2－5 x ＋1）ex （7） y ＝ 【点评】 ① 求导数是在定义域内实行的．② 求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心． 例3日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为 时所需费用（单位：元）为 求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1） （2） 解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数． EMBED Equation.DSMT4 （1） 因为 ，所以，纯净度为 时，费用的瞬时变化率是52.84元/吨． （2） 因为 ，所以，纯净度为 时，费用的瞬时变化率是1321元/吨． 函数 在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可知， ．它表示纯净度为 左右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯净度为 左右时净化费用的瞬时变化率的25倍．这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快． 四．课堂练习 1．课本P92练习 2．已知曲线C：y ＝3 x 4－2 x3－9 x2＋4，求曲线C上横坐标为1的点的切线方程； （y ＝－12 x ＋8） 五．回顾总结 （1）基本初等函数的导数公式表 （2）导数的运算法则 六．布置作业 板 书 设 计 课 后 小 记 主备人：迪力孜拉 辅备人：迪力孜拉 授课时间： 2016年 月 日 课 题 复合函数的求导法则 教学内容 教材第17,18内容。 教 学 目 标 知识与技能： 理解并掌握复合函数的求导法则 过程与方法： 理解并掌握复合函数的求导法则 情感态度和价值观： 函数的求导法则的应用 教学重点 复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积． 教学难点 正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确． 突破方法 通过多种形式的练习，提高学生应用所学数学知识解决简单实际问题的能力。 教 学 过 程 一．创设情景 （一）基本初等函数的导数公式表 函数 导数 （二）导数的运算法则 导数运算法则 1． 2． 3． （2）推论： （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数） 二．新课讲授 复合函数的概念 一般地，对于两个函数 和 ，如果通过变量 ， 可以表示成 的函数，那么称这个函数为函数 和 的复合函数，记作 。 复合函数的导数 复合函数 的导数和函数 和 的导数间的关系为 ，即 对 的导数等于 对 的导数与 对 的导数的乘积． 若 ，则 三．典例分析 例1求y ＝sin（tan x2）的导数． 【点评】 求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果． 例2求y ＝ 的导数． 【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理． 例3求y ＝sin4x ＋cos 4x的导数． 【解法一】y ＝sin 4x ＋cos 4x＝(sin2x ＋cos2x)2－2sin2cos2x＝1－ sin22 x ＝1－ （1－cos 4 x）＝ ＋ cos 4 x．y′＝－sin 4 x． 【解法二】y′＝(sin 4 x)′＋(cos 4 x)′＝4 sin 3 x(sin x)′＋4 cos 3x (cos x)′＝4 sin 3 x cos x ＋4 cos 3 x (－sin x)＝4 sin x cos x (sin 2 x －cos 2 x)＝－2 sin 2 x cos 2 x＝－sin 4 x 【点评】 解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步． 例4曲线y ＝x（x ＋1）（2－x）有两条平行于直线y ＝x的切线，求此二切线之间的距离． 【解】y ＝－x 3 ＋x 2 ＋2 x y′＝－3 x 2＋2 x ＋2 令y′＝1即3 x2－2 x －1＝0，解得 x ＝－ 或x ＝1． 于是切点为P（1，2），Q（－ ，－ ）， 过点P的切线方程为，y －2＝x －1即 x －y ＋1＝0． 显然两切线间的距离等于点Q 到此切线的距离，故所求距离为 ＝ ． 四．课堂练习 1．求下列函数的导数 (1) y =sinx3+sin33x；（2） ;(3) 2.求 的导数 五．回顾总结 六．布置作业 板 书 设 计 课 后 小 记 主备人：迪力孜拉 辅备人：迪力孜拉 授课时间： 2016年 月 日 课 题 函数的单调性与导数 教学内容 教材第23,24,25,26,27,28页内容。 教 学 目 标 知识与技能： 了解可导函数的单调性与其导数的关系； 过程与方法： 了解可导函数的单调性与其导数的关系； 情感态度和价值观： 能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次； 教学重点 利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间 教学难点 利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间 突破方法 通过多种形式的练习，提高学生应用所学数学知识解决简单实际问题的能力。 教 学 过 程 一．创设情景 函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用． 二．新课讲授 1．问题：图3.3-1（1），它表示跳水运动中高度 随时间 变化的函数 的图像，图3.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度 随时间 变化的函数 的图像． 运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？ 通过观察图像，我们可以发现： （1） 运动员从起点到最高点，离水面的高度 随时间 的增加而增加，即 是增函数．相应地， ． （2） 从最高点到入水，运动员离水面的高度 随时间 的增加而减少，即 是减函数．相应地， ． 2．函数的单调性与导数的关系 观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系． 如图3.3-3，导数 表示函数 在 点 处的切线的斜率． 在 处， ，切线是“左下右上”式的， 这时，函数 在 附近单调递增； 在 处， ，切线是“左上右下”式的， 这时，函数 在 附近单调递减． 结论：函数的单调性与导数的关系 在某个区间 内，如果 ，那么函数 在这个区间内单调递增；如果 ，那么函数 在这个区间内单调递减． 说明：（1）特别的，如果 ，那么函数 在这个区间内是常函数． 3．求解函数 单调区间的步骤： （1）确定函数 的定义域； （2）求导数 ； （3）解不等式 ，解集在定义域内的部分为增区间； （4）解不等式 ，解集在定义域内的部分为减区间． 三．典例分析 例1．已知导函数 的下列信息： 当 时， ； 当 ，或 时， ； 当 ，或 时， 试画出函数 图像的大致形状． 解：当 时， ，可知 在此区间内单调递增； 当 ，或 时， ；可知 在此区间内单调递减； 当 ，或 时， ，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”． 综上，函数 图像的大致形状如图3.3-4所示． 例2．判断下列函数的单调性，并求出单调区间． （1） ； （2） （3） ； （4） 解：（1）因为 ，所以， 因此， 在R上单调递增，如图3.3-5（1）所示． （2）因为 ，所以， 当 ，即 时，函数 单调递增； 当 ，即 时，函数 单调递减； 函数 的图像如图3.3-5（2）所示． （3）因为 ，所以， 因此，函数 在 单调递减，如图3.3-5（3）所示． （4）因为 ，所以 ． 当 ，即 时，函数 ； 当 ，即 时，函数 ； 函数 的图像如图3.3-5（4）所示． 注：（3）、（4）生练 例3 如图3.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度 与时间 的函数关系图像． 分析：以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快．反映在图像上，（A）符合上述变化情况．同理可知其它三种容器的情况． 解： 思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？ 一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大， 那么函数在这个范围内变化的快， 这时，函数的图像就比较“陡峭”； 反之，函数的图像就“平缓”一些． 如图3.3-7所示，函数 在 或 内的图像“陡峭”， 在 或 内的图像“平缓”． 例4 求证：函数 在区间 内是减函数． 证明：因为 当 即 时， ，所以函数 在区间 内是减函数． 说明：证明可导函数 在 内的单调性步骤： （1）求导函数 ； （2）判断 在 内的符号； （3）做出结论： 为增函数， 为减函数． 例5 已知函数 在区间 上是增函数，求实数 的取值范围． 解： ，因为 在区间 上是增函数，所以 对 恒成立，即 对 恒成立，解之得： 所以实数 的取值范围为 ． 说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则 ；若函数单调递减，则 ”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解． 四．课堂练习 1．求下列函数的单调区间 1.f(x)=2x3－6x2+7 2.f(x)= +2x 3. f(x)=sinx , x 4. y=xlnx 2．课本 练习 五．回顾总结 （1）函数的单调性与导数的关系 （2）求解函数 单调区间 （3）证明可导函数 在 内的单调性 六．布置作业 板 书 设 计 课 后 小 记 主备人：迪力孜拉 辅备人：迪力孜拉 授课时间： 2016年 月 日 课 题 函数的极值与导数 教学内容 教材第28,29,30,31页内容。 教 学 目 标 知识与技能： 理解极大值、极小值的概念； 过程与方法： 能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值； 情感态度和价值观： 掌握求可导函数的极值的步骤； 教学重点 极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤. 教学难点 对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤 突破方法 通过多种形式的练习，提高学生应用所学数学知识解决简单实际问题的能力。 教 学 过 程 一．创设情景 观察图3.3-8，我们发现， 时，高台跳水运动员距水面高度最大．那么，函数 在此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？ 放大 附近函数 的图像，如图3.3-9．可以看出 ；在 ，当 时，函数 单调递增， ；当 时，函数 单调递减， ；这就说明，在 附近，函数值先增（ ， ）后减（ ， ）．这样，当 在 的附近从小到大经过 时， 先正后负，且 连续变化，于是有 ． 对于一般的函数 ，是否也有这样的性质呢？ 附：对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的. 从图象观察得出，判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号 二．新课讲授 1．问题：图3.3-1（1），它表示跳水运动中高度 随时间 变化的函数 的图像，图3.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度 随时间 变化的函数 的图像． 运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？ 通过观察图像，我们可以发现： （3） 运动员从起点到最高点，离水面的高度 随时间 的增加而增加，即 是增函数．相应地， ． （4） 从最高点到入水，运动员离水面的高度 随时间 的增加而减少，即 是减函数．相应地， ． 2．函数的单调性与导数的关系 观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系． 如图3.3-3，导数 表示函数 在点 处的切线的斜率．在 处， ，切线是“左下右上”式的，这时，函数 在 附近单调递增；在 处， ，切线是“左上右下”式的，这时，函数 在 附近单调递减． 结论：函数的单调性与导数的关系 在某个区间 内，如果 ，那么函数 在这个区间内单调递增；如果 ，那么函数 在这个区间内单调递减． 说明：（1）特别的，如果 ，那么函数 在这个区间内是常函数． 3．求解函数 单调区间的步骤： （1）确定函数 的定义域； （2）求导数 ； （3）解不等式 ，解集在定义域内的部分为增区间； （4）解不等式 ，解集在定义域内的部分为减区间． 三．典例分析 例1．已知导函数 的下列信息： 当 时， ； 当 ，或 时， ； 当 ，或 时， 试画出函数 图像的大致形状． 解：当 时， ，可知 在此区间内单调递增； 当 ，或 时， ；可知 在此区间内单调递减； 当 ，或 时， ，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”． 综上，函数 图像的大致形状如图3.3-4所示． 例2．判断下列函数的单调性，并求出单调区间． （1） ； （2） （3） ； （4） 解：（1）因为 ，所以， 因此， 在R上单调递增，如图3.3-5（1）所示． （2）因为 ，所以， 当 ，即 时，函数 单调递增； 当 ，即 时，函数 单调递减； 函数 的图像如图3.3-5（2）所示． （5） 因为 ，所以， 因此，函数 在 单调递减，如图3.3-5（3）所示． （6） 因为 ，所以 ． 当 ，即 时，函数 ； 当 ，即 时，函数 ； 函数 的图像如图3.3-5（4）所示． 注：（3）、（4）生练 例6 如图3.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度 与时间 的函数关系图像． 分析：以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快．反映在图像上，（A）符合上述变化情况．同理可知其它三种容器的情况． 解： 思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？ 一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些．如图3.3-7所示，函数 在 或 内的图像“陡峭”，在 或 内的图像“平缓”． 例7 求证：函数 在区间 内是减函数． 证明：因为 当 即 时， ，所以函数 在区间 内是减函数． 说明：证明可导函数 在 内的单调性步骤： （1）求导函数 ； （2）判断 在 内的符号； （3）做出结论： 为增函数， 为减函数． 例8 已知函数 在区间 上是增函数，求实数 的取值范围． 解： ，因为 在区间 上是增函数，所以 对 恒成立，即 对 恒成立，解之得： 所以实数 的取值范围为 ． 说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则 ；若函数单调递减，则 ”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解． 四．课堂练习 1．求下列函数的单调区间 1.f(x)=2x3－6x2+7 2.f(x)= +2x 3. f(x)=sinx , x 4. y=xlnx 2．课本P101练习 五．回顾总结 （1）函数的单调性与导数的关系 （2）求解函数 单调区间 （3）证明可导函数 在 内的单调性 六．布置作业 板 书 设 计 课 后 小 记 主备人：迪力孜拉 辅备人：迪力孜拉 授课时间： 2016年 月 日 课 题 函数的最大（小）值与导数 教学内容 教材第31,32,33页内容。 教 学 目 标 知识与技能： 使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数 在闭区间 上所有点（包括端点 ）处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条件； 过程与方法： 使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤 情感态度和价值观： 使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤 教学重点 利用导数求函数的最大值和最小值的方法. 教学难点 函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系． 突破方法 通过多种形式的练习，提高学生应用所学数学知识解决简单实际问题的能力。 教 学 过 程 一．创设情景 我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质．也就是说，如果 是函数 的极大（小）值点，那么在点 附近找不到比 更大（小）的值．但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们更关心函数在某个区间上，哪个至最大，哪个值最小．如果 是函数的最大（小）值，那么 不小（大）于函数 在相应区间上的所有函数值． 二．新课讲授 观察图中一个定义在闭区间 上的函数 的图象．图中 与 是极小值， 是极大值．函数 在 上的最大值是 ，最小值是 ． 1．结论：一般地，在闭区间 上函数 的图像是一条连续不断的曲线，那么函数 在 上必有最大值与最小值． 说明：⑴如果在某一区间上函数 的图像是一条连续不断的曲线，则称函数 在这个区间上连续．（可以不给学生讲） ⑵给定函数的区间必须是闭区间，在开区间 内连续的函数 不一定有最大值与最小值．如函数 在 内连续，但没有最大值与最小值； ⑶在闭区间上的每一点必须连续，即函数图像没有间断， ⑷函数 在闭区间 上连续，是 在闭区间 上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．（可以不给学生讲） 2．“最值”与“极值”的区别和联系 ⑴最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性． ⑵从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一； ⑶函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个 ⑷极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值． 3．利用导数求函数的最值步骤: 由上面函数 的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了． 一般地，求函数 在 上的最大值与最小值的步骤如下： ⑴求 在 内的极值； ⑵将 的各极值与端点处的函数值 、 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数 在 上的最值 三．典例分析 例1．（课本例5）求 在 的最大值与最小值 解： 由例4可知，在 上，当 时， 有极小值，并且极小值为 ，又由于 ， 因此，函数 在 的最大值是4，最小值是 ． 上述结论可以从函数 在 上的图象得到直观验证． 四．课堂练习 1．下列说法正确的是( ) A.函数的极大值就是函数的最大值 B.函数的极小值就是函数的最小值 C.函数的最值一定是极值 D.在闭区间上的连续函数一定存在最值 2．函数y=f(x)在区间［a,b］上的最大值是M，最小值是m,若M=m,则f′(x) ( ) A.等于0 B.大于0 C.小于0 D.以上都有可能 3．函数y= ，在［－1，1］上的最小值为( ) A.0 B.－2 C.－1 D. 4．求函数 在区间 上的最大值与最小值． 5．课本 练习 五．回顾总结 1．函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中：导数等于零的点，导数不存在的点，区间端点； 2．函数 在闭区间 上连续，是 在闭区间 上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件； 3．闭区间 上的连续函数一定有最值；开区间 内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值 4．利用导数求函数的最值方法． 六．布置作业 板 书 设 计 课 后 小 记 主备人：迪力孜拉 辅备人：迪力孜拉 授课时间： 2016年 月 日 课 题 生活中的优化问题举例 教学内容 教材第36,37,38,39页内容。 教 学 目 标 知识与技能： 使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题 过程与方法： 体会导数在解决实际问题中的作用 情感态度和价值观： 提高将实际问题转化为数学问题的能力 教学重点 利用导数解决生活中的一些优化问题 教学难点 利用导数解决生活中的一些优化问题 突破方法 通过多种形式的练习，提高学生应用所学数学知识解决简单实际问题的能力。 教 学 过 程 一．创设情景 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题． 二．新课讲授 导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题。 解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 ，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具． 利用导数解决优化问题的基本思路： 三．典例分析 例1．汽油的使用效率何时最高 我们知道，汽油的消耗量 （单位：L）与汽车的速度 （单位：km/h）之间有一定的关系，汽油的消耗量 是汽车速度 的函数．根据你的生活经验，思考下面两个问题： （1） 是不是汽车的速度越快，汽车的消耗量越大？ （2） “汽油的使用率最高”的含义是什么？ 分析：研究汽油的使用效率（单位：L/m）就是研究秋游消耗量与汽车行驶路程的比值．如果用 表示每千米平均的汽油消耗量，那么 ，其中， 表示汽油消耗量（单位：L）， 表示汽油行驶的路程（单位：km）．这样，求“每千米路程的汽油消耗量最少”，就是求 的最小值的问题． 通过大量的统计数据，并对数据进行分析、研究， 人们发现，汽车在行驶过程中，汽油平均消耗率 （即每小时的汽油消耗量，单位：L/h）与汽车行驶的 平均速度 （单位：km/h）之间有 如图所示的函数关系 ． 从图中不能直接解决汽油使用效率最高的问题．因此，我们首先需要将问题转化为汽油平均消耗率 （即每小时的汽油消耗量，单位：L/h）与汽车行驶的平均速度 （单位：km/h）之间关系的问题，然后利用图像中的数据信息，解决汽油使用效率最高的问题． 解：因为 这样，问题就转化为求 的最小值．从图象上看， 表示经过原点与曲线上点的直线的斜率．进一步发现，当直线与曲线相切时，其斜率最小．在此切点处速度约为90 ． 因此，当汽车行驶距离一定时，要使汽油的使用效率最高，即每千米的汽油消耗量最小，此时的车速约为90 ．从数值上看，每千米的耗油量就是图中切线的斜率，即 ，约为 L． 例2．磁盘的最大存储量问题 计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化成磁道和扇区。磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形区域。磁道上的定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1，这个基本单元通常被称为比特（bit）。 为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于 ，每比特所占用的磁道长度不得小于 。为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。 问题：现有一张半径为 的磁盘，它的存储区是半径介于 与 之间的环形区域． （1） 是不是 越小，磁盘的存储量越大？ （2） 为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？ 解：由题意知：存储量=磁道数×每磁道的比特数。 设存储区的半径介于 与R之间，由于磁道之间的宽度必需大于 ，且最外面的磁道不存储任何信息，故磁道数最多可达 。由于每条磁道上的比特数相同，为获得最大存储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达 。所以，磁盘总存储量 EMBED Equation.3 × EMBED Equation.3 （1） 它是一个关于 的二次函数，从函数解析式上可以判断，不是 越小，磁盘的存储量越大． （2） 为求 的最大值，计算 ． 令 ，解得 当 时， ；当 时， ． 因此 时，磁盘具有最大存储量。此时最大存储量为 例3．饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 （1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？ （2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？ 【背景知识】：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是 分，其中 是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm 问题：（１）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ 　　 （２）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？ 解：由于瓶子的半径为 ，所以每瓶饮料的利润是 令 解得 （ 舍去） 当 时， ；当 时， ． 当半径 时， 它表示 单调递增，即半径越大，利润越高； 当半径 时， 它表示 单调递减，即半径越大，利润越低． （1） 半径为 cm 时，利润最小，这时 ，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值． （2） 半径为 cm时，利润最大． 换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数的图像上观察，会有什么发现？ 有图像知：当 时， ，即瓶子的半径为3cm时，饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等；当 时，利润才为正值． 当 时， ， 为减函数，其实际意义为：瓶子的半径小于2cm时，瓶子的半径越大，利润越小，半径为 cm 时，利润最小． 四．课堂练习 1．用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的一边比另一边长0.5m,那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．（高为1.2 m，最大容积 ） 5．课本 练习 五．回顾总结 1．利用导数解决优化问题的基本思路： 2．解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决．在这个过程中，导数往往是一个有利的工具。 六．布置作业 板 书 设 计 课 后 小 记 主备人：迪力孜拉 辅备人：迪力孜拉 授课时间： 2016年 月 日 课 题 定积分的概念 教学内容 教材第42,43,44,45,46,47,48,49,50,51,52页内容。 教 学 目 标 知识与技能： 通过求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程，了解定积分的背景； 过程与方法： 借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分定义求简单的定积分； 情感态度和价值观： 理解掌握定积分的几何意义 教学重点 定积分的概念、用定义求简单的定积分、定积分的几何意义 教学难点 定积分的概念、定积分的几何意义 突破方法 通过多种形式的练习，提高学生应用所学数学知识解决简单实际问题的能力。 教 学 过 程 一．创设情景 复习： 1． 回忆前面曲边梯形的面积，汽车行驶的路程等问题的解决方法，解决步骤： 分割→近似代替(以直代曲)→求和→取极限（逼近） 2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点． 二．新课讲授 1．定积分的概念 一般地，设函数 在区间 上连续，用分点 将区间 等分成 个小区间，每个小区间长度为 （ ），在每个小区间 上任取一点 ，作和式： 如果 无限接近于 （亦即 ）时，上述和式 无限趋近于常数 ，那么称该常数 为函数 在区间 上的定积分。记为： ， 其中 积分号， －积分上限， －积分下限， －被积函数， －积分变量， －积分区间， －被积式。 说明：（1）定积分 是一个常数，即 无限趋近的常数 （ 时）记为 ，而不是 ． （2）用定义求定积分的一般方法是：①分割： 等分区间 ；②近似代替：取点 ；③求和： ；④取极限： （3）曲边图形面积： ；变速运动路程 ；变力做功 2．定积分的几何意义 从几何上看，如果在区间 上函数 连续且恒有 ，那么定积分 表示由直线 和曲线 所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积，这就是定积分 的几何意义。 说明：一般情况下，定积分 的几何意义是介于 轴、函数 的图形以及直线 之间各部分面积的代数和，在 轴上方的面积取正号，在 轴下方的面积去负号。 分析：一般的，设被积函数 ，若 在 上可取负值。 考察和式 不妨设 于是和式即为 EMBED Equation.DSMT4 阴影 的面积—阴影 的面积（即 轴上方面积减 轴下方的面积） 思考：根据定积分的几何意义，你能用定积分表示图中阴影部分的面积S吗？ 3．定积分的性质 根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质： 性质1 ； 性质2 （定积分的线性性质）； 性质3 （定积分的线性性质）； 性质4 （定积分对积分区间的可加性） (1) ； (2) ； 说明：①推广： ②推广: ③性质解释： 三．典例分析 例1．利用定积分的定义，计算 的值。 分析：令 ； （１）分割 把区间 n等分，则第i个区间为：，每个小区间长度为： ； （２）近似代替、求和 取 ，则（３）取极限 . 例2．计算定积分 分析：所求定积分是 所围成的梯形面积，即为如图阴影部分面积，面积为 。 即： 思考：若改为计算定积分 呢？ 改变了积分上、下限，被积函数在 上 出现了负值如何解决呢？（后面解决的问题） 例３．计算定积分 分析：利用定积分性质有， 利用定积分的定义分别求出 ， ，就能得到 的值。 四．课堂练习 计算下列定积分 1． 2． 3．课本练习：计算 的值，并从几何上解释这个值表示什么？ 五．回顾总结 1．定积分的概念、用定义法求简单的定积分、定积分的几何意义． 六．布置作业 板 书 设 计 课 后 小 记 主备人：迪力孜拉 辅备人：迪力孜拉 授课时间： 2016年 月 日 课 题 微积分基本定理 教学内容 教材第57,58,59,60,61页内容。 教 学 目 标 知识与技能： 通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿-莱布尼茨公式求简单的定积分。 过程与方法： 通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法。 情感态度和价值观： 通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化，对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。 教学重点 通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分 教学难点 了解微积分基本定理的含义 突破方法 通过多种形式的练习，提高学生应用所学数学知识解决简单实际问题的能力。 教 学 过 程 一，复习： 定积分的概念及用定义计算 二，引入新课 我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 设一物体沿直线作变速运动，在时刻t时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（ ）， 则物体在时间间隔 内经过的路程可用速度函数表示为 。 另一方面，这段路程还可以通过位置函数S（t）在 上的增量 来表达，即 = 而 。 对于一般函数 ，设 ，是否也有 若上式成立，我们就找到了用 的原函数（即满足 ）的数值差 来计算 在 上的定积分的方法。 注：1：定理 如果函数 是 上的连续函数 的任意一个原函数，则 证明：因为 = 与 都是 的原函数，故 - =C（ ） 其中C为某一常数。 令 得 - =C，且 = =0 即有C= ，故 = + = - = 令 ，有 此处并不要求学生理解证明的过程 为了方便起见，还常用 表示 ，即 该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。 它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。 例1．计算下列定积分： （1） ； （2） 。 解：（1）因为 ， 所以 。 （2））因为 ， 所以 。 练习：计算 解：由于 是 的一个原函数，所以根据牛顿—莱布尼兹公式有 = = = 例2．计算下列定积分： 。 由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论。 解：因为 ， 所以 ， ， . 可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0: ( l ）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时（图1.6一3 ) ，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积； 图1 . 6 一 3 ( 2 ） （3） 当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时（图 1 . 6 一 4 ) ，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数； ( 3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0（图 1 . 6 一 5 ) ，且等于位于 x 轴上方的曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的曲边梯形面积． 例3．汽车以每小时32公里速度行驶，到某处需要减速停车。设汽车以等减速度 =1.8米/秒2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？ 微积分基本定理揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时它也提供了计算定积分的一种有效方法．微积分基本定理是微积分学中最重要的定理，它使微积分学蓬勃发展起来，成为一门影响深远的学科，可以毫不夸张地说，微积分基本定理是微积分中最重要、最辉煌的成果． 三，课堂小结： 本节课借助于变速运动物体的速度与路程的关系以及图形得出了特殊情况下的牛顿-莱布尼兹公式.成立，进而推广到了一般的函数，得出了微积分基本定理，得到了一种求定积分的简便方法，运用这种方法的关键是找到被积函数的原函数，这就要求大家前面的求导数的知识比较熟练，希望，不明白的同学，回头来多复习！ 四，布置作业 板 书 设 计 课 后 小 记 主备人：迪力孜拉 辅备人：迪力孜拉 授课时间： 2016年 月 日 课 题 定积分的几何应用 教学内容 教材第63,64,65页内容。 教 学 目 标 知识与技能： 通过本节课的探究，学生能够应用定积分解决不太规则的平面图形的面积，能够初步掌握应用定积分解决实际问题的基本思想和方法。 过程与方法： 探究过程中通过数形结合的思想，加深对知识的理解，同时体会到数学研究的基本思路和方法。 情感态度和价值观： 探究式的学习方法能够激发学生的求知欲，培养学生对学习的浓厚兴趣；探究式的学习过程能够培养学生严谨的科学思维习惯和方法，培养学生勇于探索和实践的精神；探究过程中对学生进行数学美育的渗透，用哲学的观点指导学生自主探究。 教学重点 应用定积分解决平面图形的面积，使学生在解决问题的过程中体会定积分的价值。 教学难点 如何恰当选择积分变量和确定被积函数。 突破方法 通过多种形式的练习，提高学生应用所学数学知识解决简单实际问题的能力。 教 学 过 程 （1） 课前准备： 复习定积分的概念、定积分的计算、定积分的几何意义. （2） 情景引入： 展示精美的大桥油画，讲述古代数学家的故事及伟大发现：拱形的面积 【课件展示】课题：定积分在几何中的简单应用油画图片 问：桥拱的面积如何求解呢？ 答：…… 【学生活动】本环节安排学生讨论，自主发现解决问题方向——定积分跟面积的关系， （3） 新课讲授： 【热身训练】练习１．计算 ２．计算 【学生活动】思考口答 【课件展示】定积分表示的几何图形、练习答案. SHAPE \* MERGEFORMAT 【热身训练】练习３．用定积分表示阴影部分面积 【学生活动】回忆并口答图1的答案； 引导学生由X为积分变量的定积分类型来发现以Y为积分变量的另一种定积分类型。 【得出结论】定积分表示曲边梯形面积的两种类型. 【板书】配合学生探究的进展书写推理的过程. 【课件展示】 图1 选择X为积分变量，曲边梯形面积为 图2 选择Y为积分变量，曲边梯形面积为 【问题探究】 【课件展示】探究由曲线所围平面图形的面积解答思路 【例题实践】例１．计算由曲线 与 所围图形的面积． 【师生活动】探究解法的过程. 1. 找到图形----画图得到曲边形. 2. 曲边形面积解法----转化为曲边梯形，做出辅助线. 3. 定积分表示曲边梯形面积----确定积分区间、被积函数. 4. 计算定积分. 【板书】根据师生探究的思路板书重要分析过程. 【课件展示】解答过程 解：作出草图，所求面积为图中阴影部分的面积. 解方程组 得到交点横坐标为 及 曲边梯形OABC 曲边梯形OABD EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 【例题实践】例２．计算由 与 所围图形的面积. 【师生活动】讨论探究解法的过程 1．找到图形----画图得到曲边形. 2．曲边形面积解法----转化为曲边梯形，做出辅助线. 3．定积分表示曲边梯形面积----确定积分区间、被积函数. 问题：表示不出定积分. 探讨：X为积分变量表示不到，那换成Y为积分变量呢？ 4．计算定积分. 【板书】根据师生探究的思路 板书重要分析过程. 【课件展示】解答过程 解：作出草图，所求面积为 图中阴影部分的面积 解方程组 得到交点坐标为(2,-2)及(8,4) 选ｙ为积分变量 EMBED Equation.3 【抽象归纳】解由曲线所围的平面图形面积的解题步骤 【学生活动】学生根据例题探究的过程来归纳 【教师简单点评】帮助学生修改、提炼，强调注意注意选择y型积分变量时，要把函数变形成用y表示x的函数 . 【课件展示】解由曲线所围的平面图形面积的解题步骤： 1．画草图，求出曲线的交点坐标． 2．将曲边形面积转化为曲边梯形面积． 3．根据图形特点选择适当的积分变量．（注意选择y型积分变量时，要把函数变形成用y表示x的函数） 4．确定被积函数和积分区间． 5．计算定积分，求出面积. 【巩固练习】 练习４．计算由曲线 与 及 轴所围平面图形的面积． 【学生活动】学生分组合作完成 【成果展示】邀请同学们把自己的成果展示给大家，发现这道题目有多种解答方法，过程中解决学生在解题过程中暴露出来的各种问题。 A: B: C: 【师生活动】此题为一题多解，解体的大方向分为选X做积分变量和选Y做积分变量. 问：遇到一题多解时，你会想到什么？ 答：找最简单的解法. 问：以次题为例，如何寻找最简解法？ 答：我们熟悉X做积分变量的类型； 做辅助线时，尽量将曲边形转化成我们熟悉的平面图形，如三角形、矩形、梯形和曲边梯形组合的图形. 【巩固练习】练习５．计算由曲线 与 及 、 所围平面图形的面积． 解得 ，所以抛物线方程为 . 【教师点评】在投影中与全班同学一起点评学生的练习. 【师生活动】探究、并在投影中完成该题 问：所求图形有什么特点？ 答：左右对称；可以解答一半取2倍. 【成果展示】在黑板上与学生共同完成 设一半的面积为S，则有 …… （四）．互动小结 问：本节课我们做了什么探究活动呢？ 答：用定积分解曲边形面积。 问：如何用定积分解决曲边形面积问题呢？ 答：1.画草图，求出曲线的交点坐标． 2.将曲边形面积转化为曲边梯形面积． 3.根据图形特点选择适当的积分变量．（注意选择y型积分变量时，要把函数变形成用y表示x的函数） 4.确定被积函数和积分区间． 5.计算定积分，求出面积． 问：解答曲线所围的平面图形面积时须注意什么问题？ 答：选择最优化的积分变量；根据图形特点选择最优化的解题方法. 问：体会到什么样的数学研究思路及方法呢？ 答：从问题出发，联系相关知识，探究出解决问题的思路，通过实践的检验得到一般方法，通过练习巩固，通过应用提升。 （五）．作业 板 书 设 计 课 后 小 记 主备人：迪力孜拉 辅备人：迪力孜拉 授课时间： 2016年 月 日 课 题 定积分的物理应用 教学内容 教材第63,64,65页内容。 教 学 目 标 知识与技能： 能熟练利用定积分求变速直线运动的路程.会用定积分求变力所做的功. 过程与方法： 能熟练利用定积分求变速直线运动的路程.会用定积分求变力所做的功. 情感态度和价值观： 能熟练利用定积分求变速直线运动的路程.会用定积分求变力所做的功. 教学重点 定积分的概念及几何意义 教学难点 定积分的基本性质及运算的应用 突破方法 通过多种形式的练习，提高学生应用所学数学知识解决简单实际问题的能力。 教 学 过 程 (一)变速直线运动的路程 1．物本做变速度直线运动经过的路程s，等于其速度函数v = v (t) (v (t)≥0 )在时间区间[a，b]上的 定积分 ，即． 2．质点直线运动瞬时速度的变化为v (t) = – 3sin t，则 t1 = 3至t2 = 5时间内的位移是 ．（只列式子） 3．变速直线运动的物体的速度v (t) = 5 – t2，初始位置v (0) = 1，前2 所走过的路程为 ． 例1．教材P58面例3。 练习：P59面1。 （二）变力作功 1．如果物体沿恒力F (x)相同的方向移动，那么从位置x = a到x = b变力所做的功W = F（b—a）． 2．如果物体沿与变力F (x)相同的方向移动，那么从位置x = a到x = b变力所做的 功W =． 例2．教材例4。 课后练习与提高 1、 设物体以速度作直线运动，则它在内所走的路程为（ ） 2、设列车从点以速度开始拉闸减速，则拉闸后行驶所需时间为（ ） 3、以初速竖直向上抛一物体，时刻的速度则此物体达到最高时的高度为（ ） 4、质点由坐标原点出发时开始计时，沿轴运动，其加速度，当初速度时，质点出发后所走的路程为（ ） 5、如果能拉弹簧，为了将弹簧拉长，所耗费的功为（ ） 6、一物体在力（力：；位移：）作用下沿与力相同的方向由直线运动到处作的功是（ ） 7、将一弹簧压缩厘米，需要牛顿的力，将它从自然长度压缩厘米，外力作的功是 8、一列火车在平直的铁轨上行驶，由于遇到紧急情况，火车以速度（单位：）紧急刹车至停止.求 （1）从开始紧急刹车至火车完全停止所经过的时间； （2）紧急刹车后火车运行的路程. 作业 板 书 设 计 课 后 小 记 h t o h t o 建立数学模型 解决数学模型 作答 用函数表示的数学问题 优化问题 用导数解决数学问题 优化问题的答案 建立数学模型 解决数学模型 作答 用函数表示的数学问题 优化问题 用导数解决数学问题 优化问题的答案 性质4 性质1 � EMBED Equation.DSMT4 ��� 1 2 y x O 0 y x � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� － a b X A 0 y x y O A B C D � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� 1 1 -1 -1 4 x y O 8 4 2 2 S2 S1 S1 S22 2 2 4 8 O x 4 � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� y Ｂ Ａ Ｃ PAGE 54 . _1234298851.unknown _1258575701.unknown _1258702583.unknown _1258748401.unknown _2004341786.unknown _2004342005.unknown _2004342164.unknown _2004342208.unknown _2004342273.unknown _2004342511.unknown _2004342811.unknown _2004342904.unknown _2004342942.unknown _2004342877.unknown _2004342784.unknown _2004342533.unknown _2004342748.unknown _2004342462.unknown _2004342335.unknown _2004342223.unknown _2004342253.unknown _2004342214.unknown _2004342179.unknown _2004342201.unknown _2004342169.unknown _2004342058.unknown _2004342096.unknown _2004342144.unknown _2004342080.unknown _2004342052.unknown _2004341927.unknown _2004341956.unknown _2004341973.unknown _2004341947.unknown _2004341897.unknown _2004341901.unknown _2004341797.unknown _2004339549.unknown _2004339959.unknown _2004341774.unknown _2004339705.unknown _2004339715.unknown _2004339693.unknown _1264093849.unknown _2004339423.unknown _2004339501.unknown _2004339536.unknown _2004339484.unknown _2004339247.unknown _2004339303.unknown _1264094012.unknown _2004339214.unknown _1264094024.unknown _1264093973.unknown _1264088766.unknown _1264088968.unknown _1264089024.unknown _1264088810.unknown _1264088964.unknown _1264088655.unknown _1264088761.unknown _1264088608.unknown _1258703877.unknown _1258708555.unknown _1258718730.unknown _1258718759.unknown _1258717204.unknown _1258708238.unknown _1258708450.unknown _1258708113.unknown _1258704011.unknown _1258703336.unknown _1258703415.unknown _1258703462.unknown _1258703382.unknown _1258703263.unknown _1258703284.unknown _1258702857.unknown _1258575989.unknown _1258576140.unknown _1258576179.unknown _1258576789.unknown _1258697740.unknown _1258697794.unknown _1258576910.unknown _1258577042.unknown _1258576195.unknown _1258576222.unknown _1258576576.unknown _1258576215.unknown _1258576188.unknown _1258576163.unknown _1258576171.unknown _1258576156.unknown _1258576019.unknown _1258576079.unknown _1258576131.unknown _1258576027.unknown _1258576007.unknown _1258576013.unknown _1258576001.unknown _1258575842.unknown _1258575873.unknown _1258575962.unknown _1258575977.unknown _1258575885.unknown _1258575858.unknown _1258575866.unknown _1258575850.unknown _1258575777.unknown _1258575792.unknown _1258575809.unknown _1258575785.unknown _1258575757.unknown _1258575766.unknown _1258575744.unknown _1234381311.unknown _1234382379.unknown _1234382840.unknown _1258575662.unknown _1258575683.unknown _1258575694.unknown _1258575673.unknown _1234613901.unknown _1234626696.unknown _1258575643.unknown _1234614411.unknown _1234626681.unknown _1234383323.unknown _1234613885.unknown _1234382916.unknown _1234382519.unknown _1234382717.unknown _1234382752.unknown _1234382579.unknown _1234382493.unknown _1234382143.unknown _1234382339.unknown _1234382353.unknown _1234382368.unknown _1234382346.unknown _1234382197.unknown _1234382291.unknown _1234382328.unknown _1234382287.unknown _1234382170.unknown _1234381636.unknown _1234382102.unknown _1234382135.unknown _1234382040.unknown _1234381363.unknown _1234381570.unknown _1234381319.unknown _1234378087.unknown _1234380653.unknown _1234381133.unknown _1234381265.unknown _1234381288.unknown _1234381245.unknown _1234381229.unknown _1234381059.unknown _1234381091.unknown _1234380662.unknown _1234380603.unknown _1234380636.unknown _1234380644.unknown _1234380626.unknown _1234380310.unknown _1234380320.unknown _1234378213.unknown _1234360856.unknown _1234377949.unknown _1234377976.unknown _1234378014.unknown _1234371245.unknown _1234377799.unknown _1234377833.unknown _1234371402.unknown _1234371589.unknown _1234371181.unknown _1234371216.unknown _1234361004.unknown _1234359104.unknown _1234359331.unknown _1234360841.unknown _1234359422.unknown 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