线性代数习题及答案(复旦版)

1线性代数习题及 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 习题一1.求下列各排列的逆序数.(1)341782659；(2)987654321；(3)n(n1)…321；(4)13…(2n1)(2n)(2n2)…2.【解】(1)τ(341782659)=11;(2)τ(987654321)=36;(3)τ(n(n1)…3·2·1)=0+1+2+…+(n1)=;(1)2nn(4)τ(13…(2n1)(2n)(2n2)…2)=0+1+…+(n1)+(n1)+(n2)+…+1+0=n(n1).2.略.见教材习题参考答案.3.略.见教材习题参考答案.4.本行列式的展开式中包含和的项.4512312123122xxxDxxx3x4x解：设，其中分别为不同列中对应元素的行下标，123412341234()41234(1)iiiiiiiiiiiiDaaaa1234,,,iiii则展开式中含项有4D3x(2134)(4231)333(1)12(1)32(3)5xxxxxxxxx展开式中含项有4D4x.(1234)4(1)2210xxxxx5.用定义计算下列各行列式.(1)；(2).02000010300000041230002030450001【解】(1)D=(1)τ(2314)4!=24;(2)D=12.6.计算下列各行列式.2(1)；(2)；2141312112325062abacaebdcddebfcfef(3)；(4).100110011001abcd1234234134124123【解】(1);1250623121012325062rrD(2);1114111111Dabcdefabcdef210110111(3)(1)111011001011;bcDaabcdccddddabcdabadcd321221133142144121023410234102341034101130113(4)160.10412022200441012301110004rrccrrccrrrrccrrD7.证明下列各式.(1)；22222()111aabbaabbab(2)；2222222222222222(1)(2)(3)(1)(2)(3)0(1)(2)(3)(1)(2)(3)aaaabbbbccccdddd(3)232232232111()111aaaabbabbccabbcccc3(4)；20000()0000nnababDadbccdcd(5).121111111111111nniiiinaaaaa【证明】(1)1323223()()()2()2001()()()()()2()21ccccababbabbababbababbababbabababab与与与与.(2)32213142412222-2-2232221446921262144692126021446921262144692126ccccccccccaaaaaabbbbbbccccccdddddd与与与与.(3)首先考虑4阶范德蒙行列式:2323232311()()()()()()()(*)11xxxaaafxxaxbxcabacbcbbbccc从上面的4阶范德蒙行列式知，多项式f(x)的x的系数为2221()()()()(),11aaabbcacabacbcabbcacbbcc但对（*）式右端行列式按第一行展开知x的系数为两者应相等，故231123231(1),11aabbcc(4)对D2n按第一行展开，得422(1)2(1)2(1)00000000(),nnnnababababDabcdcdcdcddcadDbcDadbcD据此递推下去，可得222(1)2(2)112()()()()()()nnnnnnDadbcDadbcDadbcDadbcadbcadbc2().nnDadbc(5)对行列式的阶数n用数学归纳法.当n=2时，可直接验算结论成立，假定对这样的n1阶行列式结论成立，进而证明阶数为n时结论也成立.按Dn的最后一列，把Dn拆成两个n阶行列式相加：112211211111011111110111111101111111.nnnnnnaaaaDaaaaaaD但由归纳假设11121111,nnniiDaaaa从而有11211211121111111111.nnnnniinnnnniiiiiiDaaaaaaaaaaaaaaa8.计算下列n阶行列式.5(1)(2)；111111nxxDx122222222232222nDn(3).(4)其中；000000000000nxyxyDxyyxnijDa(,1,2,,)ijaijijn(5).2100012100012000002100012nD【解】(1)各行都加到第一行，再从第一行提出x+(n1),得11111[(1)],11nxDxnx将第一行乘（1）后分别加到其余各行，得1111110[(1)](1)(1).001nnxDxnxnxx(2)按第二行展开213111222210000101001002010002nrrnrrrrDn222201002(2)!.00200002nn(3)行列式按第一列展开后，得61(1)(1)(1)10000000000000(1)000000000000(1)(1).nnnnnnnnxyyxyxyDxyxyxyyxxyxxyyxy(4)由题意，知1112121222120121101221031230nnnnnnnnaaanaaaDnaaannn0122111111111111111111111nn后一行减去前一行自第三行起后一行减去前一行01221122111111200002000020000000002000020nnnn按第一列展开.1122000201(1)(1)(1)(1)2002nnnnnn-按第列展开(5)210002000001000121001210012100012000120001200000210002100021000120001200012nD7.122nnDD即有112211nnnnDDDDDD由得112211nnnnDDDDDDn.11,121nnDDnDnn9.计算n阶行列式.121212111nnnnaaaaaaDaaa【解】各列都加到第一列，再从第一列提出，得11niia232323123111111,11nnnnininaaaaaaDaaaaaaa将第一行乘（1）后加到其余各行，得23111010011.00100001nnnniiiiaaaDaa10.计算阶行列式（其中）.n0,1,2,,iain.1111123222211223322221122331111123nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaababababDababababbbbb【解】行列式的各列提取因子,然后应用范德蒙行列式.1(1,2,,)njajn83121232222312112123111131212311211111()().nnnnnnnnnnnnnjinnjinijbbbbaaaabbbbDaaaaaaabbbbaaaabbaaaaa11.已知4阶行列式;41234334415671122D试求与，其中为行列式的第4行第j个元素的代数余子式.4142AA4344AA4jA4D【解】41424142234134(1)(1)3912.344344567167AA同理43441569.AA12.用克莱姆法则解方程组.(1)(2)123123412342345,21,22,233.xxxxxxxxxxxxxx1212323434545561,560,560,560,51.xxxxxxxxxxxxx【解】方程组的系数行列式为1110111013113121110131180;1210521211012112301401230123D91234511015101111211118;36;2211121131230323115011152111211136;18.1221121201330123DDDD故原方程组有惟一解，为312412341,2,2,1.DDDDxxxxDDDD12345123452)665,1507,1145,703,395,212.15072293779212,,,,.66513335133665DDDDDDxxxxx13.λ和μ为何值时，齐次方程组1231231230,0,20xxxxxxxxx有非零解?【解】要使该齐次方程组有非零解只需其系数行列式110,11121即(1)0.故或时，方程组有非零解.0114.问：齐次线性方程组12341234123412340,20,30,0xxxaxxxxxxxxxxxaxbx有非零解时，a,b必须满足什么条件？【解】该齐次线性方程组有非零解，a,b需满足1011112110,113111aab即(a+1)2=4b.15.求三次多项式，使得230123()fxaaxaxax(1)0,(1)4,(2)3,(3)16.ffff【解】根据题意，得0123012301230123(1)0;(1)4;(2)2483;(3)392716.faaaafaaaafaaaafaaaa这是关于四个未知数的一个线性方程组，由于0123,,,aaaa012348,336,0,240,96.DDDDD故得01237,0,5,2aaaa于是所求的多项式为23()752fxxx16.求出使一平面上三个点位于同一直线上的充分必要条件.112233(,),(,),(,)xyxyxy【解】设平面上的直线方程为ax+by+c=0(a,b不同时为0)按题设有1122330,0,0,axbycaxbycaxbyc则以a,b,c为未知数的三元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件为1122331101xyxyxy上式即为三点位于同一直线上的充分必要条件.112233(,),(,),(,)xyxyxy11习题二1.计算下列矩阵的乘积.（1）；（2）　；11321023=500103120213（3）　；（4）　；32123410111213112321222323132333aaaxxxxaaaxaaax（5）；（6）　.111213212223313233100011001aaaaaaaaa12101031010101210021002300030003【解】(1)(2);(3)(10);32103210;64209630531(4)3322211122233312211213311323322311()()()ijijijaxaxaxaaxxaaxxaaxxaxx(5);(6).111212132122222331323233aaaaaaaaaaaa12520124004300092.　设，，111111111A121131214B求(1);(2)；(3)吗?2ABAABBA22()()A+BABAB【解】(1)(2)2422;400024ABA440;531311ABBA(3)由于AB≠BA,故(A+B)(AB)≠A2B2.3.举例说明下列命题是错误的.12(1)若，则；(2)若，则或；2AOAO2AAAOAE(3)若，，则.AX=AYAOX=Y【解】(1)以三阶矩阵为例，取,但A≠02001,0000000AA(2)令,则A2=A,但A≠0且A≠E110000001A(3)令11021,=,0111210110AYX0则AX=AY,但X≠Y.4.　设,求A2，A3，…，Ak.101A【解】2312131,,,.010101kkAAA5.　，　求并证明：100100A=23A,A.121(1)2000kkkkkkkkkkkA=【解】2322233223213302,03.0000A=A=今归纳假设121(1)2000kkkkkkkkkkkA=那么1311211111(1)1020100000(1)(1)2,0(1)00kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkAAA=所以，对于一切自然数k,都有121(1)2.000kkkkkkkkkkkA=6.已知，其中AP=PB100100000210001211B=,P=求及.A5A【解】因为|P|=1≠0,故由AP=PB,得1100200,611APBP而51551()()100100100100210000210200.211001411611APBPPBPA7.设，求||.abcdbadccdabdcbaA=A解：由已知条件，的伴随矩阵为A1422222222()()abcdbadcabcdabcdcdabdcbaA=A又因为，所以有AA=AE，且，22222()abcdA=AE0A即42222222224()()abcdabcdA=AA=AE于是有.2222422222()()abcdabcdA8.　已知线性变换112112212321331233232,3,232,2,45;3,xyyyzzxyyyyzzxyyyyzz利用矩阵乘法求从到的线性变换.123,,zzz123,,xxx【解】已知112233112233210,232415310,201013421124910116xyxyxyyzyzyzXAYYBzXAYABzz,从而由到的线性变换为123,,zzz123,,xxx11232123312342,1249,1016.xzzzxzzzxzzz9.　设，为阶方阵，且为对称阵，证明：也是对称阵.ABnABAB【证明】因为n阶方阵A为对称阵，即A′=A,所以(B′AB)′=B′A′B=B′AB,故也为对称阵.BAB10.　设A，B为n阶对称方阵，证明：AB为对称阵的充分必要条件是AB=BA.【证明】已知A′=A,B′=B，若AB是对称阵，即(AB)′=AB.15则AB=(AB)′=B′A′=BA,反之，因AB=BA,则(AB)′=B′A′=BA=AB,所以，AB为对称阵.11.A为n阶对称矩阵，B为n阶反对称矩阵，证明：(1)B2是对称矩阵.(2)ABBA是对称矩阵，AB+BA是反对称矩阵.【证明】因A′=A,B′=B,故(B2)′=B′·B′=B·(B)=B2;(ABBA)′=(AB)′(BA)′=B′A′A′B′=BAA·(B)=ABBA;(AB+BA)′=(AB)′+(BA)′=B′A′+A′B′=BA+A·(B)=(AB+BA).所以B2是对称矩阵，ABBA是对称矩阵，AB+BA是反对称矩阵.12.求与A=可交换的全体二阶矩阵.1101【解】设与A可交换的方阵为,则由abcd=,1101abcdabcd1101得.acbdaabcdccd由对应元素相等得c=0,d=a,即与A可交换的方阵为一切形如的方阵，其中a,b为任意数.0aba13.求与A=可交换的全体三阶矩阵.100012012【解】由于A=E+,000002013而且由16111111222222333333000000,002002013013abcabcabcabcabcabc可得111222333333232323023000023222.023333cbccbcabccbcaabbcc由此又可得1113232332322333230,230,20,30,2,3,232,233,cbcaaacbcbbbccbccc所以2311233230,2,3.aabccbcbb即与A可交换的一切方阵为其中为任意数.123323000203abbbbb123,,abb14.　求下列矩阵的逆矩阵.(1)；(2)；1225123012001(3)；(4)　；1213425411000120021301214(5)　；(6)　，52002100008300521212,,,0nnaaaaaa未写出的元素都是0（以下均同，不另注）.【解】(1);(2);522112101200117(3);(4);12601741632142100011002211102631511824124(5);(6).120025000023005812111naaa15.利用逆矩阵，解线性方程组12323121,221,2.xxxxxxx【解】因,而123111102211102xxx1110022110故112311101111122.02211130122110221112xxx16.证明下列命题：(1)若A，B是同阶可逆矩阵，则（AB）*=B*A*.(2)若A可逆，则A*可逆且（A*）1=（A1）*.(3)若AA′=E,则（A*）′=(A*)1.【证明】（1）因对任意方阵c，均有c*c=cc*=|c|E,而A,B均可逆且同阶，故可得|A|·|B|·B*A*=|AB|E(B*A*)=(AB)*AB(B*A*)=(AB)*A(BB*)A*=(AB)*A|B|EA*=|A|·|B|(AB)*.∵|A|≠0,|B|≠0,∴(AB)*=B*A*.(2)由于AA*=|A|E,故A*=|A|A1,从而(A1)*=|A1|(A1)1=|A|1A.于是18A*(A1)*=|A|A1·|A|1A=E,所以(A1)*=(A*)1.(3)因AA′=E，故A可逆且A1=A′.由(2)(A*)1=(A1)*,得(A*)1=(A′)*=(A*)′.17.　已知线性变换11232123312322,35,323,xyyyxyyyxyyy求从变量到变量的线性变换.123,,xxx123,,yyy【解】已知112233221,315323xyxyxyXAY且|A|=1≠0,故A可逆，因而1749,637324YAXX所以从变量到变量的线性变换为123,,xxx123,,yyy112321233123749,637,324,yxxxyxxxyxxx18.　解下列矩阵方程.(1)；12461321X=(2)；211211210210111111X(3)；142031121101X=(4).010100043100001201001010120X19【解】(1)令A=;B=.由于1213462113211A故原方程的惟一解为13246820.112127XAB同理(2)X=;(3)X=;(4)X=10001000111104210.03410219.若(k为正整数)，证明：kA=O.121()kEA=E+A+A++A【证明】作乘法212121()()kkkkkEAE+A+A++AE+A+A++AAAAAEAE,从而EA可逆，且121()kEA=E+A+A++A20.设方阵A满足A2－A－2E＝O，证明A及A＋2E都可逆，并求A1及(A+2E)1.【证】因为A2A2E=0,故212().2AAEAEAE由此可知，A可逆，且11().2AAE同样地2220,64(3)(2)41(3)(2)4AAEAAEE,AEAEE,AEAEE.由此知，A+2E可逆，且1211(2)(3)().44AEAEAE2021.设，,求.423110123A=2AB=A+BB【解】由AB=A+2B得(A2E)B=A.而22310,1102121AE即A2E可逆，故11223423(2)110110121123143423386.1531102961641232129BAEA22.　设.　其中，，求.1PAP=1411P=1002=10A【解】因可逆，且故由1P1141,113P1A=PP得10110101101012121010()()141410331102113314141033110211331365136412421.34134031242APPPP23.设次多项式，记,称为m01()mmfxaaxax01()mmfaaaAEAA()fA方阵的次多项式.Am(1)，证明12A=21，；12kkkA=12()()()fffA(2)设，证明，.1A=PBP1kkB=PAP1()()ffBPAP【证明】(1)即k=2和k=3时，结论成立.232311232200,00AA今假设120,0kkkA那么111111222000,000kkkkkkAAA=所以，对一切自然数k，都有120,0kkkA而011101220111012212()1100().()mmmmmmmmmfaaaaaaaaaaaaffAE+A++A++++++(2)由(1)与A=P1BP,得B=PAP1.且Bk=(PAP1)k=PAkP1,又0111011011()()().mmmmmmfaaaaaaaaafBEBBEPAPPAPPEA+APPAP24.，证明矩阵满足方程.abcdA=2()0xadxadbc22【证明】将A代入式子得2()xadxadbc222222()()10()()010000.00adadbcababadadbccdcdadbcabcabbdaadabbdadbcaccdcbdaccdaddAAE0故A满足方程.2()0xadxadbc25.设阶方阵的伴随矩阵为，nAA证明：(1)若｜｜＝０，则｜｜＝０；AA(2).1nAA【证明】（1）若|A|=0，则必有|A*|=0，因若|A*|≠0，则有A*(A*)1=E,由此又得A=AE=AA*(A*)1=|A|(A*)1=0,这与|A*|≠0是矛盾的，故当|A|=0，则必有|A*|=0.(2)由AA*=|A|E，两边取行列式，得|A||A*|=|A|n,若|A|≠0，则|A*|=|A|n1若|A|=0,由(1)知也有|A*|=|A|n1.26.　设.52003200210045000073004100520062A=,B求(1);(2);(3)；(4)｜｜k(为正整数).ABBA1AAk【解】(1);(2);2320001090000461300329AB=19800301300003314005222BA=23(3);(4).11200250000230057A=(1)kkA27.用矩阵分块的方法，证明下列矩阵可逆，并求其逆矩阵.（1）；（2）;12000250000030000010000010031002121002300（3）.2010202013001000001000001【解】(1)对A做如下分块12AAA00其中1230012;,01025001AA的逆矩阵分别为12,AA1112100523;,01021001AA所以A可逆，且1111252000210001.000030001000001AAA同理(2)2411112121310088110044.110055230055AAAAA(3)1110012211300222.001000001000001A习题三1.略.见教材习题参考答案.2.略.见教材习题参考答案.3.略.见教材习题参考答案.4.略.见教材习题参考答案.5.，证明向量组线性相关.112223334441,,,1234,,,【证明】因为1234123412341312342()2()0所以向量组线性相关.1234,,,6.设向量组线性无关，证明向量组也线性无关，这里12,,,r12,,,r12.ii【证明】设向量组线性相关，则存在不全为零的数使得12,,,r12,,,,rkkk251122.rrkkk0把代入上式，得12ii.121232()()rrrrkkkkkkk0又已知线性无关，故12,,,r1220,0,0.rrrkkkkkk该方程组只有惟一零解，这与题设矛盾，故向量组线性无关.120rkkk12,,,r7.略.见教材习题参考答案.8..证明：如果，那么线性无关.12(,,,),1,2,,iiiinin0ija12,,,n【证明】已知,故R(A)=n,而A是由n个n维向量0ijaA12(,,,),iiiin组成的，所以线性无关.1,2,,in12,,,n9.设是互不相同的数，r≤n.证明：是线性无关的.12,,,,rttt1(1,,,),1,2,,niiittir【证明】任取nr个数tr+1,…,tn使t1,…,tr,tr+1,…,tn互不相同，于是n阶范德蒙行列式21111212111121110,11nnrrrnrrrnnnntttttttttttt从而其n个行向量线性无关，由此知其部分行向量也线性无关.12,,,r10.设的秩为r且其中每个向量都可经线性 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 出.证明：为12,,,s12,,,r12,,,r的一个极大线性无关组.12,,,s【证明】若(1)12,,,r线性相关，且不妨设(t