现代设计理论与
方法
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第3章习题解答第三章优化设计部分习题解答1、优化设计问题的数学模型由哪几个部份组成?其一般的
表
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达形式是什么?答：一般由设计变量，目标函数和约束条件组成。其一般表达式为：2、判断下列目标函数是否有极值点。解：（1）处的Hessen矩阵为：其二阶代数主子式故知目标函数没有极值点。（2）同理，无极值点（3）存在极值点，3、确定函数的一个搜索区间，初始点，初始步长。解：可依照进退法搜索的思路进行，（1）第一步搜索（2）第二步搜索令，，此时令（3）第三步搜索令，，此时令（4）第四步搜索令，，此时令（5）第五步搜索令，，故初始搜索区间为4、按二次插值法框图步骤，计算函数的最优解，初始搜索区间，迭代精度。解：1.确定初始区间初始区间 另有一中间点。2.用二次插值法逼近极小点相邻三点的函数值:代入
公式
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：得：由于：，新区间为：，故应继续迭代。3.新区间，相邻三点的函数值:代入公式：得：由于：，新区间为：，故继续迭代。4.新区间，相邻三点的函数值:代入公式：得：由于：，新区间为：，故继续迭代。5.新区间，相邻三点的函数值:代入公式：得：由于：，新区间为：，故继续迭代。故最优点。5、试用黄金分割法计算函数的最优解，初始搜索区间，迭代精度。解：1.初始区间：，新点：，由于，新区间：，2.初始区间：，新点：由于，新区间：，3初始区间：，新点：由于，新区间：，4初始区间：，新点：由于，新区间：，，继续迭代。依次经过多次迭代后，可得6、目标函数。求：①在点处的梯度矢量；②在点处沿S方向的方向导数。已知方向S的其中两个方向余弦为。并说明沿该方向搜索时，函数是增加还是减少?解：（1）（2）由得（3）故函数值是增加的。9、目标函数。已知沿方向搜索到，试求此点下一次迭代的共轭梯度方向。解：8、写出用内点法、外点法和混合法求解问题A的罚函数形式。解：内点法：外点法：混合法：9、试比较约束优化和无约束优化之间的区间和联系。答：无约束优化对于设计变量没有限制，搜索空间内的点都是可行解，而约束优化则有限制条件，只有在可行域内的点才是可行解。无约束优化是约束优化的基础，通过罚函数的方法可以将约束优化问题化为无约束优化问题求解。
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