5.函数零点问题的类型解法
2017年课标高考母题 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 689
[中国高考数学母题](第195号)
函数零点问题的类型解法
函数的零点是函数研究的重要课题,也是高考的热点问题,高考中的函数零点问题有两类:求函数的零点个数和已知函数的零点个数,求参数的取值范围;解决函数零点问题的主要方法有:图像法和转化法.
[母题结构]:(?)(零点定理):?若函数f(x)在[a,b]上连续,且f(a)f(b)<0,则函数f(x)在(a,b)内至少有一个零点; ?若连续函数f(x)在[a,b]上单调,且f(a)f(b)<0,则函数f(x)在(a,b)内恰有一个零点.
(?)(转化定理):函数F(x)=f(x)-g(x)的零点函数y=f(x)的图像与函数y=g(x)的图像交点的横坐标. ,
[解题程序]:这里
1.零点个数
13 子题类型?:(2015年课标?高考试题)已知函数f(x)=x+ax+,g(x)=-lnx.(?)当a为何值时,x轴为曲线y=f(x)4
的切线; (?)用min{m,n}表示m,n中的最小值,设函数h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0),讨论h(x)零点的个数.
11332,[解析]:(?)设曲线y=f(x)与x轴相切于点(x,0),则f(x)=0,(x)=0x+ax+=0,3x+a=0x=,a=-; f,,0000000424
55(?)当x?(1,+?)时,h(x)=min{f(x),g(x)}?g(x)=-lnx<0h(x)零点的个数=0;由f(1)=a+,g(1)=0当a?-时, ,,44
5x=1是h(x)的零点;当a<-时,x=1不是h(x)的零点;当x?(0,1)时,g(x)=-lnx>0,故只需讨论f(x)在(0,1)内的零点;4
11532,,,由f(x)=x+ax+f(0)=,f(1)=a+;由(x)=3x+a(0)=a,(1)=3+a;?当a?0或a?-3时,f(x)在(0,1)内fff,,444
单调当a?0时,f(x)零点的个数=0h(x)零点的个数=0;当a?-3时,f(x)零点的个数=1h(x)零点的个数=1;?当 ,,,
aaaaa2a1,,,,,-3
0, ,min3433333
a33,即-
标准
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,求含参数函数零点,综合单调、最值分类的标准. [同类试题]:
1.(2004年广东高考试题)设函数f(x)=x-ln(x+m),其中常数m为整数.(?)当m为何值时,f(x)?0; (?)定理:若函数g(x)在[a,b]上连续,且g(a)与g(b)异号,则至少存在一点x?(a,b),使g(x)=0.试用上述定理证明:00-m2m当整数m>1时,方程f(x)=0在[e-m,e-m]内有两个实数根.
x2.(2013年山东高考试题)设函数f(x)=+c(e=2071828…为自然对数的底数,c?R).(?)求f(x)的单调区间,最大值; 2xe
(?)讨论关于x的方程|lnx|=f(x)根的个数.
2.参数范围 x2 子题类型?:(2016年高考全国乙试题)已知函数f(x)=(x-2)e+a(x-1).
690 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 2017年课标高考母题 (?)讨论f(x)的单调性; (?)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.
ex,[解析]:(?)由(x)=(x-1)(e+2a);?当a?0时,f(x)在(-?,1)上递减,在(1,+?)上递增;?当a=-时,f(x)在(-?, f2
ee+?)上递增;?当-0时,f(1)=-e,f(2)=a,取b满足b<02
aa3e22且b0f(x)有两个零点;?当-0f(x)有三个零点;?当a<-时,f(x)只有一个零点.综上,a?(0,+?). ,2
[点评]:已知含参数的函数存在零点或零点个数,求参数的取值范围,该类问题是函数零点的综合性问题,解决问题的方法就是综合解决零点个数与讨论问题的方法,并灵活运用.
[同类试题]:
23.(2013年北京高考试题)已知函数f(x)=x+xsinx+cosx.(?)若曲线y=f(x)在点(a,f(a))处与直线y=b相切,求a与b的值; (?)若曲线y=f(x)与直线y=b有两个不同的交点,求b的取值范围.
x24.(2014年四川高考试题)已知函数f(x)=e-ax-bx-1,其中a,b?R,e=2071828…为自然对数的底数. ?)设g(x)是函数f(x)的导函数,求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值; (
(?)若f(1)=0,函数f(x)在区间(0,1)内有零点,求a的取值范围.
3.转化分析
a 子题类型?:(2013年福建高考试题)已知函数f(x)=x-1+(a?R,e为自然对数的底数). xe
(?)若曲线y,f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴,求a的值; (?)求函数f(x)的极值; (?)当a=1时,若直线l:y=kx-1与曲线y,f(x)没有公共点,求k的最大值.
aa,,[解析]:(?)由f(x)=1-f(0)=1-=0a=e;(?)?当a?0时,f(x)无极值;?当a>0时,f(x)在x=lna处取得,,xee
11极小值f(lna)=lna,无极大值;(?)当a=1时,f(x)=x-1+,直线l:y=kx-1与y,f(x)没有公共点(k-1)x=在R上,xxee
11xx,g没有实数解;?当k=1时,方程在R上没有实数解;?当k?1时,方程(k-1)x==xe;令g(x)=xe,则(x)=(x+ ,xk,1e
111x1)eg(x)在(-?,-1)上递减,在(-1,+?)上递增g(x)?[-,+?),所以,<-k?(1-e,1).综上,k=1. ,,,maxek,1e
[点评]:对含参数t的函数f(x)的零点问题,可以利用f(x)=0进行两方面的分离:一方面是分离参数t,即由f(x)=0 ,h(t)=g(x)(g(x)中不含参数t);另一方面是分离函数即由f(x)=0h(x,t)=g(x)(g(x)中不含参数t). ,
[同类试题]:
932,f5.(2009年江西高考试题)设函数f(x)=x-x+6x-a.(?)对于任意实数x,(x)?m恒成立,求m的最大值; 2
(?)若方程f(x)=0有且仅有一个实根,求a的取值范围. 26.(2015年广东高考试题)设a为实数,函数f(x)=(x-a)+|x-a|-a(a-1).(?)若f(0)?1,求a的取值范围;
4(?)讨论f(x)的单调性; (?)当a?2时,讨论f(x)+在区间(0,+?)内的零点个数. x
4.子题系列:
2x7.(2015年北京高考试题)设函数f(x)=-klnx(k>0).(?)求f(x)的单调区间和极值; 2
e(?)证明:若f(x)存在零点,则f(x)在区间(1,]上仅有一个零点.
2017年课标高考母题 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 691
3228.(2011年天津高考试题)已知函数f(x)=4x+3tx-6tx+t-1,x?R,其中t?R.
(?)当t=1时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(?)当t?0时,求f(x)的单调区间; (?)证明:对任意的t?(0,+?),f(x)在区间(0,1)内均存在零点.
329.(2015年江苏高考试题)已知函数f(x)=x+ax+b(a,b?R).(?)试讨论f(x)的单调性;(?)若b=c-a(实数c是与a无关
33的常数),当函数f(x)有3个不同的零点时,a的取值范围恰好是(-?,-3)?(1,)?(,+?),求c的值. 22
10.(2011年福建高考试题)已知a,b为常数,且a?0,函数f(x)=-ax+b+axlnx,f(e)=2(e=2.71828…是自然对数的底数). (?)求实数b的值; (?)求函数f(x)的单调区间; (?)当a=1时,是否同时存在实数m和M(m0,1-m?[e-m,e-m],f(1-m)=(1-m)-ln[(1-m)+ ,
2m2m2m2m2m2x4012,hm]=1-m<0,f(e-m)=(e-m)-ln[(e-m)+m]=e-3m=(1+1)-3m>-3m>0,则(x)=2e-3?2e-3>0h(x)C，C，C,2m2m2m
42m-m2m在[2,+?)内递增h(x)?h(2)=e-12>0e-3m>0)函数f(x)在[e-m,1-m]、[1-m,e-m]内各恰有一个零点,即方程,,,
-m2mf(x)=0在[e-m,e-m]内有两个实数根.
1111:(?)f(x)在(-?,)上递增,在(,+?)上递减f(x)=f()=+c;(?)令g(x)=f(x)-|lnx|;?当x?1时, 2.解,max2222e
111x1,g(x)=+c-lnx(x)=-(2x-1)-<0g(x)在[1,+?)上递减;?若g(1)=+c?0,即c?-时,方程在[1,+g,,2x2x22xeeee
11?)上有一个根;?若g(1)=+c<0,即c<-时,方程在[1,+?)上没有根;?当00g(x)在[1,+?)上单调递增;?若g(1)=+c>0,即c>-时,方程在(0,1)上有一个,,2x22eee
1111根;?若g(1)=+c?0,即c?-时,方程在(0,1)上没有根;综上,当c>-时,有两个根;当c=-时,有一个根;当2222eeee
1c<-时,没有根. 2e
,,ff3.解:(?)由(x)=x(2+cosx),(a)=0a=0b=f(0)=1; (?)由f(x)=f(0)=1b的取值范围是(1,+?). ,,,max
11ee4.解:(?)?当a?时,g(x)=g(0)=1-b;?当0,g(1)=e-2a-b=1-a>0a(e-2,1),g(x)=2a-2aln(2a)-b=3a-2aln(2a)-e-1;min22
eee,h,,,令h(x)=3x-2xln(2x)-e-1,x?(e-2,1),则(x)=1-2ln(2x)h(x)=h()=--1<0g(x)<0f(x)在区间maxmin222
(0,1)内恰有三个单调区间.综上,a的取值范围为(e-2,1).
3,f,5.解:(?)m的最大值=-;(?)由(x)=3(x-1)(x-2)f(x)在(-?,1)和(2,+?)上单调递增,在(1,2)上单调递减4
5f(x)的极大值=f(1)=-a,f(x)的极小值=f(2)=2-a;所以,方程f(x)=0有且仅有一个实根f(x)的极大值<0,或f(x) ,,2
692 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 2017年课标高考母题 55的极小值>0-a<0,或2-a>0a的取值范围是(-?,2)?(,+?). ,,22
116.解:(?)由f(0)?1|a|+a?1;?当a?0时,|a|+a?10?1;?当a>0时,|a|+a?1a?.综上,a?(-?,]; ,,,22
122(?)由f(x)=(x-a)+|x-a|-a(a-1);?当x?a时,f(x)=x-(2a-1)x,其对称轴x=a-af(x)在(-?,a)内单调递减; ,2
44814423,(?)由f(x)+=0x-(2a-1)x+=02a-1=x+;令g(x)=x+(x>0),则(x)=1-=(x-8)g(x)在(0,2)g,,,2233xxxxxx
4内单调递减,在(2,+?)内单调递增g(x)=g(2)=3;?当2a-1=3,即a=2时,f(x)+有一个零点x=2;?当2a-1?3,即a,minx
4?2时,f(x)+有两个零点. x
k(1,lnk)k(1,lnk)kk7.解:(?)f(x)存在极小值f()=,无极大值;(?)由f(x)存在零点f()=?0k?e;?当,,22
eeeek=e时,f(x)在区间(1,]上单调递减,且f()=0x=是f(x)在区间(1,]上的唯一零点;?当k>e时,f(x)在区,
e,k1eee间(1,]上单调递减,且f(1)=>0.f()=<0f(x)在区间(1,]上仅有一个零点. ,22
tt8.解:(?)切线方程:y=-6x;(?)?当t<0时,f(x)在(-?,)和(-t,+?)上单调递增,在(,-t)上单调递减;?当t>022
ttt时,f(x)在(-?,-t)和(,+?)上单调递增,在(-t,)上单调递减;(?)?当?1,即t?2时,f(x)在(0,1)单调递减,222
tt2且f(0)=t-1>0,f(1)=-6t+4t+3<0f(x)在区间(0,1)内有一个零点;?当0<<1,即00;2242163
若t?(1,2),则f(0)>0f(x)在区间(0,1)内有一个零点. ,
2a2a,f9.解:(?)由(x)=3x(x+);?当a=0时,f(x)在定义域内单调递增;?当a<0时,f(x)在(-?,0)和(-,+?)内单调332a2a2a递增,在(0,-)内单调递减;?当a>0时,f(x)在(-?,-)和(0,+?)内单调递增,在(-,0)内单调递减; 333
32aa4?)?当a=0时,f(x)有1个零点;?当a<0时,f(x)有3个不零点(,f(0)>0,且f(-)<0,b>0,且+b<0,c>a,且327
32aa4334a-27a+27c<0;?当a>0时,f(x)有3个零点,f(0)<0,且f(-)>0,b<0,且+b>0,c0;又由327
3333 ,a的取值范围恰好是(-?,-3)?(1,)?(,+?)c的可能组为-3,1,;验证知,当c=-3,时,不合题意.故c=1.2222
,10.解:(?)由f(e)=2b=2;(?)?当a>0时,f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+?)上单调递增;?当a<0时,f(x)在(0,1)
112上单调递增,在(1,+?)上单调递减;(?)当a=1时,f(x)在(,1)上单调递减,在(1,e)上单调递增;由f()=2-,f(e)= eee
1,,2,f(1)=1当x?[,e]时,f(x)的值域为[1,2]最小的实数m=1,最大的实数M=2. e
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