2021届上海市华东师范大学第二附属中学高三下学期4月月考数学试题及答案

绝密★启用前2020-2021学年上海市华师大二附中高三下4月月考数学卷注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上一、填空题1.已知（为虚数单位），则2.若一个圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的表面积为3.若点在抛物线上，点为该抛物线的焦点，则的值为4.圆（为参数）的圆心到直线的距离为5.展开式的二项式系数之和为，则展开式中的系数为（用数字填写答案）6.北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和，例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为，故其总曲率为，则四棱锥的总曲率为7.在数列中，若对一切都有且，则的值为8.已知函数(其中为常数，且)有且仅有3个零点，则的最小值为9.关于的不等式共有2021个整数解，则的取值范围为10.荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去（每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶），而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示，假设现在青蛙在A叶上，则跳四次之后停在A叶上的概率为11.已知的外接圆圆心为，若（为实数）有最小值，则参数的取值范围为12.关于的方程在区间上恰好有两个不等实根，则实数的取值范围为二、选择题13.已知全集，集合是的非空子集，且，则必有（）A.B.C.D.14.“”是“直线与直线平行”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件D.充要条件15.已知的反函数图像的对称中心为，则的值为（）A.B.C.D.16.设，若三个数能组成一个三角形的三条边长，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.三、解答题17.如图在三棱锥中，棱、、两两垂直，，点在上，且．（1）求异面直线和所成的角的大小；（2）求三棱锥的体积．18.若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则该函数为“依附函数”.（1）判断函数是否为“依附函数”，并说明理由；（2）若函数在定义域上“依附函数”，求的取值范围.19.由于2020年1月份国内疫情爆发，经济活动大范围停顿，餐饮业受到重大影响.3月份复工复产工作逐步推进，居民生活逐步恢复正常.李克强总理在6月1日考察山东烟台一处老旧小区时提到，地摊经济､小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机.某商场经营者陈某准备在商场门前“摆地摊”，经营冷饮生意.已知该商场门前是一块角形区域，如图所示，其中，且在该区域内点处有一个路灯，经测量点到区域边界、的距离分别为，，(为长度单位).陈某准备过点修建一条长椅（点，分别落在，上，长椅的宽度及路灯的粗细忽略不计），以供购买冷饮的人休息.（1）求点到点的距离；（2）为优化经营面积，当等于多少时，该三角形区域面积最小？并求出面积最小值.20.已知，如图，曲线由曲线：和曲线：组成，其中点为曲线所在圆锥曲线的焦点，点为曲线所在圆锥曲线的焦点.（1）若，求曲线的方程；（2）如图，作斜率为正数的直线平行于曲线的渐近线，交曲线于点，求弦的中点的轨迹方程；（3）对于（1）中的曲线，若直线过点交曲线于点，求面积的最大值.21.已知无穷数列满足：，（，）．对任意正整数，记，．（1）写出，；（2）当时，求证：数列是递增数列，且存在正整数，使得；（3）求集合．2020-2021年上海市华师大二附中高三下4月月考数学卷答案一、填空题1.已知（为虚数单位），则【解析】因为，所以，所以，所以.2.若一个圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的表面积为【解析】设等边三角形的边长为，则，解得，所以圆锥的底面半径，母线，所以该圆锥的表面积为.3.若点在抛物线上，点为该抛物线的焦点，则的值为【解析】由抛物线的定义，.4.圆（为参数）的圆心到直线的距离为【解析】圆心到直线的距离.5.展开式的二项式系数之和为，则展开式中的系数为（用数字填写答案）【解析】由题意得，所以，所以展开式的通项为，令，得，所以展开式中的系数为.6.北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和，例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为，故其总曲率为，则四棱锥的总曲率为【解析】因为四棱锥有5个顶点，5个面，其中4个三角形，1个四边形，所以面角和为，总曲率为.7.在数列中，若对一切都有且，则的值为【解析】因为，所以数列是公比为的等比数列，所以，解得.8.已知函数(其中为常数，且)有且仅有3个零点，则的最小值为【解析】因为函数为偶函数，又有且仅有3个零点，故必有1个零点为0，所以，所以，故，由得，所以，而，所以，所以的最小值为.9.关于的不等式共有2021个整数解，则的取值范围为【解析】显然，由解得，因为共有2021个整数解，所以，解得，所以，故这2021个整数解只能为，所以，解得.10.荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去（每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶），而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示，假设现在青蛙在A叶上，则跳四次之后停在A叶上的概率为【解析】因为逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，所以逆时针方向跳的概率是，顺时针方向跳的概率是，若青蛙在A叶上，则跳四次之后停在A叶上，则满足四次跳跃中有2次是顺时针方向跳，有2次是逆时针跳，若先按逆时针开始从A→B,则剩余3次中有1次是按照逆时针，其余2次按顺时针跳，则对应的概率为；若先按顺时针开始从A→C，则剩余3次中有1次是按照顺时针，其余2次按逆时针跳，则对应的概率为；故跳四次之后停在A叶上的概率为.11.已知的外接圆圆心为，若（为实数）有最小值，则参数的取值范围为【解析】因为，，又，所以，即，解得，代入，化简得，因为且有最小值，所以，解得，所以参数的取值范围为.12.关于的方程在区间上恰好有两个不等实根，则实数的取值范围为【解析】，令，由复合函数的单调性得在上递增，在上递减，在上递增，又，故，故实数的取值范围为.二、选择题13.已知全集，集合是的非空子集，且，则必有（A）A.B.C.D.【解析】作出韦恩图易得A.14.“”是“直线与直线平行”的（D）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件D.充要条件【解析】若直线与直线平行，则且，即，故为充要条件，故选D.15.已知的反函数图像的对称中心为，则的值为（B）A.B.C.D.【解析】，故的对称中心为，因为的反函数图像的对称中心为，所以的对称中心为，所以，所以，故选B.16.设，若三个数能组成一个三角形的三条边长，则实数的取值范围为（C）A.B.C.D.【解析】因为，令，则，所以，因为能组成一个三角形的三条边长，所以，即，因为，所以令，则，即，因为，当且仅当时取等号，但是取不到，所以，所以，所以；令，则，可用求导或其他方法得出在上单调递增，所以，所以，所以，综上，，故选C.三、解答题17.如图在三棱锥中，棱、、两两垂直，，点在上，且．（1）求异面直线和所成的角的大小；（2）求三棱锥的体积．【解析】法一：（1）如图，取线段，连结、.因为∥，所以的大小等于异面直线和所成的角或补角的大小．…………3分，,……6分所以异面直线和所成的角的大小等于．………………7分（2）因为、、两两垂直,，,.所以.…………9分.…………11分.所以三棱锥的体积大小等于3（立方单位）．……………14分法二：（1）因为棱两两垂直，如图建系，则，所以，设和所成角为，则，所以；（2），又，且相交于点，所以平面，则.18.若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则该函数为“依附函数”.（1）判断函数是否为“依附函数”，并说明理由；（2）若函数在定义域上“依附函数”，求的取值范围.【解析】（1）对于函数的定义域内存在，则，无解.故不是“依附函数”；（2）首先证明：当在定义域上上单调递增，且为“依赖函数”时，有。假设，则当时，存在，使得，当时，存在，使得，由于在定义域上上单调递增，故，所以与矛盾，故.因为在递增，故，即，，由，故，得，从而在上单调递增，故.19.由于2020年1月份国内疫情爆发，经济活动大范围停顿，餐饮业受到重大影响.3月份复工复产工作逐步推进，居民生活逐步恢复正常.李克强总理在6月1日考察山东烟台一处老旧小区时提到，地摊经济､小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机.某商场经营者陈某准备在商场门前“摆地摊”，经营冷饮生意.已知该商场门前是一块角形区域，如图所示，其中，且在该区域内点处有一个路灯，经测量点到区域边界、的距离分别为，，(为长度单位).陈某准备过点修建一条长椅（点，分别落在，上，长椅的宽度及路灯的粗细忽略不计），以供购买冷饮的人休息.（1）求点到点的距离；（2）为优化经营面积，当等于多少时，该三角形区域面积最小？并求出面积最小值.【解析】（1）连接，在中，，由余弦定理得，所以，在中，由余弦定理得，在中，由正弦定理得，解得，在直角中，，所以；（2），，，所以，当且仅当，即时取等号，所以.20.已知，如图，曲线由曲线：和曲线：组成，其中点为曲线所在圆锥曲线的焦点，点为曲线所在圆锥曲线的焦点.（1）若，求曲线的方程；（2）如图，作斜率为正数的直线平行于曲线的渐近线，交曲线于点，求弦的中点的轨迹方程；（3）对于（Ⅰ）中的曲线，若直线过点交曲线于点，求面积的最大值.【解析】（1）由题意得，所以，解得，则曲线的方程为：和.（2）由题意曲线的渐近线为：，设直线，由，得，所以，解得：，又由数形结合知.设点，则，，所以，，所以，即点在射线上.（3）由（1）得，曲线，点，设直线的方程为：，由，得，所以，设，所以，，所以，所以面积，令，所以，所以当且仅当，即时取等号，所以面积的最大值为.21.已知无穷数列满足：，（，）．对任意正整数，记，．（1）写出，；（2）当时，求证：数列是递增数列，且存在正整数，使得；（3）求集合．【解析】（1），．（2）当时，对任意，都有，所以．所以数列是递增数列．所以．令，则，所以．所以存在正整数，使得．（3）由题意得，对任意，都有且．由（2）得，当时，存在正整数，使得，所以．所以若，则．又因为，所以若，则．所以若，则，即．下面证明．①当时，对任意，都有．下证对任意，．假设存在正整数，使得．令集合，则非空集合存在最小数．因为，所以．因为，所以．所以，与矛盾．所以对任意，．所以当时，．②当时，．下证对任意，．假设存在正整数，使得．令集合，则非空集合存在最小数．因为，所以，所以．因为，所以．，且，所以，与矛盾．所以当时，．所以当时，对任意，都有．所以，即．因为，且，所以．