3.3 垂径定理第2课时 垂径定理的逆定理【基础练习】知识点1 垂径定理的逆定理1.如图所示,根据垂径定理及其逆定理填写你认为正确的结论.(1)若MN⊥AB,垂足为C,MN为直径,则 , , ; (2)若AC=BC,MN为直径,AB不是直径,则 , , ; (3)若AM=BM,MN为直径,则 , , . 2.如图,AB是☉O的直径,CD为弦,BC=BD,若CD=4,则CM等于( )A.1B.2C.3D.43.如图,AB是☉O的一条弦(非直径),C是弦AB的中点,连结OC,AC=2cm,OC=1cm,则☉O的半径为( )A.1cmB.2cmC.3cmD.5cm4.有下列四个条件:①经过圆心;②垂直于弦;③平分弦;④平分弦所对的弧.由上述四个条件组成的命题中,是假命题的是( )A.①②⇒③④B.①③⇒②④C.①④⇒②③D.②③⇒①④5.如图,CD是☉O的直径,AB是弦(非直径),AB与CD相交于点M.从以下四个条件中任取一个,其中能得到CD⊥AB的有 .(填序号) ①AM=BM;②OM=CM;③AC=BC;④AD=BD.6.如图,☉O的两条弦AB∥CD(AB不是直径),E为AB的中点,连结EC,ED.(1)直线EO与AB垂直吗?请说明理由;(2)求证:EC=ED.知识点2 垂径定理的逆定理的应用7.如图,一条公路弯道处是一段圆弧AB,点O是这条弧所在圆的圆心,C是AB的中点,OC与AB相交于点D.已知AB=120m,CD=20m,那么这段弯道所在圆的半径为( )A.200mB.2003m C.100m D.1003m8.如图,在残破的圆形工件上量得一条弦AB=16,AB的中点C到AB的距离CD=4,求这个圆形工件的半径.【能力提升】9.有下列命题:(1)垂直于弦的直线平分弦;(2)平分弦的直径必垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;(3)平分弦的直线必过圆心;(4)弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦.其中正确的命题有( )A.1个B.2个C.3个D.4个10.如图,☉O的直径AB与弦CD相交于点E,且CE=DE,∠A=30°,OC=4,那么CD的长为( )A.23B.4C.43D.811.如图,AB,AC是☉O的两条弦,M,N分别为AB,AC的中点,MN与AB,AC分别交于点E,F.判断△AEF的形状并给予证明.12.如图,在☉O中,DE是☉O的直径,AB是☉O的弦,AB的中点C在直径DE上.已知AB=8cm,CD=2cm.(1)求☉O的面积;(2)连结AE,过圆心O向AE作垂线,垂足为F,求OF的长.13.如图所示,隧道的截面由圆弧AED和矩形ABCD构成,矩形的长BC为12m,宽AB为3m,隧道的顶端E(圆弧AED的中点)高出道路(BC)7m.(1)求圆弧AED所在圆的半径;(2)如果该隧道内设双行道,现有一辆货运卡车高6.5m,宽2.3m,那么这辆货运卡车能否通过该隧道?答案1.(1)AC=BC AN=BN AM=BM(2)MN⊥AB AN=BN AM=BM(3)AN=BN AC=BC MN⊥AB[解析](1)由垂径定理可知;(2)由结论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧;(3)平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.2.B3.D4.B [解析]垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的弧;平分弧的直径垂直平分弧所对的弦;垂直平分弦的直线必过圆心,且平分弦所对的弧,故本题选B.5.①③④6.解:(1)直线EO与AB垂直.理由:如图,连结EO并延长交CD于点F.∵EO过点O,E为AB的中点,AB不是直径,∴EO⊥AB.(2)证明:∵EO⊥AB,AB∥CD, ∴EF⊥CD.∵EF过点O,∴CF=DF,∴EC=ED.7.C [解析]如图,连结OA.∵C是AB的中点,OC与AB相交于点D,∴AB⊥OC,AD=12AB=12×120=60(m).在Rt△AOD中,有OA2=AD2+OD2.设OA=rm,则OD=r-CD=(r-20)m,∴r2=602+(r-20)2,解得r=100.8.解:∵CD⊥AB,C是AB的中点,∴圆心在直线CD上.设圆心为O,连结OB.设☉O的半径为r,则OD=r-4.∵OD⊥AB,∴BD=12AB=8.在Rt△OBD中,OB2=OD2+BD2,即r2=(r-4)2+82,解得r=10,故这个圆形工件的半径为10.9.A [解析](1)垂直于弦的直径平分弦,故本选项错误;(2)平分弦(不是直径)的直径必垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧,故本选项错误;(3)垂直于弦且平分弦的直线必过圆心,故本选项错误;(4)弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦,故本选项正确.则正确的命题有1个.故选A.10.C [解析]∵☉O的直径AB与弦CD相交于点E,且CE=DE,∴AB⊥CD.∵∠A=30°,OA=OC,∴∠A=∠ACO=30°,∴∠COB=60°,∴OE=12OC=2,∴CE=42-22=23,∴CD=43.故选C.11.解:△AEF是等腰三角形.证明:如图,连结OM,ON,分别交AB,AC于点P,Q.∵M,N分别为AB,AC的中点,∴OM⊥AB,ON⊥AC,∴∠MPE=∠NQF=90°,∴∠PEM=90°-∠M,∠QFN=90°-∠N.∵OM=ON,∴∠M=∠N,∴∠PEM=∠QFN.又∵∠AEF=∠PEM,∠AFE=∠QFN,∴∠AEF=∠AFE,∴AE=AF,即△AEF是等腰三角形.12.解:(1)连结OA,如图所示.∵C为AB的中点,AB=8cm,∴AC=4cm,AB⊥DE.设☉O的半径为rcm,则OC=(r-2)cm.在Rt△OAC中,由勾股定理,得OC2+AC2=OA2,即(r-2)2+42=r2,解得r=5,∴☉O的面积=πr2=π×25=25π(cm2).(2)∵OC=OD-CD=5-2=3(cm),∴EC=EO+OC=5+3=8(cm),∴AE=AC2+EC2=42+82=45(cm).∵OF⊥AE,∴EF=12AE=12×45=25(cm),∴OF=EO2-EF2=25-20=5(cm).13.解:(1)如图①,设圆弧AED所在圆的圆心为O,半径为Rm,连结OE交AD于点F,连结OA,OD.由垂径定理的逆定理,得OF垂直平分AD,所以AF=6m,OF=R-(7-3)=(R-4)m.在Rt△AOF中,由勾股定理,得AF2+OF2=OA2,即62+(R-4)2=R2,解得R=6.5,即圆弧AED所在圆的半径为6.5m.(2)如图②,在ED上取点H,过点H作HG⊥OE于点G,且GH=2.3m.由(1)知,圆弧AED所在圆的半径OH=6.5m.在Rt△OGH中,由勾股定理,得OG=6.52-2.32≈6.08(m),所以点G与BC的距离约为7-6.5+6.08=6.58(m)>6.5m,故这辆货运卡车能通过该隧道.
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