沥青路面层状粘弹性半空间轴对称问题的求解

沥青路面层状粘弹性半空间轴对称问题的求解 沥青路面层状粘弹性半空间轴对称问题的 求解 第l7卷第4期山东建筑工程学院 2O02年l2月JOURNALOFSHANDONGINS邢'I用EOFARCH.ANDENG V01.17No.4 Dec.2002 文章编号:1003—5990一(2002)o4—0001—07 沥青路面层状粘弹性半空间轴对称问题的求解 任瑞波,钟岱辉,孔军,田军祯,董支宝,李兵 (1.山东建筑工程学院土木工程学院,山东济南250014;2.山东省交通工程总公司,山东济南250001) 摘要:沥青路面中的沥青材料是一种典型的粘弹性材料,利用积分变换和传递矩阵的方法推导了 沥青路面多层粘弹性半空间轴对称问题的解析解,引入F.Durbin的方法实现Laplace逆变换,通过 实例计算路表弯沉表明初始时段所得结果与弹性解基本一致,随着时间的推移,沥青路面多层粘 弹体系路表弯沉增大,说明随时间的推移,沥青材料的粘性起到更大的作用,反映了粘弹材料的蠕 变变化规律,这与沥青路面实际情况相符.此方法可以很容易推广到沥青路面多层粘弹体系动力 学问题之中. 关键词:沥青路面;层状粘弹体系;积分变换;传递矩阵 中图分类号:U416.217文献标识码:A 0引言 随着D(FallingWeightDeflectometer)的广泛应用,出现了许多路表弯沉的计算方法,但 以前的计算方法皆以弹性层状理论为基础,如文献[3]采用Love应力函数得到了多层弹性半 空间轴对称问题的解析解;文献[1]采用传递矩阵方法求解了多层弹性半空间轴对称问题,所 有这些方法都没有考虑材料的粘弹性,而路面结构,特别是沥青路面面层在高温时呈粘弹性, 如果对这种路面结构仍采用弹性理论,必然会造成计算结果与实际出入较大].本文采用粘 弹性理论模型,引入了F.Durbin的Laplace逆变换的数值方法对层状粘弹性半空间问题进行了 推导和求解. l基于粘弹性理论传递矩阵的推导 (1)平衡微分方程式 考虑时间在柱坐标下的静力平衡方程为: 堕++:0 artaz'r一 堕++:0————一+————,+————_u 将上述两式对时间t施加拉氏变换得: 堕+立三:+!!二!!兰::0 8r十az十r:u (1) (2) (3) 收稿日期"2002—05—30 基金项目:国家自然科学基金项目(50OO80O5). 作者简介:任瑞波(1967一),男,山东烟台人,山东建筑工程学院副教授,哈尔滨工业大学博士后,研究方向:路面结构设 计,路面力学 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 . 2出丕建箕王垂堂堂堂 + 亟+:0— ?+——+—u (2)物理方程式 拉氏域内应力和位移之间的关系式为: -,(,,,):口()+6()+6(s) 一 ao(r,z_6() (r,)_6() (r,z,s):(s)f +0()+6(s) +6()+0(s) ,s)a(一J?一 (4) (5) (6) (7) (8) 式中:.()=?;6(s)=;(s)=)-;E(s)为粘弹性算子; 为材料的泊松比. (3)传递矩阵推导一 上式中四个应力分量是两个位移分量的函数,设法消去两个应力分量,为了方便起 见,消 去-r(r,z,s),(r,z,s),将(5)式和(6)式代入(3)式得: ++一-(r=. (9) 再把(7)式对r求偏导得: +一,z, (10) 联立(9),(10)两式消去项得: :一 (蒡+{3一)_(r? 将式f4,f7),f8),f11)各式写成矩阵形式并将a(s),b(s)代入可得: a a 0一0 一 c+?. 000 一 (嘉+1一{)0一卫l-一+—u一一,u2ar (12) 将(7)式作关于坐标r的Hankel积分变换,对(r,z,s)和(r,,s)作r的一阶Hanke~积分 变换,(r,z,s)和(r,z,s)作r的零阶Hankel积分变换,并有Hankel积分变换的性质得: ))) —一一一 ,一1一, . , +]0+0?一Ea—一a一 ))))心 一一一 第4期任瑞波等:沥青路面层状粘弹性半空间轴对称问题的求解 a az 式中:A(e,s)= 一 /.t(,,s) 一 /.g(,,s) (e,,s) (,,s) : (,s) /.t(,,s) /.g(,,s) :(,,s) (,,s) 0 . OO o (13) 令向量(,,s)=【"(,,s)(,,s)(,,s)2"I(,,s)】',则式(13)变为: 3一—— 【X(,,s)】=A(,s)(,,s)(14)【,二 式(14)的解为:(,z,s)=exp(zA(,s))(,0,s)(15) 式中:exp(~A(,s))即为传递矩阵,用71表示,它给出:0处,经laplace及Hankel变换的 位移 和应力边界向量与任意深度处向量之间的关系. 根据Cayley-Hamilton定理及矩阵指数的定义,传递矩阵可表示为: T=exp(zA(,s))=口0,+口1A+口2A+口3A(16) 式(16)中,A(,s)的特征方程为:IA(,s)一I:0,即:(一)=0. 上述代数方程的根为::? 式(16)中,矩阵A(,s)用其特征值代人也成立,即: exp():00+81+0,2+03(17) 由于特征值为重根,也应满足(12)式对的导数,即: exp()=口1+2a2+3a3(18) 以=?e,代入(17),(is)两式可求出: 口.:ch(,)一萼sh( . 3sh()一Szch() 口————一 口: 委( .,= 1& ch(一sh(] 将口.,口,o,口,代人(16)式即可得传递矩阵. (4)粘弹性模型 经室内试验验证,各种粘弹性模型中,Burgers模型 大致能反映沥青材料的力学性能,故本文采用如图1所 . 图1Burgers模型 ) : +]0000—0 t}, 00 一 一 .卜 4山东建筑工程学院2OO2正 示的Burgers模型. Burgers模型的本构方程为: )+(卫Ei2+业Ell)+嚣E叩cry,?+业Ell) 将上式对时间t施加拉氏变换,并整理得出粘弹性算子为: == 籍 2传递矩阵法在多层粘弹体系中的应用 对于图2所示的多层粘弹性体系,其边界条件为: (1)在表面处,即=0处,轴对称的 (r,0,t),(r,0,t)分布均已知,经 Laplace及Hankel变换可确定:(,0,s), r(,0,s). (2)当z一?时,则有"(r,,t)=0, (r,z,t)=0,经Laplace和I-Iankel变换可 得: "(,?,s)=0,(,?,s)=0 (3)层间完全接触的条件为: (r,,t) O"z(r,,t) r(r,z,t) w(r,,t) :(r,,t) r(r,i,t) 经Laplace及Hankel变换得: (,,s) (,,s) (,,s) (,,s) (20) (21) 1L,, h.0E llEl2目I21r 2 E2lE22q2,22I-/2 ElEnnIq1p n-lllE.12目.1l.12.I ,///////////////////, ,7..…17I) 图2沥青路面层状粘弹体系 (,,s) (,,s) (,s) (,s) 式中:表示第层. 状态向量间的传递关系对于任意层都是成立的.对于图2所示的多层体系,按接触条件 逐层传递就可得到整个多层粘弹体系的传递关系为: (E(s),,h,)(,0,s)(22)i=1 (,,s)=? 这样建立了初始状态向量和任意深度处的状态向量之间关系,由边界条件并进行Hankel 与拉氏逆变换,通过解二元一次方程组即可求出(r,0,t),本文编制了求解层状粘弹性体系 轴对称问题计算路表弯沉程序. 4 3关于拉氏逆变换的处理 对于简单的变换问题,可直接利用Laplace变换表得出逆变换的数学表达式,而对于本文 所研究的多层粘弹性问题,F(s)的表达式极其复杂,难以用解析式表示,需要通过数值法进行 逆变换,由于逆变换的精确数值实现难度较大,因此也就出现了很多方法,所有这些方法中 F.Durbin法精度最高b]. 函数(r,.,tj)在时刻tj可表示成如下的复级数: (,):竿{一丢[,(.)]+廊[n-I(A(Ii})+(Ii}))(c.s+isin)]) (23) 式中:tj=jAt=,_『=0,1,2,…,N一1,T为总的计算时段,N为总的计算步数,对于L× J7v:505000,经过计算得知,当0?=5一l0时计算结果较好,且稳定,其中: (Ii}):?Re[F(0+(k+f?))] (Ii}):?Im[F(0+(k+lN))] F(5)表示函数(r,z,,,)的Laplace变换,s=0+/k下/.71". 本文采用该方法对粘弹性问题进行了Laplace逆变换,并编制计算程序. 4算例 为验证程序的正确性,本文考虑面层材料的粘弹性,对某路面进行了计算,并与文献[1]只 结果见下例: 考虑弹性情况下计算结果进行了对比, 某沥青路面结构,如图3所示,沥青混凝土面层厚16cm,基层21cm,土基为半无限体,只考 虑面层为粘弹性的情况,采用Burgers模型结构,对图2所示的路基路面层状粘弹体,取E.= E=E=3461.73MPa,77】1=77】2=77】=1.12×l05Pa?s,基层弹性模量为812.73MPa,土基的弹 性模量为95.31MPa,各层的泊松比分别为0.25,0.25和0.35,FWD荷载均匀地作用在半径 15cm的圆内,路表面静载P为0.7MPa. 利用本文编制的粘弹性层状体表面弯沉计算程序计 算,结果如表l和图4所示. 其中,弯沉盆计算点r坐标分别为0.0,22.0,33.0,51. 0,81.0,127.0,150.0,180.0,210.0(cm). 利用文献[1]的方法计算对应点的弹性解结果如表2 所示. 通过上面的计算结果可以看出,加荷初始时,粘弹解的图3沥青路面结构示意图 结果与弹性解的结果基本一致.图4表明,随着时间的推移,路表各点弯沉逐渐增大并趋于稳 定,这说明随着时间的增长,材料的粘性起到更大作用,图4还说明了粘弹材料蠕变的变化规 山东建筑工程学院2O02年 律.通过与弹性解计算结果对比以及各点弯沉随时间变化规律验证了本文程序的正确性. 表1粘弹解计算结果/.tm g 讣 表2弹性解计算结果 5结论 (1)推导了沥青路面层状粘弹性半空间轴对称课题的理论解,克服了现有模型的缺陷, 符合路面材料的实际性能. (2)通过本文的计算实例可以看出,在静荷载作用下,随着时间增长,粘弹性材料的粘性 起到更大作用,并反映了粘弹材料的蠕变变化规律. (3)引入精度高的F.Durbin方法实现Laplace逆变换,计算结果较好. 参考文献: [1]钟阳,王哲人,郭大智.求解多层弹性半空间轴对称问题的传递矩阵法[J].土木工程,1992(6):37—43 OOOOOOOOO如?如加m 第4期任瑞波等:沥青路面层状粘弹性半空间轴对称问题的求解7 [2]张肖宁.实验粘弹原理[M].哈尔滨:哈尔滨船舶工程学院出版社,1990. [3]朱照宏,王秉刚,郭大智.路面力学计算[M].北京:人民交通出版社,1985. [4】任瑞波.沥青路面结构计算方法与FWD应用技术的研究[D】.哈尔滨:哈尔滨 工业大学,2OOO. [5]I~binF.NumericalinversionofLaplacetratlsforrr~;allefficientin~rovementtoDubBerandAbate'smethod[J].TheComtDuterJour. hal,l973(4):371—376. [6]田波.FWD理论模型及识别问题的研究[D].哈尔滨:哈尔滨建筑大学,1998. Thetheoreticalmethodforsolvingaxisynunetricalproblemsinmultilayered viscoelasticasphaltpavementhalfspace RENRui.bo,ZHONGDai.hui,KONGJun,eta1. (SchoolofCivilEngineering,ShandongInstituteofArchitectureandEr西 neeriIIg,Jinan250014,China) Abstract:Asphaltmaterialisakindofviscoelasticmaterialinasphaltpavement.Bymeansoftransfer matrixandintegraltransformation,thesolutionforaxisymmetricalproblemsinasphaltpavementmultilay— eredviscoelastichalfspaceisderived,F.DurbinSnumericalinversiontransformofLaplaceisused.An exampleshowsthatdeflectioninthebeginningtimesisingoodagreementwiththatinelasticsolution, withtimepassing,thesurfacedeflectioninasphaltpavementmuhilayeredviscoelasticbodyincreases, whichexplainsthattheviscidityofasphaltmaterialplaysgreaterpart.ThesolutioninthispaperCaneasi— lybeusedtosolvedy咖jcquestionofasphaltpavementmultilayeredviscoelastichalfspace. Keywords:asphaltpavement;multila3eredviscoelasticbody;integraltransformation;transfermatrix