1 密切平面、副法线的定义：
密切平面、副法线的基线知线线线线线与
密切平面、副法线的定线,1 P线曲线上点的切线和点的线近一PPQ
σ点可作一平面～当点沿着曲线线于QQπ
σ π点线平面的限位置极称线曲线在PP点的密切平面。密切平面在点的法线线曲线在称点的副法线。PP
密切平面、副法线的方程2
rr2rtQrtt(),()点的径矢+?线曲线线线曲线～点的矢径(c)PC00
uurrrrrrrr12 。rttrtrttrtt+??=?++?=εε()()()(())(),lim0PQ=0000? t02
uurrrrrrrr12 QP ‖rtrt()(())ε～ + +?εrtrtrtt()()(())()PQ=当线～000002
rrrr。 ? trtrt0,0,()()ε线个矢线00
rrr～ 如果线线矢量线密切平面法线上的一非零矢个rtrt()()0 00
量～和它点完全定了密切平面～方程是,确P
rrrr (()()())0ρrtrtrt?=～～000
rrrr 副法线方程,ρλrtrtrt()()())= +(000
xxtyytzzt???()()()000副法线的线准方程是,,==
XYZ
rr 。{,,}()()XYZrtrt= 其中00
rrrr～rt() 注,?若rtrt()()0表示的点线密切平面不存在。线 =000
线的点叫逗留点～否线叫非逗留点。以后线假定曲线上的点是非逗留点。
?密切平面是在点曲线最“线近”的平面。与P
,线线曲线是平面曲线曲线的密切平面固定。3: (C)(C)
线明,“”若是平面曲线～由密切平面定线～曲线在每一点(C)
的密切平面都是曲线所在平面～因此密切平面固定。(C)
“”,如果曲线的密切平面固定～线线固定的密切平面个(C)
线线曲线上每一点～所以曲线是平面曲线。
线线 ,
yx,costt1求线柱螺线aab在任意点的密切平面的方sintz=～=～=
程。rrcostcost={}解 aabaa0 sintsint={}, -,,-,- ,r'r''???所以曲线在任意点的密切平面的方程线xacostyasintzbt
?asintacostbcost = 0 ～即(bbaabsint)x-()y+z-t=0
?acost?asint0
.
rt cost= { t} 2. 求曲线tt在原点的密切平面、法平面、切面、切线从、sintr,, e
主法线、副法线。
rtt}costcost t解 原点线线t=0 ,+ttsintsint (0)={ ,-,+r'eet=0
～={0,1,1}
rttr''(0)=}costcostcost t{2 t2t{2,0,2} ～ sint+,-,+ =eet=0
yxz==所以切线方程是 ～法面方程是 y + z = 0 ～xyz011
011密切平面方程是=0 ～即x+y-z=0 ～
202
+?=:xyz0yxz,==主法线的方程是 即 ～+=yz0211:?
yxz==从切面方程是2x-y+z=0 ,副法线方程式 。11?1
yxcostt3,线明线柱螺线aab的主法线和z线垂直相交。sintz=～=～= rrrr～?costcost={} 线 aabaa0 由知sintsint={}, -,,-,- ,r'r''r'r''rrr 线主法线的方向向量～而所以主法线与z线垂直～主法线方程是r''r''?k=0
yasintxacostzbt???==costsint0
与z线有公共点(o,o,bt)。故线柱螺线的主法线和z线垂直相交。
ααα4.在曲线x = coscost ,y = cossint , z = tsin的副法线的正向取线位线～求其端点线成的新曲线的密切平面。rrααααα= {cos} , ={ , 0 }解 -sint, coscost, sin -coscost,-cossintr'r''rrr×r'r''
rrγ==ααα{sinsint ,- sincost , cos }|r'r''|×rαααααα～～={ cos + }新曲线的方程线cost + sinsintcossint- sincosttsincosrrαααααα线于新曲线～={cos cos }={-sint+ sincostcost+sinsint～sinsin(-t), r'rαααα ={cos(-t), sin} , -cos(-t), sin(-t),0} ,其密切平面的方程是r''???xatyatztacoscoscossinsin
atatasin(?)cos(?)sin=0
atatcos()sin()0???
αααααα即 sin cos(t-) y + z tsin– cos– = 0 .–sin sin(t-) x
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