2023年上海市静安区新中高级中学数学高二第二学期期末达标检测模拟试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若曲线上任意一点处的切线的倾斜角都是锐角，那么整数等于（）A．0B．1C．D．2．下列函数在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（）A．B．C．D．3．已知复数，则复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．用数学归纳法证明，则当时左端应在的基础上（）A．增加一项B．增加项C．增加项D．增加项5．已知函数有两个不相同的零点，则的取值范围为（）A．B．C．D．6．定义在上的奇函数满足，当时，，则在区间上是(　　)A．增函数且B．增函数且C．减函数且D．减函数且7．直线是圆的一条对称轴，过点作斜率为1的直线，则直线被圆所截得的弦长为（）A．B．C．D．8．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为“鳖臑”.那么从长方体八个顶点中任取四个顶点，则这四个顶点组成的几何体是“鳖臑”的概率为（）A．B．C．D．9．端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个，则三种粽子各取到1个的概率是（）A．B．C．D．10．在数学归纳法的递推性证明中，由假设时成立推导时成立时，增加的项数是(　　)A．B．C．D．11．若动点与两定点，的连线的斜率之积为常数，则点的轨迹一定不可能是（　　）A．除两点外的圆B．除两点外的椭圆C．除两点外的双曲线D．除两点外的抛物线12．某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知实数，满足不等式组且的最大值为，则=_____．14．正三棱锥底面边长为1，侧面与底面所成二面角为45°，则它的全面积为________15．已知随机变量服从正态分布，若，则________．16．已知函数，则__________________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在直角坐标系中，圆C的方程为，以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆C的极坐标方程；(2)直线的极坐标方程是，射线与圆C的交点为，与直线的交点为，求线段的长．18．（12分）已知圆，点在抛物线上，为坐标原点，直线与圆有公共点.（1）求点横坐标的取值范围；（2）如图，当直线过圆心时，过点作抛物线的切线交轴于点，过点引直线交抛物线于两点，过点作轴的垂线分别与直线交于，求证：为中点.19．（12分）（1）设：实数x满足|x﹣m|＜2，设：实数x满足＞1；若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数m的取值范围（2）已知p：函数f（x）＝ln（x2﹣ax+3）的定义城为R，已知q：已知且，指数函数g（x）＝（a﹣1）x在实数域内为减函数；若￢p∨q为假命题，求实数a的取值范围．20．（12分）已知i为虚数单位，m为实数，复数.（1）m为何值时，z是纯虚数？（2）若，求的取值范围.21．（12分）（本小题满分12分）在等比数列中，.(1)求；(2)设，求数列的前项和.22．（10分）已知的展开式中第四项的系数与第二项的系数的比是．（1）求展开式中各项系数的和；（2）求展开式中含的项．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】求出原函数的导函数,由导函数大于0恒成立转化为二次不等式对应二次方程的判别式小于0,进一步求解关于的不等式得答案.【详解】解:由,得,曲线上任意点处的切线的倾斜角都为锐角,对任意实数恒成立,.解得:.整数的值为1.故答案为B【点睛】本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程,函数在某点处的导数值就是对应曲线上该点处的切线的斜率,考查了数学转化思想 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ,是中档题.2、C【解析】根据函数奇偶性定义，代入-x检验即可判断是奇函数或偶函数；根据基本初等函数的图像即可判断函数是否为增函数．【详解】A．在定义域上既不是增函数，也不是减函数；B．在定义域上既不是偶函数，也不是奇函数；C．在其定义域上既是奇函数又是增函数；D．在定义域上既不是偶函数，也不是奇函数，故选C．【点睛】本题考查了函数的奇偶性及单调性的简单应用，属于基础题．3、D【解析】因为，所以复数在复平面内对应的点为，在第四象限，选D.4、D【解析】明确从变为时，等式左端的变化，利用末尾数字作差即可得到增加的项数.【详解】当时，等式左端为：当时，等式左端为：需增加项本题正确选项：【点睛】本题考查数学归纳法的基础知识，关键是明确等式左端的数字变化规律.5、C【解析】对函数求导得，当时，原函数单调递增，不能有两个零点，不符合题意，当时，为最小值，函数在定义域上有两个零点，则，即，又，则在上有唯一的一个零点，由，那么，构造新函数，求导可得g(a)单调性，再由，即可确定f(x)在上有一个零点，则a的范围可知．【详解】函数的定义域为，且.①当时，成立，所以函数在为上增函数，不合题意；②当时，，所以函数在上为增函数；当时，，所以函数在上为减函数.此时的最小值为，依题意知，解得.由于，，函数在上为增函数，所以函数在上有唯一的一个零点.又因为，所以.，令，当时，，所以.又，函数在上为减函数，且函数的图象在上不间断，所以函数在上有唯一的一个零点.综上，实数的取值范围是.故选C.【点睛】本题考查已知函数有两个不同零点，利用导数求函数中参数的取值范围．通过求导逐步缩小参数a的范围，题中为的最小值且，解得，，先运用零点定理确定点a右边有唯一一个零点，同理再通过构造函数，求导讨论单调性的方法确定点a左边有另一个唯一一个零点，最终得出参数范围，题目有一定的综合性．6、B【解析】先利用函数奇偶性求出函数在上的解析式，然后利用周期性求出函数在上的解析式，结合解析式对其单调性以及函数值符号下结论．【详解】设，则，，由于函数为上的奇函数，则，当时，，则.所以，函数在上是增函数，且当时，，，故选B.【点睛】本题考查函数单调性与函数值符号的判断，解决函数问题关键在于求出函数的解析式，本题的核心在于利用奇偶性与周期性求出函数的解析式，属于中等题．7、C【解析】由是圆的一条对称轴知，其必过圆心，因此，则过点斜率为1的直线的方程为，圆心到其距离，所以弦长等于，故选C．8、C【解析】本题是一个等可能事件的概率，从正方体中任选四个顶点的选法是，四个面都是直角三角形的三棱锥有4×6个，根据古典概型的概率公式进行求解即可求得．【详解】由题意知本题是一个等可能事件的概率，从长方体中任选四个顶点的选法是，以A为顶点的四个面都是直角三角形的三棱锥有：共个．同理以为顶点的也各有个，但是，所有列举的三棱锥均出现次，四个面都是直角三角形的三棱锥有个，所求的概率是故选：C．【点睛】本题主要考查了古典概型问题，解题关键是掌握将问题转化为从正方体中任选四个顶点问题，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.9、C【解析】试题分析：由题可先算出10个元素中取出3个的所有基本事件为；种情况；而三种粽子各取到1个有种情况，则可由古典概率得；考点：古典概率的算法．10、C【解析】分析：分别计算当时，，当成立时，，观察计算即可得到答案详解：假设时成立，即当成立时，增加的项数是故选点睛：本题主要考查的是数学归纳法。考查了当和成立时左边项数的变化情况，考查了理解与应用的能力，属于中档题。11、D【解析】根据题意可分别 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示出动点与两定点的连线的斜率,根据其之积为常数，求得和的关系式，对的范围进行分类讨论，分别讨论且和时，可推断出点的轨迹.【详解】因为动点与两定点，的连线的斜率之积为常数，所以，整理得，当时，方程的轨迹为双曲线；当时，且方程的轨迹为椭圆；当时，点的轨迹为圆，抛物线的标准方程中，或的指数必有一个是1,故点的轨迹一定不可能是抛物线，故选D.【点睛】本题主要考查直接法求轨迹方程、点到直线的距离公式及三角形面积公式，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入.本题就是利用方法①求动点的轨迹方程的.12、B【解析】根据题意得到，计算得到答案.【详解】播下3粒种子恰有2粒发芽的概率.故选：.【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】作出可行域，目标函数可变为，令，作出，由平移可知直线过时取最大值，则．则．故本题应填．14、.【解析】分析：设正三棱锥P-ABC的侧棱长为2a,PO为三棱锥的高，做PD垂直于AB，连OD，则PD为侧面的高，OD为底面的高的三分之一，在三角形POD中构造勾股定理，列出方程，得到斜高即可．详解：设正三棱锥P-ABC的侧棱长为2a,PO为三棱锥的高，做PD垂直于AB，连OD，则PD为侧面的高，OD为底面的高的三分之一，在三角形POD中故全面积为：故答案为.点睛：这个题目考查了正三棱锥的表面积的求法，其中涉及到体高，斜高和底面的高的三分之一构成的常见的模型；正三棱锥还有一特殊性即对棱垂直，这一性质在处理相关小题时经常用到.15、0.4558【解析】随机变量服从正态分布，，根据对称性可求得的值，再根据概率的基本性质，可求得.【详解】因为，所以，故．所以．故答案为：0.4558.【点睛】本题考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题.16、【解析】对函数求导，再令可求出，于是可得出函数的解析式。【详解】对函数求导得，，解得，因此，，故答案为：.【点睛】本题考查导数的计算，在求导数的过程中，注意、均为常数，可通过在函数解析式或导数解析式赋值解得，考查运算求解能力，属于中等题。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)；(2)3.【解析】（1）通过直角坐标与极坐标互化公式，即可求得圆C的极坐标方程；（2）直接联立直线方程和射线方程可以解出点Q，联立圆的方程和射线方程求出点P，即可求得线段的长。【详解】(1)将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入x2＋(y－2)2＝4，得圆C的极坐标方程为.(2)设P(ρ1，θ1)，则由,解得ρ1＝2，θ1＝.设Q(ρ2，θ2)，则由,解得ρ2＝5，θ2＝.所以|PQ|＝ρ2－ρ1＝3.【点睛】本题主要考查普通方程与极坐标方程的互化，曲线交点的求法以及极坐标方程的应用，考查学生的数学运算能力。18、（1）（2）见证明【解析】（1）设，联立抛物线，再利用圆与直线相交建立不等式，从而确定点横坐标的取值范围；（2）可先找到函数关系式，利用导数确定切线的斜率，设，利用韦达定理即可证明为中点.【详解】解：（1）由题意直线斜率存在且不为零，设到的距离为，所以（2）当直线过圆心时，，所以，即，所以，设，由得，所以，即为中点．【点睛】本题主要考查了直线与圆，抛物线的位置关系，切线问题等，综合性强，直线与圆的相关计算常考点到直线的距离公式，必须熟记.19、（1）；（2）【解析】（1）解绝对值不等式求得中的范围，解分式不等式求得中的取值范围.由是的必要不充分条件知是的充分不必要条件，由此列不等式组，解不等式组求得的取值范围.（2）根据的定义域为求得为真时，的取值范围.根据的单调性求得为假时的取值范围.为假命题可知真假，由此列不等式组，解不等式组求得的取值范围.【详解】（1）记，即由条件是的必要不充分条件知是的充分不必要条件，从而有是的真子集，则，可得，故（2）当为真命题时，函数的定义域为，则恒成立，即，从而；条件为假命题可知真假，当为假命题时有即从而当真假有即,故【点睛】本小题主要考查绝对值不等式、分式不等式的解法，考查对数函数的定义域，考查指数函数的单调性，考查含有简单逻辑联结词命题真假性有关知识，属于中档题.20、（1）；（2）【解析】（1）利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部为0且虚部不为0求解m的值；（2）由复数的几何意义，画出图形，数形结合得答案【详解】（1）．当时，即时，z是纯虚数；（1）可设复数对应的点为，则由，得，即点在直线上，又，点的轨迹为直线与圆相交的弦，则表示线段上的点到的距离，由图象可知，当时，距离最小，即点到直线的距离，则由得或，，的取值范围是.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，点到直线的距离公式，两点间的距离公式，属于中档题．21、(1).（2）.【解析】试题分析：(1)设的公比为q，依题意得方程组，解得，即可写出通项公式.（2）因为，利用等差数列的求和公式即得.试题解析：(1)设的公比为q，依题意得，解得，因此，.（2）因为，所以数列的前n项和.考点：等比数列、等差数列.22、（1）1；（2）．【解析】（1）由条件求出，然后令即得展开式中各项系数的和（2）写出通项公式，然后令的次数为-1，即可得出答案【详解】解：第四项系数为，第二项的系数为，则，化简得，即解得，或（舍去）．（1）在二项式中令，即得展开式各项系数的和为．（2）由通式公式得，令，得．故展开式中含的项为．【点睛】本题考查的是二项式定理的相关知识，属于基本题型.