专题十以特殊四边形为背景的计算与证明

专题十　以特殊四边形为背景的计算与证明题型分类·深度剖析【例1】　(2014云南)如图，在平行四边形ABCD中，∠C＝60°，M、N分别是AD、BC的中点，BC＝2CD.典例精析题型分类·深度剖析解(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵M、N分别是AD、BC的中点，∴MD＝NC，MD∥NC，∴四边形MNCD是平行四边形．典例精析题型分类·深度剖析(2)如图，连接ND，∵四边形MNCD是平行四边形，∴MN＝DC，∵N是BC的中点，∴BN＝CN，∵BC＝2CD，∠C＝60°，∴△NCD是等边三角形，∴ND＝NC，∠DNC＝60°，∵∠DNC是△BND的外角，∴∠NBD＋∠NDB＝∠DNC，典例精析题型分类·深度剖析∵DN＝NC＝NB，∴∠BDC＝90°，典例精析题型分类·深度剖析探究提高　平行四边形是一种特殊的四边形，平行四边形具有对边平行且相等，对角线互相平分，是中心对称图形等性质．平行四边形的判定有以下方法：两组对边分别平行；两组对边分别相等；一组对边平行且相等；两条对角线互相平分．根据平行四边形的性质和判定，可以解决一类相关的计算或证明题．本题考查了平行四边形的判定与性质，利用了一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，等边三角形的判定与性质，正切函数．典例精析题型分类·深度剖析【例2】　(2014青岛)已知：如图，ABCD中，O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E.(1)求证：△AOD≌△EOC；(2)连接AC、DE，当∠B＝∠AEB＝________时，四边形ACED是正方形？请说明理由．典例精析题型分类·深度剖析解(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠D＝∠OCE，∠DAO＝∠E，∵O是CD的中点，∴DO＝CO，∴△AOD≌△EOC(AAS)．典例精析题型分类·深度剖析(2)当∠B＝∠AEB＝45°时，四边形ACED是正方形．证明：∵△AOD≌△EOC，∴OA＝OE，又∵OC＝OD，∴四边形ACED是平行四边形，∵∠B＝∠AEB＝45°，∴AB＝AE，∠BAE＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠COE＝∠BAE＝90°，∴□ACED是菱形，∵AB＝AE，AB＝CD，∴菱形ACED是正方形．典例精析题型分类·深度剖析探究提高　特殊平行四边形有矩形、菱形和正方形，掌握其性质与判定方法，比较其区别与联系．重点从“四对”入手，即从对边、对角、对角线及对称轴入手；可以从四边形入手，如有三个角是直角的四边形是矩形，四边相等的四边形是菱形；也可以从平行四边形入手，如有一个角是直角的平行四边形是矩形，一组邻边相等的平行四边形是菱形；正方形既具有矩形的性质，同时具有菱形的性质．本题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及正方形的判定，关键是掌握对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形．典例精析题型分类·对点训练1.(2014黔东南)如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是(　　)A.AB∥DC，AD＝BCB.AB∥DC，AD∥BCC.AB＝DC，AD＝BCD.OA＝OC，OB＝OD对点训练题型分类·对点训练解析A、“一组对边平行，另一组对边相等”是四边形也可能是等腰梯形，故本选项符合题意；B、根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合题意；C、根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合题意；D、根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合题意．故选A.对点训练题型分类·对点训练1.(2014黔东南)如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是(　　)A.AB∥DC，AD＝BCB.AB∥DC，AD∥BCC.AB＝DC，AD＝BCD.OA＝OC，OB＝OD对点训练A题型分类·对点训练2.(2014徐州)若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是(　　)A.矩形B.等腰梯形C.对角线相等的四边形D.对角线互相垂直的四边形对点训练题型分类·对点训练解析如图，根据题意得：四边形EFGH是菱形，点E、F、G、H分别是边AD、AB、BC、CD的中点，∴EF＝FG＝CH＝EH，BD＝2EF，AC＝2FG，∴BD＝AC，∴原四边形一定是对角线相等的四边形．故选C.对点训练题型分类·对点训练2.(2014徐州)若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是(　　)A.矩形B.等腰梯形C.对角线相等的四边形D.对角线互相垂直的四边形C对点训练题型分类·对点训练3.(2014黔东南)如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝16，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为(　　)对点训练题型分类·对点训练解析设BE＝x，则CE＝BC－BE＝16－x，∵沿EF翻折后点C与点A重合，∴AE＝CE＝16－x，在Rt△ABE中，AB2＋BE2＝AE2，即82＋x2＝(16－x)2，解得x＝6，∴AE＝16－6＝10，对点训练题型分类·对点训练由翻折的性质得，∠AEF＝∠CEF，∵矩形ABCD的对边AD∥BC，∴∠AFE＝∠CEF，∴∠AEF＝∠AFE，∴AE＝AF＝10，过点E作EH⊥AD于H，则四边形ABEH是矩形，∴EH＝AB＝8，AH＝BE＝6，∴FH＝AF－AH＝10－6＝4，对点训练题型分类·对点训练3.(2014黔东南)如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝16，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为(　　)D对点训练题型分类·对点训练4.(2014黔西南)如图，将矩形纸片ABCD折叠，使边AB、CD均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，则∠EBF＝_______.解析∵四边形ABCD是矩形，根据折叠可得，∵∠ABE＋∠EBD＋∠DBF＋∠FBC＝∠ABC＝90°，∴∠EBD＋∠DBF＝45°，即∠EBF＝45°.45°对点训练题型分类·对点训练5.(2014无锡)如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BD于E，∠EAC＝30°，AE＝3，则AC的长等于________．又∵四边形ABCD是平行四边形，对点训练题型分类·对点训练6.(2014齐齐哈尔)已知正方形ABCD的边长为2cm，以CD为边作等边三角形CDE，则△ABE的面积为__________________cm2.解析　如图，∵△CDE是等边三角形，对点训练题型分类·对点训练7.(2014宁夏)在平行四边形ABCD中，将△ABC沿AC对折，使点B落在B′处，AB′和CD相交于点O.求证：OA＝OC.证明∵△AB′C是由△ABC沿AC对折得到的图形，∴∠BAC＝∠B′AC，∵在平行四边形ABCD中，AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA，∴∠DCA＝∠B′AC，∴OA＝OC.对点训练题型分类·对点训练8.(2014沈阳)如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在边AD、BC上，且DE＝CF，连接OE、OF.求证：OE＝OF.对点训练题型分类·对点训练证明如图，∵四边形ABCD是矩形，∴OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠ADC－∠ODC＝∠BCD－∠OCD，即∠EDO＝∠FCO，∴△ODE≌△OCF(SAS)，∴OE＝OF.对点训练题型分类·对点训练9.(2014深圳)已知BD垂直平分AC，∠BCD＝∠ADF，AF⊥AC.(1)证明：四边形ABDF是平行四边形；(2)若AF＝DF＝5，AD＝6，求AC的长．对点训练题型分类·对点训练解(1)证明：∵BD垂直平分AC，∴AB＝BC，AD＝DC，∴△ADB≌△CDB(SSS)，∴∠BAD＝∠BCD，∵∠BCD＝∠ADF，∴∠BAD＝∠ADF，∴AB∥FD，∵BD⊥AC，AF⊥AC，∴AF∥BD，∴四边形ABDF是平行四边形．对点训练题型分类·对点训练(2)∵四边形ABDF是平行四边形，AF＝DF＝5，∴平行四边形ABDF是菱形，∴AB＝BD＝5，∵AD＝6，设BE＝x，则DE＝5－x，∴AB2－BE2＝AD2－DE2，对点训练题型分类·对点训练10.(2014沈阳)如图1，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝13，BD＝24，在菱形ABCD的外部以AB为边作等边三角形ABE.点F是对角线BD上一动点(点F不与点B重合)，将线段AF绕点A顺时针方向旋转60°得到线段AM，连接FM.对点训练题型分类·对点训练(1)求AO的长；(2)如图2，当点F在线段BO上，且点M、F、C三点在同一条直线上时，求证：AC＝AM；(3)连接EM，若△AEM的面积为40，请直接写出△AFM的周长．对点训练题型分类·对点训练解(1)∵四边形ABCD是菱形，∵BD＝24，∴OB＝12，在Rt△OAB中，∵AB＝13，对点训练题型分类·对点训练(2)∵四边形ABCD是菱形，∴BD垂直平分AC，∴FA＝FC，∠FAC＝∠FCA，由已知，AF＝AM，∠MAF＝60°，∴△AFM为等边三角形，∴∠M＝∠AFM＝60°，∵点M、F、C三点在同一条直线上，∴∠FAC＋∠FCA＝∠AFM＝60°，∴∠FAC＝∠FCA＝30°，∴∠MAC＝∠MAF＋∠FAC＝60°＋30°＝90°，在Rt△ACM中，对点训练题型分类·对点训练(3)如图，连接EM，∵△ABE是等边三角形，∴AE＝AB，∠EAB＝60°，由(1)知，△AFM为等边三角形，∴AM＝AF，∠MAF＝60°，∴∠EAM＝∠BAF，∴△AEM≌△ABF(SAS)，对点训练题型分类·对点训练∵△AEM的面积为40，△ABF的高为AO＝5，∵OB＝12，∴FO＝BF－OB＝16－12＝4，对点训练