首页 上海华东师范大学第一附属初级中学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试卷(含答案解析)

上海华东师范大学第一附属初级中学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试卷(含答案解析)

上海华东师范大学第一附属初级中学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试卷(含答案解析)一、选择题11．一物体作变速直线运动，其vt曲线如图所示，则该物体在s~6s间的运动路程为2（）m．449A．1B．C．D．2342．直线y4x与曲线yx3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）A．22B．42C．2D．4lgx,x03．设若f(x)a，f(f(1))1，则a的值是()x3t2dt,x00A．1B．2C．1D．-24．已知函数f(x)=x2+1的定义域为[a,b](a

一、选择题11．一物体作变速直线运动，其vt曲线如图所示，则该物体在s~6s间的运动路程为2（）m．449A．1B．C．D．2342．直线y4x与曲线yx3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）A．22B．42C．2D．4lgx,x03．设若f(x)a，f(f(1))1，则a的值是()x3t2dt,x00A．1B．2C．1D．-24．已知函数f(x)=x2+1的定义域为[a,b](a 计划在该区域内围出一块矩形地块ABCD作为工业用地，其中A、B在抛物线上，C、D在x轴上已知工业用地每单位面积价值为3a元a0，其它的三个边角地块每单位面积价值a元．（Ⅰ）求等待开垦土地的面积；（Ⅱ）如何确定点C的位置，才能使得整块土地总价值最大．22．计算：（1）C7102（2）2x4x2dx223．已知曲线ysinx和直线x0,x及y0所围成图形的面积为S.0(1)求S.0(2)求所围成图形绕ox轴旋转所成旋转体的体积.24．如图，在棱长为1的正方体ABCDABCD中，E为AB的中点.求：1111（1）异面直线BD与CE所成角的余弦值；1（2）点A到平面AEC的距离.1m25．已知函数fxlnxmR.x（1）若函数fx的图象与直线x2y40相切，求m的值；（2）求fx在区间1,2上的最小值；（3）若函数fx有两个不同的零点x，x，试求实数m的取值范围．12126．已知函数f(x)x21，xR.2（1）求函数图像过点(1,1)的切线的方程；（2）求函数f(x)的图像与直线y1所围成的封闭图形的面积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】16由图像用分段函数表示v(t)，该物体在s~6s间的运动路程可用定积分sv(t)dt表212示，计算即得解【详解】由题中图像可得，2t,0t1v(t)2,1t31t1,3t63由变速直线运动的路程公式，可得1s6v(t)dt12tdt32dt6t1dt111332261149t22t3t2t(m)．116423149所以物体在s~6s间的运动路程是m．24故选：C【点睛】本题考查了定积分的实际应用，考查了学生转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.2．D解析：D【解析】直线y4x与曲线yx3的交点坐标为(0,0)和(2,8)，故直线y4x与曲线yx3在第一象限内围成的封闭图形的面积1S2(4xx3)dx2x2x4|2844．故选D．0403．C解析：C【详解】a3t2dtt3|aa3，f(1)lg10,f(0)a3,a31,a1.00故选：C4．C解析：C【解析】由函数的图像可知，需满足或，所以点的运动轨迹与两坐标轴围成的图形是边长为2的正方形，其面积为4.5．C解析：C【解析】试题分析：画出函数图象如下图所示,可知3238823x24dx4x2dxx24dx89128．333002考点：定积分的几何意义．6．D解析：D【解析】试题分析：根据题意画出区域，作图如下，yex由{解得交点为（0，1），yex∴所求面积为：11Sexexdxexex|1e20e0考点：定积分及其应用7．B解析：B【详解】mlnx，x1因为3t2dtt3|mm3,所以fx,02xm3，x10felne1，ffef12m310，解得m2.故选：B.8．A解析：A【解析】曲线yx2与直线yx的交点坐标为0,0,1,1，由定积分的几何意义可得曲线yx21111与直线yx所围成的封闭图形的面积为xx2dxx2x3|1，故选A.230609．D解析：D【解析】01011fxdxsinxdx1x2dx，sinxdcosx|02，1x2dx的几001何意义是以原点为圆心，半径为1的圆的面积的，故41111x2dx,fxdx2，故选D.44010．B解析：B【分析】令y1(x1)2,(y0)，它表示以(1,0)为圆心，以1为半径的圆的上半圆，再利用定积分的几何意义求解即可.【详解】令y1(x1)2,y0，所以(x1)2y21，(y0)，它表示以(1,0)为圆心，以1为半径的圆的上半圆，如图所示，111x12dx表示由x0,x1，y0和半圆围成的曲边梯形的面积，即个圆的面04积.11由题得个圆的面积为12=.444由定积分的几何意义得11x12dx.04故选：B.【点睛】本题主要考查定积分的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11．C解析：C【分析】求出被积函数的原函数，然后分别代入积分上限和积分下限后作差得答案.【详解】1112(2xx2)dx(x2x3)|11213，03033故选C.【点睛】该题考查的是有关定积分的运算求解问题，属于简单题目.12．B解析：B【解析】【分析】21联立方程组，确定被积区间和被积函数，得出曲边形的面积S(4x)dx，即可求1x2解，得到答案．【详解】y4x1由题意，联立方程组1，解得x，y2x1所以曲线y4x，y，x2围成的封闭图形的面积为x211115S(4x)dx(2x2lnx)|2(222ln2)[2()2ln]2ln2，1x122222故选B．【点睛】本题主要考查了利用定积分求解曲边形的面积，其中解答中根据题意求解交点的坐标，确定被积分区间和被积函数，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．二、填空题13．【分析】利用定积分的计算法则可得由基本初等函数的求导公式求得原函数即可求解【详解】因为函数所以故答案为:【点睛】本题考查定积分的几何意义和定积分的计算法则及基本初等函数的求导公式;属于中档题解析：24【分析】22利用定积分的计算法则可得2fxdxx3dx2xdxcosxdx，由基本初等函222数的求导公式求得原函数即可求解.【详解】x3,x2,2因为函数fx2x,x2,,cosx,x,222所以2fxdxx3dx2xdxcosxdx2221x42x2sinx242224,故答案为:24【点睛】本题考查定积分的几何意义和定积分的计算法则及基本初等函数的求导公式;属于中档题.14．【分析】利用二项式展开式的通项公式求出再利用定积分的运算性质和几何意义去求即得【详解】二项式展开式的通项为展开式的常数项为15令故答案为：【点睛】本题考查二项式展开式的通项公式考查微积分基本定理31解析：236【分析】利用二项式展开式的通项公式求出a，再利用定积分的运算性质和几何意义去求即得.【详解】a6a6r3rrr3二项式x展开式的通项为TCrx1a6rCrx2.xr16x6a6x展开式的常数项为15，x3r令30,r2，212a62C2=15，a4=1，6a0,a1.0x2x4x2dx0x2x4x2dxa1000101011x2dxxdx4x2dxx3x21322312122611111303130212322311331.322323631故答案为：.236【点睛】本题考查二项式展开式的通项公式，考查微积分基本定理.15．【解析】【分析】根据分的几何意义得到直线y=0与曲线y=cosx所围成的封闭图形的面积为【详解】根据余弦函数的对称性可得直线y=0与曲线y=cosx所围成的封闭图形的面积为故答案为：【点睛】本题考查解析：3【解析】【分析】根据分的几何意义得到直线x，x，y=0与曲线y=cosx所围成的封闭图形的面333积为2cosd2sinx|33.x00【详解】根据余弦函数的对称性可得，直线x，x，y=0与曲线y=cosx所围成的封闭图333形的面积为2cosd2sinx|33.x00故答案为：3.【点睛】本题考查利用定积分求面积，解题的关键是确定被积区间与被积函数，属于中档题.16．【解析】【分析】利用微积分基本定理直接计算即可【详解】即答案为【点睛】本题考查了定积分的运算属于基础题解析：【解析】【分析】利用微积分基本定理直接计算即可.【详解】0cosx1dxsinxxsinsin00.0即答案为.【点睛】本题考查了定积分的运算，属于基础题．17．【解析】由定积分的几何意义知：是如图所示的阴影部分曲边梯形的面积其中故故故故答案为2解析：2e233【解析】1114x2dx24x2dx,由定积分的几何意义知：4x2dx是如图所示的阴影部分100曲边梯形OABC的面积，其中B1,3,BOC30，11211故4x2dx24x2dx3，故exdx2exdx2ex|12e2，301010122故ex4x2dx2e23，故答案为2e23.33118．【解析】由定积分的几何意义由微积分基本定理：有定积分的运算法则可得：解析：22【解析】11由定积分的几何意义，1x2dx12，2211由微积分基本定理：1dxx|12，111有定积分的运算法则可得：1x21dx2.2119．【解析】分析：根据定积分的定义分别和求和即可详解：表示以（00）为圆心以2为半径的半径故故答案为点睛：求定积分的三种方法(1)利用定义求定积分(定义法)可操作性不强(2)利用微积分基本定理求定积分(解析：2.【解析】22分析：根据定积分的定义分别1dx和4x2dx，求和即可.222详解：4x2dx表示以（0，0）为圆心，以2为半径的半径.22故4x2dx2222214x2dx1dx4x2dxx|2242.2222故答案为42.点睛：求定积分的三种方法(1)利用定义求定积分(定义法)，可操作性不强．(2)利用微积分基本定理求定积分．(3)利用定积分的几何意义求定积分．当曲边梯形面积易求时，可通过求曲边梯形的面积求定积分．20．【解析】试题分析：故答案为考点：定积分2解析：2【解析】π4试题分析：cosxdx.02故答案为2考点：定积分．三、解答题421．（1）;（2）点C的坐标为.3【详解】试题分析：（1）由于等待开垦土地是由曲线y1x2与x轴围成的，求出曲线与x轴的交点坐标，再用定积分就可求出此块土地的面积；（2）既然要确定点C的位置，使得整块土地总价值最大,那我们只需先设出点C的坐标为(x，0)，然后含x的代数式表示出矩形地块ABCD，进而结合（1）的结果就可表示出其它的三个边角地块的面积，从而就能将整块土地总价值表示成为x的函数，再利用导数求此函数的最大值即可．试题（1）由于曲线y1x2与x轴的交点坐标为（－１，0）和(１,0),所以所求面积1114S=(1x2)dx(xx3)|，31314故等待开垦土地的面积为3（2）设点C的坐标为(x,0)，则点B(x,1x2)其中0x1，∴S2x(1x2)ABCD∴土地总价值33由y'4a(13x2)=0得x或者x(舍去）3333并且当0x时，y'0,当x1时，y'0333故当x时，y取得最大值.3答：当点C的坐标为时，整个地块的总价值最大.考点：1.定积分;2.函数的最值.22．(1)120；(2)2【分析】（1）根据组合数的对称性计算；（2）将括号中内容拆分，一部分按定积分性质计算，另一部分使用定积分几何意义计算.【详解】1098（1）C7=C3==120；10103！2222（2）2x4x2dx=2xdx4x2dx，其中2xdx中f(x)2x是奇函222222数，所以2xdx0；4x2dx表示圆心在原点半径等于2的圆在x轴上方的面222224积，故2x4x2dx=2xdx4x2dx02.2222【点睛】（1）计算af(x)dx（a0）时，若f(x)为奇函数，则af(x)dx0；若f(x)为偶aa函数，则af(x)dx2af(x)dx20f(x)dx.a0a（2）组合数对称性：Cm=Cnm(mn).nn223．(1)2,；（2）.2【分析】（1）根据题意可知曲线ysinx和直线x0,x及y0所围成图形的面积为Ssinxdx，解之即可；（2）所围成图形绕ox轴旋转所成旋转体的体积为00Vsin2xdx，根据定积分的定义解之即可．0【详解】（1）Ssinxdxcosx|(cos)(cos0)112；000x112（2）Vsin2xdxsin2x|(0).0240242【点睛】本题主要考查定积分的几何意义，意在考查灵活利用所学知识解答问题的能力，属于中档题.15624．（1）（2）156【分析】11（1）延长DC至G,使CGDC,连结BG、DG,则DBG就是异面直线BD与22111CE所成的角.在DBG中由余弦定理即可求得cosDBG.11（2）过A作AHCE交CE的延长线于H.连结AH.可知AHE∽CBE,进而求得11AH和AH,即可利用等体积VV求得点A到平面AEC的距离.1AACEAACE111【详解】11（1）延长DC至G,使CGDC,连结BG、DG,如下图所示:221∵CG//EB∴四边形EBGC是平行四边形∴BG∥ECDBG就是异面直线BD与CE所成的角.11在DBG中DB31153213BG,DG1221225133DB2BG2DG24415∴cosDBG1112DBBG151512215即异面直线BD与CE所成角的余弦值是.115（2）过A作AHCE交CE的延长线于H.连结AH.底面ABCD如图所示.11由于AHEB90,AEHCEB,则AHE∽CBEAHAE∴CBCE51∴CE,AE2211CBAE21∴AHCE5521在RtAAH中,AA1,AH1156AH.15设点A到平面AEC的距离为d111则由三棱锥体积公式可得：AASdS1ACEACE3311111116即11d132232456所以d66即点A到平面AEC的距离为.16【点睛】本题考查了空间中异面直线夹角的求法,将异面直线平移使其相交找到夹角是常用方法,利用等体积法求点到平面距离的方法,属于中档题.mln2,m2,32125．(1)m（2）（3）0m2fx{lnm1,1m2,?eminm,m1.【解析】1mm1试题分析：（1）根据直线和曲线相切得到f'x，lnxx2，0xx20x20000联立两式消元即可得到参数值；（2）对函数求导分m0，m0，m2几种情况讨论函数的单调性，得到函数最值即可；（3）根据题意得到函数不单调，故得到m0时，fx在0,m上单调递减，在m,上单调递增，所以fxfm，若fx由min两个相异零点，则必有fm0，解不等式即可。m（1）设切点Px,lnx，因切线方程为x2y40，00x011m所以kf'x，①20xx200m1又lnxx2，②0x200mx由①得10，③，将③代入②得lnxx10，x2000所以x1，因为gxlnxx1在0,上递增，则x1是唯一根，000003所以切点P1,m，代入切线方程得m．2m（2）因为fxlnx(x0)，x1mxm所以f'x，因x0，xx2x2当m0时，f'x0，则fx在0,上单调递增；所以fx在1,2递增，则fxf1m；min当m0时，x0,m有f'x0，xm,有f'x0，所以fx在0,m上单调递减，在m,上单调递增，m则当m2时，fx在1,2递减，则fxf2ln2；min2当0m1时，fx在1,2递增，则fxf1m；min当1m2时，fx在1,m递减，在m,2递增，则fxfmlnm1．minmln2,m2,2综上有fx{lnm1,1m2,minm,m1.（3）由（2）可知，当m0时，fx在0,上单调递增，则fx至多有一个零点，又当m0时，fx在0,m上单调递减，在m,上单调递增，所以fxfm，若fx由两个相异零点，则必有fm0，min1即fmlnm10，则0m．e点睛：本题中涉及根据函数零点求参数取值，是高考经常涉及的重点问题，（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.1626．(1)切线方程为y1或y2x3(2)3【分析】1（1）设切点为Px,x21，切线斜率kfxx，即可求得曲线在P点处的02000切线方程，把点1,1代入解出x即可；（2）联立函数fx与直线y1的方程，从而0可得函数fx的图象与直线y1所围成的封闭图形的面积：221fx1dxx22dx，利用微积分基本定理即可得出．222【详解】1（1）设切点为Px,x21，切线斜率kfxx，所以曲线在P点处的切线0200011方程为yx21xxx，把点1,1代入，得xx20x020002000或x2，所以切线方程为y1或y2x3.01yx21x2x2（2）由2或y1y1y12211216所以所求的面积为fx1dxx22dx2x32x.222603【点睛】本题主要考查利用导数求切线方程以及微积分定理，属于中档题.应用导数的几何意义，一般过某一点求切线方程的步骤为：①设切点，求导并且表示在切点处的斜率；②根据点斜式写出切线方程；③将所过的点代入切线方程，求出切点坐标；④将切点代入切线方程，得到具体的表达式.

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