导数中分类讨论的三种常见类型高中数学中，分类讨论思想是解决含有参数的复杂数学问
题
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的重要途径，而所谓分类讨论，就是当问题所给的研究对象不能进行统一的研究处理时，对研究对象按照某种
标准
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进行分类，然后对每一类的对象进行分别的研究并得出结论，最后综合各类的研究结果对问题进行整体的解释.几乎所有的高中生都对分类讨论思想有所了解，而能正确运用分类讨论思想解决问题的不到一半，不能运用分类讨论思想解决具体问题的主要原因是对于一个复杂的数学问题不知道该不该去分类以及如何进行合理的分类，下面根据导数中3种比较常见的分类讨论类型谈谈导数中如何把握对参数的分类讨论.导函数根的大小比较实例1：求函数f(x)=!x3+_—x2-ax-a，xeR的单调区间.TOC\o"1-5"\h\z32
分析
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：对于三次或三次以上的函数求单调区间，基本上都是用求导法，所以对函数f(x)=1X3+土x2-ax-a进行求导可以得到导函数32f'(x)=x2+(1-a)x-a，观察可知导函数可以因式分解为f'(x)=x2+(1-a)x-a=(x-a)(x+1)，由此可知方程f'(x)=0有两个实根HYPERLINK\l"bookmark29"\o"CurrentDocument"x=a，x=-1，由于a的范围未知，要讨论函数/(x)=!x3+_ax2-ax-a的i232单调性，需要讨论两个根的大小，所以这里分a<-1，a=-1，a>-1三种情况进行讨论：当a<-1时，f(x)，f'(x)随x的变化情况如下：x(-3,a)a(a,-1)-1(-1,+3)f'(x)+00+f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以，函数f(x)的单调递增区间为(p,a)和(-1,+3)，单调递减区间为(a,-1).当a=-1时，f'(x)>0在R上恒成立，所以函数f(x)的单调递增区间为(-3,+3)，没有单调递减区间.当a>-1时，f(x)，f'(x)随x的变化情况如下：x(-3,一1)-1(-1,a)a(a,+3)f'(x)+00+f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以，函数fG)的单调递增区间为(-3,-1)和(a,+3),单调递减区间为(-1,a).综上所述，当a<-1时，函数fG)的单调递增区间为(-3,a)和(-1,+3),单调递减区间为(a,-1)；当a=-1时，函数fG)的单调递增区间为(-3,+3)，没有单调递减区间；当a>-1时，函数fG)的单调递增区间为(-3,-1)和(a,+3)，单调递减区间为(-1,a).点评：这道题之所以要分情况讨论，是因为导函数两个根的大小不确定，而两根的大小又会影响到原函数的单调区间，而由于aeR，所以要分a<-1，a=-1，a>-1三种情况，这里注意不能漏：a=-1的情况导函数的根的存在性讨论实例2：求函数fG)=%3+ax2+x的单调区间分析：这道题跟实例1一样，可以用求导法讨论单调区间，对函数f(x)=x3+ax2+x进行求导可以得到导函数f'(x)=3x2+2ax+1，观察可以发现，该导函数无法因式分解，故无法确定方程3x2+2ax+1=0是否有实根，因此首先得考虑一下方程是否有解，所以我们可以求出根判别办=4a2-12，若A=4a2-12<0即-富
0在R上恒成立，所以f(x)在R上单调递增；若A=4a2-12=0即a=±挡，方程3x2+2ax+1=0有两个相等的实根x=x=-a，即f(x)>0在R上恒成立，所以f(x)在R上单调递增；123若A=4a2-12>0即a<-<3或a><3，则方程3x2+2ax+1=0有两个不同实根，由求根
公式
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可解得x=或*2一3,x=或+扑2一3，显然x0，若xe(0,e]时，g(x)的最小值是3,求实数a的值.(e是自然对数的底数)分析：由题意可以求得g(x)=ax-lnx，且函数g(x)的定义域为(0,+3)，已知的是函数g(x)在(0,e］上的最小值是3,而函数最值的讨论通常是以单调性的讨论为基础，所以可以先考虑函数g(x)在(0,e］上的单调性，因此对g(x)进行求导，得到导函数g'(x)=a—I=竺，因为a>0，所以令g'(x)=0解得x=1，则g(x)，g'(x)随x的变化情况如下：x(0,1〔Ia)a(1)—,+3)g'(x)0+g(x)单调递减极小值单调递增这是g(x)在(0,+3)上的单调性，而要讨论其在(0,e］上的单调性，这里涉及到e跟a的大小，也即是a是在给定区间内还是在区间外的问题，可以知道，题目中并没有条件可以让我们确定e跟1的大小关系，所以这里需要分情况讨论：a若e<—即01即a>L则g(x)在［。，勺上单调递减，在(Le］上单调递增，所以aeIa)\a_(1\g(x)=g——1+Ina，令1+Ina=3，解得a=e2，满足条件.minIa)综上所述，所求实数a的值为e2.点评：这道题实质上就是讨论函数在给定区间上的单调性，在这道例题中，导函数存在唯一的实根，所以可以确定原函数g(x)在定义域(0,+3)上的单调性，而要讨论其在区间(0,e］的单调性，则涉及到e跟1的大小关系，也就是确定导a函数等于零的点跟给定区间的关系.这道题中如果把a的范围改为aeR，问题就稍微复杂一点，首先得考虑导函数g'(x)=a——=——-根是否存在，可以发现，xx如果a=0，则不存在导函数等于零的点，此时g'(x)=a—1=—1<0，函数g(x)xx在(0,e］上单调递减；而如果a。0，则导函数存在唯一的实根上，其中a。0又a包含了两种情况：a<0和a>0，如果a<0，那么上<0，—任(0,+3)，此时aag‘(x)=a—1—竺二1<0，函数g(x)在(0,e］上单调递减；至于a>0的情况，讨xx论如实例3.分类讨论思想是对研究对象进行分类，简化所要研究的对象，它是解决问题的一种逻辑
方法
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，也是锻炼人思维模式的方法，但在分类讨论时要明确讨论的对象以及按什么标准进行分类，做到不重复、不遗漏.导数中的分类讨论在历年高考中也是经常出现，主要是在研究函数的单调性、极值与最值中应用比较多.导数问题中分类讨论的方法摘要：近年，高考解答题对导数部分的考察几乎都会涉及到对某个参数的分类讨论，而考生的在这一题中的得分率并不高。主要原因有两个，一是看不懂题意，二是不会分类讨论。而分类讨论在高考中处于重要的“地位”：分类讨论思想是历年高考的必考内容，它不仅是高考的重点与热点，而且是高考的难点。每年在中高档题甚至在低档题中都设置分类讨论问题，通过分类讨论考查推理的严谨性和分析问题解决问题的能力。本人在几年的教学生涯中，对这类问题作了一定的探讨，并总结出了导数问题中解答问题的步骤及引起分类讨论的原因。关键词：单调区间，极值，分类，最值，取值范围为了更好的解决导数中分类讨论的问题，笔者建议按照下列步骤来解决导数解答题求导f'3)令广(x)=0求出f'(x)=0的根作出导数的图像或等价于导数的图像(一般是二次函数或一次函数的图像)由图像写出函数的单调区间，极值，或最值规范了步骤后，在解题过程中涉及到的分类讨论一般有：方程f'(x)=0的类型引起的讨论、根的存在引起的讨论、根的大小引起的讨论、画图像时开口或斜率的讨论、根与给定区间:或定义域的端点的大小的讨论)下面笔者结合若干例题对上述的分类讨论方法作一一阐述…2、例1：若函数f(x)=ax+—+lnx(aN0)，求函数的单调区间。xyt解：f<(x)=a-A+1=axi±xz2(x>0)TOC\o"1-5"\h\zx2xx2令f'(x)=0，即：ax2+x-2=0(注意这里方程的类型需要讨论)若a=0，贝l」x=2,作出g(x)=x-2的图像，由图像可知f(x)在(0,2)上为减函数，在(2，+8)上为增函数/HYPERLINK\l"bookmark112"\o"CurrentDocument"若a>0,则A=1+8a>0,'由ax2+x-2=0，得—1—%1+8。<0,X2>0作出h(x)=ax2+X—2的图像，由图像可知f(x)在(0,x2)上为减函数，在(x2，q)上为增函数综上所述：a=0时，f(x)在(0,2)上为减函数，在(2,+8)上为增函数a>0时，f(尤)在(0,1+2''+")上为减函数在(-1+\.1+8。，+8)上为增函数2a例2：(08全国高考)已知函数f(x)=x3+ax2+x+1，aER，讨论函数f(x)的单调区间解：f'(x)=3x2+2ax+1,令f'(x)=3x2+2ax+1=0(注意这里根的存在需要讨论)A=4a2一12则f(x)在A上为增函数—%；a2—3—a+扣，a2—3—a由f'(x)=3x2+2ax+1=0得，若A=4a2—12<0，即—v;30,即a<一・]3或a>板3x331x，2综上所述：-再m时，f(x)在(-8,一a一；a2一3)或(一a+；a2一3，+8)—a—va2—3-a+x；a2—3、，,…上为增函数，在(3，3)上为减函数例3.(2010北京)已知函数f(x)=In(1+Qf+kx2(k巳0)。求f(x)的单调区间。1x(kx+k—1)z八解：f⑴=T+奴=1+x(X>—1)令f'(x)=0，即：x(kx+k—1)=0(这里需要对方程kx+k—1=0的类型讨论)若k=0，则ff(x)=—1+xf(x)在(-1,0)上为增函数，在(0,+8)上为减函数若k/0,由x(kx+k—1)=0得，x=0或x=1—1>—1(这里需要对两个根的大小进行讨论)k,x2若k=1，则f(x)=>0，f(x)在(-1,+8)上为增函数1+x若01，则f(x)在(—1,^—1)或(0,+8)上为增函数k在d-一1,0)上为减函数k综上所述：若k=0，f(x)在(-1,0)上为增函数，在(0，+8)上为减函数若01，f(x)在(—1,1—1)或(0,+8)上为增函数k在d-一1,0)上为减函数k例4.(2009北京理改编)设函数，3)=谁奴，求函数/(尤)的单调区间解：ffM=ekx+kxekx=ekx(kx+l)令/r(x)=0,即奴+1=0(这里需要对方程奴+1=°的类型讨论)若k=0,则广⑴=1>。，/(尤)在R上为增函数若k#o则由丘+i=o得，x=-i(这里需要对y^kx+\的k斜率讨论)若k>0则f⑴在(一8,一1)上为减函数，在(-1,+8)上为增函数TOC\o"1-5"\h\zHYPERLINK\l"bookmark127"\o"CurrentDocument"kk若k<0,则f(X)在(-8,-1)上为增函数，在(-!，+8)上为减函数HYPERLINK\l"bookmark136"\o"CurrentDocument"kk综上所述：若k=0，f(x)在R上为增函数若k>0则f(x)在(-8,-—)上为减函数，在(-丁，+8)上为增函数HYPERLINK\l"bookmark139"\o"CurrentDocument"kk若k<0，则f(x)在(-8,-—)上为增函数，在(-「+8)上为减函数HYPERLINK\l"bookmark145"\o"CurrentDocument"kk例5：(海南2011四校联考)p+2-f(x)=2lnx-2x-3,g(x)=(p-2)x+3x若对任意的xG[1,2],f(x)>g⑴恒成立，求实数p的取值范围解：f(x)的定义域为(0，+8)设龙(x)=f(x)-g(x)=2lnx-px-P+2x—px2+2x+p+2设h'(x)=x2令设h'(x)=0,即一px2+2x+p+2=0(对方程类型的讨论)若p=0,则设h'(x)=则h(x)在[1,2]上为增函数，h(x)=h(1)=-2,不符合要求min若p/0,由—px2+2x+p+2=0得p+2x=-1^x=（对两根的大小，定义域的端点、给定区间的端点大小的讨论）p若pp^=T,即p=-1,则"(xy=h(1)=0,符合题意若乙^v-1,即-1vpv0,则h(x)min=h(1)=-2p-2v0，不符合题意若-1vv0,即—2vpv-1,则h(x).=h(1)=-2p—2>。，符合题意若乙^=0,即〃=-2，则龙⑴心=h（1）=2>0，符合题意y*若0vp+^v1,即pv-2,则h(x)m.n=h(1)=-2p-2>0，符合题意若1vP^2v2,即p>2,则h(1)=-2p-2v0，不符合题意P-101若P^-2=2,即p=2,则h⑴=-2v0，不符合题意P图略p+2若>2,即00时f(x)>0，求a的取值范围f'(x)=ex-2ax-1令fXx）=ex-2ax-1=0（此方程是个超越方程，故Ji=y+=2t3A+1根的讨论转换成两个函数的交点的问题）即ex=2ax+1令y=ex，y=2ax+1易求得y=ex在A的切线的斜率为1I「1显然若有2a<1,即a<-则有ex>2ax+1恒成立^2即fr(x)=ex-2ax-1>0恒成立所以x>0,时f(x)>f(0)=0，即f(x)>0若有2a>1，a>2则显然存在区间(0，x0)使得xe(0,x)时，有ex<2ax+1，即fr(x)=ex-2ax-1v0即存在xe(0,x0)，使得f(x)vf(0)=01综上所述：a<3总结：总之规范解题步骤，弄清分类讨论的原因，相信导数问题中涉及到参数的分类讨论不会是个困难的问题.
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