新课标高中数学必修二导学案

精品文档目录第一章空间几何体1.1空间几何体的结构TOC\o"1-5"\h\z多面体的结构特征11.1.2旋转体与简单组合体的结构特征61.2空间几何体的三视图和直观图1.2.1中心投影与平行投影空间几何体的三视图10HYPERLINK\l"bookmark34"空间几何体的直观图.…15§1.3空间几何体的表面积与体积HYPERLINK\l"bookmark38"第1课时柱体、锥体、台体的表面积19HYPERLINK\l"bookmark48"第2课时柱体、锥体、台体、球的体积与球的表面积…23HYPERLINK\l"bookmark66"习题课空间几何体27第二章点直线平面之间的位置关系平面29HYPERLINK\l"bookmark84"2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系332.1.3空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4平面与平面之间的位置关系372.2.1直线与平面平行的判定平面与平面平行的判定40直线与平面平行的性质44平面与平面平行的性质47直线与平面垂直的判定50平面与平面垂直的判定532.3.3直线与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质57第二章复习课60第三章直线与方程3.1.1倾斜角与斜率64TOC\o"1-5"\h\z两条直线平行与垂直的判定67直线的点斜式方程703.2.2直线的两点式方程733.2.3直线的一般式方程763.3.1两条直线的交点坐标TOC\o"1-5"\h\z332两点间的距离793.3.3点到直线的距离两条平行直线间的距离82第四章圆与方程圆的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 方程85圆的一般方程88直线与圆的位置关系91圆与圆的位置关系944.2.3直线与圆的方程的应用97空间直角坐标系100空间两点间的距离公式103章末复习106第一章空间几何体§1.1空间几何体的结构第1课时多面体的结构特征【学习目标】1•认识组成我们的生活世界的各种各样的多面体；认识和把握棱柱、棱锥、棱台的几何结构特征；了解多面体可按哪些不同的标准分类，可以分成哪些类别.【知识梳理】1.空间几何体概念：如果只考虑物体的—_和，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体.⑵特殊的几何体多面体：一般地，由若干个围成的几何体叫做多面体•围成多面体的各个多边形叫做多面体的_;相邻两个面的叫做多面体的棱；棱与棱的叫做多面体的顶点.旋转体：由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的_2•多面体的结构特征⑴棱柱的结构特征：一般地，有两个面，其余各面都是，并且每相邻两个四边形的公共边都，由这些面所围成的多面体叫做棱柱.棱锥的结构特征：一般地，有一个面是,其余各面都是,由这些面所围成的多面体叫做棱锥.棱台的结构特征：用一个于棱锥底面的平面去截棱锥，之间的部分，这样的多面体叫做棱台.思考探究［情境导学］在我们周围存在着各种各样的物体，它们都占据着空间的一部分.如果我们只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体.本节课我们主要从结构特征方面认识最基本的空间几何体.探究点一空间几何体的类型思考1观察下列图片，你知道这图片在几何中分别叫什么名称吗？答：思考2如果将这些几何体进行适当分类，你认为可以分成哪几种类型?答：思考3观察图(2)(5)(7)(9)(13)(14)(15)(16)中组成几何体的每个面的特点，以及面与面之间的关系,你能归纳出它们有何共同特点吗？答：［小结］我们把由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.思考4观察图(1)(3)(4)(6)(8)(10)(11)(12)中组成几何体的每个面有何共同特点？答：［小结］由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体.这条定直线叫做旋转体的轴.探究点二棱柱的结构特征思考1我们把下面的多面体取名为棱柱，据此你能给棱柱下一个定义吗？答：思考2为了研究方便，我们把棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点•你能指出上面棱柱的底面、侧面、侧棱、顶点吗？答：思考3答：棱柱上、下两个底面的形状大小如何？各侧面的形状如何？思考4个顶点？答：一个棱柱至少有几个侧面？一个N棱柱分别有多少个底面和侧面？有多少条侧棱？有多少思考5答：有两个面互相平仃，其余各面都是平仃四边形的多面体一疋是棱柱吗？［小结］在棱柱中，底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱•…思考1图1中的六棱柱用各顶点字母可表示为棱柱ABCDEF—A'B'C'D'E'F'.例1试判断下列说法是否正确：(1)棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面；⑵棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形.答：［反思与感悟］概念辨析题常用方法：(1)利用常见几何体举反例；(2)从底面多边形的形状、侧面形状及它们之间的位置关系、侧棱与底面的位置关系等角度紧扣定义进行判断.跟踪训练1根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体名称：由6个平行四边形围成的几何体.由8个面围成，其中两个面是平行且全等的六边形，其余6个面都是平行四边形.答：探究点三棱锥的结构特征思考1我们把下面的多面体取名为棱锥，据此你能给棱锥下一个定义吗?思考2答：参照棱柱的说法，棱锥的底面、侧面、侧棱、顶点分别是什么含义？你能作图加以说明吗？思考3示思考答：类比棱柱的分类，棱锥如何根据底面多边形的边数进行分类？如何用棱锥各顶点的字母表1中的三个棱锥？思考4顶点？答：一个棱锥至少有几个面？一个N棱锥分别有多少个底面和侧面？有多少条侧棱？有多少个思考5答：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面与底面的形状关系如何？思考6答：棱柱、棱锥分别具有一些什么几何性质？TOC\o"1-5"\h\z例2如图，几何体中，四边形AAiBiB为边长为3的正方形，CCi=2,Z良CCi//AAi,CCi//BB1，请你判断这个几何体是棱柱吗？若是棱柱，指出卄……是几棱柱.若不是棱柱，请你试用一个平面截去一部分，使剩余部分是一汇一3疝个侧棱长为2的三棱柱，并指出截去的几何体的特征•在立体图中画出截面.答：［反思与感悟］认识一个几何体，要看它的结构特征，并且要结合它各面的具体形状，棱与棱之间的关系，分析它是由哪些几何体组成的组合体，并能用平面分割开.跟踪训练2若三棱锥的底面为正三角形，侧面为等腰三角形，侧棱长为2,底面周长为9,求棱锥的高.（过顶点向底面作垂线，顶点与垂足的距离）答：探究点四棱台的结构特征思考1用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分形成另一个多面体，这样的多面体叫做棱台.那么棱台有哪些结构特征？答：思考2仿照棱锥中关于底面、侧面、侧棱、顶点的定义，如何定义棱台的底面、侧面、侧棱、顶点呢？答：思考3根据三棱锥、四棱锥、五棱锥……的定义，如何定义三棱台、四棱台、五棱台……？如何用字母表示棱台？答：思考4既然棱柱、棱锥、棱台都是多面体，它们在结构上有哪些相同点和不同点？三者的关系如何？当底面发生变化时，它们能否相互转化？答：例3有下列三个命题：用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.其中正确的有（）A.0个B.1个C.2个D.3个［反思与感悟］一个棱台的基本特征是上、下底面平行且相似，侧棱延长后交于一点，这是判断几何体是否为棱台的依据.跟踪训练3已知四棱台的上底面、下底面分别是边长为4,8的正方形，各侧棱长均相等，且侧棱长为.17,求四棱台的高.答：【随堂练习】1.下列说法中正确的是（）A.棱柱的面中，至少有两个面互相平行B.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面C.棱柱中一条侧棱就是棱柱的高D.棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形下列说法中，正确的是（）A.有一个底面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥B.用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台C.棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形D.棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形下列说法错误的是（）A.多面体至少有四个面B.九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形C.长方体、正方体都是棱柱D.三棱柱的侧面为三角形对棱柱而言，下列说法正确的序号是.①有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形.②所有的棱长都相等.③棱柱中至少有2个面的形状完全相同.④相邻两个面的交线叫做侧棱.【课堂小结】1.在理解的基础上，要牢记棱柱、棱锥、棱台的定义，能够根据定义判断几何体的形状.2.对几何体定义的理解要准确，另外，要想真正把握几何体的结构特征，必须多角度、全面地分析,多观察实物，提高空间想象能力.第2课时旋转体与简单组合体的结构特征【学习目标】1•认识组成我们生活的世界的各种各样的旋转体；2•认识和把握圆柱、圆锥、圆台、球体的几何结构特征.【知识梳理】圆柱及其有关的概念以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做.叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的;平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的;无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的.圆锥的概念以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做——圆台的概念用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做与圆柱和圆锥一样，圆台也有轴、底面、侧面、母线.球及其有关的概念以半圆的直径所在直线为，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做，简称球•半圆的圆心叫做球的，半圆的半径叫做球的半径」圆的直径叫做球的球常用表示球心的字母0表示.简单组合体概念：由组合而成的几何体叫做简单组合体.常见的简单组合体大多是由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组成的.基本形式：一种是由简单几何体而成，另一种是由简单几何体_或一部分而成.思考探究［情境导学］举世闻名的比萨斜塔是意大利的一个著名景点.它的构造从外形上看是由八个圆柱组合成的一个组合体，我们周围的很多建筑物和它一样，也都是由一些简单几何体组合而成的组合体.本节我们就来学习旋转体与简单组合体的结构特征.探究点一圆柱的结构特征思考1如图所示的空间几何体叫做圆柱，那么圆柱是怎样形成的呢？与圆柱有关的几个概念是如何定义的？答：思考2如图，平行于圆柱底面的截面，经过圆柱任意两条母线的截面分别是什么图形?答：探究点二圆锥的结构特征思考1类比圆柱的定义，结合下图你能给圆锥下个定义吗?答：思考2类比圆柱的轴、底面、侧面、母线的定义，如何定义圆锥的轴、底面、侧面、母线?答：思考3经过圆锥的任意两条母线的截面是什么图形？圆锥如何用字母表示？答：探究点三圆台的结构特征思考1用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面与底面之间的部分叫做圆台•圆台可以由什么平面图形旋转而形成？答：思考2与圆柱和圆锥一样，圆台也有轴、底面、侧面、母线，它们的含义分别如何？圆台如何用字母表示？答：思考3圆柱、圆锥、圆台都是旋转体，它们在结构上有哪些相同点和不同点？三者的关系如何？当底面发生变化时，它们能否互相转化？答：例1用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1:16,截去的圆锥的母线长是3cm，求圆台的母线长.答：［反思与感悟］用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的轴截面(经过旋转轴的截面)的几何性质，禾U用相似三角形中的相似比，列出相关几何变量的方程组而解得.跟踪训练1将例1中“截去的圆锥的母线长是3cm”改为“圆锥SO的母线长为16cm”其余条件不变，则结果如何？答：探究点四球的结构特征思考类比圆柱、圆锥、圆台的定义，球是如何定义的？球心及球半径是指什么？如何用字母表示球？答：例2判断下列各命题是否正确：三棱柱有6个顶点，三棱锥有4个顶点；圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线；—直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形；到定点的距离等于定长的点的集合是球.答：跟踪训练2下列叙述中正确的个数是()以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台；圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台.A.0B.1C.2D.3探究点五简单组合体的结构特征思考1现实生活中的物体多数是由柱体、锥体、台体、球体等简单几何体组合而成的，这些几何体叫做简单组合体•那么这些组合体是怎样构成的？思考2观察教材图1.1-11中⑴、（3）两物体所示的几何体，你能说出它们各由哪些简单几何体组合而成吗？答：例3描述下列几何体的结构特征.答：跟踪训练3数学奥林匹克竞赛中，若你获得第一名，被授予如图所示的奖杯，那么，请你介绍一下你所得的奖杯是由哪些简单几何体组成的？【随堂练习】下图是由哪个平面图形旋转得到的（）下列说法正确的是（）A.圆锥的母线长等于底面圆直径圆柱的母线与轴垂直圆台的母线与轴平行D.球的直径必过球心TOC\o"1-5"\h\z下面几何体的截面一定是圆面的是（）A.圆台B.球C.圆柱D.棱柱以下说法中：圆台上底面的面积与下底面的面积之比一定小于1.矩形绕任意一条直线旋转都可以围成圆柱.过圆台侧面上每一点的母线都相等.正确的序号为.5•如图所示的图形绕虚线旋转一周后形成的立体图形分别是由哪些简单几何体组成的?【课堂小结】(1)圆台、棱台可以看作是用一平行于底面的平面去截圆锥、棱锥得到的底面与截面之间的部分；圆台的母线、棱台的侧棱延长后必交于同一点，若不满足该条件，则一定不是圆台或棱台.(2)球面与球是两个不同的概念，球面是半圆以它的直径所在直线为轴旋转一周形成的曲面，也可以看作与定点(球心)的距离等于定长(半径)的所有点的集合•而球体不仅包括球的表面，同时还包括球面所包围的空间.§1.2空间几何体的三视图和直观图1.2.1中心投影与平行投影1.2.2空间几何体的三视图【学习目标】1•了解投影、中心投影和平行投影的概念；2•能画出简单几何体的三视图，能识别三视图所表示的立体模型.【知识梳理】投影投影的定义由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的，这种现象叫做投影•其中，TOC\o"1-5"\h\z我们把光线叫做，把留下物体影子的屏幕叫做.投影的分类中心投影：光由向外散射形成的投影，叫做中心投影•中心投影的投影线交于.平行投影：在一束光线照射下形成的投影，叫做平行投影.平行投影的是平行的.在平行投影中，投影线正对着投影面时，叫做，否则叫做.三视图三视图的分类正视图：光线从几何体的前面向后面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的三视图的画法要求三视图的正视图、俯视图、侧视图分别是从物体的、、看到的物体轮廓线的正投影围成的平面图形.一个物体的三视图的排列规则是：俯视图放在正视图的，长度与的长度一样，侧视图放在正视图的右边，高度与的高度一样，宽度与的宽度一样.在绘制三视图的时候，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡部分用虚线画出•—思考探究［情境导学］从不同角度看庐山，有古诗：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同；不识庐山真面目,只缘身在此山中.”对于我们所学几何体，从不同方向看到的形状也各有不同，我们通常用三视图和直观图来把几何体画在纸上.探究点一中心投影与平行投影导引在建筑、机械等工程图中，需要用平面图形反映空间几何体的形状和大小，在作图技术上这也是一个几何问题，要想知道这方面的基础知识，请先阅读教材第11页，然后思考下列问题.思考1什么是投影、投影线、投影面吗？答：思考2不同的光源发出的光线是有差异的，其中灯泡发出的光线与手电筒发出的光线有什么不同?答：［小结］我们把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影；把在一束平行光线照射下形成的投影叫做平行投影.思考3用灯泡照射物体和用手电筒照射物体形成的投影分别是哪种投影？答：思考4用灯泡照射一个与投影面平行的不透明物体，在投影面上形成的影子与原物体的形状、大小有什么关系？当物体与灯泡的距离发生变化时，影子的大小会有什么不同？答：思考5用手电筒照射一个与投影面平行的不透明物体，在投影面上形成的影子与原物体的形状、大小有什么关系？当物体与手电筒的距离发生变化时，影子的大小会有变化吗？答：思考6一个与投影面平行的平面图形，在正投影和斜投影下的形状、大小是否发生变化？一个与投影面不平行的平面图形，在正投影和斜投影下的形状、大小是否发生变化？答：例1如图所示，在正方体ABCD—AiBiCiDi中，E、F分别是AAi、CiDi的中点，G是正方形BCCiBi的中心，则四边形AGFE在该正方体的各个面上的投影可能是图中的.（填序号）［反思与感悟］画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点，如顶点等，画出这些关键点的投影，再依次连接即可得此图形在该平面上的投影•如果对平行投影理解不充分，做该类题目容易出现不知所措的情形，避免出现这种情况的方法是依据平行投影的含义，借助于空间想象来完成.跟踪训练1如图⑴所示，E、F分别为正方体面ADD'A'、面BCC'B'的中心，则四边形BFD'E在该正方体的各个面上的投影可能是图（2）中的•探究点二柱、锥、台、球的三视图导引把一个空间几何体投影到一个平面上，可以获得一个平面图形•从多个角度进行投影就能较好地把握几何体的形状和大小，通常选择三种正投影，即正面、侧面和上面.思考1如图，设长方体的长、宽、高分别为a、b、c,那么其三视图分别是什么？答：思考2三视图，分别反映物体的哪些关系（上下、左右、前后）？哪些数量（长、宽、高）?答：［小结］一般地，一个几何体的正视图、侧视图和俯视图的长度、宽度和高度的关系为：正侧等高,正俯等长，侧俯等宽.思考3圆柱、圆锥、圆台的三视图分别是什么？答：思考4球的三视图是什么？下列三视图表示一个什么几何体?探究点三简单组合体的三视图思考1在简单组合体中，从正视、侧视、俯视等角度观察，有些轮廓线和棱能看见，有些轮廓线和棱不能看见，在画三视图时怎样处理？思考2如图所示，将一个长方体截去一部分，这个几何体的三视图如何画出？（标出字母）（单位:例2如图，设所给的方向为物体的正前方，试画出它的三视图.答：［反思与感悟］⑴在画三视图时，务必做到正（视图）侧（视图）高平齐，正（视图）俯（视图）长对正，俯（视图）侧（视图）宽相等.⑵习惯上将正视图与侧视图画在同一水平位置上，俯视图在正视图的正下方.跟踪训练2某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是（）探究点四将三视图还原成几何体思考下图是简单组合体的三视图，想象它们表示的组合体的结构特征，并画出其示意图.例3说出下面的三视图表示的几何体的结构特征.答：再结合正视图和侧视图确定具体［反思与感悟］通常要根据俯视图判断几何体是多面体还是旋转体,的几何结构特征，最终确定是简单几何体还是简单组合体.2•某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是()精品文档跟踪训练3下图是一个物体的三视图，试说出物体的形状.答：【随堂练习】1.如图所示，在正方体ABCD—AiBiCiDi中，M,N分别是BBi,BC的中点，则图中阴影部分在平面ADDiAi上的正投影是（）精品文档A.三棱锥B.四棱锥C.四棱台D.三棱台则该几何体的侧视图为（）将正方体（如图⑴所示）截去两个三棱锥，得到如图⑵所示的几何体,一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是如图，四棱锥的底面是正方形，顶点在底面上的射影是底面正方形的中心，试画出其三视图.【课堂小结】三视图的正视图、侧视图、俯视图是分别从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线，画几何体的要求是正视图、俯视图长对正，正视图、侧视图高平齐，俯视图、侧视图宽相等，前后对应，画出的三视图要检验是否符合“长对正、高平齐、宽相等”的基本特征.2•几何体的三视图的画法为：先画出两条互相垂直的辅助坐标轴，在第二象限画出正视图；根据“正、俯两图长对正”的原则，在第三象限画出俯视图；根据“正、侧两图高平齐”的原则，在第一象限画出侧视图.3.看得见部分的轮廓线画实线，看不见部分的轮廓线画虚线.1.2.3空间几何体的直观图目标1.掌握斜二测画法的作图规则；2•会用斜二测画法画出简单几何体的直观图.【知识梳理】画平面图形直观图的步骤⑴在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x'轴与y'轴，两轴交于点0',且使/x'O'y'=45°或135°，它们确定的平面表示水平面.⑵已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴或y'轴的线段.(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度，平行于y轴的线段，长度为原来的.立体图形的直观图的画法画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面x'O'y'垂直的轴O'z'.且平行于0'z的线段长度.其他同平面图形的画法.思考探究［情境导学］空间几何体除了用三视图表示外，更多的是用直观图来表示.空间图形能否在平面中画出来，使得既富有立感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系呢？这就是空间几何体的直观图.本节我们就来研究这个问题.探究点一水平放置的平面图形的画法导引用来表示空间图形的平面图叫空间图形的直观图，要画空间几何体的直观图，先要学会水平放置的平面图形的画法.思考1把一个矩形水平放置，从适当的角度观察，给人以平行四边形的感觉，如图.比较两图，其中哪些线段之间的位置关系、数量关系发生了变化？哪些没有发生变化？答：思考2把一个直角梯形水平放置得其直观图如下，比较两图，其中哪些线段之间的位置关系、数量关系发生了变化？哪些没有发生变化？答：思考3阅读教材16页中的例1,然后自主作出水平放置的正六边形的直观图.答：［小结］上述画水平放置的平面图形的直观图的方法叫做斜二测画法，斜二测画法的基本步骤和规则：建坐标系，定水平面；与坐标轴平行的线段保持平行；水平线段等长，竖直线段减半.思考4斜二测画法可以画任意多边形水平放置的直观图，如果把一个圆水平放置，看起来像什么图形？画出水平放置的圆的直观图.例1用斜二测画法画边长为4cm的水平放置的正三角形的直观图.［反思与感悟］此类问题的解题步骤是：建系、定点、连线成图.要注意选取恰当的坐标原点，能使整个作图变得简便.跟踪训练1将例1中三角形放置成如图所示，则直观图与例1中的还一样吗？探究点二空间几何体的直观图的画法例2用斜二测画法画长、宽、高分别为4cm、3cm、2cm的长方体ABCD—AB'C'D'的直观图.答：［反思与感悟］直观图中应遵循的基本原则：用斜二测画法画空间图形的直观图时，图形中平行于x轴、y轴、z轴的线段在直观图中应分别画成平行于x'轴、y'轴、z'轴的线段；一一一1平行于x轴、z轴的线段在直观图中长度保持不变，平行于y轴的线段长度变为原来的跟踪训练2如下图，是一个空间几何体的三视图，请用斜二测画法画出它的直观图.它的底角为45°两腰和上例3如图，一个平面图形的水平放置的斜二测直观图是一个等腰梯形,底边长均为1，求这个平面图形的面积.［反思与感悟］解答此类题目的关键是首先要能够将水平放置的平面图形的直观图还原为原来的实际图形，其依据就是逆用斜二测画法，也就是使平行于x轴的线段的长度不变，而平行于y轴的线段长度变为原来的2倍.aa3326-22a3一4B跟踪训练3已知△ABC的平面直观图△A'B'C'是边长为a的正三角形，那么原厶ABC的面积2DA.C.【随堂练习】TOC\o"1-5"\h\z1•已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4,则此正方形的面积为（）A•16B•64C•16或64D.无法确定利用斜二测画法画出边长为3cm的正方形的直观图，正确的是图中的（）已知两个圆锥，底面重合在一起（底面平行于水平面），其中一个圆锥顶点到底面的距离为2cm,另一个圆锥顶点到底面的距离为3cm,则其直观图中这两个顶点之间的距离为（）A.2cmB.3cmC.2.5cmD.5cm如图所示，△A'B'C'是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其还原成平面图形.【课堂小结】斜二测画法是联系直观图和原图形的桥梁，可根据它们之间的可逆关系寻找它们的联系；在求直观图的面积时，可根据斜二测画法，画出直观图，从而确定其高和底边等，而求原图形的面积可把直观图还原为原图形.在用斜二测画法画直观图时，平行线段仍然平行，所画平行线段之比仍然等于它的真实长度之比,但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小.§.3空间几何体的表面积与体积第1课时柱体、锥体、台体的表面积目标1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台体的表面积的求法；2.了解柱、锥、台体的表面积计算公式；能运用柱、锥、台的表面积公式进行计算和解决有关实际问题;3•培养空间想象能力和思维能力.【知识梳理】棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台是由多个围成的多面体，它们的表面积就是各个面的面积的__圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是、_、旋转体的表面积名称图形公式圆柱底面积：S底=侧面积：S侧=表面积：S=圆锥底面积：S底=侧面积：S侧=表面积：S=圆台上底面面积：S上底=下底面面积：S下底=侧面积：S侧=表面积：S=思考探究［情境导学］已知ABBiAi是圆柱的轴截面，AAi=a,AB=b,P是BBi的中点；一小虫沿圆柱的侧面从Ai爬到P,如何求小虫爬过的最短路程？要解决这个问题需要将圆柱的侧面展开，本节我们将借助几何体的侧面展开图来研究几何体的表面积.探究点一棱柱、棱锥、棱台的表面积思考i在初中我们已经学过正方体和长方体的表面积，以及它们的展开图，你知道正方体和长方体的展开图的面积与正方体和长方体的表面积的关系吗？答：思考2几何体的表面积等于它的展开图的面积，那么，棱柱，棱锥，棱台的侧面展开图是怎样的?如何求棱柱，棱锥，棱台的表面积？答：例i已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S—ABC,求它的表面积.［反思与感悟］在解决棱锥、棱台的侧面积、表面积问题时往往将已知条件归结到一个直角三角形中求解，为此在解此类问题时，要注意直角三角形的应用.跟踪训练1已知棱长为5，底面为正方形，各侧面均为正三角形的四棱锥S—ABCD，求它的表面积.答：例2已知正四棱台（上6,高和下底面边长都是答：」、下底是正方形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心）上底面边长为12,求它的侧面积.［反思与感悟］解决有关正棱台的问题时，常用两种解题思路：一是把基本量转化到直角梯形中去解决；二是把正棱台还原成正棱锥，利用正棱锥的有关知识来解决.跟踪训练2在本例中，把棱台还原成棱锥，你能利用棱锥的有关知识求解吗？探究点二圆柱、圆锥、圆台的表面积的求法思考1如何根据圆柱的展开图，求圆柱的表面积?答：思考2如何根据圆锥的展开图，求圆锥的表面积?答：思考3如何根据圆台的展开图，求圆台的表面积?答：思考4圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系?答：例3一圆台形花盆，盆口直径20cm,盆底直径15cm,底部渗水圆孔直径1.5cm，盆壁长15cm.为美化外表而涂油漆，若每平方米用100毫升油漆，涂100个这样的花盆需要多少油漆？（n取3.14,结果精确到1毫升）［反思与感悟］解决台体的问题通常要还台为锥,求面积时要注意侧面展开图的应用,上、下底面圆的周长是展开图的弧长.跟踪训练3圆台的上、下底面半径分别为10cm和20cm.它的侧面展开图扇环的圆心角为180°那么圆台的表面积是多少？（结果中保留n）答：【随堂练习】1•一个几何体的三视图（单位长度：cm）如图所示，则此几何体的表面积是（）A•（80+162）cm2B•84cm2C•（96+16,2）cm2D•96cm22•某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为D.5n+f3A.3nC.3n+.3TOC\o"1-5"\h\z一个高为2的圆柱，底面周长为2n该圆柱的表面积为.表面积为3n的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为.【课堂小结】1.多面体的表面积为围成多面体的各个面的面积之和.棱柱的表面积等于它的侧面积加底面积；棱锥的表面积等于它的侧面积加底面积；棱台的表面积等于它的侧面积加两个底的面积.有关旋转体的表面积的计算要充分利用其轴截面，就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解.而对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借助相似的相关知识求解.S圆柱表=2nr(r+I);S圆锥表=n(r+I);S圆台表=n(2+rl+Rl+R2).第2课时柱体、锥体、台体、球的体积与球的表面积目标掌握柱体、锥体、台体的体积公式，会利用它们求有关几何体的体积；了解球的表面积与体积公式，并能应用它们求球的表面积及体积；3•会求简单组合体的体积及表面积.【知识梳理】1.柱体、锥体、台体的体积几何体体积柱体V柱体=（S为底面面积，h为咼）,V圆柱=（r为底面半径）锥体V锥体=S为底面面积，h为咼）,V圆锥=（r为底面半径）台体V台体=3（S^/ss'+S'）h（S',S分别为上、下底面面积，h为高）,1cCV圆台=3由（「'2+rr+r2）（r',r分别为上、下底面半径）2.球的体积球的半径为R,那么它的体积V=3.球的表面积S=球的半径为R,那么它的表面积S=思考探究［情境导学］上一节我们学习了几何体的表面积，一般地，面积是相对平面图形来说的，对于空间图形需要研究它们的体积，本节我们就来研究柱体、锥体、台体、球的体积和球的表面积问题.探究点一柱体、锥体、台体的体积思考1我们已经学习了正方体、长方体、圆柱、圆锥的体积计算公式，它们的体积公式如何表示？答：思考2根据正方体、长方体、圆柱的体积公式，推测柱体的体积计算公式？答：思考3等底、等高的圆柱与圆锥之间的体积关系如何？等底等高的圆锥、棱锥之间的体积关系如何？答：思考4根据圆锥的体积公式，推测锥体的体积计算公式？答：思考5台体的上底面积S',下底面积S,高h，则台体的体积是怎样的？圆台的体积公式如何用上下底面半径及高表示?答：且PB=1,PA='3,PC=；6,求其体积.(TOC\o"1-5"\h\z例1如图所示的三棱锥P—ABC的三条侧棱两两垂直，直线和一平面内两相交直线垂直，则直线与平面垂直）答：［反思与感悟］三棱锥的任一侧面都可以做为底面来求其体积；在已知三棱锥的体积时，可用等体积法求点到平面的距离.在本例中有Vp—ABC=VA-PBC=VB-FAC=VC-FAB.跟踪训练1一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.2n+2.3B.4n+2.32/325C.2n+3D.4n+3探究点二球的体积和表面积思考球既没有底面，也无法像柱、锥、台体一样展成平面图形，怎样求球的表面积和体积呢？就目前我们学过的知识还不能解决，我们不妨先记住公式.设球的半径为R,那么它的体积：V=3nR3,3它的表面积S=4kR2，现在请大家观察这两个公式，思考它们都有什么特点？例2如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径.求证:2（i）球的体积等于圆柱体积的3；⑵球的表面积等于圆柱的侧面积.答：［反思与感悟］（1）球与正方体的六个面均相切，则球的直径等于正方体的棱长.⑵球与正方体的12条棱均相切，则球的直径是正方体的面对角线.⑶球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径.（4）球与圆台的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆台的高.跟踪训练2球与圆台的上、下底面及侧面都相切，且球面面积与圆台的侧面积之比为3：4,则球的体积与圆台的体积之比为（）A.6:13B.5:14C.3:4D.7:15探究点三简单组合体的表面积和体积例3如图，梯形ABCD中，AD//BC,/ABC=90°AD=a,BC=2a,/DCB=60°在平面ABCD内过点C作I丄CB，以I为轴旋转一周.求旋转体的表面积和体积.［反思与感悟］求组合体的表面积或体积，首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应该怎样求，然后再根据公式求出各面的面积，最后再相加或相减•求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，然后再相加或相减.跟踪训练3如图所示，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF//AB,EF3=2,EF与面ABCD的距离为2,求该多面体的体积.答：【随堂练习】1.已知高为3的棱柱ABC—AiBiCi的底面是边长为1的正三角形（如图），则三棱锥Bi—ABC的体积为（）B.2D.A.4C.FTOC\o"1-5"\h\z设正六棱锥的底面边长为1,侧棱长为5，那么它的体积为（）A.6,3B.3C.23D.2若一个圆锥的侧面展开图是面积为2n的半圆面，则该圆锥的体积为.如图，在三棱柱AiBiCi—ABC中，D,E,F分别是AB,AC,AAi的中点，设三棱锥F—ADE的体积为Vi，三棱柱AiBiCi—ABC的体积为V2,则Vi:V2=.【课堂小结】柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为Sz=s1sz=01V柱体=S>V台体=§h(S+r；SS‘+S')>V锥体=§Sh3V在三棱锥A—BCD中，若求点A到平面BCD的距离h,可以先求Va-bcd,h=.S^BCD这种方法就是用等体积法求点到平面的距离，其中V—般用换顶点法求解，即Va-BCD=Vb-acd=Vc-ABD=Vd-ABC，求解的原则是V易求，且△BCD的面积易求.3•求几何体的体积，要注意分割与补形•将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解.利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形，进行相关计算.解决球与其他几何体的切接问题，通常先作截面，将球与几何体的各量体现在平面图形中，再进行相关计算.习题课空间几何体结构图类型题题型一三视图与直观图三视图是从三个不同的方向看同一个物体而得到的三个视图，从三视图可以看出，俯视图反映物体的长和宽，正视图反映它的长和高，侧视图反映它的宽和高.劃视图例1已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为8n10nA.3B.3nC.3D.6n跟踪训练1一几何体的三视图如图所示.说出该几何体的结构特征并画出直观图;计算该几何体的体积与表面积.题型二柱体、锥体、台体的表面积和体积几何体的表面积及体积的计算是现实生活中经常能够遇到的问题，在计算中应注意各数量之间的关系及各元素之间的位置关系，特别是特殊的柱、锥、台体，要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面图形的应用.例2圆柱有一个内接长方体ACi，长方体对角线长是10,'2cm，圆柱的侧面展开平面图为矩形，此矩形的面积是100ncn2,求圆柱的体积.答：跟踪训练2正四棱柱的对角线长为3cm，它的表面积为16cm2,求它的体积.答：题型三几何体中的有关最值问题有关旋转体中某两点表面上的长度最小问题，一般是利用展开图中两点的直线距离最小来求解；有关面积和体积的最值问题，往往把面积或体积表示为某一变量的二次函数的形式，然后利用二次函数的知识求最值.TOC\o"1-5"\h\z例3如图，在底面半径为1，高为2的圆柱上A点处有一只蚂蚁，它要围绕圆柱由A点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？\HYPERLINK\l"bookmark8"答：}跟踪训练3有一根长为3ncm底面半径为1cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈,并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，求铁丝的最短长度.【课堂小结】研究空间几何体，需在平面上画出几何体的直观图或三视图，由几何体的直观图可画它的三视图，由三视图可得到其直观图，同时可以通过作截面把空间几何问题转化成平面几何问题来解决.另外，圆柱、圆锥、圆台的表面积公式，我们都是通过展开图、化空间为平面的方法得到的，求球的切接问题通常也是由截面把空间问题转化为平面问题来解决第二章点直线平面之间的位置关系平面目标1•掌握平面的表示法，点、直线与平面的关系；2•掌握有关平面的三个公理；3•会用符号表示图形中点、直线、平面之间的关系.【知识梳理】平面的概念几何里的平面是从呈平面形的物体中抽象出来的.几何里的平面是的.平面的画法倍.通常把水平的平面画成一个，并且其锐角画成45°且横边长等于其邻边长的_如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用画出来.点、直线、平面的位置关系的符号表示A是点，I,m是直线，a,B是平面.文字语言付号语言图形语言A在1上A在1夕卜A在a内A在a外l在a内l在a外l,m相交于Al,a相交于Aa,B相交于14•平面的基本性质公理文字语言图形语言付号语言公理1如果一条直线上的在一个平面内，那么这条直线在A€l,B€1,且A€a,B€a?公理2过不在一条直线上的二点，有且只有一个平面A,B,C三点不共线？存在惟一的平面a使A,B,C€a公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的P€a且P€田,且思考探究［情境导学］在《西游记》中，如来佛祖对孙悟空说：“你一个跟头虽有十万八千里，但不会跑出我的手掌心”.结果孙悟空真没有跑出如来佛祖的手掌心，如果把孙悟空看作是一个点，他的运动成为一条线，大家说如来佛祖的手掌像什么？探究点一平面的概念思考1观察长方体，你能发现长方体的顶点，棱所在的直线，以及侧面、底面之间的位置关系吗?答思考2生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等，都给我们以平面的印象，你们能举出更多例子吗？那么，平面的含义是什么呢？答思考3如何用字母表示平面，如何表示点在平面内或点不在平面内?答例1下列四个选项中的图形表示两个相交平面，其中画法正确的是（）跟踪训练1下列命题：（1）书桌面是平面；（2）8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚；（3）有一个平面的长是50m,宽是20m;（4）平面是绝对的平、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念.其中正确命题的个数为（）A.1B.2C.3D.4探究点二平面的基本性质导引如果直线I与平面a有一个公共点P,直线I是否在平面a内？如果直线I与平面a有两个公共点，直线I是否在平面a内？思考1实际生活中，我们有这样的 经验 班主任工作经验交流宣传工作经验交流材料优秀班主任经验交流小学课改经验典型材料房地产总经理管理经验 ：把一根直尺边缘上的任意两点放到桌面上，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上•从经验中我们能得到什么结论呢？答思考2如何用符号语言表示公理1?公理1有怎样的用途？答例2如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.(1)(2)跟踪训练2若点M在直线a上，a在平面a内，则M,a,a之间的关系可记为（）A.M€a,a€aB.M€a,a?aC.M?a,a?aD.M?a,a€a思考3生活中经常看到用三角架支撑照相机；测量员用三角架支撑测量用的平板仪；有的自行车后轮旁只安装一只撑脚.上述事实和类似经验可以归纳为怎样的公理？答思考4如何用符号语言表示公理2?公理2有怎样的用途？答例3已知a//b//c,lAa=A,lAb=B,lAc=C.求证：a,b,c和I共面.跟踪训练3已知：如图所示，liA12=A,I2A13=B,liA13=C.求证：直线li、|2、13在同一平面内.思考5把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面是否只相交于一点？为什么？思考6如何用符号语言表示公理3?公理3有怎样的用途?答例4已知△ABC在平面a外，ABAa=P,ACAa=R,BCAa=Q.求证：P、Q、R三点共线.跟踪训练4如图所示，在正方体ABCD—AiBiCiDi中，E为AB的中点，F为AAi的中点.求证：CE、DiF、DA三线交于一点.课堂练习TOC\o"1-5"\h\z.若A€平面a,B€平面a,C€直线AB，则（）A.C€aB.C?aC.AB?aD.ABCla=C.平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，既与AB共面也与CCi共面的棱的条数为（）A.3B.4C.5D.6若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成部分.如图，已知D,E是厶ABC的边AC,BC上的点，平面a经过D,E两点，若直线AB与平面a的交点是P,则点P与直线DE的位置关系是.5.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O,AC、BD交于点M,E为AB的中点，F为AA1的中点.求证：（1）6、0、M三点共线；（2）E、C、D1、F四点共面；（3）CE、D1F、DA三线共点.【课堂小结】1.三个公理的作用：公理1——判定直线在平面内的依据；公理2――判定点共面、线共面的依据；公理3――判定点共线、线共点的依据.2•证明几点共线的方法：先考虑两个平面的交线，再证有关的点都是这两个平面的公共点•或先由某两点作一直线，再证明其他点也在这条直线上.3•证明点线共面的方法：先由有关元素确定一个基本平面，再证其他的点(或线)在这个平面内；或先由部分点线确定平面，再由其他点线确定平面，然后证明这些平面重合•注意对诸如“两平行直线确定一个平面”等依据的证明、记忆与运用.4•证明几线共点的方法：先证两线共点，再证这个点在其他直线上，而“其他”直线往往归结为平面与平面的交线空间中直线与直线之间的位置关系目标1.了解空间中两条直线的位置关系；2•理解异面直线的概念、画法；3•理解并掌握公理4及等角定理；4.掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较特殊的异面直线所成的角.【知识梳理】1•空间中两条直线的位置关系宀护¥W位置大糸共面情况公共点个数共面相交直线冋一平面内公共点］直线平行直线冋一平面内公共点异面直线不同在公共点2•公理4文字表述：的两条直线互相平行.符号表述：含义：揭示了空间平行线的.3•等角定理研究对象：在空间中的两个角.条件：两边分别结论：这两个角4•异面直线所成的角前提两条异面直线a,b定义作法经过空间任一点0作直线a'//a,b'//b结论我们把a'与b'所成的叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)范围记异面直线a与b所成的角为0贝U特殊情况当0=时，a与b互相垂直，记作思考探究［情境导学］在平面中没有公共点的两条直线一定平行，但在空间中就不一定成立.例如：在十字路口立交桥中，两条路线AB,CD既不相交，又不平行•今天我们就来研究空间中直线与直线之间的/亠护¥方位置关糸.探究点一空间两直线的位置关系思考1在同一平面内，两条直线有几种位置关系？答思考2观察下面两个图形，你能找出既不平行又不相交的两条直线吗？答思考3如何判断两条直线是异面直线？分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？答思考4为了体现异面直线不共面的特点，如何借助平面衬托来画异面直线呢？答思考5下图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB,CD,EF,GH这四条线段所在直线是异面直线的有几对？