2021年度中考数学知识点总结完整版

中考数学总复习资料云杉教诲第一章：实数基本知识点：一、实数分类：1、有理数：任何一种有理数总可以写成形式，其中p、q是互质整数，这是有理数重要特性。2、无理数：初中遇到无理数有三种：开不尽方根，如、；特定构造不限环无限小数，如1.001……；特定意义数，如π、°等。3、判断一种实数数性不能仅凭表面上感觉，往往要通过整顿化简后才下结论。二、实数中几种概念1、相反数：只有符号不同两个数叫做互为相反数。（1）实数a相反数是-a；（2）a和b互为相反数a+b=02、倒数：（1）实数a（a≠0）倒数是；（2）a和b互为倒数；（3）注意0没有倒数3、绝对值：（1）一种数a绝对值有如下三种状况：（2）实数绝对值是一种非负数，从数轴上看，一种实数绝对值，就是数轴上表达这个数点到原点距离。（3）去掉绝对值符号（化简）必要要对绝对值符号里面实数进行数性（正、负）确认，再去掉绝对值符号。4、n次方根（1）平方根，算术平方根：设a≥0，称叫a平方根，叫a算术平方根。（2）正数平方根有两个，它们互为相反数；0平方根是0；负数没有平方根。（3）立方根：叫实数a立方根。（4）一种正数有一种正立方根；0立方根是0；一种负数有一种负立方根。三、实数与数轴1、数轴：规定了原点、正方向、单位长度直线称为数轴。原点、正方向、单位长度是数轴三要素。2、数轴上点和实数相应关系：数轴上每一种点都表达一种实数，而每一种实数都可以用数轴上唯一点来表达。实数和数轴上点是一一相应关系。四、实数大小比较1、在数轴上表达两个数，右边数总比左边数大。2、正数不不大于0；负数不大于0；正数不不大于一切负数；两个负数绝对值大反而小。五、实数运算1、加法：（1）同号两数相加，取本来符号，并把它们绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值大加数符号，并用较大绝对值减去较小绝对值。可使用加法互换律、结合律。2、减法：减去一种数等于加上这个数相反数。3、乘法：（1）两数相乘，同号取正，异号取负，并把绝对值相乘。（2）n个实数相乘，有一种因数为0，积就为0；若n个非0实数相乘，积符号由负因数个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数为奇数个时，积为负。（3）乘法可使用乘法互换律、乘法结合律、乘法分派律。4、除法：（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。（2）除以一种数等于乘以这个数倒数。（3）0除以任何数都等于0，0不能做被除数。5、乘方与开方：乘方与开方互为逆运算。6、实数运算顺序：乘方、开方为三级运算，乘、除为二级运算，加、减是一级运算，如果没有括号，在同一级运算中要从左到右依次运算，不同级运算，先算高档运算再算低档运算，有括号先算括号里运算。无论何种运算，都要注意先定符号后运算。六、有效数字和科学记数法1、科学记数法：设N＞0，则N=a×（其中1≤a＜10，n为整数）。2、有效数字：一种近似数，从左边第一种不是0数，到精准到数位为止，所有数字，叫做这个数有效数字。精准度形式有两种：（1）精准到那一位；（2）保存几种有效数字。代数某些第二章：代数式基本知识点：一、代数式1、代数式：用运算符号把数或表达数字母连结而成式子，叫代数式。单独一种数或者一种字母也是代数式。2、代数式值：用数值代代替数里字母，计算后得到成果叫做代数式值。3、代数式分类：二、整式关于概念及运算1、概念（1）单项式：像x、7、，这种数与字母积叫做单项式。单独一种数或字母也是单项式。单项式次数：一种单项式中，所有字母指数叫做这个单项式次数。单项式系数：单项式中数字因数叫单项式系数。（2）多项式：几种单项式和叫做多项式。多项式项：多项式中每一种单项式都叫多项式项。一种多项式具有几项，就叫几项式。多项式次数：多项式里，次数最高项次数，就是这个多项式次数。不含字母项叫常数项。升（降）幂排列：把一种多项式按某一种字母指数从小（大）到大（小）顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升（降）幂排列。（3）同类项：所含字母相似，并且相似字母指数也分别相似项叫做同类项。2、运算（1）整式加减：合并同类项：把同类项系数相加，所得成果作为系数，字母及字母指数不变。去括号法则：括号前面是“+”号，把括号和它前面“+”号去掉，括号里各项都不变；括号前面是“–”号，把括号和它前面“–”号去掉，括号里各项都变号。添括号法则：括号前面是“+”号，括到括号里各项都不变；括号前面是“–”号，括到括号里各项都变号。整式加减事实上就是合并同类项，在运算时，如果遇到括号，先去括号，再合并同类项。（2）整式乘除：幂运算法则：其中m、n都是正整数同底数幂相乘：；同底数幂相除：；幂乘方：积乘方：。单项式乘以单项式：用它们系数积作为积系数，对于相似字母，用它们指数和作为这个字母指数；对于只在一种单项式里具有字母，则连同它指数作为积一种因式。单项式乘以多项式：就是用单项式去乘多项式每一项，再把所得积相加。多项式乘以多项式：先用一种多项式每一项乘以另一种多项式每一项，再把所得积相加。单项除单项式：把系数，同底数幂分别相除，作为商因式，对于只在被除式里具有字母，则连同它指数作为商一种因式。多项式除以单项式：把这个多项式每一项除以这个单项，再把所得商相加。乘法 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 ：平方差公式：；完全平方公式：，三、因式分解1、因式分解概念：把一种多项式化成几种整式积形式，叫因式分解。2、惯用因式分解办法：（1）提取公因式法：（2）运用公式法：平方差公式：；完全平方公式：（3）十字相乘法：（4）分组分解法：将多项式项恰当分组后能提公因式或运用公式分解。（5）运用求根公式法：若两个根是、，则有：3、因式分解普通环节：（1）如果多项式各项有公因式，那么先提公因式；（2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法；（3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行再用求根公式法。（4）最后考虑用分组分解法。四、分式1、分式定义：形如式子叫分式，其中A、B是整式，且B中具有字母。（1）分式无意义：B=0时，分式无意义；B≠0时，分式故意义。（2）分式值为0：A=0，B≠0时，分式值等于0。（3）分式约分：把一种分式分子与分母公因式约去叫做分式约分。办法是把分子、分母因式分解，再约去公因式。（4）最简分式：一种分式分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。分式运算最后成果若是分式，一定要化为最简分式。（5）通分：把几种异分母分式分别化成与本来分式相等同分母分式过程，叫做分式通分。（6）最简公分母：各分式分母所有因式最高次幂积。（7）有理式：整式和分式统称有理式。2、分式基本性质：（1）；（2）（3）分式变号法则：分式分子，分母与分式自身符号，变化其中任何两个，分式值不变。3、分式运算：（1）加、减：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母分式相加减，先把它们通提成同分母分式再相加减。（2）乘：先对各分式分子、分母因式分解，约分后再分子乘以分子，分母乘以分母。（3）除：除以一种分式等于乘上它倒数式。（4）乘方：分式乘方就是把分子、分母分别乘方。五、二次根式1、二次根式概念：式子叫做二次根式。（1）最简二次根式：被开方数因数是整数，因式是整式，被开方数中不含能开得尽方因式二次根式叫最简二次根式。（2）同类二次根式：化为最简二次根式之后，被开方数相似二次根式，叫做同类二次根式。（3）分母有理化：把分母中根号化去叫做分母有理化。（4）有理化因式：把两个具有二次根式代数式相乘，如果它们积不具有二次根式，咱们就说这两个代数式互为有理化因式（惯用有理化因式有：与；与）2、二次根式性质：（1）；（2）；（3）（a≥0，b≥0）；（4）3、运算：（1）二次根式加减：将各二次根式化为最简二次根式后，合并同类二次根式。（2）二次根式乘法：（a≥0，b≥0）。（3）二次根式除法：二次根式运算最后成果如果是根式，要化成最简二次根式。2、化简求值：例6、先化简，再求值：，其中x=–1y=3、分式计算：例7、化简4、根式计算例8、已知最简二次根式和是同类二次根式，求b值。代数某些第三章：方程和方程组基本知识点：一、方程关于概念1、方程：具有未知数等式叫做方程。2、方程解：使方程左右两边值相等未知数值叫方程解，具有一种未知数方程解也叫做方程根。3、解方程：求方程解或方判断方程无解过程叫做解方程。4、方程增根：在方程变形时，产生不适合原方程根叫做原方程增根。二、一元方程1、一元一次方程（1）一元一次方程原则形式：ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，a≠0）（2）一玩一次方程最简形式：ax=b（其中x是未知数，a、b是已知数，a≠0）（3）解一元一次方程普通环节：去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1。（4）一元一次方程有唯一一种解。2、一元二次方程（1）一元二次方程普通形式：（其中x是未知数，a、b、c是已知数，a≠0）（2）一元二次方程解法：直接开平办法、配办法、公式法、因式分解法（3）一元二次方程解法选取顺序是：先特殊后普通，如果没有规定，普通不用配办法。（4）一元二次方程根鉴别式：当Δ＞0时方程有两个不相等实数根；当Δ=0时方程有两个相等实数根；当Δ<0时方程没有实数根，无解；当Δ≥0时方程有两个实数根（5）一元二次方程根与系数关系：若是一元二次方程两个根，那么：，（6）以两个数为根一元二次方程（二次项系数为1）是：三、分式方程（1）定义：分母中具有未知数方程叫做分式方程。（2）分式方程解法：普通解法：去分母法，方程两边都乘以最简公分母。特殊办法：换元法。（3）检查办法：普通把求得未知数值代入最简公分母，使最简公分母不为0就是原方程根；使得最简公分母为0就是原方程增根，增根必要舍去，也可以把求得未知数值代入原方程检查。四、方程组1、方程组解：方程组中各方程公共解叫做方程组解。2、解方程组：求方程组解或判断方程组无解过程叫做解方程组3、一次方程组：（1）二元一次方程组：普通形式：（不全为0）解法：代入消远法和加减消元法解个数：有唯一解，或无解，当两个方程相似时有无数解。（2）三元一次方程组：解法：代入消元法和加减消元法4、二元二次方程组：二、分式方程解法：例3、解下列方程：（2）；（2） 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ：（1）用去分母办法；（2）用换元法例4、已知关于x方程：有两个相等实数根，求p值。分析：由题意可得=0，把各系数代入=0中就可求出p，但要先化为普通形式。解：略[规律总结]对于根鉴别式三种状况要很纯熟，尚有要特别留意二次项系数不能为0例5、已知a、b是方程两个根，求下列各式值：（1）；（2）例6、求作一种一元二次方程，使它两个根分别比喻程两个根小3分析：先出求原方程两根之和和两根之积再代入求出和值，所求方程也就容易写出来。三、方程组例7、解下列方程组：（1）；（2）分析：（1）用加减消元法消x较简朴；（2）应当先用加减消元法消去y，变成二元一次方程组，较易求解。解：略[规律总结]加减消元法是最惯用消元办法，消元时那个未知数系数最简朴就先消那个未知数。例8、解下列方程组：（1）；（2）分析：（1）可用代入消远法，也可用根与系数关系来求解；（2）要先把第一种方程因式分解化成两个二元一次方程，再与第二个方程分别构成两个方程组来解。解：略[规律总结]对于一种二元一次方程和一种二元二次方程构成方程组普通用代入消元法，对于两个二元二次方程构成方程组，一定要先把其中一种方程因式分解化为两个一次方程再和第二个方程构成两个方程组来求解。代数某些第四章：列方程（组）解应用题知识点：一、列方程（组）解应用题普通环节1、审题：2、设未知数；3、找出相等关系，列方程（组）；4、解方程（组）；5、检查，作答；二、列方程（组）解应用题常用类型题及其等量关系；1、工程问题（1）基本工作量关系：工作量=工作效率×工作时间（2）常用等量关系：甲工作量+乙工作量=甲、乙合伙工作总量（3）注意：工程问题常把总工程看作“1”，水池注水问题属于工程问题2、行程问题（1）基本量之间关系：路程=速度×时间（2）常用等量关系：相遇问题：甲走路程+乙走路程=全路程追及问题（设甲速度快）：同步不同地：甲时间=乙时间；甲走路程–乙走路程=本来甲、乙相距路程同地不同步：甲时间=乙时间–时间差；甲路程=乙路程3、水中航行问题：顺流速度=船在静水中速度+水流速度；逆流速度=船在静水中速度–水流速度4、增长率问题：常用等量关系：增长后量=本来量+增长量；增长量=本来量×（1+增长率）；5、数字问题：基本量之间关系：三位数=个位上数+十位上数×10+百位上数×100三、列方程解应用题惯用办法1、译式法：就是将题目中核心性语言或数量及各数量间关系译成代数式，然后依照代数之间内在联系找出等量关系。2、线示法：就是用同始终线上线段表达应用题中数量关系，然后依照线段长度内在联系，找出等量关系。3、列表法：就是把已知条件和所求未知量纳入表格，从而找出各种量之间关系。4、图示法：就是运用图表达题中数量关系，它可以使量与量之间关系更为直观，这种办法能协助咱们更好地理解题意。代数某些第五章：不等式及不等式组知识点：一、不等式与不等式性质1、不等式：表达不等关系式子。（表达不等关系惯用符号：≠，＜，＞）。2、不等式性质：（l）不等式两边都加上（或减去）同一种数，不等号方向不变化，如a＞b，c为实数a＋c＞b＋c（2）不等式两边都乘以（或除以）同一种正数，不等号方向不变，如a＞b，c＞0ac＞bc。（3）不等式两边都乘以（或除以）同一种负数，不等号方向变化，如a＞b，c＜0ac＜bc.注：在不等式两边都乘以（或除以）一种实数时，一定要养成好习惯、就是先拟定该数数性（正数，零，负数）再拟定不等号方向与否变化，不能像应用等式性质那样随便，以防出错。3、任意两个实数a，b大小关系（三种）：（1）a–b＞0a＞b（2）a–b=0a=b（3）a–b＜0a＜b4、（1）a＞b＞0（2）a＞b＞0二、不等式（组）解、解集、解不等式1、能使一种不等式（组）成立未知数一种值叫做这个不等式（组）一种解。不等式所有解集合，叫做这个不等式解集。不等式组中各个不等式解集公共某些叫做不等式组解集。2．求不等式（组）解集过程叫做解不等式（组）。三、不等式（组）类型及解法1、一元一次不等式：（l）概念：具有一种未知数并且含未知数项次数是一次不等式，叫做一元一次不等式。（2）解法：与解一元一次方程类似，但要特别注意当不等式两边同乘以（或除以）一种负数时，不等号方向要变化。2、一元一次不等式组：（l）概念：具有相似未知数几种一元一次不等式所构成不等式组，叫做一元一次不等式组。（2）解法：先求出各不等式解集，再拟定解集公共某些。注：求不等式组解集普通借助数轴求解较以便。第六章： 函数 excel方差函数excelsd函数已知函数     2 f x m x mx m      2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载 及其图像知识点：一、平面直角坐标系1、平面内有公共原点且互相垂直两条数轴，构成平面直角坐标系。在平面直角坐标系内点和有序实数对之间建立了—一相应关系。2、不同位置点坐标特性：（1）各象限内点坐标有如下特性：点P（x，y）在第一象限x＞0，y＞0；点P（x，y）在第二象限x＜0，y＞0；点P（x，y）在第三象限x＜0，y＜0；点P（x，y）在第四象限x＞0，y＜0。（2）坐标轴上点有如下特性：点P（x，y）在x轴上y为0，x为任意实数。点P（x，y）在y轴上x为0，y为任意实数。3．点P（x，y）坐标几何意义：（1）点P（x，y）到x轴距离是|y|；（2）点P（x，y）到y袖距离是|x|；（3）点P（x，y）到原点距离是4．关于坐标轴、原点对称点坐标特性：（1）点P（a，b）关于x轴对称点是；（2）点P（a，b）关于x轴对称点是；（3）点P（a，b）关于原点对称点是；二、函数概念1、常量和变量：在某一变化过程中可以取不同数值量叫做变量；保持数值不变量叫做常量。2、函数：普通地，设在某一变化过程中有两个变量x和y，如果对于x每一种值，y均有唯一值与它相应，那么就说x是自变量，y是x函数。（1）自变量取值范畴确是：①解析式是只具有一种自变量整式函数，自变量取值范畴是全体实数。②解析式是只具有一种自变量分式函数，自变量取值范畴是使分母不为0实数。③解析式是只具有一种自变量偶次根式函数，自变量取值范畴是使被开方数非负实数。注意：在拟定函数中自变量取值范畴时，如果遇到实际问题，还必要使实际问题故意义。（2）函数值：给自变量在取值范畴内一种值所求得函数相应值。（3）函数表达办法：①解析法；②列表法；③图像法（4）由函数解析式作函数图像，普通环节是：①列表；②描点；③连线三、几种特殊函数1、一次函数直线位置与k，b关系：（1）k＞0直线向上方向与x轴正方向所形成夹角为锐角；（2）k＜0直线向上方向与x轴正方向所形成夹角为钝角；（3）b＞0直线与y轴交点在x轴上方；（4）b＝0直线过原点；（5）b＜0直线与y轴交点在x轴下方；2、二次函数抛物线位置与a，b，c关系：（1）a决定抛物线开口方向（2）c决定抛物线与y轴交点位置：c>0图像与y轴交点在x轴上方；c=0图像过原点；c<0图像与y轴交点在x轴下方；（3）a，b决定抛物线对称轴位置：a，b同号，对称轴在y轴左侧；b＝0，对称轴是y轴；a，b异号。对称轴在y轴右侧；3、反比例函数：4、正比例函数与反比例函数对照表：例题：例1、正比例函数图象与反比例函数图象都通过点P（m，4），已知点P到x轴距离是到y轴距离2倍.⑴求点P坐标.；⑵求正比例函数、反比例函数解析式。分析：由点P到x轴距离是到y轴距离2倍可知：2|m|=4，易求出点P坐标，再运用待定系数法可求出这正、反比例函数解析式。解：略例2、已知a，b是常数，且y+b与x+a成正比例.求证：y是x一次函数.分析：应写出y+b与x+a成正比例表达式，然后判断所得成果与否符合一次函数定义.证明：由已知，有y+b=k(x+a)，其中k≠0.整顿，得y=kx+(ka－b).　　　①由于k≠0且ka－b是常数，故y=kx+(ka－b)是x一次函数式.例3、填空：如果直线方程ax+by+c=0中，a＜0，b＜0且bc＜0，则此直线通过第________象限.分析：先把ax+by+c=0化为.由于a＜0，b＜0，因此，又bc＜0，即＜0，故－＞0.相称于在一次函数y=kx+l中，k=－＜0，l=－＞0，此直线与y轴交点(0，－)在x轴上方.且此直线向上方向与x轴正方向所成角是钝角，因此此直线过第一、二、四象限.例4、把反比例函数y=与二次函数y=kx2(k≠0)画在同一种坐标系里，对的是().答：选(D).这两个函数式中k正、负号应相似(图13－110).例5、画出二次函数y=x2-6x+7图象，依照图象回答下列问题：（1）当x=-1，1，3时y值是多少？（2）当y=2时，相应x值是多少？（3）当x＞3时，随x值增大y值如何变化？（4）当x值由3增长1时，相应y值增长多少？分析：要画出这个二次函数图象，一方面用配办法把y=x2-6x+7变形为y=（x-3）2-2，拟定抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标，然后列表、描点、画图．解：图象略．例6、拖拉机开始工作时，油箱有油45升，如果每小时耗油6升．（1）求油箱中余油量Q（升）与工作时间t（时）之间函数关系式；（2）画出函数图象．答：（1）Q=45-6t．（2）图象略．注意：这是实际问题，图象只能由自变量t取值范畴0≤t≤7.5决定是一条线段，而不是直线．代数某些第七章： 记录 混凝土 养护记录下载土方回填监理旁站记录免费下载集备记录下载集备记录下载集备记录下载 初步知识点：一、总体和样本：在记录时，咱们把所要考察对象全体叫做总体，其中每一考察对象叫做个体。从总体中抽取一某些个体叫做总体一种样本，样本中个体数目叫做样本容量。二、反映数据集中趋势特性数1、平均数（1）平均数，（2）加权平均数：如果n个数据中，浮现次，浮现次，……，浮现次（这里），则（3）平均数简化计算：当一组数据中各数据数值较大，并且都与常数a接近时，设平均数为则：。2、中位数：将一组数据接从小到大顺序排列，处在最中间位置上数据叫做这组数据中位数，如果数据个数为偶数中位数就是处在中间位置上两个数据平均数。3、众数：在一组数据中，浮现次数最多数据叫做这组数据众数。一组数据众数也许不止一种。三、反映数据波动大小特性数：1、方差：（l）方差，（2）简化计算公式：（为较小整数时用这个公式要比较以便）（3）记方差为，设a为常数，方差为，则=。注：当各数据较大而常数a较接近时，用该法计算方差较简便。2、原则差：方差（）算术平方根叫做原则差（S）。注：普通由方差求原则差。四、频率分布1、关于概念（1）分组：将一组数据按照统一原则提成若干组称为分组，当数据在100个以内时，普通提成5－12组。（2）频数：每个小组内数据个数叫做该组频数。各个小组频数之和等于数据总数n。（3）频率：每个小组频数与数据总数n比值叫做这一小组频率，各小组频率之和为l。（4）频率分布表：将一组数据分组及各组相应频数、频率所列成表格叫做频率分布表。（5）频率分布直方图：将频率分布表中成果，绘制成，以数据各分点为横坐标，以频率除以组距为纵坐标直方图，叫做频率分布直方图。图中每个小长方形高等于该组频率除以组距。每个小长方形面积等于该组频率。所有小长方形面积之和等于各组频率之和等于1。样本频率分布反映样本中各数据个数分别占样本容量n比例大小，总体分布反映总体中各组数据个数分别在总体中所占比例大小，普通是用样本频率分布去预计总体频率分布。2、研究频率分布办法；得到一数据频率分布和办法，普通是先整顿数据，后画出频率分布直方图，其环节是：（1）计算最大值与最小值差；（2）决定组距与组数；（3）决定分点；（4）列领率分布表；（5）绘频率分布直方图。第一章：线段、角、相交线、平行线九、有关角：1、对顶角：一种角两边分别是另一种角两边反向延长线，这两个角叫做对顶角。2、互为补角：如果两个角和是一种平角，这两个角做互为补角。3、互为余角：如果两个角和是一种直角，这两个角叫做互为余角。4、邻补角：有公共顶点，一条公共边，另两条边互为反向延长线两个角做互为邻补角。注意：互余、互补是指两个角数量关系，与两个角位置无关，而互为邻补角则规定两个角有特殊位置关系。十、角性质1、对顶角相等。2、同角或等角余角相等。3、同角或等角补角相等。十一、相交线1、斜线：两条直线相交不成直角时，其中一条直线叫做另一条直线斜线。它们交点叫做斜足。2、两条直线互相垂直：当两条直线相交所成四个角中，有一种角是直角时，就说这两条直线互相垂直。3、垂线：当两条直线互相垂直时，其中一条直线叫做另一条直线垂线，它们交点叫做垂足。4、垂线性质（l）过一点有且只有一条直线与己知直线垂直。（2）直线外一点与直线上各点连结所有线段中，垂线段最短。简朴说：垂线段最短。十二、距离1、两点距离：连结两点线段长度叫做两点距离。2、从直线外一点到这条直线垂线段长度叫做点到直线距离。3、两条平行线距离：两条直线平行，从一条直线上任意一点向另一条直线引垂线，垂线段长度，叫做两条平行线距离。阐明：点到直线距离和平行线距离事实上是两个特殊点之间距离，它们与点到直线垂线段是分不开。十三、平行线1、定义：在同一平面内，不相交两条直线叫做平行线。2、平行公理：通过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。3、平行公理推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。阐明：也可以说两条射线或两条线段平行，这事实上是指它们所在直线平行。4、平行线鉴定：（1）同位角相等，两直线平行。（2）内错角相等，两直线平行。（3）同旁内角互补，两直线平行。5、平行线性质（1）两直线平行，同位角相等。（2）两直线平行，内错角相等。（3）两直线平行，同旁内角互补。阐明：要证明两条直线平行，用鉴定公理（或定理）在已知条件中有两条直线平行时，则应用性质定理。6、如果一种角两边分别平行于另一种角两边，那么这两个角相等或互补。注意：当角两边平行且方向相似（或相反）时，这两个角相等。当角两边平行且一边方向相似另一方向相反时，这两个角互补。几何某些第二章：三角形三角形接边相等关系来分类：三角形用集合表达，见图2－4推论三角形两边差不大于第三边。不符合定理三条线段，不能构成三角形三边。例如三条线段长分别为5，6，1人由于5＋6＜12，因此这三条线段，不能作为三角形三边。三、三角形内角和定理三角形三个内角和等于180°由定理可知，三角形二个角已知，那么第三角可以由定理求得。如已知△ABC两个角为∠A＝90°，∠B＝40°，则∠C＝180°–90°–40°＝50°由定理可以懂得，三角形三个内角中，只也许有一种内角是直角或钝角。推论1：直角三角形两个锐角互余。三角形按角分类：用集合表达，见图可以完全重叠两个图形叫全等形。两个全等三角形重叠时，互相重叠顶点叫相应顶点，互相重叠边叫相应边，互相重叠角叫相应角。全等用符号“≌”表达△ABC≌△A`B`C`表达A和A`，B和B`，C和C`是相应点。全等三角形相应边相等；全等三角形相应角相等。如图2—7，△ABC≌△A`B`C`，则有A、B、C相应点A`、B`、C`；AB、BC、CA相应边是A`B`、B`C`、C`A`。∠A，∠B，∠C相应角是∠A`、∠B`、∠C`。∴AB＝A`B`，BC＝B`C`，CA＝C`A`；∠A＝∠A`，∠B＝∠B`，∠C＝∠C`五、全等三角形鉴定1、边角边公理：有两边和它们夹角相应相等两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）注意：一定要是两边夹角，而不能是边边角。2、角边角公理：有两角和它们夹边相应相等两个三角形全等（可以简写成“角边角“或“ASA”）3、推论有两角和其中一角对边相应相等两个三角形全等（可以简写成“角角边’域“AAS”）4、边边边公理有三边相应相等两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）由边边边公理可知，三角形重要性质：三角形稳定性。除了上面鉴定定理外，“边边角”或“角角角”都不能保证两个三角形全等。5、直角三角形全等鉴定：斜边、直角边公理有斜边和一条直角边相应相等两个直角三角形全等（可以简写成“斜边，直角边”或“HL”）六、角平分线定理1、在角平分线上点到这个角两边距离相等。定理2、一种角两边距离相等点，在这个角平分线上。由定理1、2可知：角平分线是到角两边距离相等所有点集合。可以证明三角形内存在一种点，它到三角形三边距离相等这个点就是三角形三条角平分线交点（交于一点）在两个命题中，如果第一种命题题设是第二个命题结论，而第一种命题结论又是第二个命题题设，那么这两个命题叫做互为逆命题，如果把其中一种做原命题，那么另一种叫它逆命题。如果一种定理逆命题通过证明是真命题，那么它也是一种定理，这两个定理叫互逆定理，其中一种叫另一种逆定理。例如：“两直线平行，同位角相等”和“同位角相等，两直线平行”是互逆定理。一种定理不一定有逆定理，例如定理：“对顶角相等”就没逆定理，由于“相等角是对顶角”这是一种假命颗。七、基本作图限定用直尺和圆规来画图，称为尺规作网＿最基本、最惯用尺规作图．普通称为基本作图，例如做一条线段等于己知线段。1、作一种角等于已知角：作法是使三角形全等（SSS），从而得到相应角相等；2、平分已知角：作法仍是使三角形全等（SSS）．从而得到相应角相等。3、通过一点作已知直线垂线：（1）若点在已知直线上，可看作是平分已知角平角；（2）若点在已知直线外，可用类似平分已知角办法去做：已知点C为圆心，恰当长为半径作弧交已知真线于A、B两点，再以A、B为圆心，用相似长为半径分别作弧交于D点，连结CD即为所求垂线。4、作线段垂直平分线：线段垂直平分线也叫中垂线。做法实质仍是全等三角形（SSS）。也可以用这个办法作线段中点。八、作图题举例重要解决求作三角形问题1、已知两边一夹角，求作三角形．2、已知底边上高，求作等腰三角形九、等腰三角形性质定理等腰三角形性质定理：等腰三角形两个底角相等（简写成“等边对等角”）推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，就是说：等腰三角形顶角平分线、底边上中线、底边上高互相重叠。推论2：等边三角形各角都相等，并且每一种角都等于60°例如：等腰三角形底边中线上任一点到两腰距离相等，由于等腰三角形底边中线就是顶角角平分线、而角平分线上点到角两边距离相等n十、等腰三角形鉴定定理：如果一种三角形有两个角相，那这两个角所对两条边也相等。（简写成“等角对等动”）。推论1：三个角都相等三角形是等边三角形推论2：有一种角等于60°等腰三角形是等边三角形推论3：在直角三角形中，如果一种锐角等于3O°，那么它所对直角边等于斜边一半。十一、线段垂直平分线定理：线段垂直平分线上点和这条线段两个端点距离相等逆定理：和一条线段两个端点距离相等点，在这条线段垂直平分线上。就是说：线段垂直平分线可以看作是和线段两个端点距离相等所有点集合。十二、轴对称和轴对称图形把一种图形沿着某一条直线折叠二如果可以与另一种图形重叠，那么就说这两个图形关于这条直线轴对称，两个图形中相应点叫关于这条直线对称点，这条直线叫对称轴。两个图形关于直线对称也叫轴对称。定理1：关于某条直线对称两个图形是全等形。定理2：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是相应点连线垂直平分线。定理3：两个图形关于某条直线对称，如果它们相应线段或延长相交。那么交点在对称轴上。逆定理：如果两个图形相应点连线被一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。如果一种图形沿着一条直线折叠，直线两旁某些可以互相重叠，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是对称轴。例如：等腰三角形顶角分角线就具备上面所述特点，因此等腰三角形顶角分角线是等腰三角形一条对称轴，而等腰三角形是轴对称图形。十三、勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边a、b平方和等于斜边c平方：勾股定理逆定理：如果三角形三边长a、b、c有下面关系：那么这个三角形是直角三角形例题：例1、已知：AB、CD相交于点O，AC∥DB，OC=OD,E、F为AB上两点，且AE=BF.求证：CE=DF分析：要证CE=DF，可证△ACE≌△BDF，但由已知条件直接证不出全等，这时由已知条件可先证出△AOC≌△BOD，得出AC=BD，从而证出△ACE≌△BDF.证明：略例2、已知：如图，AB=CD，BC=DA，E、F是AC上两点，且AE=CF。求证：BF=DE分析：观测图形，BF和DE分别在△CFB和△AED（或△ABF和△CDE）中，由已知条件不能直接证明这两个三角形全等。这时可由已知条件先证明△ABC≌△CDA,由此得∠1=∠2，从而证出△CFB≌△AED。证明：略例3、已知：∠CAE是三角形ABC外角，∠1=∠2，AD∥BC。求证：AB=AC证明：略例4、已知：如图3－89，OE平分∠AOB，EC⊥OA于C，ED⊥OB于D．求证：（1）OC＝OD；（2）OE垂直平分CD．分析：证明第（1）题时，运用“等角余角相等”可得到∠OEC＝∠OED，再运用角平分线性质定理得到OC＝OD．这样解决，可避免证明两个三角形全等．证明：略几何某些第三章：四边形知识点：一、多边形1、多边形：由某些线段首尾顺次连结构成图形，叫做多边形。2、多边形边：构成多边形各条线段叫做多边形边。3、多边形顶点：多边形每相邻两边公共端点叫做多边形顶点。4、多边形对角线：连结多边形不相邻两个顶点线段叫做多边形对角线。5、多边形周长：多边形各边长度和叫做多边形周长。6、凸多边形：把多边形任何一条边向两方延长，如果多边形其她各边都在延长线所得直线问旁，这样多边形叫凸多边形。阐明：一种多边形至少要有三条边，有三条边叫做三角形；有四条边叫做四边形；有几条边叫做几边形。此后所说多边形，如果不特别声明，都是指凸多边形。7、多边形角：多边形相邻两边所构成角叫做多边形内角，简称多边形角。8、多边形外角：多边形角一边与另一边反向延长线所构成角叫做多边形外角。注意：多边形外角也就是与它有公共顶点内角邻补角。9、n边形对角线共有条。阐明：运用上述公式，可以由一种多边形边数计算出它对角线条数，也可以由一种多边形对角线条数求出它边数。10、多边形内角和定理：n边形内角和等于（n－2）180°。11、多边形内角和定理推论：n边形外角和等于360°。阐明：多边形外角和是一种常数（与边数无关），运用它解决关于计算题比运用多边形内角和公式及对角线求法公式简朴。无论用哪个公式解决关于计算，都要与解方程联系起来，掌握计算办法。二、平行四边形1、平行四边形：两组对边分别平行四边形叫做平行四边形。2、平行四边形性质定理1：平行四边形对角相等。3、平行四边形性质定理2：平行四边形对边相等。4、平行四边形性质定理2推论：夹在平行线间平行线段相等。5、平行四边形性质定理3：平行四边形对角线互相平分。6、平行四边形鉴定定理1：一组对边平行且相等四边形是平行四边形。7、平行四边形鉴定定理2：两组对边分别相等四边形是平行四边形。8、平行四边形鉴定定理3：对角线互相平分四边形是平行四边形。9、平行四边形鉴定定理4：两组对角分别相等四边形是平行四边形。阐明：（1）平行四边形定义、性质和鉴定是研究特殊平行四边形基本。同步又是证明线段相等，角相等或两条直线互相平行重要办法。（2）平行四边形定义即是平行四边形一种性质，又是平行四边形一种鉴定办法。三、矩形矩形是特殊平行四边形，从运动变化观点来看，当平行四边形一种内角变为90°时，其他边、角位置也都随之变化。因而矩形性质是在平行四边形基本上扩充。1、矩形：有一种角是直角平行四边形叫做短形（普通也叫做长方形）2、矩形性质定理1：矩形四个角都是直角。3．矩形性质定理2：矩形对角线相等。4、矩形鉴定定理1：有三个角是直角四边形是矩形。阐明：由于四边形内角和等于360度，已知有三个角都是直角，那么第四个角必然是直角。5、矩形鉴定定理2：对角线相等平行四边形是矩形。阐明：要鉴定四边形是矩形办法是：法一：先证明出是平行四边形，再证出有一种直角（这是用定义证明）法二：先证明出是平行四边形，再证出对角线相等（这是鉴定定理1）法三：只需证出三个角都是直角。（这是鉴定定理2）四、菱形菱形也是特殊平行四边形，当平行四边形两个邻边发生变化时，即当两个邻边相等时，平行四边形变成了菱形。1、菱形：有一组邻边相等平行四边形叫做菱形。2、菱形性质1：菱形四条边相等。3、菱形性质2：菱形对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。4、菱形鉴定定理1：四边都相等四边形是菱形。5、菱形鉴定定理2：对角线互相垂直平行四边形是菱形。阐明：要鉴定四边形是菱形办法是：法一：先证出四边形是平行四边形，再证出有一组邻边相等。（这就是定义证明）。法二：先证出四边形是平行四边形，再证出对角线互相垂直。（这是鉴定定理2）法三：只需证出四边都相等。（这是鉴定定理1）（五）正方形正方形是特殊平行四边形，当邻边和内角同步运动时，又能使平行四边形一种内角为直角且邻边相等，这样就形成了正方形。1、正方形：有一组邻边相等并且有一种角是直角平行四边形叫做正方形。2、正方形性质定理1：正方形四个角都是直角，四条边都相等。3、正方形性质定理2：正方形两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。4、正方形鉴定定理互：两条对角线互相垂直矩形是正方形。5、正方形鉴定定理2：两条对角线相等菱形是正方形。注意：要鉴定四边形是正方形办法有办法一：第一步证出有一组邻边相等；第二步证出有一种角是直角；第三步证出是平行四边形。（这是用定义证明）办法二：第一步证出对角线互相垂直；第二步证出是矩形。（这是鉴定定理1）办法三：第一步证出对角线相等；第二步证出是菱形。（这是鉴定定理2）六、梯形1、梯形：一组对边平行而另一组对边不平行四边形叫做梯形。2、梯形底：梯形中平行两边叫做梯形底（普通把较短底叫做上底，较长边叫做下底）3、梯形腰：梯形中不平行两边叫做梯形腰。4、梯形高：梯形有两底距离叫做梯形高。5、直角梯形：一腰垂直于底梯形叫做直角梯形。6、等腰梯形：两腰相等梯形叫做等腰梯形。7、等腰梯形性质定理1：等腰梯形在同一底上两个角相等。8、等腰梯形性质定理2：等腰梯形两条对角线相等。9、等腰梯形鉴定定理l。：在同一种底上钩两个角相等梯形是等腰梯形。10、等腰梯形鉴定定理2：对角线相等梯形是等腰梯形。研究等腰梯形惯用办法有：化为一种等腰三角形和一种平行四边形；或两个全等直角三角形和一矩形；或作对角线平行线交下底延长线于一点；或延长两腰交于一点。七、中位线1、三角形中位线连结三角形两边中点线段叫做三角形中位线。阐明：三角形中位线与三角形中线不同。2、梯形中位线：连结梯形两腰中点线段叫做梯形中位线。3、三角形中位线定理：三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边一半。4、梯形中位线定理：梯形中位线平行于两底，并且等于两底和一半。八、多边形面积阐明：多边形面积惯用求法有：（1）将任意一种平面图形划分为若干某些再通过求某些面积和，求出本来图形面积这种办法叫做分割法。如图3－l，作六边形最长一条对角线，从其他各顶点向这条对角线引垂线，把六边形提成四个直角三角形和两个直角梯形，计算它们面积再相加。（2）将一种平面图形某一某些割下来移放在另一种恰当位置上，从而变化本来图形形状。运用计算变形后图形面积来求原图形面积这种办法。叫做割补法。——（3）将一种平面图形通过拼补某一图形，使它变为另一种图形，运用新图形减去所补充图形面积，来求出本来图形面积这种办法叫做拼凑法。注意：两个图形全等，它们面积相等。等底等高三角面积相等。一种图形面积等于它几何某些第四章：相似形知识点：一、比例线段1、比：选用同一长度单位量得两条线段。a、b长度分别是m、n，那么就说这两条线段比是a：b＝m：n（或）2、比前项，比后项：两条线段比a：b中。a叫做比前项，b叫做比后项。阐明：求两条线段比时，对这两条线段要用同一单位长度。3、比例：两个比相等式子叫做比例，如4、比例外项：在比例（或a：b＝c：d）中a、d叫做比例外项。5、比例内项：在比例（或a：b＝c：d）中b、c叫做比例内项。6、第四比例项：在比例（或a：b＝c：d）中，d叫a、b、c第四比例项。7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为（或a:b=b:c时，咱们把b叫做a和d比例中项。8、比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段比等于此外两条线段比，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。9、比例基本性质：如果a：b＝c：d那么ad＝bc逆命题也成立，即如果ad＝bc，那么a：b＝c：d10、比例基本性质推论：如果a：b=b：d那么b2=ad，逆定理是如果b2=ad那么a：b=b：c。阐明：两个论是比积相等式子叫做等积式。比例基本性质及推例式与等积式互化理论根据。11、合比性质：如果，那么12．等比性质：如果，（），那么阐明：应用等比性质解题时常采用设已知条件为k，这种办法思路单一，办法简朴不易出错。13、黄金分割把一条线段提成两条线段，使较长线段是原线段与较小线段比例中项，叫做把这条线段黄金分割。阐明：把一条线段黄金分割点，叫做这条线段黄金分割点，在线段AB上截取这条线段倍得到点C，则点C就是AB黄金分割点。二、平行线分线段成比例1、平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得线段相等，那么在其他直线上截得线段也相等。格式：如果直线L1∥L2∥L3，AB＝BC，那么：A1B1＝B1C1，如图4－l阐明：由此定理可知推论1和推论2推论1：通过梯形一腰中点与底平行直线必平分另一腰。格式：如果梯形ABCD，AD∥BC，AE＝EB，EF∥AD，那么DF=FC推论2：通过三角形一边中点与另一边平行直线必平分第三边。格式，如果△ABC中，D是AB中点，DE∥BC，那么AE＝EC，如图4—32、平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得相应线段成比例。阐明：平行线等分线段定理是平行线分线段成比问定理特殊状况。3．平行线分线段成比例定理推论：平行于三角形一边直线截其他两边，所得相应线段成比例。阐明1：平行线分线段成比例定理可用形象语言来表达。如图4—4阐明2：图4－4三种图形中这些成比例线段位置关系依然存在。4、三角形一边平行线鉴定定理。如果一条直线截三角形两边（或两边延长线）所得相应线段成比例，那么这条直线平行于三角形第三边。5、三角形一边平行线鉴定定理：平行于三角形一边，并且和其他两边相交直线，所截得三角形三边与原三角形三边相应成比例。6、线段内分点：在一条线段上一种点，将线段提成两条线段，这个点叫做这条线段内分点。7、线段外分点：在一条线段延长线上点，有时也叫做这条线段外分点。阐明：外分点分线段所得两条线段，也就是这个点分别和线段两个端点拟定线段。三、相似三角形1、相似三角形：两个相应角相等，相应边成比例三角形叫做相似三角形。阐明：证两个三角形相似时和证两个三角形全等同样，普通把表达相应顶点字母写在相应位置上，这样便于找出相似三角形相应角和相应边。2、相似比：相似三角形相应边比k，叫做相似比（或叫做相似系数）。3、相似三角形基本定理：平分于三角形一边直线和其他两边（或两边延长线）相交，所构成三角形与原三角形相似。阐明：这个定理反映了相似三角形存在性，因此有 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把它叫做相似三角形存在定理，它是证明三角形相似鉴定定理理论基本。4、三角形相似鉴定定理：（1）鉴定定理1：如果一种三角形两个角与另一种三角形两个角相应相等，那么就两个三角形相似。可简朴说成：两角相应相等，两三角形相似。（2）鉴定定理2：如果一种三角形两条边和另一种三角形两条边相应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简朴说成：两边相应成比例且夹角相等，两三角形相似。（3）鉴定定理3：如果一种三角形三条边与另一种三角形三条边相应成比例，那么这两个三角形相似，可简朴说成：三边相应成比例，两三角形相似。（4）直角三角形相似鉴定定理如果一种直角三角形斜边和一条直角边与另一种直角三角形斜边和一条直角边相应成比例，那么这两个直角三角形相似。阐明：以上四个鉴定定理不难证明，如下鉴定三角形相似命题是对的，在解题时，也可以用它们来鉴定两个三角形相似。第一：顶角（或底角）相等两个等腰三角形相似。第二：腰和底相应成比例两个等腰三角形相似。第三：有一种锐角相等两个直角三角形相似。第四：直角三角形被斜边上高提成两个直角三角形和原三角形相似。第五：如果一种三角形两边和其中一边上中线与另一种三角形两边和其中一边上中线相应成比例，那么这两个三角形．相似。5、相似三角形性质：（1）相似三角形性质1：相似三角形相应高比、相应中线比、相应角平分线比都等于相似比。（2）相似三角形性质2：相似三角形周长比等于相似比。阐明：以上两个性质简朴记为：相似三角形相应线段比等于相似比。（3）相似三角形面积比等于相似比平方。阐明：两个三角形相似，依照定义可知它们具备相应角相等、相应边成比例这个性质。6、简介有特点两个三角形（1）共边三角形指有一条公共边两个三角形叫做共边三角形。（2）共角三角形有一种角相等或互补两个三角形叫做共角三角形，如图4－6（3）公边共角有一种公共角，并且尚有一条公共边两个三角形叫做公边共角三角形。阐明：具备公边共角两个三角形相似，则公边平方等于叠在一条直线上两边乘积：如图4—7若△ACD∽△ABC，则AC2＝AD·AB第五章：解直角三角形知识点：一、锐角三角函数：在直角三角形ABC中，∠C是直角，如图5－11、正弦：把锐角A对边与斜边比叫做∠A正弦，记作2、余弦：把锐角A邻边与斜边比叫做∠A余弦，记作3、正切：把锐角A对边与邻边比叫做∠A正切，记作4、余切：把锐角A邻边与对边比叫做∠A余切，记作阐明：由定义可以看出tanA·cotA＝l（或写成）5、锐角三角函数：锐角A正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A锐角三角函数阐明：锐角三角函数都不能取负值。0＜sinA＜l；0＜cosA＜；l6、锐角正弦和余弦之间关系任意锐角正弦值等于它余角余弦值，任意锐角余弦值等于它余角正弦值。即sinA＝cos（90°一A）＝cosB；cosA＝sin（90°一A）＝sinB7、锐角正切和余切之间关系任意锐角正切值等于它余角余切值，任意锐角余切值等于它余角正切值。即tanA＝cot（90°一A）＝cotB；cotA＝tan（90°－A）＝tanB阐明：式中90°一A=B。8、三角函数值变化规律（1）当角度在0°—90°间变化时，正弦值（正切值随着角度增大（或减小）而增大（或减小）（2）当角度在0°—90°间变化时，余弦值（余切值）随着角度增大（或减小）而减小（或增大）。9、同角三角函数关系公式（1）；（2）；（3）tanA＝10．某些特殊角三角函数值二、解直角三角形由直角三角形中，除直角外已知元素，求出所有未知元素过程，叫做解直角三角形。若直角三角形ABC中，∠C＝90°，那么A、B、C，a，b，c中除∠C＝90°外，别的5个元素之间关于系：（l）；（2）∠A十∠B＝90°；（3）；；；因此，只要懂得其中2个元素（至少有一种是边），就可以求出别的3个未知数。例如Rt△ABC中，∠C＝90°，且∠A＝30°，a＝5，则由：三、应用举例是实际问题中解直角三角形，或者说用解直角三角形办法解决实际问题。例如一杆AB直立地面，从D点看杆顶A，仰角为60°，从C点看杆顶A，仰角为30°（如图5～2）若CD长为10米，求杆AB高。解：设AB＝x即，，即，，∴即杆高约8．66米，应用题中要注意：（1）仰角，俯角见图5－3（2）跨度、中柱：如房屋顶人字架跨度为AB，见图5—4（4）坡度、坡角见图5一6坡度i＝7坡度垂直高度h水平宽度，几何某些第六章：圆知识点：一、圆1、圆关于性质在一种平面内，线段OA绕它固定一种端点O旋转一周，另一种端点A随之旋转所形成图形叫圆，固定端点O叫圆心，线段OA叫半径。由圆意义可知：圆上各点到定点（圆心O）距离等于定长点都在圆上。就是说：圆是到定点距离等于定长点集合，圆内部可以看作是到圆。心距离不大于半径点集合。圆外部可以看作是到圆心距离不不大于半径点集合。连结圆上任意两点线段叫做弦，通过圆心弦叫直径。圆上任意两点间某些叫圆弧，简称弧。圆任意一条直径两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫半圆，不不大于半圆弧叫优弧；不大于半圆弧叫劣弧。由弦及其所对弧构成圆形叫弓形。圆心相似，半径不相等两个圆叫同心圆。可以重叠两个圆叫等圆。同圆或等圆半径相等。在同圆或等圆中，可以互相重叠弧叫等弧。二、过三点圆l、过三点圆过三点圆作法：运用中垂线找圆心定理不在同始终线上三个点拟定一种圆。通过三角形各顶点圆叫三角形外接圆，外接圆圆心叫外心，这个三角形叫圆内接三角形。2、反证法反证法三个环节：①假设命题结论不成立；②从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾；③由矛盾得出假设不对的，从而必定命题结论对的。例如：求证三角形中最多只有一种角是钝角。证明：设有两个以上是钝角则两个钝角之和＞180°与三角形内角和等于180°矛盾。∴不也许有二个以上是钝角。即最多只能有一种是钝角。三、垂直于弦直径圆是轴对称图形，通过圆心每一条直线都是它对称轴。垂径定理：垂直于弦直径平分这条弦，并且平分弦所对两条弧。推理1：平分弦（不是直径）直径垂直于弦，并且平分弦所对两条弧。弦垂直平分线通过圆心，并且平分弦所对两条弧。平分弦所对一条弧直径，垂直平分弦，并且平分弦所对另一种条弧。推理2：圆两条平行弦所夹弧相等。四、圆心角、弧、弦、弦心距之间关系圆是以圆心为对称中心中心对称图形。事实上，圆绕圆心旋转任意一种角度，都可以与本来图形重叠。顶点是圆心角叫圆心角，从圆心到弦距离叫弦心距。定理：在同圆或等圆中，相等圆心角所对弧相等，所对弦相等，所对弦心距相等。推理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦弦心距中，有一组量相等，那么它们所相应别的各组量都分别相等。五、圆周角顶点在圆上，并且两边都和圆相交角叫圆周角。推理1：同弧或等弧所对圆周角相等；同圆或等圆中，相等圆周角所对弧也相等。推理2：半圆（或直径）所对圆周角是直角；90°圆周角所对弦是直径。推理3：如果三角形一边上中线等于这边一半，那么这个三角形是直角三角形。由于以上定理、推理，所添加辅助线往往是添加能构成直径上圆周角辅助线。六、圆内接四边形多边形所有顶点都在同一种圆上，这个多边形叫圆内接多边形，这个圆叫这个多边形外接圆定理：圆内接四边形对角互补，并且任何一种外角都等于它内对角。例如图6—1，连EF后，可得：∠DEF＝∠B∠DEF＋∠A＝180°∴∠A＋∠B＝18ry∴BC∥DA七、直线和圆位置关系1、直线和圆有两个公共点