第二十二届“华杯赛”决赛小高组试题A详细解答

第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 A(小学高年级组)详细解答一、填空题（每小题10分，共80分）1.用[x]表示不超过的最大整数，例如：[3.14]=3，则2017×32017×42017×52017×62017×72017×8+++++的值为。1111𝑥𝑥11111111������������2.从4个整数中任意选出3个，求出它们的平均值，然后再求这个平均值和余下121个数的和，这样可以得到4个数：8,12,10和9，则原来给定的4个整数的和33为。3.在3×3的网格中（每个格子是1×1的正方形）放两枚相同的棋子，每个格子最多放一枚棋子，共有种不同的摆放方法。（如果两种方法能够由旋转而重合，则把它们视为同一种摆放方法）。4.甲从A地出发去找乙，走了80千米后达到B地，此时，乙已于半小时前离开B地去了C地，甲已离开A地2小时，于是，甲以原来速度的2倍去C地，又经过了2个小时后，甲乙两人同时到达C地，则乙的速度是千米/小时。5.某校开设了书法和朗诵两个兴趣小组，已知两个小组都参加的人数是只参加书法小21组人数的，是只参加朗诵小组人数的，那么书法小组与朗诵小组的人数比是。756.右图中，⊿ABC的面积为100平方厘米，⊿ABD的面积为72平方厘米。M为CD边的中点，∠MHB=90º。已知AB=20厘米，则MH的长度为厘米。7.一列数a1,a2,…,an,…,记S(ai)为ai的所有数字之和，如S(22)=2+2=4.若a1=2017,a2=22,an=S(an-1)+S(an-2),那么a2017等于。1/108.如右图，六边形的六个顶点分别标志为A,B,C,D,E,F.开始的时候“华罗庚金杯赛”六个汉子分别位于A,B,C,D,E,F顶点处。将六个汉字在顶点处任意摆放，最终结果是每个顶点处仍各有一个汉字，每个字在开始位置的相邻顶点处，则不同的摆放方法共有种。二、解答下列各题（每小题10分，共40分， 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 写出简要过程）9.平面上有5条不同的直线，这5条直线共形成n个交点，则n有多少个不同的数值？10.某校给学生提供苹果、香蕉和梨三种水果，用作课间加餐。每名学生至少选择一种，也可以多选。统计结果显示：70%的学生选择了苹果，40%的学生选择了香蕉，30%的学生选择了梨。那么三种水果都选的学生数占学生总数至多是百分之几？11.箱子里面有两种珠子，一种每个19克，另一种每个17克，所有珠子的重量为2017克，求两种珠子的数量和所有可能的值。3n+212.使不为最简分数的三位数n之和等于多少？5n+1三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）13.班上共有60名同学，生日记为某月某号。问每个同学两个同样的问题：班上有几个人与你生日的月份相同？班上有几个人与你的生日的号数相同（比如生日为1月12日与12月12日的号数是相同的）。结果发现，在所得到的回答中包含了由0到14的所有整数，那么，该班至少有多少个同学生日相同？14.将1到9填入右图的网格中，要求每个格子填一个整数，不同格子填的数字不同，且每个格子周围的格子（即与该格子有公共边的格子）所填数字之和是该格子中所填数字的整数倍。已知左右格子已经填有数字4和5，问：标有字母x的格子所填的数字最大是多少？2/10第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A(小学高年级组)详细解答一、填空题（每小题10分，共80分）1.用[x]表示不超过的最大整数，例如：[3.14]=3，则2017×32017×42017×52017×62017×72017×8+++++的值为。1111𝑥𝑥11111111������������20174【解】：∵=183+11114∴2017×3183×3+×3183×3+1[11]=[11]=类似地，可知：2017×4183×4+12017×5183×5+1[11]=；[11]=2017×6183×6+22017×7183×7+22017×8183×8+2[11]=；[11]=；[11]=∴原式=183×[3+4+5+6+7+8]+1+1+1+2+2+2=6048【答】：所求值为6048。2.从4个整数中任意选出3个，求出它们的平均值，然后再求这个平均值和余下121个数的和，这样可以得到4个数：8,12,10和9，则原来给定的4个整数的和33为。【解】：假设原来四个整数分别为a,b,c,d,则按照题意所求的四个数的表达式分别为：a+b+ca+b+da+c+db+c+d+d,+c+b,+a3333a+b+ca+b+da+c+db+c+d3（a+b+c+d）∵+d++c++b++a=+(a+b+c+d)=2(a+b+c+d)33333121∴a+b+c+d×8+12+10+91×(20+20)==2=20233【答】：原来给定的4个整数的和为20。��3/103.在3×3的网格中（每个格子是1×1的正方形）放两枚相同的棋子，每个格子最多放一枚棋子，共有种不同的摆放方法。（如果两种方法能够由旋转而重合，则把它们视为同一种摆放方法）。【解】：分三种情形，共有10种不同摆法，如下图：（1）两个点都在第一行；（2）两个点不在同一行但相邻；（3）两个点不在同一行且不相邻；【答】：共有10种不同的摆放方法。4.甲从A地出发去找乙，走了80千米后达到B地，此时，乙已于半小时前离开B地去了C地，甲已离开A地2小时，于是，甲以原来速度的2倍去C地，又经过了2个小时后，甲乙两人同时到达C地，则乙的速度是千米/小时。【解】：设甲的速度为V甲，乙的速度为V乙，AB两地距离为SAB，BC两地距离为SBC根据题意可知：V甲=80÷2=40(千米/小时)，甲原来的速度的2倍为80(千米/小时)所以，BC两地距离：SBC=2×80=160(千米)又，乙从B地到C地花了2.5小时，所以，乙的速度为：V乙=SBC÷2.5=160÷2.5=64(千米/小时)【答】：乙的速度为64千米/小时。4/105.某校开设了书法和朗诵两个兴趣小组，已知两个小组都参加的人数是只参加书法21小组人数的，是只参加朗诵小组人数的，那么书法小组与朗诵小组的人数比75是。【解】：设两个小组都参加的人数为单位1，则：7只参加书法小组的人数为，只参加朗诵小组的人数为5.279∴参加书法小组的总人数为+1=，参加朗诵小组的总人数为5+1=6229∴书法小组与朗诵小组人数比=︰6=9︰12=3:42【答】：书法小组与朗诵小组人数比是3:4。6.右图中，⊿ABC的面积为100平方厘米，⊿ABD的面积为72平方厘米。M为CD边的中点，∠MHB=90º。已知AB=20厘米，则MH的长度为厘米。【解】：作DE垂直于AB交于E，作CF垂直于AB交于F11则：⊿ABD=AB×DE,⊿ABC=AB×CFS2S21∴⊿ABD⊿ABC=AB×(DE+CF)S+S2∵DE、MH和CF都是AB的垂线，∴DE∥MH∥CF∵M是CD的中点，∴MH是梯形EFCD的中位线，从而有：1MH=(DE+CF)=（⊿ABD⊿ABC）/AB=(100+72)/20=8.6(厘米)2S+S【答】：MH的长度为8.6厘米。5/107.一列数a1,a2,…,an,…,记S(ai)为ai的所有数字之和，如S(22)=2+2=4.若a1=2017,a2=22,an=S(an-1)+S(an-2),那么a2017等于。【解】：根据题意，a3=S(a2)+S(a1)=S(22)+S(2017)=4+10=14a4=S(a3)+S(a2)=S(14)+S(22)=5+4=9，类似地，我们可以算出：a5=14，a6=14，a7=10，a8=6，a9=7，a10=13，a11=11，a12=6，a13=8，a14=14，a15=13，a16=9，a17=13，a18=13，a19=8，a20=12，a21=11，a22=5，a23=7，a24=12，a25=10，a26=4，a27=5，a28=9，a29=14，a30=14，a31=10，a32=6从中可以找出规律：从a4项开始，每24（注：28-4=24）个项一次循环，如下：a4=9，a5=14，a6=14，a7=10，a8=6，……a28=9，a29=14，a30=14，a31=10，a32=6，…………∵(2017-4)÷(28-4)=2013÷24=83余21∴a2017=a(4+21)=a25=10【答】：a2017等于10。8.如右图，六边形的六个顶点分别标志为A,B,C,D,E,F.开始的时候“华罗庚金杯赛”六个汉子分别位于A,B,C,D,E,F顶点处。将六个汉字在顶点处任意摆放，最终结果是每个顶点处仍各有一个汉字，每个字在开始位置的相邻顶点处，则不同的摆放方法共有种。【解】：若“华”字确定了摆放位置，则“庚”和“杯”字的位置就确定了。若“罗”字确定了摆放位置，则“金”和“赛”字的位置就确定了。∵“华”字和“罗”字各有两种摆法，且可以任意组合，∴不同的摆放方法总共有：2×2=4（种）。【答】：不同的摆放方法总共有4种。6/10二、解答下列各题（每小题10分，共40分，要求写出简要过程）9.平面上有5条不同的直线，这5条直线共形成n个交点，则n有多少个不同的数值？【解】：在5条直线之中，最多的相互平行的直线数量可能有：5、4、3、2、0五种情况。若五条直线都相互平行，则n=0;若四条直线相互平行，则另外一条直线与这4条直线各有1个交点，即n=4，若最多三条直线相互平行，则交点的个数可能是：6、7或5，依次如下图：若最多两条直线相互平行，则交点的个数可能是：4、6、8、7或9，依次如下图：若没有直线相互平行，则交点的个数可能是：1、5、6、8或10，依次如下图：综上所述，交点个数可能有：0、1、4、5、6、7、8、9、10。共有9个不同的数值。【答】：n有9种不同的数值。10.某校给学生提供苹果、香蕉和梨三种水果，用作课间加餐。每名学生至少选择一种，也可以多选。统计结果显示：70%的学生选择了苹果，40%的学生选择了香蕉，30%的学生选择了梨。那么三种水果都选的学生数占学生总数至多是百分之几？【解】：要想使吃三种水果的人数最多，则吃两种水果的人数均为0，如右图所示：根据题意，我们有：70%―X＋40%―X＋30%―X＋X=100%解方程得：X=20%【答】：三种水果都选的学生数占学生总数至多为百分之20。7/1011.箱子里面有两种珠子，一种每个19克，另一种每个17克，所有珠子的重量为2017克，求两种珠子的数量和所有可能的值。【解】：设19克的珠子有X个，17克的珠子有y个，则：19X＋17y=2017根据题意，可知：x>0且y>0，所以，x≦106，y≦118∵19X＋17y=17(x+y)+2x而2017=17×118+11=17×117+28=17×115+62=17×113+96=17×111+130=17×109+164=17×107+198=17×105+232=……根据题意可知，2x为偶数，且x≦106，所以，2x小于212。从上式可以看出，2X的可能取值为：28、62、96、130、164、198，相应地X+Y的可能取值为：117、115、113、111、109、107。【答】：两种珠子的数量和所有可能的值为：117、115、113、111、109、107。3n+212.使不为最简分数的三位数n之和等于多少？5n+1【解】：∵n是三位数，∴100≦n≦999,(5n+1)―(3n+2)=2n―1>0即：5n+1>3n+2∵(5n+1)<(6n+1)<(6n+4)<2(3n+2)，∴(5n+1)÷(3n+2)<2用转辗相除法求最大公约数，步骤如下：(5n+1)÷(3n+2)=1余2n-1;(3n+2)÷(2n-1)=1余n+3;(2n-1)÷(n+3)=1余n-4;(n+3)÷(n-4)=1余7;因此，要想(5n+1)和(3n+2)的最大公约数大于1，则(n-4)必须是7的倍数。满足上述条件的三位数n有：102,109,116，……,991,998它们的和为：102+109+116+…+998=[(102+998)÷2]×[(998-102)÷7+1]=70950【答】：所有满足条件的三位数n之和等于70950。8/10三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）13.班上共有60名同学，生日记为某月某号。问每个同学两个同样的问题：班上有几个人与你生日的月份相同？班上有几个人与你的生日的号数相同（比如生日为1月12日与12月12日的号数是相同的）。结果发现，在所得到的回答中包含了由0到14的所有整数，那么，该班至少有多少个同学生日相同？【解】：该班至少有2个同学生日相同，分析如下：如果得到的 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 包含0~14，则说明生日属于某个月份或某个号数的人数应该为1~15∵1+2+3+4+…+15=120=2X60,∴根据抽屉原理，所有同学的生日的月份都必须属于这些月份之中的某一个，同时也必须属于这些号数的某一个。以下是某一种可能的情形：一月二月三月四月五月六月日小计1号11000022号01200033号20020044号22200065号22120076号22220087号22221098号222220109号22222111月小计151413125160【答】：该班至少有两位同学生日相同。(下一题转下一页)9/1014.将1到9填入右图的网格中，要求每个格子填一个整数，不同格子填的数字不同，且每个格子周围的格子（即与该格子有公共边的格子）所填数字之和是该格子中所填数字的整数倍。已知左右格子已经填有数字4和5，问：标有字母x的格子所填的数字最大是多少？【解】：根据题意可知，所有格子里面的数字之和为45，因此，存在一个正整数K，使得：K*x=45-4-5-x即(K+1)x=36，注意：此处K+1为正整数。∴X可能的取值从大到小依次为：9、6、4、3、2、1。假定X周边6个格子里面的数字依次为a到f,如右图所示。下面分情况讨论：（1）若x=9,则a+b=4或8（因为a和b不能等于4、9，所以a+b不可能等于12）若a=1,b=3,则可以推导出：c=7,d=2,e=8,f=6,但这样的话，f+9+d+5=22,不是e的整数倍，所以，这种情况不能成立；若a=1,b=7,则c无法取满足题设条件的数值。综上分析，x不能等于9。（2）若x=6,可能的组合如右图所示：综合上述分析，x的最大值为6。【答】：标有字母x的格子所填的数字最大是6。10/10