机械行业工程管理控制基础

？机械工程控制根底？〔修订本〕．陈康宁〔主编〕．西安交通大学出版社，１９９７年１１月第１版习题解答山东理工大学机械工程学院机电工程系２０２１年绪论复习思考题控制论的中心思想是什么？解答：它抓住一切通讯和控制系统所共有的特点，站在一个更概括的理论高度提醒了它们的共同本质，即通过信息的传递、加工处理和反响来进展控制，这就是控制论的中心思想。机械工程控制论的研究对象及任务是什么？解答：机械工程控制论实质上是研究机械工程中广义系统的动力学问题。具体地说，它研究的是机械工程技术中的广义系统在一定的外界条件〔即输入或鼓励，包括外加控制与外加干扰〕作用下，从系统的一定的初始状态出发，所经历的由其内部的固有特性〔即由系统的构造与参数所决定的特性〕所决定的整个动态历程：研究这一系统及其输入、输出三者之间的动态关系。从系统、输入、输出三者之间的关系出发，根据条件与求解问题的不同，机械工程控制论的任务可以分为以下五方面〔１〕系统和输入求系统的输出〔响应〕，并通过输出来研究系统本身的有关问题，即系统分析问题；〔２〕己知系统和系统的理想输出， 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 输入，使输出尽可能符合给定的最正确要求，即最优控制问题；〔３〕输入和理想输出，设计系统，使得输出尽可能符合给定的最正确要求，即最优设计问题；〔４〕系统的输入和输出，求系统的构造与参数，即建立系统的数学模型，即系统辨识问题；〔５〕系统和输出，识别输入或输入中的有关信息，此即滤波与预测问题。什么是信息及信息的传递？试举例说明。解答：信息：一切能表达一定含义的信号、密码、情报和消息。信息传递：是指信息在系统及过程中以某种关系动态地传递，或称转换。如图题１-１所示机床加工工艺系统，将工件尺寸作为信息，通过工艺过程的转换，加工前后工件尺寸分布有所变化，这样，研究机床加工精度问题，可通过运用信息处理的理论和方法来进展。图题STYLEREF１\s１１工艺过程中信息的传递工艺过程毛坯尺寸工件尺寸x０nn０y么是反响及反响控制？试举例说明。解答：反响：所谓信息的反响，就是把一个系统的输出信号不断直接地或经过中间变换后全部或局部地返回，再输入到系统中去。如果反响回去的讯号〔或作用〕与原系统的输入讯号〔或作用〕的方向相反，那么称之为“负反响〞；反响回去的信号〔或作用〕与系统的输入信号〔或作用〕的方向一样，那么称之为“正反响〞。举例１：图题１-２是一个薄膜反响式径向静压轴承。图题１-２(a)是其构造示意图，图题１-２(b)是其方框图。当主轴受到负荷W后，产生偏移e，因而使轴承下油腔压力p２增加，轴承上油腔压力p１减小，这样，与之相通的薄膜反响机构的下油腔压力亦随之增加，上油腔压力那么减小，从而使薄膜向上产生凸起变形δ，因此薄膜下半部高压油输入轴承的通道扩大，液阻下降，从而使轴承下部压力上升。而基于与此相反的理由，轴承上半部压力减小，于是轴承下半部油腔产生反作用力，与负荷相平衡，以减少偏移量e，甚至完全消除偏移量e，即到达“无穷大〞的支承刚度。图题STYLEREF１\s１SEQ图题\*ARABIC\s１２静压轴承薄膜反响控制系统举例２：以数控机床工作台的驱动系统为例。开环控制：一种简单的控制 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 是根据控制装置发出的一定频率和数量的指令脉冲驱动步进电机，以控制工作台或刀架的移动量，而对工作台或刀架的实际移动量不作检测，其工作原理如图１-５(a)所示。这种控制方式简单，但问题是从驱动电路到工作台这整个“传递链〞中的任一环的误差均会影响工作台的移动精度或定位精度。闭环控制：为了提高控制精度，采用图１-１(b)所示的反响控制，以检测装置随时测定工作台的实际位置(即其输出信息)；然后反响送回输入端，与控制指令比较，再根据工作台实际位置与目的位置之间的误差，决定控制动作，到达消除误差的目的。图题STYLEREF１\s１SEQ图题\*ARABIC\s１３两种控制方式日常生活中有许多闭环和开环控制系统，试举例说明。解答：普通电风扇、普通洗衣机、全自动洗衣机在顺序控制模式下、电动搅拌机等均属开环控制。电冰箱、电饭锅、空调等均属闭环控制。拉普拉斯变换的数学方法复习思考题拉氏变换的定义是什么？MACROBUTTONMTEditEquationSection２EquationChapter２Section１SEQMTEqn\r\h\*MERGEFORMATSEQMTSec\r１\h\*MERGEFORMATSEQMTChap\r２\h\*MERGEFORMAT解：有时间函数f(t)，t≥０，那么f(t)的拉氏变换记作：L[f(t)]或F(s)，并定义为MACROBUTTONMTPlaceRef\*MERGEFORMATSEQMTEqn\h\*MERGEFORMAT(SEQMTChap\c\*Arabic\*MERGEFORMAT２-SEQMTEqn\c\*Arabic\*MERGEFORMAT１)s为复数，。称f(t)为原函数，F(s)为象函数。假设式(２-１)的积分收敛于一确定的函数值，那么f(t)的拉氏变换F(S)存在，这时f(t)必须满足：①在任一有限区间上，f(t)分段连续，只有有限个连续点，如图２-f１的ab区间。②当t→∞时，f(t)的增长速度不超过某一指数函数，即满足[f(t)]≤Meat式中M、a均为实常数。这一条件是使拉氏变换的被积函数f(t)e＿st绝对收敛，由下式看出因为所以只要是在复平面上对于Re(s)＞a的所有复数s，都能使式(２-１)的积分绝对收敛，那么Re(s)＞a为拉氏变换的定义域，a称作收敛坐标，见图２-f２。图STYLEREF１\s２f１在[a，b]上分段连续０f(t)tba图STYLEREF１\s２f２拉氏变换定义域a０Im(s)Re(s)定义域δ(t)，１(t)，t，sinωt，cosωt，eat，tn的拉氏变换是什么？解：拉氏变换的线性性质、微分定理、积分定理、时域的位移定理、复域位移定理、初值定理、终值定理、卷积定理是什么？如何应用？解答：〔１〕线性性质：假设有常数K１，K２，函数f１(t)，f２(t)，且L[f１(t)]=F１(s)，L[f２(t)]=F２(s)，那么MACROBUTTONMTPlaceRef\*MERGEFORMATSEQMTEqn\h\*MERGEFORMAT(SEQMTChap\c\*Arabic\*MERGEFORMAT２-SEQMTEqn\c\*Arabic\*MERGEFORMAT２)〔２〕微分定理：假设f(t)的拉氏变换为F(s)，那么MACROBUTTONMTPlaceRef\*MERGEFORMATSEQMTEqn\h\*MERGEFORMAT(SEQMTChap\c\*Arabic\*MERGEFORMAT２-SEQMTEqn\c\*Arabic\*MERGEFORMAT３)f(０)为t=０时的f(t)值。此定理需考虑在t＝０处是否有断点。如果在t＝０处有断点，f(０－)≠f(０＋)，那么该定理需修改成f(０＋)为由正向使t→０时的f(t)值；f(０—)为由负向使t→０时的f(t)值；进而可推出f(t)的各阶导数的拉氏变换：MACROBUTTONMTPlaceRef\*MERGEFORMATSEQMTEqn\h\*MERGEFORMAT(SEQMTChap\c\*Arabic\*MERGEFORMAT２-SEQMTEqn\c\*Arabic\*MERGEFORMAT４)式中f(i)(０)〔０＜i＜n〕表示f(t)的i阶导数在t=０时的取值。如果在t＝０处有断点，f(０－)≠f(０＋)，那么该定理需修改成式中f(i)(０＋)〔０＜i＜n〕表示f(t)的i阶导数在t从正向趋近于零时的取值。f(i)(０—)〔０＜i＜n〕表示f(t)的i阶导数在t从负向趋近于零时的取值当初始条件均为零时，即那么有〔３〕积分定理假设f(t)的拉氏变换为F(s)，那么MACROBUTTONMTPlaceRef\*MERGEFORMATSEQMTEqn\h\*MERGEFORMAT(SEQMTChap\c\*Arabic\*MERGEFORMAT２-SEQMTEqn\c\*Arabic\*MERGEFORMAT５)是对不定积分的拉普拉斯变换。式中，是在t=０时的值。如果f(t)在t＝０处包含一个脉冲函数，那么，此时，必须将上述定理修正如下：式中，是在t=０＋时的值；，是在t=０—时的值。对于定积分的拉普拉斯变换，如果f(t)是指数级的，那么上述定理修改如下：如果f(t)在t＝０处包含一个脉冲函数，那么，此时依此类推如果，该定理也要修正成〔４〕时域的位移定理假设f(t)的拉氏变换为F(s)，对任一正实数a，有MACROBUTTONMTPlaceRef\*MERGEFORMATSEQMTEqn\h\*MERGEFORMAT(SEQMTChap\c\*Arabic\*MERGEFORMAT２-SEQMTEqn\c\*Arabic\*MERGEFORMAT６)f(t－a)为延迟时间a的函数f(t)，当t＜a时，f(t)＝０。〔５〕复域位移定理f(t)的拉氏变换为F(s)。对任一常数a〔实数或复数〕，有MACROBUTTONMTPlaceRef\*MERGEFORMATSEQMTEqn\h\*MERGEFORMAT(SEQMTChap\c\*Arabic\*MERGEFORMAT２-SEQMTEqn\c\*Arabic\*MERGEFORMAT７)〔６〕初值定理假设函数f(t)及其一阶导数都是可拉氏变换的，那么函数f(t)的初值为MACROBUTTONMTPlaceRef\*MERGEFORMATSEQMTEqn\h\*MERGEFORMAT(SEQMTChap\c\*Arabic\*MERGEFORMAT２-SEQMTEqn\c\*Arabic\*MERGEFORMAT８)即原函数f(t)在自变量t趋于零〔从正向趋于零〕时的极限值，取决于其象函数F(s)的自变量s趋于无穷大时sF(s)的极限值。〔７〕终值定理假设函数f(t)及其一阶导数都是可拉氏变换的，并且除在原点处唯一的极点外，sF(s)在包含jω轴的右半s平面内是解析的〔这意味着当t→∞时f(t)趋于一个确定的值〕，那么函数f(t)的的终值为MACROBUTTONMTPlaceRef\*MERGEFORMATSEQMTEqn\h\*MERGEFORMAT(SEQMTChap\c\*Arabic\*MERGEFORMAT２-SEQMTEqn\c\*Arabic\*MERGEFORMAT９)〔８〕卷积定理假设，那么有MACROBUTTONMTPlaceRef\*MERGEFORMATSEQMTEqn\h\*MERGEFORMAT(SEQMTChap\c\*Arabic\*MERGEFORMAT２-SEQMTEqn\c\*Arabic\*MERGEFORMAT１０)式中，积分，称作f(t)和g(t)的卷积。用局部分式法求拉氏反变换的方法。解答：〔１〕F(s)无重极点的情况F(s)总是能展开为下面简单的局部分式之和：MACROBUTTONMTPlaceRef\*MERGEFORMATSEQMTEqn\h\*MERGEFORMAT(SEQMTChap\c\*Arabic\*MERGEFORMAT２-SEQMTEqn\c\*Arabic\*MERGEFORMAT１１)式中K１、K２、…、Kn为待定系数〔系数Ki为常数，称作极点s＝pi上的留数〕。MACROBUTTONMTPlaceRef\*MERGEFORMATSEQMTEqn\h\*MERGEFORMAT(SEQMTChap\c\*Arabic\*MERGEFORMAT２-SEQMTEqn\c\*Arabic\*MERGEFORMAT１２)式中pi为A(s)＝０的根，。求得各系数后，那么F(s)可用局部分式表示MACROBUTTONMTPlaceRef\*MERGEFORMATSEQMTEqn\h\*MERGEFORMAT(SEQMTChap\c\*Arabic\*MERGEFORMAT２-SEQMTEqn\c\*Arabic\*MERGEFORMAT１３)因从而可求得F(s)的原函数为MACROBUTTONMTPlaceRef\*MERGEFORMATSEQMTEqn\h\*MERGEFORMAT(SEQMTChap\c\*Arabic\*MERGEFORMAT２-SEQMTEqn\c\*Arabic\*MERGEFORMAT１４)当F(s)的某极点等于零，或为共轭复数时，同样可用上述方法。注意，由于f(t)是个实函数。假设p１和p２是一对共轭复数极点，那么相应的系数K１和K２也是共轭复数，只要求出K１或K２中的一个值，另一值即可得。〔２〕F(s)有重极点的情况假设F(s)有r个重极点p１，其余极点均不一样，那么式中K１１、K１２、…、K１r的求法如下：MACROBUTTONMTPlaceRef\*MERGEFORMATSEQMTEqn\h\*MERGEFORMAT(SEQMTChap\c\*Arabic\*MERGEFORMAT２-SEQMTEqn\c\*Arabic\*MERGEFORMAT１５)其余系数Kr＋１、Kr＋２、…、Kn的求法与第一种情况所述的方法一样，即求得所有的待定系数后，F(s)的反变换为用拉氏变换求解微分方程的步骤。解答：用拉氏变换解线性常微分方程，首先通过拉氏变换将常微分方程化为象函数的代数方程，进而解出象函数，最后由拉氏反变换求得常微分方程的解。习题√试求以下函数的拉氏变换，假设当t＜０时f(t)＝０。〔用和角公式展开〕〔１〕解：利用拉氏变化的线性叠加特性〔２〕解法１：利用cos１０t的拉氏变换结果和复数域位移定理解法２：直接按定义并与cosωt的拉氏变换进展比较解法３：直接按定义求解解法４：直接套用教材表２-１中第１４项结果〔３〕〔用和角公式展开〕解法１：利用和角公式展开，然后利用拉氏变换的线性叠加性所以解法２：直接利用定义求解，令，那么有〔１〕而〔２〕〔３〕将〔３〕式和〔２〕式代入〔１〕得【注】此题不可直接利用延时定理，因为函数不是延时函数，如果使用了延时定理，那么将改变定义域。〔４〕解法１：，利用复域平移特性得解法２：利用复域微分特性得解法３：直接按定义并与tn的拉氏变换进展比较解法４：直接按定义求解得到递推关系如下：所以解法５：直接套用教材表２-１中第９项结果√求以下函数的拉氏变换。〔１〕解：设t＜０时，f(t)＝０利用拉氏变换的线性特性〔２〕解：利用拉氏变换的性质：线性性质，复域平移特性〔３〕解：设t＜０时，f(t)＝０。利用拉氏变换线性特性、延时特性和复域平移特性【注】此题不可对第二项(t‒１)２e２t采用如下方法：因为，利用时域位移定理得，再利用复域平移定理得。这样计算的结果是错误的，原因在于：在利用时域位移定理时，将(t‒１)２的定义域变成了，而原题中(t‒１)２的定义域为。换句话说，这里(t‒１)２并不是t２的延时函数。〔４〕解法１：，如图２-２所示。所以π２π３π４π５π６π-１０１tf(t)图题２-２sin(t)sin(t－π)∙１(t－π)解法２：直接按定义求解。√利用终值定理，t→∞时的f(t)值。通过取F(s)的拉氏反变换，求t→∞时的f(t)值。解：〔１〕〔２〕根据局部分式法得所以所以所以，与〔１〕中计算结果一样。【注】此题求拉氏反变换时，可以利用教材表２-１中的第１０项。√利用初值定理，求f(０＋)和f'(０＋)的值。通过取F(s)的拉氏反变换，求f(t)，再求f'(t)，然后求f(０＋)和f'(０＋)。解：〔１〕根据拉氏变换的微分特性得知f'(t)的拉氏变换为那么再次利用初值定理得〔２〕那么结果与〔１〕中计算的一致。求图题２－５所示的各种波形所表示的函数的拉氏变换。图题２－５解：〔a〕解法１：设，那么〔见图２-５-１(a)〕由此得解法２：令根据拉氏变换的积分特性得解法３：直接利用拉氏变换定义那么〔b〕解法１：设，那么由图２-５-１(b)可知所以解法２：令根据拉氏变换的积分特性得解法３：直接利用拉氏变换定义那么〔c〕解法１：利用拉氏变换的积分特性。由图可见根据拉氏变换的积分特性得图题５-２-１f１(t)f１(t－２)１０•１(t－２)f１(t)f１(t－１)２•１(t－３)f１(t－３)１(t－１)√试求以下象函数的拉氏反变换解法１：利用局部分式法。先将F(s)展开成局部分式因为两个极点共轭，所以K２与K１共轭，即即所以解法２：查表法利用拉氏变换对照表查得解法１：利用局部分式法。先将F(s)展开成局部分式令即所以根据拉氏变换线性特性得解法２：利用拉氏变换复域平移定理及线性性质得解：利用局部分式法。先将F(s)展开成局部分式即所以解：利用局部分式法。先将F(s)展开成局部分式即解：利用局部分式法。先将F(s)展开成局部分式即那么解：利用拉氏变换的实数域位移定理〔延时定理〕得解：将F(s)展开成局部分式即所以√求以下卷积１*１解：因为，利用拉氏变换的卷积定理得对上式进展拉普拉斯逆变换得t*t解：因为，利用拉氏变换的卷积定理得对上式进展拉普拉斯逆变换得t*et解：因为，，利用拉氏变换的卷积定理得对上式进展拉普拉斯逆变换〔可查表〕得t*sint解：因为，，利用拉氏变换的卷积定理得对上式进展拉普拉斯逆变换得√用拉氏变换的方法解以下微分方程解：对微分方程等号两边同时求拉氏变换得将初始条件代入上式并整理得解得对X(s)求拉普拉斯逆变换得到解：对微分方程等号两边同时求拉氏变换得将初始条件代入上式并整理得解得对X(s)求拉普拉斯逆变换〔查表〕得到系统的数学模型复习思考题什么是数学模型？解答：数学模型是系统动态特性的数学表达式。数学模型有多种形式，如微分方程、传递函数、单位脉冲响应函数、频率响应函数及状态空间表达式等等。线性系统的特点是什么？解答：但凡能用线性微分方程描述的系统就是线性系统。线性系统有很多特点，其中最重要的特点就是它满足叠加原理。所谓叠加原理是，系统在几个外加作用下所产生的响应，等于各个外加作用单独作用的响应之和。传递函数的定义和特点是什么？解答：定义：在零初始条件下，系统输出的Laplace变换与引起该输出的输入量的Laplace变换之比。传递函数具有以下特点〔１〕传递函数的分母反映了由系统的构造与参数所决定的系统的固有特性，而其分子那么反映了系统与外界之间的联系。〔２〕当系统在初始状态为零时，对于给定的输入，系统输出的Laplace变换完全取决于其传递函数。但是，一旦系统的初始状态不为零，那么传递函数不能完全反映系统的动态历程。〔３〕传递函数分子中s的阶次不会大于分母中s的阶次。〔４〕传递函数有无量纲和取何种量纲，取决于系统输出的量纲与输入的量纲。〔５〕不同用途、不同物理元件组成的不同类型系统、环节或元件，可以具有一样形式的传递函数。〔６〕传递函数非常适用于对单输入、单输出线性定常系统的动态特性进展描述。但对于多输入、多输出系统，需要对不同的输入量和输出量分别求传递函数。另外，系统传递函数只表示系统输入量和输出量的数学关系〔描述系统的外部特性〕，而未表示系统中间变量之间的关系〔描述系统的内部特性〕。传递函数的典型环节有哪些？它们的表达式是什么？如何计算串联、并联及反响联结所构成系统的传递函数？方块图的简化法那么主要有哪些？如何应用这些法那么进展简化并计算系统的传递函数？如何推导一些简单机电系统的传递函数？信号流图的概念及梅逊公式的应用。状态空间根本概念。如何从高阶微分方程推出状态方程？如何由传递函数推出状态方程？习题列出图题３－１所示各种机械系统的运动微分方程式(图中未注明x(t)均为输入位移，y(t)为输出位移)。图题３－１解：〔a〕对y(t)点利用牛顿第二定律得即〔b〕对m利用牛顿第二定律得整理得〔c〕对y(t)点利用牛顿第二定律得整理得〔d〕对图(d)所示系统，由牛顿定律有其中∴〔e〕对m利用牛顿第二定律得整理得列出图题３－２所示系统的运动微分方程式，并求输入轴上的等效转动惯量J和等效阻尼系数B。图中T１、θ１为输入转矩及转角，TL为输出转矩。图题３－２解：对J１列写平衡方程得〔１〕〔２〕〔３〕〔４〕式中T２为J１的输出转矩，T３为J２的输入转矩，θ２为J２的转角。将〔３〕、〔４〕式代入〔２〕式，求得T２，再将求得的T２代入〔１〕式得输入轴上的等效转动惯量J为输入轴上的等效阻尼系数B为求图题３－３所示各电气网络输入和输出量间关系的微分方程式，图中ui为输入电压，uo为输出电压。MACROBUTTONMTEditEquationSection２EquationSection(Next)SEQMTEqn\r\h\*MERGEFORMATSEQMTSec\h\*MERGEFORMAT图题３－３解：〔a〕方法１：设流过LC回路的电流为i，利用基尔霍夫电压定律得〔１〕〔２〕对〔２〕式求导得〔３〕〔３〕式代入〔１〕得方法２：设流过LC回路的电流为iL，利用基尔霍夫电流定律得iL=iC即对上式求导，并整理得〔b〕方法１：设流过L的电流为i，利用基尔霍夫电压定律得消除中间变量i〔过程同(a)〕得方法２：设流过L的电流为i，流过C１、C２的电流分别为i１和i２，利用基尔霍夫电流定律得i=i１+i２即对上式求导，并整理得〔c〕方法１：设流过R１的电流为i１，流过C１的电流为i２，利用基尔霍夫电压定律得〔１〕〔２〕〔３〕由〔１〕得〔４〕〔４〕代入〔２〕并后求导得〔５〕〔５〕、〔４〕代入〔３〕后，求导，再整理得方法２：设流过R１的电流为i１，流过C１的电流为i２，流过R２、C２的电流为i，电阻C２上的电压为uC２，利用基尔霍夫电流定律得i=i１+i２即〔１〕〔２〕由式〔２〕得〔３〕将式〔３〕及其一阶导数代入〔２〕，并整理得〔d〕解法１：设流过回路的电流为i，利用基尔霍夫电压定律得〔１〕〔２〕〔１〕×C１‒〔２〕×C２得〔３〕对〔２〕求导得〔４〕〔３〕代入〔４〕并整理得或解法２：利用基尔霍夫电流定律，过程略。列出图题３－４所示机械系统的作用力f(t)与位移x(t)之间关系的微分方程。abx(t)f(t)图题３－４kBm图题３－５解：设杠杆转角为θ，对m使用牛顿第二定律得整理得如图题３－５所示的系统，当外力f(t)作用于系统时，m１和m２有不同的位移输出x１(t)和x２(t)，试求f(t)与x２(t)的关系，列出微分方程式。解：对m１使用牛顿第二定律得〔１〕对m２使用牛顿第二定律得〔２〕由公式〔２〕得〔３〕对〔１〕式等号两边同时求微分一次得〔４〕将〔３〕式表示的及其二、三阶导数代入〔４〕并整理得到求图题３－６所示的各机械系统的传递函数。x３(t)图题３－６(a)、(b)中：f(t)——输入，x(t)——输出(c)、(d)中：x１(t)——输入，x２(t)——输出解：〔a〕对m利用牛顿第二定律得即令X(s)=L[x(t)]，F(s)=L[f(t)]，在初始条件为０的条件下，等号两边同时做拉普拉斯变换得由此得该系统的传递函数为〔b〕对m利用牛顿第二定律得即令X(s)=L[x(t)]，F(s)=L[f(t)]，在初始条件为０的条件下，等号两边同时做拉普拉斯变换得由此得该系统的传递函数为x３(t)式中：，rad·s-１，〔c〕引入中间变量x３(t)，分别对x２(t)点和x３(t)点利用牛顿第二定律得令X１(s)=L[x１(t)]，X２(s)=L[x２(t)]，X３(s)=L[x３(t)]，在初始条件为０的条件下，对上两式等号两边同时做拉普拉斯变换得〔１〕〔２〕由〔１〕式得代入〔２〕式并整理得此系统的传递函数为式中：，〔d〕对x２(t)点利用牛顿第二定律得即令X１(s)=L[x１(t)]，X２(s)=L[x２(t)]，在初始条件为０的条件下，等号两边同时做拉普拉斯变换得由此得该系统的传递函数为式中：，图题３－７所示f(t)为输入力，系统的弹簧刚度为k，轴的转动惯量为J，阻尼系数为B，系统的输出为轴的转角θ(t)，轴的半径为r。求系统的传递函数。解：利用相应力学定律得即令F(s)=L[f(t)]，Θ(s)=L[θ(t)]，在初始条件为０的条件下，等号两边同时做拉普拉斯变换得所以传递函数为证明图题３－８(a)和(b)所示的系统是相似系统。图题３－７图题３－８x证明：〔a〕在３-３题中已经得到图题３-８〔a〕所示电路的微分方程为令Ui(s)=L[ui(t)]，Uo(s)=L[uo(t)]，在初始条件为０的条件下，等号两边同时做拉普拉斯变换得由此得其传递函数为〔b〕引入中间变量x，分别对x和x２利用牛顿第二定律得令X１(s)=L[x１(t)]，X２(s)=L[x２(t)]，X(s)=L[x(t)]，在初始条件为０的条件下，等号两边同时做拉普拉斯变换得消去X(s)得〔a〕和〔b〕具有相似的传递函数，故这两个系统为相似系统。比较两式可知，两者参数相似关系为或【注】假设两个系统的数学模型〔如微分方程、传递函数等〕具有一样的形式，那么称为相似系统。在相似系统数学模型中占据一样位置的物理量，称为相似量。假设某系统在阶跃输入x(t)＝１(t)作用时，系统的输出响应为，试求系统的传递函数和脉冲响应函数。解：(１)求传递函数传递函数是在初始条件为零的情况下，系统输出的拉普拉斯变换与输入的拉普拉斯变换之比。因为y(０)=１-１+１≠０，所以，题中所给的单位阶跃响应为非０初始条件下的响应，因此，不能直接利用y(t)的拉氏变换求系统的传递函数。方法１：由响应可知，系统的稳态响应为１，所以系统的静态增益为１；系统的瞬态响应有２项指数衰减项，所以，系统的传递函数有两个极点，分别为−２和−１，即系统为二阶系统，而且因为稳态响应为１，故可知系统微分方程的特解为１，由此可知，系统微分方程中不存在输入的微分项，所以，系统的微分方程形式为在考虑初始条件的情况下，对上式做拉氏变换得即亦即〔１〕〔１〕式中第一项即为系统０初始条件下的响应的拉氏变换。由单位阶跃响应得将上述结果及X(s)=１/s代入(１)式得单位阶跃响应的拉氏变换〔２〕对题中给定的单位阶跃响应求拉氏变换得〔３〕因为〔２〕和〔３〕式相等，所以〔３〕式分母与〔２〕式公分母比较得代入〔２〕式得〔４〕因为〔１〕式中第一项即为系统０初始条件下的响应的拉氏变换，所以〔４〕式中的第一项即为系统０初始条件下的响应的拉氏变换，即：所以系统的传递函数为方法２：由题中单位阶跃响应可知，系统的稳态响应为１，所以系统的静态增益为１；系统的瞬态响应有２项，所以，系统的传递函数有两个极点，分别为−２和−１，故系统在０初始条件下的单位阶跃响应〔对线性因果系统就是零状态响应〕应该具有如下形式：因为初始条件为０，所以有联立上两式解得A=１，B=−２所以，系统在０初始条件下的单位阶跃响应为其拉氏变换为输入信号为单位阶跃信号，其拉氏变换为所以，系统的传递函数为〔２〕求单位脉冲响应由传递函数的定义可知而所以所以这样求得响应为零初始条件下的响应〔零状态响应〕。运用方块图简化法那么，求图题３－１０各系统的传递函数。＋－＋－＋－R(s)C(s)(a)＋＋＋R(s)C(s)－－－＋(b)图题３－１０解：〔a〕简化过程如图题解３-１０〔a〕所示，传递函数为〔b〕简化过程如图题解３-１０〔b〕所示，传递函数为图题解３-１０〔a〕图题３-１０〔a〕的简化过程＋－＋－＋－＋－＋－＋－R(s)C(s)R(s)C(s)R(s)C(s)＋－＋－＋－R(s)C(s)＋－R(s)C(s)相加点前移分支点后移消去两个反响回路消去反响回路〔b〕图题解３-１０〔b〕图题３-１０〔b〕的简化过程分支点前移消去反响回路和并联回路消去反响回路消去反响回路＋＋＋R(s)C(s)－－－＋＋＋＋R(s)C(s)－－－＋＋R(s)C(s)－－＋R(s)C(s)－R(s)C(s)图题３－１１画出图题３－１１所示系统的方块图，并写出其传递函数。解：分别对质量m和x１(t)利用牛顿第二定律得整理得在初始条件为０的情况下，对上两式等号两边同时做拉普拉斯变换得上两式的方块图分别如图题解３-１１〔a〕、〔b〕所示。图题解３-１１〔a〕〔b〕X(s)X１(s)F(s)F(s)X１(s)X(s)＋＋〔c〕X(s)＋＋〔d〕X(s)F(s)将方块图〔a〕、〔b〕合并得系统的方块图，如图解３-１１〔c〕所示，化简得方块图〔d〕。系统的传递函数为图题３－１２x１(t)k１Bm２m１k２x(t)f(t)[说明]此题也可以先求出两个串联弹簧的等效刚度，然后用一个方程即可求出传递函数。画出图题３－１２所示系统的方块图，该系统在开场时处于静止状态，系统的输入为外力f(t)，输出为位移x(t)，并写出系统的传递函数。解：设m１的位移为x１(t)，如图题３-１２所示。分别对质量m１和m２利用牛顿第二定律得整理得在初始条件为０的条件下，对上两式等号两边同时做拉普拉斯变换得即上两式的方块图分别如图题解３-１２〔a〕、〔b〕所示。图题解３-１２〔a〕〔b〕F(s)X１(s)X(s)X(s)X１(s)〔c〕F(s)X(s)＋＋＋＋将方块图〔a〕、〔b〕合并得系统的方块图，如图解３-１２〔c〕所示，化简一次得方块图〔d〕。系统的传递函数为求图题３－１３所示系统的传递函数。图题３－１３解：利用梅逊公式〔ａ〕前向通路只有一条，该前向通路的传递函数为有两条回路，传递函数分别为因为所有两个回路具有一条公共支路，所以没有不接触回路，因此特征式Δ为因为两个回路都与唯一的前向通路相接触，故从Δ中去掉两个回路的传递函数即可得到前向通路的特征式的余因子Δ１Δ１=１将上述结果代入梅逊公式得到系统的传递函数为〔b〕前向通路有两条，这两条前向通路的传递函数分别为有两条回路，传递函数分别为因为所有两个回路具有一条公共支路，所以没有不接触回路，因此特征式Δ为因为两个回路都与两个前向通路相接触，故从Δ中去掉两个回路的传递函数即可得到两个前向通路的特征式的余因子Δ１=１Δ２=１将上述结果代入梅逊公式得到系统的传递函数为图题３－１４所示为发动机速度控制系统的方块图。发动机速度由转速测量装置进展测量。试画出该系统的信号流图。图题３－１４参考速度转速测量装置液压伺服机构负载干扰发动机实际速度解：其信号流图如图题解３-１４所示。图题解３-１４N(s)R(s)C(s)１１－１对传递函数试推导对应的状态方程表达式。解法１：〔套公式—笨方法〕。与教材式〔３-１２１〕比较得到代入教材式〔３-１３０〕得状态空间表达式为式中，u为输入变量。解法２：〔参考现代控制工程—ModernControlEngineering．［美］KatsuhikoOgata—绪方胜彦著．卢伯英，于海勋等译．北京：电子工业出版社，２０００年５月第３版〕令式中，β０，β１由下式确定代入上式得而所以状态空间表达式为【注】结果与解法１不同，这是因为状态空间表达式不是唯一的〔取决于所选取的状态变量，可能有无穷多个〕。解法３：利用拉氏反变换即令那么对上面三式做拉氏反变换得所以状态方程为输出方程为图题３－１６所示系统，以图中所标记的x１、x２、x３为状态变量，推导其状态空间表达式。u、y分别为输入、输出，α１、α２、α３是标量。图题３－１６解：由图可知所以系统的状态空间表达式为设系统的微分方程为试求系统的状态空间表达式。解：这是一个三阶系统，输入变量为u，输出变量为y。选取３个状态变量x１，x２，x３，它们分别为代入原微分方程中得故系统的状态方程和输出方程为〔合称状态空间表达式〕输出方程为给定系统传递函数为试写出它的状态空间表达式。解：〔套公式〕。与教材式〔３-１２１〕比较得到代入教材式〔３-１３０〕得状态空间表达式为式中，u为输入变量。系统的瞬态响应与误差分析复习思考题时间响应由哪两局部组成，它们的含义是什么？解答：时间响应是指系统的响应〔输出〕在时域上的表现形式，或系统的动力学方程在一定初始条件下的时域解。或者说系统在输入信号鼓励下，其输出量随时间变化的函数关系。按分类的原那么不同，时间响应有不同的分类方法。按响应的来源分：零状态响应，即初始状态为零时，由系统的输入引起的响应；零输入响应，即系统的输入为零时，由初始状态引起的响应。按响应的性质分为强迫响应项和自由响应项。对于稳定的系统，其时间响应又可分为瞬态响应项和稳态响应项。脉冲响应函数的定义及如何利用脉冲响应函数来求系统对任意时间函数输入时的输出时间响应？解答：当一个系统受到一个单位脉冲鼓励(输入)时，它所产生的反响或响应(输出〕定义为脉冲响应函数。系统对任意时间函数输入时的输出时间响应：式中g(t)为脉冲响应函数。２１０g(t)t图４-１fs一阶系统的单位脉冲响应曲线TT＝１T＝５一阶系统的脉冲响应、阶跃响应的定义及其曲线形状。解答：一阶系统的脉冲响应：一阶系统对脉冲函数的响应。曲线形状如图４-１fs所示。一阶系统的阶跃响应：一阶系统对阶跃函数的响应。曲线形状如图４-２fs所示。图STYLEREF１\s４２fs一阶系统的单位阶跃响应曲线如何描述二阶系统的阶跃响应及其时域性能指标。试分析二阶系统ωn和ζ对系统性能的影响。试分析二阶系统特征根的位置及阶跃响应曲线之间的关系。误差和稳态误差的定义以及与系统哪些因素有关。如何计算干扰作用下的稳态误差。习题√设单位反响系统的开环传递函数为求这个系统的单位阶跃响应。解法１：系统的闭环传递函数为〔假定为负反响〕所以系统的单位阶跃响应的拉氏变换为利用局部分式法计算得到，，所以对上式做拉普拉氏反变换得到单位阶跃响应为解法２：利用教材上的结论系统的闭环传递函数为〔假定为负反响〕上式等号两边比较得，解得：rad·s-１〔负根舍掉〕，这是一个过阻尼二阶震荡系统，有两个不相等的负实数极点：，，所以，该单位阶跃响应为式中：，，代入上式得阶跃响应为√设单位反响控制系统的开环传递函数为试求系统的上升时间、峰值时间、最大超调量和调整时间。解法１：直接套用教材上的结论。系统的闭环传递函数为〔假定为负反响〕等号两边比较得ωn=１rad·s-１〔负根舍掉〕，ζ。这是一个欠阻尼二阶震荡系统，所以上升时间：峰值时间：最大超调量：调整时间〔用近似公式〕：调整时间的较准确值〔用Matlab按准确的理论响应曲线测量的结果〕：解法２：直接按指标定义求解。系统的闭环传递函数为〔假定为负反响〕等号两边比较得ωn=１rad·s-１〔负根舍掉〕，ζ=０.５。这是一个欠阻尼二阶系统，其单位阶跃响应为然后按着指标的定义求解〔参见教材中的求解过程〕。√设有一闭环系统的传递函数为为了使系统对阶跃输入的响应，有约５%的超调量和２s的调整时间，试求ζ和ωn的值应等于多大。解：设允许的误差范围为δ%，系统为欠阻尼系统，那么根据题意得到(１)(２)由〔１〕式解得〔舍掉负根–０.６９〕ζ≈将δ%=５%和ζ≈０.６９代入〔２〕式解得ωn≈２.４０５rad·s-１将δ%=２%和ζ≈０.６９代入〔２〕式解得ωn≈rad·s-１√图题４－４所示系统，当输入r(t)＝１０t和r(t)＝４＋６t＋３t２时，求系统的稳态误差。图题４－４解：系统的开环传递函数为开环增益K=１０/４=２.５。复域系统误差为〔１〕解法１：利用教材的结论。这是一个１型系统，所以其单位斜坡响应的稳态误差为当r(t)＝１０t时的稳态误差为解法２：按定义推导。当r(t)＝１０t时，R(s)＝１０/s２，代入上述误差的拉氏变换式得到利用拉普拉斯变换的终值定理得系统的稳态误差为〔２〕解法１：利用教材的结论。这是一个１型系统，其静态位置、速度和加速度误差系数分别为Kp=∞，Kv=K=２.５，Ka=０根据线性系统的叠加原理可知，系统对r(t)＝４＋６t＋３t２响应的稳态误差为解法２：按定义推导。当r(t)＝４＋６t＋３t２时，，代入上述误差的拉氏变换式得到利用拉普拉斯变换的终值定理得系统的稳态误差为设题４－４中的前向传递函数变为输入分别为r(t)＝１０t，r(t)＝４＋６t＋３t２和r(t)＝４＋６t＋３t２t３时，求系统的稳态误差。解：系统的开环传递函数为其开环增益为K=１０/１=１０。复域系统误差为〔１〕解法１：利用教材的结论。这是一个１型系统，开环增益K=１０，所以其单位斜坡响应的稳态误差为当r(t)＝１０t时的稳态误差为解法２：按定义推导。当r(t)＝１０t时，R(s)＝１０/s２，代入上述误差公式得到利用拉普拉斯变换的终值定理得系统的稳态误差为〔２〕当r(t)＝４＋６t＋３t２时利用上述方法可分别求得系统对单位阶跃信号１(t)、单位斜坡信号〔t〕和加速度信号〔t２〕的稳态误差为根据线性系统的叠加特性可得系统对r(t)＝４＋６t＋３t２响应的稳态误差为〔３〕当r(t)＝４＋６t＋３t２t３时系统对信号t３的稳态误差为根据线性系统的叠加特性可得系统对r(t)＝４＋６t＋３t２t３响应的稳态误差为【注】此题所给系统是一个不稳定系统〔因为有一对共轭极点的实部大于０±j〕，所以上述计算结果毫无意义。假设将系统改成，那么系统稳定。√图题４－６为由穿孔纸带输入的数控机床的位置控制系统方块图，试求图题４－６〔１〕系统的无阻尼自然频率ωn和阻尼比ζ。〔２〕单位阶跃输入下的超调量Mp和上升时间tr。〔３〕单位阶跃输入下的稳态误差。〔４〕单位斜坡输入下的稳态误差。解：系统的前向传递函数为系统的闭环传递函数为〔１〕由闭环传递函数可知，这是一个二阶震荡系统〔２〕最大超调量：上升时间：〔３〕当r(t)＝１(t)时，R(s)＝１/s，复域系统误差为利用拉普拉斯变换的终值定理得系统对单位阶跃输入响应的稳态误差为也可以利用教材上的结论求解〔这是个１型系统，开环增益K=９。１型系统对单位阶跃输入响应的稳态误差为０〕。〔４〕当r(t)＝t时，R(s)＝１/s２，复域的系统误差为利用拉普拉斯变换的终值定理得系统对单位斜坡输入响应的稳态误差为也可以利用教材上的结论求解〔这是个１型系统，开环增益K=９。１型系统对单位斜坡输入响应的稳态误差为ess=１/K=１/９〕。√求图题４－７所示带有速度控制的控制系统的无阻尼自然频率ωn，阻尼比ζ及最大超调量Mp〔取K＝１５００，τd＝０.０１(s)〕。图题４－７解：系统的闭环传递函数为等号两边比较得rad·s-１当输入为单位阶跃信号时，R(s)=１/s，所以利用局部分式法计算得到K３=１对C(s)进展拉氏逆变换得到系统的阶跃响应为将K１、K２、K３代入上式中，并整理得令解得第一个峰值时间为将tp代入c(t)中可得到最大超调量为将ωn和ζ代入上式求得求图题４－８所示系统的静态误差系数Kp、Kv、Ka，当输入是４０t时，稳态速度误差等于多少？图题４－８解：这是一个１型系统，其开环传递函数为开环增益K=１０。静态位置误差系数静态速度误差系数静态加速度误差系数当输入是４０t时，稳态速度误差为或者【注】此题所给系统是一个不稳定系统〔可以用劳斯稳定判据判别〕±j３.６５４８〕，所以上述计算结果毫无意义。控制系统的构造如题４－９所示。〔１〕试求在单位阶跃输入信号１(t)作用下系统的稳态误差。〔２〕试求外部扰动N１(s)和N２(s)分别单独作用时系统的稳态误差。〔３〕假设R(s)＝０，N２(s)＝０，和，试求出外部扰动N１(s)为单位阶跃函数时系统的稳态误差。图题４－９图解：〔１〕由图可知求得复域的系统误差为那么在单位阶跃输入信号１(t)作用下系统的稳态误差为〔２〕外部扰动N１(s)单独作用时系统的稳态误差外部扰动N２(s)单独作用时系统的稳态误差〔３〕系统如图题４－１０所示。在输入信号为单位阶跃r(t)＝１(t)和干扰信号亦为阶跃信号n(t)＝２×１(t)作用下，试求：〔１〕当K＝４０和K＝２０时，系统的稳态误差。〔２〕假设在扰动作用点之前的前向通道中引入积分环节１/s，对稳态误差有什么影响？在扰动作用点之后引入积分环节１/s，结果又将如何？题４－１０〔图中K１应为K〕解：〔１〕由图可知求得复域系统误差为系统的稳态误差为将R(s)=１/s和N(s)=２/s代入上式得【注】此题原题可能有数据错误。当K=４０时ess=０当K=２０时ess=０〔２〕假设在扰动作用点之前的前向通道中引入积分环节１/s，那么求得复域系统误差为系统的稳态误差为将R(s)=１/s和N(s)=２/s代入上式得结果说明：在扰动作用点之前的前向通道中引入积分环节１/s，可以同时消除对阶跃型输入信号和干扰信号响应的稳态误差。假设在扰动作用点之后引入积分环节１/s，那么求得复域系统误差为系统的稳态误差为将R(s)=１/s和N(s)=２/s代入上式得结果说明：在扰动作用点之后引入积分环节１/s，可以消除对阶跃型输入信号响应的稳态误差，但不能消除由阶跃型干扰信号引起的稳态误差。系统的频率特性复习思考题什么叫频率响应？答：解线性定常系统对简谐输入信号的稳态响应特性称为频率响应。对于线性定常系统，假设输入为简谐信号，那么其稳态输出一定是同频率的简谐信号。将输出的幅值与输入的幅值之比定义为系统的幅频特性；将输出的相位与输入相位之差定义为系统的相频特性。将系统的幅频特性和相频特性统称为系统的频率特性。系统的频率特性的定义？它由哪两局部组成？机械系统的动刚度和动柔度如何表示？解假设机械系统的输入为力，输出为位移〔变形〕，那么机械系统的频率特性就是机械系统的动柔度；机械系统的频率特性的倒数就是机械系统的动刚度；当ω＝０时，系统频率特性的倒数为系统的静刚度。频率特性和单位脉冲函数的关系是什么？各典型环节的伯德图和乃奎斯特图。试述绘制系统的伯德图和乃奎斯特图的一般方法和步骤。最小相位系统与非最小相位系统的定义及本质区别。频域性能指标Mr，ωr，ωb和频宽的定义是什么？如何计算二阶系统的上述指标？如何由开环频率特性确定系统的闭环频率特性？什么叫系统辨识？为什么要进展系统辨识？在本课程学习的根底上，可用哪些方法进展系统辨识？习题√设单位反响控制系统的开环传递函数为当系统作用以下输入信号时，试求系统的稳态输出。①②③解：系统的闭环传递函数为那么①因为系统是线性系统，且输入为简谐信号，所以系统的稳态输出为其中将输入信号角频率ω=１代入上两式得所以系统的稳态输出为②过程同①，ω=２，所以所以系统的稳态输出为③因为输入为①-②，根据线性系统的叠加原理知，系统的稳态输出就是上面两个稳态响应相减，即√绘制以下各环节的伯德图①解：两个都是比例环节②解：第一个为比例环节与积分环节串联，第二个为２重微分环节，，斜率=−２０dB/dec；，斜率=４０dB/dec③解：第一个是一个比例环节与一个惯性环节串联：，，转角频率ωT=１rad∙s−１。低频渐近线：高频渐近线：，斜率−２０dB/dec第二个是一个比例环节与一个一阶微分环节串联：，，转角频率ωT=１/２rad∙s−１。低频渐近线：高频渐近线：，斜率２０dB/dec④解：第一个由一个一阶微分环节和一个惯性环节串联一阶微分环节：，，转角频率ωT=１/０.２=５rad∙s−１。低频渐近线：高频渐近线：，斜率２０dB/dec惯性环节：，，转角频率ωT=１/０.０５=２０rad∙s−１。低频渐近线：高频渐近线：，斜率−２０dB/dec第二个由一个一阶微分环节和一个惯性环节串联一阶微分环节：，，转角频率ωT=１/０.０５=２０rad∙s−１。低频渐近线：高频渐近线：，斜率２０dB/dec惯性环节：，，转角频率ωT=１/０.２=５rad∙s−１。低频渐近线：高频渐近线：，斜率−２０dB/dec⑤解：由一个比例环节、一个一阶微分环节、一个积分环节、二个惯性环节串联组成比例环节：，一阶微分环节：，，转角频率ωT=１/２=rad∙s−１。低频渐近线：高频渐近线：，斜率２０dB/dec积分环节：，斜率−２０dB/dec，惯性环节１：，，转角频率ωT=１/１=１rad∙s−１。低频渐近线：高频渐近线：，斜率−２０dB/dec惯性环节２：，，转角频率ωT=１/０.１=１０rad∙s−１。低频渐近线：高频渐近线：，斜率−２０dB/dec-１００-８０-６０-４０-２００２０４０６０L(ω)/dB１０-２１０-１１００１０１１０２１０３-１８０-１３５-９０-４５０４５９０φ(ω)/ºBodeDiagramω/rad∙s−１sys１sys２sys３sys４sys５sys−２０dB/dec−０dB/dec−２０dB/dec−４０dB/dec⑥解：由二个一阶微分环节、二个惯性环节串联组成一阶微分环节１：，，转角频率ωT=１/０.２=５rad∙s−１。低频渐近线：高频渐近线：，斜率２０dB/dec一阶微分环节２：，，转角频率ωT=１/０.５=２rad∙s−１。低频渐近线：高频渐近线：，斜率２０dB/dec惯性环节１：，，转角频率ωT=１/=２０rad∙s−１。低频渐近线：高频渐近线：，斜率−２０dB/dec惯性环节２：，，转角频率ωT=１/５=rad∙s−１。低频渐近线：高频渐近线：，斜率−２０dB/dec⑦解：一个比例环节，一个微分环节与一个比例环节串联〔可以看成一个微分环节〕，一个积分环节与一个比例环节串联〔可以看成一个积分环节〕，然后三者并联组成比例环节：，。微分环节：，。积分环节：，。⑧解：由一个比例环节，一个一阶微分环节，二重积分环节，二个惯性环节串联组成。比例环节：，一阶微分环节１：，，转角频率ωT=１/２=０.５rad∙s−１。低频渐近线：高频渐近线：，斜率２０dB/dec两重积分环节：，。惯性环节１：，，转角频率ωT=１/０.５=２rad∙s−１。低频渐近线：高频渐近线：，斜率−２０dB/dec惯性环节２：，，转角频率ωT=１/=１０rad∙s−１。低频渐近线：高频渐近线：，斜率−２０dB/dec-１５０-１００-５００５０１００１０-２１０-１１００１０１１０２１０３-２７０-２２５-１８０-１３５-９０-４５０４５９０BodeDiagramsys１sys２sys３sys４sys５sys−６０dB/dec−４０dB/dec−２０dB/dec−４０dB/decL(ω)/dBφ(ω)/ºω/rad∙s−１６８２⑨解：这是一个欠阻尼振荡环节，时间常数T=０.１s，无阻尼固有角频率ωn=１/T=１０rad∙s−１，阻尼比ζ=０.５。低频渐近线：高频渐近线：，斜率−４０dB/dec，转角频率ωT=１/T=ωn=１０rad∙s−１。⑩解：由一个比例环节、一个积分环节、一个惯性环节、一个欠阻尼振荡环节串联组成。比例环节：，积分环节：，。惯性环节：，，转角频率ωT=１/２=rad∙s−１。低频渐近线：高频渐近线：，斜率−２０dB/dec振荡环节，时间常数T=１s，无阻尼固有角频率ωn=１/T=１rad∙s−１，阻尼比ζ=０.６/(２T)=０.３。低频渐近线：高频渐近线：，斜率−４０dB/dec，转角频率ωT=１/T=ωn=１rad∙s−１。-１５０-１００-５００５０１００１０-２１０-１１００１０１１０２-３６０-３１５-２７０-２２５-１８０-１３５-９０-４５０BodeDiagramsys１sys２sys３sys４sys−２０dB/decL(ω)/dBφ(ω)/ºω/rad∙s−１−４０dB/dec−８０dB/dec绘制以下各环节的乃奎斯特图①解：②③解：，ωn=１０，ζ。，，，，因相角从０º变化到–１８０º，且终点从第３象限趋于原点，所以与负虚轴必有交点，令实部等于０，解得与虚轴的交点频率ω=ωn=１０，该点幅值和相角为峰值点：，④⑤解：，，，，与实轴交点频率与实轴交点-３-２-１０-５０-４０-３０-２０-１００１０NyquistDiagramRe(ω)Im(ω)-１００NyquistDiagramRe(ω)Im(ω)−１７⑥解：设k＞０，T＞０，Re(０)=０，Im(０)=０，Re(∞)=k/T，Im(∞)=０，，所以，Nyquist曲线是一个圆心在〔k/(２T)，０〕，半径为k/(２T)的半圆。０k/T０NyquistDiagramRe(ω)I