11．直线斜率不存在、截距为0不可忽视一、忽视直线斜率不存在的情况【例1】►已知圆C的方程为x2＋y2＝4，直线l过点P(1,2)，且与圆C交于A、B两点．若|AB|＝2，求直线l的方程．解 (1)当直线l的斜率不存在时，画出图象可知，直线x＝1也符合题意．(2)当直线l的斜率k存在时，其方程可设为y－2＝k(x－1)，又设圆心到直线l的距离为d.由d2＝r2－2，得k＝，代入y－2＝k(x－1)，得y－2＝(x－1)，即3x－4y＋5＝0.所以直线l的方程为3x－4y＋5＝0和x＝1.老师叮咛：在确定直线的倾斜角、斜率时，要注意倾斜角的范围、斜率存在的条件；在利用直线方程的几种特殊形式时要注意它们各自的适用范围，特别是在利用直线的点斜式与斜截式解题时，要防止由于“无斜率”而漏解.二、忽视直线在坐标轴上的截距为0的情形【例2】►设直线l的方程为(a＋1)x＋y－2－a＝0(a∈R)．若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；解 当直线l经过坐标原点时，该直线在两坐标轴上的截距都为0，此时2＋a＝0，解得a＝－2，此时直线l的方程为x－y＝0；当直线l不经过坐标原点，即a≠－2时，由直线在两坐标轴上的截距相等可得：＝2＋a，解得a＝0，此时直线l的方程为x＋y－2＝0.所以，直线l的方程为x－y＝0或x＋y－2＝0.老师叮咛：直线在坐标轴上的截距可正，可负，也可为0.直线在两坐标轴上的截距相等，直线方程可以设为\f(x,a)＋\f(y,a)＝1，此时ab≠0，而且不要忘记当a＝0时，直线y＝kx在两条坐标轴上的截距都是0，也是截距相等，所以要充分考虑截距为0的情形.必考问题12 圆锥曲线【真题体验】1．(2012·江苏，8)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1的离心率为，则m的值为________．解析 建立关于m的方程求解∵c2＝m＋m2＋4，∴e2＝＝＝5，∴m2－4m＋4＝0，∴m＝2.
答案
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22．(2010·江苏，16)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线－＝1上一点M的横坐标是3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为________．解析 法一 x＝3代入－＝1，y＝±，不妨设M(3，)，右焦点F(4,0)．∴MF＝＝4.法二 由双曲线第二定义知，M到右焦点F的距离与M到右准线x＝＝1的距离比为离心率e＝＝2，∴＝2，MF＝4.答案 43．(2012·江苏，19)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)．已知(1，e)和都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．(1)求椭圆的方程；(2)设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P.(ⅰ)若AF1－BF2＝，求直线AF1的斜率；(ⅱ)求证：PF1＋PF2是定值．解 (1)由题设知a2＝b2＋c2，e＝，由点(1，e)在椭圆上，得＋＝1，解得b2＝1，于是c2＝a2－1，又点在椭圆上，所以＋＝1，即＋＝1，解得a2＝2.因此，所求椭圆的方程是＋y2＝1.(2)由(1)知F1(－1,0)，F2(1,0)，又直线AF1与BF2平行，所以可设直线AF1的方程为x＋1＝my，直线BF2的方程为x－1＝my.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1＞0，y2＞0.由，得(m2＋2)y－2my1－1＝0，解得y1＝，故AF1＝＝＝.①同理，BF2＝.②(ⅰ)由①②得AF1－BF2＝，解＝得m2＝2，注意到m＞0，故m＝.所以直线AF1的斜率为＝.(ⅱ)因为直线AF1与BF2平行，所以＝，于是＝，故PF1＝BF1.由B点在椭圆上知BF1＋BF2＝2，从而PF1＝(2－BF2)．同理PF2＝·(2－AF1)．因此，PF1＋PF2＝(2－BF2)＋(2－AF1)＝2－.又由①②知AF1＋BF2＝，AF1·BF2＝，所以PF1＋PF2＝2－＝.因此，PF1＋PF2是定值．【高考定位】(1)中心在坐标原点的椭圆的
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方程与几何性质，B级要求；(2)中心在坐标原点的双曲线的标准方程与几何性质，A级要求；(3)顶点在坐标原点的抛物线的标准方程与几何性质，A级要求；曲线与方程，A级要求．【应对策略】圆锥曲线主要考查的
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是圆锥曲线的概念和性质．主要是求它们的标准方程及其基本量，几何性质的应用，与直线和圆的综合等问题，其中椭圆是要重点关注的内容.必备知识1．椭圆的定义与标准方程设F1，F2(F1F2＝2c)是平面内两定点，P是平面内动点，PF1＋PF2＝2a，则a＞c⇔P点轨迹是椭圆，并且当焦点坐标为F1(－c,0)，F2(c,0)，其标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，当焦点坐标为F1(0，－c)，F2(0，c)，其标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．2．椭圆的第二定义设F为平面内一定点，P是平面内动点，l是定直线(F∉l)，动点P到定点F的距离与P到定直线l的距离之比为e，则当0＜e＜1时，动点P的轨迹是椭圆．e＝是椭圆的离心率，直线l是椭圆的准线．3．椭圆的几何性质设P(x0，y0)是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上任意一点，F1(－c,0)，F2(c,0)，则有PF1＋PF2＝2a，且＋＝1(a＞b＞0)，|x0|≤a，|y0|≤b，a－c≤PF1≤a＋c，a－c≤PF2≤a＋c，|PF1－PF2|≤2c等．必备方法1．与椭圆有关的参数问题的讨论常用的两种方法：(1)不等式(组)求解法：依据题意，结合图形，列出所讨论的参数适合的不等式(组)，通过解不等式(组)得出参数的变化范围；(2)函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围．2．椭圆中最值的求解方法有两种：(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征的意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现某一明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．求函数最值常用的方法：配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法．3．定点定值问题，所考查的数学思想主要是函数与方程思想、数形结合思想、等价化归思想以及基本不等式的运用等，并且基本上都是建立目标函数，通过目标函数的各种性质来解决问题．关于定点定值问题，一般来说，从两个方面来解决问题：(1)从特殊入手，求出定点(定值)，再证明这个点(值)与变量无关；(2)直接推理计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定点(值).命题角度一 圆锥曲线的定义与标准方程[命题要点](1)求圆锥曲线方程；(2)圆锥曲线的性质的应用．【例1】►(2012·南通模拟)在平面直角坐标系xOy中，直线x＝t(－4＜t＜4)与椭圆＋＝1交于两点P1(t，y1)、P2(t，y2)，且y1＞0、y2＜0，A1、A2分别为椭圆的左、右顶点，则直线A1P2与A2P1的交点所在的曲线方程为________．[审题视点] [听课
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][审题视点]将A1P2与A2P1的交点(x，y)用P1(t，y1)、P2(t，y2)坐标的关系来代换．解析 直线A1P2的方程为y＝(x＋4)，A2P1的方程为y＝(x－4)，两式左右分别相乘得y2＝(x2－16)，因为点P1(t，y1)、P2(t，y2)在椭圆＋＝1上，所以＋＝1，＋＝1，即y＝9，y＝9，又y1＞0、y2＜0，所以y1y2＝9，代入y2＝(x2－16)得－＝1；答案 －＝1求圆锥曲线方程的常用方法：轨迹法、定义法、待定系数法【突破训练1】(2012·南师大附中信息卷)椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)两个焦点为F1，F2，点P在椭圆C上，且PF1⊥F1F2，且PF1＝，F1F2＝2.(1)求椭圆C的方程．(2)以此椭圆的上顶点B为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形ABC，这样的直角三角形是否存在？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由．【突破训练1】解 (1)∵F1F2＝2，∴c＝，又PF1⊥F1F2，∴PF＝PF＋F1F＝，PF2＝，∴2a＝PF1＋PF2＝4，则a＝2，b2＝a2－c2＝1，∴所求椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)假设能构成等腰直角三角形ABC，其中B(0,1)，由题意可知，直角边BA，BC不可能垂直或平行于x轴，故可设BA边所在直线的方程为y＝kx＋1(不妨设k＜0)，则BC边所在直线的方程为y＝－x＋1.由，得x1＝0(舍)，x2＝－，故A，∴AB＝＝，用－代替上式中的k，得BC＝，由AB＝BC，得|k|(4＋k2)＝1＋4k2，∵k＜0，即k3＋4k2＋4k＋1＝0，即(k＋1)(k2＋3k＋1)＝0，∴解得k＝－1或k＝，故存在三个满足题设条件的内接等腰直角三角形．命题角度二 圆锥曲线的几何性质及其应用[命题要点](1)根据条件确定圆锥曲线的离心率；(2)由圆锥曲线的离心率确定基本量．【例2】►椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别是F1、F2，过F1作倾斜角为45°的直线与椭圆的一个交点为M，若MF2垂直于x轴，则椭圆的离心率为________．[审题视点] [听课记录][审题视点]由题设可得出M点的坐标，M点的坐标满足椭圆方程，进而得出a，c的关系．解析 过F1作倾斜角为45°的直线y＝x＋c，由MF2垂直于x轴得M的横坐标c，所以纵坐标2c，代入椭圆方程得＋＝1，∴e2＋＝1，∴(1－e2)2＝4e2，∴e＝－1.答案 －1求圆锥的离心率，关键是建立椭圆的基本量a，c所满足的方程组，求出a，c之间的关系．【突破训练2】(2012·南通期末调研)设F是双曲线－＝1的右焦点，双曲线两条渐近线分别为l1，l2，过F作直线l1的垂线，分别交l1，l2于A、B两点．若OA，AB，OB成等差数列，且向量与同向，则双曲线离心率e的大小为________．解析 设OA＝m－d，AB＝m，OB＝m＋d，由勾股定理，得(m－d)2＋m2＝(m＋d)2.解得m＝4d.设∠AOF＝α，则cos2α＝＝.cosα＝＝，所以，离心率e＝＝.答案 命题角度三 直线与圆锥曲线的综合问题[命题要点]定点问题；定值问题；最值问题；应用问题和探索性问题；【例3】►(2012·南通模拟)已知椭圆C1∶＋y2＝1和圆C2：x2＋y2＝1，左顶点和下顶点分别为A，B，F是椭圆C1的右焦点．(1)点P是曲线C1上位于第二象限的一点，若△APF的面积为＋，求证：AP⊥OP；(2)点M和N分别是椭圆C1和圆C2上位于y轴右侧的动点，且直线BN的斜率是直线BM斜率的2倍，证明直线MN恒过定点．[审题视点] [听课记录][审题视点]由△APF的面积求得P点的坐标，通过计算·＝0从而证明AP⊥OP；根据条件求M、N的坐标，进而求出直线MN的方程，再求MN恒过的定点．证明 (1)设曲线C1上的点P(x0，y0)，且x0＜0，y0＞0，由题意A(－，0)，F(1,0)，∵△APF的面积为＋，∴S△APF＝·AF·y0＝(1＋)y0＝＋，解得y0＝，x0＝－，即P∴·＝·＝0，∴AP⊥OP.(2)设直线BM的斜率为k，则直线BN的斜率为2k，又两直线都过点B(0，－1)，∴直线BM的方程为y＝kx－1，直线BN的方程为y＝2kx－1.由，得(1＋2k2)x2－4kx＝0，解得xM＝，yM＝k·－1＝，即M.由，得(1＋4k2)x2－4kx＝0，解得xN＝，yM＝2k·－1＝，即N.直线MN的斜率kMN＝＝＝－，∴直线MN的方程为y－＝－，整理得，y＝－x＋1，∴直线MN恒过定点(0,1)．关于定点、定值问题，一般来说，从两个方面来解决问题；(1)从特殊入手，求出定点(定值)，再证明这个点(值)与变量无关；(2)直接推理计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定点(值)．【突破训练3】已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，且圆C∶x2＋y2＋x－3y－6＝0过A，F2两点．(1)求椭圆标准的方程；(2)设直线PF2的倾斜角为α，直线PF1的倾斜角为β，当β－α＝时，证明：点P在一定圆上；(3)设椭圆的上顶点为Q，证明：PQ＝PF1＋PF2.(1)解 圆x2＋y2＋x－3y－6＝0与x轴交点坐标为A(－2，0)，F2(，0)，故a＝2，c＝，所以b＝3，∴椭圆方程是＋＝1.(2)证明 因为F1(－，0)，F2(，0)，设点P(x，y)，则kPF1＝tanβ＝，kPF2＝tanα＝，因为β－α＝，所以tan(β－α)＝－因为tan(β－α)＝＝，所以＝－.化简得x2＋y2－2y＝3.所以点P在定圆x2＋y2－2y＝3上．(3)证明 ∵PQ2＝x2＋(y－3)2＝x2＋y2－6y＋9，因为x2＋y2＝3＋2y，所以PQ2＝12－4y.又PF＝(x＋)2＋y2＝2y＋6＋2x，PF＝(x－)2＋y2＝2y＋6－2x，∴2PF1·PF2＝2＝4，因为3x2＝9－3y2＋6y，所以2PF1·PF2＝4，∵β＝α＋＞，又点P在定圆x2＋y2－2y＝3上，∴y＜0，所以2PF1·PF2＝－8y，从而(PF1＋PF2)2＝PF＋2PF1·PF2＋PF＝4y＋12－8y＝12－4y＝PQ2.所以PQ＝PF1＋PF2.PAGE10
浙公网安备 33021202002483