线性代数知识点总结

线性代数知识点总结专业word可编辑线性代数知识点总结第一章行列式二三阶行列式N阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n个元素的乘积的和a=工（—I）®j1j2-jn）aa...aijn1j；2j2叭j1j2jn（奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换,其值不变。（转置行列式D=DT）行列式中某两行（列）互换,行列式变号。推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等,则行列式等于零。常数k乘以行列式的某一行（列），等于k乘以此行列式。推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零；推论：行列式中某一行（列）元素全为零,...

专业word可编辑线性代数知识点总结第一章行列式二三阶行列式N阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n个元素的乘积的和a=工（—I）®j1j2-jn）aa...aijn1j；2j2叭j1j2jn（奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换,其值不变。（转置行列式D=DT）行列式中某两行（列）互换,行列式变号。推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等,则行列式等于零。常数k乘以行列式的某一行（列），等于k乘以此行列式。推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零；推论：行列式中某一行（列）元素全为零,行列式为零。行列式具有分行（列）可加性将行列式某一行（列）的k倍加到另一行（列）上，值不变行列式依行（列）展开：余子式M..、代数余子式A=（—1）i+jMjijij定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。克莱姆法则：非齐次线性方程组：当系数行列式D丰0时,有唯一解：x=Dj（j=1、......n）jD齐次线性方程组：当系数行列式D=1鼻0时，则只有零解逆否：若方程组存在非零解,则D等于零特殊行列式:aaaaaa111213112131①转置行列式：aaaTaaa212223122232aaaaaa313233132333②对称行列式:a=aijji③反对称行列式:a=—aijji奇数阶的反对称行列式值为零④三线性行列式:a11a21a31a12a220a130a33方法:用k1a22把a21化为零，。化为三角形行列式⑤上（下）三角形行列式:行列式运算常用方法（主要）行列式定义法（二三阶或零元素多的）化零法（比例）化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第二章矩阵矩阵的概念：A（零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n阶方阵、相等矩阵）m*n矩阵的运算：加法（同型矩阵）交换、结合律数乘kA=(ka)分配、结合律ijm*nA*B=(a)*(b)=(£ab)乘法ikmkjr*n1ikkjm*n注意什么时候有意义一般AB=BA,不满足消去律；由AB=0,不能得A=0或B=0转置(at)t=A(A+B)t=At+Bt(kA)T=kAT(AB)t=BtAt(反序定理)方幂：Ak]Ak2=Ak]+k2（Ak]）k2=Ak]+k2几种特殊的矩阵：对角矩阵：若AB都是N阶对角阵,k是数,则kA、A+B、AB都是n阶对角阵数量矩阵：相当于一个数（若……）单位矩阵、上（下）三角形矩阵（若……）对称矩阵反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方都是0分块矩阵：加法，数乘,乘法：类似,转置：每块转置并且每个子块也要转置注：把分出来的小块矩阵看成是元素逆矩阵：设A是N阶方阵,若存在N阶矩阵B的AB=BA=I则称A是可逆的,A-i=B（非奇异矩阵、奇异矩阵|A|=0、伴随矩阵）初等变换1、交换两行（列）2.、非零k乘某一行（列）3、将某行（列）的K倍加到另一行（列）初等变换不改变矩阵的可逆性初等矩阵都可逆初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换得到的（对换阵倍乘阵倍加阵）等价标准形矩阵D=fIrO'rlOO丿矩阵的秩r（A）:满秩矩阵降秩矩阵若A可逆，则满秩若A是非奇异矩阵，则r（AB）=r（B）初等变换不改变矩阵的秩求法：1定义2转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式的联系与区别：都是数表；行列式行数列数一样,矩阵不一样；行列式最终是一个数,只要值相等,就相等,矩阵是一个数表，对应元素相等才相等；矩阵(ka)=k(a),行列式ijnijnkaij=knaij逆矩阵注：①AB-BA-I则A与B一定是方阵②BA-AB-I则A与B一定互逆；③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若A可逆，则其逆矩阵是唯一的。矩阵的逆矩阵满足的运算律：1、可逆矩阵A的逆矩阵也是可逆的，且(A-i)-1=A2、可逆矩阵A的数乘矩阵kA也是可逆的,且(kA)-i=-A-ik3、可逆矩阵A的转置AT也是可逆的,且(At)-1=(A-i)t4、两个可逆矩阵A与B的乘积AB也是可逆的,且(AB)-i=B-iA-i但是两个可逆矩阵A与B的和A+B不一定可逆,即使可逆，但(A+B)丰A-i+B-iA为N阶方阵,若|A|=0,则称A为奇异矩阵,否则为非奇异矩阵。5、若A可逆，则|A-i|=|A|-i(AA)伴随矩阵:A为N阶方阵，伴随矩阵：A*=口i2(代数余子式)IA2iA22丿特殊矩阵的逆矩阵：(对1和2,前提是每个矩阵都可逆)A-1=1、分块矩阵D=则D-1=fA-i<0-A-iBC-i、C-iA4丿(A-iiA-i2A-i33、AA*A4-i丿=A*A=|A|I4、A*=|A|A-i（A可逆）5、A*=|A|n-16、(A*)1=(A-i)=丄a(A可逆)lAl7、(AB)=B*A*判断矩阵是否可逆:充要条件是|A|丰0，此时A-i=A*lAl求逆矩阵的方法:定义法AA-1=IA*伴随矩阵法A-1=TlAl初等变换法IIA-i)nn只能是行变换初等矩阵与矩阵乘法的关系:设A='a)ijm*n是m*n阶矩阵,则对A的行实行次初等变换得到的矩阵,等于用同等的m阶初等矩阵左乘以A:对A的列实行一次初等变换得到的矩阵,等于用同种n阶初等矩阵右乘以A（行变左乘，列变右乘）第三章线性方程组消元法非齐次线性方程组：增广矩阵T简化阶梯型矩阵r(AB)=r(B)=r当r=n时，有唯一解；当厂丰n时，有无穷多解r(AB)工r(B),无解齐次线性方程组：仅有零解充要r(A)二n有非零解充要r(A) 合同矩阵的合同：设AB是n阶方阵,若存在一个n阶可逆矩阵C,使得的,记作AB。合同的性质：反身性、对称性、传递性、秩、化二次型为标准型：配方法、做变换（二次型中不含有平方项）

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