PAGEPAGE1从三个方面探索集合方程的解的个数魏烈斌(湖北省荆州中学434020)若有序集合组满足集合方程,则称为的一个解.那么该方程有多少个解呢?本文利用一种探求思路从三个角度来探求该方程的解的个数.事实上,若是的一个解,则集合的任意一个元素至少属于集合的一个,于是元素与集合的一种确定的属于关系就对应于的一个解,而的一个解就对应于元素与集合的一种确定的属于关系.因此的解的个数就是元素与集合的确定的属于关系的种数.角度一:元素可以是的元素,也可以不是的元素,但是必须属于中的一个,所以与集合的确定的属于关系共有种,故所有的元素与的确定的属于关系共有种,从而的解的个数为.角度二:固定,设方程的解的个数为,可以通过建立的递推关系来导出.当时,属于中的一个或几个,其确定的方法种数就是方程的解的个数.可以是的元素,也可以不是的元素,有两种方法,考察所有集合,那么与的确定的属于关系有种,于是.假设的解的个数为,若为的一个解,把加入中的一个或几个,就得到的一个解.由于可加入,也可以不加入,从而是否加入有两种不同的方法,考察所有集合,但是必须加入中的一个或几个,那么把加入中的一个或几个的方法共有种.所以的一个解就产生的个解,故,从而数列是以为首项、为公比的等比数列,因此.角度三:构造矩阵,
规定
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:,,考察所有元素与的属于关系,得到矩阵:这个矩阵的每一行的个数中至少有一个不为零,每一个数取或者,并且第行的一组取值就对应于元素与集合的一种确定的属于关系,因此矩阵的个数就是方程的解的个数.只要确定矩阵的每一行,矩阵就能确定,而每一行的确定方法有种,故矩阵的个数为,所以方程的解的个数为.上述探索说明:定理:集合方程的解的个数为.