东南大学仪科数字信号处理作业1

东南大学仪科数字信号处理作业1已知f(t)的傅里叶变换是F(w)，求下列信号的傅里叶变换 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式(a，b，w0为常数)：1）ddtf(a+tb)2)(2+2t)f(t-1)3)ft(ft-1)4)f(t)*2jt5)-∞2-tfτdτ6)f(t)sin[w0(t+a)]解：1）f(a+tb)↔|b|F(bw)ejwabddtf(a+tb)↔jw|b|F(bw)ejwab2）f(t-1)↔F(w)e-jw-jt×ft-1↔dFwe-jwdw=F'we-jw-jF(w)e-jw2t×ft-1↔2jF'we-jw+2F(w)e-jw(2+2t)ft-1↔2jF'we-jw+4F(w)e-jw3）ftft↔12πFw*F(w)ftft-1↔12πFw*Fw-F(w)4）sgn(t)↔2jw2jt↔-2πsgn(w)ft*2jt↔-2πsgnw*F(w)5）-∞tfτdτ↔πF0δw+F(w)jw-∞-tfτdτ↔πF0δw+F(-w)-jw-∞2-tfτdτ↔πF0δw-F-wjwe-j2w=πF0δw-F-wjwe-j2w6）f(t)sin[w0(t+a)]=f(t)sin(w0t)cos(w0a)+f(t)cos(w0t)sin(w0a)f(t)sin(w0t)↔j2[Fw+w0-Fw-w0](t)inPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXPAGEXXXf(t)cos(w0t)↔12[Fw+w0+Fw-w0]ftsinw0t+a↔j2Fw+w0-Fw-w0+12Fw+w0+Fw-w0=j2e-jw0aFw+w0-j2ejw0aFw-w0已知如图2-15所示的信号f(t)，求：1）指数形式与三角形式的傅里叶变换级数；2）傅里叶变换F(w)，并画出频谱图。解：1）三角形式：T1=4，w1=2πT1=π2a0=1T1-22ftdt=14-112dt=1an=2T1-22ftcos⁡(π2nt)dt=-11cosπ2ntdt=2sinc(π2n)由f(t)为偶函数得，bn=0所以，f(t)=1+n=1∞2sinc(π2n)cos(π2nt)指数形式：F(nw1)=1T1-22fte-jπ2ntdt=12-11e-jπ2ntdt=sinc(π2n)f(t)=n=-∞∞sinc(π2n)ejπ2nt2）F(n)=sinc(π2n)F(w)=n=-∞∞sinc(π2n)δ(w-nπ2)已知如图2-16所示的信号f(t)，求指数形式与三角形式的傅里叶变换级数，并画出频谱图。解：指数形式：T1=2T，w1=2πT1=πTF(nw1)=1T10T1fte-jw1ntdt=12T0T(E-ETt)e-jw1ntdt=E2πnj+E2π2n2-E2π2n2e-jnπf(t)=n=-∞∞F(nw1)ejw1nt三角形式：a0=1T102Tftdt=12T0T(E-ETt)dt=E4an=2T102Tftcos⁡(w1nt)dt=1T0T(E-ETt)cosw1ntdt=En2π2(1-cosnπ)bn=2T102Tftsin⁡(w1nt)dt=1T0T(E-ETt)sinw1ntdt=Enπf(t)=E4+n=1∞[ancosw1nt+bnsinw1nt]将下列信号早区间(-π，π)中展开为指数形式的傅里叶级数：1）f1(t)=2t2）f2(t)=0.5|t|解：T=2π，w1=2πT=11）因为f1(t)为奇函数，a0=0，an=0bn=2T-ππ2tsin⁡(w1nt)dt=-4ncos⁡(nπ)f1(t)=n=1∞bnsinnt2）因为f2(t)为奇函数，bn=0a0=1T-ππftdt=22π0π0.5tdt=π4an=2T-ππftcos⁡(w1nt)dt=42π0π0.5tcosw1ntdt=cosnπ-1n2πf(t)=π4+n=1∞ancosnt将下列信号在区间(0,1)中展开为指数形式的傅里叶级数：1）f1(t)=t42）f2(t)=e2t解：T=1，w1=2πT=2π1）F(n)=1T01t4e-jw1ntdt=01t4cosnw1tdt-j01t4sinnw1tdt=14π2n2+32π4n4+j(1nπ-12π3n3)f(t)=n=-∞∞F(n)ej2πnt2）F(n)=1T01e2te-jw1ntdt=01e-jw1ntdt=e2-12-jn2πf(t)=n=-∞∞F(n)ej2πnt6.已知如图2-17所示的信号f(t)，利用微分性质求该信号的傅立叶变换F(w)。图2-17 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 ：f't=-ut+u(t-2)Ff't=F-ut+ut-2=1jω-1+e-j2ω=F1(ω)F1ω|ω=0=0F-∞-tf'τdτ+3=1ω21-e-j2ω+4πδ(ω)7.已知ft=-∞∞g(τ-2)sinπ(t-τ)π(t-τ)dτ，求F(w)。答案：Fg(t)=F1ωFgt-2=F1(ω)e-2jωF(sinc(πt))=1πrect(ωπ)(?)F∞∞gτ-2sincπt-2dτ=Fgt-2*sincπt=e-2jωF1(ω)1πrect(ωπ)(rectωπ=uω+π2-uω-π2)8.求下列函数的傅立叶变换:1）2πt22）(1πt*2πt)3）1πta答案：1)sgnt↔2jω1jt↔2πsgn-ω1t↔-jπsgnω1t'=-1t2↔-jωjπsgnω=πωsgn(ω)2πt2↔-2ππωsgnω=-2ωsgn(ω)2)F1πt*2πt=F1πtF2πt=-jsgnω∙-2jsgnω=-2sgn2ω=-23)a>0发散，无傅里叶变换a=01π↔2δ(ω)当a<0时Ftaπ=1πFta=1πjωa+1Fta+1=1πjωa+1jωa+2Fta-2=…=1πjωa+1jωa+2…jω-1F1t=jω-2-aa+1a+2…-1sgn(ω)9.已知f2(t)由f1(t)变换所得，如图2-18所示，且f1(t)的傅立叶变换为F1(w)，试写出f2(t)的傅里叶变换表达式。图2-18答案：由图可知，f2t=f1-t+Tf1t↔F1ωf2t↔e-jωTF1(-ω)10.求下列频谱函数对应的时间函数：δ(w-2w0)2）sin(w/2)3）πδw+1(jw-1)(jw+2)4）sin(2w)cos(w)5）δ(2w)答案：1)2πδ(ω)↔1F-1δω-2ω0=12πej2ω0t2)sin⁡(12t)↔jπ[δω+12-ω-12]jπδt+12-t-12↔-2πsin⁡(12ω)F-1sin12ω=-j2δt+12-t-123)1(jω-1)(jω+2)=-13(11-jω+12+jω)F-11jω-1jω+2=-13etu-t-13e-2tutF-1πδω+1jω-1jω+2=12-13etu-t-13e-2tut4)sin2ωcosω=12(sin3ω+sinω)jπδω+1-δω-1↔-2πsin⁡ωjπδω+3-δω-3↔-2πsin⁡3ωF-1sin2ωcosω=-j4[δω+1-δω-1+δω+3-δω-3]5)1↔2πδ(ω)12π↔δω12π↔2δ2ω14π↔δ2ωF-1δ2ω=14π11.已知F1w=2×|Fw|ej2Ψ(w)如图2-19所示，求其傅立叶反变换f1(t)。图2-19答案：Fω=uω-uω-2φω=-ωF1ω=2[uω-uω-2]e-2jωut↔πδω+1ωe-jπ212δt-12πte-jπ2↔u(ω)[12δt-12πte-jπ2]e2jt↔u(ω-2)F-1F1ω=[δt-2-1πt-2e-jπ2](1-ej2t-2j)=1πjt-2(e2jt-2-1)