交大数学复习题

1 ( )f x1 设 在 连续，且 则0x = 0 ( )lim 21 1x f x x→ =+ − (0) 1f ′ = 2 设 在 可导，且 则0x =( )f x 0 ( ) (4 )lim 5x f x f xx→ − = 5(0) 3f ′ = − 0 ( )lim 2 1 1x f x x→ =+ −解 即 0 ( )lim 2 2 x f x x→ = 0 ( ) (0)lim 1 x f x f x→ − = 0 0 ( ) (4 ) ( ) (0) (4 ) (0)lim lim 4 4x x f x f x f x f f x f x x x→ → − − −= + ⋅ (0) 4 (0) 5f f′ ′= − = 解 高数复习题 2 2( , )f xy x y x y− = + 则 ( , ) ( , ) 2 2f x y f x y y x x ∂ ∂+ = +∂ ∂ 4 设 则( )f x lnx x= 0 ( 2 ) ( )lim 4 x f e x f e xΔ Δ Δ→ − − = − 解 2 2 2( , ) 2 ( )f xy x y x y xy x y− = + = + − 2( , ) 2f x y x y= + 0 ( 2 ) ( )lim x f e x f e xΔ Δ Δ→ − − = 0 ( 2 ) ( )2 lim 2x f e x f e xΔ Δ Δ→ − −− =− 2 ( )f e′− 2(1 ln ) 4x ex == − + = − 3 已知 • 5 设 2lim( ) 8 x x a x a→∞ + =− 则 ln2a = 6 设 2( 1) lim( )2 n n n xf x n→∞ ++ = − 则 2( ) 2 xf x e′ = 32 3lim( ) lim(1 ) 8 ln2x x a x x x a a e a x a x a→∞ →∞ + = + = = =− − 2( 1) lim( ) 2 n n n xf x n→∞ ++ = − 2(1 )2 2lim(1 ) 2 n x n x e n + →∞ += + =− 2( ) xf x e= • 7 2 3 (6)(2 1) ( 3) 4 6!y x x x y= − + = ⋅ 8 已知 1 ln ( )( ) lim 0 1x x f xf x xx → ′ = =− 则 2( ) lnf x x= (1) 0f =2ln( ) xf x x ′ = 2 21 2 0 cos 0 xt y e dt t dt+ =∫ ∫ y 2 42 cos y x xy e ′ = 9 方程 确定了 为 的函数，x 10 I＝ 2 7 0 (sin cos ) 4x x dx π + =∫ 7 2 2 sin 2 cos 0 4 4xdx xdx ππ ππ− −= + = + =∫ ∫ 11 2 2 21 1 2 1 (1 ) 4 x dx x x π+∞ + = ++∫ 12 交换积分次序 2 1 1 1 1 4 2 2 2 10 0 4 ( , ) ( , ) ( , ) y x y y x dy f x y dx dy f x y dx dx f x y dy+ =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 21 1( ) 1 x dx x x +∞= − +∫ 2 2 1 1 ln2(ln ln(1 )) ln ln 1 12 221 xx x x +∞ +∞= − + = = − =+ 2 13 设 2 2 2 2 2: 0 0x y D I e dxdy D x y x y a− −= ≤ ≥ + ≤∫∫ 则 2(1 ) 4 aI eπ −= − 14 的收敛半径1( 1) ( ) 3 n nx−−∑ 3R = 15 收敛域 0 2 ( 1) 1 n n n x n ∞ = −+∑ 1 3,2 2⎡ ⎞⎟⎢⎣ ⎠ 1 1 1 1 1 3lim 2 1 2 2 2 2 2 n n n u R x x u + →∞ = = − < − < < < 1 1 1( 1) 2 1 n n x n ∞ = = − +∑ 收敛 1 3 1 2 1n x n ∞ = = +∑ 发散 116 已知 为 的驻点，则(0,0) 2 2( , )f x y x xy y= + − (0,0)f 为 的( , )f x y C A 极大值 极小值B 非极值C D 极值不能确定 17 设 在 连续，则( )f x [ ]0,a 2 2 2 2 0 ( ) a a x a dx f x y dy B − − + =∫ ∫ 2 0 ( ) a A f r drπ ∫ 0 ( )aB f r rdrπ ∫ 2 0 2 ( ) a C f r rdrπ ∫ 0 ( )2 a D f r rdrπ ∫ 2 (0,0) 0B AC− >∵ 18 21 0 0 ( , ) y y A dy f x y dx −∫ ∫ cos 2 0 0 ( cos , sin )d f r r rdr D π θθ θ θ =∫ ∫ 21 1 0 0 ( , ) y B dy f x y dx −∫ ∫ 1 1 0 0 ( , )C dx f x y dy∫ ∫ 21 1 0 0 ( , ) x D dx f x y dy −∫ ∫ 19 的不可导点的个数2 3( ) ( 2)f x x x x x= − − − C 0 1 2 3A B C D 20 设 则下列结论正确的是3 2( , ) 3 4f x y x x y y= − + + A 为极大值( 1, 2)f − − A 为极大值(1, 2)f − C 为极小值( 1, 2)f − − D 为极小值(1, 2)f − D 3( 2)y x x= − 的不可导的点是 A B C D 不存在0, 2x x= = 0x = 2x = C21 22 设 是单连域 的正向边界曲线，则 的面积为C DD A 1 2 c A xdy ydx−∫v 12 cB xdy ydx+∫v 1 2 c C xdy ydx− +∫v 12 cD xdx ydy+∫v 23 1 2 2 1 (1 1 )x x dx D− + + − =∫ 0 2 2 4A B C Dπ π+ + 3 24 2 7 0 (sin cos )x x dx π + =∫ A 0 B 1 C 4 D 2 C 25 设A(1,1) B(6,3) C(2,7)是XOY平面上的三点， 则三角形ABC的面积为 A 6 B 14 C 28 D 32 B 解 1 1 0 5 2 14 2 2 0 1 6 i j k S AB AC= × = = G G G JJJG JJJG 26 在 某领域可导( )f x 0x = (0) 0, (0) 0f f ′= > 则存在 使0δ > B A 有(0, )x δ∀ ∈ ( ) 0f x′ > B 有(0, )x δ∀ ∈ ( ) 0f x > C 有( ,0)x δ∀ ∈ − ( ) 0f x′ > C 有( ,0)x δ∀ ∈ − ( ) 0f x > 27 2 2 20 0 sin cos(sin ) 1 12lim lim 3 3 6x x x x x x→ → −− = = − 28 直线 相对于平面2 3 1 1 2 1 x y z− − += =− − 2 4 2 6 0x y z− + + − = 的位置关系是D A 平行于平面，但不在平面内； B 相交但不垂直于平面 C 直线在平面内 D 垂直于平面 29 连续函数 满足( )f x 2 40 1( ) cos (2 )f x x f x dx π π− = ∫ 求 20 ( ) 3f x dx π π=∫ 30 若 与 可导 则必有 C( )f x ( )h x ( ) ( )f x h x< A ( ) ( )f x h x− > − B ( ) ( )f x h x′ ′< C 0 0 lim ( ) lim ( ) x x x x f x h x→ →< D 0 0( ) ( ) x x f x dx h x dx<∫ ∫ 31 设 在 不连续，则 在( , )f x y 0 0( , )x y ( , )f x y 0 0( , )x y C A 极限不存在 B ， 不存在0 0( , )xf x y 0 0( , )yf x y C 不可微 D 任一方向方向导数不存在 32 当 都为无穷小量，则当 下列哪一个式子 一定是无穷小 0 ( ), ( )x x x xα β→ 0x x→ A 2 ( ) ( ) x x α β B ( ) ( ) x x β α C ( ) ( ) x x αβ⎡ ⎤⎣ ⎦ D ln(1 ( ) )xα+ D 33 为不定型，则 存在 0 ( )lim ( )x x f x g x→ 0 ( )lim ( )x x f x g x→ ′ ′ 为 存在的 0 ( )lim ( )x x f x g x→ B A 必要条件 B 充分条件 C 充要条件 D 既非充分又非必要 34 下列各积分中不等于零的是 B A cosx xdx π π−∫ B 2 2 2 2 1 cos x dx x π π− +∫ C 2 5 0 sin xdx π∫ DD sin cos2x xdxππ− +∫ 2 2 01 cos x x >+∵ 2 2 2 2 0 1 cos x dx x π π− >+∫ 若级数 在 处收敛，则此级数在 1 ( 2)nn n a x ∞ = −∑ 2x = − 5x C= 一定发散 一定条件收敛 一定绝对收敛 敛散性不定 A B C D 35 4 36 如 5 61 cos 2 0 ( ) sin , ( ) 5 6 x x xf x t dt g x −= = +∫ 则当 时 是 的( )f x ( )g x B 0x→ A 低阶无穷小 B 高阶无穷小 等价无穷小C D 同阶但不等价无穷小 37 设函数 是微分方程 的两个不同特解 则该方程的通解为 1 2( ), ( )y x y x ( ) ( )y p x y f x′ + = D 1 1 2 2A y c y c y= + 1 2B y y cy= + 1 1 2( )C y y c y y= + + 1 2 1( )C y y c y y= + − 38 20 1 tan 1 sin 1lim ( ) sin 4x x x x x→ + − + 2 3 330 0 0 tan sin 1 tan (1 cos ) 1 12lim lim lim 2 2 4( 1 tan 1 sin )x x x xxx x x x x xx x x→ → → − −= = = =+ + + i 39 0 1 1lim ( ) ln(1 ) ln(1 )x x x+→ ++ − 40 2 20 coslim ln(1 ) x x e x x→ − + 2 2 20 0 ln(1 )lim lim 1 ln(1 )ln(1 )x x x x x x x→ → −= = =− + 2 2 20 1 1 cos 1 3lim 1 2 2 x x e x x x→ − −= + = + = 41 曲线 在点 处切线方程4 s e c t x t y e π− =⎧⎨ =⎩ ( , ) ( 2,1)x y = 1 2 2( 2)y x− = − 42 2 0 0 (1 ) lim 1 tan x t x e t dt x x→ + =∫ 43 22 30 1 1lim sin 2 x x x e x x − → − − = − 44 1 1 0 lim(3 2) x x x x e −→ − 45 1 40 2 sinlim( ) 1 x x x e x xe → + + + 1 0 0 3( 1)1 1lim 3 lim 31 0 lim(1 3( 1)) x x x x x ex x x x x x x e e e e − → → − − −− →= + − = = = 1 40 2 sinlim ( ) 2 1 1 1 x x x e x xe −→ + − = − = + 1 40 2 sinlim ( ) 0 1 1 1 x x x e x xe +→ + + = + = + 曲线的水平渐近线 4sin 5 2cos x xy x x += − 1 5 y = 设 在 连续，则 2 3 0 1 sin 0 ( ) 0 x t dt x f x x a x ⎧ ≠⎪= ⎨⎪ =⎩ ∫ 0x = 1 3 a = 4sin 1lim 5 2cos 5x x x x x→∞ + =− 1 5 y = 曲线 的水平渐近线 2 2 0 3 20 0 sin sin 1lim lim 3 3 x x x t dt xa x x→ → = = =∫ 46 47 5 48 设 21( ) ( ) cos( ) 1 x x ey f f x x e − ′= =+ 求 0x dy dx = 1 1( ) ( ) 1 1 x x x x dy e ef dx e e − −′ ′= + + 02 1 2 1 1( ) (0) 1 ( 1) 2 2 x x xx x e e dyf f e e dx = −′ ′= = =+ + 设 2 2arctan ln 1 x x x ey e e = − + 求 1x dy dx = 2arctan ln( 1)x xe x e= − + + 2 2 2 21 1 1 x x x x dy e e dx e e = − ++ + 1x dy dx = 2 1 1 e e −= + 49 设 在 连续，且( )f x 1x = 1 ( ) 3lim 2 1x f x x→ − =− 则 (1) 3f = 2 1 ln 2lim xx x x x e e e→ − + =− 1 ( ) 3lim 2 1x f x x→ − =− 分母趋于零 1 1lim ( ) 3 0 lim ( ) 3x xf x f x→ →− = → = ( )f x 1x =在 连续 1(1) lim ( ) 3xf f x→= = 2 1 1 12 1ln 2lim limx xx x xx x x x e e e e→ → − +− + = =− 50 51 求 2 lnx xdx∫ 求 3 2 0 (2 )x dx−∫ 3 3 3 3 31 1 1ln ( ) ln 3 3 3 9 x xxd x x x x dx c x ⎡ ⎤= = − ⋅ = − +⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ 3 2 3 0 0 2 2 (2 ) ( 2)xdx x dx x dx= − = − + −∫ ∫ ∫ 52 53 54 计算 16 1 1 dx x −∫ 55 1 0 arcsinx xdx∫ 23 0 4 (1 )1 8 3t tx t dt t +− = =∫ 1 12 2 2 20 0 11 1 1arcsin ( arcsin ) 02 2 1 xdx x x x dx x = = − ⋅ −∫ ∫ 2 2 0 1 sin cos 1 1 4 2 cos 4 2 2 2 8 t tdt t ππ π π π= − = − ⋅ ⋅ =∫ 56 设 1 ( ) , x y x f x e dy= ∫ 求 10 ( )f x dx∫ 1 2 e −= 1 1 0 x y x e dy dx ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ 1 0 ( )f x dx∫ 1 1 1 1 0 0 0 0 ( ) ( 1) x x yy y x xdx e dy ydy e d y e dy y ⎡ ⎤= = = −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 6 57 1 1 1l i m ( ) 2 1 x x x e → ∞ − =− 解 设 1t x = 1 20 0 1 1 1 1 1lim ( ) l im ( ) l im 1 2 1 t tx t t x e tx t e t e → ∞ → → − −− = − = =−− 58 3lim ln(1 2 ) ln(1 ) 3ln 2x x x→+∞ + + = 解 3 ln(1 2 )lim ln(1 2 )ln(1 ) 3 lim x x x xx x→+∞ →+∞ ++ + = 2 ln 23 lim 3ln 2 1 2 x xx→+∞ = =+ 59 已知 0 ( )ln(1 ) sin3lim 5 3 1xx f x x → + =− 求 20 ( )lim 10ln3 x f x x→ = 60 3 3 1 1 1c o s ( ta n ) 1lim ln (1 ) ln 3x x x x x x→ ∞ − = −+ − 61 设 [ ] 20 ( ) (0) tan3 lim 4 x f x f x x→ − = 则 4(0) 3 f ′ = 62 求 的间断点，并判别类型1( ) sinf x x x = 63 设 由方程 确定2 2 ( )u z z z z x= + = ( 1)x y zxe ye ze z− = ≠ − 求 du 0x = 为间断点 0 1lim sin 0x x x→ = 0x = 为第一类可去间断点 ( ) (1 )x y z xxF x xe ye ze F x e= − − = + (1 ) yyF y e= − + (1 ) zyF z e= − + (1 )(1 ) x x z z Fz x e x F z e ∂ += − =∂ + (1 ) (1 ) y x z z Fz y e y F z e ∂ += − = −∂ + z zdz dx dy x x ∂ ∂= +∂ ∂ (1 ) (1 ) x z x e z e += + dx (1 ) (1 ) y z y e dy z e +− + ( 2 2 )du z dz= + = dx (1 ) (1 ) y z y e dy z e +− + (1 )(2 2) (1 ) x z x ez z e ++ + 64 设 与 在 处切线相同，求此 切线方程与极限 ( )y f x= 2arctan 0 x ty e dt−= ∫ 2lim ( ) n nf n→∞ (0,0) 2arctan 02 1 (0) 1 1 x xy e f yx − =′ ′ ′= ⋅ = =+ 切线方程： y x= 2lim ( ) n nf n→∞ = 2( ) lim 1n f n n →∞ = 2( ) (0) 2 lim 2 (0) 22n f f n f n →∞ − ′= = 65 设 ( , ) ( )y xz f xy g x y = + 求 zx ∂ ∂ 66 设 1 ( ) ( )z f xy yg x yx= + + 求 2z x y ∂ ∂ ∂ z x ∂ ∂ 1 2 2 1( )yf y f g x y ′= ⋅ + ⋅ − + ⋅ 2 1 1z f f y yg x x x ∂ ′ ′= − ⋅ + ⋅ ⋅ +∂ ( )2 21 1z f x f y f x g ygx y x x ∂ ′ ′ ′′ ′ ′′= − ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + +∂ ∂ = yf g yg′′ ′ ′′+ + 67 设 由方程 确定( , )z z x y= 3( , 3 ) 0F x z x y z+ + = 求 z z x y ∂ ∂ ∂ ∂ 2 1 2 3 1 2 3x z F F x z Fz x F F x F ⋅ +∂ = − =∂ ⋅ + 2 3 1 2 3Fz y F x F ∂ = −∂ ⋅ + 2 3 1 2 2 1 23 3x y zF F x z F F F F F x F= ⋅ + ⋅ = ⋅ = ⋅ + 7 68 求 ( , ) (4 )f x y xy x y= − − 在 0 0 6x y x y= = + = 所围闭区域上最值 2 24 2 4 2f fy xy y x xy x x y ∂ ∂= − − = − −∂ ∂ 4 40 0 (0,0) ( , ) 3 3 f f x y ∂ ∂= =∂ ∂ 4 4 64( , ) 3 3 27 f = 在边界 上0 ; 0x y= = ( ,0) 0; (0, ) 0f x f y= = 在边界 上6x y+ = 2(6 )(4 6 ) 2 12f x x x x x x= − − − + = − ( ) 0 3 3 (3,3) 18f x x y f′ = = → = = − 最大值 最小值64 27 18− 69 将 展开成 的幂级数2( ) ln(3 2 )f x x x= − − ( 1)x + 2 1 1( ) ln(3 2 ) ln2 ln(1 ) ln2 ln(1 ) 2 2 x xf x x x + += − − = + − + + + 1 12ln2 ( ) 2 n n x∞ = += − +∑ 1 1 1( 1) ( ) 2 n n n x∞ − = ++ −∑ 1 ( 1) 12ln2 ( 1) ( 3,1) 2 n n n n x ∞ = − −= + + −∑ 70 求级数 的和 2 1 ( 1)2nn n ∞ = −∑ 71 求级数 的和 1 3 1 4nn n∞ = +∑ 2 1 1 ( 1)2 2nn n ∞ = =−∑ 12 2 1( ) 1 12 ln(1 ) ln2 ( 1) 2 2 n xn x n ∞ == = − − =−∑ 1 3 1 4nn n∞ = +∑ 1 1 1 3 1 1( ) ( ) 4 4 4 n n n n n ∞ ∞ − = = = +∑ ∑ 1 2 1 1 1 1( ) ( 1) ( ) 1 (1 ) n n n n nx x s x x x ∞ ∞ − = = ′ ′= = − = =− −∑ ∑ 1 3 1 3 1 1 5( ) 134 4 4 3(1 ) 4 n n n s ∞ = + = ⋅ + − = − ∑ 72 已知曲线积分 与路径无关 其中 可微，且 求 2 22 ( ) ( ( )) L xyf x dx x y f x dy+ + −∫ ( )f x (0) 2f = ( )f x 因无关 Q Px y ∂ ∂=∂ ∂ 2 ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) 2x f x xf x f x xf x x′ ′− = → + = 2 2 22 2( ) 2 ( ) 1xdx xdx x x xf x e xe dx c e e c ce− − −⎛ ⎞∫ ∫= + = + = +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ (0) 2f = 1c = 2( ) 1xf x e−= + 73 设曲线 1）求该曲线过原点的切线 lny x= 2）求该切线与曲线及 轴所围平面图形面积 3）求平面图形绕 旋转一周所得旋转体体积 x 0y = 0 0 1 1 xy k yx x ′ ′= = =1）设切点为 0 0( , ln )x x 切线 0 0 0 1ln ( )y x x x x − = − (0,0) 代入 0x e= 切线 ＝ xey 2） 0 1 ln e exS dx xdx e = − =∫ ∫ 12e − 3） 2 2 0 1 2( ) ln (2 ) 3 e ex eV dx xdx e π π π= − = −∫ ∫ 74 设 2 1 ( )( ) ln 2 e f xf x x x dx x = − ∫ 求 ( )f x 75 设 连续， 求( )f x 0 ( ) 1 cos x t f x t dt x− = −∫ 20 ( )f x dx π∫ 设 1 ( )e f x dx A x =∫ 2( ) lnf x x Ax= − ( ) ln 2f x x Ax x x = − 21 1 ln( 2 ) ln (ln ) 1 e e exA Ax dx A xd x Ax x = − → = −∫ ∫ 2 1A e = 2 2( ) ln xf x x e = − 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x tf x t dt x t u x u f u du x f u du f u du− − = − = −∫ ∫ ∫ ∫ 即 0 0( ) ( ) 1 cos x x x f u du f u du x− = −∫ ∫ 0 ( ) sin x f u du x=∫ 20 ( ) 1f x dx π =∫ 8 76 计算 3sin : , 2 , D x dxdy D y x y x y y = = =∫∫ 所围平面闭区域 1( (3cos1 sin1 sin4)) 2 = + − 3 3 1 2 0 1 sin sin y y y y x x x xydy d ydy d y y y y = +∫ ∫ ∫ ∫sin D x dxdy y∫∫ 31 2 30 1 cos cos yyx xy dy y dy yy yy = +∫ ∫ 1 22 2 0 1 ( cos cos1) ( cos1 cos )y y y dy y y y dy= − + −∫ ∫ 77 已知 的一个原函数为 求sinx x ( )xf x dx′∫( )f x ( ) ( ) ( )xdf x xf x f x dx= = −∫ ∫( )xf x dx′∫ 2( sin ) sin cosx x x x x c x x c′= − + = + 78 求 在区间 上的最大值 4 32( ) 4 3 x xf x = − [ ]1,3− 3 2( ) 2 ( ) 0 0 2f x x x f x x x′ ′= − = = = 4 11 3(0) 0 (2) ( 1) (3) 3 12 4 f f f f= = − − = = 最大值 11( 1) 12f − = 最小值 4(2) 3 f = − 79 设 由方程 所确定的隐函数，求( , )z z x y= lnx zz y= , z z x y ∂ ∂ ∂ ∂ (ln ln ) 1 1 ln ln 1x y z z xF x z z y F F F z y y z = − − = = = − − + = − − 2 yx Z z FFz z z z x F x z y F x z ∂ ∂= − = = − =∂ + ∂ + 80 求曲面 所围成的空间立体体积2 2 2 22z x y z x y= + = − + 2 2 2 2 2 2 1 2 z x y x y z x y ⎧ = +⎪ → + =⎨ = − +⎪⎩ 2 2: 1D x y+ ≤ 2 12 2 2 2 2 0 0 5(2 ) (2 ) 6D V x y x y dxdy d r r rdr π πθ= − + − − = − − =∫∫ ∫ ∫ 23 xx e dx∫求 求 21 ln2( ) ( 1) 2 dx x x +∞ +∫ 2 2 2 2 2 2 21 1 ( 1) 2 2 2 x x x e xx e dx x de −= = =∫ ∫ 2 21 1 1( ) (ln ln(1 )) 11 2 x dx x x x x +∞ +∞= − = − ++∫ 2 ln2ln 1 21 x x +∞= =+ 3 6 81 82 9 设曲线C为椭圆 并取正向，则曲线积分2 24 1x y+ + 2 24c ydx xdy x y − + +∫v求 ( )π 2 2 12 2 1 4 2c c D ydx xdy ydx xdy dxdy x y π π− + = − + = = ⋅ ⋅ ⋅ =+∫ ∫ ∫∫v v 2 2 2 : 11 1( ) 2 x yD + ≤ 83 84 85 求微分方程 满足条件 的解22 xy y e′′ ′− = (0) 1, (0) 1y y′= = 2 23 4 4 2 x xe xey = + + 特征方程： 2 2 0 0 2r r r r− = = = 21 2 xY c c e= + 设 2 xpy Axe= 将 代入方程并消去 得p py y′ ′′ 2 xe 1 2 A = 通解 2 2 1 2 2 x x xey c c e= + + 2 2 2 2 12 ( 2 ) 2 x x xy c e e xe′ = + + 将 代入上两式得(0) 1, (0) 1y y′= = 1 23 14 4c c= = 特解 求 2 2 2 2 2 2( ) : 4 ( 1) 1 D x y y dxdy D x y x y+ + + ≤ + + ≥∫∫ 16 (3 2) 9 π= − 1 2 22 2 2 2 2 0 0 2cos 2 ( ) 2 2( ) D D x y y dxdy x y dxdy d r rdr d r rdr π π π θθ θ −+ + = + = ⋅ + ⋅∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 2cosr θ= 2r = 区域 关于 轴对称D y 86 求方程 的通解5 6 (2 )x xy y y e e′′ ′− + = + 2 3 2 1 2 x x x xy c e c e e xe= + + − 25 6 2 x xy y y e e′′ ′− + = + 2 3 1 2 x xY c e c e= + 1 2 x py Axe= 为 的特解25 6 xy y y e′′ ′− + = 2 x py Be= 为 的特解5 6 2 xy y y e′′ ′− + = 通解： 87 设有直线 与直线 的夹角1 1 5 6: 1 2 1 x y zL − − += =− 2 6 : 2 3 x y L y z − =⎧⎨ + =⎩ A B C D3 π 2 π 6 π 4 π A 解 即已知 1 2(1, 2,1) 1 1 0 ( 1, 1,2) 0 2 1 i j k s s= − = − = − − G G G JG JG ， 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 ( 1) ( 2) ( 1) 1 2 1cos( , ) 21 ( 2) 1 ( 1) ( 1) 2 s ss s s s ⋅ ⋅ − + − ⋅ − + ⋅= = =+ − + − + − + JJGJGJG JG JG JG 选A 88 89 计算 3 2 4 1 1 1 (2 1) 2 1 2 (3 1) x dx c x x x = − + ++ + +∫ 解 令 2 1x t+ = 10 90 如 0 sinlim (cos ) 5xx x x b e a→ − =− 则 ,a b= =1 －4 91 2 12 2 1arctan ln , 1 1 x x xx e dy ey e e dx e= −= − =+ + 92 2 2 1 2 11 12( ) , ( 1) 1 21 2 xxe x f x f x dx x ⎧ − ≤ <⎪⎪= − = −⎨⎪ − ≥⎪⎩ ∫ 493 ( , ) 2f x y x y= + 则 (4,1)0 (4 ) (4,1) 1lim 3x f x f f x xΔ → + Δ − ∂= =Δ ∂ 94 设 在 连续且( )f x 0x = 0 ( )lim 2, (0) 1 1 1x f x f x→ ′= =+ − 95 方程 在 附近确定了隐函数3 sin 3cos 2xy y x+ + = ( ,1)2 π ( )y y x= 求 2 3 4x dy dx π= = 96 当 0, 1 tan 1 sinx x x→ + − + 是 的 阶无穷小 3 2 k = k x x 解 0 0 1 tan 1 sin (tan sin )lim lim ( 1 tan 1 sin ) kx x k x x x x x x x x→ → + − + −= + + + 0 0 tan (1 cos )1 1 3 12lim lim 2 2 2 4k kx x xxx x k x x→ → −= = = = 97 ln ( ln ) 0y ydx x y dy+ − = 通解为 21 1 lnln 2x y cy ⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠ 解 一阶线性非齐次方程1 1 ln x x y y y ′ + = 98 1 20 arcsin 1 1 x xdx x =−∫ 解 1 1 2 20 0 arcsin arcsin ( 1 ) 1 x xdx xd x x = − −−∫ ∫ 12 0 1 1 arcsin 1 0 x x dx= − − + =∫ 也可令 sinx t= 99 已知 2 0 0 ( ) ( ) , ( )sin 2, ( ) 3 2 x g x f t dt f x xdx f π π′= = =∫ ∫ 求 2 0 ( )sing x xdx π∫ 解 2 2 0 0 ( )sin ( ) cos cos ( ) 2 0 g x xdx g x d x x g x π π π = − = − ⋅ +∫ ∫ 2 0 ( )cosf x xdx π =∫ 20 ( ) sin ( )sin 2 0 f x d x f x x π π = −∫ 20 ( )sin 1f x xdx π ′ =∫ 100 设 在 连续，且 计算( )f x [ )0.+∞ lim ( ) 2007 x f x→+∞ = 1 0 lim ( ) n f nx dx→+∞ ∫ 解 令 则nx t= 0 ( )lim n n f t dt n→+∞ ∫10lim ( )n f nx dx→+∞ =∫ 0 ( ) lim lim ( ) 2007 n n n f t dt f n n→+∞ →+∞ = = =∫ 101 设函数 二阶可导，且满足 求( )f x 0 ( ) sin 2 ( ) x f x x tf x t dt= + −∫ ( )f x 解 令 则x t u− = 0 ( ) sin 2 ( ) ( ) x f x x x u f u du= + −∫ 0 0 ( ) sin 2 ( ) ( ) x x f x x x f u du uf u du= + −∫ ∫即 且 (0) 0f = 0 ( ) 2cos2 ( ) x f x x f u du′ = + ∫ (0) 2f ′ = ( ) ( ) 4sin 2f x f x x′′ − = − 1 21, 1 x xr r Y c e c e−= = − = + 设 sin 2 cos2py a x b x= + 代入方程得 4 05A B= = 1 2 4( ) sin 2 5 x xf x c e c e x−= + + (0) 0, (0) 2f f ′= = 1 21 15 5c c= − = 1 1 4( ) sin 2 5 5 5 x xf x e e x−= − + + 11 102 求 在区间 上的最大最小值 3 2( ) 4 18 10f x x x= − + [ ]0 , 2 解 令 [ ]3 2( ) 4 18 10, 0,2g x x x x= − + ∈ ( ) 12 ( 3) 0 (0) 10 ( ) (2) 30g x x x g g x g′ = − < ∴ = > > = − 因此1 在区间 上的最大最小值[ ]0 , 2 为 和30 0 3 2( ) 4 18 10f x x x= − + 103 设函数 lny x= （1）求该曲线过原点的切线；（2）求由上述切线与曲线及 轴所围平面图形面积x （3） 求（2）中平面图形绕直线 旋转一周所 成的旋转体体积 1y = − 解 （1）切线方程： xy e = （2） 1 0 ( ) 1 2 y es e ey dy= − = −∫ （3） 2 2 2 0 1 ( 1) (ln 1) 1 1 3 e ex ev dx x dx e ππ π π= + − + − ⋅ ⋅ =∫ ∫ xy e = lny x= 0 1 e 1− 104 试确定 的值，使得方程 3 3 0x x p− + =p 1） 有一个实根 2） 有一个实根 3） 有一个实根 2p < − 或 2p > 2, 2p p= = − 2 2p− < < 105 求通过二平面 和 的交线及点 的平面方程 2 4 0x y+ − = 2 0y z+ = 0 (2, 1, 1)m − − （所求平面方程： ）3 6 0x y z+ − − = 106 计算 其中C为上半圆周3 3 1 c x ydx dy r r − −+∫ 2y x x= − (1,0) (0,0) 2 2 2(1 )r x y= + − 3 3 1 11 2c x ydx dy r r − −+ = −∫ 方向从 到 107 求数项级数 的和 1 4( 1) 3 n n n n∞ = +−∑ 解 设 1 1 1 ( ) ( 4) ( 1) 3n n n n n n s x n x n x x ∞ ∞ ∞ = = = = + = + +∑ ∑ ∑ 2 2 1 2 1 3 3 5 4( ) ( ) 1 1 1 (1 ) n n x x x x xx x x x x ∞ + = −′ ′= + = + =− − − −∑ 1 4 1 19( 1) ( ) 3 3 16 n n n n s ∞ = +− = − = −∑ 1 108 求数项级数 的和 2 1 ( 1) 3 n n n n∞ = −∑ 解 2 2 1 1 1( 1) ( ) 3 3 n n n n n n n ∞ ∞ = = − = −∑ ∑ 设 2 1 ( ) n n s x n x ∞ = =∑ 1 1 ( ) ( ) 1 n n n n xx nx x x x x x x ∞ ∞ = = ′⎡ ⎤′ ′⎡ ⎤ ⎛ ⎞⎢ ⎥′ ′= = = ⎜ ⎟⎢ ⎥ −⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ∑ ∑ ( ) 2 3 1 (1 ) (1 ) x xxx x x ′ +⎡ ⎤= =⎢ ⎥− −⎣ ⎦ 2 1 1 3( 1) ( ) 3 3 32 n n n n s ∞ = − = − = −∑ 12 109 设 在 连续，且单调减少，证明：当 有( )f x [ ]0,1 0 1a< < 1 0 0 ( ) ( ) a f x dx a f x dx≥∫ ∫ 即证 10 01 ( ) ( )a f x dx f x dxa ≥∫ ∫ 证： 设 1 0 0 1( ) ( ) ( ) 0 1 x F x f t dt f t dt x x = − < <∫ ∫ 0 2 2 ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0 x xf x f t dt xf x xfF x x x x ξ ξ− −′ = = < <∫ ( ) ( ) 0f x f x ξ−= < （ 单调减，故( )f x ( ) ( ))f x f ξ≤ ( )F x 单调减 1 ( ) (1) 0x F x F< → ≥ = 1 0 0 1 ( ) ( ) a f x dx f x dx a ≥∫ ∫即 110 证明：当 时，有 11 1 2(1 ) x xx e + ++ <0x > 证： 即证 1(1 )ln(1 ) 1 2 xx x + + < + 22(1 )ln(1 ) 2x x x x+ + < + 设 ( )f x = 22(1 )ln(1 ) 2 0x x x x x+ + − − > ( ) 2(1 ln(1 )) 2 2 2(ln(1 ) ) 0f x x x x x′ = + + − − = + − < 单调减，当( )f x 0 ( ) (0) 0x f x f> < = 11 1 2(1 ) x xx e + ++ <0x >故