(完整word)小学奥数容斥原理(教师)

容斥原理森林中住着很多动物，据说狮子大王派仙鹤去统计鸟类的种数，蝙蝠跑过去对仙鹤说；“我有翅膀，我应该是属于鸟类的。”于是仙鹤就把蝙蝠统计到鸟类的种类里去了，结果得出森林中一共有80种鸟类。狮子大王又派大象去统计野兽的种类数，蝙蝠听说又来统计兽类了，急忙跑过去对大象说；“我没有羽毛，我应该是属于兽类的。”于是大象就把蝙蝠统计到兽类的种类里去了，结果统计出森林中一共有60种兽类。最后狮子大王问：“森林中共有鸟类和兽类多少种？”狡猾的狐狸听见了仙鹤和大象的统计结果，高兴地向狮子大王汇报：“这还不简单！森林中共有鸟类和兽类140种。”这个统计正确吗？同学们肯定会说：“不对！蝙蝠被算了两次，应该再减去一，是139种。”这个故事 说明 关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书 了一个数学问题，那就是被称为“容斥原理”的包含与排除问题。当需要计数的两类事物互相包含（有部分重复交叉）时，应把重复计数的部分排除掉。由此我们得到逐步排除法（容斥原理）：当两个计数部分有重复时，为了不重复计数，应从它们的和中减去重复部分。容斥原理1如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和=属于A类元素个数+属于B类元素个数一既是A类又是B类的元素个数。即AUB=A+B-AnB容斥原理2如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和二A类元素个数+B类元素个数+C类元素个数一既是A类又是B类的元素个数一既是A类又是C类的元素个数一既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。即AUBUC=A+B+C-AnB-BnC-CnA+AnBnC容斥原理1【例1J★一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？【解析】依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A类元素”，“语文得满分”称为“B类元素”，“语、数都是满分”称为“既是A类又是B类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为“A类和B类元素个数”的总和。15+12-4=23【小试牛刀】电视台向100人调查前一天收看电视的情况，有62人看过2频道，34人看过8频道，其中11人两个频道都看过。两个频道都没看过的有多少人？【解析】100-(62+34-11)=15【例2]★一个班有学生48人，每人至少参加跑步、跳高两项比赛中的一项。已知参加跑步的有37人，参加跳高的有40人，请问：这两项比赛都参加的学生有多少人？【解析】两项比赛都参加的学生人数，就是参加跑步人数、参加跳高人数重复的部分，排除掉重复部分，所得的就是全体参赛人数，也就是全班学生人数。40-(48-37)=29人。【小试牛刀】五年级96名学生都订了报纸，有64人订了少年报，有48人订了小学生报。两种报纸都订的有多少人？【解析】用左边的圆 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示订少年报的64人，右边的圆表示订小学报的48人，中间重叠部分表示两种报刊都订的人数。显然，两种报刊都订的人数被统计了两次：64+48=112人，比总人数多112-96=16人，这16人就是两种报刊都订的人数。【例3]★★实验小学各年级都参加的一次书法比赛中，四年级与五年级共有20人获奖，在获奖者中有16人不是四年级的，有12人不是五年级的。该校书法比赛获奖的总人数是多少人？【解析】由“16人不是四年级的”可知：16人是五年级和其他年级的；由“12人不是五年级的”可知：12人是四年级和其它年级的。用16+12可算出四年级加五年级以及两个其它年级的人数和，再减去20就得两个其他年级的人数，这样其他年级的人数是：(16+12-20)-2=4人，该校参加书法比赛获奖的总人数是4+20=24人。【例4]★★五一小学举行小学生田径运动会，其中24名运动员不是六年级的，28名运动员不是五年级的，已知五、六年级运动员共有32名，求五、六年级和中低年级运动员各有多少名？【解析】(24+28-32)-2=10【例5】★在100个外语教师中，懂英语的有75人，懂日语的有45人，其中必然有既懂英语又懂日语的老师。问：只懂英语的老师有多少人？【解析】显然，两种语言都懂的人在懂英语的75人中统计过一次，在懂日语的45人中又统计过一次。因此，75+45=120人，比100多出的20人就是两种语言都懂的人数。然后，从懂英语的75人中减去两种语言都懂的20人，就是只懂英语的人数了：75-20=55人。【小试牛刀】40人都在做加试的两道题，并且至少做对了其中的一题。已知做对第一题的有30人，做对第二题的有21人。只做对第一题的有多少人？【解析】19人【例6】★★在1至1000这1000个自然数中，能被5或11整除的自然数一共有多少个？【解析】如下图，小圆表示能被11整除的自然数，大圆表示能被5整除的自然数。如果把大圆内的200个自然数和小圆内90个自然数相加，阴影部分的自然数事实上被加了两次。因此要想求出：能被5或11整除的自然数的个数就应该：能被5整除的自然数的个数+能被11整除的自然数的个数一既能被5整除又能被11整除的自然数的个数=能被5或11整除的自然数的个数。【解析】能被5整除的自然数有多少个？100095=200有200个。能被11整除的自然数有多少个？1000911=90……10有90个。既能被5整除又能被11整除的自然数有多少个？1000955=18……10有18个。所以能被5或11整除的自然数的个数是：200+90-18=272个。【小试牛刀】60名同学面向老师站成一横排。老师先让同学们从左到右按照1、2、3、4、……、59、60的顺序依次报数，再让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数的同学向后转。请问：现在面向老师的学生还有多少名？【解析】从1到60中，4的倍数一共有：6094=15个，6的倍数一共有：6096=10个，既是4的倍数又是6的倍数有：60912=5个。一次都不转的学生是：60-(15+10-5)=40个，转两次的学生有5个，所以面向老师的学生还有40+5=45个。【例7】★★★有一根长是240厘米的绳子，从一端开始每隔4厘米作一个记号，同时每隔6厘米也作一个记号，然后将标有记号的地方剪断，请问：绳子一共被剪成了多少段？【解析】240厘米长的绳子每隔4厘米作一个记号，这样一共有：24094-1=59个记号；每隔6厘米作一个记号，这样一共有：24096-1=39个记号。而两者每隔12厘米重复一个记号，这样一共重复了：240912-1=19个记号。因此绳子上共有记号数是：59+39-19=79，所以绳子一共被剪成了79+1=80段。容斥原理2【例8]★★某校有28名学生参加市运动会，参加跑步类项目的有15人，参加跳类项目的有13人，参加投掷类项目的有14人，既参加跑又参加跳项目的有4人，既参加跑又参加投掷项目的有6人，既参加跳又参加投掷项目的有5人，三种项目都参加的有2人，试说明，这个报名表有误。【解析】按照赞加各个项目的详细人数，该校参加市运动会的人数为15+13+14-4-6-5+2=29人，与实际参加人数不符，所以这个报名表有误。【小试牛刀】某校六(1)班有学生45人，每人在暑假里都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？【解析】参加足球队的人数25人为A类元素，参加排球队人数22人为B类元素，参加游泳队的人数24人为C类元素，既是A类又是B类的为足球排球都参加的12人，既是B类又C类的为足球游泳都参加的9人，既是C类又是A类的为排球游泳都参加的8人，三项都参加的是A类B类C类的总和设为X。注意：这个题说的每人都参加了体育训练队，所以这个班的总人数既为A类B类和C类的总和。25+22+24-12-9-8+X=45解得X=3【例9]★★★从1至1000这1000个自然数中，不能被3、5、7中任何一个自然数整除的数一共有多少个？【解析】能被3整除的自然数有多少个？100093=333……1有333个。能被5整除的自然数有多少个？100095=200有200个。能被7整除的自然数有多少个？100097=142……6有142个。既能被3整除又能被5整除的自然数有多少个？1000915=66……10有66个。既能被3整除又能被7整除的自然数有多少个？1000921=47……13有47个。既能被5整除又能被7整除的自然数有多少个？1000935=28……20有28个。能同时被3、5、7整除的自然数的个数有多少个？10009(3X5X7)=9……55有9个。能被3、5、7中任何一个自然数整除的数一共有：333+200+142-(66+47+28)+9=457个。所以不能被3、5、7中任何一个自然数整除的数一共有：1000-543=457【小试牛刀】分母是1001的最简分数一共有多少个？【解析】这一题实际上就是找分子中不能与1001进行约分的数。由于1001=7X11X13,所以就是找不能被7,11,13整除的数。由容斥原理知：在1—1001中，能被7或11或13整除的数有（143+91+7）-（13+11+7）+1=281（个）,从而不能被7、11或13整除的数有1001-281=720（个）.也就是说，分母为1001的最简分数有720个.【例10】*★如下图，在长方形ABCD中，AD=15厘米，AB=8厘米，四边形OEFG的面积是9平方厘米。请问：阴影部分的面积是多少平方厘米?【解析】三角形ABD、三角形AFD、三角形ACD都可以AD为底，AB为高，故它们的面积都等于ADXAB32=15X832=60（平方厘米）。阴影部分面积二（三角形ABD面积+三角形ACD面积）一（三角形AFD面积-四边形DEFG面积）=（60+60）-（60-9）=69（平方厘米）。【小试牛刀】如图所示，A、B、C分别是面积为12、28、16的三张不同形状的纸片，它们重叠在一起，露在外面的总面积为38.若A与B、B与C的公共部分的面积分别为8、7，A、B、C这三张纸片的公共部分为3.求A与C公共部分的面积是多少？【解析】设A与C公共部分的面积为x，由包含与排除原理可得：⑴先“包含”：把图形A、B、C的面积相加：12+28+16=56，那么每两个图形的公共部分的面积都重复计算了1次，因此要排除掉.⑵再“排除”：56-8-7-x，这样一来，三个图形的公共部分被全部减掉，因此还要再补回.⑶再“包含”：56-8-7-x+3,这就是三张纸片覆盖的面积.根据上面的分析得：56-8-7-x+3=38，解得：x=6.【例11】★★某校五年级有120名学生，订《故事大王》的有85人，订《儿童漫画》的有90人，订《优秀作文选》的有70人，同时订《故事大王》和《优秀作文选》的有62人，同时订《儿童漫画》和《优秀作文选》的有46人，同时订这三种杂志的有21人，此外，还有5名学生没有订任何杂志，问：恰好只订了《故事大王》和《儿童漫画》的有多少人？【解析】设同时订《故事大王》和《儿童漫画》的有X人，有120-85-90-70+62+46+X-21=5,X=43,所以恰好只订《故事大王》和《儿童漫画》的有43-21=22人。容斥原理中的最值问题【例12】*★★在阳光明媚的一天下午用、乙、丙、丁四人给100盆花浇水，已知甲浇了30盆，乙浇了75盆，丙浇了80盆，丁浇了90盆，请问恰好被3个人浇过的花最少有多少盆？【解析】为了恰好被3个人浇过的花盆数量最少，那么被四个人浇过的花、两个人浇过的花和一个人浇过的花数量都要尽量多，那么应该可以知道被四个人浇过的花数量最多是30盆，那么接下来就变成乙浇了45盆，丙浇了50盆，丁浇60盆了，这时共有100-30=70盆花，我们要让这70盆中恰好被3个人浇过的花最少，这就是简单的容斥原理了，恰好被3个人浇过的花最少有45+50+60-140=15盆.【小试牛刀】甲、乙、丙同时给100盆花浇水.已知甲浇了78盆，乙浇了68盆，丙浇了58盆，那么3人都浇过的花最少有多少盆？【解析】只考虑甲乙两人情况，有甲、乙都浇过的最少为：78+68-100=46盆，此时甲单独浇过的为78-46=32盆，乙单独浇过的为68-46=22盆；欲使甲、乙、丙三人都浇过的花最少时，应将丙浇过的花尽量分散在两端.于是三者都浇过花最少为58-32-22=4盆.【小试牛刀】例题中恰好被1个人浇过的花最多有多少盆？【解析】100盆花共被浇水275次，平均每盆被浇2.75次，为了让被浇1次的花多，我们也需要被浇4次的花尽量多，为30盆，那么余下70盆共被浇155次，平均每盆被浇2.21次，说明需要一些花被浇3次才可以.我们假设70盆都被浇3次，那么多出55次，每盆花少浇2次变为被浇1次最多可以变27次，所以本题答案为27盆.某校教师至少懂得英语和日语中的一种语言。已知有35人懂英语，34人懂日语，两种语言都懂的有21人。这个学校共有多少名教师？【解析】把懂英语和懂日语的人数加起来得35+34=69人，但是，两种语言都懂的21人被统计过两次，应该从69里去掉一个21才能得出这个地区外语教师的总人数：69-21=48人。在边长是10厘米的正方形纸片中间挖掉一个小正方形后，成为一个宽度为1厘米的方框，把5个这样的方框放在桌面上（如下图）。请你算一算：桌面被这些方框所盖住的面积是多少平方厘米？【解析】（102-82）X5-12X8=172（平方厘米）张宏、王刚、李立三人练习投篮球，一共投了100次，有43次没投进，已知张宏和王刚一共投进了32次，王刚和李立一共投进了46次，王刚投进了多少次？【解析】三人投的总次数减去没投进的次数，就是三人共投进100-43=57次。张宏和王刚、王刚和李立共投进的次数为32+46=78次，这是三人共投进的次数，在加上王刚投进的次数，从中减去共投进的次数，就是王刚投进的次数，列式为78-57=21次，所以王刚投进了21次。4•育新小学举行各年级学生画展，其中有18幅画不是六年级的，20幅画不是五年级的。现在知道五、六年级共展出22幅画，请问：其他年级共展出多少幅画？【解析】其中18幅不是六年级的，换句话说，一至五年级共展出18幅，20幅不是五年级的，换句话说，就是一、二、三、四、六年级共展出20幅，从中可以看出一、二、三、四年级总张数的2倍加上五、六年级张数的和，一共是18+20=38幅，又因为五、六年级共展出22幅画，，因此一至四年级张数和的2倍是38-22=16张。从而可以求出一至四年级共展出16-2=8张。五（4）班的同学中有32人喜欢音乐，27人喜欢美术，音乐和美术都喜欢的有11人，请问：五（4）班的学生中喜欢音乐或美术的一共有多少人？【解析】通过你自己画图，观察图可以看出：32+27-11=48人，就表示五（4）班的学生中喜欢音乐或美术的一共的人数。答：五（4）班的学生中喜欢音乐或美术的一共有48人。某一个班共有学生50人，参加文艺活动的有28人，参加体育活动的有30人，并且全班每人至少参加一项活动（仅限文艺活动或体育活动），请问：这个班这两项活动都参加的有多少人？【解析】30+28=58人表示全班的总人数50人和公共部分重复统计了一次的总数量，58—50=8人，这里的8个人就是这个班这两项活动都参加的人数。分母是385的最简真分数有多少个？【解析】385=5X7X11，不超过385的正整数中被5整除的数有77个；被7整除的数有55个；被11整除的数有35个；被77整除的数有5个；被35整除的数有11个；被55整除的数有7个；被385整除的数有1个；最简真分数的分子可以有385-77-55-35+5+11+7-1=240个。一次数学小测验只有两道题，结果全班有10人全对，第一题有25人做对，第二题有18人做错。请问：两道题都做错的有几个人？【解析】我们用A圆表示第一题全对的，B圆表示第二题全对的，两圆公共部分表示两题全对的，长方形表示参加考试人数，长方形内两个圆外表示两道题全错的人数。因为第一题对的有25人，两道题全对的有10人，因此第一题对第二题错的有15人。又因为第二题18人做错，18人比15人多3人，因此这三人只能是第一题错，第二题也错，即两道题都错的有3人。在1到2004的所有自然数中，既不是2的倍数，也不是3、5的倍数的数有多少个?【解析】1到2004中是2的倍数的有1002个，3的倍数的有668个，5的倍数的有[2004/5]=400个，6的倍数的有334个，10的倍数的有[2004/10]=200个，15的倍数的有[2004/15]=133个，30的倍数的有[2004/30]=66个。所以不是2、3、5的倍数有2004-1002-668-400+334+200+133-66=535个.（“[]”表示对[]内的数取整.）有50个女孩，她们的皮肤有白的或浅黑色的，眼睛则是蓝色的或褐色的，如果有14个蓝眼睛白肤色，31个是浅黑肤色，18个是褐色眼睛，请问：褐色眼睛浅黑肤色的女孩有多少个？【解析】建议同学们画一个“统计表”，因为褐色眼睛女孩是18人，所以蓝色眼睛女孩是：50-18=32人。又因为蓝眼睛白肤色女孩是14人，所以蓝眼睛浅黑肤色女孩是32-14=18人。又因为浅黑肤色女孩是31人，所以褐色眼睛浅黑肤色女孩有31-18=13人。一个长方形长12厘米，宽8厘米，另一个长方形长10厘米，宽6厘米，它们中间重叠的部分是一个边长4厘米的正方形，求这个组合图形的面积.【解析】两个长方形如图摆放时出现了重叠（见图中的阴影部分），重叠部分恰好是边长为4厘米的正方形，如果利用两个长方形面积之和来计算被覆盖桌面的面积，那么重叠部分在两个长方形面积中各被计算了一次，而实际上这部分只需计算一次就可以了.所以，组合图形的面积=长方形面积之和-重叠部分.于是，组合图形的面积=12x8+10x6-4x4=140（平方厘米）.学校开展课外活动，共有250人参加。其中参加象棋组和乒乓球组的同学不同时活动，参加象棋组的有83人，参加乒乓球组的有86人，这两个小组都参加的有25人。问这250名同学中，象棋组、乒乓球组都不参加的有多少人？【解析】两个小组都参加的有25人因此，至少参加这两种小组的一个小组的人数是84+86—25=144人，所以，这两个小组都不参加的人数是250—144=106人。五年级122名同学参加语文、数学考试，每人至少有一门得优。已知语文65人得优，数学78人得优，求只有语文一门得优的人数。【解析】44有128位旅客，其中25人既不懂英语、又不懂法语，有98人懂英语，75人懂法语，请问：既懂英语、又懂法语的有多少人？【解析】至少懂一门外语的人数：128—25=103（人）既懂英语、又懂法语的人数：98+75—103=70（人）甲、乙、丙都在读同-一本故事书，书中有100个故事.每个人都从某一个故事开始，按顺序往后读.已知甲读了75个故事，乙读了60个故事，丙读了52个故事.那么甲、乙、丙3人共同读过的故事最少有多少个？甲40甲、工35乙25【解析】考虑甲乙两人情况，有甲乙都读过的最少为：75+60-100=35个，此时甲单独读过的为75-35=40个，乙单独读过的为60-35=25个；欲使甲、乙、丙三人都读过的书最少时，应将丙读过的书尽量分散在某端，于是三者都读过书最少为52-40=12个.