浙江省2023届高三上学期数学模拟试卷（4套含答案）

高三上学期数学二模 试卷 云南省高中会考试卷哪里下载南京英语小升初试卷下载电路下试卷下载上海试卷下载口算试卷下载 一、单选题1．已知集合，，则（）A．B．C．D．2．若（为虚数单位），则（）A．5B．C．D．3．已知一组样本数据，，…，的平均数为，由这组数据得到另一组新的样本数据，，…，，其中（，2，…，10），则（）A．两组样本数据的平均数相同B．两组样本数据的方差不相同C．两组样本数据的极差相同D．将两组数据合成一个样本容量为20的新的样本数据，该样本数据的平均数为4．已知多项式，则（）A．11B．74C．86D．5．已知是边长为1的正三角形，，，则（）A．B．C．D．16．已知正方体的棱长为1，是线段上的动点，则三棱锥的体积为（）A．B．C．D．7．已知直角的直角顶点在圆上，若点，，则的取值范围为（）A．B．C．D．8．已知，，（为自然对数的底数），则（）A．B．C．D．二、多选题9．已知抛物线与直线有公共点，则的值可以是（）A．2B．3C．4D．510．已知函数，将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，则（）A．的周期为B．为奇函数C．的图象关于点对称D．当时，的取值范围为11．新型冠状病毒肺炎（CoronaVirusDisease2019，COVID-19），简称“新冠肺炎”，世界卫生组织命名为“2019冠状病毒病”，是指2019新型冠状病毒感染导致的肺炎.用核酸检测的方法可以诊断是否患有新冠，假设，，其中随机事件 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示“某次核酸检测被检验者阳性”，随机事件表示“被检验者患有新冠”，现某人群中，则在该人群中（）A．每100人必有1人患有新冠B．若，则事件与事件相互独立C．若某人患有新冠，则其核酸检测为阳性的概率为0.999D．若某人没患新冠，则其核酸检测为阳性的概率为0.00112．已知函数及其导函数的定义域均为，记.若与均为偶函数，则（）A．B．函数的图象关于点对称C．函数的周期为2D．三、填空题13．若实数，且，则.14．我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形面积的公式.在中，设分别为的内角的对边，S表示的面积，其公式为.若，，，则.15．已知实数，满足，则的最小值是.16．已知椭圆的右焦点为，过坐标原点的直线与椭圆交于A，B两点.在中，，且满足，则椭圆的离心率的取值范围为.四、解答题17．已知正项数列的前项和为，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）若数列为等比数列，且，，求数列的前项和.18．已知半圆的直径，点为圆弧上一点（异于点），过点作的垂线，垂足为.（1）若，求的面积；（2）求的取值范围.19．“体育强则国家强，国运兴则体育兴”，多参加体育运动能有效增强中学生的身体素质.篮球和排球是我校学生最为喜爱的两项运动，为调查喜爱运动项目与性别之间的关系，某调研组在校内随机采访男生、女生各50人，每人必须从篮球和排球中选择最喜爱的一项，其中喜爱排球的归为甲组，喜爱篮球的归为乙组，调查发现甲组成员48人，其中男生18人.（1）根据以上数据，填空下述列联表：甲组乙组合计男生女生合计（2）根据以上数据，能否有95%的把握认为学生喜欢排球还是篮球与“性别”有关?（3）现从调查的女生中按分层抽样的方法选出5人组成一个小组，抽取的5人中再随机抽取3人发放礼品，求这3人中在甲组中的人数的概率分布列及其数学期望.参考公式：，其中为样本容量.参考数据：0.500.500.010.4553.8416.63520．如图，在四棱锥中，已知，，，，，，为中点，为中点.（1）证明：平面平面；（2）若，求平面与平面所成夹角的余弦值.21．已知双曲线的顶点为，，过右焦点作其中一条渐近线的平行线，与另一条渐近线交于点，且.点为轴正半轴上异于点的任意点，过点的直线交双曲线于C，D两点，直线与直线交于点.（1）求双曲线的标准方程；（2）求证：为定值.22．已知为正实数，函数.（1）若恒成立，求的取值范围；（2）求证：（）.1．D2．B3．C4．B5．A6．B7．C8．A9．B,C,D10．A,C11．B,D12．A,B,D13．014．1或15．916．17．（1）解：由可得，①，②由可得：，，，又数列为正项数列，所以，因为，所以，所以数列为以1为首项，公差为2的等差数列，故.（2）解：由(1)得：，又，，所以，∵数列为等比数列，设其公比为，则，所以，所以，则，③，④得：，则.18．（1）解：如图，连接，在中，，，，则，在中，，所以.（2）解：设，易知，在中，①，因为，所以，则，代入①式可得的取值范围为.19．（1）解：列联表甲组乙组合计男生183250女生302050合计4852100（2）解：零假设为：学生选排球还是篮球与性别无关由列联表可得；有95%的把握认为学生喜欢排球还是篮球与“性别”有关.（3）按分层抽样，甲组中女生3人，乙组中女生2人，，∴概率分布列为123数学期望.20．（1）证明：连接，∵为中点，为中点，∴，又面，面，∴面，在中，，，，∴，即，在中，，，∴，，在中，，，，，∴，，∴，∵F为AB中点，∴，，∴，又∵面，面，∴面，又∵，CF，面，∴平面平面；（2）解法一：延长与交于，连，则面面，在中，，，，所以，又，，，面，∴面，面，∴面面，在面内过作，则面，∵面，∴，过作，连，∵，面，面，∴面，面，∴，∴即为面与面所成二面角的平面角，∵，，∴，，∵，，∴，，，又，∴，，，∴.解法二：在中，，，，所以，又，，平面，所以平面，平面，所以平面平面，又∵，，∴，以为轴，为轴，过且垂直于面的直线为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，设平面的法向量，，，，令，则，∴，设平面的法向量，，令，则，，∴，所以，∴平面与平面所成角的余弦值为.21．（1）解：设双曲线，易知.由题意可知：为等腰三角形，则，代入得：，则，又，则解得，则双曲线.（2）证明：设直线的方程为：，（且），，.联立，消得：，，，，①，②联立①②，解得：.又，同理，，把它们代入，得，故，得证.22．（1）解：，①若，即，，函数在区间单调递增，故，满足条件；②若，即，当时，，函数单调递减，则，矛盾，不符合题意.综上所述：.（2）证明：先证右侧不等式，如下：由（1）可得：当时，有，则，即，即，则有，即，右侧不等式得证.下证左侧不等式，如下：构建，则在上恒成立，故在上单调递减，则，即，可得，即，则有，即，∵，则，故，左侧得证.综上所述：不等式成立.高三下学期数学一模试卷一、单选题1．若集合，则（）A．B．C．D．2．若，则（）A．B．C．D．3．的展开式中常数项为（）A．280B．-280C．160D．-1604．“省刻度尺”问题由英国数学游戏大师杜登尼提出：一根长的尺子，要能够量出长度为到且边长为整数的物体，至少需要6个刻度（尺子头尾不用刻）．现有一根的尺子，要能够量出长度为到且边长为整数的物体，尺子上至少需要有（）个刻度A．3B．4C．5D．65．班级举行知识竞猜闯关活动，设置了三个问题．答题者可自行决定答三题顺序．甲有60%的可能答对问题，80%的可能答对问题，50%的可能答对问题．记答题者连续答对两题的概率为，要使得最大，他应该先回答（）A．问题B．问题C．问题和都可以D．问题6．在平面直角坐标系上，圆，直线与圆交于两点，，则当的面积最大时，（）A．B．C．D．7．设，，，则（）A．B．C．D．8．在正方体中，平面经过点B、D，平面经过点A、，当平面分别截正方体所得截面面积最大时，平面所成的锐二面角大小为（）A．B．C．D．二、多选题9．在平面直角坐标系中，已知点，则（）A．B．是直角三角形C．在方向上的投影向量的坐标为D．与垂直的单位向量的坐标为或10．已知函数，则（）A．有一个零点B．在上单调递减C．有两个极值点D．若，则11．设椭圆，，为椭圆上一点，，点关于轴对称，直线分别与轴交于两点，则（）A．的最大值为B．直线的斜率乘积为定值C．若轴上存在点，使得，则的坐标为或D．直线过定点12．已知，且，则（）A．B．C．D．三、填空题13．已知随机变量服从正态分布，若，则．14．写出一个满足下列条件的正弦型函数，．①最小正周期为；②在上单调递增；③成立．15．将两个形状完全相同的正三棱锥底面重合得到一个六面体，若六面体存在外接球，且正三棱锥的体积为1，则六面体外接球的体积为．16．已知椭圆，椭圆的左右焦点分别为，点为椭圆上一点且，过A作椭圆E的切线l，并分别交于C、D点．连接，与交于点E，并连接．若直线l，的斜率之和为，则点A坐标为．四、解答题17．已知数列是以d为公差的等差数列，为的前n项和．（1）若，求数列的通项公式；（2）若中的部分项组成的数列是以为首项，4为公比的等比数列，且，求数列的前n项和．18．已知中角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知．（1）证明：；（2）求的面积．19．如图，四面体中，，，与面的所成角为．（1）若四面体的体积为，求的长；（2）设点在面中，，，过作的平行线，分别交于点，求面与面所成夹角的余弦值．20．大坝是一座具有灌溉、防洪、发电、航运、养殖和游览等综合效益的大型水利枢纽 工程 路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理 ．为预测渗压值和控制库水位，工程师在水库选取一支编号为的渗压计，随机收集10个该渗压计管内水位和水库水位监测数据：样本12345678910总和号水库水位75.6975.7475.7775.7875.8175.8575.6775.8775.975.93758.01渗压计管72.8872.9072.9272.9272.9372.9472.9472.9572.9672.98729.32内水位并计算得，，．附：相关系数，，，．（1）估计该水库中号渗压计管内平均水位与水库的平均水位；（2）求该水库号渗压计管内水位与水库水位的样本相关系数（精确到0.01）；（3）某天雨后工程师测量了水库水位，并得到水库的水位为．利用以上数据给出此时号渗压计管内水位的估计值．21．设双曲线的右焦点为，右焦点到双曲线的渐近线的距离为．（1）求双曲线的方程；（2）若，点在线段上（不含端点），过点分别作双曲线两支的切线，切点分别为．连接，并过的中点分别作双曲线两支的切线，切点分别为，求面积的最小值．22．已知（1）当时，求单调区间；（2）当时，恒成立，求的取值范围；（3）设，，证明：．1．A2．B3．A4．B5．D6．C7．D8．C9．A,B,D10．B,D11．B,C,D12．B,C13．114．（ 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 不唯一）15．16．17．（1）解：因为，所以，所以.所以.则数列的通项公式为.（2）解：因为数列是以首项为，公比为4等比数列.所以.因为数列是等差数列，所以.化简得.因为，所以，即.所以.因为，所以数列是以为首项.4为公比的等比数列所以.所以.则数列的前n项和为：.18．（1）证明：因为，所以，即，则，因为，，，，，所以，因为，所以，即，因为，所以令，则，因为，所以在上单调递减，所以由得，即成立（2）解：因为，所以所以由正弦定理得，且，所以因为所以由得化简得因为，所以所以由得或（舍去），，所以.19．（1）解：，，，，又，平面，平面；作，连接，平面，平面，，，平面，平面，平面，平面面，平面平面，则作，可得平面，为与平面的所成角，，设，，则，，，，则由得：，，解得：，即.（2）解：设，由（1）得：，延长交于点，连接，，，，平面，平面，平面，，又，，，，，，为边上的高，即，；，，平面，平面，又平面，；由（1）得，若，则点在上，为的垂心；∽，，又，，，，即；方法一：，为中点，为中点，以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面的法向量，则，令，解得：，，；平面，平面的一个法向量为，，即平面与平面所成夹角的余弦值为.方法二：，，即；分别作，，则平面，平面，在平面的投影为，，设平面与平面所成的二面角为，则.20．（1）解：水库的平均水位，号渗压计管内平均水位.（2）解：，同理可得：，，（3）解：，，号渗压计管内水位关于水库水位的经验回归方程为，当时，预测值，即水库的水位为时，号渗压计管内水位的估计值为.21．（1）解：双曲线的右焦点为，；右焦点到双曲线的渐近线的距离为1，双曲线的渐近线方程为，，解得：，，双曲线的方程为：.（2）解：设，切线，由得：，，解得：，，，，，，即，同理可得：直线；直线与直线交于点，，，点满足方程，即直线，同理可得：直线，即，点在直线上，，即点在直线上，，，，，，即，直线，由得：，，点到直线的距离为，，令，，，则，，则，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，.22．（1）解：当时，，，，，（当且仅当时取等号），恒成立，的单调递增区间为，无单调递减区间.（2）解：当时，恒成立，即，恒成立；方法一：，，使得在上单调递增，当时，，，解得：；当时，，，，设，则，在上单调递增，，，即满足题意；综上所述：的取值范围为.方法二：，，，，则由，恒成立得：；，，令，则，令，则，①当，即时，方程的解为，设，的对称轴为，当时，，，其中，则当，即时，；当时，即时，；在上单调递减，在上单调递增，，当时，，与，恒成立相矛盾，故舍去；②当，即时，，即，在上单调递增，，即，恒成立；综上所述：实数的取值范围为.（3）证明：由（2）得：，；令，，即，，当时，，化简得，，，，，累加得：，，即成立.高三下学期数学一模试卷一、单选题1．若集合，，则（）A．B．C．D．2．若复数满足，则（）A．B．C．D．3．等边的边长为3，若，，则（）A．B．C．D．4．《九章算术·商功》中记载：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，不易之率也.”我们可以翻译为：取一长方体，分成两个一模一样的直三棱柱，称为堑堵.再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得一个四棱锥和一个三棱锥，这个四棱锥称为阳马，这个三棱锥称为鳖臑.现已知某个鳖臑的体积是1，则原长方体的体积是（）A．8B．6C．4D．35．数列的前项和为，则数列的前项和为（）A．B．C．D．6．已知点，与直线，若在直线上存在点，使得，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．7．若一个三位数的各个数位上的数字之和为8，则我们称是一个“叔同数”，例如“125，710”都是“叔同数”.那么“叔同数”的个数共有（）A．34个B．35个C．36个D．37个8．定义在上的函数满足，若，且对，，均有，则（）A．B．C．D．二、多选题9．已知函数，，则下列说法正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．方程有唯一实根10．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A．B．C．在上单调递增D．在上有且仅有四个零点11．已知椭圆，，分别为椭圆的左右顶点，为椭圆的上顶点.设是椭圆上一点，且不与顶点重合，若直线与直线交于点，直线与直线交于点，则（）A．若直线与的斜率分别为，，则B．直线与轴垂直C．D．12．已知正方体的棱长为2，，分别为，的中点，且与正方体的内切球（为球心）交于，两点，则下列说法正确的是（）A．线段的长为B．过，，三点的平面截正方体所得的截面面积为C．三棱锥的体积为D．设为球上任意一点，则与所成角的范围是三、填空题13．的展开式中含项的系数为.14．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是.15．从某地抽取1000户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50~650kW·h之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示.若根据图示估计得该样本的平均数为322，则可以估计该地居民月用电量的第60百分位数约为.16．已知双曲线的左、右焦点为，，过的直线分别交两条渐近线于，两点，若且，则的离心率为.四、解答题17．糟蛋是新鲜鸭蛋（或鸡蛋）用优质糯米糟制而成，是中国别具一格的特色传统美食，以浙江平湖糟蛋、陕州糟蛋和四川宜宾糟蛋最为著名.平湖糟蛋采用优质鸭蛋、上等糯米和酒糟糟渍而成，经过糟渍蛋壳脱落，只有一层薄膜包住蛋体，其蛋白呈乳白色，蛋黄为橘红色，味道鲜美.糟蛋营养丰富，每百克中约含蛋白质15.8克、钙24.8克、磷11.1克、铁0.31克，并含有维持人体新陈代谢必须的18种氨基酸.现有平湖糟蛋的两家生产工厂，产品按质量分为特级品、一级品和二级品，其中特级品和一级品都是优等品，二级品为合格品.为了比较两家工厂的糟蛋质量，分别从这两家工厂的产品中各选取了200个糟蛋，产品质量情况统计如下表：优等品合格品合计特级品一级品二级品工厂甲1007525200工厂乙1203050200合计22010575400附：参考公式：，其中.独立性检验临界值表：0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828（1）从400个糟蛋中任取一个，记事件表示取到的糟蛋是优等品，事件表示取到的糟蛋来自于工厂甲.求；（2）依据小概率值的独立性检验，从优等品与合格品的角度能否据此判断两家工厂生产的糟蛋质量有差异？18．已知数列是等差数列，且，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.19．已知中，内角，，所对的边分别为，，，且满足.（1）求角的大小；（2）设是边上的高，且，求面积的最小值.20．如图在三棱柱中，为的中点，，.（1）证明：；（2）若，且满足：_____，________（待选条件）.从下面给出的①②③中选择两个填入待选条件，求二面角的正弦值.①三棱柱的体积为；②直线与平面所成的角的正弦值为；③二面角的大小为60°；注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.21．已知抛物线，过焦点的直线交抛物线于，两点，且.（1）求抛物线的方程；（2）若点，直线，分别交准线于，两点，证明：以线段为直径的圆过定点.22．已知函数，.（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有三个零点，，，求证：.1．D2．C3．A4．B5．D6．A7．C8．C9．A,C10．B,D11．A,B,C12．B,C13．-17214．15．35016．217．（1）解：.（2）解：解：列联表：优等品合格品合计工厂甲17525200工厂乙15050200合计32575400零假设为：两家工厂生产的糟蛋质量没有差异.，依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为两家工厂生产的糟蛋质量有差异.18．（1）解：设，等差数列的公差为，其中，，∵即，∴∴，即故数列的通项公式为.（2）解：∵∴∴.19．（1）解：法一：左边，右边，由题意得，即，又因为，所以.法二：左边，右边，由题意得，又因为，所以.（2）解：由，由余弦定理得，，，当且仅当时取“等号”，而，故20．（1）证明：在三棱柱中，由题意可得，，，∴，又∵，∴，同时在中，∵，，∴，∵平面，∴平面，又∵平面，∴.（2）解：∵，且，∴平面，方案一：选择①③∵平面，∴，，∴为二面角的平面角，即，∴，又∵三棱柱的体积为，∴.法一：取的中点为，连接，，过作于点，连接，∵平面，∴平面，又∵，由三垂线定理可得，∴为二面角的平面角，其中，，，则，由于二面角的平面角与二面角的平面角互补，故二面角的正弦值为.法二：过作，过作，过作交于点，连接，∴为二面角的平面角，其中，，，∴，故二面角的正弦值为.法三：如图所示，建立空间直角坐标系，设平面的一个法向量为，且，，则，令，则，，故，设平面的一个法向量为，且，，则，令，则，，故，，故二面角的正弦值为.方案二：选择①②；解析：过点作于点∵平面平面，，∴平面，故直线与平面所成角为，且，设，，则，即，.余下解法参考方案一.方案三：选择②③；∵平面，∴，，∴为二面角的平面角，即，过点作于点，∵平面平面且交线为，，平面，∴平面，故直线与平面所成角为，且.设，则，即.余下解法参考方案一.21．（1）解：设，，，则联立得，所以，所以，又，，所以由得，即所以，化简得，又，所以，所以抛物线的方程为.（2）证明：由（1）知，，，所以，，易得，，由题意知，，所以令得，，即，，所以设是以线段为直径的圆上得任意一点，则有，即，由对称性令得，所以或所以以线段为直径的圆经过定点，定点坐标为与.22．（1）解：由，可知定义域，，令，则，①当时，，则成立，即成立，所以在上单调递增；②当时，令，得，记，，当变化时，，的变化情况如下表+0-0+↗极大值↘极小值↗所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.（2）解：因为函数有三个零点，，，不妨设，所以，即在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.由，知，故，因为，所以，即，因此，令，所以，令，则在上单调递减，且，，成立，所以在上单调递减，且，因此，则，所以.高三下学期数学一模试卷一、单选题1．已知集，，则（）A．B．C．D．2．已知复数，，则复数的模等于（）A．B．C．D．3．函数的图像是（）A．B．C．D．4．已知向量满足，，，则（）A．B．C．D．5．记为数列的前n项积，已知，则（）A．8B．9C．10D．116．已知函数在上单调递增，且，则（）A．B．C．D．7．甲、乙、丙3人去食堂用餐，每个人从这5种菜中任意选用2种，则菜有2人选用、菜有1人选用的情形共有（）A．54B．81C．135D．1628．若函数满足，，设的导函数为，当时，，则（）A．65B．70C．75D．80二、多选题9．已知定义域为I的偶函数在上单调递增，且，使.则下列函数中符合上述条件的是（）A．B．C．D．10．已知随机变量从二项分布，则（）A．B．C．D．最大时或50111．已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上且在轴上方，若的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则（）A．点在第一象限B．的面积为C．的斜率为D．直线和圆相切12．数列定义如下：，，若对于任意，数列的前项已定义，则对于，定义，为其前n项和，则下列结论正确的是（）A．数列的第项为B．数列的第2023项为C．数列的前项和为D．三、填空题13．展开式中项的系数为.14．已知随机事件A，B，，，，则.15．在中，E为边BC中点，若，的外接圆半径为3，则的最大值为.16．在三棱锥中，对棱，，，则该三棱锥的外接球体积为，内切球表面积为.四、解答题17．某地区2016至2022年生活垃圾无害化处理量（单位：万吨）如下表：年份2016201720182019202020212022年份代号x1234567生活垃圾无害化处理量y3.94.34.65.45.86.26.9附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.参考数据（1）求y关于x的线性回归方程；（2）根据（1）中的回归方程， 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过去七年该地区生活垃圾无害化处理的变化情况，并预测该地区2024年生活垃圾无害化处理量.18．如图，在中，D为边BC上一点，，，，.（1）求的大小；（2）求的面积.19．在数列中，，在数列中，.（1）求证数列成等差数列并求；（2）求证：.20．在三棱锥中，D，E，P分别在棱AC，AB，BC上，且D为AC中点，，于F.（1）证明：平面平面；（2）当，，二面角的余弦值为时，求直线与平面所成角的正弦值.21．设双曲线的右焦点为，F到其中一条渐近线的距离为2.（1）求双曲线C的方程；（2）过F的直线交曲线C于A，B两点（其中A在第一象限），交直线于点M，（i）求的值；（ii）过M平行于OA的直线分别交直线OB、x轴于P，Q，证明：.22．已知，函数，.（1）求函数的单调区间和极值；（2）设较小的零点为，证明：.1．A2．B3．B4．C5．D6．D7．C8．A9．A,C10．A,D11．B,C,D12．A,C,D13．-4014．15．10416．；17．（1）解：已知，，又，，所以，则，所以回归方程为（2）解：由回归方程可知，过去七年中，生活垃圾无害化处理量每年平均增长0.5万吨，当时，，即2024年该地区生活垃圾无害化处理量约为7.8万吨.18．（1）解：在中，，又，所以（2）解：在中，，则，因为，所以，在中，，则，，在中，因为，所以，则，故19．（1）证明：由知，故，即，数列成等差数列，所以，所以；（2）证明：由，得，于是所以，，所以20．（1）证明：因为，所以都是等腰三角形，因为于F，所以F为DE的中点，则，，又因为是平面内两条相交直线，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）解：因为，，所以，，，所以，，由（1）知为二面角的平面角所以，以点为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，易得，，知，因为，，可得，所以设平面的法向量，，所以，令，则，所以，又，设直线与平面所成角为θ，，所以直线与平面所成角的正弦值为.21．（1）解：因为双曲线其中一条渐近线方程为，又点到它的距离为2，所以，又，得，又因为，所以，所以双曲线C的方程为.（2）解：设AB直线方程为，则，代入双曲线方程整理得：，设，则，，（i）而，所以，则，所以；（ii）过M平行于OA的直线方程为，直线OB方程为与联立，得，即，则，所以，由，两式相除得，，则，所以，因为，所以，故P为线段MQ的中点，所以.22．（1）解：因为，，所以，当时，；当时，，所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为，故有极小值，无极大值；（2）证明：因为当时，，所以，所以，又时，；时，，所以有两个零点；法1：下面证明，，设，则，所以在上递增，又时，，所以对成立，所以得证，，令，则，，，∴.设，，则，所以在上递减，所以，所以，所以得证，因为函数区间单调递减，又，，，、、，所以；法2：下面证明当时，，设，，，所以在上递增，所以，所以，再设，，，所以在上递增，所以，所以，综上，当时，，现有，所以，故得，故得，所以.