维纳滤波器设计

维纳滤波器设计 1.设计要求 Sequence s(n) of N=2000 points is generated by AR(1) model: s(n)=as(n-1)+w(n), in which a=0.8, w(n) is white noise sequence, the mean and variance of w(n) is，m,0w 2. ,,0.36w The measurement model is x(n) =s(n) +v(n), in which white noise sequence v (n) and 2w (n) is not related, the mean and variance of v(n) is ,. m,0,,1vm Requirements: (1)Design IIR causal Wiener filter , calculate the filtered sequence and mean square rror; e (2)Design FIR Wiener filter , calculate the filtered sequence and mean square error; (3)Display raw data , noise data and filtered data on the same graph , compare the mean square error between the two cases and draw a conclusion. 2.设计原理 2.1维纳滤波原理概述 维纳(Wiener)是用来解决从噪声中提取信号的一种过滤(或滤波) 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 。 这种线性滤波问题，可以看做是一种估计问题或一种线性估计问题。一个线性系 统，如果它的单位样本响应为，当输入一个随机信号，且 h(n)x(n) (1) x(n),s(n)，v(n) 其中 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示信号，)表示噪声，则输出为 x(n)v(n)y(n) (2) y(n),h(m)x(n,m),m 我们希望通过线性系统后得到的尽量接近于，因此称为x(n)h(n)y(n)s(n)y(n) ^ s(n)的估计值，用表示，即 s(n) ^ y(n),s(n) (3) 则维纳滤波器的输入—输出关系可用下面图1表示。 图1 x(n)x(n,1)实际上，式(2)所示的卷积形式可以理解为从当前和过去的观察值，， ^ „，„来估计信号的当前值。因此，用进行过滤问题s(n)x(n,2)x(n,m)h(n)实际上是一种统计估计问题。 一般地，从当前的和过去的观察值，，„估计当前的信号值x(n,1)x(n,2)x(n) ^ 成为过滤或滤波;从过去的观察值，估计当前的或者将来的信号值y(n),s(n) ^ 称为外推或预测;从过去的观察值，估计过去的信号值y(n),s(n，N)(N,0) ^ 称为平滑或内插。因此维纳滤波器又常常被称为最佳线性y(n),s(n,N)(N,1) 过滤与预测或线性最优估计。这里所谓的最佳与最优是以最小均方误差为准则的。 ^ 如果我们分别以与表示信号的真实值与估计值，而用表示他们s(n)s(n)e(n)之间的误差，即 ^ (4) e(n),s(n),s(n) 显然可能是正值，也可能是负值，并且它是一个随机变量。因此，用它的均e(n) 方误差来表达误差是合理的，所谓均方误差最小即它的平方的统计期望最小: 2,(n),E[(n)],min (5) e 采用最小均方误差准则作为最佳过滤准则的原因还在于它的理论分析比较简单，不要求对概率的描述。 2.2维纳-霍夫方程的求解 为了按(5)式所示的最小均方误差准则来确定维纳滤波器的冲激响应，h(n)令对的导数等于零，即可得 ,(n)h(j) (6) R(m),h(i)R(m,i),,mxsxx,i R(m)R(m)式中，是与的互相关函数，是的自相关函数，分别s(n)x(n)x(n)xsxx 定义为 R,E[x(n)s(n，m)] xs R,E[x(n)x(n，m)] xx 式(6)称为维纳滤波器的标准方程或维纳-霍夫(Wiener-Hopf)方程。如果已知R(m)R(m)和，那么解此方程即可求的维纳滤波器的冲激响应。 xsxx i 式(6)所示标准方程右端的求和范围即的取值范围没有具体标明，实际上 有三种情况: 0N,1i(1) 有限冲激响应(FIR)维纳滤波器，从到取得有限个整数值; i(2) 非因果无限冲激响应(非因果IIR)维纳滤波器，从到取所,,，, 有整数值; 0i(3) 因果无限冲激响应(因果IIR)维纳滤波器，从到取正整数值。 ，,上述三种情况下标准方程的解法不同，本文将描述因果IIR维纳滤波器和FIR维纳滤 波器的求解。 3维纳滤波器的设计与实现 3.1因果IIR维纳滤波器的求解 解维纳-霍夫方程得，因果IIR维纳滤波器的传输函数为: ，，Sz，，1sx (7) ,,Hz,，，c2,1,Bz，，Bz，，,,,，，， 现要设计一个因果IIR维纳滤波器，对进行处理，以得最佳估计。 x(n) 为分析简单起见，作如下假设: (1)wn是方差等于Q的白噪声，其自相关函数和功率谱分别为 ，， 1,ni,, ,,EwnwiQ,, ，，，，，，,nini，，0,ni,, vn(2)是方差等于R的白噪声，其自相关函数和功率谱分别为 ，， EvnviR,,， ，，，，，，ni，， SzQ,，，ww且 SzR,，，vv vnwn(3)与不相关，与也不相关，即 sn()，，，， Evnsi,0，，，，，，，， Evnwi，，,0，，，，，， 我们需要求出如下几个功率谱: Q ,Sz，，ss,111,,azaz，，，， cQ ,Sz，，sx,111,,azaz，，，， 2cQ2 ,，,，SzcSzSzR，，，，，，xxssvv,111,,azaz，，，， 对出入信号功率谱进行因式分解，得 ,11,fz21, (8) ,SzBzBzBzf,,,,,1，，，，，，，，xx,,11,az继续推导得到 222,11，,，，fcQaR，，，，, (9) faR,2221，fcQaR，，1，，联立两个方程，得 2aRPQPP,,,,0 (10) 2RcP， 求得因果IIR滤波器系统函数 1111cQ,,,，，HzGzG (11) ，，，，c2111,,,，，，,,,,,1faBzfzazfz111，，2,,,,1,1az cP其中，维纳增益 (12) G,2RcP， aR (13) 1facG,,,，，2RcP， 3.2 FIR维纳滤波器的求解 N设滤波器冲激响应序列的长度为，冲激响应矢量为 T (14) h,[h(0)h(1)....h(N,1)] 滤波器输入数据矢量为 T (15) x(n),[x(n)x(n,1)...x(n,N，1)] 则滤波器的输出为 ^TTy(n),s(n),x(n)h,hx(n) (16) 这样，式(6)所示的维纳-霍夫方程可写成 TTP,RhP,hR 或 (17) 其中 P,E[x(n)s(n)] (18) NRx(n)x(n)是s(n)与的互相关函数，它是一个维列矢量;是的自相关函数，N是阶方阵 T (19) R,E[x(n)x(n)] 利用求逆矩阵的方法直接求解式(10)，得 ,1 (20) h,RPopt 这里表示“最佳”，这就是FIR维纳滤波器的冲激响应。 opt 3.3 维纳滤波器的matlab实现 由设计要求，可得维纳滤波器的数据模型和测量模型参数: a = 0.8 , c = 1 , Q = 0.36 , R = 1 ; 由3.1节，我们可得IIR维纳滤波器的设计步骤如下: (1) 根据一直参数a , c , R , Q求解式(10)，得到正解P = 0.6 ; (2) 由式(12)计算维纳增益G= 0.375; (3) 由式(13)计算滤波器系数= 0.5; f 0.375(4) 将G和值带入式(11)，得到IIR维纳滤波器的传输函数，fHz, ，，c,1,z10.5 n于是单位脉冲响应为。 hnun()0.375*(0.5)(), 而由3.2节的计算推导，我们可以设计FIR 维纳滤波器的程序流程图为: 开始 产生L个 v(n),w(n),s(n),x(n) 计算Rxx 和Rxs 计算h(n) 利用卷积求y(n) 将最后100个x(n),s(n),y(n) 绘于同一坐标 计算均方 误差MSE 结束图1 FIR维纳滤波器算法流程图 由此，具体Matlab代码如下: clc clear all L = 2000; % signal length N = 20; % length of the FIR filter a = 0.8; % white noise with mean of 0 and var of 0.36 w = sqrt( 12 * 0.36) * ( rand(1,L) - 0.5 ); % true signal: s(n)=a*s(n-1)+w(n) s = zeros(1,L); s(1) = w(1); for ii = 2:L s(ii) = a * s(ii-1) + w(ii); end % white noise with mean of 0 and var of 1 v = sqrt( 12 ) * ( rand(1,L) - 0.5 ); % received signal: x = s + v x = s + v; % r_xx is the autocorrelation of x r_xx = xcorr( x ); % R_xx is the N-dimentional autocorrelation matrix of x R_xx = zeros( N ); for ii = 1 : N R_xx( : , ii ) = r_xx( L+1-ii : L+1-ii+N-1 )'; end % r_xs is the cross-correlation of x and s r_xs = xcorr( x , s ); r_xs = r_xs( L : L+N-1 )'; % according to R_xx * h_FIR = R_xs ,we can calculate the h_FIR h_FIR = inv(R_xx) * r_xs; h_FIR = h_FIR'; % y_FIR is the reslut signal filtered by h_FIR y_FIR = cconv( h_FIR , x, L ); % y_IIR is the result signal filtered by IIR causal Wiener filter h_IIR n = 0:L-1; h_IIR = 0.375 * ( 0.5 .^ n ); y_IIR = cconv( h_IIR , x, L ); %% plot the true signal s(n) , the received signal x(n), the result signal y_FIR(n) %%filtered by h_FIR,the result signal y_IIR(n) filtered by h_IIR of the last 100 points t = L - 99 : L; figure(1); subplot(2,2,1); plot( t , x(t), 'k' ); title('The raw data s(n) '); xlabel('n');ylabel('Signal Amplitude'); subplot(2,2,2); plot( t , s(t) , 'r'); title('the noise data x(n)'); xlabel('n');ylabel('Signal Amplitude'); subplot(2,2,3); plot( t, y_FIR(t), 'b'); title('The data filtered by FIR filter'); xlabel('n');ylabel('Signal Amplitude'); subplot(2,2,4); plot( t, y_IIR(t), 'g'); title('The data filtered by IIR filter'); xlabel('n');ylabel('Signal Amplitude'); figure(2); plot( t, x(t), '--k',t , s(t) , 'r', t, y_FIR(t), 'g' , t, y_IIR(t), 'b'); legend('raw data s(n)','noise data x(n)','data filtered by FIR filter','data filtered by IIR filter',0); xlabel('n');ylabel('Signal Amplitude'); % 计算均方误差 e_f=sum((y_FIR-s(1:L)).^2)/L e_i=sum((y_IIR-s(1:L)).^2)/L 4.实验结果与结论 运行代码，所得原始数据，噪声数据，FIR维纳滤波数据和因果IIR维纳滤波数据如图2所示: 图 2(a) 图 2(b) 图2 实验数据和结果 运行结果中，不论是FIR维纳滤波还是因果IIR维纳滤波滤波后的到的信号，与原始信号和噪声信号的对比可以看出，滤波后的结果与期望信号还是很接近的，整体上达到了最优滤波的效果。 FIR滤波后得到的信号与因果IIR滤波后得到的信号，直观上很接近。于是我们就引入了均方误差(MSE)对这两种算法的性能进行评估。 多次试验所得到的FIR维纳滤波算法和因果IIR维纳滤波算法的均方误差如表1所示: 表1 FIR维纳滤波算法和因果IIR维纳滤波算法的均方误差(MSE) FIR 0.3488 0.3875 0.3964 0.3574 0.3598 0.3929 0.3923 0.3709 0.3651 0.3687 IIR 0.3453 0.3829 0.3917 0.3570 0.3573 0.3899 0.3923 0.3686 0.3638 0.3672 FIR维纳滤波器的均方误差比因果IIR的均方误差要大。这是因为，设计FIR维纳滤波器需要已知的自相关矩阵R和与的互相关矩阵P或者说需要已知xn()s(n)x(n) Rm()Rm()和，m=0，1，„，N-1。设计IIR维纳滤波器时，需要已知自功率普和xxxs Rm()Rm()互功率谱，或者说需要已知自相关函数和互相关函数的所有值，即xxxsm=0,1，„，?。这就是说，设计IIR维纳滤波器比设计FIR维纳滤波器使用了更多的已知信息。