高考数学导数压轴题

fxxax,，,ln1的图象在x,1处的切线与直线平行( 1.已知函数xy，,,210，，，， (?)求实数的值; a 12,4(?)若方程在上有两个不相等的实数根，求实数的取值范围; fxmx,,3m，，，，,,4 aaapa,，,ln(?)设常数，数列满足()，(求p?1n,Nap,ln,,，，nnnn，1+1 证:( aa?nn，1 2xf(x),x，ax,lnxg(x),e2.已知为常数，a,R，函数，((其中是自然对数的底数) ae O(?)过坐标原点作曲线的切线，设切点为，求证:; P(x,y)x,1y,f(x)000 f(x)(?)令，若函数在区间上是单调函数，求的取值范围( F(x),aF(x)(0,1]g(x) 1ln，xfx(),3.已知函数( x 1(a,01)若函数在区间(其中)上存在极值，求实数的取值范围; a(,)aa，2 kx,1fx(),(2)如果当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围; x，1 2n,,2(1)(1)()nnen，,，,,～N(3)求证( ,, 12f(x),x,ax,ln(1，x)4.已知函数，其中. a,R2 (?)若是f(x)的极值点，求a的值; x,2 (?)求的单调区间; f(x) (?)若f(x)在上的最大值是，求a的取值范围. [0,)，,0 3x25. 已知函数fxaxxaxaR()ln(21)2().,，，,,, 3 xfx,2()为 (1)若的极值点，求实数a的值; yfx,，,()[3,)在 (2)若上为增函数，求实数a的取值范围; 31(1),xb (3)当有实根，求实数b的最大值。 afx,,,,，时方程,(1)23x 1,afxxax()ln1,,，,6.已知函数()aR,. x 1(?)当时，讨论的单调性; fx()a2 nNn,,,2且(?)当时，对于任意的，证明:不等式a,0，1111321n， ，，，，,ffffnnn(2)(3)(4)()42(1)，7.已知函数( f(x),ax,1,lnx()a,R (?)讨论函数在定义域内的极值点的个数; f(x) (?)若函数在处取得极值，对,恒成立，求实数f(x)f(x),bx,2bx,1,,x(0,，,) 的取值范围; y1,lny20,x,y,e(?)当且时，试比较的大小( x,e与x1,lnx8. 设函数 fxxaxaR()ln,(),,, (1)判断函数的单调性; fx() 1n (2)当上恒成立时，求a的取值范围; (3)证明: ln(0,)xax,，,，,,enN(1)().，n 12fxxaxbx()ln.,,,8.设函数 2 1 (1)当时，求函数的最大值; f(x)ab,,2 1a203,,xFxfxaxbx()(),，，，Pxy(,)(2)令，(),其图象上任意一点处切线的斜率002x 1a?恒成立，求实数的取值范围; k222()mfxx,(3)当，，方程有唯一实数解，求正数m的值( a,0b,,1 12fxxaxx()(3)ln.,，,，9.已知函数 2 (?)若函数fx()是定义域上的单调函数，求实数a的最小值; 12fxaxaxx()()(2)2ln,,，,，(?)方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围; a2 ABxAxyBxy(,),(,)(?)在函数fx()的图象上是否存在不同两点，线段的中点的横坐标为，01122 yy,'12x有fx(),成立,若存在，请求出的值;若不存在，请说明理由( 00xx,12 10.已知函数f(x),xlnx.(?)求函数f(x)的单调区间和最小值; 11be(?)当bb(其中=2.718 28„是自然对数的底数);(?)若,0时,求证:,()ee a,0,b,0,证明:f(a)，(a，b)ln2,f(a，b),f(b). 22f(x),x,8lnx, g(x),,x，14x12.已知函数 (1) 求函数在点处的切线方程; f(x)(1, f(1)) (2) 若函数与在区间上均为增函数, 求的取值范围; f(x)g(x)a(a, a，1) (3) 若方程有唯一解, 试求实数m的值. f(x),g(x)，m ln(,x)13.已知f (x),ax,ln(,x)，x?(,e,0)，g(x),,，其中e是自然常数，a?R( x(1)讨论a,,1时, f (x)的单调性、极值; 1(2)求证:在(1)的条件下，|f (x)|,g(x)，; 2 (3)是否存在实数a，使f (x)的最小值是3，如果存在，求出a的值;如果不存在，说明理由( bfxaxaa()22(0),，，,,14.已知的图像在点处的切线与直线平行. (1,(1))fyx,，21x (?)求a，b满足的关系式; fxx()2ln),,在[1,+(?)若上恒成立，求a的取值范围; 1111n，，，，，,，，,(III)证明: 1ln(21)()nnN,，3521221nn 15.设函数( fxxpx()ln1=-+p,0，， (?)求函数的极值点，并判断其为极大点还是极小值点; fx() (?)若对任意的x,0，恒有，求p的取值范围; f(x),0 2222ln2ln3lnn2n,n,1，，？，,(n,N,n,2). (?)证明:( 2222(n，1)23n afxxa()(),，,lnR16.已知函数( x，1 9ka,(?)当时，如果函数gxfxk()(),,仅有一个零点，求实数的取值范围; 2 a,2fx()(?)当时，试比较与1的大小; 1111*(?)求证:( ln1()n，,，，，，()n,N35721n， 117.设函数 (2)a,fxaxax()(1)ln,,,,x (?)讨论的单调性; fx() 111n(II)证明:„对任意都成立( nN,*1，，，，,，，ln(1)n nn2(1)，23 ax(1),18.已知函数 fxx()ln.,,x，1 (1)若函数fx()(0,)在，,上为单调增函数，求a的取值范围; mnmn,，，mnmn,,,:. (2)设 ,,,R且求证lnln2mn, a20.已知函数,，其中R . f(x),lnx,a,g(x),f(x)，ax,6lnxx (?)讨论的单调性; f(x) (?)若在其定义域内为增函数，求正实数a的取值范围; g(x) 2h(x),x,mx，4,x,[1,2]，x,(0,1)(?)设函数, 当时，若，，总有a,221 g(x),h(x)成立，求实数的取值范围( m12 221.已知f(x),lnx,ax,bx( (1)若a,,1，函数f(x)在其定义域内是增函数，求b的取值范围; (2)当a,1，b,,1时，证明函数f(x)只有一个零点; (3)f(x)的图象与x轴交于A(x，0)，B(x，0)( x,x)两点，AB中点为C(x，0)，求证:f ′(x),0( 121200 b22.设函数 f(x),2ax,，Lnxx 1fxxx()1,在处取得极值,,(1)若, 2 ?求的值; a、b 1 ?存在使得不等式成立，求的最小值; x,[,2]，f(x),c,0c004 fx()(0,)在，,(2)当上是单调函数，求a的取值范围。 ba,时，若 23ee,,7.389,20.08) (参考数据 2xfxxxe()(33),,，,,,,2,tf(,2),m,f(t),nt,,223.已知函数定义域为(),设. ,,,2,tf(x)t(1)试确定的取值范围,使得函数在上为单调函数; nm,(2)求证:; 'fx()220,,(1)tx0xx,(,2,t)00t,,2e3(3)求证:对于任意的,总存在,满足,并确定这样的 的个数 a24. 已知函数，为正常数( a,()x,x，1 9(1)若，且，求函数的单调增区间; fx()fxxx()ln(),，,a,2 gxgx()(),21xx,(0,2],xx,(2) 若，且对任意，，都有，gxxx()|ln|(),，,,,11212xx,21求的的取值范围( a 1,x25.已知函数=，g(x),xe. f(x)ax,lnx，1(a,R) (?)求函数在区间上的值域; g(x)(0,e] x,(0,e]x(i,1,2)(?)是否存在实数，对任意给定的，在区间上都存在两个不同的，[1,e]a0i f(x),g(x)使得成立.若存在，求出的取值范围;若不存在，请说明理由; ai0 (?)给出如下定义:对于函数图象上任意不同的两点，如果对于函A(x,y),B(x,y)y,F(x)1122 x，x12M(x,y)数图象上的点(其中总能使得y,F(x))x,0002 ,LF(x),F(x),F(x)(x,x)成立，则称函数具备性质“”，试判断函数是不是具备性质f(x)12012 L“”，并说明理由. xxR,fxx(),26.对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点。如果函数fx()fx()0000 2xa，1fxbcN()(,*),,有且仅有两个不动点、，且。 02f(2),,,bxc,2(1)试求函数的单调区间; fx() 111n，1(2)已知各项均为负的数列满足sf，求证:; 4(),1,,,,lna,,nnaanannn，1 1TTT,,,1ln2011(3)设b,,n，为数列的前项和，求证:。 b,,n20112010nnan 2fxxaxaxaR()ln(1)().,,,,,27.已知函数 (1)当时，求函数fx()的最值; a,1 (2)求函数fx()的单调区间; 5(3)试说明是否存在实数aa(1),使yfx,()的图象与无公共点. y,，ln28 f(x),x,a(x，1)ln(x，1),a,028.设函数( fx()(1)求的单调区间; 111111*，，，？，,,n,N27172n,1e15eee(2)证明:( 29.(理)已知函数f(x)= . sinn1xlx，，，， 112(I)求证: ,f(), (n?N); +nnn (II)如果对任何x?0，都有f(x)?ax，求a的取值范围。 32222fxxkkxxgxkxkx()(1)52.()1,,,，，,,，，30.已知函数，其中 kR,. (1)设函数，若在区间上不是单调函数，求的取值范围. px()(0,3)pxfxgx()()(),，k gx(),x,0xqx(),(2)设函数是否存在，对任意给定的非零实数，存在唯一的非零实数k,1fx()x,0, ,,xxx.(),qxqx()(),使得成立，若存在，求的值，若不存在，请说明理由. k21212 a(1,x)31.已知函数，e为自然对数的底数( f(x),ln(1,x)(a,R)x 2,,1,e,1,e?求在区间上的最值; f(x) 111,n,2,n,N?若，试比较(1，)(1，)？(1，)与e的大小，并证明你的结论( 2!3!n! 2f(x),x(ax,3)32.已知定义在R上的函数,其中a为常数. (1)若x=1是函数f(x)的一个极值点,求a的值; (2)讨论函数的单调性; f(x) , (3)当时,若函数在x=0处取得最大值,求a的取值范围. g(x),f(x)，f(x)(x,[0,2])a,0 af(x),lnx,g(x),(a,0)F(x),f(x)，g(x)x33.已知函数，设。 (?)求F(x)的单调区间; 1P(x,y)，,y,F(x)(x,0,3k,(?)若以)图象上任意一点为切点的切线的斜率 恒成立，002 a求实数的最小值。 2a2m(?)是否存在实数，使得函数的图象与的图象恰好y,g()，m,1y,f(1，x)2x，1 m有四个不同的交点,若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由。 234.已知函数fxxaxax()ln(2),,，,( 2[,]aa(?)若在处取得极值，求的值;(?)求函数在上的最大值( fx()ayfx,()x,1 sinxf(x),,bx(b,R)35.已知函数 2，cosx 2,2,(1)是否存在实数，使得在为增函数，为减函数，若存在，求出的值，fx()bb(0,)(,),33若不存在，请说明理由; (2)如果当时，都有恒成立，试求的取值范围. fx()0,bx,0 1111'？f(1),,a由题意知-a,-？a,11.(?)， ---------3分 f'(x),,a222x，1 (?)由(1)， f(x),ln(1，x),x,？原方程为4ln(1，x),x,m 43,xg'(x),,1,设，得， g(x),4ln(1，x)),x1，x1，x ， ？当3,x,4时g'(x),0,当2,x,3时，g'(x),0,g'(3),0 g(x)在[2，3]上是增函数，在[3,4]上是减函数。 ？g(x),4ln4,3,又g(2),4ln3,2,g(4),4ln5,4. max 9e由于g(2),g(4),2ln,0？g(2),g(4). 25 ---------------------------------------------------9分 ？a的取值范围是[4ln5,4,4ln4,3). 1,xf(x),ln(1，x),x(x,1)有f'(x),,1,,f'(0),0,(?)证明:由 x，11，x当x>0时，f'(x),0,当,1,x,0时，f'(x),0,f(x)在(0,，,)上是减函数， ？f(x),0,在(,1,，,)上f(x),0f(x)在[,1,0)增函数。 max ？ln(1，x),x又p,a,？p,a,1,,1 nn a,a,ln(p,a),ln(1，p,1,a),？a,a,p,1,a,由 n，1nnnn，1nn即a,p,1,当n,2时，a-a,ln(p,a),ln[p,(p,1)],0,即a,a n，1n，1nnn，1n 当n=1时，a,a，ln(p,lnp),由lnp,ln(1，(p，1)),p,1 21 结论成立 ？a,a，ln(p，(p,1)),a,211 n,N,a,a对 ----------------------------------------------14分 ？，n，1n 1,f(x),2x，a,x,02.解:(I)()( …2分 x 2x，ax,lnx1000所以切线的斜率， k,2x，a,,0xx00 2x，lnx,1,0整理得. …4分 00 2y,x，lnx,1显然，是这个方程的解，又因为在上是增函数， x,1(0,，,)0 2所以方程有唯一实数解(故( …6分 x,1x，lnx,1,00 12x(2a)xalnx,，,，,，2f(x)xaxlnx，,x,F(x)F(x),(?)，( …8分 ,,xxg(x)ee 1112,设h(x),,x，(2,a)x，a,，lnx，则h(x),,2x，，，2,a( 2xxx,,,易知在上是减函数，从而( …10分 h(x)(0,1]h(x),h(1),2,a ,a,22,a,0(1)当，即时，，在区间上是增函数( h(x)(0,1)h(x),0 ,，在上恒成立，即在上恒成立( ？h(1),0？h(x),0(0,1]F(x),0(0,1]在区间上是减函数( ？F(x)(0,1] a,2所以，满足题意( …12分 ,xa,22,a,0(2)当，即时，设函数的唯一零点为， h(x)0 则在(0,x)上递增，在(x,1)上递减. 又?，?( h(x),0h(x)h(1),0000,a,2a,aa,ah(e),,e，(2,a)e，a,e，lne,0又?， ,?在内有唯一一个零点， h(x)(0,1)x ,,当时，，当时，. x,(0,x)h(x),0x,(x,1)h(x),0 ,,从而在递减，在递增，与在区间上是单调函数矛盾( F(x)(0,x)(x,1)(0,1]a,2?不合题意( a,2综合(1)(2)得，( …15分 1ln，xlnx,x,0fx(),,3.22(解:(?)因为fx(),， ，则， ----------------------------1分 xx ,,01,,xx,1当时，;当时，( fx()0,fx()0, 所以在(0，1)上单调递增;在上单调递减， fx()(1,)，, 所以函数在处取得极大值( ----------------------------------------------------- ---2分 x,1fx() 1在区间(其中)上存在极值， 因为函数a,0fx()(,)aa，2 a,1,1, 所以 解得 -----------------------------------------------------------------4分 ,,,a1.,1a，,12,,2 k(?)不等式， fx(),x，1 (1)(1ln)xx，，(1)(1ln)xx，，即为 记 ,k,gx(),,xx ,[(1)(1ln)](1)(1ln)lnxxxxxxx，，,，，,,所以-----------------------------------------------6分 gx(),,,22xx 1,,令则， hx()1,,hxxx()ln,,,xhx,？,1,()0.x 在上单调递增，， ？hx()[1,)，,？,,,[()](1)10hxhmin ,从而 gx()0, k,2故在上也单调递增，，所以 -------------------------------8gx()[1,)，,？,,[()](1)2gxgmin 分 2x,122(?)由(?)知:恒成立，即 fx(),ln11,x,,,,,x，1xxx，，11 2ln[(1)]1nn，,, 令，则， --------------------------------------------------------10分 xnn,，(1)nn(1)， 222 所以 „„„„ „„ ln(23)1,，,,ln(34)1,，,,ln(12)1,，,,23，34，12， 2111222ln[(1)]1nn，,,(叠加得:„„ ln[123，，，nnn，，,,，，(1)]2[]nn(1)，1223，，nn(1)， 1122n,22 -----12分则„， nne，，,(1),,,,,，,,nnn2(1)22123，，，nn，，112n,,2(1)(1)()nnen，,，,,～N所以 ---------14 ,, xaax(1),,1,,fxx(),(1,),,,，,4.21.(?)解:. 依题意，令，解得 . f(2)0,a,x，13 1经检验，时，符合题意. „„4分 a,3 x,(?)解:? 当时，.故f(x)的单调增区间是(0,)，,;单调减区间fx(),a,0x，1 1,x,0是(,1,0). ? 当时，令，得，或. fx()0,a,0x,,112a ,0,a,1当时，fx()与fx()的情况如下: xxx (1,),x(,)xx(,)x，,121122 , , fx()，， 00 fx()? fx() ? fx() ? 12 11所以，fx()的单调增区间是;单调减区间是(,1,0)和. (1,),，,(0,1),aa f(x)当时，的单调减区间是(,1,，,). a,1 ,,,,10x当时，，与的情况如下: fx()fx()a,12 x xx(1,),x(,)xx(,)x，,212211 , , fx() ，，00 fx()? ? ? fx()fx()21 11所以，的单调增区间是;单调减区间是和. fx()(0,)，,(1,0),(1,1),,aa ? 当时，的单调增区间是;单调减区间是. f(x)(0,)，,(,1,0)a,0 综上，当时，的增区间是，减区间是; f(x)(0,)，,(,1,0)a,0 110,a,1当时，的增区间是，减区间是和; fx()(,1,0)(1,),，,(0,1),aa 当时，的减区间是; f(x)(,1,，,)a,1 11当时，的增区间是;减区间是和. fx()(0,)，,a,1(1,0),(1,1),,aa „„10分 (?)由(?)知 时，在上单调递增，由，知不合题意. f(x)(0,)，,f(0),0a,0 110,a,1当时，在的最大值是，由，知不合题f(x)(0,)，,f(1),ff(1)(0)0,,,aa 意. 当时，在单调递减， f(x)(0,)，,a,1 可得在上的最大值是，符合题意. f(x)[0,)，,f(0),0 在上的最大值是时，的取值范围是. „„„„12分 所以，f(x)a[0,)，,[1,)，,0 22，，xaxaxa2(14)(42)，,,，2a，，2fxxxa'()22,，,,,5.22(解:(1)1分 2121axax，， 因为为的极值点，所以 f'(2)0,fx()x,2 2a 即，解得，又当时，，从而为fxxx'()(2),,fx(),,20aa,0a,0x,241a， 的极值点成立。„„„„2分 (2)因为fx()在区间上为增函数，所以3,，,，, 22，，xaxaxa2(14)(42)，,,，，，fx'()0,,在区间上恒成立。„„„„3分 3,，,，,21ax， fx()?当时，fxxx'()(2)0,,,在区间上恒成立，在区间上3,，,3,，,a,0，，,, 为增函数，符合题意。„„„„4分 fx()?当时，由函数的定义域可知，必有对成立， a,0x,3210ax，,故只能„„„„5分 a,0 222(14)(42)0axaxa，,,，,故对恒成立 x,3 122gxaxaxa()2(14)(42),，,,，令，其对称轴为 x,,,114a 从而要使对恒成立，只要即可„„„„6分 gx()0,g(3)0,x,3 313313,，2,,agaa(3)4610,,，，, 解得: 44 ，，313，313，0,0,,a，故综上所述，实数a的取值范围为„7分 a,0,,44，， 3b(1),xb12lnx,(1,x)，(1,x),(3)若时，方程可化为，( fx(1)+,,a,,x23x 223bxxxxxxxxxx,,,，,,，,ln(1)(1)ln问题转化为在上有解， 0,，,，， 23g(x),xlnx，x,x即求函数的值域(„„„„„„„„„„„„8分 以下给出两种求函数值域的方法: gx，， 2232hxxxxx()ln(0),，,,gxxxxxxxxx()ln(ln),，,,，,解法一:，令 1(21)(1)xx，,hxx'()12,，,,则„„„„9分 xx hx()所以当时，，从而在(0,1)上为增函数 hx'()0,01,,x hx()当时，，从而上为减函数 hx'()0,x,1 因此„„„„10分 hxh()(1)0,, 而，故bxhx,,,()0„„„„11分 x,0 因此当时，取得最大值„„„„12分 b0x,1 22gxxxxx()(ln),，,gxxxx'()ln123,，，,解法二:因为，所以 21621xx,,2pxxxx()ln123,，，,设，则„„„„9分 pxx'()26,，,,,xx ,,17，17，0,0,,xpx()当时，，所以在上单调递增 px'()0,,,,,66,, ,,17，17，,，,x,px()当时，px'()0,，所以在上单调递减 ,,,,66,, ,,17，1233,,p,0因为，故必有，又10分 p(1)0,p,,，，,,,,210,,,,2244,,6eeee,,,, ,,117，x,,gx'()0,因此必存在实数使得 ,,002,,e6,, (0,)x0,,xx当时，，所以在上单调递减; gx()gx'()0,00 (,1)xxx,,1当时，，所以在上单调递增 gx()gx'()0,00 当时，，所以在上单调递减„„„„11分 gx()(1,)，,gx'()0,x,1 1232gxxxxxxxxxxx()ln(ln)(ln),，,,，,,，又因为 4 1当时，，则，又 g(1)0,gx()0,ln0x，,x,04 因此当时，取得最大值„„„„12分 b0x,1 2111,,，，,aaxxa6.21(解析(I)原函数的定义域为，因为 (0,)，,fxa'(),,,,22xxx xx,,11fxfxx'(),'()0,,,,,～令得当时，所以此时函数上是增fx()(1,)在，,a,022xx 函数，在上是减函数; (0,1) 2,，，,axxa112当时，令，解得fxaxxa'()1,,,,，,，,,得a,0xx,,,11或2xa (舍去)，此时函数在上增函数，在上是减函数; fx()(0,1)(1,)，, 2,，，,axxa1112当时，令，解得 fxaxxa'()1,,,,，,，,,得0,,a11,,,x2x22 11此时函数在上是增函数，在和上是减函数 „„„6分 fx()(0,1)(1,),，,(1,1),aa 1fxLnx()1(1,),，,，,在(II)由(I)知:时，上是增函数，a,0x 122gxfxxLnxxx()()(1)(1),,,,，,, 设 ？,,,xfxfx1()()0时x 331121(1)(221),，,,，,，xxxxx则 gxx'()2,,,,,222xxxx 2恒成立 ？,,xgxgx1'()0,()时，单调递减 2210xx,，, 2？,,,,,xgxgfxx1()(1)0,()1时，即 111111又 fx()0,(),？,,,,2fxxxxxx()1(1)(1)211,,，,， 111111111111 ？，，，，,,，,，,，，,(1)ffffnnn(2)(3)(4)()23243511,， 1111321n， ,，,,,,(1)22142(1)nnnn，， 不等式得证 „„„„„„„„„„„„„12分 ？ 1ax,1,,7.21(解:(?)，当时，在上恒成立，函数 f(x),a,,a,0fx()0,(0,，,)f(x)xx 在单调递减，?在上没有极值点; (0,，,)f(x)(0,，,) 11,,当a,0时，得，得， fx()0,fx()0,x,0,,xaa 111?在上递减，在上递增，即在处有极小值( x,(0,)f(x)(,，,)f(x)aaa a,0?当时在上没有极值点， f(x)(0,，,) 当a,0时，在上有一个极值点( ????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分 f(x)(0,，,) a,1(?)?函数在处取得极值，?， f(x)x,1 1lnx?， ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分 f(x),bx,2,1，,,bxx 1lnx22，,,，e,，,0,e令，可得在上递减，在上递增， g(x),1，,g(x)xx 112g(x),g(e),1,?，即( ?????????????????????????????????????????????????????????????????????? 7分 b,,1min22ee xyln(x，1)ee,xye,,,(?)证明:， ????????????????????????????????????????????? 8分 ln(y，1)ln(x，1)ln(y，1) xeg(x),令，则只要证明在上单调递增， g(x)(e,1,，,)ln(x，1) 1，，xeln(x，1),,,x，1，，,又g(x),?， 2ln(x，1) 1h(x),ln(x，1),显然函数在上单调递增( ???????????????????????????????????? 10分 (e,1,，,)x，1 1,?，即， g(x),0h(x),1,,0e xyee,?g(x)在上单调递增，即， (e,1,，,)ln(x，1)ln(y，1) ln(x，1)x,ye,?当x,y,e,1时，有( ???????????????????????????????????????????????????????????????? 12分 ln(y，1) 8. 8.21.(本小题满分12分)解: (1)依题意，知的定义域为(0，+?)， f(x) 1112f(x),lnx,x,x当时，， a,b,422 111,(x，2)(x,1)f'(x),,x,,„„„„„2分 x222x 令f'(x)=0，解得((?) x,1x,0 0,x,1g(x),0因为f(x)g(x),0有唯一解，所以，当时，f'(x),0，此时单递增; 2 当时，，此时f(x)单调递减。 f'(x),0x,1 3所以f(x)的极大值为f(1),,，此即为最大值 „„„„„4分 4 x,aa10x,(0,3](2)，，则有?，在上恒成立， k,F'(x),F(x),lnx，x,(0,3]002x2x0 12所以?，x,(0,3] a(,x，x)000max2 1112x,1当时，取得最大值，所以?„„„8分 a,x，x00022222因为方程2mf(x),x有唯一实数解，所以有唯一实数解， (3)x,2mlnx,2mx,0 22x2mx2m,,2g(x),x,2mlnx,2mxg'(x)设，则(令，g'(x),0,x 2m,m，4m2x,,0( 因为，，所以(舍去)，x,mx,m,0m,0x,012 2mmm，，4x,， 22 当时，，在(0，x)上单调递减， x,(0,x)g(x)g'(x),022 当时，，在(x，+?)单调递增 x,(x,，,)g(x)g'(x),022 当x,x时，g'(x)=0，取最小值g(x)( g(x)222 2,x,2mlnx,2mx,0,(),0,gx,,2222则既„„„„„10分 ,,2g'(x),0,,x,mx,m,0.2,22, 所以，因为，所以(*) 2mlnx，mx,m,02lnx，x,1,0m,02222设函数，因为当时， h(x),2lnx，x,1x,0 是增函数，所以至多有一解( h(x)h(x),0 21mmm，，4x,1,1m,因为，所以方程(*)的解为，即，解得„12分 h(1),0222 1/9.解(?) 1分 fxxax()3(0).,，,，,x 1/fx()0,若函数在上递增，则对恒成立，即对fx()(0,)，,ax,,，，()3x,0x,0x 1？,a1.恒成立，而当时， ,，，,,，,()3231.xx,0x 1/fx()0,若函数fx()在(0,)，,上递减，则对恒成立，即对ax,,，，()3x,0x,0x恒成立，这是不可能的(综上， 的最小值为aa,1.1( 4分 1lnxx，22fxaxaxxaxxa()()(2)ln,，,,,,,,,(?)解1、由 22x 1,,2，,，12lnxxxx，，,,ln12lnxxxx，,,x,,令 rxrx,,,,'，，，，243xxx 12ln,,xx得=0的根为1，所以 01,,x 当时，，则单调递增，当时，，则单调递减， rx'0,rxrx'0,rxx,1，，，，，，，， 所以在处取到最大值，又 ，， rxr11,xrx,,00时又时xrx,，,,0x,1，，，，，，，，lnxx，01,,aya,所以要使与有两个不同的交点，则有 „„„8分 y,2x 0.,,xx(?)假设存在，不妨设 12 x11122lnxaxxxaxx，,，,,,,(3)ln(3)ln111222xfxfx()(),2 9分 1222,，,，xa(3).k,,0xx,xxxx,,121212 1/ fxxa()(3).,，,，00x0 xxx111ln22,lnxxxx12/2122kfx,(),则，即，即( (*) 12分 若,ln,,0xxxx,xxxxx,，112021212，1x2x22t,101,,tt,令，()， utt()ln,,xt，12 2(1)t,,01,,tut(),则,0(?在上增函数， ?， ut()utu()(1)0,,2tt(1)， /kfx,().x?(*)式不成立，与假设矛盾(?因此，满足条件的不存在( 15分 00 ,1,,？f(x),lnx，1(x,0),令f(x),0,即lnx,,1,lne.10.22(解:(?)„„„1分 111,1,？x,e,.？x,[,，,). 同理，令 f(x),0可得x(0,].eee 11 ?f(x)单调递增区间为，单调递减区间为.„„„„„„„„3分 [,，,)(0,]ee 11y,f(x),f(),,. 由此可知„„„„„„„„„„„„„„„„4分 minee 11f(b),f(x),,,？blnb,, (?)由(I)可知当时，有， b,0minee 11111bbee 即..„„„„„8分 b,,,？,b()ln()ln()eee 8,,12.20、(1) 因为, 所以切线的斜率„„„„„„2分 f(x),2x,k,f(1),,6x 又,故所求切线方程为.„„„„„„4分 f(1),1y,1,,6(x,1),y,,6x，7 2(x，2)(x,2),(2) 因为f(x),, 又, x,0x ,0,x,2x,2所以当时, ; 当时, f(x),0 , 即在上递增, 在上递减 f(x),0.f(x)(2, ，,)(0, 2) 2g(x),,(x,7)，49又, 所以在上递增, 在上递减 g(x)(,,, 7)(7, ，,) a,2,2,a,6欲与在区间上均为增函数, 则, 解得„„10分 f(x)g(x)(a, a，1),a，1,7, 22h(x),2x,8lnx,14x(3) 原方程等价于, 令, 2x,8lnx,14x,m 则原方程即为. 因为当时原方程有唯一解, h(x),mx,0 所以函数y与y,m的图象在轴右侧有唯一的交点, „„„„„„12分 y,h(x) 82(x,4)(2x，1),h(x),4x,,14,又, 且, x,0xx ,,x,40,x,4所以当时, ; 当时, . h(x),0h(x),0 x,4即在上递增, 在上递减. 故在处取得最小值, „„15分 h(x)(4, ，,)(0, 4)h(x)从而当时原方程有唯一解的充要条件是„„„„16分 m,h(4),,16ln2,24.x,0 x，1113.解:(1)?f (x),,x,ln(,x)?f ,(x),,1,,, xx?当,e?x,,1时，f ,(x),0，此时f (x)为单调递减 当,1,x,0时，f ,(x),0，此时f (x)为单调递增?f (x)的极小值为f (,1),1 (2)?f (x)的极小值，即f (x)在[,e,0)的最小值为1?|f (x)|min,1 ln(,x)ln(,x,1)11令h(x),g(x)，,,， 又?h,(x),，当,e?x,0时，h,(x)?0 2x2x2 1111?h(x)在[,e,0)上单调递减，?h(x)max,h(,e),，,，,1,|f (x)|min e222 1?当x?[,e,0)时，|f (x)|,g(x)， 2 1(3)假设存在实数a，使f (x),ax,ln(,x)有最小值3，x?[,e,0), f ,(x),a, x 11?当a?,时，由于x?[,e,0)，则f ,(x),a,?0，?函数f (x)是[,e,0)上的增函数?f (x)minex 41,f (,e),,ae,1,3解得a,,,,(舍去) ee 111?当a,,时，则当,e?x,时，f ,(x),a,,0，此时f (x)是减函数 eax11当,x,0时，f ,(x),a,,0，此时f (x),ax,ln(,x)是增函数 ax 11,,?f (x)min,f (),1,ln,,3解得a,,e2( aa,, b,,14.22(解:(?)，根据题意，即 „3分 f(1),a,b,2f(x),a,b,a,22x a,2f(x),ax，，2,2a(?)由(?)知，， x a,2,ax，，2,2a,2lnx 令， x,，,1,g(x),f(x),2lnx，,x 2,aa(x,1)(x,)a22,a, 则，g(x)a= g(1),0,,,22xxx 2,a ?当时， ， ,10,a,1a 2,a'gx()0, 若，则，在减函数，所以，gx()[1,)，,gxg()(1)0,,1,,xa 在上恒不成立( fxx()2ln,[1,)，, 2,a'gx()0, ?时，，当时，，在增函数，又，所gx()[1,)，,g(1)0,a,1x,1,1a 以( fxx()2ln, a综上所述，所求的取值范围是 „„„„„„„„„„8分 [1,)，, (?)由(?)知当时，在1,，,上恒成立( f(x),2lnxa,1，, 1取得 x,,2lnxa,1x 2n，12n,12n，12n，1,,2ln令得， x,,1n,N*2n,12n，12n,12n,1 222n，11，,(1,),2ln即 2n,12n，12n,1 112n，1111,ln，(,)所以 2n,122n,122n,12n，1 上式中n=1，2，3，„，n，然后n个不等式相加得到 1111n„„„„„„„„„„„„14分 1ln(21)，，，，,，，…n3521221nn,， ， 15.解:(1)？f(x),lnx,px，1,？f(x)的定义域为(0,，,) 11,px,， „„„„2分 f(x),,p,xx 1,,f(x),0，？x,,(0,，,),f(x)、f(x)随x令的变化情况如下表: p 111(0，) (,)+ x ppp fx'()+ 0 , fx()? 极大值 ? 1从上表可以看出:当p>0 时，有唯一的极大值点( „„„„5分 fx()x,p 111x=(?)处取得极大值，此极大值也是最大值， f()ln=ppp 11要使恒成立，只需， ? p?1fx()0?f()ln0= pp )?p的取值范围为[1，+?(数学驿站:www.maths168.com „„„„9分 (?)令p=1，由(?)知， lnx,x，1,0,？lnx,x,1，？n,N,n,222?， lnn,n,1 22lnnn,11? „„„„11分 ,,1,222nnn 222nln2ln3ln111，，？，,,，,，？，,(1)(1)(1)? 222222nn2323 111,(n,1),(，，？，) 222n23 111,(n,1),(，，？，) 2，33，4n(n，1) 111111,(n,1),(,，,，？，,) 2334nn，1 2112n,n,1,(n,1),(,), 2n，12(n，1) ?结论成立( „„„„14分 16.22((本小题满分12分) 99f(x),lnx，解析:(?)当时，，定义域是， a,(0,，,)2(x，1)2 19(2x,1)(x,2),f(x),,,， 22x2(x，1)2x(x，1) 1,x,令，得( „2分 f(x),0x,2或2 11,,？当或时，，当时，， 0,x,f(x),0f(x),0,x,2x,222 11 ?函数、上单调递增，在上单调递减( „„„„„4分 (2,)，,(,2)fx()(0,)在22 13的极大值是，极小值是( ？f(x)f(),3,ln2f(2),，ln222 x,，0？当时，;当x,，,时，， f(x),,,f(x),，, 3k,3,ln2？当仅有一个零点时，的取值范围是或(„„„5分 g(x)k,，ln2k2 2 (?)当f(x),lnx，时，，定义域为( (0,，,)a,2x，1 2h(x),f(x),1,lnx，,1 令， x，1 212x，1,？h(x),,,,0 ， 22x(x，1)x(x，1) 在上是增函数( „„„„„„„„„„7分 ？h(x)(0,，,) ?当时，h(x),h(1),0，即f(x),1; x,1 0,x,1?当时，h(x),h(1),0，即f(x),1; ?当时，h(x),h(1),0，即f(x),1( „„„„„„„„„„„„„9分 x,1 x,12(?)(法一)根据(2)的结论，当时，，即lnx,( lnx，,1x,1x，1x，1 k，1k，11x,ln,令，则有， kk2k，1 nnk，11？ln,( „„„„„12分 ,,k2k，1,1,1kk nk，1n？ln(，1),ln， ,k,1k 111？ln(n，1),，，？，( „„„„„„„„„„14分 352n，1 (法二)当时，( ln(1)ln2n，,n,1 13ln2ln81,,，，即时命题成立( „„„„„„„„10分 ？,ln2n,13 111ln(1)k，,，，，设当时，命题成立，即 ( nk,3521k， ？,，nk1 时， k，21112k，nkk，,，,，，n(1)lnln(1)ln(2)l,，，，，ln( k，135211kk，， x,12根据(?)的结论，当时，，即( lnx,lnx，,1x,1x，1x，1 1111k，2k，21ln(2)k，,，，，，令，则有，则有， x,ln,352123kk，，k，1kk，，123 nk,，1即时命题也成立(„„„„„13分 因此，由数学归纳法可知不等式成立( „„„„„„„„„„„14 17.22(解:(I)的定义域为， fx()(0,)，, 1[(1)1](1)aaxx,,, (0)x,fxa'()(1),,，,,22xxx 令，„„„„,分 gxxax()(1)[(1)1],,,, 1313(II)证明:(,)当时，左边,右边 n,1,,，,,,,,1(ln2)ln2(lnln16)0e444 不等式成立„„„„,分 111k(,)假设不等式成立，即„成立 nkkN,,(*)1，，，，,，，ln(1)k kk2(1)，23那么，当nk,，1时， 11111k左边„„„„„,分 ,，，，(1，，,，，，)[ln(1)]k kkkk，，，12(1)123 kk11，下面证明: [ln(1)]ln[(1)1]kk，，，,，，， 2(1)12(2)kkk，，， kkk，，，212即证„„„„,分 ,,,2ln0kkk，，，121 1由(?)知当时，在上单调递增 (0,)，,a,2fxxx()2ln,,, x k，2则对任意，都有成立 kN,*ff()(1)0,, k，1 kkk，，，212即对任意，都有成立 kN,*,,,2ln0kkk，，，121 1111+1k因此„成立 ，，,，，)ln(2)k(1，，， kkk，，12(2)23 由(,)(,)及数学归纳法原理知 原不等式对任意都成立(„„„„,,分 nN,* 1(1)(1)axax，,,,18.(解:(I) fx(),,2x(1)x， 22(1)2(22)1xaxxax，,，,，,,. 22xxxx(1)(1)，， 因为fx()(0,)在，,上为单调增函数， ,所以fx()0(0,),，,在上恒成立. 2即在上恒成立xax，,，,，,(22)10(0,). 2当时由xxax,，,，,，,(0,),(22)10, 1得22.ax,,，x 1 设gxxx(),(0,).,，,，,x 11gxxx()22.,，,,,xx 1所以当且仅当即时有最小值xxgx,,,1,()2.x 所以222.a,,所以a的取值范围是(,2].,, 所以a,2. mnmn,，要证,,lnln2mn, mm ,，11nn只需证,,m2lnn mm2(1),2(1),mmnn只需证 即证ln.,ln0.,,mmnn，1，1nn 2(1)x,设hxx()ln.,, x，1 m由(I)知上是单调增函数，又， hx()(1,)在，,,1n m所以hh()(1)0.,,n m 2(1),mn即成立ln0.,,mn，1n mnmn,，所以 ,.lnln2mn, 20.21((本小题满分13分) x，a解:(?)的定义域为，且， ----------------1分 f(x)(0,，,)f'(x),2x?当时，，在上单调递增; ----------------2分 f(x)(0,，,)f'(x),0a,0 ?当时，由，得x,,a;由，得x,,a; f'(x),0f'(x),0a,0 故在上单调递减，在上单调递增. ----------------4分 f(x)(0,,a)(,a,，,) a(?)，的定义域为 g(x)(0,，,)g(x),ax,,5lnxx 2a5ax,5x，a ----------------5分 g'(x),a，,,22xxx 因为在其定义域内为增函数，所以， g(x),x,(0,，,)g'(x),0 5x5x，，22,ax,5x，a,0,a(x，1),5x,a,,a, 22,,x，1x，1，，max 555x而，当且仅当时取等号， ,,x,12112x，x，x 5所以 ----------------8分 a,2 22x,5x，22(?)当时，， g'(x),g(x),2x,,5lnxa,22xx 1由得或 g'(x),0x,x,22 11当时，;当时，. g'(x),0g'(x),0x,(,1)x,(0,)22 1所以在上， ----------------10分 (0,1)g(x),g(),,3，5ln2max2 而“，x,(0,1)，,x,[1,2]，总有g(x),h(x)成立”等价于 1212 “在上的最大值不小于在上的最大值” g(x)(0,1)h(x)[1,2] 而在上的最大值为 h(x)[1,2]max{h(1),h(2)} 1,g(),h(1),,2所以有 ------------------------------------------------------------12分 ,1,g(),h(2),2, m,8,5ln2,,3，5ln2,5,m,,,m,8,5ln2,, ,,1,3，5ln2,8,2mm,(11,5ln2),,2, 所以实数的取值范围是-----------------------------------------------------------13分 m[8,5ln2, ，,) 221.解析:(1)依题意:f(x),lnx，x,bx( 1,?f(x)在(0，，?)上递增，?对x?(0，，?)恒成立， fxxb()20,，,,x 11即对x?(0，，?)恒成立，只需( „„„„2分 bx,，2bx,，(2)minxx 21?x,0，?，当且仅当时取“,”， x,，,222x2x (,22],,b,22?，?b的取值范围为( „„„„„„4分 2(2)当a,1，b,,1时，f(x),lnx,x，x，其定义域是(0，，?)， 2121(1)(21)xxxx,,,，,?( fxx()21,,，,,,,xxx ?x,0，?当0,x,1时，f ′(x),0;当x,1时，f ′(x),0( ?函数f(x)在区间(0，1)上单调递增，在区间(0，，?)上单调递减(„„„„6分 2?当x,1时，函数f(x)取得最大值，其值为f(1),ln1,1，1,0; 当x?1时，f(x),f(1)，即f(x),0，?函数f(x)只有一个零点(„„„„8分 22,,fxxaxbxxaxbx()ln0ln,,,,,，,,1111111(3)由已知得， ,,,22fxxaxbxxaxbx()ln0ln,,,,,，,,2222111,, x1两式相减，得ln()()(),，,，,axxxxbxx 121212x2 x1,,,，，ln()[()]xxaxxb(„„„„10分 1212x2 1,由及2x,x，x，得 012fxaxb()2,,,x x12211, fxaxbaxxb()2[()]ln,，,,,，，,,0012xxxxxxxx，，,01212122 x12(1),2()xxxxx,1112121 ,,,,[ln][ln]xxxxxxxxx,，,112122122(1)，x2x22t,1,tttt,,,,,,()ln(01)令( xt，12 2(1)t,,,()0t,,,?，?φ(t)在(0，1)上递减，?φ(t),φ(1),0( 2tt(1)， ?x,x，?f ′(x),0( „„„„13分 120 b22.22.解析:(理)(?)( i )，定义域为 (0,，,)fxaxnx()21,,，x b1 。 „„„„„„„„„1分 ？,，，fxa'()22xx 11 处取得极值， „„2分 ？,,ff'(1)0,'()0fxxx()1,在,,22 1,a,,,210ab，，,11,,3？,所求、的值分别为ab-, 即 „„4分 解得,,3324201ab，，,,,b,,,3, 1存在使得不等式x[,2],fxccfx()0[()],,,成立，只需 (ii)在， oomin4 2231xx,，211(21)(1)xx,, 由， ,,fxx'(),,,，,,2223x33xx3x 1111？,,当时，故xfx[,]'()0,fx(),]在[是单调递减 ; 4242 11xfx,,[,1]'()0时，，故fx()[,1]在是单调递增 当; 22 当时，，故xfx,,[1,2]'()0fx()[1,2]在是单调递减; 11？ffx()()[,2]是在上的极小值 . „„„„„„„„„6分 24 11117fnn()112,，,, 而，， fn(2)12,,，23236 3313322 且 又 ffnnen()(2)14114,,,,,,enen,,？,,160,114022 7？c,,,f(x),,，ln2？,[()](2)fxf ， minmin6 77？,，，,,，cncn的取值范围为所以的最小值为[12,),12. „„„„„„966 分 22axxa，， (?)当， abfx,,时，'()2x ?; 当时，则在上单调递增afxmxfx,,，,0()1.()(0,) ?当时，a,0 2xaxxa,？，，,0,20 ？,,fxfx'()0()，则在(0,+)上单调递增; 2当时，设只需agxaxxa,,，，,,0()2,0 ?， 2 从面得; afx,,，,,()(0)此时在上单调递减4 2. „„„12分 综上得，a的取值范围是(，，,,,,][0+)4 2xxx,fxxxexexxe()(33)(23)(1),,，,，,,,,,23.20、解: (?)因为„„„„„„2分 ,,fxxx()010,,,,或fxx()001,,,,fx()(,0),(1,),,，,由;由,所以在上递 ,,,2,t(0,1)f(x),,,20t增,在上递减 ,欲在上为单调函数,则 „„„„4分 fx()(0,1)fx()(,0),(1,),,，,x,1(?)证明:因为在上递增,在上递减,所以在处取得极小e值 „„„„„„„„„„„6分 13fe(2),,,2,，,2,，,fx()f(2),e 又,所以在上的最小值为 fft(2)(),,mn,t,,2 从而当时,,即 „„„„„„„„„„„„„„„„„9分 ''fx()fx()22222200,,xx,,(1)txxt,,,(1)0000xx00ee33(?)证:因为, 即为, 222222gxxxt()(1),,,,gxxxt()(1),,,,33 令,从而问题转化为证明方程=0 (2,),t在上有解,并讨论解的个数 „„„„„„„„„„„„„„„„11分 222122gttt(2)6(1)(2)(4),,,,,,，,gtttttt()(1)(1)(2)(1),,,,,，,3333 因,, ggt(2)()0,,,tt,,,,421或所以 ?当时,, (2,),tgx()0,所以在上有解,且只有一解 „„„„„„„„„„„„13分 22gt(0)(1)0,,,,ggt(2)0()0,,,且14,,t3?当时,,但由于, gx()0,(2,),t所以在上有解,且有两解 „„„„„„„„„„„„„„„14分 2gxxxxx()001,,,,,,或gx()0,(2,),tt,1?当时,,所以在上有仅有一解; 2gxxxxx()6023,,,,,,,,或t,4当时,, gx()0,(2,4),所以在上也有且只有一解 „„„„„„„„„„„„15分 'fx()220,,(1)tx0x,(,2,t)0t,,2e3综上所述, 对于任意的,总存在,满足, x0tt,,,,421或且当时,有唯一的适合题意; x14,,t0当时,有两个适合题意 „„„„„„„„„„16分 21(2)1axax，,，fx'(),,,24.21(解:(1) ， -------------------------------------222xxxx(1)(1)，， 分 91 ?，令，得，或，------------------------------------3分 fx'()0,a,x,x,222 1 ?函数的单调增区间为， ( -----------------------------4分 fx()(2,)，,(0,)2 gxgx()(),gxgx()(),2121 (2)?，?， ,,1，,10xx,xx,2121 gxxgxx()[()]，,，2211?，--------------------------------------------------5分 ,0xx,21 设，依题意，hx()在上是减函数( hxgxx()(),，0,2，, 1aa12,,x当时， ，hx'()1,,，， hxxx()ln,，，2xx(1)，x，1 2(1)1x，22令，得:对恒成立， hx'()0,x,[1,2]axxx,，，,，，，(1)33xx 112设，则， mxxx()33,，，，mxx'()23,，,2xx 112,,x?，?， mxx'()230,，,,2x 27?mx()在[1,2]上是增函数，则当时，mx()有最大值为， x,22 27?(------------------------------------------------------------------------------------9分 a,2 1aa01,,x当时， ，， hx'()1,,,，hxxx()ln,,，，2xx(1)，x，1 2(1)1x，22令，得: ， hx'()0,axxx,,，，,，,,(1)1xx 112 设，则， txxx()1,，,,txx'()210,，，,2xx ?在上是增函数，?， tx()(0,1)txt()(1)0,, 27 ?，综上所述，------------------------------------------------------------13分 a,a,021,x1,x1,x,？g(x),e,xe,e(1,x)25.21. 解:(?)在区间上单调递(0,1]？g(x) 2,eg(0),0,g(1),1,g(e),e,0增，在区间上单调递减,且 [1,e) 的值域为 „„„„„„3分 ？g(x)(0,1] (?)令，则由(?)可得，原问题等价于:对任意的m,g(x)m,(0,1] 在上总有两个不同的实根，故在不可能是单调函[1,e]f(x)[1,e]m,(0,1]f(x),m 数 „„„„„„„5分 111,？f(x),a,(1,x,e) ,[,1]xxe 1,当时, ,在区间上递减，不合题意 [1,e]？f(x)f(x),a,,0a,0x ,当时,,在区间上单调递增，不合题意 f(x)[1,e]f(x),0a,1 1,当时, ,在区间上单调递减，不合题意 0,a,f(x)[1,e]f(x),0e 111当即时, f(x)在区间上单调递减;f(x)在区间[1,]1,,e,a,1aae 11上单递增，由上可得，此时必有的最小值小于等于0 而由f(x)[,e]a,(,1)ae 11f(x),f(),2，lna,0a,,可得，则 a,min2ae 综上，满足条件的a不存在。„„„„„„„„„..8分 LMk(?)设函数f(x)具备性质“”，即在点处的切线斜率等于，不妨设AB ,,,,,yya(xx)(lnxlnx)lnxlnx12121212,,,,0,x,x，则ka，而f(x)AB12,,,xxxxxx121212 x，x212,,M在点处的切线斜率为f(x),f(),a,， 02x，x12lnx,lnx212,故有„„„„„„10分 x,xx，x1212 x12(,1)x2(x,x)xx411221ln,,t,,(0,1)即，令，则上式化为， lnt，,2,0xxx，xxt，112122，1x2 214(t,1)4,令，则由F(t),,,,0可得在上单F(t)(0,1)F(t),lnt，,22tt(t，1)(t，1)t，1 4调递增，故，即方程无解，所以函数不具备F(t),F(1),0f(x)lnt，,2,0t，1 L性质“”. „„„„„„„„14分 26.21(本小题满分14分) 2xa，2(1)设 ,,,，，,,xbxcxab(1)0(1)bxc, ca,0,,220，,,,x,, ? ? 1,bfx(),,c,,cb,，1a,,(1)，,xc20，,,22,1,b, ,21fc(2)13,,,,,,,, 由 12，c 2xfxx()(1),, 又? ? ? „ 3分 bcN,*,cb,,2,22(1)x, 2222(1)22xxxxx,,,,fx(),, 于是 224(1)2(1)xx,, ,, 由得或; 由得或 fx()0,fx()0,x,0x,201,,x12,,x 故函数的单调递增区间为和， fx()(,0),,(2,)，, 单调减区间为和 „„4分 (0,1)(1,2) 222Saa,,2Saa,,(2)由已知可得， 当时， n,2nnnnnn,,,111 ()(1)0aaaa，,，, 两式相减得 nnnn,,11 aa,,aa,,,1?或 nn,1nn,1 221aaaa,,,,,a,1a,1aa,,当时，，若，则这与矛盾 n,12nnn,11111 aa,,,1an,,? ? „„6分 nn,1n 111n，于是，待证不等式即为。为此，我们考虑证明不等式,,lnnnn，1 111x， ,,,ln,0xxxx，1 11令则， x,t,11,0,，,,txt,1x 1,,再令， 由知 gttt()1ln,,,t,，,(1,)gt()0,gt()1,,t ?当时，gt()单调递增 ? 于是 t,，,(1,)gtg()(1)0,,tt,,1ln 11x，即 ? ,,ln,0xxx 1111t,,,令， 由知 t,，,(1,)ht()0,htt()ln1,,，ht(),,,22tttt 1ht()?当t,，,(1,)时，单调递增 ?hth()(1)0,, 于是 ln1t,,t x，11即 ? ln,0,,xxx，1111x，由?、?可知 „„10分 ,,,ln,0xxxx，1111n，111n，所以，，即 „„11分 ,,,,ln,,lnnn，1anannn，1 1111(3)由(2)可知 则 b,T,，，，，n1nnn23111n， 在中令n=1,2,3…………..2010并将各式相加得 ,,lnnnn，1111232011111 ，，，,，，，,，，，，lnlnln1232011122010232010 TT,,,1ln2011 即 „„14分 20112010 2fxxaxaxaR()ln(1)(),,,,,27.22.解:(1)函数的定义域是. (1,)，, 32()xx,312当时，′，所以在为减函数， f()xfx()(1,)a,1,,,,21x2xx,,11 333在为增函数，所以函数的最小值为. fx()(,)，,f()ln2,，224 a，22()xx,a2(2) ′ f()x,,,,2,xaxx,,11 a，22()xx,a，22若时，则在恒成立， (1,)，,a,0,,,1,()0fx21x, 所以的增区间为. fx()(1,)，, a，22()xx,a，2a，2,，2x,1,若，则，故当，f′()x， ,,0a,0,1,,2x,12,， a，22()xx,a，2，,2x,，,,当时， fx()0,,,,,2x,1，, a，2a，2,，，,1,,，,所以时的减区间为，的增区间为. fx()fx()a,0,,,,22,，，, 2aaa，2(3)时，由(2)知在上的最小值为， fx()(1,)，,fa()1ln,,，,a,1242 2aaa，2令在上单调递减， gafa()()1ln,,,，,1,，,，,242 351gag()(1)ln2,,，ga()(ln2)0,，,,所以，则， maxmax488 5fx()因此存在实数aa(1),使的最小值大于， ，ln28 5故存在实数使的图象与无公共点. aa(1),yfx,()y,，ln28 1,a/afxaxa()1ln(1),,，,,0,x,e,128.解:(1)， 1,a1,aaafx()(1,1],,e[1,)e,，,列表可得在上单调递增，在单调递减; fx()(,1,0][0,，,)a,1(2)由(1)知，当时在上单调递增，在上单调递减， x,(,1,0):(0,，,)f(x),f(0)x,(x，1)ln(x，1),0故当时恒有，即, x1*xx,,1,(,1,0),n,Nln(x，1),2x，1e,x，1x，12n即,即 (取, 1,122n121221121,2n*2ne,e,(,1)，1,,,,,n,N2222n,12n，12n4n4n,1则有， 11111111111？()()？()，，，，,，,，,，，,27172n,135572121een,n，eee求和得 111112111*,，,,，,，,,n,Ne32n，12.535315. 29.(理)( ?) 令，.利用导数可证在gxxfx,,2Gxfxx,,gx，，，，，，，，，， 0,1递增，在递增. 从而可得结论. 0,，,Gx,，，，，， ( ?) ? 当时，对，由(?) 的证明知. fxxax,,2a,2x,0，， ,,,,,,,fla1n10? 当时，,，，,,，不合题意. a,0,,,,222,,,, 02,,a? 当时，今. Fxfxax,,，，，，11aa,,,,,Fxxax,，,,,，,coscos，，,,,,则. 1212，，xx,,,, a2,,,x,0取x,,minarccos,1.则.易知当时，，xx,0,Fx,0，，，，,,0002a,, ？递增,即,不合题意. Fx,,,FxF00fxax,，，，，，，，， 综上知. a,，,2,，, 322,pxxkxkx()(1)(5)1,，,，，,pxxkxk()32(1)(5).,，,，，30.21.(1) 1,k,,,81.k依题意应有 解得 03.,,3 222,qxkxkx()1.,，，？,，qxkxk()2.(2)当时， x,0 32222,qxxkkxx()(1)52,,,，，,？,,,，，qxxkkx()32(1)5.当时， x,0 2kk,，1,,当时，,0 在是减函数，且 ？qx()(,0),,qx()5.,k,03 ,,qx()在(0,)，,是增函数，且qxk().,要满足题意应有 k,5. ？经检验符合题意。 存在满足题意。 k,5 a,31.20(解:?,,，设， ............. (2分) f(x),,x，ln(1,x)h(x),x，ln(1,x)(x,0)2x x,则，即h(x)在(,?，0]上递增，故 h(x),,0(x,0)h(x),h(0),0(x,0)x,1 2,,即对x,1,e,1,e，有 .......................................................... (4分) h(x),0 2,,,1,e,1,e?当a,0，有在上递增 f(x),0,f(x) 2ae2ae2故，f(x),f(1,e), f(x),f(1,e),minmax21,e1,e 2,,,1,e,1,e?当a,0，有在上递减， f(x),0,f(x) 2ae2ae2f(x),f(1,e),故f(x),f(1,e),， maxmin21,e1,e?当a,0，有 ................................... (7分) f(x),f(x),0f(x),0,minmax 111,n,2,n,N?若，猜想:(1，)(1，)...(1，),e ......................... (9分) 2!3!n! 证明如下:据?知当x?0时恒有h(x)?0，即ln(1,x)?,x 111111，，，，，，，，ln(1，)(1，)...(1，),ln1,(,)，ln1,(,)，？，ln1,(,)故 ,,,,,,,,2!3!n!2!3!n!，，，，，，，， 111111111111,，，？，,，，？，,1,，,，？，,,1,,1 ，，2!3!n!1，22，3n,1n223n,1nn 111故 ................................................................... (13分) (1，)(1，)...(1，),e2!3!n! 322,f(x),ax,3x,f(x),3ax,6x,3x(ax,2).32.22(解:(1) , ？x,1是f(x)的一个极值点，; 2分(2)?当a=0时，？f(1),0,？a,2 2f(x),,3x?f(x)在区间(,?,0)上是增函数,在区间(0,+?)上是减函数...........4分 2222 ?当a>0时，f,(x)>0,x(x-)>0得x<0或x>; f,(x)<0,x(x-)<0得0