2.2 乘法公式 2.2.1 平方差公式1.理解平方差公式的结构特征.(重点)2.会进行平方差公式的推导和应用.(重点、难点)用多项式乘多项式的法则计算下列各式:(1)(x+2)(x-2)=____.(2)(3+y)(3―y)=____.(3)(3a+1)(3a-1)=_____.(4)(m+5n)(m―5n)=_______.x2-49-y29a2-1m2-25n2【思考】1.观察以上算式,等号的左边的两个因式有什么特点?提示:第一个因式是两个数的和,第二个因式是这两个数的差.2.具有上述特点的两个因式的积等于什么?提示:这两个数的平方差.【总结】平方差公式:(1)式子
表
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示:(a+b)(a-b)=_____.(2)语言叙述:两个数的___与这两个数的___的积等于这两个数的_______.a2-b2和差平方差(打“√”或“×”)(1)两个数的和与两个数的差的积,等于两个数的平方差.()(2)(-a+b)(-a-b)=a2-b2.()(3)(a+b)(b-a)=a2-b2.()(4)(3x+2y)(3x-2y)=3x2-2y2.()×√××
知识点
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1运用平方差公式进行计算 【例1】计算:(1)(3x+1)(3x-1).(2)(a-2b)(-a-2b).【思路点拨】观察两个二项式中各式的特点,分清相同的项与相反的项,根据平方差公式,用相同的项的平方减去相反的项的平方,然后再计算.【自主解答】(1)(3x+1)(3x-1)=(3x)2-12=9x2-1.(2)(a-2b)(-a-2b)=(-2b+a)(-2b-a)=(-2b)2-a2=4b2-a2.【总结提升】运用平方差公式进行计算的三步法知识点2平方差公式的简单应用 【例2】计算:1003×997.【解题探究】1.若用平方差公式,把1003看成哪两个数的和,把997看成哪两个数的差?提示:设两个数中较小的为x,则较大的为1003-x.所以1003-x-x=997,解得x=3,所以1003-x=1003-3=1000.2.若用平方差公式,原式如何变形?提示:1003×997=(1000+3)(1000-3).3.运用平方差公式计算:1003×997=(1000+3)(1000-3)=________=__________=_______.10002-321000000-9999991【互动探究】观察下列等式19×21=202-1,28×32=302-22,37×43=402-32,…,已知m,n为实数,仿照上述的表示
方法
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可得:mn= .【解析】根据观察,可设mn=x2-y2=(x+y)(x-y),则x-y=n,x+y=m.因为所以所以答案：【总结提升】灵活运用平方差公式的三种情形1.用平方差公式简便计算两数的积.2.在整式的混合运算中,正确识别符合平方差公式的部分.3.变化系数灵活运用平方差公式.题组一:运用平方差公式进行计算1.计算(2a+b)(2a-b)的结果是( )A.4a2-b2 B.b2-4a2C.2a2-b2 D.b2-2a2【解析】选A.(2a+b)(2a-b)=(2a)2-b2=4a2-b2.2.下列各式能用平方差公式计算的是( )A.(3a+b)(a-b)B.(-3a-b)(-3a+b)C.(3a+b)(-3a-b)D.(-3a+b)(3a-b)【解析】选B.平方差公式中必须存在一组完全相同的项和一组互为相反数的项.A,C,D中不存在相同的项,因此A,C,D都不符合平方差公式的要求.3.计算(x-y)(-y-x)的结果是( )A.-x2-y2B.-x2+y2C.x2+y2D.x2-y2【解析】选B.(x-y)(-y-x)=(-y)2-x2=y2-x2.4.计算(3m+4)(4-3m)的结果是 .【解析】原式=(4+3m)(4-3m)=16-9m2.答案:16-9m25.方程(x+6)(x-6)-x(x-9)=0的解是 .【解析】因为(x+6)(x-6)-x(x-9)=x2-36-(x2-9x)=x2-36-x2+9x=9x-36,所以方程可化为9x-36=0,解得x=4.答案:x=46.(2013·台州中考)化简:(x+1)(x-1)-x2.【解析】原式=x2-1-x2=-1.题组二:平方差公式的简单应用1.计算20142-2013×2015的结果是( )A.1B.-1C.2D.-2【解析】选A.原式=20142-(2014-1)(2014+1)=20142-(20142-12)=20142-20142+1=1.2.(2013·枣庄中考)若a2-b2=a-b=则a+b的值为____.【解析】因为a2-b2=(a+b)(a-b)=a-b=所以答案：3.用简便方法计算:503×497= ;1.02×0.98= .【解析】503×497=(500+3)(500-3)=5002-32=250000-9=249991;1.02×0.98=(1+0.02)(1-0.02)=1-0.022=0.9996.答案:249991 0.99964.先化简,再求值:a(a+1)-(a+1)(a-1),其中a=3.【解析】原式=a2+a-(a2-1)=a2+a-a2+1=a+1,当a=3时,原式=a+1=3+1=4.5.街心花园有一块边长为am的正方形草坪,经规划后,草坪南北方向要加长2m,而东西方向要缩短2m,问改造后的长方形草坪的面积和以前相比变化多少?【解析】改造后草坪的面积为:(a+2)(a-2)=(a2-4)(m2).而以前正方形草坪的面积为a2m2,故改造后草坪的面积和以前相比减少4m2.【想一想错在哪？】计算:(-2x-3y)(2x-3y).提示:只考虑了结果是两数的平方差,忽略了应该是相同项的平方减相反项的平方.
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