（经典高一）求函数解析式的九种常用方法
山东省宁阳四中 宁方年
1、定义法
例 1．若 )21( xxxf ,求 f(x)。
解： 1)1(2 2 xxx
∴ 1)1()1( 2 xxf
1x ≥1
∴f(x)=x21 (x≥1)
2、配凑法
例 2、已知 2( 1) 2f x x x ，求 ( )f x ．
解： 2( 1) ( 1) 2 1 2f x x x x
2( 1) 4 1x x
2( 1) 4( 1) 3x x
∴ 2( ) 4 3f x x x ．
3、换元法
例 3、 已知 f（ x
x 1 ）= xx
x 11
2
2
，求 f（x）的解析式.
解： 设 x
x 1 = t ，则 x= 1
1
t （t≠1），
∴f（t）=
1
1
1
)1
1(
1)1
1(
2
2
tt
t = 1+ 2)1( t +（t－1）= t2－t+1
故 f（x）=x2－x+1 （x≠1）.
评注: 实施换元后,应注意新变量的取值范围,即为函数的定义域.
4、待定系数法
例 4、 已知二次函数 f（x）满足 f（0）=0，f（x+1）= f（x）+2x+8，求 f（x）的解
析式.
解：设二次函数 f（x）= ax2+bx+c，则 f（0）= c= 0 ①
f（x+1）= a 2)1( x +b（x+1）= ax2+（2a+b）x+a+b ②
由 f（x+1）= f（x）+2x+8 与①、② 得
8
22
ba
bba 解得
.7
,1
b
a 故 f（x）= x2+7x.
评注: 已知函数类型，常用待定系数法求函数解析式.
5、直接图像法
例 5．函数在闭区间[ 1, 2] 上的图象如右图所示，则求此函数的解析式。
解：
1( 1 0)
( ) 1 (0 2)2
x x
f x x x
．
6、方程组法
例 6、 设函数 f（x）满足 f（x）+2 f（ x
1 ）= x （x≠0），求 f（x）函数解析式.
分析：欲求 f（x），必须消去已知中的 f（ x
1 ），若用 x
1 去代替已知中 x，便可得到另一
个方程，联立方程组求解即可.
解：∵ f（x）+2 f（ x
1 ）= x （x≠0） ①
由 x
1 代入得 2f（x）+f（ x
1 ）= x
1 （x≠0） ②
解 ①② 构成的方程组，得 f（x）= x3
2 － 3
x （x≠0）.
7、特殊值法
例 7、设是定义在 R上的函数，且满足 f（0）=1，并且对任意的实数 x，y，
有 f（x－y）= f（x）－ y（2x－y+1），求 f（x）函数解析式.
分析：要 f（0）=1，x，y是任意的实数及 f（x－y）= f（x）－ y（2x－y+1），得到
1
0
2 x
y
1
1
f（x）函数解析式，只有令 x = y.
解： 令 x = y ，由 f（x－y）= f（x）－ y（2x－y+1） 得
f（0）= f（x）－ x（2x－x+1），整理得 f（x）= x2+x+1.
8、对称性图像法
即根据所给函数图象的对称性及函数在某一区间上的解析式，求另一区间上的解析式.
例 8、 已知是定义在 R上的奇函数，当 x≥0时，f（x）=2x－x2，求 f（x）函数解析
式.
解：∵y=f（x）是定义在 R上的奇函数， ∴y=f（x）的图象关于原点对称.
当 x≥0时，f（x）=2x－x2的顶点（1，1），它关于原点对称点（－1，—1），
因此当 x<0时，y= 2)1( x －1= x2+2x.故 f（x）=
xx
xx
2
2
2
2
评注: 对于一些函数图象对称性问
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
,如果能结合图形来解,就会使问题简单化.
9、利用奇偶性法
例 9、
x≥0，
x＜0.
浙公网安备 33021202002483