2021.05.05+理论攻坚-数量关系2+胡一萌+（讲义+笔记）（2021三支一扶系统班）

理论攻坚-数量关系2（讲义+笔记）主讲教师：胡一萌授课时间：2021.05.05粉笔公考·官方微信理论攻坚-数量关系2（讲义）第一节 工程 路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理 问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 一、给完工时间型1.特征：给多个完成时间。2. 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ：（1）赋工作总量（时间的公倍数）。（2）计算效率（效率=工作总量/时间）。（3）根据工作过程列式。【例1】单独完成某项工程，甲、乙、丙三人分别需10小时、15小时、20小时，开始三人一起干，后因工作需要，甲中途调走了，结果共用了6小时完成了这项工作。那么，甲实际工作了（）小时。A.2B.4C.5D.3【例2】一项工程，甲单独做24天完成，乙单独做36天完成。如果按照甲、乙、甲、乙……的顺序交替工作，每人每次做3天，则完成这项工程一共需要（）天。A.28B.29C.30D.31二、给效率比例型1.特征：给多个效率的比例关系。2.方法：（1）赋效率（尽量赋为整数）。（2）计算工作总量（工作总量=效率*时间）。（3）根据工作过程列式。【例3】甲、乙、丙三人共同完成一项工程，他们的工作效率之比是5∶4∶6。先由甲、乙两人合作6天，再由乙单独做9天，完成全部工程的60%，若剩1下的工程由丙单独完成，则丙所需要的天数是（）。A.9B.11C.10D.15【例4】有一批零件，甲和乙合作需要15天完成。若甲和乙合作10天后，乙再独自工作6天，最后这批零件还有总任务的1/10没完成，则甲单独做这批零件需要（）天。A.30B.36C.38D.40【例5】某工程50人进行施工。如连续施工20天，每天工作10小时，正好按期完成。但施工过程中遭遇原料短缺，有5天时间无法施工。工期还剩8天时，工程队增派15人并加班施工。若工程队想按期完成，则平均每天需工作（）小时。A.12.5B.11C.13.5D.11.5三、给具体数值型1.特征：给效率的具体值或工作总量的具体值。2.方法：方程法。【例6】甲、乙、丙三员工共同修剪6060平方米草地，甲的修剪效率为30平方米/分钟，乙的修剪效率为40平方米/分钟，丙的修剪效率为60平方米/分钟。上午，甲7点30分开始修剪，乙7点45分开始，丙8点15分开始，他们同一时间完成工作，乙用了（）分钟。A.56B.57C.58D.59第二节行程问题一、基础行程问题21.利用公式直接运算：路程=速度*时间。2.火车过桥：路程=桥长+火车长。3.等距离平均速度：=2V1V2/（V1+V2）。【例1】一列火车要通V过两座大桥，已知完全通过第一座大桥用时30秒，桥长650米，之后为了尽快到达目的地，火车将速度提升了25%，随后完全通过第二座大桥用时40秒，桥长1250米。问火车的长度为多少米？（）A.150B.175C.200D.250【例2】甲去北京出差，去时坐飞机，返回时坐高铁。若飞机的速度比高铁快3倍，且往返平均速度为480千米/小时，问甲乘坐的飞机速度为多少千米/小时？（）A.720千米/小时B.768千米/小时C.960千米/小时D.1200千米/小时二、相对行程问题1.相遇：同时出发，相向而行。路程和=（大速度+小速度）*相遇时间。2.追及：同时出发，同向而行。路程差=（大速度–小速度）*追及时间。3.环形：相遇n次，路程和为n圈；追及n次，路程差为n圈。4.流水行船：顺水速度=船速+水速；逆水速度=船速-水速。【例3】甲、乙两人从相距10千米的地方相向而行，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米。甲出发时带着一只狗，狗每小时跑10千米，当狗碰到乙的时候就往回跑向甲，碰到甲的时候又折回跑向乙，如此反复。当甲、乙两人相遇时，狗跑的路程是（）。A.10千米B.12千米C.15千米D.20千米【例4】某宣讲团甲宣传员骑摩托车从红星村出发以20公里/小时的速度去相距60公里的八一村，1小时后由于路面湿滑，速度减少一半，在甲出发1小3时后，乙宣传员以50公里/小时的速度开车从红星村出发追甲，当乙追上甲时，他们与八一村的距离为（）。A.25公里B.30公里C.35公里D.40公里【例5】两名运动员在湖的周围环形道上练习长跑，甲每分钟跑250米，乙每分钟跑200米，两人同时同地同向出发，经过45分钟甲追上乙；如果两人同时同地反向出发，经过（）分钟两人相遇。A.3B.4C.5D.6【例6】在一次航海模型展示活动中，甲、乙两款模型在长100米的水池两边同时开始相向匀速航行，甲款模型航行100米要72秒，乙款模型航行100米要60秒，若调头转身时间略去不计，在12分钟内甲、乙两款模型相遇次数是（）。A.9B.10C.11D.12【例7】甲、乙两港口相距360千米，某船只从甲港口顺流而下至乙港口需要4.5小时，从乙港口返回至甲港口所花的时间为顺流的2倍。假设该船只的静水速度一定，则该河的水流速度为（）千米/小时。A.12B.15C.18D.20三、比例行程1.s相等（不变），v、t成反比。2.t相等（不变），s、v成正比。3.v相等（不变），s、t成正比。【例8】甲、乙、丙三人都始终以匀速进行400米赛跑，当甲冲过终点时，领先乙50米，领先丙120米。当乙到达终点时，领先丙多少米？（）4A.40米B.70米C.80米D.90米5理论攻坚-数量关系2（笔记）第一节工程问题【注意】工程问题：如修路、建桥、一项工程给甲乙丙丁去做。1.三量关系：总量=效率*时间（W=P*t），效率代 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单位时间的工作量，如小明每小时可以做50道数量关系（P），他做了2小时（t），一共可以做W=P*t=50*2=100道数量关系。2.考查题型：（1）给完工时间型。（2）给效率比例型。（3）给具体单位型。一、给完工时间型1.特征：给多个完成时间。2.方法：（1）赋工作总量（时间的公倍数）。（2）计算效率（效率=工作总量/时间）。（3）根据工作过程列式。【知识点】给完工时间型：1.题型特征：给完成同一个工程的多个完工时间。2.例：搬完一车砖，小古需要4小时，小月需要3小时，现俩人合作搬完，需要多久？答：4小时、3小时是完成工作的时间，完成同一项工程，出现多个时间，是给完工时间型工程问题。t=W/（P古+P月）=W/（W/4+W/3），W都会被约掉，不影响最后的结果，可以设工作总量为单位1，则t=1/（1/4+1/3），出现分数，不方便计算；可以设工作总量为3和4的最小公倍数12，P古=12/4=3，P月=12/3=4，故t=12/（3+4）=12/7小时。3.方法步骤：（1）赋总量（时间的公倍数）。6（2）算效率：效率=总量/时间。（3）根据过程列式求解。4.找公倍数训练：短除法（两两之间没有公因数为止）。（1）25、30：先找25和30的公约数，25、30都有公因子5，结果分别为5、6；5、6没有公因数，将最外围的数字相乘，最小公倍数=5*5*6=150。（2）8、12、18：8、12、18都有公因子2，结果分别为4、6、9；4、6还有公因子2，结果分别为2、3，将9抄在下面；3、9有公因子3，结果分别为1、3，将2抄在下面；2、1、3两两之间都没有公因数，将最外围的数字相乘，2*2*3*2*1*3=72。【例1】单独完成某项工程，甲、乙、丙三人分别需10小时、15小时、20小时，开始三人一起干，后因工作需要，甲中途调走了，结果共用了6小时完成了这项工作。那么，甲实际工作了（）小时。A.2B.4C.5D.3【解析】例1.单独给出了三个完工时间10小时、15小时、20小时，为给定完工时间型的工程问题。（1）赋总量：赋值总量为完工时间10、15、20的公倍数60（短除法，10、15、20有公因子5，结果为2、3、4；2和4还有公因子2，结果为1、3、2；1、3、2没有公因子，最小公倍数=5*2*1*3*2=60）。（2）算7效率：甲的效率=60/10=6，乙的效率=60/15=4，丙的效率=60/20=3。（3）列式求解：设甲的工作时间为t，W甲+W乙+W丙=60，6t+4*6+3*6=60，6t+24+18=60，6t=18，解得t=3，对应D项。【选D】【例2】一项工程，甲单独做24天完成，乙单独做36天完成。如果按照甲、乙、甲、乙……的顺序交替工作，每人每次做3天，则完成这项工程一共需要（）天。A.28B.29C.30D.31【解析】例2.给出多个完工时间，为给定完工时间型工程问题。（1）赋总量：赋值总量为完工时间24、36的公倍数72（短除法，24和36有公因子12，结果为2、3，最小公倍数=12*2*3=72）。（2）算效率：甲的效率=72/24=3，乙的效率=72/36=2。（3）列式求解：“按照甲、乙、甲、乙……的顺序交替工作”，说明甲3天、乙3天为一个周期，一个周期的工作量=3*3+2*3=15，需要72/15=4个周期……12个工作量，剩余的12个工作量：甲3天完成3*3=9，剩下3个工作量给乙干，乙还需要干3/2=1.5天。4个周期包含4*6=24天，剩余12个工作量中甲工作3天，乙工作3/2=1.5天，总时间=24+3+1.5=28.5天，28天无法完成全部工作，肯定要向上取整，为29天，对应B项。【选B】【注意】解题技巧：1.找到周期（甲3天乙3天）。2.算出一个周期的工作量（3*3+2*3=15）。3.算出需要几个周期（72/15=4个周期……12个工作量）。4. 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 剩余工作量（甲3天干3*3=9个工作量，剩下3个工作量由乙干需要3/2=1.5天，4*6+3+1.5=28.5，向上取整）。8二、给效率比例型1.特征：给多个效率的比例关系。2.方法：（1）赋效率（尽量赋为整数）。（2）计算工作总量（工作总量=效率*时间）。（3）根据工作过程列式。【知识点】给定效率比例型：1.题型特征：给多个效率的比例关系。2.例：小古和小月的效率之比为2：3，两人合作完成一项工程需要4天，则小古单独做需要几天？答：给出了效率之比，没有给时间，所以不能赋总量，可以假设小谷的效率为2x、小月的效率为3x，工作总量=（2x+3x）*4=20x，t=20x/（2x）=10天。最终x可以约掉，不影响计算结果，可以直接把小古和小月的效率设为2和3，P古=2、P月=3，W=（2+3）*4=20，t=20/2=10天。3.方法步骤：（1）赋效率（满足比例即可）。（2）算总量：效率*时间=总量。（3）根据工作过程列式求解。4.效率比例72变（出题形式）：（1）直接给：甲的效率是乙的1.5倍，则甲/乙=3/2；甲：乙=3：2；甲比乙快50%，快50%相当于快1/2，甲/乙=3/2。（2）间接给（比较难）：甲4天的工作量等于乙3天的工作量（工作量相等），4甲=3乙，甲/乙=3/4；或者根据W=P*t，如果工作总量W相同，P和t成反比（如果效率为1：2，时间就是2：1），即如果时间之比为4：3，效率之比为3：4。甲完成工作时，乙只完成一半，时间相同，工作量之比为2：1；根据t相同，W和P成正比（效率越大，工作量越大），则甲乙效率之比为2：1。（3）特殊形式：给具体人数或机器数，赋值每个人/每台机器效率为1（默认每个人/每台机器效率相同）；一项工程需要30台机器工作15小时才能完成（设每台机器的效率为1，W=30*1*15）。9【例3】甲、乙、丙三人共同完成一项工程，他们的工作效率之比是5：4：6。先由甲、乙两人合作6天，再由乙单独做9天，完成全部工程的60%，若剩下的工程由丙单独完成，则丙所需要的天数是（）。A.9B.11C.10D.15【解析】例3.“工作效率之比是5：4：6”，属于直接给效率比例型的工程问题。（1）赋效率：赋值甲的效率为5，乙的效率为4，丙的效率为6。（2）算总量：（5+4）*6+4*9=W*60%，90=W*60%，W=90/60%。（3）列式求解：t=40%*W/6=（90/60%*40%）/6=60/6=10天，对应C项。【选C】【例4】有一批零件，甲和乙合作需要15天完成。若甲和乙合作10天后，乙再独自工作6天，最后这批零件还有总任务的1/10没完成，则甲单独做这批零件需要（）天。A.30B.36C.38D.40【解析】例4.没有直接给效率的比例关系，但是给出了两种工作方式；“最后这批零件还有总任务的1/10没完成”，相当于完成了9/10，可以根据工作总量列式计算。“甲和乙合作需要15天完成”，（甲+乙）*15=W①；“甲和乙合作10天后，乙再独自工作6天，最后这批零件还有总任务的1/10没完成”，（甲+乙）*10+6*乙=W*（9/10）②；都有W，可以试着约去，①*9、②*10得：（甲+乙）*15*9=（甲+乙）*100+60*乙，7*（甲+乙）=12*乙，7*甲=5*乙，甲/乙=5/7。（1）赋效率：赋值甲的效率为5，乙的效率为7。（2）算总量：W=（5+7）*15，先不用着急算出结果。（3）列式求解：设甲单独做这批零件需要的时间为t，t=W/甲=（5+7）*15/5=36天，对应B项。【选B】【例5】某工程50人进行施工。如连续施工20天，每天工作10小时，正好按期完成。但施工过程中遭遇原料短缺，有5天时间无法施工。工期还剩8天时，工程队增派15人并加班施工。若工程队想按期完成，则平均每天需工作10（）小时。A.12.5B.11C.13.5D.11.5【解析】例5.出现多个人，属于特殊型的给效率比例型，一般赋值每人每天每小时的效率为1，那么50个人的效率就是50。（1）赋效率：赋值每人每天每小时的效率为1。（2）算总量：W=50*1*200。（3）列式求解：用一条线段表示时间，原本工期是20天，实际施工时有5天未能施工，剩下15天中工期还剩8天，说明已经干了20-5-8=7天，设剩余8天每天的工作时间为t，列式为：50*1*70*10+（50+15）*1*8t=50*1*200，65*8t=50*130，8t=100，解得t=12.5，对应A项。【选A】三、给具体数值型1.特征：给效率的具体值或工作总量的具体值。2.方法：方程法。【知识点】给具体数值型：1.题型特征：给效率的具体值或工作总量的具体值。2.方法：（1）设未知数。（2）根据工作过程列方程（优先以工作量为等量关系，W=P*t）。3.例：每天修300米，每天栽100棵树，给出了效率的具体值；要修5000米的路；要栽1000棵树，给出了工作总量的具体值。【例6】甲、乙、丙三员工共同修剪6060平方米草地，甲的修剪效率为30平方米/分钟，乙的修剪效率为40平方米/分钟，丙的修剪效率为60平方米/分钟。上午，甲7点30分开始修剪，乙7点45分开始，丙8点15分开始，他们11同一时间完成工作，乙用了（）分钟。A.56B.57C.58D.59【解析】例6.给出的工作总量和效率都是带单位的具体值，直接设未知数，根据等量关系列式求解。“甲7点30分开始修剪，乙7点45分开始，丙8点15分开始，他们同一时间完成工作”，W甲+W乙+W丙=W=6060，甲开始的时间为7：30，乙开始的时间为7：45，丙开始的时间为8：15，三个人在同一时间完成。假设乙从开始到完成经历的时间为x分钟，甲比乙多工作7：45-7：30=15分钟，则甲的工作时间为x+15，丙比乙少工作8：15-7：45=30分钟，则丙的工作时间为x-30，W甲+W乙+W丙=6060，30*（x+15）+40x+60*（x-30）=6060，3*（x+15）+4x+6*（x-30）=606，13x=606-45+180，13x=741，解得x=57分钟，对应B项。【选B】【注意】工程问题：1.给完工时间型（简单）：（1）特征：给多个完工时间。（2）方法：赋工作量、计算效率、列方程求解。（3）技巧：工作量一般赋为时间的公倍数。2.给效率比例型（花样多）：（1）特征：给效率的比例关系。（2）方法：赋效率、计算工作量、列方程求解。（3）技巧：按比例赋效率，尽量赋整数。123.给具体数值型：（1）特征：给效率或工作量的具体值。（2）方法：找等量关系列方程。（3）技巧：以工作量为等量关系。第二节行程问题【注意】行程问题：挑着学，挑着做。1.三量关系：路程=速度*时间（S=V*t）。2.考查题型：（1）基础行程问题。（2）相对行程问题。（3）比例行程。一、基础行程问题1.利用公式直接运算：路程=速度*时间。2.火车过桥：路程=桥长+火车长。3.等距离平均速度：=2V1V2/（V1+V2）。【知识点】基础行程V：1.基本公式考查：路程=速度*时间（S=V*t）。（1）例：飞行员前4分钟用半速飞行，后4分钟用全速飞行，在8分钟内一共飞行72千米，则飞机的时速是（）。A.360千米B.540千米C.720千米D.840千米答：设飞机的时速为V，S=V*t，列式为：4*（1/2）*V+4V=72，6V=72，解得V=12千米/分钟，发现选项没有答案；要注意单位，12千米/分钟=720千米/小时，对应C项。（2）1米/秒=60米/分钟=3600米/小时=3.6千米/小时。2.火车过桥：（1）火车过桥：路程=桥长+火车长（不可以忽略车身长）。13（2）火车完全在桥上：路程=桥长-火车长。（3）火车过杆：路程=火车长。3.等距离平均速度。【例1】一列火车要通过两座大桥，已知完全通过第一座大桥用时30秒，桥长650米，之后为了尽快到达目的地，火车将速度提升了25%，随后完全通过第二座大桥用时40秒，桥长1250米。问火车的长度为多少米？（）A.15B.175C.200D.250【解析】例1.涉及到两列火车过桥问题，桥长+车长=S。方法一：设火车的长度为L，“完全通过第一座大桥用时30秒，桥长650米”，650+L=V*30①；“火车将速度提升了25%，随后完全通过第二座大桥用时40秒，桥长1250米”，1250+L=V*（1+25%）*40=50*V②，求出L。②-①得：600=20*V，解得V=30，L=900-650=250，对应D项。方法二：大胆猜题。根据①式：650+L=V*30，出题人设置选项的时候，一般会把V设成整数，可以大胆猜测650+L是30的倍数。代入A项：150+650=800，不是30的倍数，排除；代入B项：175+650尾数为5，不是30的倍数，排除；代入C项：200+650=850，不是30的倍数，排除；代入D项：250+650=900，是30的倍数，选择D项。也可以利用②式猜测。【选D】【知识点】等距离平均速度：1.公式：V平均=2V1V2/（V1+V2）。142.适用于：（1）等距离两段。如过去的速度为V1，回来的速度为V2，AB距离为S，要求往返的平均速度，就可以用等距离平均速度公式。推导：V平均=S总*t总=2S÷（S/V1+S/V2）=2V1V2/（V1+V2）（2倍乘积/两者加和）。（2）上下坡往返。如上坡的速度为V1，下坡的速度为V2，要求上下坡平均速度，可以用等距离平均速度公式。（3）直线往返。如前一半的速度为V1，后一半的速度为V2，AB=BC，要求AC段的平均速度，可以用等距离平均速度公式。【例2】甲去北京出差，去时坐飞机，返回时坐高铁。若飞机的速度比高铁快3倍，且往返平均速度为480千米/小时，问甲乘坐的飞机速度为多少千米/小时？（）A.720千米/小时B.768千米/小时C.960千米/小时D.1200千米/小时【解析】例2.往返过程中，路程相同，等距离平均速度为480，要求原来的两个速度，相当于逆向运用等距离平均速度公式，V平均=2V1V2/（V1+V2）。“飞机的速度比高铁快3倍”，快3倍相当于多3倍（是4倍），假设高铁速度为V，那么飞机速度为4V，代入数据得：480=2*V*4V/（V+4V），8V/5=480，8V=480*5，4V=240*5=1200，对应D项。【选D】15【注意】基础行程：1.路程=速度*时间（S=V*T）。2.火车过桥：（1）过桥：路程=车长+桥长。（2）完全在桥上：路程=桥长-车长。（3）过灯/杆：路程=车长。3.平均速度：（1）平均速度=总路程/总时间。（2）等距离平均速度=2V1*V2/（V1+V2）。二、相对行程问题1.相遇：同时出发，相向而行。路程和=（大速度+小速度）*相遇时间。2.追及：同时出发，同向而行。路程差=（大速度–小速度）*追及时间。3.环形：相遇n次，路程和为n圈；追及n次，路程差为n圈。4.流水行船：顺水速度=船速+水速；逆水速度=船速-水速。【注意】相对行程：1.相遇问题。2.追及问题。3.流水行船问题。【知识点】1.直线相遇：两人同时相向而行。（1）公式：S和=V和*t。16（2）推导：猫和老鼠同时相向而行，假设猫的速度为V1，老鼠的速度为V2，它们肯定会在C点相遇，同时出发同时相遇，时间相同，AC=V1*t，BC=V2*t，AB=V1*t+V2*t=（V1+V2）*t=V和*t。2.直线追及：两人同时同向而行。（1）公式：S差=V差*t。S差：追及刚开始时两人相差的距离。（2）推导：假设猫的速度为V1，老鼠的速度为V2，猫从A点出发，老鼠从B点出发，猫和老鼠一定会在C点遇上，老鼠走过的路程为V2*t（红色轨迹），猫走过的路程为V1*t（蓝色轨迹），AB=V1*t-V2*t=（V1-V2）*t=V差*t。【例3】甲、乙两人从相距10千米的地方相向而行，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米。甲出发时带着一只狗，狗每小时跑10千米，当狗碰到乙的时候就往回跑向甲，碰到甲的时候又折回跑向乙，如此反复。当甲、乙两人相遇时，狗跑的路程是（）。A.10千米B.12千米C.15千米D.20千米【解析】例3.相向而行，相遇问题。S=V狗*t=10*t，甲出发的时候狗开始跑，两人相遇的时候，狗停止跑，说明t就是甲、乙相遇的时间。相遇问题中，S和=V和*t，10=（6+4）*t，解得t=1，则S狗=10*1=10，对应A项。【选A】17【例4】某宣讲团甲宣传员骑摩托车从红星村出发以20公里/小时的速度去相距60公里的八一村，1小时后由于路面湿滑，速度减少一半，在甲出发1小时后，乙宣传员以50公里/小时的速度开车从红星村出发追甲，当乙追上甲时，他们与八一村的距离为（）。A.25公里B.30公里C.35公里D.40公里【解析】例4.方法一：画图分析。红星村到八一村有60公里，V甲=20，假设1小时后甲到达A点，甲1小时走的路程为20*1=20，之后速度减少一半，V甲’=20*1/2=10，此时甲从A点出发；V乙=50，乙和甲’产生了同时同向的追及过程，S差=V差*t，其中S差=20，20=（50-10）*t，解得t=0.5，即乙追甲追了0.5小时，S乙=V乙*t=50*0.5=25，要求的是B点到八一村的距离，故所求=60-25=35，对应C项。方法二：算出S乙=V乙*t=50*0.5=25之后，可以以坑治坑，大胆猜测，观察选项，发现A项+C项=60，猜想正确选项肯定在A、C项中。如果选A项，S乙=60-25=35，而V乙=50，倍数关系不明显；如果选C项，S乙=60-35=25，和50的倍数关系更明显一些，蒙C项。【选C】18【知识点】1.环形相遇（同点、反向）：（1）公式：S和=V和*t。（2）路程关系：相遇1次，S和=1圈；相遇2次，S和=2圈；相遇n次，S和=n圈。（3）推导：假设猫的速度为V1，老鼠的速度为V2，在A点相遇，蓝色轨迹是猫走过的路程V1*t，红色轨迹是老鼠走过的路程V2*t，S和=（V1+V2）*t=V和*t。2.环形追及（同点、同向）：（1）公式：S差=V差*t。（2）路程关系：追上1次，S差=1圈；追上2次，S差=2圈；追上n次，S差=n圈。（3）推导：假设猫的速度为V1，老鼠的速度为V2，蓝色轨迹是猫走过的路程V1*t，红色轨迹是老鼠走过的路程V2*t，猫要想追上老鼠，需要多跑一圈，S差=（V1-V2）*t=V差*t。【注意】相遇追及小结：同时出发。1.相遇（面对面相向出发）：S和=V和*t。环形：S和=n圈。2.追及（从背后）：S差=V差*t。环形：S差=n圈。19【例5】两名运动员在湖的周围环形道上练习长跑，甲每分钟跑250米，乙每分钟跑200米，两人同时同地同向出发，经过45分钟甲追上乙；如果两人同时同地反向出发，经过（）分钟两人相遇。A.3B.4C.5D.6【解析】例5.第一个过程是环形追及过程，S差=1圈=V差*t=（250-200）*45=50*45=2250；第二个过程是环形相遇问题，S和=1圈=V和*t，2250=（250+200）*t=450t，解得t=5，对应C项。【选C】【补例】小李和小麦两人从同一起跑线上绕400米的环形跑道跑步，小李的速度是8米/秒，小麦的速度是6米/秒。问第二次追上小麦时小李跑了几圈。A.10B.8C.6D.4【解析】补例.环形追及问题，第一次追上，小李多跑1圈；第二次追上，小李多跑2圈，S差=2圈=V差*t，400*2=（8-6）*t，解得t=400。小李要想追上小麦需要跑400秒，S李=8*400=3200米，3200/400=8圈，对应B项。【选B】【知识点】直线两端出发多次相遇：1.推导：从两端出发，第1次迎面相遇，猫和老鼠走过的路程和为S，即共走1S。第一次相遇后，两人继续朝目的地行使，到达目的地之后原路返回，还会继续相遇。蓝色代表猫走的路程，红色代表老鼠走的路程，猫走到目的地立即返回，老鼠走到目的地也立即返回，第2次迎面相遇，又走了2S，即共走3S。同理，第3次迎面相遇，又合走了2S，即共走5S。第n次迎面相遇，S和=（2n-1）*S=（V1+V2）*T。2.S：两人起点之间的距离。20【例6】在一次航海模型展示活动中，甲、乙两款模型在长100米的水池两边同时开始相向匀速航行，甲款模型航行100米要72秒，乙款模型航行100米要60秒，若调头转身时间略去不计，在12分钟内甲、乙两款模型相遇次数是（）。A.9B.10C.11D.12【解析】例6.甲、乙相向匀速行驶，问相遇次数，是直线两端出发的多次相遇问题，S和=（2n-1）*S=（V甲+V乙）*t，（2n-1）*100=（100/72+100/60）*12，单位需要统一换算为秒，则（2n-1）*100=（100/72+100/60）*12*60，（2n-1）*100=1000+1200，2n-1=22，2n=23，解得n=11.5，问已经相遇的次数，向下取整，对应C项。【选C】【知识点】流水行船：1.V顺=V船+V水。2.V逆=V船-V水。3.注：静水速度=船速（水不动，V水=0）、漂流速度=水速（V船=0）。4.有时候题目中不会直接说是顺水还是逆水，要记得上游到下游是顺水，下游到上游是逆水。【例7】甲、乙两港口相距360千米，某船只从甲港口顺流而下至乙港口需要4.5小时，从乙港口返回至甲港口所花的时间为顺流的2倍。假设该船只的静水速度一定，则该河的水流速度为（）千米/小时。A.12B.1521C.18D.20【解析】例7.船只从甲港口顺流而下到乙港口，那么从乙港口返回的时候就是逆流，船速一定，要求水速，V顺=360/4.5=80，V逆=360/9=40，要求水速，根据V顺=V船+V水①，V逆=V船-V水②，①-②得：（V顺-V逆）/2=V水=（80-40）/2=20，对应D项。【选D】【注意】如果要求船速，根据V顺=V船+V水①，V逆=V船-V水②，①+②得：（V顺+V逆）/2=V船。【注意】相对行程：1.相遇追及：（1）相遇：S和=V和*T遇。（2）追及：S差=V差*T追。2.多次运动：（1）线形两端出发第n次相遇：S和=（2n-1）S=V和*T。（2）环形第n次相遇：S和=n圈=V和*T。（3）环形第n次追及：S和=n圈=V差*T。3.流水行船：（1）顺水：S=（V船+V水）*T顺。22（2）逆水：S=（V船-V水）*T逆。三、比例行程1.s相等（不变），v、t成反比。2.t相等（不变），s、v成正比。3.v相等（不变），s、t成正比。【知识点】比例行程：1.路程=速度*时间（S=V*t）。（1）路程一定，速度与时间成反比。即路程一定，速度越大，时间越短。（2）速度一定，路程与时间成正比。即速度一定，时间越长，路程越长。（3）时间一定，路程与速度成正比。即时间一定，速度越大，路程越长。2.解题逻辑：S、V、T找到相同量，剩余两个量成比例关系。【例8】甲、乙、丙三人都始终以匀速进行400米赛跑，当甲冲过终点时，领先乙50米，领先丙120米。当乙到达终点时，领先丙多少米？（）A.40米B.70米C.80米D.90米【解析】例8.“当甲冲过终点时，领先乙50米，领先丙120米”表示时间相同，S甲=400，S乙=400-50=350，S丙=400-120=280，时间相同，路程和速度成正比，S乙/S丙=350/280=5/4，则V乙/V丙=5/4。从起跑→乙到终点时，时间相同，路程和速度成正比，V乙/V丙=5/4，则S乙’/S丙’=5/4，设S丙’=x，400/x=5/4，400对应5份，每份对应80，4份就是320，即x=320，故所求=400-320=80，对应C项。【选C】23【注意】行程问题：1.基础行程：（1）路程=速度*时间（S=V*T）。（2）火车过桥：①过桥：路程=车长+桥长。②完全在桥上：路程=桥长-车长。③过灯/杆：路程=火车长。（3）平均速度：①总路程/总时间。②等距离平均速度=2V1V2/（V1+V2）。2.相对行程：（1）相遇追及：①相遇：S和=V和*T遇。②追及：S差=V差*T追。（2）多次运动：24①线形两端出发第n次相遇：S和=（2n-1）S=V和*T。②环形第n次相遇：S和=n圈=V和*T。③环形第n次追及：S和=n圈=V差*T。（3）流水行船：（1）顺水：S=（V船+V水）*T顺。（2）逆水：S=（V船-V水）*T逆。3.比例行程：（1）S一定，V、T成反比。（2）V一定，S、T成正比。（3）T一定，S、V成正比。【注意】1.预习：经济利润问题、排列组合与概率。2.心里揣个小太阳昂扬前进。【答案汇总】工程问题：1-5：DBCBA；6：B行程问题：1-5：DDACC；6-8：CDC25遇见不一样的自己Beyourbetterself26