三实数成为三角形的半周、外径、内径的条件

三实数成为三角形的半周、外径、内径的条件 三实数成为三角形的半周、外径、内径的条 件 中学数学研究2010年第12期 三实数成为三角形的半周,外径,内径的条件 华南师范大学数学科学学院(广州,510631)黎海燕吴康 文[2]探究了三实数成为三角形三旁径的条 件,受文[1]启发,本文继续探究三实数成为一个三 角形半周,外径,内径的条件. 若存在一个三角形,使得三个正实数s,R,r 是其半周,外径,内径,则由它们表示的三角形三边 ,若由三实数 必满足成为三角形三边的条件;反之 s,R,r表示的三角形三边满足成为三角形三边的 条件,则这三实数能s,R,r成为三角形的半周,外 径,内径.由于用三角形的半周,外径,内径表示三角 形三边涉及到解三次方程,求解较为复杂且没有必 要,我们只要能将三实数成为三角形三边的充要条 件用三角形的半周,外径,内径表示,也可以推出三 实数成为三角形半周,外径,内径的条件.因此寻找 三角形的半周,外径,内径与三实数成为三角形三边 的条件的关系是解决问题的关键. 1三个正实数成为一个三角形的三边的条件 正实数a,b,c要成为三角形三边,必须满足(b +c—a)(口+d2一b)(口+6一c)>0,从而有(凸+b +c)(b+c一0)(0+C—b)(口+b—c)>0,变形可 得到多种判断三实数成为三角形三边的条件的形 式,由于三角形三边的幂和式?0(m?N)与三 角形的半周,外径,内径有密切的联系.我们选择(口 +b+e)一2(口+b+c)>0进行研究. 2三角形的三边的幂和式?.与三角形的 半周,外径,内径的关系 设三角形AABC顺序三边为0,b,c,不妨设口< b<C,所对的角分别为A,,c,半周为s,外 径为,内径为r,面积为Js,三旁径为,,r.. 定理1设P=?0,0,则P满足线性 递推关系: P=2sP一1一(s+r+4Rr)P一2+4RrsP一3,II, =3,4,5,…(1) 定理211,.=1/2(?+b+c)=s一r一4Rr. (2) 定理1的证明用到以下几个引理: 引理1abc=4Rrs. 证明:由5=6sinc,sinc=,5= 得证. (3) SF联立 弓I理2S==r.(s一0)=(s—b)=ro(s — C)(4) 证明:由三角形面积关系易证. 引理3s=FaF6rc/r.(5) :++.(6)——=——+——+——.(O) ,r.r6rc 证明:(5)式由(4)式和海伦公式得|s4=sr(s 一 口)(s一6)(s,c)Far6rc=rrFbreS推得;(6)式由 +旦+=s—n+s一6+s—c=s=推得. 1atcI 弓I理4ab+ac+bc=s+r+4Rr.(7) 证明:由(4)式得 r 3 s:rar6r(s—n)(s—b)(s—c), r 2 s:Far6r/r[s一(0+b+c)s+(06+6c+ ac)s+abc]. 把(3)(5)代入上式即得到(7). 弓I理5Fa+r6+r=4R+r.(8) 证明:由(4)(7)和海伦公式可推得. 定理1证明:以三角形三边0,6,C为三根的一元 三次方程记为: 一 (口+b+c)x+(口6+0c+bc)x—abc= 0, 把0,b,c代入上述方程并分别乘上口,b, C后再相加,便得到: P一(口+b+c)P一1+(06+口c+bc)P一2一 abcP一 3=0, 亦即 P=(n+b+C)P一1一(ab+O,C+6c)P一2+ abcP一 3,n=3,4,5,… 把(3)(7)代入上式得 P=2sP一1一(s+r+4Rr)P一2+4RrsP一3,n = 3,4,5,… 定理2证明:因2u=s+(s—n)+(s—b) +(s—C),由(4)推得: 2u2=s2+r2s(++)=s2+ 叫(寺+丢+)一2( 由(5)(6)(8)代人上式推得(2)式成立. 任意给定的三个实数,如何确定哪个作为三角 2010年第l2期中学数学研究47 ?研究发现可由三角形的半 形的半周,外径,内径呢 周,外径,内径的大小关系来判断. 3三角形的半周,外径,内径的大小关系 定理3锐角(直角)三角形的半周,外径,内 径满足s>R>r,钝角三角形的半周,外径,内径满 足s>R>r或R?s>r. AA 图2 C 证明:对任意三角形显然有R>r;往下讨论R, S的大小关系.如图1,0为锐角3ABC外心,若0< ,则2/_A=/BOC<90.,从而/BOA>90., /COA>90.由大边对大角得b>R,c>R所以锐 角三角形至少有两边大于其外接圆的半径,从而s >R;直角三角形的外接圆半径R=c/2,也有s> R;钝角三角形中经验证5>R或R均有可能.如 3ABC中,A=Z_B=30.,/C=120.,sinA+sinB +sinC>1,由s=(sinA+sinB+sinC)R得s>R, 若=/B=7.5.,C=165.,由sinA+sinB+ sinC<1得R>s.图2中,,为3ABC内心,易得r= IE<DF<DB<C,同理,r<0,r<6,对于其它形 状的三角形同理有r<c,r<,r<b,从而s=(n+ b+c)/2>(r+r)/2=r,综上所述,锐角(直角)三 角形的半周,外径,内径满足s>R>r,钝角三角形 的半周,外径,内径满足s>R>r或Rs>r. 明确任给的三实数与三角形半周,外径,内径的 对应关系后,于是可利用已有的"三角形的三边的 幂和式与三角形的半周,外径,内径的关系"探讨三 个正实数s,R,r(s>R>r)成为一个三角形的 半周,外径,内径的条件了. 4三个正实数s,R,r(S>R>r)成为一 个三角形的半周,外径,内径的条件 定理4任意三个正实数s,R,r(s>R> r)均可成为一个三角形的半周,外径,内径. 证明:把Po=3,P】=2s,P2=2s一2r一8Rr 代人(1)计算得P=2s(S一3r.一6Rr), 从而可得 Pd=2(r4+s一6sr一8Rrs+8Rr.+16Rr) (6) 因三角形的三边n,b,C满足P>2P4,把 (2)(9)代入化简得 fs2一r2—4Rr)+4sr>0(10) 所以任意三个正实数n,b,c为三角形的三边当 且仅当(10)成立;而任意三个正实数5,R,r(s> R>r)均可使(10)成立,所以任意三个正实数s, R,r均可成为一个三角形的半周,外径,内径;由于 在锐角和直角三角形中,有s>R>r,所以取s=s, R=R,r=r,在钝角三角形中,有s>R>r或R> >r,所以可取5=s,R=R,r=r或5=R,R= s,r=r来构造三角形. 虽然我们已得到任意三个正实数s,R,r(s> R>r)均可成为一个三角形的半周,外径,内径, 但还不是最完美的结论,因为我们还不明确构成的 三角形的形状是怎样的,须进一步探讨三角形的形 状的确定问题. 5已知任意正实数为三角形的半周,外径,内 径,三角形的形状的确定 引理6设为?AC,r1,r2,r3为三角形 r)(S—r:)(s—r)则是锐角 的三旁径,T=(s— (直角,钝角)三角形的充要条件是大于(等于,小 于)0. 弓I理7s=Far6+r.r+r6r(11) 证明:由(6)式得r=Far6r/(r^r.+r.r+r.r6), 再把(5)代人可得(11)式. 定理5设为?BC,s,R,r(s>R>r) 为任意正实数,T=s一2R一r,则是锐角(直 角,钝角)三角形的充要条件是大于(等于,小 于)0. 证明:由定理3,可取s:s,R=R,r=r,令 T=(s一r.)(s一r:)(s一r3)(12) 其中为一(4R+r)+s一St2r=0, i=1,2,3.的三个根.(12)式展开得 T=s一(r1+r2+r3)S+(rlr2+r2r3+r1F3)s 一 r1r2r3 把(5)(8)(11)代入上式得T=s一(4R+ r)s+s一sr,由弓I理6,当且仅当=s一(4R +r)s+s一stzr>0,是锐角三角形,即当且仅 当T=5一2R一r>0,是锐角三角形;同理,当 且仅当等于(小于)0时,是直角(钝角)三角 形,若取s=R,R=5,r=r时,则有T=R一2s 一 r<0,是钝角三角形. 参考文献 [1]七市高中选修教材编写委员会.数学问题探究[M].广东:生活 读书新知三联书店出版,2003,P15一P23. [2]吴康,马海侠.三实数成为三角形三旁径的条件[J].中学数学研 究.2005.(11).