成都市2016级高中毕业班第三次诊断性检测数学(理科)参考答案及评分意见答案

数学(理科)“三诊”考试题参考答案　第１　　　　页(共４页)成都市２０１６级高中毕业班第三次诊断性检测数学(理科)参考答案及评分意见第Ⅰ卷　(选择题,共６０分)一、选择题:(每小题５分,共６０分)１．A;２．D;３．B;４．B;５．D;６．C;７．A;８．B;９．D;１０．B;１１．D;１２．C．第Ⅱ卷　(非选择题,共９０分)二、填空题:(每小题５分,共２０分)１３．８０;　　１４．９４;　　１５．４７;　　１６．４π．　三、解答题:(共７０分)１７．解:(Ⅰ)由已知,得sinAcosB＝１２sinB＋sinC．又sinC＝sin(A＋B),􀆺􀆺１分∴sinAcosB＝１２sinB＋sinAcosB＋cosAsinB．􀆺􀆺２分∴cosAsinB＋１２sinB＝０,得cosA＝－１２．􀆺􀆺４分∵０＜A＜π,∴A＝２π３．􀆺􀆺６分(Ⅱ)sin２B＋sin２C＋sinBsinC＝sin２A􀅰sin２B＋sin２C＋sinBsinCsin２A􀆺􀆺７分＝３４􀅰b２＋c２＋bca２．􀆺􀆺８分由余弦定理,得a２＝b２＋c２－２bccos２π３＝b２＋c２＋bc．􀆺􀆺１０分综上,得sin２B＋sin２C＋sinBsinC＝３４．􀆺􀆺１２分１８．解:(Ⅰ)连结AC．∵PA＝PD,且E是AD的中点,∴PE⊥AD．􀆺􀆺１分∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD＝AD,∴PE⊥平面ABCD．　􀆺􀆺２分∵BD⊂平面ABCD,∴BD⊥PE．􀆺􀆺３分又ABCD为菱形,且E,F为棱的中点,∴EF∥AC,BD⊥AC．数学(理科)“三诊”考试题参考答案　第２　　　　页(共４页)∴BD⊥EF．􀆺􀆺４分又BD⊥PE,PE∩EF＝E,PE,EF⊂平面PEF,∴BD⊥平面PEF．􀆺􀆺６分(Ⅱ)∵四边形ABCD为菱形,且∠BAD＝６０°,∴EB⊥AD．分别以EA,EB,EP所在直线为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系Exyz．􀆺􀆺７分设AD＝１,则D(－１２,０,０),B(０,３２,０),P(０,０,３２)．设平面PBD的法向量为n＝(x,y,z)．由n􀅰DB→＝０n􀅰DP→＝０{,得x＋３y＝０x＋３z＝０{．令x＝３,得n＝(３,－１,－１)．􀆺􀆺９分取平面APD的法向量为m＝(０,１,０)．􀆺􀆺１０分∴cos＜m,n＞＝－１５＝－５５．􀆺􀆺１１分∵二面角B－PD－A为锐二面角,∴二面角B－PD－A的余弦值为５５．􀆺􀆺１２分１９．解:(Ⅰ)由(０．００７＋０．０１６＋a＋０．０２５＋０．０２０)×１０＝１,解得a＝０．０３２．􀆺􀆺２分保险公司每年收取的保费为:１００００(０．０７x＋０．１６×２x＋０．３２×３x＋０．２５×４x＋０．２０×５x)＝１００００×３．３５x．􀆺􀆺４分∴要使公司不亏本,则１００００×３．３５x≥１００００００,即３．３５x≥１００．􀆺􀆺５分解得x≥１００３．３５≈２９．８５．∴x０＝３０．􀆺􀆺６分(Ⅱ)①若该老人购买了此项保险,则X的取值为１５０,２１５０．∵P(X＝１５０)＝４９５０,P(X＝２１５０)＝１５０,􀆺􀆺７分∴EX＝１５０×４９５０＋２１５０×１５０＝１４７＋４３＝１９０(元)．􀆺􀆺８分②若该老人没有购买此项保险,则Y的取值为０,１２０００．∵P(Y＝０)＝４９５０,P(Y＝１２０００)＝１５０,􀆺􀆺９分∴EY＝０×４９５０＋１２０００×１５０＝２４０(元)．􀆺􀆺１０分∵EY＞EX,∴年龄为６６的该老人购买此项保险比较划算．􀆺􀆺１２分２０．解:(Ⅰ)由已知,得b＝１．􀆺􀆺１分设A(x１,y１),B(x２,y２)．由x１２a２＋y１２b２＝１x２２a２＋y２２b２＝１ìîíïïïïï,两式相减,得y１－y２x１－x２＝－b２a２􀅰x１＋x２y１＋y２．􀆺􀆺２分数学(理科)“三诊”考试题参考答案　第３　　　　页(共４页)根据已知条件,知当x１＋x２y１＋y２＝－２时,y１－y２x１－x２＝１,∴b２a２＝１２,即a＝２．􀆺􀆺４分∴椭圆C的标准方程为x２２＋y２＝１．􀆺􀆺５分(Ⅱ)当直线l斜率不存在时,|OP|＝１＜３,不等式成立．􀆺􀆺６分当直线l斜率存在时,设l:y＝kx＋m．由y＝kx＋mx２＋２y２＝２{,得(２k２＋１)x２＋４kmx＋２m２－２＝０．∴x１＋x２＝－４km２k２＋１,x１x２＝２m２－２２k２＋１,Δ＝１６k２－８m２＋８＞０．􀆺􀆺７分∴M(－２km２k２＋１,m２k２＋１),|OM|２＝４k２＋１(２k２＋１)２􀅰m２．􀆺􀆺８分由|AB|＝１＋k２􀅰２２􀅰１＋２k２－m２２k２＋１＝２,化简,得m２＝２k２＋１２k２＋２．􀆺􀆺９分∴|OM|２＝４k２＋１(２k２＋１)２􀅰２k２＋１２k２＋２＝４k２＋１(２k２＋１)(２k２＋２)．􀆺􀆺１０分令４k２＋１＝t≥１．则|OM|２＝４t(t＋１)(t＋３)＝４t＋３t＋４≤４２３＋４＝４－２３,当且仅当t＝３时取等号．∴|OM|≤４－２３＝３－１．􀆺􀆺１１分∵|OP|≤|OM|＋１,∴|OP|≤３,当且仅当k２＝３－１４时取等号．综上,|OP|≤３．􀆺􀆺１２分２１．解:(Ⅰ)当a＝１时,f′(x)＝lnx－４x＋４．􀆺􀆺１分令F(x)＝f′(x)＝lnx－４x＋４,则F′(x)＝１x－４＝１－４xx．􀆺􀆺２分∴当x＞１４时,F′(x)＜０．即f′(x)在(１４,＋¥)内为减函数,且f′(１)＝０􀆺􀆺３分∴当x∈(１４,１)时,f′(x)＞０;当x∈(１,＋¥)时,f′(x)＜０．∴f(x)在(１４,１)内是增函数,在(１,＋¥)内是减函数．􀆺􀆺４分综上,x＝１是函数f(x)的极大值点．􀆺􀆺５分(Ⅱ)由题意,得f(１)≤０,即a≥１．􀆺􀆺６分现证明当a＝１时,不等式f(x)≤０成立,即xlnx－２x２＋３x－１≤０．即证lnx－２x＋３－１x≤０．􀆺􀆺７分数学(理科)“三诊”考试题参考答案　第４　　　　页(共４页)令g(x)＝lnx－２x＋３－１x．则g′(x)＝１x－２＋１x２＝－２x２＋x＋１x２＝－(２x＋１)(x－１)x２．􀆺􀆺８分∴当x∈(０,１)时,g′(x)＞０;当x∈(１,＋¥)时,g′(x)＜０．∴g(x)在(０,１)内单调递增,在(１,＋¥)内单调递减．􀆺􀆺９分∴g(x)的最大值为g(１)＝０．􀆺􀆺１０分∴当x＞０时,lnx－２x＋３－１x≤０．即当x＞０时,不等式f(x)≤０成立．综上,整数a的最小值为１．􀆺􀆺１２分２２．解:(Ⅰ)由x＝２＋２cosαy＝２sinα{,得２cosα＝x－２,２sinα＝y．∴曲线C的普通方程为(x－２)２＋y２＝４．􀆺􀆺２分由ρsin(θ＋π４)＝２２,得ρsinθ＋ρcosθ＝１．􀆺􀆺３分∴直线l的直角坐标方程为x＋y＝１．􀆺􀆺５分(Ⅱ)设直线l的参数方程为x＝－２２ty＝１＋２２tìîíïïïïïï(t为参数)．􀆺􀆺６分代入(x－２)２＋y２＝４,得t２＋３２t＋１＝０．􀆺􀆺７分设A,B两点对应参数分别为t１,t２．∴t１＋t２＝－３２＜０,t１t２＝１＞０,∴t１＜０,t２＜０．􀆺􀆺８分∴|MA|＋|MB|＝|t１|＋|t２|＝|t１＋t２|＝３２􀆺􀆺１０分２３．解:(Ⅰ)当a＝４时,f(x)＝x２－４|x－１|－１＝x２－４x＋３,x≥１x２＋４x－５,x＜１{．􀆺􀆺１分当x≥１时,f(x)的取值范围为[－１,＋¥);􀆺􀆺２分当x＜１时,f(x)的取值范围为[－９,＋¥)．􀆺􀆺３分∴函数f(x)的值域为[－９,＋¥)．􀆺􀆺５分(Ⅱ)不等式f(x)≥a|x＋１|等价于x２－a|x－１|－１≥a|x＋１|．即a≤x２－１|x－１|＋|x＋１|在区间[０,２]内有解．􀆺􀆺６分当x∈[０,１]时,a≤x２－１１－x＋x＋１＝x２－１２,∴a≤０．􀆺􀆺７分当x∈(１,２]时,a≤x２－１x－１＋x＋１＝x２－１２x＝１２(x－１x),􀆺􀆺８分∴a≤３４．􀆺􀆺９分综上,实数a的取值范围是(－¥,３４]．􀆺􀆺１０分