微分几何
试题
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课程代码：10022一、判断题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)判断下列各题，正确的在题后括号内打“7”，错的打“X”。TOC\o"1-5"\h\z曲面的克氏记号rk是曲面的内蕴量。()ij曲率挠率分别为不等于零的常数的曲线r是圆柱螺线。()曲面S为平面的充要条件是11=0。()曲面上的曲纹坐标网为共轭网的充要条件为M=0。()可展曲面的平均曲率必为零。()二、单项选择题(本大题共6小题，每小题2分，共12分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.已知曲线r=r(t)在r(t0)点的挠率为t,曲线在r(t0)点附近是右旋的，则t的值是()A.-2B.它2C.-—D.-、,：222•曲线r=r(s)在P(s)点的基本向量为B，q。在P点的曲率为k(s)，挠率为t(s)，则t(s)是()A.&ftB.D.qtf3.对曲面的第一基本形式I=Edu2+2Fdudv+Gdv2,EG-F2满足()A.>0B.<0C.>0D.<0在曲面的椭圆点处第二基本量L、M、N满足()A.LN-M2>0BLN-M2VOC.LN-M2=0D.L=M=N=0F=M=O的充要条件是曲纹坐标网为()A.正交网B.共轭网C.曲率线网D.渐进网曲面上使K=K=0的曲线不一定是()ngA.直线B.渐近线C.曲率线D.测地线三、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)请在每小题的空格中填上正确
答案
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。错填、不填均无分。1.向量
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r=r(t)对任意t有r'(t)((t)的充要条件是2.已知曲线；=；(t)在p点的单位切向量为£={0,1,0},单位主法向量p={0,0,1},则曲线在TOC\o"1-5"\h\zp点的单位副法向量r=。已知曲面ff(u,v)有dr2=4du2+2dudv+3dv2，则曲面的EG-F2是。曲面r=r(u,v)上渐近曲线的微分方程是。半径为R的球面的高斯曲率K=。直纹面;=a(u)+vb(u)是可展曲面的充要条件是。四、计算题(本大题共5小题，每小题6分,共30分)求曲线x=1+3t+2t2,y=2-2t+5t2,z=1-t2的挠率和密切平面。求平面族a2x+2ay+2z=2a的包络。求曲面z=xy2的第一基本形式。求正螺面r={ucosv,usinv,bv}的主曲率。求曲面丫：r={tcos0,Zsin0,t}的第二基本形式。五、证明题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)如果曲线r：r=r(s)为一般螺线,&、p为r的切向量和主法向量，R为r的曲率半径。证明r:0=Roc-fpds也是一般螺线。若曲线既是测地线又为曲率线，则曲线是平面曲线。证明一条曲线的所有切线不可能同时都是另一条曲线的切线。证明在曲面z=f(x)+g(y)上曲线族％=常数,y=常数构成共轭网。
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